复合函数定义域

复合函数定义域（共15篇）

复合函数定义域 篇1

复合函数的计算

用极限的夹逼准则求极限

无穷小量与无穷大量

两个重要极限

等价无穷小量 用洛必达法则或等价无穷小量求极限 用定义研究分段函数连续性

用定义研究分段函数连续性可导性 用连续函数零点定理证明函数等式 用导数的定义计算导数 幂指函数求极限及求导数 利用导数是平面曲线切线的斜率求切线方程 隐函数求微分 通过导数讨论函数单调区间 利用函数的单调性证明函数不等式 通过导数讨论函数的拐点 求函数的极值

原函数

复合函数定义域 篇2

一、已知f (x) 的定义域, 求f[g (x) ]的定义域

例1若函数f (x) 的定义域为[1, 4], 求函数f (x+2) 的定义域。

解:∵f (x) 的定义域为[1, 4],

∴使f (x+2) 有意义的条件是1≤x+2≤4,

即-1≤x≤2则f (x+2) 的定义域为[-1, 2]。

评:若f (x) 的定义域为D, 则f[g (x) ]的定义域是使g (x) ∈D有意义的x的集合。

二、已知f[g (x) ]的定义域, 求f (x) 的定义域

例2已知的定义域为[0, 3], 求f (x) 的定义域。

解:∵的定义域为[0, 3], ∴0≤x≤3, 则

故f (x) 的定义域为[1, 2]。

评:若f[g (x) ]的定义域为D, 则g (x) 在D上的取值范围, 即f (x) 的定义域。

三、已知f[g (x) ]的定义域, 求f[h (x) ]的定义域

例3函数f (x+1) 的定义域是[-2, 3], 求函数f (2x-1) 的定义域。

抽象函数定义域的解题策略 篇3

【关键词】抽象函数 定义域 解题策略

函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终。在函数的三要素——定义域、值域和对应法则中，定义域和对应法则是函数的核心，而定义域又是研究函数的先决条件，对函数的学习和研究必须建立在定义域的基础上，因此，求解函数的定义域是研究函数问题中一项重要内容[1]。

但在求函数定义域的问题中，抽象函数的定义域求解成为多数学生难以理解并且无从下手的一类题目。抽象函数是指没有明确给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的一类函数，正是由于其抽象性常常让学生感到迷惑。

对于求解抽象函数的定义域，只需要理解下面两句话，所有问题都可以迎刃而解。

（1）函数定义域是指自变量的取值范围。

（2）函数三要素中，相同对应法则的作用范围相同。

第一句话意味着无论是函数，，，给出函数的定义域，即是给出的取值范围。第二句话意味着对于两个函数和，在同一个对应法则的作用下，的取值范围与的取值范围是相同的，两者等价，也就是说，两个函数的值域相同（并不表示定义域相同）。

根据该解题策略，下面结合具体实例分析抽象函数定义域问题的四种题型及解题方法。

1 已知的定义域，求的定义域

解题方法：根据第二句话，相同对应法则作用范围相同，意味着的取值范围与的取值范围相同，两者等价。再根据第一句话，求的定义域，就是求的取值范围，则问题化为，根据的取值范围求的取值范围，即为的定义域。

例如，若的定义域为，即，则等价于中，从中解得，即的定义域为。

例1：已知函数的定义域为[1，4]，求函数的定义域。

解：已知的定义域为[1，4]，即中，

，解得，

∴函数的定义域为[-1，0]。

2 已知的定义域，求的定义域

解题方法：根据相同对应法则作用范围相同，意味着的取值范围与的取值范围相同，两者等价。再根据第一句话，已知的定义域，就是已知的取值范围，则问题化为，根据的取值范围求的取值范围，即为的定义域。

例如，若的定义域为，即，可确定的取值范围，则等价于中，即的定义域为。

例2：已知函数的定义域为[-l，2），求函数的定义域。

解：已知的定义域为[-l，2），即，

，即等价于中，

∴函数的定义域为[3，9）。

3 已知的定义域，求的定义域

题型3本质上为题型1和题型2的综合。

解题方法：根据第一句话，已知的定义域，就是已知的取值范围，根据的取值范围可确定的取值范围。再根据第二句话相同对应法则作用范围相同，意味着的取值范围与的取值范围相同，两者等价，则问题化为，根据的取值范围求的取值范围，即为的定义域。

例如，若的定义域为，即，可确定的取值范围，则等价于中，再根据的取值范围求得，即的定义域为。

例3：已知函数的定义域为[-1，1]，求函数的定义域。

解：已知的定义域为[-l，1]，即

，即等价于，

解得中，∴函数的定义域为。

4 已知的定义域，求运算型抽象函数的定义域

运算型的抽象函数是指由有限个抽象函数经四则运算得到的函数，如，等。

解题方法：先根据题型1求出各个函数，的定义域，然后再求其交集。

例如，若的定义域为，即，则等价于中和中，分别解得的取值范围，其交集即为所求定义域。

例4：若的定義域为[-5，3]，求函数和的定义域。

解：由的定义域为[-5，3]，即中，

则中有，解得，

取交集得，∴函数的定义域为。

同理，的定义域也为。

总之，抽象函数定义域的求解问题一定要从本质上弄明白，理解函数的定义域和对应法则，清楚解题策略，进而根据对应法则下的等价转化，利用不等式知识解决问题。

【参考文献】

什么叫函数的定义域 篇4

f(x)是函数的符号，它代表函数图象上每一个点的纵坐标的数值，因此函数图像上所有点的纵坐标构成一个集合，这个集合就是函数的值域。x是自变量，它代表着函数图象上每一点的横坐标，自变量的取值范围就是函数的定义域。f是对应法则的代表，它可以由f(x)的解析式决定。例如：f(x)=x^2+1,f代表的是把自变量x先平方再加1。x2+1的取值范围(x2+1≥1)就是f(x)=x2+1的值域。如果说你弄清了上述问题，仅仅是对函数f(x)有了一个初步的认识，我们还需要对f(x)有更深刻的了解。

复合函数定义域 篇5

一、定积分及应用

⒈了解定积分的概念；知道定积分的定义、几何意义和物理意义；了解定积分的主要性质，主要是线性性质和积分对区间的可加性，ba(f(x)g(x))dxbabbaf(x)dxbag(x)dx

cf(x)dxcf(x)dxa

(c为常数)

还应熟悉以下性质

baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx

baf(x)dxf(x)dx

baaaf(x)dx0

例题：

1．利用定积分的几何意义，说明下列等式：(1)2xdx1;01(3)sinxdx0.解答：

（1）表示的是：由y轴，直线x1和直线y2x所围成的三角形的面积是1。（2）表示的是：由x轴，曲线ysinx和直线x所围成的图形上下的面积相等。2．根据定积分的性质，说明下列积分哪一个的值较大：(1)xdx还是01210xdx?23(2)xdx还是12 xdx?1321解答：（1）因为在区因为在区间[0，1]上，xx，因此有：023xdx210xdx?3

（2）在区间[1，2]上，x2x3，因此有：12xdx221xdx3

⒉了解原函数存在定理；会求变上限定积分的导数。

若G(x)(x)af(t)dt，则

G(x)f((x))(x)

⒊熟练掌握牛顿——莱布尼茨公式，换元积分法和分部积分法。

例题：估计积分(x1)dx.的值：

142解答：(x1)dx(ab2x33x)|bab33b(a33a)，因此

41(x1)dx21324.22.计算.解答：

⒋了解广义积分的概念；会判断简单的广义积分的收敛性，并会求值。

a10dxpxdxxp当p1时收敛，当p1时发散；

当p1时收敛，当p1时发散。

⒌掌握在直角坐标系下计算平面曲线围成图形的面积；会计算平面曲线围成的图形绕坐标轴旋转形成的旋转体体积。

由曲线yf(x)和yg(x)及直线xa,xb围成的面积S，有

Sbaf(x)g(x)dx

对于对称区间(a,a)上的定积分，要知道

当f(x)为奇函数时有

当f(x)为偶函数时有

a－aa－af(x)dx0

f(x)dx2f(x)dx20a0－af(x)dx

例题： 1.计算正弦曲线y = sinx在[0, ]上与x轴所围成的平面图形的面积.解答：

2．计算对弧长的曲线积分之间的一段弧.解答：L.yds,其中L是抛物线yx上的点（0，0）与点(2,42)2Lyds20x14xdx2182014xd4x222136

3.利用定积分定义计算由及横轴所围成的图形的抛物线yx1,两直线xa、xb(ba)面积.解答：(x1)dx(2abx33y2x)|bab33b(a33a)

练习：求椭圆答案：6。x2941所围成的图形面积.6.理解二重积分的定义、几何意义；会计算二重积分

例题：计算二重积分：

(1)xyd,其中D是由直线x0、y0、xy1所围成的闭区域；

D(2)Dexy22d,其中D是由圆周xy1所围成的闭区域.x2xx22322解答：（1）xydD2210dx21x0xydy10dx124，（2）eDxyd10dr0ed2(e1)，r二、二元函数的定义域

要求：会求二元函数的定义域 例题：

1．求下列各函数的定义域：(1)zln(yx)x1xy(2)uRxyz222222;1xyzr2222

(Rr0).解答：（1）要使函数有意义必须满足：

yx022，这样函数的定义域为：{(x,y)|yx,x0,xy1.} x0221xy0（2）要使函数有意义必须满足：Rxyz0,xyzr0,即

{(x,y,z)|r222222222xyz222R}2

练习：求函数zxy1y的定义域。

答案：{(x,y)|xy,y0} 2．已知函数f(x,y)x2y2xytanxy,试求f(tx,ty).解答：将tx,ty分别代替原函数自变量x,y的位置，通过计算我们得到：原式=t2f(x,y)3．已知函数f(u,v,)uuv,试求f(xy,xy,xy).解答：将xy,xy,xy分别代替原函数自变量u,v,w的位置，通过计算我们得到： 原式=(xy)xy(xy)2x

练习：设f(x,y)x2xyy2sin答案：t2f(x,y)。

yx,则f(tx,ty)=？

三．二元函数的极限

从形式上讲，一元函数与二元函数的极限没有多大区别。limfxA是指，对于任

xx0意给定的正数，总存在正数，当0xx0时，恒有fxA.limfPAPP0是指，对于任意给定的正数，总存在正数，当0PP0时，恒有fPA。但是在二元函数的极限中PP0要比一元函数极限中xx0复杂的多，对xx0，x趋向x0的方式虽然是任意的，但它毕竟是在x轴上变化而已，可是对PP0，P趋向P0的任意方式却是在平面上变化，因此PP0要比xx0多样化。

例如：沿着所有过P0的直线趋向P0是PP0的一种特殊方式，又例如沿着所有过P0的抛物线趋向P0也只是PP0的一种特殊方式，还有其他的PP0的方式，这就一元函数与二元函数的极限的重要区别。例题：

1.求极限：(1)lim(xy)exyxx1y2;

(2)limsinxy()yx2y0;

解答：（1）原式=12e1123e2

（2）此题与上题不一样，因为当y0时，分母趋于零，所以我们需要先对y求导，sin(xy)y即

limx2y0limxcosxy()2。

x2y0练习：(1)lim1xyxyxy22;(2)limln(xe)xy22yx0y1x1y0;(3)lim2xy4xyx0y0;

(4)limx0y0xy11;(5)lim1cos(xy)(xy)e22xy2222x0y0.14答案：（1）1；（2）ln2；（3）（4）（5）先对x, 后对y求导，然后可算出：分别为,2，

四、方向导数和梯度

定理：若函数f在点P0x0,y0,z0可微，则f在点P0处沿任意方向l的方向导数都存在，且

flP0fxP0cos+fyP0cos+fzP0cos，其中cos，cos，cos为方向余弦。

对于二元函数fx,y来说，相应的结果是

flP0fxx0,y0cos+fyx0,y0cos，其中,是平面向量l的方向角。

梯度的定义：若函数f在点P0x0,y0,z0存在对所有自变量的偏导数，则称向量（fxP0，fyP0，fzP0）为函数f在点P0的梯度，记作：

gradf（fxP0，fyP0，fzP0）

向量gradf的长度（或模）为

gradf例题：

1．求函数zxy在点（1，2）处沿从点（1，2）到点(2,2解答：方向l=21,222fxP0fyP0fzP0222

3)的方向的方向导数.32=1,3，易见z在点P0（1，2）可微，故由fxP02

，fyP04，及方向l的方向余弦：cos2113212，cos32

所以函数zxy在点（1，2）处沿从点（1，2）到点(2,21232223)的方向的方向导数为

zl（P0）=24=123 2．问函数fxy2z在点P0（1，－1，2）处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值.解答：因为f在点P0的梯度方向是f的值增长最快的方向，且沿这一方向的变化率就是梯度的模，又fxP02，fyP04，fzP01，所以gradf2i4jk是方向导数取最大的方向，此方向导数的最大值是|gradf|21。

练习：函数zx2y2在点（1，1）处沿从点（1，1）到点（3，2）方向的方向导数解答：5

十、函数的定义和调用 篇6

程序员一般把函数当作“黑箱”处理，并不关心它内部的实现细节。当然程序员也可以自己开发函数库。

说明一点，函数这一节很重要，可以说一个程序的优劣集中体现在函数上。如果函数使用的恰当，可以让程序看起来有条理，容易看懂。如果函数使用的乱七八糟，或者是没有使用函数，程序就会显得很乱，不仅让别人无法查看，就连自己也容易晕头转向。可以这样说，如果超过100行的程序中没有使用函数，那么这个程序一定很罗嗦(有些绝对，但也是事实)。

一、函数的定义

一个函数包括函数头和语句体两部分。

函数头由下列三不分组成：

函数返回值类型

函数名

参数表

一个完整的函数应该是这样的：

函数返回值类型 函数名(参数表)

{

语句体;

}

函数返回值类型可以是前面说到的某个数据类型、或者是某个数据类型的指针、指向结构的指针、指向数组的指针。指针概念到以后再介绍。

函数名在程序中必须是唯一的，它也遵循标识符命名规则。

参数表可以没有也可以有多个，在函数调用的时候，实际参数将被拷贝到这些变量中。语句体包括局部变量的声明和可执行代码。

我们在前面其实已经接触过函数了，如abs(),sqrt()，我们并不知道它的内部是什么，我们只要会使用它即可。

这一节主要讲解无参数无返回值的函数调用。

二、函数的声明和调用

为了调用一个函数，必须事先声明该函数的返回值类型和参数类型，这和使用变量的道理是一样的(有一种可以例外，就是函数的定义在调用之前，下面再讲述)。

看一个简单的例子：

void a(); /*函数声明*/

main()

{

a(); /*函数调用*/

}

void a() /*函数定义*/

{

int num;

scanf(%d,&num);

printf(%d ,num);

}

在main()的前面声明了一个函数，函数类型是void型，函数名为a，无参数。然后在main()函数里面调用这个函数，该函数的作用很简单，就是输入一个整数然后再显示它。在调用函数之前声明了该函数其实它和下面这个程序的功能是一样的：

main()

{

int num;

scanf(%d,&num);

printf(%d ,num);

}

可以看出，实际上就是把a()函数里面的所有内容直接搬到main()函数里面(注意，这句话不是绝对的，

)

我们前面已经说了，当定义在调用之前时，可以不声明函数。所以上面的程序和下面这个也是等价的：

void a()

{

int num;

scanf(%d,&num);

printf(%d ,num);

}

main()

{

a();

}

因为定义在调用之前，所以可以不声明函数，这是因为编译器在编译的时候，已经发现a是一个函数名，是无返回值类型无参数的函数了。

那么很多人也许就会想，那我们何必还要声明这一步呢?我们只要把所有的函数的定义都放在前面不就可以了吗?这种想法是不可取的，一个好的程序员总是在程序的开头声明所有用到的函数和变量，这是为了以后好检查。

前面说了，在调用之前，必须先声明函数，所以下面的做法也是正确的(但在这里我个人并不提倡)。

main()

{

void a();

a();

}

void a()

{

int num;

scanf(%d,&num);

printf(%d ,num);

}

一般来说，比较好的程序书写顺序是，先声明函数，然后写主函数，然后再写那些自定义的函数。

既然main()函数可以调用别的函数，那么我们自己定义的函数能不能再调用其他函数呢?答案是可以的。看下面的例子：

void a();

void b();

main()

{

a();

}

void a()

{

b();

}

void b()

{

int num;

scanf(%d,&num);

printf(%d ,num);

}

main()函数先调用a()函数，而a()函数又调用b()函数。在C语言里，对调用函数的层数没有严格的限制，我们可以往下调用100层、1000层，但是在这里我们并不提倡调用的层数太多(除非是递归)，因为层数太多，对以后的检查有一些干扰，函数调过来调过去，容易让自己都晕头转向。

函数的定义域浅谈 篇7

一、函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误的。

例1：计划在空地用篱笆围一块矩形空地，篱笆总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式?

解：设矩形的长为x米，则宽为(50-x)米，由题意得：S=x (50-x)，故函数关系式为：S=x (50-x).

如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量x的范围。也就是说学生的解题思路不够严密。因为当自变量取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量的范围：0

即：函数关系式为：S=x (50-x) (0

在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。

二、函数最值与定义域

函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大(小)值的问题。如果不注意定义域，将会导致最值的错误。

例2.求函数y=x2-2x-3在[-2, 5]上的最值.

∴当x=1时，ymin=-4

初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生没有注意到已知条件发生变化。

其实以上结论只是对二次函数y=ax2+bx+c (a>0)在R上适用，而在指定的定义域区间[p, q]上，它的最值应分如下情况：

(1)当

(2)当>q时，y=f (x)在[p, q]上是单调递减函数，f (x) max=f (p), f (x) min=f (q);

(3)当p≤≤q时，y=f (x)在[p, q]上最值情况是：

f (x) max=max{f (p), f (q)}.即最大值是f (p), f (q)中最大的一个值。

故本题还要继续做下去：

∴函数y=x2-2x-3在[-2, 5]上的最小值是-4，最大值是12.

这个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，便能准确地求出函数的最值。

三、函数值域与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。

例3.求函数的值域.

错解:令t=, 则2x=t2+3

故所求的函数值域是[, +∞).78

剖析：经换元后，应有t≥0，而函数y=2t2+t+1在[0, +∞)上是增函数，所以当t=0时，ymin=1.

故所求的函数值域是[1, +∞).

变量的允许值范围是非常重要的，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。

四、函数单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。

例4.指出函数f (x) =lg (x2+2x) 的单调区间.

解:先求定义域:

∴函数定义域为(-∞, -2)∪(0, +∞).

令u=x2+2x，知在x∈(-∞, -2)上时，u为减函数，

在x∈(0, +∞)上时，u为增函数。

又∵f (x)=lgu在[0，+∞)是增函数.

∴函数f (x)=lg (x2+2x)在(-∞, -2)上是减函数，在(0, +∞)上是增函数。

即函数f (x)=lg (x2+2x)的单调递增区间是(0, +∞)，单调递减区间是(-∞, -2).

如果在做题时，没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，就说明学生对函数单调性的概念只是一知半解，并没有真正理解。

五、函数奇偶性与定义域

判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。

例5.判断函数y=x3, x∈[-1, 3]的奇偶性.

解：∵2∈[-1, 3]而-2埸[-1, 3]

∴定义域区间[-1, 3]关于坐标原点不对称

∴函数y=x3, x∈[-1, 3]是非奇非偶函数.

如果学生不注意函数定义域，那么就可能得出如下错误结论：

∴函数y=x3, x∈[-1, 3]是奇函数.

错误剖析：因为以上做法没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下直接加以判断所造成，这是学生极易忽视的步骤，也是造成结论错误的原因。

求函数定义域的题型及解法分析 篇8

例1 一矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积关于x的解析式，并写出定义域.

解 矩形另一边长为40-x，并且设矩形的面积为y，则y=x（40-x）=-x2+40x.

因为40-x＞0，并且x＞0，所以定义域为{x|0＜x＜40}.

点评 在实际应用问题中，除应考虑解析式本身有定义外，还应考虑实际问题有意义.

由函数解析式求定义域的基本思想是根据限制条件转化为自变量的不等式（组），进而求得定义域.

在此类问题中，求使函数有意义的x的集合，常用以下依据：?譹?訛 分式的分母不等于0；?譺?訛 偶次根式被开方式大于等于0；?譻?訛 对数式的真数大于0，底数大于0且不等于1；?譼?訛 指数为0时，底数不等于0.

例2 （2010年湖北卷）函数y=的定义域为（）

A. ，1B. ，+∞

C. （1，+∞）D. ，1∪（1，+∞）

解 由log0.5（4x-3）＞0且4x-3＞0，得0＜4x-3＜1，即＜x＜1.所以函数的定义域为，1，答案为A.

点评 求函数定义域时，应全面利用制约自变量取值范围的条件，一般原则是“宁重不漏”，如果漏掉某一限制条件，就会造成自变量取值范围的扩大，从而导致错误.

复合函数的定义域问题主要依据复合函数的定义.它主要有以下三种类型：

1. 已知f（x）定义域，确定函数f ［g（x）］的定义域

设函数f（x）的定义域为D，即x∈D，所以f的作用范围为D.又f对g（x）作用，作用范围不变，所以g（x）∈D，解得x∈E，E为f ［g （x）］的定义域.

例3 若函数f（x）的定义域为［0，1］，求函数f（x2-1）的定义域.

解 据题意，0≤x2-1≤1，所以1≤x2≤2，所以1≤x≤或-≤x≤-1，所以f（x2-1）的定义域为［-，-1］∪［1，］.

点评 g（x）必须符合f（x）的定义域，否则不可以代入.

2. 已知f ［g （x）］定义域，确定函数f（x）的定义域

设f ［g （x）］的定义域为D，即x∈D，由此得g（x）∈E，所以f的作用范围为E.又f对x作用，作用范围不变，所以x∈E，E为f（x）的定义域.

例4 若函数f（x2+1）的定义域为（-3，-1）∪（1，3），求函数f（x）的定义域.

解 据题意，-3＜x＜-1或1＜x＜3，则2＜x2+1＜10，故f（x）定义域为（2，10）.

3. 知f ［g （x）］定义域，求函数f ［h（x）］的定义域

设f ［g （x）］的定义域为D，即x∈D，由此得g （x）∈E，f 的作用范围为E.又f 对h（x）作用，作用范围不变，所以h（x）∈E，解得x∈F，F为f ［h（x）］的定义域.

例5 已知函数f（x+1）的定义域为［0，1］，求函数f+1的定义域.

解 据题意，0≤x≤1，故1≤x+1≤2，于是1≤+1≤2，故0≤≤1，所以x≥1，故f+1定义域为{x|x≥1}.

点评 该题型综合了前两种题型的解法.

综上，若函数是由一些基本初等函数复合而成，则求函数定义域时应注意内层函数的值域为外层函数的定义域的子集.

1. 函数f（x）=+lg（2+5x-3x2）的定义域是（）

A. -，2B. -，1

C. -2，D. -∞，-

2. 若函数f （x）的定义域是［0，2］，则函数g （x）=的定义域是（）

A. ［0，1］B. ［0，1）

C. ［0，1）∪（1，4］D. （0，1）

3. 已知函数f （2x-1）的定义域为［1，4］，那么函数f （x）的定义域为.

4. 已知函数f （2x）定义域是［1，2］，则函数f（log2x）的定义域为.

三角函数定义的教学反思 篇9

许钦彪

教育部制订的普通高中《数学课程标准》（人民教育出版社2003年4月版）第31页关于必修4《三角函数》的内容与要求是：①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。根据这个要求，人民教育出版社《数学必修4》（2007年2月版）第12页给出的任意角的三角函数定义为（本文称为定义1）：

设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点p(x,y)，那么y叫做的正弦，记作sin，即siny，x叫做的余弦，记作cos，即cosx，yy叫做的正切，记作tan，即tan。xx而把原教材中的三角函数定义，在第13页用注释给出（本文称为定义2）： 一般地，设角终边上任意一点的坐标为（x,y），它与原点的距离为r，则sinyxr,cos,tan。并要学生证明。rrx在实际教学中，定义1的优点是简洁明了，缺点是缺乏一般性，在实际解题中不能直接应用。而定义2不但简洁明了，而且在一般性问题中都可以直接应用。例如教材第12页的例题：

例2：已知角的终边经过点P0(3,4)，求角的正弦、余弦和正切值。

教材中是先求出rOP05，再用相似三角形的比例关系转化成单位圆与终边的交点坐标来得到解。由于涉及到相似比以及符号，结果把这个简单明了的问题搞得复杂化。而且这种相似比及符号问题没有一般性。如果在其它象限，其比值符号仍是一个困难。在讲解和学习时，学生普遍反映思维别扭、理解不清、难以接受。

如果利用定义2，其解法就自然、清楚而且不受象限及符号的影响。

解：∵P0(3,4)在的终边上，x3,y4,r5。据定义2，得siny4x3y4,cos,tan。r5r5x3同样，第15页的练习2，第20页的习题1.2的2以及须由定义解答的问题都是利用定义2容易解答，这是因为很少有问题会在已知中给出终边上的点刚好是单位圆上的条件，所以用定义1解答必须涉及相似比以及符号问题等困难，这是没有必要的。

根据以上分析，建议在教学时，把定义2作为任意角三角函数的定义，而把定义1作为简化定义。这一节的主要教学步骤可设计为：

1、定义引入：

①学生复习直角三角形中锐角的正弦sin,余弦cos,正切tan。

提出问题：现在角是任意角，这种定义应扩展。

②将角放在直角坐标系中，先以简单的情况为例研究。设是第一象限角（如图），如何定义的三角函数，要考虑两个因素：

aba，来定义，现在扩大的定义要包含以前的定义。ccb第二，sin,cos,tan要由唯一确定（否则不是函数）。第一，初中中用比学生经过讨论基本上能认同找一个RtOPM，教师指出,这个Rt的实质 是终边上的点P(x,y)。记。OPr定义sin,cos,tan。

进一步讨论这个比值是否由唯一确定？与P在终边上的位置有否关系？假如另外取一点P1(x1,y1),r1，学生易知关，由唯一确定。

于是这个定义是合理的，也就是说以的终边上的一点P(x,y)的坐标x,y和OPr的比值来定义三角函数是符合函数要求的。

③进一步可以考虑，以上定义与所在的象限有否关系（无），有否大小限制（无）。④所以，任意角的三角函数的定义是：设角的终边上任意一点的坐标为P(x,y)，它与原点O的距离为r，则sinyxyx2y2.。联想第一个因素，可以用比值，来

rrxy1yx1xyy，，1。即比值与P点在终边上的位置无

r1rr1rxx1yyx,cos,tan。rrx⑤说明：A：定义中的P点是终边上的任一点。

B：因为r0，所以对任何，sin,cos总有确定值，而x0即k2

时，tan没有意义。

C：因为角可以用弧度（实数）表示，所以三角函数建立了角的集合（弧度

表示）与实数集之间的一一对应关系。

⑥给出单位圆概念。

⑦探讨三角函数的简化定义：角的终边与单位圆交于点P(x,y)，则r1，此时定义简化为：siny,cosx,tany。x2、定义的应用：

① 已知角终边上一点求三角函数值，讲练课本12页例2，15页练2。可用一般 定义解决（点已知代定义）

②已知角的大小求三角函数（课本12页例1）可用单位圆与终边的交点（点未 知，自己取），进而练习特殊角0,6432，，,3的三角函数值，并记忆。

23、三角函数的定义域：

由定义知定义域，学生填表（课本13页）并记忆。

4、三角函数值的符号：

由定义和点角终边上一点P(x,y)在各象限的符号探讨三角函数值在各象限的符 号，学生填表（课本13页）。记忆和应用（课本13页例3）。

5、诱导公式一：

学生探讨，由定义知终边相同的同名三角函数值相等。诱导公式一的作用是把任意 角化为一周内的角。应用（课本14页例4，例5，练习15页5，6）。

复合函数定义域 篇10

例2 利用正切函数图像求满足条件的角的范围.

设计意图:强调学生要学会利用图像来做题，注意区间的开闭问题.

（四）课堂小结：学生自己先总结然后老师补充.

（五）思考问题：

1.正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？

2.正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？

五、作业布置

完成相应的课后作业.

六、设计说明

1.板书说明：侧黑板留给学生展示，前黑板用来展示多媒体.

2.时间分配:(一) 五分钟（二）六分钟1.十分钟2.十二分钟3.五分钟

复合函数定义域 篇11

一、利用函数关系式与定义域，培养思维严密性

在数学教学中往往会出现求解函数的关系式，遇到这样问题时如果忽视了所求函数关系式的定义域，将会使求解函数出现错误的结论。

例1：用长14.8m的钢条来制作一个长方体容器的框架，若所制容器底面一边长为x，且比另一底边小0.5m，求容积V关于边长x的函数关系式。

解：设容器高为h，则4（x+0.5+x+h）=14.8，所以h=3.2-2x

V=x（0.5+x）（3.2-2x）=-2x■+2.2x■+1.6x

本题解答到这里并没有结束，从题目中我们不难发现函数关系式还缺少自变量x的取值范围。此时如果引导学生注意解题思路的严密性，强调函数三要素，学生将会有所发现：

因为边长x和x+0.5以及高h均大于0，所以由：

x>0x+0.5>03.2-2x>0得：0

学生思维一旦缺乏严密性，就很容易忽视函数自变量定义域，所以在用函数方法解决实际问题时，务必注意函数自变量的取值范围对实际问题的影响，对学生加强必要引导和训练。

二、利用函数最值与定义域，培养思维灵活性

数学函数求最值的问题充分体现函数定义域的重要性。如果忽视定义域，将会导致最值的错误。

例2：已知函数f（x）=■，x≥1

（1）当a=■时，求f（x）的最小值。

（2）若对任意x≥1，f（x）>0恒成立，求实数a的取值范围。

分析：此题第（1）问，学生会产生三种思路：①利用单调性的定义证明f（x）的单调性再求最值；②利用导数判断函数的单调性再求最值；③利用均值不等式求最值。而前两种方法都较为繁琐，所以学生很容易偏向第三种解法。

错解：（1）a=■时，f（x）=■=x+■+2≥2■+2=2+■，当且仅当x=■时，即x=±■时，f（x）■=2+■

剖析：尽管学生想到了均值不等式这样简洁的方法，但是忽视了均值不等式的应用条件和函数的定义域。因为±■ 1，+∞，所以“=”取不到，故此解法错误。

（2）在（1）的教训下，学生在解答这一小题时开始注意到“x≥1”这个条件，于是作如下解答：

由f（x）>0恒成立且x≥1可得x■+2x+a>0恒成立，由二次函数的知识可知，只需要令△<0，即4-4a<0，所以a>1。

或者作如下解：

若x■+2x+a>0恒成立，则a>-x■-2x恒成立，则只需要令a大于-x■-2x的最大值即可。又-x■-2x=-（x+1）■-1≤-1，所以a>-1。

但是这两个答案都是错的，都是没能把定义域考虑完全，尽管在开始的变形与转化中已经注意到这个问题，但是随着解题的深入，在思维定势的影响下，定义域又忘了。

正解：思路一，∵x≥1，若f（x）=■>0恒成立，则只需要x■+2x+a>0恒成立，∵二次函数g（x）=x■+2x+a在[1，+∞）上递增，若在x≥1时，g（x）恒大于0，则只需要g（1）>0。∴3+a>0，即a>-3。

思路二，由x■+2x+a>0恒成立可得a>-x■-2x恒成立，设g（x）=-x■-2x，其中，x≥1，则只需要a>g（x）■=g（1）=-3，所以a>-3。

由此我们可以发现，学生在解题过程中的思维严密性和灵活性不是短期内就能养成的，这时，教师应当提醒学生注意自变量的取值范围，这样就可以打破学生的思维定势，提高其灵活性。

三、利用函数值域与定义域的关系，培养思维批判性

在数学函数中当定义域和对应法则确定下来，函数的值也将会随之而确定。因此，我们在解答函数值域的问题时，要高度重视函数定义域的问题。

例3：已知函数f（x）=sinxcosx-sinx-cosx，求f（x）的值域。

错解：设sinx+cosx=t，则sinxcosx=■，所以，f（x）=g（t）=■t■-t-■=（t-1）■-1≥-1，故f（x）的值域为[―1，+∞）。

剖析：换元后sinx+cosx=t=■sin（x+■）∴-■≤t≤■

∴g（t）■=g（-■）=■+■，g（t）■=g（1）=-1

∴f（x）的值域是[-1，■+■]。

自变量的取值范围对函数值域非常重要，因此，教师要能够严格要求学生对做完的习题进行检验，发现和修订错误，从而培养学生良好的学习习惯，提高学生思维的批判性和严谨性。

四、利用函数单调性与定义域，培养思维深刻性

在解答函数习题时，千万不能忽略函数的单调性，应强调在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随之增减的情况，讨论函数单调性在给定的定义域区间上的变化情况。

例4：指出函数f（x）=■的单调区间。

解：先求定义域：∵log■（x■―2x）≠0，∴x■―2x≠1

又∵x■―2x>0，所以函数定义域为：

（-∞，1-■）∪（1-■，0）∪（2，1+■）∪（1+■，+∞）

设u= x■-2x，则u在（-∞，1-■）和（1-■，0）上递减，在（2，1+■）和（1+■，+∞）上递增。根据复合函数单调性的判断方法，可知f（x）的单调减区间是（-∞，1-■）和（1-■，0）；单调增区间是（2，1+■）和（1+■，+∞）。

如果学生对函数单调性的概念不清楚，理解不深刻，在习题训练时，只会死套公式；由于思维缺乏深刻性，对于解题方法的实质以及所用到的知识点都不能够深刻领会，在答题时，也一定不会考虑到函数在定义域内的单调性。所以，教学时，教师应重视学生的反思过程，反思解题过程和方法，反思解题所用到的知识点，以此达到检查遗漏，补缺补差，避免再犯的目的。

综上所述，函数定义域对求解函数关系式、最值（值域）、单调性、奇偶性等数学问题是非常重要，如果在教学中把与定义域有关的问题集中起来加强对学生进行强化训练，可以培养学生良好的思维习惯、思维品质，同时还有利学生创造性思维的培养。

【责编 张景贤】

复合函数定义域 篇12

关键词：函数,思维品质

函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终。函数的定义域是构成函数的两大要素之一，函数的定义域 (或变量的允许值范围) 似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧途。在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响，对提高学生的数学思维品质是十分有益的。

一、函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如：

例1某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100米，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式?

解：设矩形的长为x米，则宽为 (50-x) 米，由题意得：S=x (50-x)。

故函数关系式为：S=x (50-x).

如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量x的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量x取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量x的范围：0

即：函数关系式为：S=x (50-x) (0

这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这一点，就体现出学生思维缺乏严密性。若注意到定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性。

二、函数最值与定义域

函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大 (小) 值的问题。如果不注意定义域，将会导致最值的错误。如：

例2求函数y=x2-2x-3在[-2, 5]上的最值。

初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化。这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性。

其实以上结论只是对二次函数y=ax2+bx+c (a>0) 在R上适用，而在指定的定义域区间[p, q]上，它的最值应分如下情况：

⑴当

⑵当p时，y=f (x) 在[p, q]上单调递减函数f (x) max=f (p) ，f (x) min=f (q) ;

⑶当p≤≤q时，y=f (x) 在[p, q]上最值情况是：

f (x) max=max{f (p) ，f (q) }，即最大值是f (p) ，f (q) 中最大的一个值。

故本题还要继续做下去：

∴函数y=x2-2x-3在[-2, 5]上的最小值是-4，最大值是12。

这个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，便体现出学生思维的灵活性。

三、函数值域与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：

例3求函数的值域。

错解：令

故所求的函数值域是[，+∞)。

剖析：经换元后，应有t≥0，而函数y=2t2+t+1在[0，+∞) 上是增函数，

所以当t=0时，ymin=1。故所求的函数值域是[1，+∞)。

以上例子说明，变量的允许值范围是何等的重要，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。也就是说，学生若能在解好题目后，检验已经得到的结果，善于找出和改正自己的错误，善于精细地检查思维过程，便体现出良好的思维批判性。

四、函数单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：

例4指出函数f (x) =log2 (x2+2x) 的单调区间。

解：先求定义域：∵x2+2x>0

∴x>0或x<-2

∴函数定义域为 (-∞，2) ∪(0，+∞)。

令u=x2+2x，知在x∈ (-∞，-2)上时，u为减函数，

在x∈ (0，+∞)上时，u为增函数。

又∵f (x) =log2u在[0，+∞)是增函数。

∴函数f (x) =log2 (x2+2x)在 (-∞，-2)上是减函数，在[0，+∞)上是增函数。

即函数f (x) =log2 (x2+2x)的单调递增区间是(0，+∞)，单调递减区间是 (-∞，-2)。

如果在做题时，没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，就说明学生对函数单调性的概念一知半解，没有理解，在做练习或作业时，只是对题型，套公式，而不去领会解题方法的实质，也说明学生的思维缺乏深刻性。

五、函数奇偶性与定义域

判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。如：

例5判断函数y=x3, x∈[-1, 3]的奇偶性。

解：∵2∈[-1, 3]而-2埸[-1, 3]

∴定义域区间[-1, 3]关于坐标原点不对称

∴函数y=x3, x∈[-1, 3]是非奇非偶函数。

若学生像以上这样的过程解完这道题目，就很好地体现出学生解题思维的敏捷性

如果学生不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论：

∵f (-x) = (-x) 3=-x3=-f (x)

∴函数y=x3, x∈[-1, 3]是奇函数。

错误剖析：因为以上做法是没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下直接加以判断所造成，这是学生极易忽视的步骤，也是造成结论错误的原因。

复合函数定义域 篇13

1．什么是基本表？什么是视图？两者的区别和联系是什么？

答：

基本表是本身独立存在的表，在 sQL 中一个关系就对应一个表。视图是从一个或几个基本表导出的表。视图本身不独立存储在数据库中，是一个虚表。即数据库中只存放视图的定义而不存放视图对应的数据，这些数据仍存放在导出视图的基本表中。视图在概念上与基本表等同，用户可以如同基本表那样使用视图，可以在视图上再定义视图。．试述视图的优点。

答

(l）视图能够简化用户的操作；(2）视图使用户能以多种角度看待同一数据；(3）视图对重构数据库提供了一定程度的逻辑独立性；(4）视图能够对机密数据提供安全保护。．所有的视图是否都可以更新？为什么？

答:

不是。视图是不实际存储数据的虚表，因此对视图的更新，最终要转换为对基本表的更新。因为有些视图的更新不能惟一有意义地转换成对相应基本表的更新，所以，并不是所有的视图都是可更新的.4 ．哪类视图是可以更新的？哪类视图是不可更新的？各举一例说明。

答：基本表的行列子集视图一般是可更新的。若视图的属性来自集函数、表达式，则该视图肯定是不可以更新的。

复合函数定义域 篇14

两个包含r边形数部分数列的复合函数的渐近公式

设n是正整数,u(n)表示不大于n 的最大r角形数部分数列, v(n)表示小于n的.最小r角形数部分数列,a(n)及b(n)分别是u(n)和 v(n)补数.利用初等方法和解析方法研究a(n)及b(n)的均值性质以及a(n)、b(n)除数函数的混合均值,并给出了两个均值公式.

作 者：李金锁 LI Jin-suo  作者单位：西安铁路职业技术学院,基础部,西安,710016 刊 名：科学技术与工程  ISTIC英文刊名：SCIENCE TECHNOLOGY AND ENGINEERING 年，卷(期)： 9(20) 分类号：O156.4 关键词：m角形数列   均值   渐近公式  

关于高中函数单调性定义的解读 篇15

一般的, 设函数f (x) 的定义域为I:

如果对于函数f (x) 的定义域I内某个D区间上的任意两个自变量的值x1, x2,

⑴若当1x

⑵若当1xf (x2) , 则说f (x) 在这个区间上是减函数.

函数的增减性统称为函数的单调性.

理解和掌握上述定义, 需注意一下六点:

一、单调性的知识背景

在初中学习时, “y随着x的增大而增大”, 或“y随着x的增大而减小”, 这实际就是函数单调性定义的雏形.而高中阶段单调性的定义, 也就是对上述诊断的数量刻画.例如, 1x

二、单调性是相对于一个区间而言的概念

单调性是针对定义域内的某个区域而言的, 反映的是函数的局部性质.有两层含义:一是在函数的整个定义域内, 它可能有若干个增区间或者减区间;二是在叙述函数的单调性时, 必须同时指出其相应的单调区间.

函数的某个单调区间, 可能是其定义域本身, 抑或是定义域的一部分, 故单调区间D是定义域I的子集.其中边界点 (或称临界点) 写在区间内或者不写在区间内都不影响函数在其区间的单调性, 也就是说函数单调性不因边界的一个具体的数值而改变.即:函数在某个单调区间既可以写成开区间, 又可以写成闭区间.

三、自变量的值x1, x2是表示某区间内任意值

对于D区间上的两个自变量的值x1, x2, 注意一定要表达出具有的任意性, 而非某些特殊值, 方能使D区间内的每一个值都能被x1, x2所表示, 不失一般性;否则D区间就不一定具备单调性, 或者不能将D区间进行正确的描述.

四、单调区间不能用并集表示

当一个函数有若干个增区间 (或者减区间) 时, 其单调区间不能用并集表示, 例如:

函数y=-x2+2|x|+3的单调递增区间是__________, 单调递减区间是__________.

有的学生填写的答案就是:单调递增区间是 (-∞, -1) U[0, 1], 单调递减区间是[-1, 0]U[1, +∞) .虽然他们明白了函数各个区间的单调性, 但是其结果的表达方式是错误的.

错误原因就在于对两个区间上的任意两个自变量值x1, x2, 并不能总符合增函数 (或减函数) 的定义.

五、单调性的图像特征

函数在某区间上单调递增⇔图像从左至右呈上升趋势;函数在某区间上单调递减⇔图像从左至右呈下降趋势, 从而为我们凭借几何直观的简单图像 (或者说几何定义也好) 来处理一些单调性的问题提供了很大的方便.

六、单调性的命题意义

函数单调性的定义是一个真命题, 并且, 其逆命题也是真命题.

逆命题1:已知函数y=f (x) 在定义域的某个区间上为增函数, 若1x

逆命题2:已知函数y=f (x) 在定义域的某个区间上为增函数, 若f (1x)

同理, 由减函数的定义也可以构造出于此类似的两个命题, 就不在此赘述了.

逆命题1的意义是:利用函数单调性比较两个函数值的大小 (常见于指数与对数比较中) .

逆命题2的意义是:根据函数y=f (x) 在某个区间上递增与函数值的大小关系, 可以确定自变量值的大小关系.其价值在于把1x与x2从函数的对应法则f下解放出来, 是构建不等式求解的未知数取值范围的重要解题依据和途径.

【例】:已知函数f (x) 在其定义域R+上为增函数且f (2) =1, f (xy) =f (x) +f (y) ,

解不等式:f (x) +f (x-2) ≤3.

【解】不等式f (x) +f (x-2) ≤3可以转化为f[x (x-2) ]≤f (8) ,

又因为函数f (x) 在其定义域R+上为增函数,