大学微积分教案

大学微积分教案（通用9篇）

大学微积分教案 篇1

课型：新授课

一．教学目标

1．.会利用微积分基本定理求函数的积分.2．通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。

二．温故知新：

1.微积分基本定理 2.定积分的简单性质

3.导数公式

三．探究导航

探究1 例1．计算下列定积分：（1）2021311dx；

（2）(2x2)dx。

1xx例2．求下列定积分：

（1）(3x4x)dx

（2）2sin202xdx 2分析：利用定积分的性质及微积分基本定理求定积分时，有时需先化简，再积分！

探究二：0sinxdx,sinxdx,sinxdx。

022由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论  计算定积分的一般步骤：

(1)把被积函数能化简的先化简，不能化简的变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数与常数的和或差；

(2)利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和与差； (3)分别利用求导公式找到F(x)使得F′(x)＝f(x)； (4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值； (5)计算所求定积分的值．

四．课堂达标练习

A

组

1．(exex)dx=（）

01121（A）e+

（B）2e

（C）

（D）e-

eee2．(3x2k)dx=10，则k=____________ 023．计算定积分：（1）(42x)(4x)dx

（2）02221x22x3dx

x3（3）

41x(1x)dx

（4）(x21x)2dx

B组

1．计算定积分：

（1）edx

（2）4cos2xdx

012x6

2．设m是正整数，试证下列等式：（1）sinmxdx0

（2）

3．已知f（x）是一次函数，其图象过点（3，4）且cos2mxdx

10f(x)dx1求f（x）的解析式

五．课后作业

已知f（x）=axbxc且f（1）=2，f(0)0，f(x)dx4

大学微积分教案 篇2

本人走进美国大学生课堂也研读了美国一般大学里使用的微积分教材, 发现美国大学里一般采用James steward的calculu s教材比较多, 国内采用同济大学数学教研室编写的高等数学上下册的居多;而James steward的calculus编写有以下几个鲜明的特色。

1 该教材的起点低, 入门快, 淡化了技巧, 强化了原理

例如:在讲到级数部分的“绝对收敛级数必然收敛”这个定理的证明时, 就只用到了正项级数的比较判别法, 证明过程如下。

比较上面两个证明过程, 思路虽然是相同的, 但是同济本更具运算的技巧性, 这是精彩的地方, 但也是把学生注意力分散到个别技巧而忽略了思想方法的地方。我觉得, James steward的calculus更注重思想方法, 而非个别技巧。高等数学区别于初等数学的地方就是思想方法。这倒让我想起了国内小学奥数里经常讲的鸡兔同笼的问题的解法。说是鸡兔同笼, 有10个头, 30只脚, 问几只兔子几只鸡。通常国内的解法就是用假设法。假设都按鸡算, 应该有20只脚, 可实际是30只脚, 多出来的10只脚是每只兔子少算两只脚的结果, 因此, 多出10只脚, 就应该有5只兔子, 因此也就有5只鸡。而国外的讲法就是二元一次线性方程组, 有了方程组的思想, 就成批地解决问题了, 而国内教材太注重个别技巧了, 这些个别技巧有些不具有普遍性, 换了问题就得另辟蹊径, 所以个别技巧是不能过分强化的, 而要把重点放在数学的思想性上, 我想这也是国内教育舆论界封杀奥数的原因之一吧。

2 该教材在微积分基本公式的讲解上从运动方程的角度给出了更详实更容易理解的物理意义

例如:微积分基本公式:其中f (x) 是[a, b]区间的连续函数。, 其中v (t) 表示速度, [a, b]表示时间段, S (t) 表示位移矢量, 即t时刻运动物体的位移。所以微积分基本公式的物理意义就是以速度v (t) 运动的物体从时刻a运动到时刻b的总位移 (向量) 。而则代表以速度v (t) 运动的物体从时刻a运动到时刻b的总路程 (标量) 。

James Steward的calculus教材上的这种对牛顿-莱布尼兹公式的物理解释较之同济大学版的高等数学及教材上用曲边梯形面积来解释就更容易接受。因为当被积函数f (x) 在[a, b]区间的取值有正有负时, 从几何上很难解释通的。

3 James Steward的calculus教材在细节上更尊重知识产权

多年讲授高等数学, 除了牛顿-莱布尼兹公式这样划时代的关系到微积分学的创立的著名结论之外, 我已经习惯不追究某些定理的发明人是谁, 更多的是注重该定理的数学上的推理证明和该定理的应用。然而看了James Steward的calculus教材后发现, 无论是什么样的定理, 几乎所有定理都会把该定理的发明人列在该定理之前。例如:在讲到多元函数的混合导数时, 有这样一个定理:假设二元函数f (x, y) 在包含点 (a, b) 的一个区域D内有定义, 且函数的两个混合二阶偏导函数fxy, fyx在D内连续, 则fxy (a, b) =fyx (a, b) ([1]P.763) 。这本书的作者详细给出了上面的定理是法国数学家Alexis Clairaut (1713～1765) 给出的。而像这样的小的细节, 国内的教材大都不再追究定理的来源, 这就会形成一种思维的定势, 学生只接受定理, 而忘记了追根溯源, 探究发现者当初的发现过程, 也就失去了给学习者一种探究的机会。往往在美国教师的课堂教学中, 遇到这种情形, 老师会给学生留下无限的想象空间。教师可能会布置这样的作业:查阅有关文献, 探究Alexis Clairaut (1713～1765) 是如何发现这个定理, 如何证明的?当时的应用背景是什么 (时代背景是什么) ?我相信, 授课的教授也未必知道答案, 但是这里的教授怕的是教学中没有思想, 没有启发, 中国的教授往往怕的是没有学问, 怕学生知道自己并不知道答案。

4 James Steward的教材与现代计算机技术紧密联系, 与时俱进, 在每章教学内容的后面都增加了Laboratory project

例如:在讲授了第九章向量和空间解析几何, 就有利用绘图软件在计算机上研究函数族f (x, y) = (ax2+by2) e-x 2-y2。问图像的形状是如何依赖于数值a, b的? ([1]P.687)

5 James Steward的教材给学生提供了Focus on problem solving, 开发学生探究解决实际问题的能力

例如:一个单位立方体内装入了9个同样大小的球。其中一个球心在这个立方体的中心, 且这9个球彼此相切, 除去中心的那个球之外, 其余8个球都和该立方体的三个面相切, 问球的半径是多少。

6 James Steward的教材虽然门槛低, 但是加速度大, 腾飞快。要求学生在掌握了数学原理之后很快地应用原理解决甚至是历史上非常有名的数学问题

例如:在讲授了泰勒级数之后, James Steward的教材给出了非常经典的应用。让学生应用泰勒级数比较爱因斯坦的相对论和牛顿的经典力学的结论。在爱因斯坦的相对论中, 以速度v运动的物体的质量此处m0是物体静止时的质量, c是光速。物体的动能K=mc2-m0 c2。用泰勒级数证明当v相对于光速c很小时, 动能的公式恰好就是牛顿给出的经典物理中的动能公式:。推导如下。

这个例子, 一方面说明了泰勒级数的应用, 更重要的是它把两个著名天才物理学家的思想借助泰勒级数或者说函数的二项式展开式紧密的结合起来, 让后人为两位天才的异曲同工叹为观止, 爱因斯坦的结论的极限情形就是牛顿的结论。从这个例子, 我们看到了爱因斯坦对牛顿理论的继承和发展。

本人研读James Steward的calculus教材, 认识虽然还相对肤浅, 但已能体验出作者的良苦用心。在这些方面, 我们国内的教材值得借鉴。

参考文献

[1]Calculus, concepts&contexts, James Steward, SV single variable, 4E (fouthedition) :687.

[2]Calculus, concepts&contexts, James Steward, MV multivariable, 4E (fouthedition)

[3]同济大学数学教研室.高等数学 (上册) (第6版) [M].高等教育出版社, 2007, 4.

大学生学习微积分的意义 篇3

摘 要：文章对微积分进行了概述，重点是让大学生意识到微积分强大的功能和微积分在日常生活中的重要地位，从而培养大学生学习微积分的兴趣。

关键词：微积分；基础；学习意义

中图分类号：O172-4 文献标识码：A 文章编号：1672-8882（2015）04-068-01

微积分理论实用性非常强大，它是研究各种科学的工具，是学生终身学习最重要的数学基础。通过微积分可以描述运动的事物，描述一种变化的过程，可以说，微积分的创立极大地推动了生活的进步。大学生应当努力学好微积分，从而树立科学的世界观，用变化的观点观察世界。

一、微积分概述

微分学的诞生具有划时代的意义，是数学史上的分水岭和转折点。十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，尽管二人在研究背景、方法和形式上存在差异、各有特色，但二者的功绩是相当的[1]。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨则是从几何学来考虑。微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去许多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分的非凡威力。

微积分是研究极限、微分学、积分学和无穷级数的一个数学分支，并成为了现代大学教育的重要组成部分。历史上，微积分曾经指无穷小的计算。更本质的讲，微积分学是一门研究变化的科学，如几何学是研究空间的科学一样[2]。

二、大学生为什么要学微积分

或许你对微积分不是那么有兴趣，或许你来这里，是想学一些跟微积分无直接相关的知识，关于学习微积分，你的心中一定有很多疑惑。但是，问“为什么要学微积分”，其实就好像问“为什么要学数学”是一样的意思。怎么说呢？因为微积分是现代数学的发展起点，主修科学相关领域的学生就必须打好这个数学基础，用下面两个主要的理由来说明。

数学是科学的语言！想想看，如果你到了一个陌生的国家却不会说当地的语言。当然，你可以完全不学或只学会需要用到的几个字就能舒服地在那儿生活好几年。可是，这样会限制你的生活，限制你对所处环境的了解，当然也会限制你的自我发展。在你不用心去学习当地语言前，你将永远无法一窥这个环境的全貌，许多应该属于你的机会可能在你浑然不知的状况下悄悄溜走。或许你只学习一小部分的数学，就能满足获得某个领域知识的需是求；但没有好好学数学，你所获得部分还是有所局限的，因为你将无法了解更广更深的部份。书到用时方恨少，数学亦然！

数学训练逻辑思考！这点十分重要，逻辑思考的能力不管它是不是与生俱来的，但很确定的一点是，它是可以被训练的，方法之一就是透过学习数学。数学解题会教你如何接近问题、学到如何抽丝剥茧地看出问题的关键、从不同的角度来思考问题等等。

三、学习微积分的意义

（一）进一步学习的基础课程

在大学学习中，微积分是进一步学习其它学科的基础，数学本身就是其它学科发展的理论基础，尤其是天文学、力学、光学、电学、热学等自然学科。微积分成了物理学的基本语言，而且，许多物理学问题要依靠微积分来寻求解答。微积分还对天文学和天体力学的发展起到了奠定基础的作用，牛顿应用微积分学及微分方程从万有引力定律导出了开普勒行星运动三大定律。其它学科诸如化学、生物学、地理学、现代信息技术等这些学科同样离不开微积分的使用，可以说这些学科的发展很大程度上是由于微积分的运用，这些学科运用微积分的方法推导演绎出各种新的公式、定理等，因此学习微积分是进一步学习的基础课程。

（二）实用性

在现实生活中，微积分本身就存在于生活的各项事物中，只有不断深入挖掘，才能透过现象见本质，将抽象的数学付诸于具体事物中[3]。

1.排队等待中的极限夹逼定理

在数列极限的夹逼定理中，画出3条与轴线垂直的直线，分别代表3个垂直于平面的平面，从左到右将其标记为Yn，a，Zn，并将a假设为固定形式，Yn，Zn都向a无限接近，而此时在Yn与Zn之间随意放入平面Xn，此值都是无限向a趋近，这就是夹逼定理的形象描述。根据此描述，联系我们生活中的实例，例如平时在排队买票的过程中，很多人排成一列长队，且后面的人越来越多，那么夹在其中的人就不必考虑多长时间能排到自己，就会被后面的人“挟持”到购票窗口，也就是夹逼定理的直观感受[3]。

2.微积分在经济中的应用

微积分在经济生活中的应用也十分广泛，例如经济学中的边际问题，是指每一个自变量的变动导致因变量变动多少的问题，所以边际函数就是对一个经济函数 的因變量求导，得出 ，其中在某一点的导数值就是该点的边际值[4]。

例1：已知某工厂某种产品的收益 （元）与销售量 （吨）的函数关系是 ，求销售60吨该产品时的边际收益，并说明其经济含义。

解：根据题意得，销售这种产品 吨的边际函数为 ，因而，销售60吨该产品的边际收益是 ，其经济学含义是：当该产品的销售量为60吨时，销售量再增加一吨所增加的总收益为188元。这个问题看起来简单，但在实际生活中的应用意义很大。

从以上的例题解决的实际问题中，我们可以看到：微积分在我们现实生活中具有重要意义，利用好微积分能帮助我们得到问题的最优化解决。我们应当好好学习微积分这一有用的数学工具，并把它用于实际当中。

（三）提升大学生学习思维

学生也可应用微积分原理来迅速掌握其精华知识，要点要素，事半而功倍。比如文学，无论中国文学还是世界文学，古典文学还是现代文学。你都可以按时段、流派、区域、风格、题材进行微分。当你用一张纸或几张纸将它们微分完毕，并标以各自说明短语后，你对这一门学科就大体把握了。再比如学习历史，历史这门课最好的学习方法就是画一条横线表示时间的起点和终点。然后在这时间横线上用小竖线进行微分。把各时期的标志事件、重大变革、著名集团、领军人物一一标明。再把每个部分的一主题、二分法、三因素、四要点总结一遍。浓缩成两张纸，这门历史课内容就基本熟悉了。掌握这种学习方法，虽然不能永远牢牢记住这些知识，但能让你遇到任何学习上的困难时，都能用此法迅速拿下它。

大学如何学好高等数学微积分 篇4

下面是对极限求法的一个归纳总结，以此说明归纳总结的重要性，同时也希望能对学习者起到一个抛砖引玉的作用。

求数列或函数极限，是高等数学里的一类基础而重要的问题。常见的求法归纳起来有如下几种：

1.先估计数列或函数的极限值，而后利用定义进行验证，这是求极限的最基本的方法，可用于求一些简单的极限。

2.利用有限个函数的和、差、积、商以及复合函数求极限的运算法则求极限，可以使一些复杂的极限计算问题得到简化。

3.利用无穷小的性质求极限。这主要包括：

①有限个无穷小的和(差、积)仍是无穷小。

②有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。

③非零无穷小与无穷大互为倒数。

④等价无穷小代换。当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替。正因为等价无穷小的这一性质，所以在求极限时，可以简化计算，减少运算量，快速地解决问题，起到事半功倍的效果。要用好此性质，当然需要适当掌握一些等价的无穷小量。

4.两个重要极限及其推广形式 (这里f(x)为一自变量同一变化过程中的无穷小量)。

5.利用准则I(两边夹法则)和准则Ⅱ(单调有界数列必有极限)求极限。

6.利用洛必达法则求0/0型，(无穷)/(无穷)型，0，无穷，无穷-无穷，0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方型函数极限。

不定积分 教案示例 篇5

目的要求

1．理解原函数的定义，知道原函数的性质，会求简单函数的原函数．

2．理解不定积分的概念，掌握不定积分的线性性质，会用定义求简单函数的不定积分．

内容分析

1．不定积分是一元函数微积分学的基本内容，本章教材是在学生已掌握求导数方法的基础上，研究求原函数或不定积分的．故学好“导数与微分”是学好不定积分的前提，教学时，要与“导数与微分”一章的有关内容进行对照．

2．本节教学重点是原函数和不定积分的概念教学，难点是原函数的求法．突破难点的关键是紧紧扣住原函数的定义，逆用求导公式，实现认知结构的理顺．由于逆运算概念学生并不陌生，因此教学中要充分利用思维定势的积极因素并引入教学．另外，本节切勿提高教学难度，因为随着后续学习的深入，积分方法多，无需直接用定义求不定积分．

3．本节教学要始终抓住一条主线：“求导数与求原函数或不定积分(在不计所加任意常数时)互为逆运算”．强调求不定积分时，不要漏写任意常数C；另外，要向学生说明：求一个函数的不定积分，允许结果在形式上不同，但结果的导数应相等．指出这点是有益的，一方面使学生会检查得到的不定积分是否正确，另一方面消除学生由于所得不定积分形式的不同而产生的疑问．

4．根据本节知识的抽象性，教学中应充分安排学生进行观察、联想、类比、讨论等课堂活动，使之参与到概念的发现过程，体会知识的形成过程．本着这一原则，本节课宜采用引导发现法进行教学．

教学过程

1．创设情境，引入新课(1)引例(见解本章头)．

用多媒体显示引例图象，提出问题，激起学生求知欲望，揭示并板书课题．(2)介绍微积分产生的时代背景，弘扬科学的学习态度和钻研精神． 2．尝试探索，建立新知

(1)提出问题：已知某个函数的导数，如何求这个函数？(2)尝试练习：求满足下列条件的函数F(x)． ①F′(x)＝3x2 ②F′(x)＝x3

(3)解决问题：上述练习是完成与求导数相反的逆运算．因此，解决问题的方法仍为求导数．

(4)形成定义：详见课本“原函数”的定义． 对于原函数的定义，教师应强调下列三点：

第一，F(x)与f(x)是定义在同一区间I上，这里的区间I可以是闭区间或半闭区间或开区间．

第二，F(x)是f(x)的一个原函数，不是所有的原函数．

第三，求原函数(在不计所加常数C的情况下)与求导数互为逆运算．(5)简单应用：

例1 求下列函数的一个原函数． ①f(x)＝3x2 ②f(x)＝x3

小结解法：根据定义，求函数f(x)的原函数，就是要求一个函数F(x)，使它的导数F′(x)等于f(x)．

(6)讨论问题：已知函数f(x)的一个原函数F(x)，那么函数f(x)是否还有其他原函数？举例说明．(略)(7)归纳性质：

一般地，原函数有下面的性质：

设F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数，对于任意常数C，F(x)＋C也是f(x)的原函数，并且f(x)在区间I上任何一个原函数都可以表示成F(x)＋C的形式．

教师强调：一个函数虽然有无穷多个原函数，但是我们只要求出其中的一个就行，其他的原函数都可以由这个原函数再加上一个常数得到．这样就给出了求已知函数的所有原函数的方法．

3．类比分析，拓广知识

根据原函数的性质，类比引入不定积分的概念．

(1)讲解不定积分的有关概念：不定积分、积分号、被积函数、积分变量、被积式、积分常数等(详见课本)．

对于不定积分的定义，教师说明如下：

第一，函数f(x)的不定积分f(x)dx等于函数f(x)的所有原函数F(x)

＋C．常数C不要漏写，F(x)只能表示一个原函数，这也正是原函数和

不定积分的区别；不定积分记号f(x)dx由积分记号“”和被积式

“f(x)dx”构成，书写时不要漏掉dx．

第二，在不定积分f(x)dx中，积分变量是x；在不定积分uxdx中，积分变量是x，被积分函数u是关于x的指数函数；在udu中，xx

积分变量是u，被积函数ux是关于u的幂函数．

(2)推导不定积分的性质．

性质1：(f(x)dx)＝f(x)

证明：设函数f(x)的一个原函数为F(x)，即F′(x)＝f(x)．

由不定积分的定义得f(x)dx＝F(x)＋C．∴(f(x)dx)′＝(F(x)＋C)′＝F′(x)＝f(x)∴(f(x)dx)′＝f(x)性质2：F′(x)dx＝F(x)＋C

证明(略)上述两个性质表明：求导数与求不定积分(在不计所加的任意常数时)互为逆运算．因此，求不定积分时，常常利用导数与不定积分的这种互逆关系，验证所求的不定积分是否正确．

4．例题评价，反馈训练

例2 如果在区间(a，b)内，恒有f′(x)＝g′(x)，则一定有

[B]

A．f(x)＝g(x)B．f(x)＝g(x)＋C C．[f(x)dx]＝[g(x)dx]

D．f(x)＝Cg(x)例3 求下列不定积分．

(1)xdx(2)cosxdx

小结解法：

(1)求不定积分时，都要在结果上写上任意常数C．本章凡是没有特别说明时，所加的C均表示任意常数．

(2)求一个函数的不定积分，由于方法不同，它的结果在形式上往往也不同．这种形式上不同的结果，可以用求它们的导数的方法，看其导数是否相同，如果导数相同，就说明结果是正确的．

课堂练习：教科书练习第1、3、4题．

例4 已知f(x)是二次函数，且f(x)dx＝2x3－x2＋9x＋C，求f(x)的解析式．

解：由不定积分的性质得

f(x)＝(2x3－x2＋9x＋C)′＝6x2－2x＋9 5．归纳总结，巩固提高

(1)一条主线：求导数与求不定积分(在不计所加任意常数时)互为逆运算．(2)二组概念：原函数的定义和性质，不定积分的定义和性质．

(3)三个注意：一是注意一个函数的原函数有无穷多个，它们之间仅相差一个常数；二是注意求不定积分时，不要漏写任意常数C；三是注意求一个函数的不定积分，允许结果在形式上不同，但其结果的导数应相等．

布置作业

1．课本习题4．1第3、4题．

2．设函数y＝f(x)的图象为a，且在曲线a上任一点M(x，y)处的切线的斜率k(x)＝x3＋1，并且曲线过点P(1，2)，求函数y＝f(x)的解析式．

13(答案：f(x)＝x4＋x＋．)

443．已知函数f(x)＝(2ax＋b)dx，且f(0)＝f(2)＝0，方程f(x)＝x

有两个相等实根．

(1)求f(x)的解析式．

(2)是否存在实数m、n(m＜n)，使f(x)的定义域和值域分别是[m，n]和[2m，2n]．

大学微积分教案 篇6

1.教学目标

（1）知识与技能：定积分的概念、几何意义及性质

（2）过程与方法：在定积分概念形成的过程中，培养学生的抽象概括能力和探索提升能力。

（3）情感态度与价值观：让学生了解定积分概念形成的背景，培养学生探究数学的兴趣.2.教学重点/难点

【教学重点】：

理解定积分的概念及其几何意义，定积分的性质 【教学难点】：

对定积分概念形成过程的理解

3.教学用具

多媒体

4.标签

1.5.3定积分的概念

教学过程

课堂小结

论大学数学积分方法的现实应用 篇7

一、积分方法概论

1. 积分的含义

积分是用来研究函数的微分及相关概念和应用的一个数学分支学科。这一概念是为了计算某一变量的瞬时变化值而提出的, 即数学积分研究的是变量在函数中的应用;如果站在物理学的角度看积分, 则是为了解决速度和加速度的问题。积分这一概念的关键点在于“变”, 因此积分对现实生活才具有了应用价值。

2. 积分思想

积分应用的极限的思想。积分首先是一种数学的思想, 我们常说的微分法是无线细分的思想, 而积分则是无限求和的思想。上述无限即为极限的思想, 它是微积分理论的基础思想, 这种思想是站在运动的角度即“变”的角度来看待问题和解决问题。这种思想的关键点在于用微元和无限接近, 将一个变量拆分为无限多个小的单元来看待, 就可以把它看待为常量来处理, 最终将常量叠加起来就解决了变量的问题。

积分的这种极限思想是生活中的基本原理之一, 在伟大科学家们的分析和拓展之后, 积分的极限思想更好的为人类服务。牛顿就是利用积分的思想研究了运动的过程, 为后人研究物理问题提供了极大的理论支持。有了微积分原理, 才有了历史上的几次工业革命, 才有了先进的生产力和现代社会。动车、高铁、航天飞机、宇宙飞船等心高科技的交通工具都是在积分思想的指导下得以实现的。因此, 积分在人类社会的发展过程中做出了巨大的贡献。

二、积分方法的发展和应用

1. 积分方法的发展历程

微积分的酝酿主要发生在17世纪早期。该时期自然科学的发展特别是天文学和力学上遇到数学困难, 因此积分的理论在这时开始受到科学界的广泛关注。科学家们在研究解析几何的同时为积分学问题的研究提供了代数理论。卡迪尔、费马等人的研究成果都为积分的诞生奠定了基础。经过近半个世纪的酝酿, 牛顿和莱布尼兹完成了微积分的创立。牛顿在剑桥大学学习的期间先后发明了“正流数术”即微分法和“反流数术”即积分法, 他的《流数简论》这篇论文是历史上第一篇有关微积分的系统性文献。牛顿的著名著作《自然哲学的数学原理》中首次公开为积分学说, 在该著作中用微积分原理推导了万有引力定律、开普勒的行星运动三大定律。基本是同时期内莱布尼兹也发表了他的微积分学论文, 是世界上第一篇关于微积分的正式文献。18世纪的欧拉对微分和积分学进行了完善, 发表了《微分学》和《积分学》两部里程碑式的巨著, 为积分理论的发展和应用做出了伟大的贡献。

2. 积分方法的应用

实际上积分的发展离不开它的实际应用。它在力学、天文学、工程学中得到了广泛应用, 后来随着科学技术的发展, 积分还被应用到了生物学、化学以及经济学中。因为万物都是由微小的、不断运动的粒子组成, 因此数学中引入变量这一概念后即积分的出现, 用数学来描述万物的运动得以实现。积分的应用在其理论建立之初主要有以下几方面: 第一类是研究运动, 即求运动的即时速度;第二类应用是求解曲线的切线; 第三类是曲线全长, 曲线围成图形的面积、曲面所围成的体积以及不对称物体的中心位置等;第四类应用时求解某一函数的最值的问题。第五类应用是求解体积很大的物体之间的引力问题。积分学的应用极大地推动了数学、自然学科如天文学、力学、物理学和物理学的快速发展, 尤其是随着计算机技术的出现和应用, 这种推动力更加凸显出来。

三、积分方法的现实应用

1. 积分方法在数学中的应用

积分法是数学中的一个重要的分支, 它在高等数学中用来研究函数的微分、积分及其相关概念, 是数学中的一个重要部分。积分方法来源于实践, 有着很强的实用性, 用积分法研究一些数学原理, 以便更好的将数学这一重要工具用于生产实践中服务于社会。

2. 积分方法在经济学中的应用

积分法在经济学上的应用, 主要是利用该方法解决边际需求和边际供给的问题。在现实生活中很多统计问题是没有办法精确化的, 但是微积分方法中极限思想的引入使得一些函数可以解决这样的问题。利用微积分方法引申出的弹性函数, 可以很好地解决经济学中行情不稳定的事物的价格走势等问题。某一变量随时间变化所引发的无规则变化, 因变量的变化规律很难找出, 解决这一困难的唯一方法就是积分法, 即利用积分法引申的弹性函数来预测事物发展规律。

3. 积分方法在物理学中的应用

积分法是解决物理难题的重要工具。将极限这一原理应用到物体的匀变速运动中, 则可以方便的研究出物体的位移问题和瞬时速度问题; 极限这一思想在研究变力做功的问题以及匀速圆周运动中向心加速度的问题上做出极大的贡献。积分方法很好的解决了物理学中“速度”这一难题, 而“速度”又带动了运动定律和天体运动规律的发展, 最终推动了物理学的跨越式发展。

4. 积分方法在生活中的应用

积分方法在生活上、学习上都有其独特的、最优的价值。现实生活中有很多实例可以提现积分法的作用, 积分方法的思想是极限, 对于一些不规则图形的面积计算积分法是唯一的方法。因此积分法常用在制图设计中, 一些复杂工程的不规则表面的设计就要用到积分法; 积分方法还可以应用到园艺建设中, 该方法计算不规则面积的优点可以准确计算园艺土地面积、植物的体积, 这对做好园艺建设有重要意义; 积分方法在管理上也起到了重要作用, 在企业管理中积分法可以用来预测模型, 从而制定更加合理的管理方案, 有利于企业更加健康地发展。

四、结语

积分法是一个重要的数学原理, 它与人类生活息息相关, 源于生活也用于生活, 它的诞生和应用时人类智慧的体现。积分法的发现和发展对人类社会的发展和进步有着重要意义。积分法的研究工作是以实际问题为出发点, 将抽象的现实问题转化为数学问题, 整个积分方法的研究和应用对社会进步有着决定性作用。因此, 我们不仅要学习现有的积分方法的原理和应用, 还要在前人研究成果的基础上进一步的研究和探寻积分法的更深层次的应用, 以便更好地服务现代社会。

摘要：数学这门学科最早来源于生活, 因此数学原理与生活密切相关, 数学原理基本上都能在现实生活中得到应用。积分方法是数学中的一个重要的分支学科, 它是一种无限接近的数学思想, 该方法在生活中有着广泛的应用前景。简要地介绍了积分方法在生活中的实际应用, 充分展现出数学原理的多用途性。

关键词：数学,积分,现实应用

参考文献

[1]焦云航.以开放的学习态度学习微积分[J].新课程, 2010, (10) :56-59.

论大学数学积分方法的现实应用 篇8

数学积分现实应用

数学这一学科源于生活，应用与生活，而积分这一分支更是与生活密不可分，息息相关。积分方法在我们生活中无处不在，它的发现和发展为我们的生活提供了很多便利。最早积分的产生就是为了解决这些实际问题，如求物体运动的路程、变力做功多少、曲线围成的面积和曲面围成的体积等。积分的进一步发展后推动了现代力学、工程学及天文学等学科的发展，对于科学的发展和变革有重要意义。

一、积分方法概论

1.积分的含义

积分是用来研究函数的微分及相关概念和应用的一个数学分支学科。这一概念是为了计算某一变量的瞬时变化值而提出的，即数学积分研究的是变量在函数中的应用；如果站在物理学的角度看积分，则是为了解决速度和加速度的问题。积分这一概念的关键点在于“变”，因此积分对现实生活才具有了应用价值。

2.积分思想

积分应用的极限的思想。积分首先是一种数学的思想，我们常说的微分法是无线细分的思想，而积分则是无限求和的思想。上述无限即为极限的思想，它是微积分理论的基础思想，这种思想是站在运动的角度即“变”的角度来看待问题和解决问题。这种思想的关键点在于用微元和无限接近，将一个变量拆分为无限多个小的单元来看待，就可以把它看待为常量来处理，最终将常量叠加起来就解决了变量的问题。

积分的这种极限思想是生活中的基本原理之一，在伟大科学家们的分析和拓展之后，积分的极限思想更好的为人类服务。牛顿就是利用积分的思想研究了运动的过程，为后人研究物理问题提供了极大的理论支持。有了微积分原理，才有了历史上的几次工业革命，才有了先进的生产力和现代社会。动车、高铁、航天飞机、宇宙飞船等心高科技的交通工具都是在积分思想的指导下得以实现的。因此，积分在人类社会的发展过程中做出了巨大的贡献。

二、积分方法的发展和应用

1.积分方法的发展历程

微积分的酝酿主要发生在17世纪早期。该时期自然科学的发展特别是天文学和力学上遇到数学困难，因此积分的理论在这时开始受到科学界的广泛关注。科学家们在研究解析几何的同时为积分学问题的研究提供了代数理论。卡迪尔、费马等人的研究成果都为积分的诞生奠定了基础。经过近半个世纪的酝酿，牛顿和莱布尼兹完成了微积分的创立。牛顿在剑桥大学学习的期间先后发明了“正流数术”即微分法和“反流数术”即积分法，他的《流数简论》这篇论文是历史上第一篇有关微积分的系统性文献。牛顿的著名著作《自然哲学的数学原理》中首次公开为积分学说，在该著作中用微积分原理推导了万有引力定律、开普勒的行星运动三大定律。基本是同时期内莱布尼兹也发表了他的微积分学论文，是世界上第一篇关于微积分的正式文献。18世纪的欧拉对微分和积分学进行了完善，发表了《微分学》和《积分学》两部里程碑式的巨著，为积分理论的发展和应用做出了伟大的贡献。

2.积分方法的应用

实际上积分的发展离不开它的实际应用。它在力学、天文学、工程学中得到了广泛应用，后来随着科学技术的发展，积分还被应用到了生物学、化学以及经济学中。因为万物都是由微小的、不断运动的粒子组成，因此数学中引入变量这一概念后即积分的出现，用数学来描述万物的运动得以实现。积分的应用在其理论建立之初主要有以下几方面：第一类是研究运动，即求运动的即时速度；第二类应用是求解曲线的切线；第三类是曲线全长，曲线围成图形的面积、曲面所围成的体积以及不对称物体的中心位置等；第四类应用时求解某一函数的最值的问题。第五类应用是求解体积很大的物体之间的引力问题。积分学的应用极大地推动了数学、自然学科如天文学、力学、物理学和物理学的快速发展，尤其是随着计算机技术的出现和应用，这种推动力更加凸显出来。

三、积分方法的现实应用

1.积分方法在数学中的应用

积分法是数学中的一个重要的分支，它在高等数学中用来研究函数的微分、积分及其相关概念，是数学中的一个重要部分。积分方法来源于实践，有着很强的实用性，用积分法研究一些数学原理，以便更好的将数学这一重要工具用于生产实践中服务于社会。

2.积分方法在经济学中的应用

积分法在经济学上的应用，主要是利用该方法解决边际需求和边际供给的问题。在现实生活中很多统计问题是没有办法精确化的，但是微积分方法中极限思想的引入使得一些函数可以解决这样的问题。利用微积分方法引申出的弹性函数，可以很好地解决经济学中行情不稳定的事物的价格走势等问题。某一变量随时间变化所引发的无规则变化，因变量的变化规律很难找出，解决这一困难的唯一方法就是积分法，即利用积分法引申的弹性函数来预测事物发展规律。

3.积分方法在物理学中的应用

积分法是解决物理难题的重要工具。将极限这一原理应用到物体的匀变速运动中，则可以方便的研究出物体的位移问题和瞬时速度问题；极限这一思想在研究变力做功的问题以及匀速圆周运动中向心加速度的问题上做出极大的贡献。积分方法很好的解决了物理学中“速度”这一难题，而“速度”又带动了运动定律和天体运动规律的发展，最终推动了物理学的跨越式发展。

4.积分方法在生活中的应用

积分方法在生活上、学习上都有其独特的、最优的价值。现实生活中有很多实例可以提现积分法的作用，积分方法的思想是极限，对于一些不规则图形的面积计算积分法是唯一的方法。因此积分法常用在制图设计中，一些复杂工程的不规则表面的设计就要用到积分法；积分方法还可以应用到园艺建设中，该方法计算不规则面积的优点可以准确计算园艺土地面积、植物的体积，这对做好园艺建设有重要意义；积分方法在管理上也起到了重要作用，在企业管理中积分法可以用来预测模型，从而制定更加合理的管理方案，有利于企业更加健康地发展。

四、结语

积分法是一个重要的数学原理，它与人类生活息息相关，源于生活也用于生活，它的诞生和应用时人类智慧的体现。积分法的发现和发展对人类社会的发展和进步有着重要意义。积分法的研究工作是以实际问题为出发点，将抽象的现实问题转化为数学问题，整个积分方法的研究和应用对社会进步有着决定性作用。因此，我们不仅要学习现有的积分方法的原理和应用，還要在前人研究成果的基础上进一步的研究和探寻积分法的更深层次的应用，以便更好地服务现代社会。

参考文献：

[1]焦云航.以开放的学习态度学习微积分[J].新课程，2010，（10）：56-59.

大学微积分教案 篇9

教学目的与要求：

1． 解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。

2． 解广义积分的概念并会计算广义积分。

3．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。

5.1定积分概念 一． 定积分的定义

不考虑上述二例的几何意义，下面从数学的角度来定义定积分 定义 设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点，把区间[a,b]分成n个小区间，记xixixi1,i1,2,......n,max{x1,x2,......,xn}在[xi1,xi]上任意取一点i，作和式：

1)f()x.......(iii1n如果无论[a,b]作怎样分割，也无论i在[xi1,xi]怎样选取，只要0有f(i)xiI（I为一个确定的常数），则称极限I是i1nf(x)在[a,b]上的定积分，简称积分，记做

baf(x)dx即I=f(x)dx其

ab

第-35 –页 精品教学网 .net 中f(x)为被积函数，f(x)dx为积分表达式，a为积分下限，b为积分上限，x称为积分变量，[a,b]称为积分区间。注

1． 定积分还可以用语言定义 2由此定义，以上二例的结果可以表示为A=

baf(x)dx和S=v(t)dt

T1T23有定义知道ba与函数f(x)以及区间[a,b]f(x)dx表示一个具体的书，有关，而与积分变量x无关，即

baf(x)dx=f(u)du=f(t)dt

aabb4定义中的0不能用n代替

n5如果Lim0f()x存在，则它就是f(x)在[a,b]上的定积分，那iii1么f(x)必须在[a,b]上满足什么条件f(x)在[a,b]上才可积分呢？

经典反例：f(x)1]中的有理点1,x为[0，在[0，1]上不可积。

1]中的无理点0，x为[0，可见函数f(x)在什么情况下可积分并不是一件容易的事情。以下给出两个充分条件。

定理1 设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。定理2 设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3 设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

6几何意义

第-36 –页 精品教学网 .net 当f(x)0时，baf(x)dx表示曲边梯形的面积；当f(x) 0时，baf(x)dx表示曲边梯形的面积的负值；一般地，若f(x)在[a,b]上有正有负，则0baf(x)dx表示曲边梯形面积的代数和。

[例1]计算1exdx

解：显然f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积，现将[0，1]分成n个等分，分点为xi取ixi作和式：

ni,i0,1,2,.....n，xi1/n，1/nnLim0i1111e[(e)n1]f(i)xiLimeLimeLime1100n0nni1i1en1nninin1n1n所以：10exdx=e-1 7．按照定义

5．2定积分的性质积分中值定理 有定积分的定义知，baf(x)dx是当ab时无意义，但为了计算及应用的方便，特作两个规定： 1． a=b时，2． a>b时，babf(x)dx=0 f(x)dx=-f(x)dx

baa 性质1：和差的定积分等于它的定积分的和差，即

ba[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx

aabb

性质2：常数因子可以外提（可以推广到n个）

第-37 –页 精品教学网 .net bakf(x)dxkf(x)dx

ab性质3：无论a,b,c的位置如何，有

baf(x)dxf(x)dxf(x)dx

accb性质4：f(x)1则baf(x)dxba

性质5：若f(x)g(x)则性质6：baf(x)dxg(x)dx,ab

abbaf(x)dxf(x)dx

ab性质7：设在a,b，mfxM，则

bmbaafxdxMba

性质8：（积分中值定理）若f(x)在[a,b]上连续，则[a,b]上至少存 一点，使下式成立，例1．利用定积分几何意义，求定积分值上式表示介于x面积

例

2、（估计积分值）证明 2103 证： baf(x)dx(ba)f()

011x2dx

4之间0, x1, y0, y1x2dx2xx21 29912xxx在0,1 上最大值为，最小值为2

44222∴ 212xx231 第-38 –页 精品教学网 .net ∴ 230112xx21 25．3定积分的计算方法 一．变上限积分函数的导数

设函数f(x)在[a,b]上连续，x为[a,b]上任一点，显然，f(x)在[a,b]上连续，从而可积，定积分为

xaf(x)dx由于积分变量与积分上限相同，为防止混淆，修改为(x)变上限积分的函数。

xaf(t)dt（ab）称(x)是定理1：设f(x)在[a,b]上连续，则(x)导，且导数为(x)证明省略

xaf(t)dt在[a,b]上可

dx(f(t)dt)f(x)dxa定理2：如果函数f(x)在[a,b]上连续，则积分上限的函数(x)f(t)dt是f(x)在[a,b]上的一个原函数。

ax注意：

1定理说明了连续函数的原函数一定存在 2此定理指出了定积分与原函数的关系

二、基本定理 牛顿—莱伯尼兹公式

定理 如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则

。(1)证 已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，又根据前面的定理知道，积分上限的函数

第-39 –页 精品教学网 .net

也是f(x)的一个原函数。于是这两个原函数之差为某个常数，即

。(2)在上式中令x = a，得。又由的定义式及上节定积分的补充规定知，因此，C = F(a)。以F(a)代入(2)式中的C，以代入(2)式中的，可得，在上式中令x = b，就得到所要证明的公式(1)。由积分性质知，(1)式对a>b的情形同样成立。为方便起见，以后把F(b)– F(a)记成。

公式(1)叫做牛顿(Newton)-莱步尼兹(Leibniz)公式，它给定积分提供了一种有效而简便的计算方法，也称为微积分基本公式。

例1 计算定积分。

解。

例2 计算。

解。

第-40 –页 精品教学网 .net 例3 计算。

解。

例4 计算正弦曲线y = sinx在[0, ]上与x轴所围成的平面图形的面积。

解。

例5 求

解 易知这是一个型的未定式，我们利用洛必达法则来计算。

因此。

第-41 –页 精品教学网 .net 例

6、limcosxx01tlntdtx4limcosxlncosxsinx 3x04x1sinxlncosx limcosxlimlim2x0x0x04xx

11sinx limx042xcosx85．4定积分的换元法

定理：设（1）f(x)在[a,b]上连续，（2）函数x(t)在[.]上严格单调，且有连续导数，（3）t时，a(t)b 且()a,()b则有换元公式：

baf(x)dxf((t))(t)dt…….(1)注

1． 用换元法时，当用x(t)将积分变量x换成t求出原函数后，t不用回代，只要积分上下限作相应的变化即可。2． x(t)必须严格单调 3． 可以大于

4． 从左往右看，是不定积分的第二换元法；从右往左看，可以认为是第一换元法。

例

1、02x22xx2dx02x21-(x1)2dx

法一

设 x-1sin t

第-42 –页 精品教学网 .net π2π2π(1sin t)2322cos t dt20(1sint)dtπ cost2 设 法二 x2sin2t

π20原式

8 例2．设fsin4 t dt83！π3π 4！22x在,Fxx0上连续，且

x2tftdt, 证明：若f(x)为偶函数，则F(x)也是偶函数。证：

Fxx0x2tftdttux2uftdtx0

x0x2tftdt

Fx

例3． 奇偶函数在对称区间积分性质，周期函数积分性质(1)fx在[-a,a]连续，a0 x为偶数，则-axaTa当f当f(2)af(x)dx20f(x)dxaa

为奇函数，则

T-af(x)dx0

f(x)dx0f(x)dx，fx以T为周期

说明在任何长度为T的区间上的积分值是相等的。

第-43 –页 精品教学网 .net 例

4、-11x(1x2001)(ex-e-x)dx4 e原式 2011x(ex-e-x)dx

x-x

2xd(e-e)

0

2x(exex)10

例

5、4 eπcos xcos x2dxdx π222cosx2sinx1sinx2π200π 1dsin x2arctansinx21sinxπ20π 2 例

6、设f解： 设x为连续函数，且f(x)sinxπ0π0f(x)dx 求fx

则fxsinxA f(x)dxA

两边积分

 π0f(x)dx(sinxA)dx

0πAcosx0Ax0

Aππ2 1π

第-44 –页 精品教学网 .net ∴ f(x)sinx2 1π5.5定积分的分部积分法

定理：若u(x),v(x)在[a,b]上有连续导数，则

bauvdxuv|bauvdx

ab证明：因为(uv)uvuv，则有uv(uv)uv，两边取定积分。有babuvdxuv|bauvdx也可以写成：udvuv|avdu

aaabbb例1．解：10xexdx

110010xxexdxxdexxex|10edxe(e1)1 e例2．解：sin(lnx)dx

1ee1esin(lnx)dxxsin(lnx)|xdsin(lnx)esin1xcos(lnx)dx1111xee1e=esin1cos(lnx)dxesin1xcos(lnx)|1xsin(lnx)dx

11xe=esin1ecos11esin(lnx)dx

1e1=[esin1ecos11] sin(lnx)dx12例

3、设 fx1xln tdt1tx0，1求fxf

x1x1ln tlnt解：fxfdt1xdt 11t1tx

第-45 –页 精品教学网 .net

1lnx1 x2 1x11xxln例4． 设f(x)在[a,b]连

(a,b)可导，且f(x)0，F(x)x1f(t)dt证明在(a,b)内，有F(x)0 axa证：F(x)(xa)f(x)af(t)dt(xa)2x

(xa)f(x)(xa)f()(xa)2xaaxb

f(x)f()

f(x)0f(x)在(a,b)单调减，x

f()f(x)故 F(x)0

5．6定积分的近似计算 5．7广义积分 一 无穷限的广义积分

定义1 设函数f(x)在区间[a , +)上连续，取b>a，若极限

存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a , +)上的广义积分，记作，即

(1)。

第-46 –页 精品教学网 .net 这时也称广义积分分发散。

收敛；若上述极限不存在，称为广义积类似地，若极限存在，则称广义积分收敛。

设函数f(x)在区间(- ,+)上连续，如果广义积分和都收敛，则称上述两广义积分之和为函数f(x)在无穷区间(-, +)上的广义积分，记作收敛；否则就称广义积分，也称广义积分发散。

上述广义积分统称为无穷限的广义积分。

例1：计算广义积分0arctgxdx 1x2解：0barctgxarctgx122bdx=limdxlim[arctgx]|0

b01x2b21x28例2．计算广义积分sinxdx以及0sinxdx

解： 0sinxdxcosx|0(1limcosa)显然发散

a同理sinxdxsinxdxsinxdx也发散

00例3： 证明广义积分证 当p = 1时，(a>0)当p>1时收敛，当p 1时发散。

第-47 –页 精品教学网 .net , 当p1时，因此，当p > 1时，这广义积分收敛，其值为广义积分发散。

二．无界函数的广义积分

；当p1时，这现在我们把定积分推广到被积函数为无界函数的情形。

定义2 设函数f(x)在(a,b]上连续，而在点a的右领域内无界，取，如果极限(a,b]上的广义积分，仍然记作收敛。

类似地，设函数f(x)在[a,b]上除点c(a

与

都收敛，则定义

存在，则称此极限为函数f(x)在，这时也称广义积分；

(2)否则，就称广义积分发散。

第-48 –页 精品教学网 .net 例1 证明广义积分证 当q = 1时，当q < 1时收敛，当q  1时发散。，当q 1时，因此，当q < 1时，这广义积分收敛，其值为这广义积分发散。

；当q 1时，例2．计算广义积分4dx4x0

解：4dx4x0lim4dx4x004lim(24x)|0lim[224]400例3：广义积分可以相互转化

sin1x201xdx1sintdt