线面垂直模拟题

线面垂直模拟题（精选6篇）

线面垂直模拟题篇1

线面垂直、面面垂直

教学目标：掌握线面垂直、面面垂直的证明方法，并能熟练解决相应问题.（一）主要知识及主要方法：

【思考与分析】要证明线面垂直，我们可以把它转化为证明线线垂直，这道题可以通过证明A1C与平面C1BD内两条相交直线BD，BC1垂直即可.而要证明A1C与相交直线BD、BC1垂直，可利用三垂线定理的三步曲证明．基础平面分别取下底面及右侧面．

1.线面垂直的证明：1判定定理；2如果两条平行线中一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于

这个平面；3一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面；4两个平面垂直,在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.5如果两个相交平面都与第三个平面垂直,那么它们的交线与第三个平面垂直.P A6向量法：

PQABPQAB0

PQ 

PQACPQAC0

2.面面垂直的证明：2如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,1计算二面角的平面角为90 ；

那么这两个平面垂直;

题型讲解证明线线垂直

三垂线定理与平面的位置无关，即对水平位置、竖直位置、倾斜位置的平面都能用三垂线定理．下面我们通过实例来体验“三步曲”的具体应用过程．

例1(1)已知PA、PB、PC两两互相垂直，求证：P在平面ABC内的射影O是△ABC的垂心．

【思考与分析】要证O是△ABC的垂心，我们需要证明AO⊥BC、BO⊥AC、CO⊥AB.而AO、BO、CO分别是AP、BP、CP在平面ABC上的射影，因此我们想到应用三垂线定理.分三步进行：①定线面：即面内直线BC与基础平面为底面ABC，②找三线：即垂线PO，斜线PA，射影AO，③证垂直：即AO⊥BC．同理可证其它两条．

证明：因为P在平面ABC内的射影为O，所以PO⊥平面ABC，连结AO且延长交BC于D，则AO是PA在平面ABC上的射影．

∵ AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC=P，∴ PA⊥平面PBC，又BC平面PBC，∴ AP⊥BC．根据三垂线定理的逆定理知，AD⊥BC，所以AD是△ABC中BC边上的高．连结CO并延长交AB于F，同理可证CF⊥AB；所以CF是△ABC中AB边上的高，AD∩CF=O，所以O是△ABC的垂心．【反思】解这道题时，首先应用的是线面垂直的判定定理，然后运用三垂线定理的逆定理，所以要想快速解题，我们需要熟练掌握并能综合应用所学知识.(2)正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：对角线A1C⊥平面C1BD．

证明：∵ A1A⊥平面ABCD，A1C是斜线，连AC，AC⊥BD，由三垂线定理知BD⊥A1C．∵ A1B1⊥平面BCC1B1，A1C是斜线，连B1C，B1C是A1C在BCC1B1内的射影，又∵ BC1⊥B1C，由三垂线定理知BC1⊥A1C．又BD∩BC1=B，∴ A1C⊥平面DBC1．

【反思】应用三垂线定理解题一定要熟记这三个步骤，而且还需要我们有一定的空间立体感.例2在直三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C1=A1C1，A1B⊥AC1，求证：A1B⊥B1C

证明：取A1B1的中点D1，连结C1D1∵B1C1=A1C1，∴C1D1⊥ABB1A连结AD1，则AD1是AC1在平面ABB1A1内的射影，∵A1B⊥AC1，∴A1B⊥AD11取AB的中点D，连结CD、B1D，则B1D∥AD1，且B1D是B1C在平面ABB1A1内的射影∵B1D⊥A1B，∴A1B⊥B1C点评：证明异面直线垂直的常用方法有：证明其中一直线垂直于另外一直线所在的平面；利用三垂线定理及其逆定理证明线面垂直

例3 已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过A点作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面PBC

证明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC

又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC 而PC∩AC=C，∴BC⊥平面又∵AE在平面PAC内，∴BC⊥AE∵PC⊥AE，且PC∩BC=C，∴AE⊥平面PBC 点评：证明直线与平面垂直的常用方法有：利用线面垂直的定义；利用线面垂直的判定定理；利用“若直线a∥直线b，直线a⊥平面α，则直线b⊥平面α”

练习：

1.以AB为直径的圆在平面内PA⊥于A，C在圆上，连PB、PC过A作AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，试判断图中还有几组线面垂直。

PA

BC

PAAB为直径ACBC



AF面PAC



AFPC



AF面PBCPB面PBCAFPB

AEPBPBAEF

cosBAC

AB2AC2BC

22ABAC 

a2b2a2c2b2c2

2ABAC



a2b2a2c2

0

BAC为锐角，同理ABC为锐角。

P在底面射影为ABC垂心。

BC面ABC

PABC

 BC面APQAQ面APQBCAQ

Q为ABC垂心

同理ACBQ



CQAB

AB面PQCPQABABPC

同理A、B5.如图，BAAA//BB确定平面

AB

ABAB//AB



AB//ABAA



AB面AACAAAB





ABAC



AB面CAAABCACAB为直角

证明面面垂直

例4在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1，CD的中点（1）求证：AD⊥D1F；（2）求AE与D1F所成的角；（3）证明平面AED⊥平面A1FD

1分析：涉及正方体中一些特殊的点、线、面的问题，建立空间直角坐标系来解，不仅容易找到解题方向，而且坐标也简单，此时“垂直”问题转化为“两向量数量积为0”的问题，当然也可用其它的证证明：建立空间直角坐标系如图，并设AB=2，则A(0,0,0),D(0,2,0),A1(0,0,2)

D1(0,2,2)，E(2,0,1),F(1,2,0)



(1)AD(0,2,0),D1F(1,0,2)



 ADD1F=0×1+2×1+0×(-2)=0, AD⊥D1F

（2）AE=（2，0，1）D1F=（1，0，-2），|AE|，|D1F|设AE与D1F的夹角为θ，则 cosθ1

21001(2)

50

所以，直线AE与D1F所成的角为90°（3）由（1）知D1F⊥AD，由（2）知D1F⊥AE，又AD∩AE=A，D1F⊥平面AED，∵D1F平面A1FD1M

平面AED⊥平面A1FDB

例5已知AB是圆O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于A,B的任一

点，求证：平面PAC平面PBC．

分析：根据“面面垂直”的判定定理，要证明两平面互相垂直，只要在其中一个平面中寻找一条与另解：∵AB是圆O的直径，∴ACBC，又∵PA垂直于O所在的平面，∴PABC，∴BC平面PAC，又BC在平面PBC中，所以，平面PAC平面PBC．点评：由于平面PAC与平面PBC相交于PC，所以如果平面PAC平面PBC，则在平面PBC中，垂直于PC的直线一定垂直于平面PAC小结:

1垂直问题来处理或在两直线上分别取它们的方向向量，然后证它们的数量积为0

2面垂直的判定定理，证明直线垂直于平面内的两条相交直线，当然再证这直线（这平面）与已知直线（或平面）重合，有时侯将线面垂直问题转化为证面面垂直问题，也许会给你带来意想不到的收获 3如证面面垂直可转化为证明一个平面经过另一个平面的垂线

用向量法证明垂直，就是证有关向量的数量积为1“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的 AB

CD 答案：B①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面③直线m⊥平面α，直线n⊥m，则n∥α④a、b是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a、b都平行且与a、b距离相等 ABCD 解析：①错误与平面相交如下图，平面α∥β，A∈α，C∈α，D∈β，B∈β且E、F分别为AB、CD的中点，过C作CG∥AB交平面β于G，连结BG、GD设H是CG的中点，则EH∥BG，HF∥GD∴EH∥平面β，HF∥平面β

∴平面EHF∥平面β∥平面α∴EF∥α，EF∥β

③错误直线n可能在平面α内④正确AB是异面直线a、b的公垂线段，E为AB的中点，过E作a′∥a，b′∥b，则a′、b′确定的平面即为与a、b都平行且与a、b距离相等的平面，并且它是唯一确定的答案：D

3在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体S—EFG中必有 A⊥平面EFGB⊥平面EFG C⊥平面SEF D⊥平面SEF

解析：注意折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，所以SG⊥平面EFGA答案：A

4PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A、B的任一点，则下列关系不正确的是 A⊥BCB⊥平面PACC⊥PB D⊥BC 解析：由三垂线定理知AC⊥PB，故选答案：C 5ABC的三个顶点A、B、C到平面α的距离分别为2 cm、3 cm、4 cm，且它们在α的同侧，则△ABC的重心到平面α的距离为解析：如下图，设A、B、C在平面α上的射影分别为A′、B′、C′，△ABC的重心为G，连结CG交

AB于中点E，又设E、G在平面α上的射影分别为E′、G′，则E′∈A′B，G′∈C′E，EE′=A′

A+B′B）=，CC′=4，CG∶GE=2∶1，在直角梯形EE′C′C中可求得GG′=3答案：3 cm

6ABCD—A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件_______时，有A1C⊥B1D1认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）答案：A1C1⊥B1D1或四边形A1B1C1D1为菱形等 7ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，则（1）A点到CD1的距离为________；（2）A点到BD1的距离为________；

（3）A点到面BDD1B1的距离为_____________；（4）A点到面A1BD的距离为_____________；（5）AA1与面BB1D1D的距离为__________6622（2）（3）（4）（5）232

328△ABC在平面α内的射影是△A1B1C1，设直角边AB∥α，则△A1B1C1的形状是_____________三角形答案：（1）

解析：根据两平行平面的性质及平行角定理，知△A1B1C的形状仍是Rt△答案：直角 4ABCD—A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC交BD于点O，求证：A1O⊥平面MBD证明：连结MO ∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A∩AC=A，∴DB⊥平面A1ACC1又A1O平面A1ACC1，∴A1O⊥DB

（1）解：当a=2时，ABCD为正方形，则BD⊥AC又∵PA⊥底面ABCD，BD平面ABCD，∴BD⊥PA∴BD⊥平面故当a=2时，BD⊥平面PAC（2）证明：当a=4时，取BC边的中点M，AD边的中点N，连结AM、DM、BMN∵ABMN和DCMN都是正方形，∴∠AMD=∠AMN+∠DMN=45°+45°=90°，即DM⊥AM又PA⊥底面ABCD，由三垂线定理得，PM⊥DM，故当a=4时，BC边的中点M使PM⊥DM（3）解：设M是BC边上符合题设的点M，∵PA⊥底面ABCD，∴DM⊥AM因此，M点应是以AD为直径的圆和BC边的一个公共点，则AD≥2AB，即a≥4点评：本题的解决中充分运用了平面几何的相关知识因此，立体几何解题中，要注意有关的平面几何知识的运用事实上，立体几何问题最终是在一个或几个平面中得以解决的在矩形A1ACC1中，tan∠AA1O=

22，tan∠MOC=，22

∴∠AA1O=∠MOC，则∠A1OA+∠MOC=90A1O⊥OM∵OM∩DB=O，∴A1O⊥平面9S—ABC中，N是S在底面ABC上的射影，且N在△ABC的AB边的高CD上，点M∈SC，截面MAB和底面ABC所成的二面角M—AB—C等于∠NSC，求证：SC⊥截面证明：∵CD是SC在底面ABC上的射影，AB⊥CD，∴AB⊥SCMD∵∠MDC=∠NSC，∴DM⊥SCAB∩DM=D，∴SC⊥截面MABABC中，∠ACB=90°，AB=8，∠BAC=60°，PC⊥平面ABC，PC=4，M为AB边上的一个动点，求PM的最小值解：∵P是定点，要使PM的值最小，只需使PM⊥AB即可要使PM⊥AB，由于PC⊥平面ABC，∴只需使CM⊥AB即可

∵∠BAC=60°，AB=8，∴AC=AB·cos60°=4

∴CM=AC·sin60°=4·

∴PM=PC2CM2=

线面垂直模拟题篇2

例1如果一条直线垂直于一个平面内的:(1)三角形的两条边;(2)梯形的两条边;(3)圆的两条直径,试问这条直线是否与平面垂直?并对判断说明理由.

分析:本题可结合线面垂直的判定定理来说明.

解:(1)直线垂直于三角形所在的平面,因为三角形的两条边所在直线必相交;(2)不一定垂直于梯形所在的平面,因为有可能与两条平行的底所在直线垂直;(3)垂直于圆所在的平面,因为两条直径所在直线必定相交.

点评:本题中的(2)往往会认为是正确的,虽然梯形中有相交的边,但是梯形的上、下底平行,若已知直线与这两底平行,不满足线面垂直中平面内两条相交直线的条件.

二、直线和平面垂直的判定

例2如图1,四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,△PAD是等腰三角形,M、N分别是AB、PC的中点,求证:MN⊥平面PCD.

分析:利用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直时,关键是要在这个平面内找两条相交直线分别与已知直线垂直.本题中即在平面PCD内找两条相交直线PC、PD,再分别证明MN⊥PD与MN⊥PC.

点评:题目中有等腰三角形,一般取底边的中点,则可以由三线合一的性质得到线先垂直的条件.

三、直线与平面垂直的性质的应用

例3如图2,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为A1D和AC上一点,EF与异面直线AC、A1D垂直,求证:EF∥BD1.

分析:利用线线垂直的性质来证明线线平行,其关键是找(构建)出平面,使所给的直线都与该平面垂直.本题中BD1为正方体的对角线,连接AB1、B1C后可证得到BD1⊥平面AB1C,只需要证EF⊥平面AB1C即可.

证明:连接AB1、B1C、BD、B1D1,

因为DD1⊥平面ABCD,AC平面ABCD,

所以DD1⊥AC,又AC⊥BD,则AC⊥平面BDD1B1,所以AC⊥BD1,同理可证BD1⊥B1C,所以BD1⊥平面AB1C.又因为EF与异面直线AC、A1D垂直,即EF⊥AC,EF⊥A1D.

又因为A1D∥B1C,所以EF⊥B1C,

则EF⊥平面AB1C.所以EF∥BD1.

点评:正方体、直棱柱、正棱锥、正四面体等特殊的几何体都有明显的几何特征,在解题时要充分挖掘这些几何体的线面关系,如直棱柱的侧棱垂直于底面,正方体的体对角线垂直于相应的对角面等.

摘要：直线垂直于平面.需要注意判定定理的条件中,“平面内的两条相交直线”是关键性词语,若两条直线不相交(平行),则直线与平面不一定垂直.要判定一条直线与一个平面垂直,只需要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直.判定定理是由线线垂直,即证明直线与平面内的两条相交直线都垂直.

关键词：理解,说明,垂直,相交

参考文献

线面垂直的证明与应用篇3

例1如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.

求证：（Ⅰ）BC⊥平面PAB；（Ⅱ）AE⊥平面PBC；（Ⅲ）PC⊥平面AEF.

证明（Ⅰ）PA⊥平面ABC[⇒]

[PA⊥BCAB⊥BCPA⋂AB=A⇒BC⊥平面PAB.]

（Ⅱ）AE[⊂]平面PAB，由（Ⅰ）知

[AE⊥BCAE⊥PBPB⋂BC=B⇒AE⊥平面PBC.]

（Ⅲ）PC[⊂]平面PBC，由（Ⅱ）知

[PC⊥AEPC⊥AFAE⋂AF=A⇒PC⊥平面AEF.]

例2在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=a，又侧棱PA⊥底面ABCD.

（Ⅰ）当a为何值时，BD⊥平面PAC?试证明你的结论.

（Ⅱ）当[a=4]时，求证：BC边上存在一点M，使得PM⊥DM.

（Ⅲ）若在BC边上至少存在一点M，使PM⊥DM，求a的取值范围.

解析（Ⅰ）当[a=2]时，ABCD为正方形，则BD⊥AC.

又∵PA⊥底面ABCD，BD[⊂]平面ABCD，

∴BD⊥PA.∴BD⊥平面PAC.

故当[a=2]时，BD⊥平面PAC.

（Ⅱ）当[a=4]时，取BC边的中点M，AD边的中点N，连结AM、DM、MN.

∵ABMN和DCMN都是正方形，

∴∠AMD=∠AMN+∠DMN=90°，即DM⊥AM.

又PA⊥底面ABCD，由三垂线定理得，PM⊥DM，

故当[a=4]时，BC边的中点M使PM⊥DM.

（Ⅲ）设M是BC边上符合题设的点M，

∵PA⊥底面ABCD，∴DM⊥AM.

因此，M点应是以AD为直径的圆和BC边的一个公共点，则AD≥2AB，即a≥4为所求.

例3正方形[ABCD]中，[AB=2]，[E]是[AB]边的中点，[F]是[BC]边上一点，将[△AED]及[△DCF]折起（如图），使[A、C]点重合于[A′]点.

（Ⅰ）证明：[A′D⊥EF]；

（Ⅱ）当[F]为[BC]的中点时，求[A′D]与平面[DEF]所成的角；

（Ⅲ）当[BF=14BC]时，求三棱锥[A′-EFD]的体积.

解析（Ⅰ）∵[A′D⊥A′E，A′D⊥A′F]，

∴[A′D]⊥平面[A′EF.∴A′D⊥EF].

（Ⅱ）取EF的中点G，连结[A′G、DG].

∵BE=BF=1，∠EBF=90°，∴[EF=2].

又∵[A′E=A′F=1]，

∴[∠EA′F=90°，A′G⊥EF]，得[A′G=22].

∵[A′G⊥EF，A′D⊥EF，A′G∩A′D=A′]，

∴[EF⊥平面A′DG.]

∴平面[DEF]⊥平面[A′DG.]

作[A′H⊥DG]于[H]，得[A′H]⊥平面[DEF]，

∴[∠A′DG为A′D与平面DEF]所成的角.

在Rt[△A′DG]中，[A′G=22]，[A′D=2]，

∴[∠A′DG=]arctan[24].

（Ⅲ）∵[A′D⊥平面A′EF]，

∴[A′D是三棱锥D—A′EF]的高.

又由[BE=1，BF=12]推出[EF=52]，

可得[SΔA′EF=54]，

[VA′－EFD=VD－A′EF]

[=13⋅SΔA′EF⋅A′D=13]·[54]·2=[56].

例4如图，在四棱锥[P-ABCD]中，侧面[PAD]⊥底面[ABCD]，侧棱[PA=PD＝2]，底面[ABCD]为直角梯形，其中[BC∥AD,AB⊥AD,][AD=2AB=2BC=2],[O]为[AD]中点.

（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求异面直线PB与CD所成角的大小；

（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为[32]？若存在，求出[AQQD]的值；若不存在，请说明理由.

解析（Ⅰ）在△PAD中，PA=PD,O为AD中点，

所以PO⊥AD.

又侧面PAD⊥底面ABCD,平面[PAD⋂]平面ABCD=AD, [PO⊂]平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD.

（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中，

BC∥AD，[AD=2AB=2BC,]

有OD∥BC且OD=BC，

所以四边形OBCD是平行四边形，

所以OB∥DC.

由（Ⅰ）知，PO⊥OB,∠PBO为锐角，

所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.

因为[AD=2AB=2BC=2],在[Rt△AOB]中，[AB=1,][AO=1,]所以[OB＝2]，

在[Rt△POA]中，因为[AP＝2]，[AO＝1]，所以[OP＝1]，

在Rt[△PBO]中，

tan[∠PBO＝POBO=12=22,]

[∠PBO=arctan22.]

所以异面直线[PB与CD]所成的角是[arctan22].

（Ⅲ）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为[32].

设[QD＝x]，则[SΔDQC=12x].

由（Ⅱ）得[CD=OB=][2]，

在Rt[△POC]中， [PC=OC2+OP2=2,]

所以[PC=CD=DP], [SΔPCD=34⋅(2)2=32,]

由[VP-DQC=VQ-PCD],得[x=32]，

所以存在点[Q]满足题意，此时[AQQD=13].

例5已知[△BCD]中，[∠BCD=90°]，[BC=CD=1]，[AB]⊥平面[BCD]，[∠ADB=60°，E、F]分别是[AC、AD]上的动点，且[AEAC=AFAD=λ(0<λ<1).]

（Ⅰ）求证：不论[λ]为何值，总有平面[BEF]⊥平面ABC；

（Ⅱ）当[λ]为何值时，平面[BEF]⊥平面[ACD]？

解析（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD， ∴AB⊥CD.

∵CD⊥BC且AB∩BC=B， ∴CD⊥平面ABC.

又[∵AEAC=AFAD=λ(0<λ<1),]

∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，

∴EF⊥平面ABC，又EF[⊂]平面BEF,

∴不论λ为何值，恒有平面BEF⊥平面ABC.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF.

又平面BEF⊥平面ACD，

∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.

∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，

∴[BD=2,AB=2tan60∘=6,]

[∴AC=AB2+BC2=7.]

由[AB2=AE⋅AC],得[AE=67,∴λ=AEAC=67.] 故当[λ=67]时，平面[BEF]⊥平面[ACD].

例6如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，[∠ABC=60°],E、F分别是BC、PC的中点.

（Ⅰ）证明：AE⊥PD；

（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为[62]，求二面角[E-AF-C]的余弦值.

解析（Ⅰ）由四边形[ABCD]为菱形，[∠ABC=60°]，可得[△ABC]为正三角形.

因为E为BC的中点，所以AE⊥BC.

又BC∥AD，因此AE⊥AD.

因为PA⊥平面ABCD，AE[⊂]平面ABCD，

所以PA⊥AE.

而PA[⊂]平面PAD，AD[⊂]平面PAD，且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD.

又PD[⊂]平面PAD，所以AE⊥PD.

（Ⅱ）设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH、EH.

由（Ⅰ）知，AE⊥平面PAD，

则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.

所以当AH最短时，即当AH⊥PD时，∠EHA最大，

在Rt△EAH中，AE=[3]，

此时tan∠EHA=[AEAH=3AH=62,]因此AH=[2].

又AD=2，所以[∠ADH=45°]，

所以[PA=2].

因为PA⊥平面ABCD，PA[⊂]平面PAC，

所以平面PAC⊥平面ABCD.

过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC.

过O作OS⊥AF于S，连接ES，

则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，

在Rt△AOE中，EO=AE·sin30°=[32]，

AO=AE·cos30°=[32].

又F是PC的中点，在Rt△ASO中，

SO=AO·sin45°=[324],

又[SE=EO2+SO2=34+98=304,]

在Rt△ESO中，cos∠ESO=[SOSE=324304=155,]

线面垂直模拟题篇4

一、知识点

（1）线面垂直性质定理

（2）线面垂直判定定理

（3）面面垂直性质定理

（2）面面垂直判定定理

线面垂直的证明中的找线技巧

通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直

M为CC1 的中点，1．如图1，在正方体ABCDAAC交BD于点O，求证：AO1BC11D1中，1平面MBD．

证明：连结MO，A1M，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1AACA，∴DB⊥平面A平面A1ACC1 ∴DB⊥AO1ACC1，而AO1．

1323a，MO2a2． 2492222AMa．∵AO

在Rt△AC中，∴MMO2AM1111142设正方体棱长为a，则A1OA1OOM． ∵OM∩DB=O，∴ AO1⊥平面MBD．

评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明．

利用面面垂直寻求线面垂直

2．如图2，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAC．

证明：在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D．

因为平面PAC⊥平面PBC，且两平面交于PC，AD平面PAC，且AD⊥PC，由面面垂直的性质，得AD⊥平面PBC．

又∵BC平面PBC，∴AD⊥BC．

∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC．

∵AD∩PA=A，∴BC⊥平面PAC．

评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直．

一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直判定判定线面垂直面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面性质性质

推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．下面举例说明．

3．如图１所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G．求证：AESB，AGSD．

证明：∵SA平面ABCD，BBC，CAE．

∴SABC．∵A∴BC平面SAB．又∵AE平面SAB，∴B∵SC平面AEFG，∴SCAE．∴AE平面SBC．∴AESB．同理可证AGSD．评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化．

4．如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．

证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．

∵ACBC，∴CFAB．

∵ADBD，∴DFAB．

又CFDFF，∴AB平面CDF．

∵CD平面CDF，∴CDAB．

又CDBE，BEABB，∴CD平面ABE，CDAH．

∵AHCD，AHBE，CDBEE，∴ AH平面BCD．

评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论．

5．如图３，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．

证明：∵AB是圆Ｏ的直径，∴ACBC． ∵PA平面ABC，BC平面ABC，∴PABC．∴BC平面APC． ∵BC平面PBC，∴平面APC⊥平面PBC．

∵AE⊥PC，平面APC∩平面PBC＝PC，∴AE⊥平面PBC．

∵AE平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC．

评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系．

10．如图, 在空间四边形SABC中, SA平面ABC, ABC = 90, ANSB于N, AMSC于M。求证: ①ANBC;②SC平面ANM 分析: ①要证ANBC, 转证, BC平面SAB。

②要证SC平面ANM, 转证, SC垂直于平面ANM内的两条相交直线, 即证SCAM, SCAN。要证SCAN, 转证AN平面SBC, 就可以了。证明: ①∵SA平面ABC

∴SABC

又∵BCAB, 且ABSA = A

∴BC平面SAB ∵AN平面SAB ∴ANBC

②∵ANBC, ANSB, 且SBBC = B ∴AN平面SBC ∵SCC平面SBC ∴ANSC

又∵AMSC, 且AMAN = A ∴SC平面ANM ［例2］如图9—40，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．

图9—40（1）求证：AB⊥BC；（1）【证明】作AH⊥SB于H，∵平面SAB⊥平面SBC．平面SAB∩平面SBC=SB，∴AH⊥平面SBC，又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，而SA在平面SBC上的射影为SB，∴BC⊥SB，又SA∩SB=S，∴BC⊥平面SAB．∴BC⊥AB．

［例3］如图9—41，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分别是AB、PC的中点．

求证：平面MND⊥平面PCD 【证明】取PD中点E，连结EN，EA，则EN AM，∴四边形ENMA是平行四边形，∴EA∥MN．

∵AE⊥PD，AE⊥CD，∴AE⊥平面PCD，从而MN⊥平面PCD，∵MN平面MND，∴平面MND⊥平面PCD．

【注】证明面面垂直通常是先证明线面垂直，本题中要证MN⊥平面PCD较困难，转化为证明AE⊥平面PCD就较简单了．另外，在本题中，当AB的长度变化时，可求异面直线PC与AD所成角的范围．

12CD ［例4］如图9—42，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点．

图9—42 求证：平面MNF⊥平面ENF．

【证明】∵M、N、E是中点，∴EB1B1NNC1C1M∴ENB1MNC145 ∴MNE90即MN⊥EN，又NF⊥平面A1C1，MN平面A1C1∴MN⊥NF，从而MN⊥平面ENF．∵MN 平面MNF，∴平面MNF⊥平面ENF．

4．如图9—45，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PA⊥底面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB．

图9—45（1）求证：平面PCE⊥平面PCD；（2）求点A到平面PCE的距离．（1）【证明】PA⊥平面ABCD，AD是PD在底面上的射影，又∵四边形ABCD为矩形，∴CD⊥AD，∴CD⊥PD，∵AD∩PD=D∴CD⊥面PAD，∴∠PDA为二面角P—CD—B的平面角，∵PA=PB=AD，PA⊥AD∴∠PDA=45°，取Rt△PAD斜边PD的中点F，则AF⊥PD，∵AF 面PAD ∴CD⊥AF，又PD∩CD=D∴AF⊥平面PCD，取PC的中点G，连GF、AG、EG，则GF 又AE

12CD12CD，∴GF AE∴四边形AGEF为平行四边形∴AF∥EG，∴EG⊥平面PDC又EG 平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD．（2）【解】由（1）知AF∥平面PEC，平面PCD⊥平面PEC，过F作FH⊥PC于H，则FH⊥平面PEC ∴FH为F到平面PEC的距离，即为A到平面PEC的距离．在△PFH与 △PCD中，∠P为公共角，FHPFPC，设AD=2，∴PF=2，而∠FHP=∠CDP=90°，∴△PFH∽△PCD．∴CDPC=PDCD8423，2226623∴A到平面PEC的距离为3． ∴FH=23

【拓展练习】

一、备选题

1．如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC．（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．

（1）【证明】∵C是AB为直径的圆O的圆周上一点，AB是圆O的直径 ∴BC⊥AC；

又PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴BC⊥PA，从而BC⊥平面PAC． ∵BC 平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC．（2）【解】平面PAC⊥平面ABCD；平面PAC⊥平面PBC；平面PAD⊥平面PBD；平面PAB⊥平面ABCD；平面PAD⊥平面ABCD．

2．ABC—A′B′C′是正三棱柱，底面边长为a，D，E分别是BB′，CC′上的一点，1BD＝2a，EC＝a．

（1）求证：平面ADE⊥平面ACC′A′；（2）求截面△ADE的面积．

（1）【证明】分别取A′C′、AC的中点M、N，连结MN，则MN∥A′A∥B′B，∴B′、M、N、B共面，∵M为A′C′中点，B′C′=B′A′，∴B′M⊥A′C′，又B′M⊥AA′且AA′∩A′C′=A′

∴B′M⊥平面A′ACC′．设MN交AE于P，a∵CE＝AC，∴PN＝NA＝2．

1又DB＝2a，∴PN＝BD．

∵PN∥BD，∴PNBD是矩形，于是PD∥BN，BN∥B′M，∴PD∥B′M．

∵B′M⊥平面ACC′A′，∴PD⊥平面ACC′A′，而PD平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACC′A′．（2）【解】∵PD⊥平面ACC′A′，3∴PD⊥AE，而PD＝B′M＝2a，AE＝2a．

1∴S△ADE＝2×AE×PD 13622aaa224＝×．

线面平行与垂直的证明题篇5

线面平行与垂直的证明

1：如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中.（1）求证：AC⊥平面B1BDD1；

（2）求三棱锥B-ACB1体积．

2：如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点．

1B1 1

求证：（1）PA∥平面BDE；（2）平面PAC平面BDE．

3：如图：在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC = 90°，SA⊥面ABCD，SA = AB = BC = 1，AD（Ⅰ）求四棱锥S—ABCD的体积；（Ⅱ）证明：平面SBC⊥平面SCD.4：已知多面体ABCDFE中，四边形ABCD为矩形，AB∥EF，AF⊥BF，平面ABEF⊥平面ABCD，O、M分别为AB、FC的中点，且AB = 2，AD = EF = 1.（Ⅰ）求证：AF⊥平面FBC；（Ⅱ）求证：OM∥平面DAF.1．

25：．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．

（1）证明 PA//平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD；

6：已知正方形ABCD和正方形ABEF所在的平面相

交于AB，点M，N分别在AC和BF上，且AM=FN.求证：MN‖平面BCE.7：如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a（1）求证：直线A1B//平面ACD1（2）求证：平面ACD1平面BD1D；

8：如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中点，求证：(1)FD∥平面ABC(2)AF⊥平面EDB.C

9：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是CB、CD、CC1的中点，（1）求证：平面A B1D1∥平面EFG;（2）求证：平面AA1C⊥面EFG.10：如图，PA矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点.（1）求证：MN//平面PAD；（2）求证：MNCD；

11：如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：⑴AC⊥平面B1D1DB;

⑵求证：BD1⊥平面ACB1⑶ 求三棱锥B-ACB1体积．

1AB1

12: 四棱锥ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点．求证：（Ⅰ）PA∥平面BDE；（Ⅱ）平面PAC平面BDE.13：在三棱锥SABC中，已知点D、E、F分别为棱AC、SA、SC的中点.①求证：EF∥平面ABC.②若SASC，BABC，求证：平面SBD⊥平面ABC.14：如图, 已知正三角形PAD, 正方形ABCD,B

平面PAD平面ABCD, E为PD的中点.（Ⅰ）求证：CDAE;（Ⅱ）求证：AE平面PCD.15：四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，M、N分别是

AB、PC的中点，PAAOa．

（1）求证：MN//平面PAD；（2）求证：平面PMC⊥平面PCD．（自己画图）