全等三角形教学案（共15篇）
教学目标
1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素； 2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等； 3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边． 教学重点
全等三角形的性质． 教学难点
找全等三角形的对应边、对应角． 教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
１.观察下列图案，指出这些图案中中形状与大小相同的图形
2．学生自己动手（同桌两名同学配合）
取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样与三角板、完全一样．
3．获取概念
形状与大小都完全相同的两个图形就是 ．（要是把两个图形放在一起，能够完全重合，•就可以说明这两个图形的形状、大小相同．）即：全等形的准确定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形． 推得出全等三角形的概念： 对应顶点：、对应角：、对应边：。“全等”符号： 读作“全等于”
Ⅱ．导入新课
将△ABC沿直线BC平移得△DEF；将△ABC沿BC翻折180°得到△DBC；将△ABC旋转180°得△AED．
ADBADAECBC甲EF乙DB丙C
议一议：各图中的两个三角形全等吗？
不难得出： ≌△DEF，△ABC≌，△ABC≌ ．（注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上）
启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，•但、都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形
，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略．
观察与思考：
寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？ 全等三角形的性质：
。
[例1]如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，•说出这两个三角形中相等的边和角．
COADB
[例2]如图，已知△ABE≌△ACD，∠ADE=∠AED，∠B=∠C，•指出其他的对应边和对应角．
ABDEC
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边．（2）全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．
[例3]已知如图△ABC≌△ADE，试找出对应边、对应角．
AEOBCD
Ⅲ．课堂练习
（1）下面是两个全等的三角形，按下列图形的位置摆放，指出它们的对应顶点、DABD对应边、对应角
BCAoOADBDBCDACACDB
ACD
CDA
（２）如图，ABEACD,AB与AC，AD与AE是对应边，已知：A43,B30，求ADC的大小。
Ⅳ．课时小结
Ⅴ．作业
１.教材：第四页习题：第１题，第２题 ２.《创新设计》
教师在讲完战士测量碉堡的距离的方法后, 出示课本 (七年级下173页) 想一想:如果A、B两点位于一个池塘两端, 小明想用绳子测量A、B两点间的距离, 但绳子不够长, 你能帮小明想想办法吗? (如图1) 请说明理由.
生1:利用刚才战士测量碉堡的距离的方法, 让小明戴帽子站到B点, 调整帽檐使视线刚好到A点, 再转一个角度找到视线通过帽檐上的C点, 测出BC的长, 就知道AB的长了 (如图2) .
师:很好, 这样测量的依据刚讲过.
生2:如图3, 先在地面上取一个可以直接到达A点和B点的C点, 连接AC并延长AC到D, 使CD=AC, 连接BC并延长到E, 使CE=CB, 连接DE, DE的长就是AB的长.
师:为什么?
师:不错, 结合我们学过的全等三角形的知识构造全等三角形来测量AB的长度.
生3:如图4, 过点A作AF⊥AB, 在AF上取两点C、D, 使CD=AC, 过点D作DE⊥AF, 在DE上找一点M, 使B、C、M在一条直线上, DM的长就是AB的长.
师:你真棒!前面的同学用了SAS来证, 而你用了ASA来证, 善于动脑, 希望同学们向他学习.现在, 大家再想一想, 还有其他办法吗?
生4:如图5, 过点B作直线BE, 过点A作AC⊥BE, 垂足为C, 在CE上截取CD=CB, 连接AD, AD的长就是AB的长.
生5:老师, 不用在CE上截取CD=CB, 只要量出AC、BC的长就可以计算出AB的长.
此时, 学生们纳闷了, 我便问为什么, 他说:“利用勾股定理.”学生更纳闷了.此时, 我抓住机会及时表扬这位学生学到的知识很多, 值得其他学生学习, 并简单地讲解了勾股定理, 并让学生课后自己找资料查阅.
生6:如图6, 过点A作AC⊥AB, 连接BC, 在BA的延长线上找一点M, 使BC=CM, 则AM的长就是AB的长.
师:为什么?
此时有学生强调边边角不能判定两三角形全等.
师:这两个三角形是全等的, 因为这是两个直角三角形, 大家如果有兴趣, 看看后面的内容就知道为什么了.
此时下课铃早已响过了, 学生还处于兴奋状态, 意犹未尽, 于是, 我布置作业让学生课后分组继续讨论.
反思:上完这节课后, 我感慨万千。真没想到学生能想到这么多的解决办法, 虽然有些思维不严密, 有些方法不可行或者不成熟, 但他们能积极思考, 能利用已有的经验、认知, 想方设法去解决问题.通过本节课我深刻感悟到:
1.新课程标准指出, 数学教学活动必须建立在学生的认知水平、已有知识和经验之上, 教师应调动起学生的学习积极性, 向学生提供充分从事数学活动的机会.每一个学生都有自己的思维方式和解决问题的策略, 教师的思维不能代替学生的思维.教师应尊重学生的个体差异, 给学生足够的思维的时间、空间, 同时教师还要善于激发学生的学习兴趣, 做一个与学生平等的倾听者, 耐心倾听每一个学生的发言, 激励他们把自己的真实想法表达出来.
[关键词] 钻研教材；解读课标；以生为本；有效课堂；全等三角形；案例评析
随着新课改的不断推进，应该说大部分教师能自觉运用新理念指导教学活动，在课堂上能创设具体的教学情境，引导学生亲身参与各种形式的学习活动，运用已有的知识经验主动构建新知，使其得到全面协调发展。但在教学中很多教师处理“老师眼中很简单的数学知识”的教学时，过分草率，不去解读对应课标，不去钻研教材，不为学生着想，简单地“教”，最终教学效果大打折扣。下面是笔者对一位教师教授人教版全等三角形第一课时的教学过程评析。
一、全等图形概念
1.师：（出示两张事先准备好的全等四边形纸片，在学生面前将两张纸片正面慢慢重叠）这两张纸片现在是什么情况？
生齐答：重叠，重合，完全重合……
师：（在学生面前将两张纸片反面慢慢重叠后）这下我们可以真正确定这两张四边形纸片……
生：完全重合。
师：完全重合，也就是说这两张纸片的大小？形状？
生：大小相同，形状相同。
评析：仅凭正面就判断两个图形完全重叠是不全面的，因为存在大纸片在前面把后面小纸片遮盖住的情况。而老师在这个环节并不急于纠正学生的判断，而是通过反面的事实演示再次说明“正反两面都是完全重叠的才是完全重合”。一是多角度观察思考问题，避免思考片面性；二是眼见为实，让学生体验什么是完全重合。
2.教师出示两张事先准备好的全等三角形纸片依照“1”中教学过程，让学生体验“大小相同、形状相同的两个三角形完全重合”。
评析：通过“1”中的经验教训，学生不再仅凭“一面”就轻易判断两个图形完全重合，“多角度思考数学问题”在此得到即时迁移应用。
3.师：（出示事先准备好的大小相近的梯形纸片和矩形纸片）这两个四边形是否会完全重合呢？
生：会。
生：不会。
生：不一定。
师：“会不会”我们可以怎样来证明？
生：把两张纸片重叠一下。
师：很好，用实践来证明是一种很好的方法。（教师慢慢将两张纸片重叠后，将正反两面展示给学生看）
生：这两个四边形不完全重合。
师：尽管它们形状是四边形，但？
生：大小不一样。
评析：学生经历猜想、验证、得出结论。
4.师：分别分组出示大小不同的矩形纸片、大小不同的三角形纸片依照“3”中教学过程，让学生体验“形状相同、大小不一的两个图形不完全重合”。
师：要使两个图形完全重合，必须具备什么条件？
生：形状要相同，大小要相同。
师：我们把这样“形状相同、大小相同”完全重合的两个图形叫做全等图形。
评析：从“能够完全重合”的字面意思上很容易理解什么是全等图形。但因为如此简单，许多教师处理这个环节时，一句话带过。事实上，在学生的眼里，数学世界中的所谓“能够完全重合”到底是什么样的完全重合却并不很清楚。教参明确提出“通过具体例子引出本章研究主题——形状、大小相同的图形，然后让学生通过操作、观察得出形状、大小相同的图形的特征：放在一起能够完全重合，由此引出全等的概念”。教师将这一理念落实，层层体验，让数学知识、过程与方法、思维与能力很好地走进了学生的数学世界中。
二、全等三角形的相关概念
1.师：（将两块一样的三角板重叠在一起）这两块三角板可以说是什么图形？
生：全等图形。
师：我们把“能够完全重合的两个三角形”叫做全等三角形。
评析：由于学生充分体会了全等图形的概念，对于全等三角形的概念自然轻松入门。
2.师：介绍全等三角形的有关概念
①用全等符号“≌”表示两个三角形全等（突出对应顶点要对应书写）；
②全等三角形对应顶点、对应边、对应角。
评析：教师用不同颜色的线条表示不同的对应边、角，降低学生对图形识别的难度，逐步培养学生识图能力；规范学生书写，注重几何语言规范性。
三、经过“平移、翻折、旋转”后的两个三角形是全等三角形
1.师：（将两块完全重合的三角形纸板在黑板上慢慢平移拉开，如图甲）这是图形的什么变换？
生：平移。
师：现在平移前后的△ABC和△DEF会全等吗？
生：会。
师：请大家把这对全等三角形用符号表示出来。并一一写出对应角、对应边。
（师巡查、辅导、提问、纠正）
2.教师依照“1”中的教学过程分别讲解“翻折、旋转”（如图乙、丙）。
3.师引导学生梳理归纳“甲、乙、丙”。
（1）经过平移、翻折、旋转前后两个图形有什么关系？
（2）如果两个三角形全等，则这两个全等三角形对应的边、角有什么关系？
评析：考虑到学生认知水平，学生初学全等三角形，对“对应顶点、对应角、对应边”快速识别难度往往很大。教师基于此，用来做教具的两个全等三角形纸板的三个角大小区别明显，三边长短明显，大大降低学生识图难度。同时，教师不遗余力，让学生见证“平移、翻折、旋转”前后的两个图形仍然是全等图形，并进一步得出全等三角形的对应边、对应角相等。面向全体，以“基本知识、基本技能为主”，以生为本得到了很好落实。
四、课堂小结
1.师：本节课我们学习的数学新知识是？
生：全等图形、全等三角形。
师：全等的条件是？
生：能够完全重合。
师：或者？
生：形状相同、大小相同。
2.师：全等三角形有什么作用？
生：对应边、对应角相等。
师：常见的图形变换中，有哪些情况是全等的？
生：平移、翻折、旋转。
3.师：在找全等三角形对应边、对应角特别要注意什么？
生：大角对大角、小角对小角、大边对大边、小边对小边。
师：在有重叠或交叉时，还要特别注意什么？
生：对顶角、公共边、公共角等。
评析：以问题的方式将本节课主要知识点与注意的问题进行归纳，有助于帮助学生构建本节课知识体系，指向清楚，简洁省时。
要把课上好，要把课堂教学效率提高，关键是教师心中要有“教材”——熟读教材，用教材教；心中要有“课标”——熟读课标，用课标教；心中要有“学生”——面向基础，以生为本，简单知识不简单教，复杂知识简单教。《数学课程标准》指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手操作、自主探索與合作交流是学生学习数学的重要方式。”为此，在教学实践中广大教师应变当前封闭式教学为开放式教学，以课标为指引，以教材为基本探究内容，以学生的生活实际为对象，为学生提供充分感知活动、自由表达质疑、探究、交流讨论的机会，从而最大限度地提高课堂教学效率。
一、本设计有以下考虑：
1、与生活问题联系，激发学生的兴趣，重视数学的生活化。引新中的“配玻璃”问题，“课前小测”中的“测量内槽宽”问题，“巩固提高”中的第8题为此而设计。
2、重视对学生书写习惯的培养。全等三角形是初中几何重要的一块，例1，例2，例4，课堂演练与提高，还有课后练习的5，6，7，8都要求学生在学案上完整地书写过程，能有效地培养学生有条理的书写习惯。
3、课堂以学生为主体。老师尽量少讲，用最恰当最简洁的语言点拨启发学生;老师尽量留更多的思考时间给学生，借学生的口点评问题的答案，尽量避免学生还没有想到怎么回事老师就把答案说出来的毛病。
4、重视学生之间的思维培养，合作交流。例3能很好地培养学生有条理地思考及一题多解思维发散;课堂演练的两题老师组织学生组内讨论合作交流。
5、教育学生一定要主动学习，独立思考。课后练习一定提醒学生要独立解决的基础上可以相互交流，高质量完成。
二、存在的不足及建议。
1、本设计存在题型过于繁杂，显得专题性不强。可以考虑将“添加三角形全等条件”“全等三角形的证明”“利用全等求角的度数及线段的长”分别作为专题讲解复习。
2、本节课还可以考虑设置一些小组竞赛的内容去调动学生积极性和课堂气氛。
职务职称：中学数学一级教师 联系电话：*** 电子信箱地址：zyzhdm@sohu.com
问：“从一个元素到二个元素再到三个元素„„，一步一步地探索下去的思路是正确的，但不够具体，请同学们将元素所代表的具体情况（边或角）写出，并进一步画出草图表示对应相等的边角位置。”小组讨论，分类如下：
二个元素一个元素一个角两条边一条边一条边和一个角边角相邻边角相对两个角三个元素三条边两条边和一个角边角边两边与一边对角一条边和两个角角边角角角边三个角
可以说，通过这样分类的学习，达到了两个目标：（1）渗透数学的分类思想；（2）明确对应关系，使得后继学习变得顺利。
2、容量问题。“与其把学生当天津鸭儿添入一些零碎知识，不如给他们几把锁匙，使他们可以自动去开发文化的金库和宇宙之宝藏。” 本课为了达到内容的完整性和思路的连续性----找两个三角形全等的判定，将“找的方法”-----分类和验证得出结论，放在一节课上，使人觉得容量比较大。造成“容量大”的原因主要在画图验证上，而画图验证的过程中以学生画图占用的时间最长，弄不好整节课就好像在上画图课，而学生画图并不困难。因此，我将本课学习分为两部分完成，第一部分是画图和识图，放在课前学习，（1）要求学生按所给的不同的3个条件（附上作图步骤），画出6个图并在图注上已知条件，剪下来备用。在课堂上需验证时才取出与小组同学对比，是否全等。实际上，学生在上课前早已忍不住进行了对比，正为有的三角形与同学的全等，有的三角形与同学的不全
的对角对应相等，那么这两个三角形全等”，是假命题。而且认识到不可随意放弃作图出现的点D，以及如何书写所举的反例。
4、在运用中巩固知识。由于本节课的重点是找出三角形全等的判定，因而本节课不必理会如何书写“证明两个三角形全等”，所以我参考了一些同事的方法，采取了根据条件说出两个三角形全等的理由，或者写出两个条件，让学生灵活补充一个条件使得两个三角形一定全等。补充原设计的练习，学生们很来劲，效果显著。（注：“角角边”定理的证明留到下节课进行严格的书写证明。）
三、成效性反思
原教学设计附有作图练习卷（按要求作三角形，使得三角形有三个元素等于所给的具体值），要求学生在课堂上做，因考虑到内容较多，在上课时将学生分成6组，每组完成同一个作图（其它为作业），每个同学独立完成作图，然后与小组成员比较所画图形的形状和大小并汇报给全班同学。操作上可进行，但我始终有一种不踏实的感觉，可又说不出为什么。给我的学生上课，才意识到“边边角”情况，画了图的六分之一学生说全等，而六分之五的学生没动手画过，我不能直接点评，一急之下，我脱口说这一组的作图藏有一个秘密，我们再仔细画一次，这才顺利解决了问题。因而，另一个班，我就将“作图练习卷”作为课前作业，正如陶行知先生所说：“行是知之始，知是行之成。” “教学做是一件事，不是三件事。我们要在做上教，在做上学。不在做上用功夫，教固不成为教，学也不成为学。” 这样处理效果更好。
四、本节课“发现公理”的教学模式
1、课前准备：为目标而做的巩固练习、作品、小研究。
2、课中：（1）巩固、引入、提出问题；
（2）学生实践活动：分类与验证；
（3）教师点评；（4）归纳总结；（5）简单应用练习。
3、课后：（1）回顾发现过程：撰写小报告；
店垭中心学校
李祖莲
本节课探索三角形全等的判定方法二，是后面几种判定方法的基础，也是本章的重点也是难点。备课时发现本节课的难点就是处理从确定一个三角形到得到三角形全等的判定方法这个环节，让学生动手操作和学生相互交流验证很好地解决了问题，圆满地完成本节课的教学任务。
反思整个过程，我觉得做得较为成功的有以下几个方面：
1、教学设计整体化，内容生活化。在课题的引入方面，让学生动手做、裁剪三角形。既提问复习了全等三角形的定义、性质、判定一，又很好的过度到确定一个三角形需要哪些条件的问题上来。把知识不知不觉地体现出来，学得自然新鲜。数学学习来源于生活实际，学生带着悬念学得轻松有趣。
2、把课堂充分地让给了学生。我和学生做了些课前交流，临上课前我先对他们提了四个要求：认真听讲，积极思考，大胆尝试，踊跃发言，加分激励。其实，这是一个调动学生积极性，同时也是激励彼此的过程。在上课过程中，我尽量不做过多的讲解，通过引导让学生发现问题并通过动手操作、交流讨论来解决问题。
3、在难点的突破上取得了成功。上这堂课前，我一直担心学生在得出三角形全等的判定方法上出现理解困难。课堂上我通过让学生动手制作两个三角形形状和大小完全相同，即三角形都全等，最后同学们都不约而同地得出了三角形全等的判定方法二。
但也有几处是值得思考和在以后教学中应该改进的地方：
1、在课堂上优等生急着演示、发言，后进生却成了观众和听众。如何做到面向全体，人人学有所得，也值得我来探讨。
2、课堂学生的操作应努力做到学生自发生成的，而不是老师说“你们比较下三角形的形状和大小”，应换为自发地比较更好。
3、教学细节需进一步改进，教学时应多关注学生，在学习新知后，虽然大部分的学生都掌握了，但有少数后进生仍然是不理解。
一、数学问题的设置应体现层次性，让每个学生都能有所“动”。
学生个体在学习活动中，学习能力是有差异的，这就决定了学生在解答同一类型问题时表现出一定的差异性。数学问题是数学学科知识点及知识要义的集中概括和生动展现。因此，在数学问题教学活动中，教师应根据学生学习实际情况，贴近教材内容，设置面向好中差三类学生的由难到易的数学问题，让学生开展问题解答活动，使每一个学生都能“动”起来。
如在“直线与圆的位置关系”问题课教学中，教师结合该节课知识的重难点内容，同时根据学生现实学习活动的实际情况，设置了“如图1所示，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C，若∠A=25°，则∠D为多少度?”、“如图2所示，AB是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，过B点作BC∥OD交⊙O于点C，连接OC, AC, AC交OD于点E. (1)求证：△COE≌△ABC; (2)若求图中阴影部分的面积.”、“如图3, CD切⊙O于D，割线CBA交⊙O于B、C两点，DE⊥AB于E, AM⊥CD于M, BN⊥CD于N，问：DE2=AM·BN成立吗?为什么?”等由易到难的问题，让不同类型学生都能准确做好自身定位，开展问题解答活动，为每个学生提供展现和锻炼的时机，促进学生整体学习效能的有效提升。
二、解题过程的讲解应体现差异性，让每个学生都能有所“获”。
在传统教学中，部分教师在问题教学中，往往忽视解题过程，特别是解题策略的指导过程，采用“统一标准”，进行“整齐划一”的教学活动，导致学生在问题解答过程中出现“过高”或“过低”的现象，影响和限制了各类学生解题效能的提升。这就要求初中数学教师将整体性教学理念贯穿到整个解题过程中，将解题策略的教学及解题思路的确定作为实施整体性教学理念的重要环节，针对不同类型的学生，开展针对性的教学活动，使不同类型学生都能获得解题技能的有效提升。
问题：某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者，果园基地对购买量在3000千克以上(含3000千克)的有两种销售方案，甲方案：每千克9元，由基地送货上门。乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回，已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元。(1)分别写出该公司两种购买方案的付款(元)与所购买的水果质量x(千克)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。(2)依据购买量判断，选择哪种购买方案付款最少?并说明理由。
在该问题案例教学活动中，教师采用整体性教学策略，根据上述问题的解答要求，引导中下等学生对该问题条件进行分析，并要求学生组成学习小组，开展互助合作活动，对该问题解题策略进行探究。中下等学生在自主探究的基础上，借助于优等生的引导和帮助，深刻认识到，该问题解答的关键在于正确建立关于此问题的一次函数关系式，因此，应该采用数形结合的解题策略，构建一次函数图像的方法进行解答。这样，不同类型的学生在差异性教学活动中，掌握了解答问题的策略和解答问题的方法，同时，他们的解题效能在各自基础上得到了提升。
三、问题案例的评析应体现整体性，让每个学生都能有所“升”。
问题解答的过程，不能仅仅停留在对解题策略的掌握和运用，更重要的是能在解题时，举一反三，由此及彼，实现解题思想和解题素养的“升华”。这已成为新课改问题教学活动的根本出发点和现实任务。评析问题活动的过程，正好为学生良好解题方法的运用和解题技能的提升，提供了载体和途径。因此，初中数学教师要将评析问题解答过程，作为学生良好解题习惯养成和解题效能提升的重要抓手，通过评价辨析的互动活动，让学生在问题教学活动中，实现良好学习习惯的有效养成，学习素养的有效提高。
如在“解直角三角形”习题课教学中，教师在学生解答“等腰直角三角形ABC中，∠C的度数为90度，D为BC的中点，求sin∠BAD”这道题后，引导学生组成学习小组，设置了某学生忽视问题条件，解题不严密，导致解题错误的过程，让学生开展评价分析活动。全体学生在教师引导和指导下，借助自身解题经验和集体智慧，对解题策略和方法进行了有效评析。对学生的解题过程进行针对性的指导，有助于学生解题习惯的养成。
能够完全重合的两个图形叫做全等形．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．夹边就是三角形中相邻两角的公共边．夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角．
例1如图1，BD，AC交于O，OA＝OD，用“SAS”证△AOB≌△DOC，还需（）.
A. AB = DCB.OB = OC
C.∠A = ∠D D.∠AOB = ∠DOC
解析：此题的考查要点是“SAS”定理.用“SAS”证全等要有三个独立条件，已知OA = OD，显然还差两个，而AC与BD的相交可得∠ AOB与∠ DOC是一对对顶角，第三个条件应该围绕夹∠AOB、∠DOC的两边来找，显然OB与OC应是另一组夹边.选B.
点评：解答本题的关键是找出对顶角，然后利用“边角边”定理找到另一组对应边.
考点2全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
例2如图2，△ABD≌△CDB，且AB、CD是对应边. 下面四个结论中不正确的是（）.
A.△ABD和△CDB的面积相等
B.△ABD和△CDB的周长相等
C.∠A + ∠ABD = ∠C+∠CBD
D. AD∥BC，且AD = BC
解析：由于两个三角形完全重合，故面积、周长相等.因为AB和CD是对应边，则AD与BC是对应边，∠ADB = ∠CBD，因此AD∥BC且AD = BC.故C符合题意.
点评：解答本题的关键是要知道两个全等三角形中，对应顶点在对应的位置上，这样就不会找错对应角.
考点3全等三角形的判定
选择哪种判定方法必须根据已知条件而定，详细内容见下表：
例3在△ABC中，AD为BC边上的中线，求证：AD＜ （AB + AC）.
解析：通过构造辅助线，利用全等三角形将线段AD，AB，AC转化到同一个三角形中，由三角形“两边之和大于第三边”即可证，证明过程如下：
延长AD至G，使DG = AD，连结BG.
在△ADC和△GDB中，
点评：将中线加倍是常用的作辅助线方法.
考点4 变换
只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换．全等变换包括以下三种：
①平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换. 如图4，把△ABC沿直线BC移动到△A1B1C1和△A2B2C2位置，就是平移变换.
②对称变换：将图形沿某直线翻折180O，这种变换叫做对称变换.如图5，将△ABC翻折180O到△ABD的位置，就是对称变换．
③旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换. 如图6，将△ABC绕过A点旋转180O到△AED的位置，就是旋转变换.
我们知道，无论是平移变换、对称变换还是旋转变换，变换前后的两个图形全等，具有全等的所有性质．
例4如图7，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C = 90O.
（1）操作并观察，如图7，将三角板的45O角的顶点与点C重合，使这个角落在∠ACB的内部，两边分别与斜边AB交于E、F两点，然后将这个角绕着点C在∠ACB的内部旋转，观察在点E、F的位置发生变化时，AE、EF、FB中最长的线段是否始终是EF？
写出观察结果.
（2）探索：AE、EF、FB这三条线段能否组成以EF为斜边的直角三角形（即能否有EF2= AE2 + BF2）？如果能，试加以证明.
解析：（1）只须旋转∠ECF再用刻度尺量一量或观察，即可得到.
（2）要判断EF2= AE2 + BF2，思路是把AE、EF、FB搬到同一个三角形中，通常有平移、翻折、旋转等方法，解答此题用翻折的方法，得到与AE、BF相等的线段，并且它们和EF在同一个三角形中.
解答过程如下：
（1）观察结果是：当45O角的顶点与点C重合，并将这个角绕着点C在∠ACB内部旋转时，AE、EF、FB中最长的线段始终是EF.
（2）AE、EF、FB三条线段能构成以EF为斜边的直角三角形，证明如下：
如图在∠ECF的内部作∠ECG = ∠ACE，
使CG = AC，连结EG，FG，
∴△ACE≌△GCE，
∴∠A = ∠CGE，同理∠B = ∠CGF，
∵∠A + ∠B = 90O，
∴∠CGE + ∠CGF = 90O，
∴∠EGF = 90O，EF为斜边.
点评：探索、猜测是整个题目的重点、难点，从操作中获取信息是探索问题过程中最重要的.
反思
1.考纲要求
理解全等形的有关概念和性质，并会运用性质定理进行计算；掌握全等三角形的判定方法，会运用定理进行简单的推理或计算；能够运用全等三角形的性质和判定定理解决实际问题，培养几何计算和逻辑推理能力，养成用数学知识解决问题的意识.
2.构造全等三角形的方法
寻求全等条件，在证明两条线段（或两个角）相等的时候，若它们所在的两个三角形不全等，就必须添加辅助线，构造全等三角形.常见辅助线有：①连结某两个已知点；②过某已知点，作某已知直线的平行线；③延长某已知线段到某个点，或与某已知直线相交；④作一个角等于已知角.
本节课教学，主要是让学生在回顾全等三角形判定的基础上，进一步研究特殊的三角形全等的`判定的方法，让学生充分认识特殊与一般的关系，加深他们对公理的多层次的理解。在教学过程中，让学生充分体验到实验、观察、比较、猜想、归纳、验证的数学方法，一步步培养他们的逻辑推理能力。新课程标准强调“从具体的情景或前提出发进行合情推理，从单纯的几何推理价值转向更全面的几何的教育价值”，为了体现这一理念，我设计了几个不同的情景，让学生在不同的情景中探求新知，用直接感受去理解和把握空间关系。这一设计，极大的激发了他们的学习欲望，加深了师生互动的力度，课堂效益比较明显。不同的情景又以不同的层次逐步提升既有以知识为背景的情景，又有以探索、验证为主的情景，从不同的方面，让不同层次的学生都有所收获，体现了“大众数学”的主旋律，也是“不同的人学习不同的数学”的新课程理念的体现。《标准》明确提出“通过对基本图形的基本性质必要的证明，使学生体会证明的必要性，理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式，初步感受公理化的思想”，为体现这一目标，在“情景二”探索“HL公理”中，要求学生用文字语言、图形语言、符号语言来表达自己的所思所想，强调从情景中获得数学感悟，注重让学生经历观察、操作、推理的过程。
数学教学应努力体现“从问题情景出发，建立模型、寻求结论、解决问题”，在“情景三”中，我通过三角板的拼图，让学生从这一过程抽象出几何图形，建立模型，研究具体问题，起到了较好的作用，学生也体会到数学与现实的联系，以及学习处理此类问题的方法。作为九年级的学生，他们的抽象思维已有一定程度的发展，具有初步的推理能力，因此，教学中，我除了注重情景的运用外，更多的运用符号语言，在比较抽象的水平上，提出数学问题，加深和扩展了学生对数学的理解。纵观整个教学，不足主要体现在提出的一些问题，启发性、激趣性不足，导致学生的学习兴趣不易集中，课堂气氛不能很快达到高潮，延误了学生学习的最佳时机;在学生的自主探究与合作交流中，时机控制不好，导致部分学生不能有所收获;在评价学生表现时，不够及时，没有让他们获得成功的体验，丧失激起学生继续学习的很多机会。
总之，我们在教学中一定要考虑我们的对象，要为他们服务，为他们设想，这样才能够获得最佳教学效果。
江口镇中学
江国庆
这一节课是对三角形全等的判定进行复习，教学目的是：使学生能灵活运用“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”和“HL”来判定三角形全等；体会文字命题转化为数学符号语言的过程，掌握文字命题的证明。对于本节课的知识内容，学生很容易掌握，但也容易出现一些错误,比如误用”SSA”和”AAA”来判定三角形全等.本节课注重学生对基础知识的掌握,更强调学生能利用这些知识内容解决问题。因此，本课的复习就是重在证明题的分析方法上。
这一课的教学设计是这样的，课前抽测:主要检测学生的预习情况,对于后面的教学起到铺垫作用；导入学习目标:让学生明确这节课要学习什么,自己应该达到怎样一个水平；知识点复习:通过一个典型的例题,让学生补充条件使两个三角形全等,经过小组内讨论和小组之间互相补充对各个判定方法达到较好的复习效果并自然而然地强调易错用判定”SSA”和”AAA”.其次教师带领学生复习找三角形全等的条件时经常见到的隐含条件.独学:学生根据复习内容进行做题练习,巩固判定方法的运用;对学群学:对不会或有疑问的题目进行组内交流讨论.小展示:对于各题由A共同体组织进行组内的讲解。大展示:对于难题和普遍性的问题由学生进行讲解,教师适时引导点播.整个教学过程注意培养学生的自主学习能力和合作交流能力.在学生讲解题目时,注意思路的点播及做题方法的指引.教学不足：
1、对于初三复习课而言,应出一些与全等相关的综合性题目,知识点过于单一.2、题目的难易层次不明显，过于强调基础知识。
——艾尔夫雷德•怀特海(19世纪、20世纪英国数学家)
一、填空题（每小题4分，共32分）
1． 如图1，△ACB≌△DEF，其中A与D、C与E是对应顶点，则CB的对应边是__，∠ABC的对应角是__.
2． 如图2，沿直线AC对折，△ABC与△ADC重合，则△ABC≌__，AB的对应边是__，AC的对应边是__，∠BCA的对应角是__.
3． 已知△ABC≌△A′B′C′，∠A=60°，∠B=70°，AB=20 cm，则∠C′=__，A′B′=__cm.
4． 已知△ABC≌△A′B′C′，△A′B′C′≌△A″B″C″，则△ABC与△A″B″C″的关系是__.
5． 如图3，已知△ABC≌△DEF，∠B=45°，∠D=70°，则∠ACB=__.
6． 已知△ABC≌△A′B′C′，且△A′B′C′的面积为12.如果BC=4，那么BC边上的高为__.
7． 如图4，在△ABC中，∠CAB=140°.将△ABC绕点A顺时针方向旋转25°后得到△ADE，则∠CAD=__.
8． 如图5，△ABC≌△DEC，∠A∶∠BCA∶∠ABC=3∶10∶5，则∠D=__，∠BCD=__.
二、选择题（每小题4分，共32分）
9． 下列各组图形中是全等图形的是（）.
10． 有下列说法：①所有的等边三角形都全等；②两个全等三角形的最大边是对应边；③两个全等三角形的对应角相等；④面积相等的两个三角形全等.其中正确的有（）.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
11． 如图6，已知△AEC≌△AFB，AE与AF、AC与AB是对应边，则一定和∠EAC相等的角是（）.
A. ∠EAB B. ∠CAB C. ∠FAB D. ∠ACE
12． 如图7，△ABC≌△CDA，AB=4，BC=5，AC=6，则AD的长为（）.
A. 4 B. 5 C. 6 D. 不确定
13． 如图8，AC与BD相交于点O，△AOB≌△COD.若把△AOB绕O点旋转180°，则与点B重合的是（）.
A. 点DB. 点CC. 点AD. 不能确定
14． 如图9，△ABE≌△ACD，∠B=50°，∠AEC=120°，则∠DAC为（）.
A. 120°B. 70°C. 60°D. 50°
15． 如图10，△ABC与△DBE是全等三角形，即△ABC≌△DBE，那么图中相等的角（对顶角除外）有（）.
A. 3对B. 4对C. 6对D. 8对
16． 如图11，在△ABC中，点D、E分别是边AC、BC上的点.若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C为（）.
A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
三、解答题
17． （6分）图12是用10根火柴棒摆成的一个三角形.你能否只移动其中的3根，摆出一对全等三角形？
18. （6分）如图13，已知△ADE≌△BCF，AD=6 cm，CD=5 cm，求BD的长.
19． （8分）如图14，∠ACB=90°，△ABC≌△DFC.请问：DE与AB互相垂直吗？
20． （10分）如图15，已知△OA′B′是△OAB绕点O沿逆时针方向旋转60°得到的，那么△OA′B′与△OAB是什么关系？若∠AOB=40°，∠B=50°，则∠A′OB′有多大？∠A′与∠AOB′呢？
四、拓展题
21． （12分）如图16，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°.试求∠DFB和∠DGB的大小.
22． （14分）如图17，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上的一点，AF=1/2AB.
（1）指出图中线段BE与DF之间的长度关系和位置关系.
一、三边对应相等
已知△ABC的三边AB=c, BC=a, CA=b, 求作△ABC.
过程:先作线段AB=c, 然后分别以A、B为圆心, b、a为半径画圆, 如果两圆不能相交, 则说明给定的三边不能组成三角形, 这验证“三角形的两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边”.如图1, 我们看到, 两圆相交于两点C、D, 连接AC、AD、BC、BD, 则得到△ABC和△ABD, 度量三对角, 发现它们分别相等, 则说明这两个三角形全等.从这里可以看出, 有了三边的长度, 不用考虑角的大小, 就能把三角形唯一确定下来.这说明若三角形的三边相等, 则两三角形全等.
二、两边对应相等
(1) 无角相等:已知△ABC的两边AB=c, CA=b, 求作△ABC.
过程:先作线段AB=c, 再以A点为圆心, b为半径画圆, 在圆上任取一点C与A、B连接, 所形成的三角形均满足两边AB=c, CA=b的条件, 如图2, 拖动点C, 可以看到, 这样的三角形有无数, 这说明两边对应相等的两个三角形不全等.
(2) 两边的夹角相等:已知△ABC的两边AB=c, AC=b和它们的夹角∠BAC=∠α, 求作△ABC.
过程:先作∠BAC=∠α, 然后以点A为圆心, 分别以c, b为半径画圆, 交∠A的两边于B、C两点, 连BC, 则图3中有一个确定的△ABC, 满足条件AB=c, AC=b, ∠BAC=∠α.这说明若三角形的两边及两边的夹角对应相等, 则两三角形全等.
(3) 一边的对角相等:已知△ABC的两边AB=c, BC=a和边BC的对角∠BAC=∠α, 求作△ABC.
过程:先作∠BAC=∠α, 然后以点A为圆心, 以c为半径画圆, 交∠A的一边于B点, 再以B点为圆心, a为半径画圆, 可以看到, 这个圆与∠BAC的另一边有两个交点, 如图4 (也可能是一个交点, 也可能没有交点) , 即满足条件的三角形不能唯一确定, 这说明若三角形的两边及一边的对角对应相等, 则两三角形不一定全等.
由上面的三点讨论知:当已知三角形的两边对应相等时, 必须再知道它们的夹角相等, 才能确定这两个三角形全等, 而SSA不能判定两个三角形全等.
三、有一边相等
第二，让学生自己动手随意去做两个形状与大小相同的图形，通过动手实践，合作交流，直观感知全等形和全等三角形的概念。然后，通过阅读的方法让学生找出全等形和全等三角形的概念。
第三，教师演示一个三角形经过平移，翻折，旋转后构成的两个三角形全等。通过教具演示让学生体会对应顶点、对应边、对应角的概念，并以找朋友的形式练指出对应顶点、对应边、对应角，加强对对应元素的熟练程度。此时给出全等三角形的表示方法，提示对应顶点，写在对应的位置上，然后再给出用全等符号，表示全等三角形并加以练习，加强对知识的巩固。
第四，通过学生对全等三角形纸板的观察，小组讨论，合作交流，观察对应边、对应角有何关系，从而得出全等三角形的性质。并通过练习来理解全等三角形的性质并渗透符号语言推理。最后师生共同小结，这节课我们知道了什么是全等形、全等三角形，学会了用全等符号表示全等三角形，会用全等三角形的性质解决一些简单的实际问题。
一节复习课，为了能在有限的时间里得到比较有效的复习效果，从选择例题，到组织形式都是需要深入思考的，就复习的组织形式来 看，我进行了反复的思考，结合我班学生层次和复习的综合性，我决 定选取以两个等边三角形为主题的一题多变的变式训练方式作为本 节课的重点。从课堂教学的效果来看，感觉教学设计意图在本节课中 基本得到了贯彻。学生通过这组习题的训练，一方面对动态变化有了 深刻的认识，另一方面，对这一类问题的解决掌握了较为行之有效的 方法。本节复习课的主要思路是“以题提纲，以纲练题”，训练学生灵 活运用所学知识解题的能力。本课的重点是构建全等三角形知识体 系，全面复习全等三角形的性质和判定，难点是灵活运用所学知识解 决相关问题。在教学中，为突破难点，把握重点，我是这样进行课堂 设计的。首先进行自查与梳理，我设置五个比较简单的填空选择题、一个 简单的证明题，大部分学生看到题目，就能了解到用什么知识去解决。分别是全等三角形性质的运用、三角形全等的判定方法。问题的简单 是为了让绝大部分学生感到复习并不难，只要用心想、努力做，自己 也能复习好。然后，在学生回答后再板书考点梳理：全等三角形的性质、判定 ——角平分线的性质和判定——解决相关的问题。利用板书让学生明 白只有牢牢掌握了这些基础知识才能灵活地解决实际问题。在第三部分的复习中进行了例题的精析、习题的精练。设置了 三个典型例题，分别让中等生回答分析思路，再由优生或其他学生谈 谈其它不同的方法，使更多的学生思路开阔，能够一题多解，以增强 学生对这一部分知识应用的信心。看一看，学生学完之后，在复习中 是否能站在一定的高度看问题，是否形成了自己的解决问题的体系、方法。最后设置了三个练习题，第一题，在两个三角形中求证角相等、边相等，训练学生通过组织条件证明三角形全等，从而证明结论，是 全等三角形判定、性质的综合运用。第二题，是直角三角形全等的证 明，训练学生利用 HL、直角三角形中角之间的特殊关系证明问题。第三题，是角平分线的性质、判定的运用，这一部分题容易上难度，继续训练学生对问题的转化能力，让学生明白：在所学范围内，大部 分问题的条件、结论都能转化成边、角相等，从而利用三角形全等来证明。
十 一
教 学
高金爱 2014-11
思
我校山区学生较多, 面对全等三角形的证明题, 他们往往不知从何做起.虽然有很少一部分同学表面上知道方法, 但他们叙述不清楚, 说不出理由, 几乎不会写逻辑推理的过程.因此, 才有了“几何几何, 磨烂脑壳, 老师怕讲, 学生怕学”这种诙谐的说法.在此, 笔者根据自己的教学经验, 尝试运用以下五个步骤来解决全等三角形的证明问题.
步骤一:分析题目与图形
首先, 教师应引导学生认真审题, 弄清楚题目中所涉及的数学概念和专业术语的含义, 并结合图形, 理清已知条件, 明确求证内容.为了能使条件一目了然, 可以在已知条件前标注序号, 也可以将已知条件在图形中相应位置直接标注出来.此外, 图形中往往还有一些隐含条件, 比如, 对顶角、公共边、公共角等, 它们也是已知条件, 在证明中常常具有举足轻重的作用, 需要学生火眼金睛, 最大限度地从图形中挖掘有用信息.下面就举例具体分析一下.
例1如图, AC和BD相交于点O, OA=OC, OB=OD.求证:DC//AB.
认真审题后, 学生容易整理出两个已知条件: (1) OA=OC, (2) OB=OD.在此基础上, 教师可以引导学生在已知条件前标注数字序号, 并在图中相应位置进行标记.如, 学生可以在一组相等的线段上标注一点 (或者用红笔涂色) , 在另一组相等的线段上标注两点 (或者用蓝笔涂色) .这样一来, 所有的信息就都集中在图形上, 一目了然, 便于学生根据求证的内容迅速从图形中搜寻相关信息, 并且根据证明的需要挖掘隐含条件———对顶角相等.
步骤二:确定证明思路, 找到证明的条件
熟记定理是进行几何证明的前提.在证明过程中, 定理是联系题目中题设和结论的“桥梁”.例如, 要想证明两个三角形全等, 首先要把判定定理记得滚瓜烂熟, 只有这样, 才能在证明时审时度势, 深入探究已知条件和所求结论之间的内在联系, 确定具体使用哪个定理判定三角形全等, 并在此基础上, 进行严密的证明.证明命题时, 通常有以下三种思维模式:
1.正向思维.即执因索果, 证明的思路是从已知条件出发, 最终得出题目的结论.对于思路明了的简单题目, 通过正向思考, 不难得出答案.这种思维模式一般用于求线段的长度、角的度数等.
2.逆向思维.即由果导因, 证明的思路是从结论出发, 一步步探寻使结论成立的条件, 故称为“逆向思维”.在判定三角形全等的题目中, 使用逆向思维往往能使证明的思路更清晰, 证明的过程更简洁, 避免走弯路.如, 在例1中, 要想证明结论DC//AB, 就从结论出发, 找出使DC//AB成立的条件.根据平行的判定定理, 一般有三种思路: (1) 同位角相等, 两直线平行; (2) 内错角相等, 两直线平行; (3) 同旁内角互补, 两直线平行.结合图形不难看出, 从判定定理 (2) 内错角相等, 两直线平行入手, 即可证明.接着再寻找使定理 (2) 成立的条件——内错角相等.这样一来, 解题的目标从证明两直线平行转化为证明两个角相等.而在初中几何中, 要想证明两个角相等, 一般可以通过证明两个三角形全等, 进而得到对应角相等.通过两步推导, 题目变成了常规证明题———求证两个三角形全等.根据判定定理可知, 要证明两个斜三角形全等, 一般要具备三个条件.而此题题目中已经给出了两个条件, 即两组对应边分别相等.回顾所学的斜三角形全等的四个判定定理——AAS, ASA, SAS和SSS, 不难发现, 涉及两组对应边分别相等的判定定理只有SAS和SSS.所以, 此时要么想办法证明第三组对应边也相等, 要么确定两组对应边的夹角相等.带着这个任务回归图形, 寻找隐含条件, 发现由于AC与BD相交于点O, 显然OA与OB的夹角和OC与OD的夹角恰为对顶角, 不难推知, 用SAS即可证明△DOC与△BOA全等, 从而得到DC//AB.
逆向思维流程图如下:要证明两直线平行→ (找两直线平行的条件) 内错角相等→ (找角相等的条件) 证明三角形全等→接着找斜三角形全等的三个条件→根据题目所给条件并结合图形, 确定所用的判定定理.
3.从已知条件和结论同时出发, 综合使用正向思维和逆向思维, 得到结论.
步骤三:规范地书写证明过程
书写判定三角形全等的证明过程, 要求步骤清楚, 格式规范, 每一步都要有理有据.在教学中, 常常会出现这样的情况:学生能大致口述证明思路, 但不知道该如何书写证明过程, 或者有的学生索性先把已知条件全部罗列, 然后直接得出结论 (即题目的求证部分) .因此, 教师应教会学生使用标准的格式书写证明过程, 并重点强调以下要点:
1.证明哪两个三角形全等, 首先要写清楚在哪两个三角形中.
2.书写三角形全等的三个条件时, 用哪个判定定理, 就按照该定理的字母顺序相应地在大括号内罗列边和角.如, 例1, 用SAS证明, 就按边角边的顺序在大括号中相应地写出对应的边和角, 并着重强调这个角是两边的夹角, 避免学生误用判定定理进行证明.
3.写的时候, 对应点要写在对应位置上.
按照上述要求, 教师可向学生示范例1规范的书写格式.
步骤四:反思证明过程
反思是将解题思路升华的过程.学生证明完毕后, 教师应该指导学生反思证明过程.
第一, 反思证明思路.
第二, 反思如何规范地书写证明过程.
第三, 反思假如以后遇到类似的题目, 该怎么做.
步骤五:教会学生善于收集经典例题, 并把题型归类
全等三角形的证明题浩如烟海, 在教学中, 教师要引导学生抓住经典例题, 逐步掌握一些基本的证明方法, 归纳出带有规律性的一般结论, 力求举一反三.
在教学过程中, 教师可以改变经典例题的条件或者结论, 再让学生证明, 同时让学生自己把同类型的题目归类.比如, 哪些图形有隐含条件, 哪些题目用正向思维, 哪些题目用逆向思维等;或者说证明线段相等一般用什么方法, 证明角相等又用哪些方法, 在哪些图形中该怎么作辅助线等。既提高了学生的归纳总结能力, 又提高了学生的数学素养.
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