正余弦定理练习

正余弦定理练习

正余弦定理练习 篇1



10.在ABC中，已知A45，AB

6，BC2，解此三角形．

1.在ABC中，b10，c15，C30，则此三角形解的情况是（）

A．一解B．两解C．无解D．无法确定

2.在ABC中，a10，B60，C45，则c=（）A．10＋3B．103－10C．3＋1D．103 3.在ABC中，已知角B=45，c22，b

433，则角A=（）

A．15B．75C．105D．15或75

4.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则acosB+bcosA等于（）A．

ab2

B．bC．cD．a

5.在ABC中，若b2asinB，则这个三角形中角A的值是（）A．30或60B．45或60C．60或120D．30或1506.设m、m＋

1、m＋2是钝角三角形的三边长，则实数m的取值范围是（）A．0＜m＜3B．1＜m＜3C．3＜m＜4D．4＜m＜6

7.在ABC中，a5，B105，C15，则此三角形的最大边的长为__________．8.在ABC中，ab12，A60，B45，则a_________，b________． 9.在ABC中，下列命题中，所有正确命题的序号是___________________ ① 若sinA12，则A30②a80，b100，A45的三角形有一解 ③ 若cosA12，则A60④ a18，b20，A150的三角形一定存在11.在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(1)求sin C的值；

(2)当a＝2,2sin A＝sin C时，求b及c的长．

cos 2C＝－1

正余弦定理练习 篇2

定理:设正弦曲线y = Asinωx或余弦曲线y = Acosωx (A >0, ω > 0) 与x轴相邻的两个交点是M, N, P是正余弦曲线上且位于M, N之间的最高点或最低点, ∠MPN = θ, π是圆周率, 则

证明:因为正余弦曲线的形状和周期性相同, 故将点M平移至坐标原点O, 由函数y = Asinωx (A > 0, ω > 0) 的性质得M (0, 0) , P (π/2ω, A) , N (π/ω, 0) , 故由对称性得, | MN | =π/ω, 由余弦定理得

推论1 :设正弦曲线y = Asinωx或余弦曲线y = Acosωx (A> 0, ω > 0) 与x轴相邻的两个交点是M, N, P是正余弦曲线上且位于M, N之间的最高点或最低点, ∠MPN = 90°, π是圆周率, 则ωA =π/2.

证明:由题意和上述定理得

推论2:设正弦曲线y = Asinωx或余弦曲线y = Acosωx (A> 0, ω > 0) 与x轴相邻的两个交点是M, N, P是正余弦曲线上且位于M, N之间的最高点或最低点, △MPN是正三角形, π是圆周率, 则

证明:由题意得∠MPN = 60°, 和上述定理得

有了这几个结论, 我们可很方便地编拟三角函数的一些创新题目.

例1设正弦曲线y = Asinωx (A > 0, ω > 0) 与x轴相邻的两个交点是M, N, P是正弦曲线上且位于M, N之间的最高点或最低点, 若∠MPN = 90°, 求 (sinωA) 2012+ (cosωA) 2013的值.

解:由题意和推论1知ωA =π/2, 所以

例2设正弦函数y = 2sinωx (ω > 0) 与x轴相邻的两个交点是M, N, P是正弦曲线上且位于M, N之间的最高点或最低点, 若∠MPN = 60°, 求该函数的最小正周期.

解:因为A = 2, θ = 60°, 由本文推论2得

故知该函数的最小正周期

例3设函数f (x) = Acosωx (A > 0, ω > 0) 的图象和x轴的两个相邻的交点是M和N, P是曲线上且位于M和N之间的最高点或最低点, 若△PMN是边长为2的正三角形.

(1) 求函数f (x) 的解析式;

(2) 求f (1) + f (2) + f (3) + f (4) + … + f (2012) +f (2013) 的值.

解: (1) 因为三角形PMN是边长为2的正三角形, 故| MN | = 2, 故函数f (x) 的半周期

例4设正弦函数y = Asinωx (A, ω > 0) 与x轴相邻的两个交点是M, N, P是正弦曲线上且位于M, N之间的最高点或最低点, 若| MN | = 2π, ∠MPN = 45°, 求该函数的解析式.

正余弦定理的运用“两连发” 篇3

正弦定理是解三角形的重要工具，也广泛用于球的截面问题.但用其解题时可能会出错.本文就对此类问题错因及应对策略加以探讨.

例1 在△ABC中，A=60°，a=，b=3，则△ABC解的情况是（）

A?郾 无解B. 有一解

C. 有两解D. 不能确定

错解 =，得sinB=，又0

正解一 =，得sinB=>1，所以B无解，故答案为A.

正解二 cosA==，得c2－3c+3=0，所以c无解，故答案为A.

例2 在△ABC中，A=60°，a=4，b=4，则B= .

错解 =，得sinB=，又0

正解一 =，得sinB=，又0b，得A>B，所以B=45°.

正解二 cosA==，得c2－4c－16=0，又c>0，所以c=2（+）.

所以cosB==，所以B=45°.

例3 在△ABC中，C=2A，a+c=10，cosA=，求b的值.

错解 C=2A，得sinC=sin2A=2sinAcosA，又cosA=，且=，所以c=a.

又a+c=10，得a=4，c=6.又cosA==，得b=4或5.

正解一 由上法求出b=4或5.

当b=4时，a=b，则A=B，故A+B+C=4A=π，得A=，与cosA=矛盾.

经检验，b=5符合题意.

正解二 由上法求出a=4，c=6.

又cosC=cos2A=2cos2A-1==，得b=－4（舍去）或5.

例4 ?摇（2009年全国Ⅱ卷）在△ABC中，cos（A－C）+cosB=，b2=ac，求B的大小.

错解 由cos（A－C）+cosB=，得cos（A－C）－cos（A+C）=，得sinAsinC=.

又由b2=ac及==，得sin2B=sinAsinC=，得sinB=，所以B=60°或120°.

正解一 由上法得B=60°或120°.

又cosB===>0，所以B=60°.

正解二 由上法得B=60°或120°.

b2=ac，得a≥b或者c≥b，即b不是唯一最大的边，与B=120°矛盾，所以B=60°.

根据以上四例错解分析，可看出运用正弦定理时产生错误的原因主要是忽略了以下两点：（1） 在△ABC中，a>b?圳A>B?圳sinA>sinB；（2） sinα∈（0，1］（α为三角形内角）.

根据以上四例正解分析，可看出为了避免因运用正弦定理而出错，要把握以下两点：（1） 对所求结果要进行检验（验证上述两点）；（2） 能用余弦定理解决的问题，可选择余弦定理.

用透余弦定理

引例 求cos270°+cos250°+cos70°cos50°的值.

解 原式=sin220°+sin240°+sin20°sin40°.

由===2R（20°+40°+120°=180°），得sin20°=，sin40°=，sin120°=.

故原式=（a2+b2+ab）=（a2+b2－c2+ab+c2）=（2abcos120°+ab+c2）==sin2120°=.（此解法属于下文中的构造应用.）

点评 这里通过构造三角形，运用正、余弦定理，求得了一个三角函数式的值.是怎么想到构造三角形的呢？答案是：题目中出现了形如“x2+y2－xy”的式子，由此自然想到△ABC中的余弦定理2bccosA=b2+c2－a2.实际上，遇见此类式子时，构造余弦定理解题是一种很好的方法.本文就对此类问题进行探究.

例1 在△ABC中，已知a2+b2－ab=c2，求C的大小.

解 由a2+b2－c2=ab，得2abcosC=ab，得C=60°.

例2 在△ABC中，若△ABC面积S=，求C的大小.

解 S==，又S=absinC，得C=45°.

例3 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC面积S=c2－（a－b）2，求tan的值.

解 S=c2－（a－b）2=c2－a2－b2+2ab=－2abcosC+2ab=2ab（1－cosC），又S=absinC，得4（1－cosC）=sinC，得8sin2=2sincos，所以tan=.

例4 ?摇（2009年全国Ⅰ卷）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2－c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b的值.

解 由a2－c2=2b，得b2+a2－c2=2b+b2，得2abcosC=2b+b2，得2acosC=2+b.

由sinAcosC=3cosAsinC，得acosC=3ccosA.所以b=acosC+ccosA=acosC.

所以=，得b=4.

例5 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A=80°，a2=b（b+c），求C的大小.

解 由a2=b（b+c），得c2+a2－b2=bc+c2，得2accosB=bc+c2，即b+c=2acosB，得sinB+sinC=2sinAcosB，得sinB=sin（A－B），得B=40°，所以C=60°.

例6 设正数x，y，z满足x2++xy=25，+z2=9，x2+z2+xz=16， 求xy+2yz+3xz的值.

解 ?摇x2++xy=25，+z2=9，x2+z2+xz=16?圯x2+?摇2－52+xy=0，?摇2+z2－32=0，x2+z2－42+xz=0?圯2x?摇cos150°+xy=0，2z?摇cos90°=0，2xzcos120°+xz=0.

可构造如右图的形状，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，∠AOB=120°，∠BOC=90°，∠AOC=150°，S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC，即×3×4=xzsin120°+zsin90°+x·sin150°，即xy+2yz+3xz=24.

正余弦定理的证明及其作用 篇4

（1）余弦定理的证明

（2）正弦定理的证明

二、正弦定理、余弦定理的应用

（1）证明三角形角平分线定理

（2）证明平行四边形边与对角线的长度关系

（3）证明知三边的三角形面积公式：海伦公式

（4）正弦定理是三角形中的边与角联系的纽带和桥梁，也就是说，能够将三角形中边的关系转化为角之间的关系，也能将角的关系转化为边之间的关系，这是正弦定理的“灵魂”。

正弦定理余弦定理[推荐] 篇5

一、知识概述

主要学习了正弦定理、余弦定理的推导及其应用，正弦定理是指在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即余弦定理是指三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a2=b2＋c2－2bccosA，b2=c2＋a2－2cacosB, c2=a2＋b2－2abcosC．通过两定理的学习，掌握正弦定理和余弦定理，并能利用这两个定理去解斜三角形，学会用计算器解决解斜三角形的计算问题，熟悉两定理各自解决不同类型的解三角形的问题．认识在三角形中，已知两边和其中一边的对角解三角形，产生多解的原因，并能准确判断解的情况．

二、重点知识讲解

1、三角形中的边角关系

在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，则有

（1）角与角之间的关系：A＋B＋C＝180°；

（2）边与角之间的关系：

正弦定理：

余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA

b2＝c2＋a2－2accosB

c2＝a2＋b2－2abcosC

射影定理：a＝bcosC＋ccosB

b＝ccosA＋acosC c＝acosB＋

bcosA

2、正弦定理的另三种表示形式：

3、余弦定理的另一种表示形式：

4、正弦定理的另一种推导方法——面积推导法

在△ABC中，易证明再在上式各边同时除

以在此方法推导过程中，要注意对

面积公式的应用．

例

1、在△ABC中，ab=60, sinB=cosB．面积S=15，求△ABC的三个内角． 分析：

在正弦定理中，由

进而可以利用三角函数之间的关系进行解题． 解：

可以把面积进行转化，由公式

∴C=30°或150°

又sinA=cosB∴A＋B=90°或A－B=90°显然A＋B=90°不可能成立

当C=30°时，由A＋B=150°，A－B=90°得A=120°B=30°

当C=150°时，由A－B=90°得B为负值，不合题意故所求解为A=120°，B=30°，C=30°.例

2、在△ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C的外边，若b=2a，B=A＋60°，求A的值． 分析：

把题中的边的关系b=2a利用正弦定理化为角的关系，2RsinB=4RsinA，即sinB=2sinA． 解：

∵B=A＋60°

∴sinB=sin(A＋60°)=sinAcos60°＋cosAsin60°

=

又∵b=2a

∴2RsinB=4RsinA，∴sinB=2sinA

例

3、在△ABC中，若tanA︰tanB＝a2︰b2，试判断△ABC的形状． 分析：

三角形分类是按边或角进行的，所以判定三角形形状时一般要把条件转化为边之间关系或角之间关系式，从而得到诸如a＋b＝c，a＋b>c（锐角三角形），a＋b＜c（钝角三角形）或sin(A－B)＝0，sinA＝sinB，sinC＝1或cosC＝0等一些等式，进而判定其形状，但在选择转化为边或是角的关系上，要进行探索．

解法一：由同角三角函数关系及正弦定理可推得，∵A、B为三角形的内角，∴sinA≠0，sinB≠0．

．

∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．解法二：由已知和正弦定理可得：

整理得a－ac＋bc－b＝0，即（a－b)（a＋b－c）＝0，于是a＝b或a＋b－c＝0，∴a＝b或a＋b＝c．∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．

5、利用正弦定理和余弦定理判定三角形形状，此类问题主要考查边角互化、要么同时化边为角，要么同时化角为边，然后再找出它们之间的关系，注意解答问题要周密、严谨．

例

4、若acosA=bcosB，试判断△ABC的形状． 分析：

本题既可以利用正弦定理化边为角，也可以利用余弦定理化角为边． 解：

解法一：由正弦定理得：2RsinAcosA=2RsinBcosB∴sin2A=sin2B

∴2A=2B或2A＋2B=180°∴A=B或A＋B=90°

故△ABC为等腰三角形或直角三角形解法二：由余弦定理得

∴a(b＋c－a)=b(a＋c－b)∴(a－b)(a＋b－c)=0∴a=b或a＋b=c

故△ABC为等腰三角形或直角三角形．

6、正弦定理，余弦定理与函数之间的相结合，注意运用方程的思想．

例

5、如图，设P是正方形ABCD的一点，点P到顶点A、B、C的距离分别是

1，2，3，求正方形的边长．

分析：

本题运用方程的思想，列方程求未知数． 解：

设边长为x(1

设x=t，则1

－5)=16t

三、难点剖析

1、已知两边和其中一边的对角，解三角形时，将出现无解、一解和两解的情况，应分情况予以讨论．

下图即是表示在△ABC中，已知a、b和A时解三角形的各种情况．

（1）当A为锐角时（如下图），（2）当A为直角或钝角时（如下图），也可利用正弦定理进行讨论．

如果sinB>1，则问题无解； 如果sinB＝1，则问题有一解；

如果求出sinB<1，则可得B的两个值，但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”等三角形有关性质进行判断．

2、用方程的思想理解和运用余弦定理：当等式a2＝b2＋c2－2bccosA中含有未知数时，等式便成为方程．式中有四个量，知道任意三个，便可以解出另一个，运用此式可以求a或b或c或cosA．

3、向量方法证明三角形中的射影定理

在△ABC中，设三内角A、B、C的对边分别是a、b、c．

4、正弦定理解三角形可解决的类型：（1）已知两角和任一边解三角形；

（2）已知两边和一边的对角解三角形．

5、余弦定理解三角形可解决的类型：（1）已知三边解三角形；

（2）已知两边和夹角解三角形．

6、三角形面积公式：

例

6、不解三角形，判断三角形的个数． ①a＝5，b＝4，A＝120° ②a＝30，b＝30，A＝50° ③a＝7，b＝14，A＝30° ④a＝9，b＝10，A＝60° ⑤a＝6，b＝9，A＝45° ⑥c＝50，b＝72，C＝135° 解析：

①a>b，A＝120°，∴△ABC有一解．②a＝b，A＝50°<90°，∴△ABC有一解．

③a

④a0 ∴△ABC有两解．

例谈正弦定理、余弦定理的应用 篇6

例谈正弦定理、余弦定理的应用

作者：姜如军

来源：《理科考试研究·高中》2013年第08期

正弦定理与余弦定理应用谈 篇7

一、可以转化正弦余弦定理的问题

例1在△ABC中,若9a2+9b2=19c2,求

分析:通过将P化简,就可以结合正弦定理、余弦定理求解.

正弦定理、余弦定理有,,,代入P中，得到

又由已知有,代入上式得到

评注:对于某些三角问题,通过观察是需要找出边和角之间的关系,则不妨尝试采用三角形的方法,再用正弦定理和余弦定理,得出新颖而简捷的解法.

变式题:在△ABC中,如果

答案:，则，所以，所以

二、可以构造成正弦余弦定理的问题

例2求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值.

分析:注意到该三角函数式与余弦定理形式相似,可以构造三角形来解决.

解:sin220°+cos250°+sin20°sin40°的结构与三角形中的余弦定理形式相似,通过构造一个内角分别为20°,40°,120°的三角形,且使其外接圆的半径为1,那么由正弦定理知道这个三角形的三边分别为sin20°,sin40°,sin120°,再由余弦定理有sin2120°=sin220°+sin240。-2sin20°sin40。.cosl20°，从而sin220。+cos250°+sin20°cos50°=

评注:有些三角函数问题,观察其构造形式与三角形中的余弦定理形式相似,则这时也尝试通过利用正弦定理和余弦定理进行解决问题.

变式题:求值:sin285°+sin280°-2sin85°sin80°sin75°.

答案:在△ABC中,设∠A=85°,∠B=80°,∠C=15°,外接圆半径为R,

三、可以通过变形为正弦余弦定理的问题

例3已知α、β、γ都是锐角,且满足sin2求α+β+γ的值.

分析:该题同样也通过构造来解决.

解:已知等式变形为

上式与余弦定理类似,通过构造△ABC,使

根据正弦定理有,

而C>90°,α、β都是锐角,那么A、B、、都是锐角,则,,故A+B+C=

评注:注意到三角函数式的形式类似于余弦定理,则可以通过构造三角形,并结合正弦定理解决.

变式题:在任意一个△ABC中,求证:a(sinB-sinC)+b(sinC-siiL4)+c(sinA-sinB)=0.

答案：左式=2/?sirb4(sinB-sinC)+2RsinB(sinC-sinA)+2/fsinC(sinA-sin8)=2R[sinAsinB-sinAsinC+sinfisinC-sinBsinA+sinCsinA-sinCsinB]=0.

四、可利用正余弦定理解决的函数问题

例4在平面上有A、B、P、Q四个点,A、B为定点,,P、Q为动点,且AP=PQ=QB=1,记△ABP与△PQB的面积分别为S、T;(1)求S2+T2的取值范围;(2)当S2+T2取最大值时,判断△APB的形状.

分析:本题主要通过余弦定理来研究函数知识,已知条件中有两个三角形的面积,应该想办法把两个三角形联系起来,可以分别在△APB与△PQB中由余弦定理得出PB的关系解决.

解:(1)在△ABP与△PQB中,由余弦定理可以得到:PB2=AB2+AP2-2AB·APcosA

PB2=BQ2+PQ2-2BQ•PQcosQ=1+1-2cosQ=2-2cosQ,

所以,即,

所以

因为-10,

所以S2+T2的取值范围是;

(2)由(1)可以知道当时,S2+T2的最大值为,此时,所以,故当S2+T2取最大值时,△APB是等腰三角形.

点评:此题的关键是想办法建立两个三角形之间的关系,从而得出函数S2+T2的表达式,利用函数知识求解.

练习:若△ABC的三边长为a、b、c,且f(x)=b2x2+(b2+c2-a2)x+c2,判断f(x)的图象与x轴的位置关系.

余弦定理证明初探 篇8

关键词： 数形结合 双基 创新意识 创新精神

如何发挥高考题的教学功能，把握高三复习备考方向，提高解题教学的功效，是我们一线教师努力的目标。余弦定理的证明曾在以前高考考题中出现过，去年陕西卷再次出现，说明余弦定理的证明不但能考察学生对“双基”知识的掌握能力，更能激发学生对数学中“数形结合”思想方法的重视和挖掘，从而对老师和学生起到抛砖引玉的功效。下面就余弦定理给出不同证明方法。

方法一（向量法）如图，设 ，则 即 ，

方法七（面积法） 如图，以 的三边为边长向外作三个正方形， 三条

高的延长线将三个正方形分成6个矩形。

教学的根本目的在于提高学生探索和解决问题的能力，以不同的知识为切入点，对同一题目从不同角度审视，探求出不同的解决方案，可以开拓思路，沟通知识，权衡优劣，提高学生的解题效率，更能提高学生分析、解决问题的能力，培养创新意识和创新精神，这正是新课改所追求的目的。

参考教材：

（1）北师大版高中数学，《必修4》。

（2）罗增儒，《数学解题学引论》。

余弦定理教学反思 篇9

1、创设数学情境是“情境.问题.反思.应用”教学的基础环

本课中，教师立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为余弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实，为今后的“定理教学”提供了一些有用的借鉴。

创设数学情境是“情境.问题.反思.应用”教学的基础环节，教师必须对学生的身心特点、知识水平、教学内容、教学目标等因素进行综合考虑，对可用的情境进行比较，选择具有较好的教育功能的情境。

从应用需要出发，创设认知冲突型数学情境，是创设情境的常用方法之一。“余弦定理”具有广泛的应用价值，故本课中从应用需要出发创设了教学中所使用的数学情境。该情境源于教材第一章 1.3正弦、余弦定理应用的例1。实践说明，这种将教材中的例题、习题作为素材改造加工成情境，是创设情境的一条有效途径。只要教师能对教材进行深入、细致、全面的研究，便不难发现教材中有不少可用的素材。

“情境.问题.反思.应用”教学模式主张以问题为“红线”组织教学活动，以学生作为提出问题的主体，如何引导学生提出问题是教学成败的关键，教学实验表明，学生能否提出数学问题，不仅受其数学基础、生活经历、学习方式等自身因素的影响，还受其所处的环境、教师对提问的态度等外在因素的制约。因此，教师不仅要注重创设适宜的数学情境（不仅具有丰富的内涵，而且还具有“问题”的诱导性、启发性和探索性），而且要真正转变对学生提问的态度，提高引导水平，一方面要鼓励学生大胆地提出问题，另一方面要妥善处理学生提出的问题。关注学生学习的结果，更关注学生学习的过程；关注学生数学学习的水平，更关注学生在数学活动中所表现出来的情感与态度；关注是否给学生创设了一种情境，使学生亲身经历了数学活动过程．把“质疑提问”，培养学生的数学问题意识，提高学生提出数学问题的能力作为教与学活动的起点与归宿。

2．培养学生自主学习、合作学习、研究（探究）性学习的学习方式

（1）新教材与一期教材相比，有一个很大的变化就是在课本中增加了若干“探究与实践”的研究性课题，这些课题往往有着一定的实际生活情景，如出租车计价问题，测量建筑高度，邮资问题，“雪花曲线”等等，这些课题除了增强学生的数学应用能力之外，还有一个重要作用就是改变学生以往的学习方式。

在教学实践中，我对不同内容采取了不同的处理方式，像用单位圆中有向线段表示三角比；组合贷款中的数学问题主要在课堂引导学生完成；像邮件与邮费问题、上海出租车计价问题、声音传播问题、测建筑物的高度则采取课内介绍、布置、检查，学生主要在课外完成的方法。学生通过调查、上网收集数据，集体研究讨论，实践动手操作，无形之中使自己学习的主动性得以大大提高，自学能力也有所长足发展，从而有效的培养学生自主获取知识的能力，以适应未来社会发展的需要。

由此可见，新课程突出了“以学生发展为本”的素质教育理念与目标，强调素质的动态性和发展性，揭示了素质教育的本质，把学生素质的发展作为适应新世纪需要的培养目标和根本所在。因此，在教学实践中必须确立学生的主体地位。

余弦定理教案 篇10

余弦定理教案

一、说教材  《余弦定理》是必修5第一章《解三角形》的第一节内容，是解决有关斜三角形问题以及应用问题的一个重要定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，实现了“边”与“角”的互化，从而使“三角”与“几何”产生联系，为求与三角形有关的量提供了理论依据，同时也为判断三角形形状，证明三角形中的有关等式提供了重要依据。根据上述教材内容分析，考虑到学生已有的`认知结构，心理特征及原有知识水平，我将本课的教学目标定为： ⒈知识与技能：掌握余弦定理的内容及公式；能初步运用余弦定理解决一些斜三角形； ⒉过程与方法：在探究学习的过程中，认识到余弦定理可以解决某些与测量和几何计算有关的实际问题，帮助学生提高运用有关知识解决实际问题的能力。 ⒊情感、态度与价值观：培养学生的探索精神和创新意识；在运用余弦定理的过程中，让学生逐步养成实事求是，扎实严谨的科学态度，学习用数学的思维方式解决问题，认识世界；通过本节的运用实践，体会数学的科学价值，应用价值； ⒋本节课的教学重点是：运用余弦定理探求任意三角形的边角关系，解决与之有关的计算问题，运用余弦定理解决一些与测量以及几何计算有关的实际问题。 ⒌本节课的教学难点是：灵活运用余弦定理解决相关的实际问题。 ⒍本节课的教学关键是:熟练掌握并灵活应用余弦定理解决相关的实际问题。 下面为了讲清重点、难点，使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上谈谈

 

用复数证明余弦定理 篇11

=(-acosB,asinB)，=-=(bcosA-c,bsinA),(1)由=：得

asinB=bsinA,即

=.同理可得：=.∴==.(2)由=(b-cosA-c)2+(bsinA)2=b2+c2-2bccosA，又||=a,∴a2=b2+c2-2bccosA.同理：

c2=a2+b2-2abcosC;

b2=a2+c2-2accosB.法二：如图5，,设轴、轴方向上的单位向量分别为、，将上式的两边分别与、作数量积，可知，即

将(1)式改写为

化简得b2-a2-c2=-2accosB.即b2=a2+c2-2accosB.(4)

这里(1)为射影定理，(2)为正弦定理，(4)为余弦定理.2在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b

则c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

a^2=b^2+c^2-2bc*cosA

b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。

过A作AD⊥BC于D，则BD+CD=a

由勾股定理得：

c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^

2所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2

=(a-CD)^2-(CD)^2+b^2

=a^2-2a*CD+(CD)^2-(CD)^2+b^2

=a^2+b^2-2a*CD

因为cosC=CD/b

所以CD=b*cosC

所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

题目中^2表示平方。

2谈正、余弦定理的多种证法

聊城二中魏清泉

正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关于这两个定理有好几种不同的证明方法.人教A版教材《数学》(必修5)是用向量的数量积给出证明的，如是在证明正弦定理时用到作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积，这种构思方法过于独特，不易被初学者接受.本文试图通过运用多种方法证明正、余弦定理从而进一步理解正、余弦定理，进一步体会向量的巧妙应用和数学中“数”与“形”的完美结合.定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,则

(1)(正弦定理)==;

(2)(余弦定理)

c2=a2+b2-2abcosC,b2=a2+c2-2accosB,a2=b2+c2-2bccosA.一、正弦定理的证明

证法一：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的三条高。则有

AD=b•sin∠BCA，BE=c•sin∠CAB，CF=a•sin∠ABC。

所以S△ABC=a•b•csin∠BCA

=b•c•sin∠CAB

=c•a•sin∠ABC.证法二：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的3条高。则有

AD=b•sin∠BCA=c•sin∠ABC，BE=a•sin∠BCA=c•sin∠CAB。

证法三：如图2，设CD=2r是△ABC的外接圆的直径，则∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。

证法四：如图3，设单位向量j与向量AC垂直。

因为AB=AC+CB，所以j•AB=j•(AC+CB)=j•AC+j•CB.因为j•AC=0，j•CB=|j||CB|cos(90°-∠C)=a•sinC，j•AB=|j||AB|cos(90°-∠A)=c•sinA.二、余弦定理的证明

法一：在△ABC中，已知，求c。

过A作，在Rt中，法二：，即：

法三：

先证明如下等式：

⑴

证明：

故⑴式成立，再由正弦定理变形，得

结合⑴、有

即.同理可证

.三、正余弦定理的统一证明

法一：证明：建立如下图所示的直角坐标系，则A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函数的定义可得：C=(bcosA,bsinA)，以AB、BC为邻边作平行四边形ABCC′，则∠BAC′=π-∠B，∴C′(acos(π-B),asin(π-B))=C′(-acosB,asinB).根据向量的运算：

=(-acosB,asinB)，=-=(bcosA-c,bsinA),(1)由=：得

asinB=bsinA,即

=.同理可得：=.∴==.(2)由=(b-cosA-c)2+(bsinA)2=b2+c2-2bccosA，又||=a,∴a2=b2+c2-2bccosA.同理：

c2=a2+b2-2abcosC;

b2=a2+c2-2accosB.法二：如图5，,设轴、轴方向上的单位向量分别为、，将上式的两边分别与、作数量积，可知，即

将(1)式改写为

化简得b2-a2-c2=-2accosB.即b2=a2+c2-2accosB.(4)

余弦定理教学设计 篇12

余弦定理

一、教材依据：人民教育出版社（A版）数学必修5第一章 第二节

二、设计思想：

1、教材分析：余弦定理是初中“勾股定理”内容的直接延拓，是解三角形这一章知识的一个重要定理，揭示了任意三角形边角之间的关系，是解三角形的重要工具，余弦定理与平面几何知识、向量、三角形有着密切的联系。因此，做好“余弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。

2、学情分析：这节课是在学生已经学习了正弦定理及有关知识的基础上，转入对余弦定理的学习，此时学生已经熟悉了探索新知识的数学教学过程，具备了一定的分析能力。

3、设计理念：由于余弦定理有较强的实践性，所以在设计本节课时，创设了一些数学情景，让学生从已有的几何知识出发，自己去分析、探索和证明。激发学生浓厚的学习兴趣，提高学生的创新思维能力。

4、教学指导思想：根据当前学生的学习实际和本节课的内容特点，我采用的是“问题教学法”，精心设计教学内容，提出探究性问

找到解决问题的方法。

三、教学目标：

1、知识与技能：

理解并掌握余弦定理的内容，会用向量法证明余弦定理，能用余弦定理解决一些简单的三角度量问题

2．过程与方法：

通过实例，体会余弦定理的内容，经历并体验使用余弦定理求解三角形的过程与方法，发展用数学工具解答现实生活问题的能力。

3．情感、态度与价值观：

探索利用直观图形理解抽象概念，体会“数形结合”的思想。通过余弦定理的应用，感受余弦定理在解决现实生活问题中的意义。

四、教学重点：

通过对三角形边角关系的探索，证明余弦定理及其推论，并能应用它们解三角形及求解有关问题。

五、教学难点：余弦定理的灵活应用

六、教学流程：

(一)创设情境，课题导入：

1、复习：已知A=300,C=450,b=16解三角形。（可以让学生板练）

2、若将条件C=450改成c=8如何解三角形？

设计意图：把研究余弦定理的问题和平面几何中三角形全等判定的方法建立联系，沟通新旧知识的联系，引导学生体会量化

师生活动：用数学符号来表达“已知三角形的两边及其夹角解三角形”：已知△ABC，BC=a,AC=b,和角C，求解c,B,A 引出课题：余弦定理

（二）设置问题，知识探究

1、探究：我们可以先研究计算第三边长度的问题，那么我们又从那些角度研究这个问题能得到一个关系式或计算公式呢？ 设计意图：期望能引导学生从各个不同的方面去研究、探索得到余弦定理。

师生活动：从某一个角度探索并得出余弦定理

2、①考虑用向量的数量积：如图 A

C

设CBa,CAb,ABc,那么，cab222ccc(ab)(ab)ab2abcosCB 即cab222ab2abcosC,引导学生证明22222

bc2bccosAca2cacosB2②还 引导学生运用此法来进行证明

3、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的（可以让学生自己总结，教师补充完整）

（三）典型例题剖析：

1、例1：在△ABC中，已知b=2cm,c=2cm,A=1200,解三角形。

教师分析、点拨并板书证明过程

总结：已知三角形的两边和它们的夹角解三角形，基本思路是先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求其余各角。变式引申：在△ABC中，已知b=5,c=

53,A=300,解三角形。

2、探究：余弦定理是关于三角形三边和一个角的一个关系式，把这个关系式作某些变形，是否可以解决其他类型的解三角形问题？

设计意图：（1）引入余弦定理的推论（2）对一个数学式子作某种变形，从而得到解决其他类型的数学问题，这是一种基本的研究问题的方法。

师生活动：对余弦定理作某些变形，研究变形后所得关系式的应用。因此应把重点引导到余弦定理的推论上去，即讨论已知三边求角的问题。

引入余弦定理的推论：cosA=cosB=acb2ac222bca2bc2222 , , cosC=

abc2ab22

公式作用：（1）、已知三角形三边，求三角。

（2）、若A为直角，则cosA=0，从而b2+c2=a2

若A为锐角，则 cosA>0, 从而b2+c2>a2

若A为钝角，则 cosA﹤0, 从而b2+c2﹤a2

62,求A、B、C例2:已知在ABC中,a23,b22,c

先让学生自己分析、思索，老师进行引导、启发和补充，最后师生一起求解。

总结：对于已知三角形的三边求三角这种类型，解三角形的基本思路是先由余弦定理求出两角，再用三角形内角和定理求出第三角。（可以先让学生归纳总结，老师补充）变式引申：在△ABC中，a:b:c=2:让学生板练，师生共同评判

3、三角形形状的判定：

例3：在△ABC中，acosA=bcosB,试确定此三角形的形状。

（教师引导学生分析、思考，运用多种方法求解）

求解思路：判断三角形的形状可有两种思路，一是利用边之间的关系来判定，在运算过程中，尽可能地把角的关系化为边的关系；二是利用角之间的关系来判定，将边化成角。

变式引申：在△ABC中，若（a+b+c）(b+c-a)=3bc,并且sinA=2sinBcosC,判断△ABC的形状。

让学生板练，发现问题进行纠正。

（四）课堂检测反馈：

1、已知在△ABC中，b=8,c=3,A=600,则a=()A 2 B 4 C 7 D 9

6:（3+1),求A、B、C。、在△ABC中，若a=

3+1,b=

3-1,c=

10,则△ABC的最大角的度数为（）A 1200 B 900 C 600 D 1500

3、在△ABC中，a:b:c=1:

3:2,则A：B：C=（）

A 1：2：3 B 2：3：1 C 1：3：2 D 3：1：2

4、在不等边△ABC中，a是最大的边，若a2

5、在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，则△ABC的形状是（）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D非钝角三角形

（五）课时小结：

（学生自己归纳、补充，培养学生的口头表达能力和归纳概括能力，教师总结）

运用多种方法推导出余弦定理，并灵活运用余弦定理解决解三角形的两种类型及判断三角形的形状问题。

（六）课后作业：课本第10页A组3（2）、4（2）；B组第2题

（七）教学反思：

垂心余弦定理证明 篇13

如右图，在ABC中，三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c . 以A为原点，AC所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是C点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得B点坐标是(ccosA，csinA) . ∴CB = (ccosA-b，csinA).

现将CB平移到起点为原点A，则AD = CB .

而 |AD| = |CB| = a ，∠DAC = π-∠BCA = π-C ，

根据三角函数的定义知D点坐标是 (acos(π-C)，asin(π-C))

即 D点坐标是(-acosC，asinC),

∴ AD = (-acosC，asinC) 而 AD = CB

∴ (-acosC，asinC) = (ccosA-b，csinA)

∴ asinC = csinA …………①

-acosC = ccosA-b ……②

由①得 asinA = csinC ，同理可证 asinA = bsinB ，

∴ asinA = bsinB = csinC .

由②得 acosC = b-ccosA ，平方得：

a2cos2C = b2-2bccosA + c2cos2A ，

即 a2-a2sin2C = b2-2bccosA + c2-c2sin2A .

而由①可得 a2sin2C = c2sin2A

∴ a2 = b2 + c2-2bccosA .

同理可证 b2 = a2 + c2-2accosB ，

c2 = a2 + b2-2abcosC .

到此正弦定理和余弦定理证明完毕。

2

正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关于这两个定理有好几种不同的证明方法.人教A版教材《数学》(必修5)是用向量的数量积给出证明的，如是在证明正弦定理时用到作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积，这种构思方法过于独特，不易被初学者接受.本文试图通过运用多种方法证明正、余弦定理从而进一步理解正、余弦定理，进一步体会向量的巧妙应用和数学中“数”与“形”的完美结合.

定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,则

(1)(正弦定理) = = ;

(2)(余弦定理)

c2=a2+b2-2abcos C,

b2=a2+c2-2accos B,

a2=b2+c2-2bccos A.

一、正弦定理的证明

证法一：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的三条高。则有

AD=bsin∠BCA，

BE=csin∠CAB，

CF=asin∠ABC。

所以S△ABC=abcsin∠BCA

=bcsin∠CAB

=casin∠ABC.

证法二：如图1，设AD、BE、CF分别是△ABC的3条高。则有

AD=bsin∠BCA=csin∠ABC，

BE=asin∠BCA=csin∠CAB。

证法三：如图2，设CD=2r是△ABC的外接圆

的直径，则∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。

证法四：如图3，设单位向量j与向量AC垂直。

因为AB=AC+CB，

所以jAB=j(AC+CB)=jAC+jCB.

因为jAC=0，

jCB=| j ||CB|cos(90°-∠C)=asinC，

jAB=| j ||AB|cos(90°-∠A)=csinA .

二、余弦定理的证明

法一：在△ABC中，已知 ，求c。

过A作 ，

在Rt 中， ，

法二：

，即：

法三：

先证明如下等式：

⑴

证明：

故⑴式成立，再由正弦定理变形，得

结合⑴、有

即 .

同理可证

.

三、正余弦定理的统一证明

法一：证明：建立如下图所示的直角坐标系，则A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函数的定义可得：C=(bcos A,bsin A)，以AB、BC为邻边作平行四边形ABCC′，则∠BAC′=π-∠B，

∴C′(acos(π-B),asin(π-B))=C′(-acos B,asin B).

根据向量的运算：

=(-acos B,asin B)，

= - =(bcos A-c,bsin A),

(1)由 = ：得

asin B=bsin A,即

= .

同理可得： = .

∴ = = .

(2)由 =(b-cos A-c)2+(bsin A)2=b2+c2-2bccos A，

又| |=a,

∴a2=b2+c2-2bccos A.

同理：

c2=a2+b2-2abcos C;

b2=a2+c2-2accos B.

法二：如图5，

,设 轴、轴方向上的单位向量分别为 、，将上式的两边分别与 、作数量积，可知

，

即

将(1)式改写为

化简得b2-a2-c2=-2accos B.

即b2=a2+c2-2accos B.(4)

余弦定理证明案例分析 篇14

秭归二中董建华

我今年教高一（3）、一（7）班两班数学，在证明余弦定理时，上午第二节在一（3）班上数学，在证明余弦定理时，我是这样上课的：

同学们，前一节课我们学习了正弦定理及其证，现在请同学们考虑这样一个问题，已知三角形的两边及夹角如何求夹角的对边。

即：在△ABC中，已知ACb,BCa,及C，求C。

请同学们思考后回答这个问题，同学们沉默了

三五分钟，开始相互讨论，并得出了如下解法：

过A作ADBC于D，是AD＝ACsinCBCsinC，CDACcosbcosc,在RtABD中，AB2AD2BD2(bsinc)2(abcosc)2a2b22abcosc，用的是初中的知识，我们请同学们继续想，我们学了向量，能否用向量的知识加以证明呢？

表现出一片茫然，并开始画图分析，讨论终于得出

222ABAB(ACBC)(ACBC)AC2ACBCBCAC2|AC||BC|

2cos(180B)BCb22abcosBa2，即。c2a2b22abcosc 这样一个余弦定理证明下来，同学们分析、观察、讨论用了近30分钟。我觉得这样上课太浪费时间，这么简单的问题，花这么多时间去讨论。

于是我在一（7）班一上课就开门见山的说：“前面我们学习了正弦定理及其证明，这节课我们主要分析余弦定理，即：，a2b2c22bccosA,b2a2c22accosB,c2a2b22abcosC ”

现在我们来证明c2a2b22abcosC ：

2证：ABACBCABAB=（ACBC）（AC

22AC2ACBCBCb22bacosca

2即：c2a2b22abcosc，同理可证其余两个，同学们听懂了没有，大家齐答听懂了。前后不过5 分钟左右的时间，我当时还感觉我讲得不错，反正只要学生听懂了就行。

结果一个星期后，有一个小测验，试卷上刚好有一题是用向量的方法证明余弦定理，成绩下来，一（3）班有41人做对了此题，一（7）班仅有7人做对了此题。两个平行班，一个老师教，方法不一样，效果却相差如此之大，我对此进行了案例反思。

反思案例：

1、定理的证明重在教师引导，放手让学生去发现、观察、分析得出结论，如采取注入式教师，虽老师一教学生能听懂，但毕竟不比自己亲手得出的东西印象深刻。

2、引导学生分析问题，表面上看浪费了许多时间，但教会了学生学习的方法，以后遇到许多类似的问题根本不需老师重复去教，学生自己会分析，所以从整体上节约了时间。

3、我在前一节课完全是以学生为主体，后一节课完全是以老师为主体，在课堂教学中，应将教师的主导作用将学生的主体作用表现出来，让教学效果达到更优化。