数学归纳法步骤例题

数学归纳法步骤例题（共8篇）

数学归纳法步骤例题 篇1

例1．用数学归纳法证明：

1111n． 2n12n12n1133557

请读者分析下面的证法：

证明：①n=1时，左边1111，右边，左边=右边，等式成立． 13321

3②假设n=k时，等式成立，即：

1111k． 2k12k12k1133557

那么当n=k+1时，有：

11111 2k12k12k12k3133557

11111111111 2335572k12k12k12k31112k2 122k322k3

k1k1 2k32k11

这就是说，当n=k+1时，等式亦成立．

由①、②可知，对一切自然数n等式成立．

评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n=k这一步，当n=k+1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求．

正确方法是：当n=k+1时．

11111 2k12k12k12k3133557

k1 2k12k12k

32k1k1 2k23k12k12k32k12k3k1k1 2k32k1

1这就说明，当n=k+1时，等式亦成立，例2．是否存在一个等差数列{an}，使得对任何自然数n，等式：

a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)

都成立，并证明你的结论．

分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n=1，2，3时找出来{an}，然后再证明一般性．

解：将n=1，2，3分别代入等式得方程组．

a16，a12a22

4a2a3a60231

解得a1=6，a2=9，a3=12，则d=3．

故存在一个等差数列an=3n+3，当n=1，2，3时，已知等式成立．

下面用数学归纳法证明存在一个等差数列an=3n+3，对大于3的自然数，等式 a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立．

因为起始值已证，可证第二步骤．

假设n=k时，等式成立，即

a1+2a2+3a3+…+kak=k(k+1)(k+2)

那么当n=k+1时，a1+2a2+3a3+…+kak +(k+1)ak+1

= k(k+1)(k+2)+(k+1)[3(k+1)+3]

=(k+1)(k2+2k+3k+6)

=(k+1)(k+2)(k+3)

=(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]

这就是说，当n=k+1时，也存在一个等差数列an=3n+3使a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)成立．

综合上述，可知存在一个等差数列an=3n+3，对任何自然数n，等式a1+2a2+3a3+…

+nan=n(n+1)(n+2)都成立．

例3．证明不等式11

21

31

n2n(n∈N)．

证明：①当n=1时，左边=1，右边=2．

左边<右边，不等式成立．

②假设n=k时，不等式成立，即1

那么当n=k+1时，1211k2k．

11

21

1

k1

k1

2k1

k12kk11

k1

2k1

k1 kk11

k12k1

这就是说，当n=k+1时，不等式成立．

由①、②可知，原不等式对任意自然数n都成立．

说明：这里要注意，当n=k+1时，要证的目标是

1

121

11k1k12k1，当代入归纳假设后，就是要证明： 2kk12k1．

认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标． 例4．已知数列{an}满足a1=0，a2=1，当n∈N时，an+2=an+1+an．

求证：数列{an}的第4m+1项(m∈N)能被3整除．

分析：本题由an+1=an+1+an求出通项公式是比较困难的，因此可考虑用数学归纳法． ①当m=1时，a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=a2+a1+a2+a2+a1=3，能被3整除． ②当m=k时，a4k+1能被3整除，那么当n=k+1时，a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+a4k+

3=a4k+3+a4k+2+a4k+2+a4k+1

=a4k+2+a4k+1+a4k+2+a4k+2+a4k+1

=3a4k+2+2a4k+1

由假设a4k+1能被3整除，又3a4k+2能被3整除，故3a4k+2+2a4k+1能被3整除．

因此，当m=k+1时，a4(k+1)+1也能被3整除．

由①、②可知，对一切自然数m∈N，数列{an}中的第4m+1项都能被3整除．

例5．n个半圆的圆心在同一条直线l上，这n个半圆每两个都相交，且都在直线l的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？

分析：设这些半圆最多互相分成f(n)段圆弧，采用由特殊到一般的方法，进行猜想和论证．

当n=2时，由图(1)．两个半圆交于一点，则分成4段圆弧，故f(2)=4=22．

当n=3时，由图(2)．三个半径交于三点，则分成9段圆弧，故f(3)=9=32．

由n=4时，由图(3)．三个半圆交于6点，则分成16段圆弧，故f(4)=16=42．

由此猜想满足条件的n个半圆互相分成圆弧段有f(n)=n2．

用数学归纳法证明如下：

①当n=2时，上面已证．

②设n=k时，f(k)=k2，那么当n=k+1时，第k+1个半圆与原k个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第k+1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出k条圆弧；另外原k个半圆把第k+1个半圆分成k+1段，这样又多出了k+1段圆弧．

∴ f(k+1)=k2+k+(k+1)

=k2+2k+1=(k+1)

2∴ 满足条件的k+1个半圆被所有的交点最多分成(k+1)2段圆弧．

由①、②可知，满足条件的n个半圆被所有的交点最多分成n2段圆弧．

说明：这里要注意；增加一个半圆时，圆弧段增加了多少条？可以从f(2)=4，f(3)=f

(2)+2+3，f(4)=f(3)+3+4中发现规律：f(k+1)=f(k)+k+(k+1)．

N的4K+1次方-N为何是10的倍数？ 先证明n^5-n一定是10 的倍数

再用数学归纳法证明n^(4k+1)-n也是10的倍数

n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)

显然n,n-1中必有一个数是偶数 所以n^5-1是2的倍数

下面分情况讨论

n=5t 5t+1 5t+2 5t+3 5t+4 都能得到n^5-n 是5的倍数

而(2,5)互质 所以n^5-n是10 的倍数

所以当k=1时成立

假设当k=r时成立 即n^(4r+1)-n=10s

则当k=r+1 时 n^(4r+4+1)-n=(n^4r+1-n)*n^4+(n^5-n)

=n^4*10s+n^5-n

由于n^5-n是10的倍数

所以当k=r+1时也成立

证明:2的n次方大于2n+1,n是大于3的整数

n=3时，2^3=8>2*3+1,2的n次方大于2n+1成立

设n≤k,k>3时成立

则：

2^(k+1)=2*2^k>2*(2k+1)=4k+2>2k+8>2(k+1)+

1n=k+1时成立

所以，2的n次方大于2n+1,n是大于2的整数

证明：当且仅当指数n不能被4整除时，1n＋2n＋3n＋4n能被5整除

证明设A=1^n＋2^n＋3^n＋4^n，当n=4k(k为整数)时，1^n、3^n的个位数均为1，2^n、4^n的个位均为6，1+1+6+6=14，A的个位为4，显然A不能被5整除

当n≠4k时，⑴若n=4k+1，易知A的个位=（1+2+3+4）的个位=0，∴A能被5整除 ⑵当n=4k+2时，A的个位=（1+4+9+16）的个位=0，∴A能被5整除

⑶当n=4k+3时，A的个位=（1+8+27+64）的个位=0，∴A能被5整除

数学归纳法步骤例题 篇2

一、设计能揭示数学规律的例题

数学规律的揭示要通过题目的计算, 并对计算结果进行观察比较.如初一乘法公式的教学, 有理数四则运算法则的教学, 都需要分析所给例题的特点, 比较各例题的异同点, 然后由学生归纳出法则, 揭示规律, 教师加以整理.

例如, 两头牛加三头牛是五头牛, 但两头牛加三头羊就不是五头牛羊了.同理, 2x+3x=5x, 而2x+3y≠5xy.讲直线概念时, 可以这样描述:“直线可以想象为黑板边线无限伸长, 直至九霄云外而无穷无尽”.在学习“三角形内角和定理”时, 让全班同学准备一个三角形纸板, 把三个角剪下后摆成一个平角.此时, 教师再适当点拨, 让学生自己去发现“三内角之和为180度”这一规律.即“三角形的内角和度数定理”.

二、在例题教学中, 训练学生思维

在教学中, 除了要讲解法、思路外, 更要突出思维过程, 而暴露思维过程的关键, 就是教师要尊重学生的思维选择, 沿着学生的思路探索前进, 不断启示学生, 而不是强制学生按教师提出的方法、途径去思考和解决问题.当学生陷入困境时, 教师不应如同“救世主”那样, 从天而降, 直接呈现结果, 而应启发学生思考、质疑, 自觉认识错误的根源, 探究正确途径.

例如, 方程 (m+1) x2-4 mx+4 m-2=0有实数根, 则m的取值范围是多少?

首先, 教师不要把解题过程直接讲出来, 而应让学生先做, 很多学生就以为这是一个一元二次方程, 要使方程有实数根, 必须让Δ≥0, 得到m≥1, 但却忽略了当m+1=0时, 方程是一元一次方程, 从而把“m=-1时方程也有实数根”这种情况漏掉.学生经历了这样曲折的思维过程, 不仅知道如何正确解答这道题, 更重要的是自身的思维得到了发展.

三、设计规律性例题, 促进学生数学思维

为了让学生在解题时有较敏锐的观察能力, 能够触类旁通, 提高解题能力, 可设计规律性的题目来考察学生的这种能力.由于规律型题目的规律性和普遍性, 教师在举这样的例题时, 应注意归纳综合, 正所谓“万变不离其宗”.例如, 现给出抛物线中ɑ、b、c的符号, 要求判断抛物线的开口方向, 抛物线与y轴交点的位置, 对称轴在y轴的左侧还是右侧, 抛物线与x轴有无交点, 并画出草图, 对这样的问题, 要先找出它的规律性:1.ɑ>0开口向上;ɑ<0开口向下.2.c>0与y轴交点在x轴上方;c<0与y轴交点在x轴下方;c=0交于原点.3.对称轴为直线x=-b, ɑ、b同号, 在y轴的左侧;ɑ、b异号, 在y轴的右侧;b=0, 对称轴为y轴.4.Δ=0与x轴只有一个交点 (顶点在x轴上) ;Δ>0与x轴有两个交点;Δ<0与x轴无交点.这种类型的例题是培养学生能力的好材料, 我们应该通过比较、分析来促进学生数学思维能力的提高.

四、在例题中, 不断挖掘与探究

如果一道数学例题具有很高的教学价值, 采用不同的方法就会产生不同的教学效果.在例题中继续抛出新的问题, 让学生思考、探究, 以提高学生的数学思维能力, 是数学教学隐性目标的显性.

例如, 在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半的证明方法.

方法一:用一张Rt△ABC纸片 (∠C=90°, ∠A=30°) , 对折AB边, 使A点和B点重合, 折痕为EF, 沿BF对折, 点C, E恰好重合, 验证了BC=AB.

方法二:用一张Rt△ABC纸片 (∠C=90°, ∠A=30°) , 对折AC边, 使A点和C点重合, 折痕为EF, 沿CF对折, 点E落在BF上, 沿CE对折, B、F恰好重合, 验证了BC=AB.

方法三:取两张Rt△ABC纸片 (∠C=90°, ∠A=30°) , 拼成一个三角形, 这个三角形恰好是等边三角形, 从而验证BC=AB.

通过这样的实验, 从视觉上, 暗示学生作辅助线的方法, 促进学生的思维对象从模型操作向几何图形转变.使学生的思维活动从实验上升到数学思维, 不再利用具体事物表达数学问题, 而是借助数学语言, 就是几何图形来表达解决问题的过程.所以, 在教学中要重视实践, 放手让学生来操作, 让操作成为培养学生创新思维的切入点.在实践活动中, 引导学生思考、启迪学生思维, 提高学生的数学学习效果.

参考文献

[1]罗增儒.中学数学课例分析[M].西安:陕西师范大学出版社, 2001, 142-245.

[2]罗增儒.数学解题学引论[M].西安:陕西师范大学出版社, 2001, 481-484.

注重数学例题的教学 篇3

关键词：生活实际改编例题；动手；引伸例题；细读教科书

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2012）01-052-01

数学例题教学是教师讲课时用以阐明数学概念、数学命题及初步应用的，它是数学知识转化为数学基本技能的附体，体现教材的深度和广度，揭示题目的思路和方法.通过例题的教学，可使学生理解和巩固数学基础知识，形成数学基本技能，把所学的理论与实践结合起来，掌握理论的用途和方法，对发展和培养学生思维的灵活性和创造性有重要的作用。从现行人教版中学数学课本的例题编排特点来看，它至少有如下一些教学功能：第一、以旧引新，由旧生新，帮助学生进行认知过渡的教学功能。第二、有释疑解惑，扫除障碍，帮助学生感知、理解和掌握新知识的教学功能。第三，有举一反三，触类旁通，帮助学生进行自我练习和完成知识迁移的教学功能。第四，有复习巩固帮助学生强化理解，记忆和综合应用能力的教学功能。

例题教学的关键是什么？根据例题的上述教学功能，其关键当如下述：发挥例题的第一种功能关键找准例题中新旧知识的连接点和新知识的生长点，做好拈连引带和铺垫过渡的工作。

发挥例题的第二种功能，关键是弄清例题中新知识的显隐蕴含点及破译解证点，做好分析推导和点拨指引工作。具备这种功能的例题，是传授新知识的主渠道，主阵地。教学这类例题时，一要引导学生阅读和研究，进行题意分析，在已知与已知，已知与未知间仔细观察推敲搜寻，建立起必要的联系。二要趁势点拨，让学生从题意表述中找到已经包含再类的破译解证点，选准突破口。三要在前两步工作的基础上进一步启发学生，帮助他们理清解题思路，明确解题步骤。四是要注意反馈，帮学生纠偏补缺。发挥例题的第三种功能，关键是抓住例题所创设的问题情境和它提供的思路方法，开拓学生视野，激活学生思路。课本上设置这类例题，旨在训练培养学生运用新知识的技能技巧。教学这类例题要有明确的训练目的，要根据训练序列和例题特点办事：要么在审题方面下功夫，着力于培养学生思维正确性，对应用题例题，这个环节首先要抓好。要么对解例题过程进行压缩，培养学生思维的敏捷性。要么对例题搞一题多解，以培养学生思维的发散性，特别是对于应用题例题更应在一题多解方面做文章。发挥例题的第四种功能，关键是把握例题的切入点，在整合学生认知结构的基础上，培养提高其综合运用数学知识的能力。教师必须掌握教材的编排体系，要理解编者意图，还要了解学生对知识的掌握情况。在此基础上，有针对有重点的选择或设计例题开展教学。

前面已提及例题的功能往往不是单一的。对于兼有多种功能的例题，则要理清其功能层次，看看何者为主，何者为从，从而突出主要功能，兼顾其他功能。

如何加强例题的教学呢？本人认为加强初中数学例题教学可以从以下几个方面进行。

一、以生活实例改编例题,激发学生的求知欲

教材中的例题的背景一般比较抽象缺乏生活气息，如果对其赋予学生密切相关的生活情境，编制学生所熟悉的内容，不仅激发学生的参与热情，还能发挥学生的创新意识和创造能力。

二、让学生动手，在实践中感受学习知识的乐趣

一般例题的教学只注重对学生思维能力的培养而忽视动手能力的训练，教师若能结合题目的特征，自觉地把例题改编成操作题，使问题拓宽、加深、变活，鼓励学生大胆动手试一试，可获得良好的效果。

三、推广引伸例题，提高学生思维能力

推广引伸，就是在解完题后，对原题的条件,结论,题型作进一步的开拓思考，引伸出新题和新的解法，世界上一切事物都是不断发展变化的，数学的各知识点间，也是相互依存，互相制约，不断变化的。因此建立一种思想，才能把课本知识融会惯通，使图形变化，必将大大增强学生思维的发散性和创造性。

1、对例题的条件开拓引伸。

2、对例题的结论开拓引伸。

探索性例题已逐步形成思维训练的热点，这类题也是近年各地中考的热点题型之一。由于这类例题的题设条件，结论等都具有开放性，要求学生要有较好分析和解决问题的能力，因此，对教本中的例题的结论通过适当引伸，使其更具开放性，对培养学生的思维可起到很大作用。

四、指导学生细读教科书，领会例题的示范功能，总结规律，培养学生的自学能力

数学例题的教学是对某部分教材的抽象内容提供具体例子，帮助和加深学生对教材的理解，或解题的示范，从而培养学生分析、解题的能力。要发挥学生的主体作用，还须加强学生学习的指导，课本是学生获取知识的主要来源，引导学生阅读书本例题，自己分析思考，自己探索总结，激发学生的钻研精神，加速完成认识知识和掌握知识的过程。

总之，例题是帮助学生打开知识大门的钥匙，是载引他们遨游数学新海域的船只，是帮助他们完善数学结构的脚手架，是增长他们的数学知识和数学运用能力的培养基，我们万不可掉一轻心，胡乱处置，而必须认真研究，严肃对待，弄清其功能，抓住其关键，努力提高例题教学的科学性和艺术性。

高考数学复习概率统计典型例题 篇4

例1 下列命题：

(1)3，3，4，4，5，5，5的众数是5；

(2)3，3，4，4，5，5，5的中位数是4.5；

(3)频率分布直方图中每一个小长方形的面积等于该组的频率；

(4)频率分布表中各小组的频数之和等于1

以上各题中正确命题的个数是 [ ]．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

分析：回忆统计初步中众数、中位数、频数、频率等概念，认真分析每个命题的真假．

解：(1)数据3，3，4，4，5，5，5中5出现次数最多3次，5是众数，是真命题．

(2)数据3，3，4，4，5，5，5有七个数据，中间数据是4不是4.5，是假命题．

(3)由频率分布直方图中的结构知，是真命题．

(4)频率分布表中各小组的频数之和是这组数据的个数而不是1，是假命题．

所以正确命题的个数是2个，应选B．

例2 选择题：

(1)甲、乙两个样本，甲的样本方差是0.4，乙的样本方差是0.2，那么 [ ]

A．甲的波动比乙的波动大；

B．乙的波动比甲的波动大；

C．甲、乙的波动大小一样；

D．甲、乙的波动大小关系不能确定．

(2)在频率直方图中，每个小长方形的面积等于 [ ]

A．组距 B．组数

C．每小组的频数 D．每小组的频率

分析：用样本方差来衡量一个样本波动大小，样本方差越大说明样本的波动越大．

用心 爱心 专心

122号编辑

解：(1)∵0.4＞0.2，∴甲的波动比乙的波动大，选A．

例3 为了了解中年人在科技队伍中的比例，对某科研单位全体科技人员的年龄进行登记，结果如下(单位：岁)

44，40，31，38，43，45，56，45，46，42，55，41，44，46，52，39，46，47，36，50，47，54，50，39，30，48，48，52，39，46，44，41，49，53，64，49，49，61，48，47，59，55，51，67，60，56，65，59，45，28．

列出样本的频率分布表，绘出频率分布直方图．

解：按五个步骤进行：

(1)求数据最大值和最小值：

已知数据的最大值是67，最小值是28

∴最大值与最小值之差为67-28=39

(2)求组距与组数：

组距为5(岁)，分为8组．

(3)决定分点

(4)列频分布表

用心 爱心 专心

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(5)绘频率分布直方图：

例4 某校抽检64名学生的体重如下(单位：千克)．

列出样本的频率分布表，绘出频率分布直方图．

分析：对这组数据进行适当整理，一步步按规定步骤进行．

解：(1)计算最大值与最小值的差：48-29=19(千克)

(2)决定组距与组数

样本容量是64，最大值与最小值的差是19千克，如果取组距为2千克，19÷2=9.5，分10组比较合适．

(3)决定分点，使分点比数据多取一位小数，第一组起点数定为28.5，其它分点见下表．

(4)列频率分布表．

用心 爱心 专心

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(5)画频率分布直方图(见图3-1)

说明：

长方形的高与频数成正比，如果设频数为1的小长方形的高为h，频数为4时，相应的小长方形的高就应该是4h．

例5 有一个容量为60的样本，(60名学生的数学考试成绩)，分组情况如下表：

(1)填出表中所剩的空格；

(2)画出频率分布直方图．

分析：

用心 爱心 专心

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各组频数之和为60

各组频率之和为1

解：

因为各小组频率之和=1

所以第4小组频率=1-0.05-0.1-0.2-0.3=0.35

所以第4小组频数=0.35×60=第5小组频数=0.3×60=18

(2)

例6 某班学生一次数学考试成绩的频率分布直方图，其中纵轴表示学生数，观察图形，回答：

(1)全班有多少学生？

用心 爱心 专心

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(2)此次考试平均成绩大概是多少？

(3)不及格的人数有多少？占全班多大比例？

(4)如果80分以上的成绩算优良，那么这个班的优良率是多少？

分析：根据直方图的表示意义认真分析求解．

解：(1)29～39分1人，39～49分2人，49～59分3人，59～69分8人，69～79分10人，79～89分14人，89～99分6人．

共计 1+2+3+8+10+14+6=44(人)

(2)取中间值计算

(3)前三个小组中有1+2+3=6人不及格占全班比例为13.6%．

(4)优良的人数为14+6=20，20÷44=45.5%．

即优良率为45.5%．

说明：频率分布表比较确切，但直方图比较直观，这里给出了直方图，从图也可以估计出一些数量的近似值，要学会认识图形．

例7 回答下列问题：

用心 爱心 专心

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总是成立吗？

(2)一组数据据的方差一定是正数吗？

总是成立吗？

(4)为什么全部频率的累积等于1？

解：(1)证明恒等式的办法之一，是变形，从较繁的一边变到较简单的一边．这

可见，总是成立．

顺水推舟，我们用类似的方法证明(3)；注意

那么有

(2)对任一组数x1，x2，„，xn，方差

这是因为自然数n＞0，而若干个实数的平方和为非负，那么S2是有可对等于0的

从而x1=x2=„=xn，就是说，除了由完全相同的数构成的数组以外，任何数组的方差定为正数．

用心 爱心 专心

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(4)设一个数组或样本的容量为n，共分为m个组，其频数分别为a1，a2，„，am，按规定，有

a1+a2+„+am=n，而各组的频率分别a1／n，a2／n，„，am／n，因此，有

说明：在同一个问题里，我们处理了同一组数据x1，„，xn有关的两个数组f1，f2，„，fk和a1，a2，„，am，前者是说：在这组数中，不同的只有k个，而每个出现的次数分别为f1，„，fk；后者则说明这组数所占的整个范围被分成了m个等长的区间，出现在各个区间中的xi的个数分别为a1，„，am，可见，a1，„，an是f1，„fk的推广，而前面说过的众数，不过是其fi最大的那个数．

弄清研究数组x1，„，xn的有关数和概念间的联系与区别，是很重要的．

例8 回答下列问题：

(1)什么是总体？个体？样本？有哪些抽样方法？

(2)反映样本(或数据)数量水平的标志值有哪几个？意义是什么？怎样求？

(3)反映样本(或数据)波动(偏差)大小的标志值有哪几个？怎样求？有什么区别？

(4)反映样本(或数据)分布规律的数量指标和几何对象是什么？获得的一般步骤是什么？

解：这是一组概念题，我们简略回答：

(1)在统计学里，把要考查对象的全体叫做总体；其中每个考查对象叫个体；从总体中抽出的一部分个体叫做总体的一个样本；样本中个体的数目，叫做样本的容量．

应指出的是，这里的个体，是指反映某事物性质的数量指标，也就是数据，而不是事物本身，因此，总体的样本，也都是数的集合．

抽样方法通常有三种：随机抽样、系统抽样和分层抽样三种，基本原则是：力求排除主观因素的影响，使样本具有较强的代表性．

(2)反映样本(或数据)数量水平或集中趋势的标志值有三个，即平均数、众数和中位数．

有时写成代换形式；

用心 爱心 专心

122号编辑

有时写成加权平均的形式：

其中，又有总体平均数(总体中所有个体的平均数)和样本平均数(样本中所有个体的平均数)两种，通常，我们是用样本平均数去估计总体平均数．且一般说来，样本容量越大，对总体的估计也就越精确．

(ii)众数，就是在一组数据中，出现次数最多的数．通常采用爬山法或计票画“正”法去寻找．(爬山法是：看第一个数出现次数，再看第二、三、„„有出现次数比它多的，有，则“爬到”这个数，再往后看„„)．

(iii)中位数是当把数据按大小顺序排列时，居于中间位置的一个数或两个数的平均，它与数据的排列顺序有关．

此外，还有去尾平均(去掉一个最高和一个最低的，然后平均)、总和等，也能反映总体水平．

(3)反映样本(数据)偏差或波动大小的标志值有两个：

(ii)标准差：一组数据方差的平方根：

标准差有两个优点，一是其度量单位与原数据一致；二是缓解S2过大或过小的现象．方差也可用代换式简化计算：

(4)反映数据分布规律的是频率分布和它的直方图，一般步骤是：

(i)计算极差=最大数-最小数；

用心 爱心 专心

122号编辑

(iii)决定分点(可用比数据多一位小数的办法)；

(v)画频率分布直方图．

其中，分布表比较确切，直方图比较直观．

说明：此例很“大”，但是必要的，因为，当前大多数的中考题，很重视基本内容的表述，通过“填空”和“选择”加以考查，我们要予以扎实．而更为重要的，这些概念和方法，正是通过偶然认识必然，通过无序把握有序，通过部分估计整体的统计思想在数学中的实现．

用心 爱心 专心

数学归纳法步骤例题 篇5

【典型例题】

考点一

研究直线与圆的位置关系

22例1 已知直线Ｌ过点（－2，０），当直线Ｌ与圆x＋y＝2x有两个不同交点时，求斜率k的取值范围。

法一：设直线L的方程为：y＝k（x＋2），与圆的方程联立，代入圆的方程令△>0可得：。

法二：设直线L的方程为：y＝k（x＋2），利用圆心到直线的距离dO－L∈[0，R]可解得：。

考点二

研究圆的切线

例2 直线y＝x＋b与曲线有且仅有一个公共点，求b的取值范围。分析：作出图形后进行观察，以找到解决问题的思路。

解：曲线

即x＋y＝1（x≥0），当直线y＝x＋b

22与之相切时，满足：由观察图形可知： 当或

时，它们有且仅有一个公共点。

22例3 过点P（1，2）作圆x＋y＝5的切线L，求切线L的方程。解：因P点在圆上，故可求切线L的方程为x＋2y＝5。

22说明：过圆x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0上一点P（x0，y0）的切线方程为：

如果是过圆外一点作圆的切线，其切线方程的求解应利用△＝0或利用圆心到直线的距离等于半径进行。

用心

爱心

专心 考点三

求圆的切线长

22例4 过点P（2，3）作圆x＋y＝5的切线L，切点为M，求切线段LM的长。分析：数形结合，构造三角形求LM，如图。

解：

22说明：自圆x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0外一点P（x0，y0）向圆所引切线段的长为：

考点四

研究两圆的位置关系

例5 求过两圆x＋y－1＝0和x＋y－4x＝0的交点且与直线的方程。

2222解：设所求圆的方程为x＋y－1＋λ（x＋y－4x）＝0，整理后得：

相切的圆

因为该圆与直线

相切，故圆心到直线的距离等于半径，即：

代入即可得所求圆的方程为：3x＋3y＋32x－11＝0.说明：利用过两圆交点的圆系方程求解比较简洁。过两定圆

交点的圆系方程为：，λ、μ不同时为0，两边同除以λ（或μ），则该方程只有一个待求参数。

考点五

研究两相交圆的公共弦所在直线方程

2222例6 求两圆x＋y－1＝0和x＋y－4x＝0的交点弦所在的直线方程。解：联立两圆方程，消去平方项得4x－1＝0即为交点弦所在的直线方程。说明：相交两圆的公共弦或相外切两圆的内公切线或相内切两圆的公切线所在的直线方程的求解均可采用“交轨法”，将两圆方程的平方项消去，所得的二元一次方程即为所求的直线方程。

考点六

与圆有关的其它问题

22例7 求圆x＋y－4x＝0关于直线x－y＝1对称的圆的方程。

22解：圆x＋y－4x＝0的圆心为P（2，0），半径为2；P关于直线x－y＝1对称的点Q的坐标可求得为（1，1），故所求对称圆的方程为：

用心

爱心

专心（x－1）＋（y－1）＝4 说明：关于直线对称的两圆半径是相同的，其圆心关于该直线对称，故只需求出圆心的对称点即可。

22例8 已知点P的坐标满足x＋y－4x＝0，M（8，6），求PM的中点Q所在的曲线方程。解：设点Q（x，y），P（x0，y0），则由Q是PM的中点知：x0＝2x－8，y0＝2y－6。

2222又P在x＋y－4x＝0上，故有（2x－8）＋（2y－6）－4（2x－8）＝0，整理即得Q22点所在曲线方程为：x＋y－10x－6y＋33＝0。22

用心

八年级数学勾股定理经典例题解析 篇6

经典例题透析

类型一：勾股定理的直接用法

1、在Rt△ABC中，∠C=90°

(1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c; (3)已知c=25，b=15，求a.

思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。

解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=

(2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=

(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=

举一反三

【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?

【答案】∵∠ACD=90°

AD=13, CD=12

∴AC2 =AD2-CD2

=132-122

=25

∴AC=5

又∵∠ABC=90°且BC=3

∴由勾股定理可得

AB2=AC2-BC2

=52-32

=16

∴AB= 4

∴AB的长是4.

类型二：勾股定理的构造应用

2、如图，已知：在 中， ， ， . 求：BC的长.

思路点拨：由条件 ，想到构造含 角的直角三角形，为此作 于D，则有

， ，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.

解析：作 于D，则因 ，

∴ ( 的两个锐角互余)

∴ (在 中，如果一个锐角等于 ，

那么它所对的直角边等于斜边的一半).

根据勾股定理，在 中，

.

根据勾股定理，在 中，

.

∴ .

举一反三【变式1】如图，已知： ， ， 于P. 求证： .

解析：连结BM，根据勾股定理，在 中，

.

而在 中，则根据勾股定理有

.

∴

又∵ (已知)，

∴ .

在 中，根据勾股定理有

，

∴ .

【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。

分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。

解析：延长AD、BC交于E。

∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。

∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，

∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE= = 。

∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE= = 。

∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE= AB•BE- CD•DE=

类型三：勾股定理的实际应用

(一)用勾股定理求两点之间的距离问题

3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了 到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。

(1)求A、C两点之间的距离。

(2)确定目的地C在营地A的什么方向。

解析：(1)过B点作BE//AD

∴∠DAB=∠ABE=60°

∵30°+∠CBA+∠ABE=180°

∴∠CBA=90°

即△ABC为直角三角形

由已知可得：BC=500m，AB=

由勾股定理可得：

所以

(2)在Rt△ABC中，

∵BC=500m，AC=1000m

∴∠CAB=30°

∵∠DAB=60°

∴∠DAC=30°

即点C在点A的北偏东30°的方向

举一反三

【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?

【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH.如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥AB， 与地面交于H.

解：OC=1米 (大门宽度一半)，

OD=0.8米 (卡车宽度一半)

在Rt△OCD中，由勾股定理得：

CD= = =0.6米，

CH=0.6+2.3=2.9(米)>2.5(米).

因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门.

(二)用勾股定理求最短问题

4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分.请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线.

思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论.

解析：设正方形的边长为1，则图(1)、图(2)中的总线路长分别为

AB+BC+CD=3，AB+BC+CD=3

图(3)中，在Rt△ABC中

同理

∴图(3)中的路线长为

图(4)中，延长EF交BC于H，则FH⊥BC，BH=CH

由∠FBH= 及勾股定理得：

EA=ED=FB=FC=

∴EF=1-2FH=1-

∴此图中总线路的长为4EA+EF=

3>2.828>2.732

∴图(4)的连接线路最短，即图(4)的架设方案最省电线.

举一反三

【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程.

解：

如图，在Rt△ABC中，BC=底面周长的一半=10cm， 根据勾股定理得

(提问：勾股定理)

∴ AC= = = ≈10.77(cm)(勾股定理).

答：最短路程约为10.77cm.

类型四：利用勾股定理作长为 的线段

5、作长为 、、的线段。

思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于 ，直角边为 和1的直角三角形斜边长就是 ，类似地可作 。

作法：如图所示

(1)作直角边为1(单位长)的等腰直角△ACB，使AB为斜边;

(2)以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角 。斜边为 ;

(3)顺次这样做下去，最后做到直角三角形 ，这样斜边 、、、的长度就是

、、、。

举一反三 【变式】在数轴上表示 的点。

解析：可以把 看作是直角三角形的斜边， ，

为了有利于画图让其他两边的长为整数，

而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。

作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径，

以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为 。

类型五：逆命题与勾股定理逆定理

6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确

1.原命题：猫有四只脚.(正确)

2.原命题：对顶角相等(正确)

3.原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等.(正确)

4.原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等.(正确)

思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。

解析：1. 逆命题：有四只脚的是猫(不正确)

2. 逆命题：相等的角是对顶角(不正确)

3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.(正确)

4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.(正确)

总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。

7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。

思路点拨：要判断ΔABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。

解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得 ：

a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,

∴ (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。

∵ (a-3)2≥0, (b-4)2≥0, (c-5)2≥0。

∴ a=3，b=4，c=5。

∵ 32+42=52,

∴ a2+b2=c2。

由勾股定理的逆定理，得ΔABC是直角三角形。

总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。

举一反三【变式1】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。

【答案】：连结AC

∵∠B=90°，AB=3，BC=4

∴AC2=AB2+BC2=25(勾股定理)

∴AC=5

∵AC2+CD2=169，AD2=169

∴AC2+CD2=AD2

∴∠ACD=90°(勾股定理逆定理)

【变式2】已知:△ABC的三边分别为m2-n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m>n),判断△ABC是否为直角三角形.

分析:本题是利用勾股定理的的逆定理， 只要证明:a2+b2=c2即可

证明：

所以△ABC是直角三角形.

【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF= AB。

请问FE与DE是否垂直?请说明。

【答案】答：DE⊥EF。

证明：设BF=a，则BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a,

∴ EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2;

DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。

连接DF(如图)

DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。

∴ DF2=EF2+DE2,

∴ FE⊥DE。

经典例题精析

类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法

1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。

思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。

解析：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得：

(3x)2+(4x)2=202

化简得x2=16;

∴直角三角形的面积= ×3x×4x=6x2=96

总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程(组)求解。

举一反三 【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。

【答案】如图，等边△ABC，作AD⊥BC于D

则：BD= BC(等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合)

∵AB=AC=BC=2(等边三角形各边都相等)

∴BD=1

在直角三角形ABD中，AB2=AD2+BD2，即：AD2=AB2-BD2=4-1=3

∴AD=

S△ABC= BC•AD=

注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为 a。

【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。

【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x，y，根据题意得：

由(1)得：x+y=7，

(x+y)2=49，x2+2xy+y2=49 (3)

(3)-(2)，得：xy=12

∴直角三角形的面积是 xy= ×12=6(cm2)

【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。

思路点拨：首先要确定斜边(最长的边)长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。

解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得：

(n+1)2+(n+2)2=(n+3)2

化简得：n2=4

∴n=±2，但当n=-2时，n+1=-1<0，∴n=2

总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。

【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是( )

A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40

解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，

对数据较大的可以用c2=a2+b2的变形：b2=c2-a2=(c-a)(c+a)来判断。

例如：对于选择D，

∵82≠(40+39)×(40-39)，

∴以8，39，40为边长不能组成直角三角形。

同理可以判断其它选项。 【答案】：A

【变式5】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。

解：连结AC

∵∠B=90°，AB=3，BC=4

∴AC2=AB2+BC2=25(勾股定理)

∴AC=5

∵AC2+CD2=169，AD2=169

∴AC2+CD2=AD2

∴∠ACD=90°(勾股定理逆定理)

∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD= AB•BC+ AC•CD=36

类型二：勾股定理的应用

2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响?请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒?

思路点拨：(1)要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。(2)要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。

解析：作AB⊥MN，垂足为B。

在 RtΔABP中，∵∠ABP=90°，∠APB=30°， AP=160，

∴ AB= AP=80。 (在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半)

∵点 A到直线MN的距离小于100m,

∴这所中学会受到噪声的影响。

如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC=100(m)，

由勾股定理得： BC2=1002-802=3600,∴ BC=60。

同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD=100(m)，BD=60(m),

∴CD=120(m)。

拖拉机行驶的速度为 : 18km/h=5m/s

t=120m÷5m/s=24s。

答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。

总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。

举一反三 【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了__________步路(假设2步为1m)，却踩伤了花草。

解析：他们原来走的路为3+4=7(m)

设走“捷径”的路长为xm，则

故少走的路长为7-5=2(m)

又因为2步为1m，所以他们仅仅少走了4步路。【答案】4

【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。

(1)直接写出单位正三角形的高与面积。

(2)图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形?平行四边形ABCD的面积是多少?

(3)求出图中线段AC的长(可作辅助线)。

【答案】(1)单位正三角形的高为 ，面积是 。

(2)如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形，因此其面积 。

(3)过A作AK⊥BC于点K(如图所示)，则在Rt△ACK中， ，

，故

类型三：数学思想方法(一)转化的思想方法

我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决.

3、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5.求线段EF的长。

思路点拨：现已知BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD.

解：连接AD.

因为∠BAC=90°，AB=AC. 又因为AD为△ABC的中线，

所以AD=DC=DB.AD⊥BC.

且∠BAD=∠C=45°.

因为∠EDA+∠ADF=90°. 又因为∠CDF+∠ADF=90°.

所以∠EDA=∠CDF. 所以△AED≌△CFD(ASA).

所以AE=FC=5.

同理：AF=BE=12.

在Rt△AEF中，根据勾股定理得：

，所以EF=13。

总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。

(二)方程的思想方法

4、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°， ，求 、、的值。

思路点拨：由 ，再找出 、的关系即可求出 和 的值。

解：在Rt△ABC中，∠A=60°，∠B=90°-∠A=30°，

则 ，由勾股定理，得 。

因为 ，所以 ，

， ， 。

总结升华：在直角三角形中，30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半。

举一反三：【变式】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。

解：因为△ADE与△AFE关于AE对称，所以AD=AF，DE=EF。

因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=∠C=90°，

在Rt△ABF中， AF=AD=BC=10cm，AB=8cm，

所以 。 所以 。

设 ，则 。

在Rt△ECF中， ，即 ，解得 。

一道数学例题教学的反思 篇7

一、课堂教学实录展示

浙教版课标教材九年级上册中有这样一道例题:数学兴趣小组测校园内一棵树高,有以下两种方法.

方法1:如图1,把镜子放在离树(AB)8m的点E处,然后沿直线BE后退到点D,这时恰好在镜子里看到树梢顶点A,再用皮尺量得DE=2.8 m,观察者目高CD=1.6 m.

方法2:如图2,把长为2.40 m的标杆GH直立在地面上,量出树的影长为2.80 m,标杆的影长为1.47 m.

分别根据上述两种不同方法求出树高(精确到0.1 m).

请你自己写出求解过程,并与同伴探讨:还有其他测量树高的方法吗?

简单分析后,大多数学生顺利地完成了解答过程.当我问:“同学们,还有其他的测量方法吗?”话音未落,坐在靠窗的生1眼睛看着窗外,面带疑惑,突然发问:“老师,你看现在操场边的一棵树的影子有一部分落在围墙上,怎么测啊?”我走到窗边一看,果然如此,我表扬了生1,并请他到黑板上画出示意图(图3),然后请大家一起思考、讨论来帮助这名同学解决问题.

此时,教室里炸开了“锅”……

生2:可以让人的影子正好和树的影子端点重合(图4).

生3:没有阳光时,怎么办?

生4:可以用一根木棒,正好遮挡住树时,测出相应的距离(图5).

生5:用含30°角的三角板,调整人与树的距离,使得沿三角板的斜边看上去正好看到树顶端(图6).

……

二、课后反思

1. 教师必须改变数学的教育观

美国现代心理学家布鲁纳说过,学习最好的刺激,乃是对所学材料的兴趣.新课程下,教师必须改变传统的偏重于知识传授和强调接受式学习的教学模式,在教学中应重视数学内容与实际生活的紧密联系,应走这样的过程:学什么?……为什么学?……怎样学?……用在哪?同时,要抓住时机不断地引导学生在设疑、质疑、释疑过程中,创设认知“冲突”,激发学生持续的学习兴趣和求知欲望.在探究教学中,要立足于培养学生的独立性和自主性,引导他们质疑、调查和研究,学会在实践中学,在合作交流中学,并逐步形成适合自己的学习策略.因此,新课程下的数学课堂教学必须始终体现“学生是教学活动的主体”,着眼于学生的终身发展,注重培养学生良好的学习兴趣和学习习惯,使其学会在生活中发现各种各样的数学规律,真正实现从生活走向数学,从数学走向社会.

2. 数学课堂教学要体现学生的主体性

在数学课堂教学中,教师必须尊重学生的意愿,挖掘学生的潜能,把学生从以知识为中心的传统数学体系中解放出来,让学生参与生活实践,并与课堂认知结合起来,甚至渗透一些课外知识(如历史、时事、自然、科学等方面的知识),与学生共同讨论分享,让学生感受学习的成功,体会学习的意义.像本节课的后半节那样,整个过程让学生动口、动手,又适时地讨论、操作,而教师只发挥指导作用,以一个组织者、引导者、参与者的身份出现,学生则是以学习主人的姿态,主动地参与操作、汇报交流、提问质疑的全过程,既增长了学生的知识,又能提高其分析问题、解决问题和创新发展的能力.所以,要让学生去探究,去发现,让他们去体验和领悟科学的思想观念和研究问题的方法.在课堂教学中,“敢放”、“能收”,要相信学生的能力,做到收放自如.

3. 培养学生解题后的反思习惯,提升学生的思维品质

解题是学生学习数学的必经之路,但不同的解题思想会有不同的解题效果,养成良好的解题后反思的习惯,对学生思想品质等各方面的培养有积极的意义.如反思题目的结构特征可培养思维的深刻性;反思解题思路可培养思维的广阔性;反思解题途径可培养思维的批判性;反思结论可培养思维的创造性和敏捷性.可以说,反思是培养学生思维品质的有效途径.像本节课中,通过解完课内例题后,不断地设疑、质疑,激发了学生浓厚的学习兴趣和求知欲望,有利于培养学生思维的广阔性、批判性和创造性.

初中数学例题教学的探讨 篇8

一、教师要提升自己的解题教学水平

学生数学能力的提高主要取决于教师的教学能力的提高，教师对解题进行深入的研究，从理论的高度来审视解题教学，是提高解题能力的一个途径。

1.多阅读有关解题理论的书籍。了解数学解题的发展，如波利亚的《怎样解题》，这是一本阐述解题理论的书籍，波利亚在书中有一个怎样解题表，这是这本书的亮点，解题表列出了解题的四个步骤，在解题时只要遵循这四个步骤，问题就能得到解决，波利亚指出，解题的目的不仅在于得到解题的结果，而是关注解题的思维过程，即我是怎样想到这个解题方法的，为什么会这样思考，不这样思考行吗？是否还有其他的解决办法，是否可以对题目进行推广等等，因此教师的广泛阅读很重要。

2.重视数学教育心理学的研究。学生的学习是一个自我建构的过程，教师不要把自己的思维强加给学生，要尊重学生思维，给予学生充分的思考，表达，交流的机会，要了解学生学习数学的规律。为什么现在很多学生害怕学习数学，很大程度上是教师的行为造成的，是教师把数学的教学脱离了学生的思维水平，脱离了学生的学习和生活经验，没有遵循循序渐进，螺旋上升的教学规律。如在例题的教学中，教师不顾学生的思维水平，不尊重学生的想法，而是把自己认为很好的解题方法强加于学生，要求学生掌握，然后给出相应的题目让学生机械的练习。这样的教学不但不能提升学生的解题能力，反而束缚了学生的思维，对学生智力的发展有害无益。

二、例题教学中提高学生解题能力的途径

1.培养认真审题的习惯，提高审题的能力。审题是解题的第一个工作，审题首先就是要弄清楚已知是什么，要解决什么问题，任何一个数学问题都包含已知和未知两个部分，在教学中要求学生把已知条件和求解的问题列出来，必要时还要求学生用自己的话说出已知和未知；其次，还要注意挖掘题目的隐含条件，包括题目所要使用的概念，公式，定理，以及已知和未知之间的关等，都可以一一的写出来。在例题的教学中，教师应强调审题的重要性，并做出认真审题的示范，教会学生审题的方法，培养认真审题的习惯，学生解题错误往往是由于不细心审题，没有弄清问题的已知和未知条件就急于解题所造成。

例：求二次函数y=ax2+bx+c的最大值或最小值，通常采用配方法，即：

y=ax2+bx+c=a（x+ ）+，

因此当a＞0时，x=- ，函数有最小值：；

因此当a＜0时，x=- ，函数有最大值：。

学生对于配方法求二次函数的最值应该很清楚，但没有注意前提条件是能取x=- ，于是遇到实际问题时就会因为思维定势而犯错误。例如α、β是方程4x2-4mx+m2+2m=0的两个根，问m为何值时，α2+β2+1有最小值？学生在做题的过程中会很快得到：α2+β2+1=（α+β）2-2αβ+1= （m-1）+ ，所以最小值是 ，对于这个结果学生认为没有错误，这说明学生没有认真审题，没有充分的挖掘题目的隐含条件，既然方程有两个根，那必须要求判别式△=b2-4ac≥0，即m≤0，因此最小值并不是 ，而是1，教师在教学中要让学生自己找出题目的隐含条件，而不是教师代替学生，否则在面对同样的问题时，学生还是会犯错误。

2.注意例题的典型性和思想性，注意多题一解和一题多解的能力的培养。例题的选择要有一定的代表性，最好是有多种解法，还有就是要把形式不同而本质相同的题目放在一起，这样可以培养学生的求异思维和求同思维能力，以达到提高学生解题能力的目的。

例：在实数范围内解下列方程：

（1）|a+3|+（b-4）2=0；

（2）√x+y-2+√x-2y=0；

（3）x2+2x+1+y2-4y+4=0；

（4）（a2+1）（b2+4）=8ab

以上几道题形式不同，但都是根据“若干个非负数之和为0，则必须是各个数都为0”的原理，通过建立方程组而求解，以达到做一题通一类的目的。

3.例题教学中要训练学生的反思能力。反思是提升解题能力的重要途径，没有反思，就没有再创造，没有反思，就会陷入题海，因此教师要培养学生反思的习惯。在例题习题的教学中要做到反思解题过程，反思解题方法，反思数学思想。

例如：已知抛物线的顶点坐标是（1，-8）且过点（3，0），求抛物线的解析式。很多学生看到题中有顶点，于是设抛物线为y=a（x-1）2

-8，又过点（3，0），所以代入解得a=2，那么此题是否还有其它的解法呢？教师要求学生注意从函数的图像上分析这两个点的特殊性，通过图形，学生发现函数图像也过点（1，0），且1，3是函数图像与x轴交点的横坐标，这样通过反思发现还有两种解法，这是反思的第一个层次——反思解题方法，反思的第二个层次就是反思数学知识，本题的三种解法把二次函数的三种表示方法都用到了，考查了求函数解析式常用的待定系数法，反思的第三个层次是反思数学思想，对于本题另外两种解法，教师可以追问学生你是怎么发现的？从而得出数形结合的思想方法在解决数学问题时有很强的直观性。可见反思解题过程，可以得到超出题目本身的很多知识。