立体几何解析几何综合（共8篇）
【说明】：本部分为知识点方法总结性梳理，目的在于让学生能从题目条件和所证明结论，去寻找证明思路，用时大概5-8分钟左右。
【知识点、方法总结】：中考几何题证明思路总结
几何证明题重点考察的是学生的逻辑思维能力，能通过严密的“因为”、“所以”逻辑将条件一步步转化为所要证明的结论。这类题目出法相当灵活，不像代数计算类题目容易总结出固定题型的固定解法，而更看重的是对重要模型的总结、常见思路的总结。所以本文对中考中最常出现的若干结论做了一个较为全面的思路总结。
一、证明两线段相等
1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
10.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。
11.等于同一线段的两条线段相等。
二、证明两角相等
1.两全等三角形的对应角相等。
2.同一三角形中等边对等角。
3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。
6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等；
7.相似三角形的对应角相等；
8.等于同一角的两个角相等。
三、证明两直线平行
1.垂直于同一直线的各直线平行。
2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。
3.平行四边形的对边平行。
4.三角形的中位线平行于第三边。
5.梯形的中位线平行于两底。
6.平行于同一直线的两直线平行。
意识一用参数表示出圆或直线的方程, 转化为方程恒成立问题
例1 ( 2008 年江苏卷18 改编) 设平面直角坐标系x Oy中, 圆C的方程为x2+ y2+ 2x - ( b + 1) y + b =0. 问圆C是否经过某定点 ( 其坐标与b无关) ? 请证明你的结论.
解析: 考察了圆过定点, 我们用参数表示出圆的方程后转化为方程恒成立问题即可.
解: x2+ y2+ 2x - y + b ( y - 1) = 0
圆C必过定点 ( 0, 1) 和 ( - 2, 1) .
例2 (2009年江苏卷18) 在平面直角坐标系x Oy中, 已知圆C1: (x+3) 2+ (y-1) 2=4和圆C2: (x-4) 2+ (y-5) 2=4.设P为平面上的点, 满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2, 它们分别与圆C1和圆C2相交, 且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等, 试求所有满足条件的点P的坐标.
解析:此题载体依然是圆, 只不过圆的个数增加成两个, 但问题最终依然转化成方程恒成立问题.
解:设点P坐标为 (m, n) , 直线l1、l2的方程分别为:
因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等, 两圆半径相等.由垂径定理, 得:圆心C1到直线l1与C2到直线l2的距离相等.
故有:
化简得: (2-m-n) k=m-n-3或 (m-n+8) k=m+n-5.
关于k的方程恒成立, 有:
解之得:点P坐标为或.
意识二从特殊情况开始分析, 再进行检验 (特别适用于填空题)
例3 (2010年江苏卷18) 在平面直角坐标系x Oy中, 已知A、B为椭圆的左、右顶点, F为右焦点.设过点T (9, m) 的直线TA、TB分别与椭圆交于点M (x1, y1) 、N (x2, y2) , 其中m>0, y1>0, y2<0.求证:直线MN必过x轴上的一定点.
解析:用参数m表示出点M、N的坐标, 进而表示出直线MN的方程, 转换为方程恒成立问题.
证明:直线MTA方程为:, 即,
直线NTB方程为:, 即.
分别与椭圆联立方程组, 同时考虑到x1≠-3, x2≠3,
当x1≠x2时, 直线MN方程为:.
令y=0, 解得:x=1.此时必过点D (1, 0) ;
当x1=x2时, 直线MN方程为:x=1, 与x轴交点为D (1, 0) .
所以直线MN必过x轴上的一定点D ( 1, 0) .
解析: 如果此题从直线的特殊位置着手找出点D, 再验证它的普遍性, 将减少运算量.
方法2:若x1=x2, 则由及m>0, 得,
此时直线MN的方程为x = 1, 过点D ( 1, 0) .
若x1≠x2, 则, 直线MD的斜率, 直线ND的斜率, 得kMD=kND, 所以直线MN过D点.
因此, 直线MN必过x轴上的点 ( 1, 0) .
意识三回归基础计算, 根据条件列出表达式求出定值
例4 (2011年江苏卷18) 在平面直角坐标系x Oy中, 如图3, 椭圆的顶点分别是M、N, 直线过坐标原点且交椭圆于P、A两点, 点P在第一象限, 点C在x轴上, PC垂直于x轴, 线段AC的延长线交椭圆于点B, 设直线PA的斜率为k, 对任意k>0, 求证:PA⊥PB.
解析:用k表示出P、A、B三点的坐标, 根据条件列出表达式直接求出定值 (kPA·kPB=-1) .
证明: 将方程y = kx代入
则P (μ, μk) , A (-μ, -μk) , 于是C (μ, 0) , 故直线AB的斜率为, 其方程为
, 代入椭圆方程得 (2+k2) x2-2μk2x-μ2 (3k2+2) =0 (*) 解得或x=-μ, 因此.
于是直线PB的斜率.
因此k1k=-1, 所以PA⊥PB.
意识四转化为解一元二次方程问题, 巧用韦达定理
仔细分析以后我们发现, 处理好这些问题的根本在于处理好与之相关的点. 最常见的是直线和曲线的交点, 这类问题应将直线方程和曲线方程联立方程组, 消元之后解方程, 这个方程通常是一元二次方程, 要知道二次函数, 一元二次方程, 一元二次不等式是高中数学的重点内容, 我们应该认真对待. 有时方程中含有参数, 如果用求根公式, 方程的解表达形式会非常繁杂, 不利于解题, 就像上述例3 一样, 这时我们应发掘题目中的已知条件, 比如是不是已知方程组的一解要求另一解, 如果是, 我们消元之后用韦达定理可快速完成.例如, 上述例3 中求M, N两点的坐标应该将直线方程和椭圆方程联立方程组后消元, 再使用韦达定理, 因为方程的一个根即A, B两点的横坐标已知, 且此题韦达定理选更好, 例4 中 ( * ) 方程的解不需要直接解出, 因为方程的一个解已知 ( 即: 点A的横坐标) 所以亦可以使用韦达定理求出方程的另一解 ( 即: 点B的横坐标) . 2014 年江苏高考数学第17 题体现了这个意识的重要性.
意识五设点
遇到一些位置关系特殊的点 (关于坐标原点对称, 关于坐标轴对称等等) 可尝试设出点的坐标, 利用相互间的关系整体代换, 不必具体求出点的坐标.例如, 上述例4中可以设P (x1, y1) , B (x2, y2) , 则x1>0, x2>0, x1≠x2, A (-x1, -y1) , C (x1, 0) .因为A、B、C三点共线, 所以.
接下来或者用点差法, 或者将y21, y22分别用x21, x22表示, 整理即可得k1k=-1, 所以PA⊥PB.
意识六降维
此外如果点和线段长结合在一起, 我们联立方程组后应结合距离转换将二维问题向一维问题转换从而减少运算量, 提高解题速度, 我们来看例5.
例5 (2012年江苏卷19改编) 已知椭圆, A、B是椭圆上位于x轴上方的两点, F1、F2分别为椭圆的左右焦点, 且直线AF1与直线BF2平行, , 求直线AF1的斜率.
解法1: 设直线AF1的斜率为k,
则直线AF1的方程为y=k (x+1)
解析:解法1耐心地解出了点A、B的坐标, 虽然将方程组消元后是个含参数的一元二次方程, 但用求根公式化简整理后形式相当简洁美观, 解法2运用了椭圆的第二定义进行了距离转换, 将一个涉及横纵坐标的二维问题转换成了仅与横坐标相关的一维问题, 相对于解法1而言减少了计算A、B两点的纵坐标, 而解法3用了距离转换之后还使用了设而不求, 减少了运算过程.
上述三种方法应属解决这个问题的基本方法, 虽然结合直线的参数方程知识 (解法4) 解此题是最快的, 但不具备借鉴意义, 请同学们欣赏即可.
解法4:直线 (l为参数)
将直线参数方程代入椭圆方程化简整理得: (cos2θ+2sin2θ) ·l2-2cosθ·l-1=0.
设点A, B'对应的参数分别是l1, l2, 则AF1=l1, B'F1=-l2, 因为所以, 所以.
2015 年江苏高考数学第18 题体现了这个意识的重要性.
如图6, 在平面直角坐标系x Oy中, 已知椭圆 (a>b>0) 的离心率为, 且右焦点F到左准线l的距离为3.
(1) 求椭圆的标准方程;
(2) 过F的直线与椭圆交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P、C若PC=2AB, 求直线AB的方程.
解析: 第二问中涉及两条线段长, 这两条线段长的处理均可采用降维的方法.
解: (1) 由题意得, c=1, 则b=1, 所以椭圆的标准方程为.
(2) 当AB⊥x轴时, , 又CP=3, 不合题意.
当AB斜率为0时, 线段AB的垂直平分线为y轴, 与左准线平行, 不合题意.
所以可设直线AB的方程为y=k (x-1) , A (x1, y1) , B (x2, y2) , C (x3, y3) , P (x4, y4) 将AB的方程代入椭圆方程, 得 (1+2k2) x2-4k2x+2k2-2=0,
整理后两边同时平方得: (1+3k2) 2=8k2 (1+k2) 2, 所以 (k2-1) 2=0, 解得k=±1.
所以直线AB的方程为y=x-1或y=-x+1.
“定点、定值”问题是解析几何中常见的考查形式, 本质上研究的是点的坐标和线段长问题的处理方法, 涉及到一元二次方程、两直线位置关系、直线和圆的位置关系、两圆位置关系、圆锥曲线等知识点.我们在教学过程中应首先让学生掌握好基本知识, 基本方法, 具备基本的运算能力, 不能一味地投机取巧.上述六个意识是在学生基础比较扎实的情况下引导学生自主探究得出的意识, 灵活运用这些意识可增强目标意识, 优化解题过程, 减少运算步骤, 提高运算正确率, 提升解题信心.
参考文献
一、 平面向量与解析几何的交汇
例1已知Ｏ为坐标原点，A（0，2），B（4，6），OM=t1OA+t2AB.
（1） 求使点M在第二或第三象限的条件;
（2） 求证：当t1=1时，不论t2为何实数，A，B，M三点共线.
（3） 若t1=a2,当OM⊥AB且△ABM的面积为12时，求a的值.
解（1）因为OM＝t1OA+t2AB＝t1(0,2)+t2(4,4)=(4t2,2t1+4t2),
所以当点M在第二或第三象限时，有4t2＜0,2t1+4t2≠0.
故所求条件为t2＜０且t1+2t2≠0.
点评首先将向量用坐标表示，再根据约束条件列出不等式.
（2） 当t1=1时，由（1）知OM=（4t2,4t2+2）,
又因为AB=OB-OA=(4,4),
AM=OM-OA=(4t2,4t2)=t2(4,4)=t2AB,
所以A,B,C三点共线.
点评将三点共线转化为向量共线处理.
（3） 当t1=a2时，OM=（4t2,4t2+2a2）.
又AB=(4,4),OM⊥AB,所以4t2×4+(4t2+2a2)×4=0,
所以t2=-14a2,故OM=(-a2,a2),
所以，点M到直线AB：x-y+2=0的距离
d=|-a2-a2+2|2=2|a2-1|.
因为S△ABM=12,|AB|=42,
所以12|AB|•d=12×42×2|a2-1|=12,解得a=±2.
点评从向量的坐标运算和向量的几何意义两个角度充分考察向量垂直的条件.
例2将圆x2+y2+2x-2y=0按向量a=(1,-1)平移得到圆O（O为原点），直线l与圆O相交于A，B两点，若在圆O上存在点C，使OC+OA+OB=0，且OC=λa，求直线l的方程.
解已知圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=2，
按a=(1,-1)平移得到⊙O：x2+y2=2.
因为OC=-(OA+OB),所以OC•AB=-(OA+OB)•（OB-OA）=OA2-OB2=0,所以OC⊥AB.
又因为OC=λa，且a=(1,-1),
所以kOC=-1,所以kl=kAB=1.
故可设l的方程为x-y+m=0，AB的中点为D.
由OC=-(OA+OB)=-2OD，则|OC|=2|OD|，又|OC|=2，
所以|OD|=22.
所以点O到直线
l的距离为22,
即|m|2=22,所以m=±1.所以,直线l的方程为x-y-1=0或x-y+1=0.
点评将向量条件转化为位置关系（垂直）和数量关系是解决本题的关键，再结合直线和圆的位置关系，利用解直角三角形知识和点线距离公式求出直线方程.
点拨归纳向量作为一种有向线段，本身就是直线上的一段，且向量的坐标可用其起点、终点的坐标来表示，因而向量与解析几何保持着一种天然的联系.以解析几何知识为载体，以向量为工具，以考查直线、圆等曲线性质和向量有关公式、性质及应用为目标的平面向量与解析几何的交汇试题，是近几年高考的一个热点.
二、 平面向量与平面几何的交汇
例3在△OAB的边OA，OB上分别取点M，N，使|OM|∶|OA|=1∶3，|ON|∶|OB|=1∶4，设线段AN与BM交于点P，记OA=a，OB=b，试用a，b表示向量OP.
解因为B,P,M共线,所以可记BP=sPM,
则OP=11+sOB+s1+sOM=11+sOB+s3(1+s)OA=11+sb+s3(1+s)a,①
同理，记AP=tPN,则OP=11+ta+t4(1+t)b.②
因为a,b不共线，所以由①②得11+t=s3(1+s),
11+s=t4(1+t),
解得s=92,t=83,
所以OP=311a+211b.
点评结合图形将点共线转化为向量共线，进而引入参数（如s，t）是常用技巧之一.平面向量基本定理是向量中的重要定理之一，利用该定理可得到关于参数的方程.
例4已知|OA|=1，|OB|=3，OA•OB=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设OC=mOA+nOB(m,n∈R)，则mn=.
解方法一（向量法）因为OA•OB=0,所以∠AOB=90°,所以∠BOC=60°.
于是OC•OA=|OC||OA|cos30°.又因为OC•OA=m|OA|2+nOA•OB=m,
所以m=32|OC|.
同理可得，3n=32|OC|,
两式相除得m3n=1,所以mn=3.
点评向量变形时要注意将向量的几何意义与平面几何性质相结合.
方法二（几何法）依题意知，点C在Rt△OAB的高OD上，所以|mOA||nOB|=tan60°，即mn=3.
点评深刻理解向量的平行四边形法则，并注意图形的特殊性，通过解直角三角形来解决问题.另外，本题也可以用坐标法（给OA，OB赋以坐标），这里不再赘述，有兴趣的同学可以自己研究一下.
点拨归纳平面向量与平面几何的交汇试题，既考查平面向量的概念与运算，也考查了平面几何知识，同时考查了向量知识在平面几何问题中的运用.
巩 固 练 习
1. 设i，j分别是x轴,y轴正方向上的单位向量，且AB=4i-2j，AC=7i+4j，AD=3i+6j，则四边形ABCD的面积是.
2. 如右图，在△OAB中，OC=14OA，OD=12OB，AD与BC交于点M，设OA=a，OB=b.
（1） 用a,b表示OM;
（2） 在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M，设OE=pOA，OF=qOB，求证：17p+37q=1.
3. 在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x-3y=4相切．
（1） 求圆O的方程；
（2） 圆O与x轴相交于A,B两点，圆内有一动点P，满足线段PA, PO, PB成等比数列，求PA•PB的取值范围.
参 考 答 案
1. 30
2. 设OM=ma+nb，则AM=OM-OA=(m-1)a+nb,AD=OD-OA=-a+12b.
因为点A,M,D共线,所以AM与AD共线，
所以m-1-1=n0.5,所以m+2n=1.①
CM=OM-OC=m-14a+nb，CB=OB-OC=-14a+b.
因为点C,M,B共线，所以CM与CB共线，
所以m-14-14=n1，所以4m+n=1.②
①②联立，得m=17,n=37，
所以OM=17a+37b.
(2) EM=17-pa+37b，EF=-pa+qb，
因为EF与EM共线，所以17q-pq=-37p，
即17p+37q=1.
3. （1） 依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x-3y=4的距离，即r=41+3=2,所以圆O的方程为x2+y2=4.
（2） 不妨设A(x1,0),B(x2,0),x1＜x2,由x2=4即得A(-2,0),B(2,0).
设P为(x,y)，由PA,PO,PB成等比数列，得(x+2)2+y2•(x-2)2+y2=x2+y2,即x2-y2=2.
而PA•PB=(-2-x,-y)•(2-x,-y)=x2-4+y2=2(y2-1).
由于点P在圆O内，故x2+y2＜4,x2-y2=2,由此得y2＜1.
所以,PA•PB的取值范围为［-2，0）.
BCD中，P是CD边上的一点，AP与BP分别平分DAB和CBA． 25．如图10，在A
（1）判断△APB是什么三角形，证明你的结论；（2）比较DP与PC的大小；
cm，（3）画出以AB为直径的O，交AD于点E，连结BE与AP交于点F，若AD
5AP8cm，求证△AEF∽△APB，并求tanAFE的值．
2007年
图10
25．如图12，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为A(2，0)B(8，0)，以AB为直径的半圆P与y轴交于点M，以AB为一边作正方形ABCD．（1）求C，M两点的坐标；
（2）连接CM，试判断直线CM是否与
P相切？说明你的理由；
（3）在x轴上是否存在一点Q，使得△QMC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2008年 25．如图11，P与O相交于A，B两点，P经过圆心O，点C是P的优弧AB上
任意一点（不与点A，B重合），连结AB，AC，BC，OC．（1）指出图中与ACO相等的一个角；
（2）当点C在P上什么位置时，直线AC与O相切？请说明理由；（3）当ACB60时，两圆半径有怎样的大小关系？说明你的理由．（注意：在试题卷上作答无效）．．．．．．．．．
图1
12009年
25．如图13-1，在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且AEEF，BE2.（1）求EC∶CF的值；
（2）延长EF交正方形外角平分线CP于点P（如图13-2），试判断AE与EP的大小关系，并说明理由；
（3）在图13-2的AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
P
FB E C B E C图13-1 图13-
22010年
25．如图11-①，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CECB.（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）连接AE，AE的延长线与BC的延长线交于点（如图11-②所示）.若ABAD2，求线段BC和EG的长.A D AB 图11-①
C B C 图11-② G
25．如图，已知CD是⊙O的直径，AC⊥CD，垂足为C，弦DE∥OA，直线AE、CD相交
于点B．
(1)求证：直线AB是⊙O的切线．
(2)当AC＝1，BE＝2，求tan∠OAC的值．
B
2012年
25．如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O．
（1）如图1，求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形；
（2）如图2，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点；
（3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG的长．
25、如图13，在ABC中，∠BAC=90，AB=AC，AB是O的直径，O交BC于点D，DEAC于点E，BE交O于点F，连接AF的延长线交DE于点P。
（1）求证：DE是O的切线。
（2）求tan∠ABE的值；
作业 第八编 立体几何 主备人 张灵芝 总第41期
班级 姓名 等第 §8.7 立体几何中的向量问题（Ⅰ）——平行与垂直
一、填空题
1.若平面、的法向量分别为n1=（2，3，5），n2=(-3,1,-4),则，的位置关系是（用“平行”，“垂直”，“相交但不垂直”填空）.2.已知AB=（2，4，5），CD=（3，x，y），若AB∥CD，则x= ,y=.3.已知A（1，0，0）、B（0，1，0）、C（0，0，1），则平面ABC的一个单位法向量是（写出一个即可）.4.已知AB=（1，5，-2），BC=（3，1，z），若AB⊥BC，BP=（x-1，y，-3），且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为.5.设点C（2a+1，a+1，2）在点P（2，0，0）、A（1，-3，2）、B（8，-1，4）确定的平面上，则a=.6.下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是.7.若A(0，2，1955)，B(1，-1，)，C(-2，1，)是平面内三点，设平面的法向量a=(x,y,z),则888x∶y∶z=.8.若|a|=17,b=(1,2,-2),c=(2,3,6),且a⊥b,a⊥c,则a=.二、解答题
9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为BB1、C1D1的中点，建立适当的坐标系，求平面AMN的法向量.81
10.如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是线段EF的中点.求证：（1）AM∥平面BDE；（2）AM⊥平面BDF.11.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点.（1）求证：平面AED⊥平面A1FD1；
北京第八中学 陈孟伟、黄炜、彭红、刘燕 【教学目标】(1)知识与技能
使学生明确学习立体几何的目的，初步了解立体几何研究的内容；使学生初步建立空间观念，会看空间图形的直观图；使学生直观了解空间中的点、直线、平面的位置关系，并初步了解符号语言；使学生了解平面几何与立体几何的联系与区别．(2)过程与方法
通过动手试验、互相讨论等环节，培养学生的自主学习、语言表达等能力，以及相互协作的团队精神；通过对具体情形的分析，归纳得出一般规律，培养学生的归纳能力．(3)情感态度价值观
激发学生的学习热情，在思维层次上，让学生逐步体验“偶然——必然，必然——自由”的过程，为培养学生良好的思维习惯奠定基础． 【教学重点】
初步了解立体几何研究的内容，培养空间想象能力． 【教学难点】
克服平面几何的干扰，了解立体几何研究问题的方法． 【教学方法】
教师启发讲授，学生观察模型、动手实验、分组讨论、探究学习． 【教学手段】
多媒体、立体模型等． 【教学过程】
一、创设情境，激发兴趣，引入课题
1、演示一组图片
从学生熟悉的央视新大楼、鸟巢、长城、祈年殿、金字塔、晶体结构、DNA模型引出立体几何，引起学生的兴趣，同时说明立体几何非常有用．
人们在建造房屋、修建水坝、研究晶体的结构、研究DNA的结构、在计算机上设计三维动画，研究高清晰度电视以及虚拟现实技术等都需要立体几何．我们需要进一步了解我们生活的空间．这就是我们学习立体几何的目的．立体几何研究的是立体图形，它们的形状、大小、相互位置，与立体图形有关的计算、画图与某些应用．还在几千年前，劳动人民在常年累月耕地，建河堤、运河、筑神庙、宫殿时积累了很多立体几何的知识，作为二十一世纪的中学生，我们应该更好地学习立体几何，为以后的学习打好基础．
2、思考两个问题
问题1 把一块豆腐切3刀，最多能切成几块？
问题2 用六根等长的火柴棍最多能拼成多少个正三角形？
鼓励学生用模型实验、积极发言，让学生更进一步的感受立体几何，明确学好立体几何的关键是培养空间想象能力．
二、归纳探索，形成正确认知 1．直观图
例1 我们看下面的两幅图，他们有什么区别？请你分别用书和笔表示出来．
上面这幅图说明了直观图一个原则。请学生总结立体图形直观图的虚实线使用和平面几何图形的不同之处．
原则一：当一个平面被另一个平面遮挡时，被遮挡部分的线段画成虚线或者不画． 在立体几何中我们通过虚实结合来表示立体图形的前后．
引申：想象一下能否出现这样的情形？为什么？
练习1(1)请同学们观察左边图形，说明是从哪个角度进行观察的．
(2)在右边图形中，如果从上面观察，那些线应该画成实线，哪些画成虚线，试着在上图修改．
学生动手操作．教师也可以根据学生的意见，利用《几何画板》等软件实时地进行演示，提高师生交互性和课堂的时效性．
在立体图形中，我们通常用希腊字母来表示平面，对于立方体这样的图形，我们通常按照顺时针或者逆时针的顺序依次将上下两个底面标上字母，然后将立方体记为练习2 正方体正确？如不正确，如何修改？
中，分别是
和
或者记为立方体的中点，连接
．
．右图是否
学生讨论，然后回答．根据学生的回答，教师利用软件实时地进行修改演示，让学生立刻形成正确的认识．
例2 观察正方体，回答下列问题：
(1)面(2)(3)与是什么图形？ 是多少度？平行吗？ 的大小．
是的平分线吗？
是的平分线吗？
(4)计算请学生回答，说明理由．利用模型和软件，实时进行演示．比如，可以将几何体旋转一个适当的位置，再让学生观察，形成正确的认识．请学生总结表示立体图形的直观图和平面几何图形的异同点．
答：(1)正方形． 原则二：平面图形的画法是真实的，而空间图形的直观图是不真实的．
如正方体的底面本是正方形，但在直观图中都画成平行四边形．又如圆柱的底面本是圆，但在直观图中都画成了椭圆．
学生讨论，然后回答，说明理由．利用软件，将几何体旋转到不同位置让学生观察．告诉学生不光要观察，还用进行想象和推理．
(2)，是的平分线，不是的平分线．
(3)不平行．他们分别在两个平面内，并且永远不可能相交．(4)因为为正三角形，所以
．
原则三：在研究空间图形时，不能依据对图形的直觉作出判断，而应依据正确的推理、计算作出结论．
再次归纳空间立体图形直观图的三个原则． 2．空间中的点、直线、平面位置关系
点、直线、平面是立体几何中的最简单的图形，研究它们的位置关系很有必要。我们将直线和平面看作点的集合，我们利用与集合类似的符号来表示它们之间的关系．
问题1 观察顶点A与其它棱所在直线的位置关系． 问题2 观察棱AB所在直线与其它棱所在直线的位置关系． 问题3 观察棱AB所在直线与某个面所在平面的位置关系． 问题4 观察正方体的面
所在平面与其它面所在平面的位置关系．
充分让学生发表意见，教师同时作必要的修正，并且将学生的表述用符号语言进行板书，如下：
点A与直线的位置关系：(1)点在直线上：直线与直线的位置关系：(1)平行：
；(2)点不在直线上：；(2)相交：
．
；(3)异面． 直线与平面直线与平面相交：平面与平面的位置关系：(1)直线在平面内：
． 的位置关系：(1)平行：
；(2)直线与平面平行：；(3)
；(2)相交：．
教师通过提问，引导学生进行总结，并指出研究这些关系是立体几何的重要内容．其中平行与垂直关系是日常生产生活中用得最多，所以它们是立体几何研究的重点． 3．平面几何与立体几何
提出疑问：平面几何中也研究了点和直线，那么能否在立体几何中使用平面几何中的定理呢？
问题1平面几何中，正方形的对角线互相垂直。图中的我们可以将面上使用。
与
垂直吗？
化成平面图形，这样我们发现平面几何的定理是可以在面
学生充分讨论，教师适当引导，使学生形成正确认识，同时交给学生研究立体几何的好方法——将立体图形中某个平面抽取出来，画出它平面图． 问题2平面几何中，垂直于同一直线的两直线平行。在上图中，那么和平行吗？，教师将平面几何的一个定理错误地推广到立体几何中，引发学生讨论． 问题3平面几何中，平行于同一直线的两直线平行。在上图中，那么和平行吗？，教师将平面几何的一个定理正确地推广到立体几何中，引发学生讨论．
教师引导学生进行小结：平面几何的定理在立体图形的某一个平面上完全成立，平面几何中有的定理在空间中不成立，而有的仍成立．
三、归纳总结，提高认识 教师给出提纲，引导学生对学习过程进行“盘点”，从而形成规律性的结论．通过提问，督促学生进行自我总结：
1、你通过本节课学到了什么知识？
2、你在学习本节课时用到了哪些方法？它们在你以后的学习中会有作用吗？
3、还有哪些地方不是很清楚，需要进一步学习? 使学生养成自觉总结、及时总结的好习惯。
四、课后作业 探究正方体的截面问题 问题1 假设我们用刀对正方体切一刀，将其一分为二，那么我们称切开的切面为正方体的截面，如图．很显然，当切的位置和方向不同时，得到的截面是不同的，那么我们都可能得到几边形的截面呢？
因为这个题目的答案从三角形到六边形都可能，一个学生很难将其回答完整，但通过学生的互相启发补充，相信可以得出完整的答案．
问题2 如果要求截面必须是四边形，那你都可以得到什么样的截面呢？
利用手中的正方体模型动手实践，学生可以逐渐总结出各种答案：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形等．在总结课上教师根据学生叙述，利用几何画板演示． 问题3 你得到的各种四边形有什么共同的特点(共性)？为什么？
因为有初中平面几何的基础，学生不难总结出以上得到的各种四边形都至少有一组对边平行．至于为什么会出现这种情况，学生就不得不认真观察正方体六个面之间不同的位置关系，即垂直和平行，并且可能会有个别程度较好的学生会逐渐总结出一些猜想，如：一个平面交两个平行平面的交线平行． 问题4 具体总结每种截面四边形得到的过程，你能说说为什么得到的截面就是这种四边形吗？你获得了哪些经验，有什么样的猜想？可将学生分组进行研究．
因为之前已经研究过截面为四边形时，必然会经过一组平行的平面(对面)，所以只需研究另外两个面是平行，还是垂直的情况．
(1)一般平行四边形：另两个面也必须平行(如图)，且没有任何一条交线与棱平行．
(2)矩形：另两个面既可以平行，也可以垂直，且有一对交线平行于棱，另两条不平行．（由此可以总结线面垂直关系）
(3)菱形：类似一般平行四边形，只不过还需邻边相等．
(4)正方形：类似矩形，只不过四条交线都和相应的棱平行．
(5)(等腰)梯形：另两个面需垂直，且没有交线与棱平行．(教师可以提出更深问题：可以得到直角梯形吗？)
问题5 刚才探究的过程体现了什么样的数学思想？依此类推，当截面是其他情况时，分别又该如何考虑？
学有余力，或有兴趣的学生继续思考． 【教学设计说明】
一、教学内容的分析
“几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科．人们通常采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质．三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求．”
“在立体几何初步部分，学生将先从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形；能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证．学生还将了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法．”
(1)立体几何初步的教学重点是帮助学生逐步形成空间想象能力．我们提供了丰富的实物模型和利用计算机软件呈现的空间几何体，帮助学生认识空间几何体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构，掌握在平面上表示空间图形的方法和技能．
(2)立体几何初步的教学应注意引导学生通过对实际模型的认识，学会将自然语言转化为图形语言和符号语言．我们尽力帮助学生在直观感知的基础上，认识空间中一般的点、线、面之间的位置关系；通过对图形的观察、实验和说理，使学生初步了解空间平行、垂直关系，从而为学生展现立体几何的全貌．
(3)因为学生在学习立体几何之前学习过平面几何，平面几何与立体几何研究的对象又都来自于日常空间的抽象，并且研究的对象有部分重叠，因此学生在学习立体几何过程中一定会受平面几何知识的影响．又因为平面几何中的结论不能原封不动地搬到立体几何中，有的在立体几何中还成立，而有的却不成立，但在立体图形的一个平面上，平面几何的所有结论又全都可用．因此，在立体几何起始课上，有必要向学生讲清这一点，为后续学习扫清障碍．
(4)我们在教学过程中恰当地使用现代信息技术展示空间图形，为理解和掌握图形几何性质(包括证明)的教学提供形象的支持，提高学生的几何直观能力．
二、教学目标的确定 这节课是立体几何入门的第一节课．它的功能是激发学生的学习热情、培养学生的学习兴趣，展现这门课的概貌，揭示它与平面几何的区别与联系、研究它的方法、学习它所需培养的能力，为后续的学习做好准备．
认识和探索几何图形及其性质的主要方法是：直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算．本节课作为立体几何起始课，主要是通过直观感知、操作确认的方式让学生认识人类生存的现实空间，培养和发展学生的空间想象能力．在后续的课程中，我们会采取思辩论证、度量计算等方法继续研究空间中的几何图形．
三、教学方法和教学手段的选择
在学习这门课之前，学生系统学习了平面几何的知识，对平面中几何图形的位置和数量关系研究较多，在小学和初中阶段只是比较直观地认识了一些简单的几何体，并没有更深入地对空间中几何图形的位置和数量关系进行推理和计算．
学生在学习过程中将会遇到一些问题：如对学习立体几何的兴趣不足、不能很好地使用直观图来表示立体图形、将平面几何的结论不加研究地类推到立体几何中等等．
根据这节课的教学目标和内容特点，以及学生的实际情况，在教学方法和手段上采取了如下设计：
1、由于是起始课，因此多采取直观的演示幻灯片、使用书本、铅笔、立方体等模型，直观感知、操作确认，避免过度抽象，思辩论证、度量计算等手段在后续课程中再采用；
2、鼓励学生通过动手实验、独立思考、相互讨论等手段得出结论，鼓励学生表达自己的见解，教师只做必要的引导和总结；
3、从多种具体情形出发，引导学生归纳出一般规律，培养学生的归纳总结能力；
4、采用模型或软件，使学生的想法能够即时得到实现，所想即所见，快速形成正确认知，提高教学实效性。比如直观图中虚实线的使用，教师根据学生的表述，随即在软件中进行修改，学生马上看见自己的想法变成了图形，也立刻知道了自己的想法是否正确，随即进行修正。
四、教学过程的设计
学习一门课之前，学生都会问：学习它有什么用途？因此，这节课首先为说明立体几何有何用途，以及激发学生的学习兴趣，演示一组古今中外的著名建筑图片．又为说明只学习习近平面几何不足以对付日常生产生活中的需要，设计一组小问题，说明学习立体几何的必要性．
直观图是用来表示立体图形的，它是学习立体几何，进行交流和表达的重要工具，这节课的后续部分也要用到。但学生对直观图的观察和使用会有一些偏差，因此接着引导学生学习观察、使用立体图形的直观图，设计了一组问题，从不同侧面来说明直观图中虚实线的不同使用，显示出不同的立体图形，直观图与平面图有所不同等等，从而告诉学生画直观图的原则，以及如何观察直观图，进而想象出立体图形．
立体几何研究的内容是什么？这也是起始课上学生想问的一个问题．接着利用最简单的正方体模型，教师带领学生归纳出空间中点、直线、平面之间的位置关系，以此告诉学生这些位置关系是立体几何研究的主要内容．同时，让学生初步了解立体几何中的符号语言，为后续学习作准备．
经验告诉我们，学生在学习立体几何的过程中，受平面几何的影响较大，常常将平面几何中的结论不加分别地用到立体几何中来．为了让学生形成正确的认识，使其在后续的学习中更加顺利，我们安排了一组问题，说明了平面几何与立体几何的联系与区别．
最后，为了让学生复习直观图的观察与使用，更加深入了解空间中点线面的位置关系，我们设计了一组探究活动，由于时间关系，将此探究活动放到课外．
2010-12-08 人教网 关闭 打印 推荐给朋友 大
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【上一篇】例谈运用集合思想解决高中数学问题
类型一:几何综合题
1.概念分析
几何型综合题是指以几何知识为主或以几何变换为主的一类综合题, 涉及知识主要包括几何的定义、公理、定理及几何变换等内容.
2.解题策略
解决几何型综合题的关键是把代数知识与几何图形的性质及计算与证明有机融合起来, 进行分析、推理, 从而达到解决问题的目的.概括来讲就是采用从特殊到一般的解题方法.
3.例题展示
(2015·湖州) 已知在△ABC中, AB边上的动点D由A向B运动 (与A, B不重合) , 点E与点D同时出发, 由点C沿BC的延长线方向运动 (E不与C重合) , 连接DE交AC于点F, 点H是线段AF上一点.
(1) 初步尝试
如图1, 若△ABC是等边三角形, DH⊥AC, 且点D, E的运动速度相等.求证:HF=AH+CF.
小王同学发现可以由以下两种思路解决此问题:
思路一:过点D作DG∥BC, 交AC于点G, 先证GH=AH, 再证GF=CF, 从而证得结论成立;
思路二:过点E作EM⊥AC, 交AC的延长线于点M, 先证CM=AH, 再证HF=MF, 从而证得结论成立.
请你任选一种思路, 完整地书写本小题的证明过程. (2) 类比探究
如图2, 若在△ABC中, ∠ABC=90°, ∠ADH=∠BAC=30°, 且点D, E的运动速度之比是的值.
(3) 延伸拓展
如图3, 若在△ABC中, AB=AC, ∠ADH=∠BAC=36°, 记, 且点D, E运动速度相等, 试用含m的代数式表示. (直接写出结果, 不必写解答过程)
4.例题分析
这道题在知识点的考查上不仅涉及基本的几何知识, 还涉及代数的计算问题, 在思想的考查上还涉及了类比和转化的思想.这样一来, 此题不仅考查了学生掌握知识的系统性, 还考查了学生不同方面的能力.在 (1) 中, 根据不同的思路证明相应的三角形全等即可;在 (2) 中, 类比 (1) 中的思路作出辅助线, 再证明相应的三角形全等即可得出结论;在 (3) 中, 就比较麻烦了, 需要作相应的辅助线:过点D作DG∥BC, 交AC于点G, 先证出DG=DH=AH, 再证明△DGH∽△ABC, 得出, 证明△DFG∽△EFC, 得出, 即可得出我们想要的结果.
类型二:代数和几何型综合题
1.概念分析
代数和几何型综合题是指以代数知识与几何知识综合运用为主, 包括坐标系中的图形变换等的一类综合题, 涉及知识以函数与圆、方程, 函数与三角形、四边形等相关知识为主.
2.解题策略
几何图形形象直观, 解题过程的可操作性强, 因此解决这类题目时可以采用数形结合的思想. 概括来讲就是根据题干建立适当联系.
3.例题展示
(2015·衡阳) 如图, 四边形OABC是边长为4的正方形, 点P为OA边上任意一点 (与点O, A不重合) , 连接CP, 过点P作PM⊥CP交AB于点D, 且PM=CP, 过点M作MN∥OA, 交BO于点N, 连接ND, BM, 设OP=t.
(1) 求点M的坐标 (用含t的代数式表示) ;
(2) 试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变? 并说明理由;
(3) 当t为何值时, 四边形BNDM的面积最小?
结语
纵观以上分析, 我们发现要想掌握好几何综合性问题, 不仅要将课本基本知识熟记于心, 还要掌握一定的思想方法, 比如:分类讨论思想、函数思想、方程思想、数形结合思想和转化思想等, 在掌握这些内容后, 还要把握“运动”的要义, 不管是点的运动、线的运动、面的运动, 都要熟悉, 只有这样才能在考试中取得好成绩.
参考文献
[1]王义兵.浅谈初中数学中函数与几何的综合应用问题[J].中学数学, 2012, 24.
[2]李长军, 徐毅.解析几何学习中应注意的几个问题[J].数学通报, 2005, 08.
关键词 初中数学 综合法与分析法 几何证明
中图分类号：G633.63 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2014）10-0022-02
上个世纪，西方著名科技史家李约瑟提出了的著名“李约瑟难题”——“为什么现代科技不是诞生在曾经在各个方面引领世界的中国”，而伟大的科学家爱因斯坦仿佛是为了回答这一著名“难题”而提出“爱因斯坦论断”——“希腊哲学家发明形式逻辑体系（在欧几里得几何学中），以及（在文艺复兴时期）发现通过系统实验可能找出因果关系。在我看来，中国的贤哲没有走上这两步……”
时至今日，也许是被“爱因斯坦论断”所深深地刺痛，也许是中国教育界对几何演绎推理对于学生逻辑思维能力的教育价值有了深刻的认识，在欧美主要发达国家已经放弃初中几何演绎推理教学，而只需要学生能用矢量法解决一些基本的几何论证时，我国在新课标中依然将几何推理证明作为初中数学教与学的一个重要内容。
新课标虽然对几何证明的内容进行了调整、难度要求降低、证明技巧淡化，但对几何证明教学的最基本能力要求其实并没有降低，课标中已明确指出：在“图形与几何”的教学中，应帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力。虽然新的课程理念要求，推理过程不能过繁，一切从简，但证明的过程要求做到事实准确、道理严密、证明过程完整。
几何证明作为初中数学教与学的一个重点和难点，其难点在于如何运用众多的定义、定理等寻找证明思路，从而提高学生分析问题、严密逻辑思维推理、语言组织表达等能力。而教师在平时教学中常常遇到学生不知从何下手，分析思维模糊不清，书写证明张冠李戴，欠缺严密逻辑推理等，更有甚者是毫无头绪。
初中学生的几何证明学习在内容上要经历从“直观”到“论证”的转轨。在思维方式上需要解决从“形象思维”到“逻辑思维”的过渡，而学生开始学习几何证明，没有适应论证数理的答题模式、语言表达方面的特别要求，从而难以适应从直观到论证之间思维要求上的跳跃。因此，为学生构建从内容到形式，从题设到结论的“桥梁”就显得非常必要了。
为此，我构建了一种统一综合法与分析法，让学生易于沟通题设和结论，便于分析问题、书写解题过程、拓展解题思路又易于被学生接受和掌握的教学方法，并坚持在实际教学中运用，取得了良好的效果。请看示例：
例1 如图，OA=OB，C、D分别是OA，OB上的两点，且OC=OD，连结AD、BC交于E，求证：OE平分∠AOB.
分析：
OE平分∠AOB
↑
∠1=∠2
↑ ↑
△OCE≌△ODE △OAE≌△OBE
↑OC=OD，OE=OE ↑OA=OB，OE=OE
CE=DE AE=BE
↑ ↑
△ACE≌△BDE
↑AC=BD，∠3=∠4，
∠A=∠B
↑
△OAD≌△△OBC
↑OA=OB，∠AOB=∠BOA，OD=OC
（条件具备，即得证）
该题是学生初学几何证明问题中较难的一道利用全等三角形解决的问题，分析过程中的“↑”表示“要证明…，只需证明…”，“↑”符号右侧的文字表示已经具备的条件，而分析过程中的“︷”表示实现该目标有多条路径可以实现。显然，这种利用图示在黑板上板书出来的过程，不仅能显示解题过程的来龙去脉，锻炼了学生分析问题、解决问题的能力，还能让学生顺着箭头的方向，准确地书写出正确的解题过程，培养学生严谨的治学态度，且较好地契合了用分析法思考、用综合法书写的几何教学原则。分析过程中显示出的一题多解更是培养学生思维多样性的利器。
例2 如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD。求证：DC是⊙O的切线。
分析：
DC是⊙O的切线
↑连接OD
∠ODC=90€？
↑∠OBC=90€？←BC是⊙O的切线
∠ODC=∠OBC
↑
△ODC≌△OBC
↑OD=OB，OC=OC
∠COD=∠COB
↑∠COD=∠ODA，∠COB=∠OAD←OC∥AD
∠ODA=∠OAD
↑
OD=OA（条件具备，即得证）
题中的“↑”显示的是解题的思维主线，而“←”则是由题设能够推出的初步结论，最后都象涓涓细流汇入到解题的主体思路中来。从此题可以看出，要准确、清晰解答几何证明问题，除了掌握良好的思维方法，基本的辅助线的掌握显然也是必不可少的。
当然，除了思维方法的训练，在几何教与学中注重几何语言的提炼、格式的规范、图形的标识、定理的积累、题型的拓展和图形的变换等等也都是必不可少的。endprint
摘 要 初中几何演绎推理对于学生思维能力的锻炼得到我国广大教育工作者的认可，但只有为学生构建从内容到形式，从题设到结论的“桥梁”，使学生掌握了正确的思维和书写方式，理解几何证明的逻辑规律，几何证明的魅力才会是令人难以忘怀的，几何证明锻炼人的逻辑推理能力和教会人思维规则意识的教育价值才是有意义的。
关键词 初中数学 综合法与分析法 几何证明
中图分类号：G633.63 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2014）10-0022-02
上个世纪，西方著名科技史家李约瑟提出了的著名“李约瑟难题”——“为什么现代科技不是诞生在曾经在各个方面引领世界的中国”，而伟大的科学家爱因斯坦仿佛是为了回答这一著名“难题”而提出“爱因斯坦论断”——“希腊哲学家发明形式逻辑体系（在欧几里得几何学中），以及（在文艺复兴时期）发现通过系统实验可能找出因果关系。在我看来，中国的贤哲没有走上这两步……”
时至今日，也许是被“爱因斯坦论断”所深深地刺痛，也许是中国教育界对几何演绎推理对于学生逻辑思维能力的教育价值有了深刻的认识，在欧美主要发达国家已经放弃初中几何演绎推理教学，而只需要学生能用矢量法解决一些基本的几何论证时，我国在新课标中依然将几何推理证明作为初中数学教与学的一个重要内容。
新课标虽然对几何证明的内容进行了调整、难度要求降低、证明技巧淡化，但对几何证明教学的最基本能力要求其实并没有降低，课标中已明确指出：在“图形与几何”的教学中，应帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力。虽然新的课程理念要求，推理过程不能过繁，一切从简，但证明的过程要求做到事实准确、道理严密、证明过程完整。
几何证明作为初中数学教与学的一个重点和难点，其难点在于如何运用众多的定义、定理等寻找证明思路，从而提高学生分析问题、严密逻辑思维推理、语言组织表达等能力。而教师在平时教学中常常遇到学生不知从何下手，分析思维模糊不清，书写证明张冠李戴，欠缺严密逻辑推理等，更有甚者是毫无头绪。
初中学生的几何证明学习在内容上要经历从“直观”到“论证”的转轨。在思维方式上需要解决从“形象思维”到“逻辑思维”的过渡，而学生开始学习几何证明，没有适应论证数理的答题模式、语言表达方面的特别要求，从而难以适应从直观到论证之间思维要求上的跳跃。因此，为学生构建从内容到形式，从题设到结论的“桥梁”就显得非常必要了。
为此，我构建了一种统一综合法与分析法，让学生易于沟通题设和结论，便于分析问题、书写解题过程、拓展解题思路又易于被学生接受和掌握的教学方法，并坚持在实际教学中运用，取得了良好的效果。请看示例：
例1 如图，OA=OB，C、D分别是OA，OB上的两点，且OC=OD，连结AD、BC交于E，求证：OE平分∠AOB.
分析：
OE平分∠AOB
↑
∠1=∠2
↑ ↑
△OCE≌△ODE △OAE≌△OBE
↑OC=OD，OE=OE ↑OA=OB，OE=OE
CE=DE AE=BE
↑ ↑
△ACE≌△BDE
↑AC=BD，∠3=∠4，
∠A=∠B
↑
△OAD≌△△OBC
↑OA=OB，∠AOB=∠BOA，OD=OC
（条件具备，即得证）
该题是学生初学几何证明问题中较难的一道利用全等三角形解决的问题，分析过程中的“↑”表示“要证明…，只需证明…”，“↑”符号右侧的文字表示已经具备的条件，而分析过程中的“︷”表示实现该目标有多条路径可以实现。显然，这种利用图示在黑板上板书出来的过程，不仅能显示解题过程的来龙去脉，锻炼了学生分析问题、解决问题的能力，还能让学生顺着箭头的方向，准确地书写出正确的解题过程，培养学生严谨的治学态度，且较好地契合了用分析法思考、用综合法书写的几何教学原则。分析过程中显示出的一题多解更是培养学生思维多样性的利器。
例2 如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD。求证：DC是⊙O的切线。
分析：
DC是⊙O的切线
↑连接OD
∠ODC=90€？
↑∠OBC=90€？←BC是⊙O的切线
∠ODC=∠OBC
↑
△ODC≌△OBC
↑OD=OB，OC=OC
∠COD=∠COB
↑∠COD=∠ODA，∠COB=∠OAD←OC∥AD
∠ODA=∠OAD
↑
OD=OA（条件具备，即得证）
题中的“↑”显示的是解题的思维主线，而“←”则是由题设能够推出的初步结论，最后都象涓涓细流汇入到解题的主体思路中来。从此题可以看出，要准确、清晰解答几何证明问题，除了掌握良好的思维方法，基本的辅助线的掌握显然也是必不可少的。
当然，除了思维方法的训练，在几何教与学中注重几何语言的提炼、格式的规范、图形的标识、定理的积累、题型的拓展和图形的变换等等也都是必不可少的。endprint
摘 要 初中几何演绎推理对于学生思维能力的锻炼得到我国广大教育工作者的认可，但只有为学生构建从内容到形式，从题设到结论的“桥梁”，使学生掌握了正确的思维和书写方式，理解几何证明的逻辑规律，几何证明的魅力才会是令人难以忘怀的，几何证明锻炼人的逻辑推理能力和教会人思维规则意识的教育价值才是有意义的。
关键词 初中数学 综合法与分析法 几何证明
中图分类号：G633.63 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2014）10-0022-02
上个世纪，西方著名科技史家李约瑟提出了的著名“李约瑟难题”——“为什么现代科技不是诞生在曾经在各个方面引领世界的中国”，而伟大的科学家爱因斯坦仿佛是为了回答这一著名“难题”而提出“爱因斯坦论断”——“希腊哲学家发明形式逻辑体系（在欧几里得几何学中），以及（在文艺复兴时期）发现通过系统实验可能找出因果关系。在我看来，中国的贤哲没有走上这两步……”
时至今日，也许是被“爱因斯坦论断”所深深地刺痛，也许是中国教育界对几何演绎推理对于学生逻辑思维能力的教育价值有了深刻的认识，在欧美主要发达国家已经放弃初中几何演绎推理教学，而只需要学生能用矢量法解决一些基本的几何论证时，我国在新课标中依然将几何推理证明作为初中数学教与学的一个重要内容。
新课标虽然对几何证明的内容进行了调整、难度要求降低、证明技巧淡化，但对几何证明教学的最基本能力要求其实并没有降低，课标中已明确指出：在“图形与几何”的教学中，应帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力。虽然新的课程理念要求，推理过程不能过繁，一切从简，但证明的过程要求做到事实准确、道理严密、证明过程完整。
几何证明作为初中数学教与学的一个重点和难点，其难点在于如何运用众多的定义、定理等寻找证明思路，从而提高学生分析问题、严密逻辑思维推理、语言组织表达等能力。而教师在平时教学中常常遇到学生不知从何下手，分析思维模糊不清，书写证明张冠李戴，欠缺严密逻辑推理等，更有甚者是毫无头绪。
初中学生的几何证明学习在内容上要经历从“直观”到“论证”的转轨。在思维方式上需要解决从“形象思维”到“逻辑思维”的过渡，而学生开始学习几何证明，没有适应论证数理的答题模式、语言表达方面的特别要求，从而难以适应从直观到论证之间思维要求上的跳跃。因此，为学生构建从内容到形式，从题设到结论的“桥梁”就显得非常必要了。
为此，我构建了一种统一综合法与分析法，让学生易于沟通题设和结论，便于分析问题、书写解题过程、拓展解题思路又易于被学生接受和掌握的教学方法，并坚持在实际教学中运用，取得了良好的效果。请看示例：
例1 如图，OA=OB，C、D分别是OA，OB上的两点，且OC=OD，连结AD、BC交于E，求证：OE平分∠AOB.
分析：
OE平分∠AOB
↑
∠1=∠2
↑ ↑
△OCE≌△ODE △OAE≌△OBE
↑OC=OD，OE=OE ↑OA=OB，OE=OE
CE=DE AE=BE
↑ ↑
△ACE≌△BDE
↑AC=BD，∠3=∠4，
∠A=∠B
↑
△OAD≌△△OBC
↑OA=OB，∠AOB=∠BOA，OD=OC
（条件具备，即得证）
该题是学生初学几何证明问题中较难的一道利用全等三角形解决的问题，分析过程中的“↑”表示“要证明…，只需证明…”，“↑”符号右侧的文字表示已经具备的条件，而分析过程中的“︷”表示实现该目标有多条路径可以实现。显然，这种利用图示在黑板上板书出来的过程，不仅能显示解题过程的来龙去脉，锻炼了学生分析问题、解决问题的能力，还能让学生顺着箭头的方向，准确地书写出正确的解题过程，培养学生严谨的治学态度，且较好地契合了用分析法思考、用综合法书写的几何教学原则。分析过程中显示出的一题多解更是培养学生思维多样性的利器。
例2 如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD。求证：DC是⊙O的切线。
分析：
DC是⊙O的切线
↑连接OD
∠ODC=90€？
↑∠OBC=90€？←BC是⊙O的切线
∠ODC=∠OBC
↑
△ODC≌△OBC
↑OD=OB，OC=OC
∠COD=∠COB
↑∠COD=∠ODA，∠COB=∠OAD←OC∥AD
∠ODA=∠OAD
↑
OD=OA（条件具备，即得证）
题中的“↑”显示的是解题的思维主线，而“←”则是由题设能够推出的初步结论，最后都象涓涓细流汇入到解题的主体思路中来。从此题可以看出，要准确、清晰解答几何证明问题，除了掌握良好的思维方法，基本的辅助线的掌握显然也是必不可少的。
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