《函数单调性》说课稿（精选8篇）
北大附中深圳南山分校：马立明
一、教材分析-----教学内容、地位和作用本课是苏教版新课标普通高中数学必修一第二章第1节《函数的简单性质》的内容，该节中内容包括：函数的单调性、函数的最值、函数的奇偶性。总课时安排为3课时，《函数的单调性》是本节中的第一课时。函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均有着广泛的应用；在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。按现行教材结构体系，该内容安排在学习了函数的现代定义及函数的三种表示方法之后，了解了在生活实践中函数关系的普遍性，另外学生已在初中学过一次函数、反比例函数、二次函数等初等函数。在学生现有认知结构中能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性、发挥好多媒体教学的优势；在本节课是以函数的单调性的概念为主线，它始终贯穿于整个课堂教学过程；这是本节课的重点内容。利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性一个难点，也是对函数单调性概念的深层理解，且在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握。学生刚刚接触这种证明方法，给出一定的步骤是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助。另外，这也是以后要学习的不等式证明的比较法的基本思路，现在提出来对今后的教学也有了一定的铺垫。
二、学情分析教学目标的制定与实现，主要取决于我们对学习者掌握的程度。只有了解学习者原来具有的认知结构，学习者的准备状态，学习风格，情感态度等，我们才能制定合适的教学目标，安排合适的教学活动与评价标准。不同的教学环境，不同的学习主体有着不同的学习动机和学习特点。我所教授的班级的学生具体学情具体到我们班级学生而言有以下特点：学生多才多艺，个性张扬，但学科成绩不很理想，参差不齐；经受不住挫折，需要经常受到鼓励和安慰，否则就不能坚持不懈的学习；学习习惯不好，小动作较多，学习时注意力抗干扰能力不强，易被外界因素所影响，需要不断的引导；独立解决问题能力弱，畏难情绪严重，探索精神不足。只有少部分学生学习习惯良好，学风严谨，思维缜密。
三、教学目标：根据新课标的要求，以及对教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征，制定如下教学目标：
三维目标1
知识与技能：（1）
使学生理解函数单调性的概念，能判断并证明一些简单函数在给定区间上的单调性。（2）
通过函数单调性的教学，逐步培养学生观察、分析、概括与合作能力；
2过程与方法：（1）
通过本节课的学习，通过“数与形”之间的转换，渗透数形结合的数学思想。（2）
通过探究活动，明白考虑问题要细致、缜密，说理要严密、明确。3
情感，态度与价值观：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作与评价，拉近学生之间、师生之间的情感距离，培养学生对数学的兴趣。
（二）重点、难点重点：函数单调性的概念:为了突出重点，使学生理解该概念，整个过程分为：作图象并观察图象→讨论：函数图象的变化趋势是什么？→在这种变化趋势下，x与函数值y是如何相互影响的？→你能从量的角度出一个缜密的，完善的定义来吗？每个步骤都是在教师的参与下与引导下，通过学生与学生之间，师生之间的合作交流，不断反省，探索，直到完善结论，最终达到一个严密，简洁的定义。难点：函数单调性的判断与推证：突破该难点的：通过对照、分析定义，引导学生，概括出证明方法及步骤：“取量定大小，作差定符号，判断得结论”，并注意解题过程的规范性与严谨性。
四、教学方法：合作学习认为教学是师生之间、生生之间相互作用的过程，强调多边互动，共同掌握知识。视教学为师生平等参与和互动的过程，强调教师只是小组中的普通一员，起到一个引导者，管理者角色。在课堂教学中要加强知识发生过程的教学，充分调动学生的参与的积极性，有效地渗透数学思想方法，发展学生个性品质，从而达到提高学生整体的数学素养的目的。结合教学目标和学生情况我采用合作交流，探究学习相结合的教学方法。
五、内容组织形式课堂教学环节画出函数的图象,并研究出它们各自的变化趋势。认知派学习理论认为学习的积累及恰当与否取决于学习者已有的认知结构。残缺的认知结构是完成不了整个学习过程的。针对学生的实际情况，在上一节的课后布置作业让学生画一次函数，二次函数及反比例函数图象，回顾以前知识，尽而形成一个完整的认知结构，为以后的学习排除障碍。
（二）创设情景，引发兴趣师：在生活中我们经常会关注一些实际问题。如果你是市长分管防洪抗旱工作，你会对水位的涨落随时间变化的规律特别关心，如果你为一个股民的话，你心里想得就是如果能预见每天股价的走势那该是一件多么幸福的事情。实际上这些问题归根结底就是：是研究量与量之间的变化趋势，也就是研究其中两个变量如何相互影响的，这也是我们今天所要研究的主要课题。看以下实际问题：请说出气温在哪些时段是升高的，怎么样用数学语言来刻画“随时间的增大气温逐步升高”这一特征？这种在一定时间内，随着时间增大，气温逐步升高的现象反映在数学中，我们称它为函数的单调性行为学习理论者强调环境对学习产生的影响。当学习者对某种特殊的刺激做出反应时，就产生了“学习”。依据教材知识，渗透新课标理念，通过与实际问题的联系，揭示我们研究此节内容的现实意义，目的引发学生学习兴趣，有利于学生学习动力的产生。要点：短，平，快。
（三）合作交流，建构数学师生互动，引导探索建构数学，收获新知让一小组的代表上台来展示在上节课后所做的几个函数图象，并据此讨论下列问题，问题
1、并说一说所画函数的图象的变化趋势。观察得到：随着x值的增大，函数的函数图象有的呈逐渐上升的趋势，有的呈下降的趋势，有的在一个区间内呈上升趋势，在另一个区间内呈逐渐下降的趋势。问题2：你能明确的说出“图象呈逐渐上升趋势”的意思吗？此时X与函数值y如何相互影响的？讨论得到：在某一个区间内，当x值增大时，函数值y也增大图象在该区间内呈上升趋势。在某一个区间内，当x值增大时，函数值y也反而减小图象在该区间内呈下降趋势。在众多的函数中，很多函数都具有这种性质，因此我们有必要对函数的这种性质做进一步的讨论与研究。这就是我们今天这一节课的主题。函数的这种性质，我们就称为函数的单调性。
1、通过一系列的问题，引发对概念的全面思考。从具体到抽象，再从抽象到具体，并通过合作交流，增强学生对概念的理解，不断的修正、完善结论，达到建构数学的目的。
2、教学实践证明，小组内成员合作，组间成员竞争的讨论是一种有效的教学策略，使得整个评价的重心同个人之间竞争转为团体合作达标。并能使教师与学生、学生与学生之间有更多的交往、互动的机会。它也是引导学生积极参与教学过程的重要措施，是培养学生合作精神和激发学生创新意识的重要手段，也是促使每个学生得到充分发展的有效途径
3、重点：学生能否抓住定义中的关键词“给定区间”、“任意”和“都有”，是能否正确，深入透彻地理解和掌握概念的重要一环。分析定义，使学生把定义与图形结合起来，使新旧知识融为一体，加深对概念的理解，渗透数形结合的分析问题的数学思想方法问题3：我们刚才已经对函数的单调性，做了定性的分析，我们如何从量的角度来刻画这种性质。你能给出一个确切的定义来吗？请用你自己的话表达出来，并说给你的小组成员听，并与他交流后，形成集体意见，再展示给大家。最后的结论：定义：对于函数f的定义域I内某个区间A上的任意两个值⑴若当<时，都有f
（四）数学运用，巩固新知例题例1：定义在R上的函数y=f图象如图甲，所示，请说出它的单调区间，以及在每一单调区间上，是增函数还是减函数
参看所画看图乙，指出函数y=的单调区间，能不能说在定义域内是单调减函数？指出函数的单调区间，能不能说在定义域内是单调减函数？)如图丙，函数图象如图，写出单调区间让学生进一步理解一般函数单调区间的定义，区间的端点要不要？在这里一定要强调单调性只是函数的“局部性质”它与区间密不可分。-----不能把函数的单调区间写成例2判断并证明函数f=在上的单调性。证明：设,是上的任意两个实数，且<，------------------------------则f－f=－=,由,∈，得>0,又由<,得－<0,于是f－f<0,即f 归纳证明方法并加以比较说明；使学生突破本节的难点，掌握重点内容。基本步骤：“取量定大小，作差定符号，判断定结论”其中第二环节是难点“作差→变形→判断正负”。课堂练习： 1、判断下列说法是否正确 定义在R上的函数满足，则函数是R上的增函数。 定义在R上的函数满足，则函数是R上不是减函数。 定义在R上的函数在上是增函数，在上也是增函数，则函数是R上的增函数。、定义在R上的函数在上是增函数，在上也是增函数，则函数是R上的增函数。 2、判断函数f=kx+b在R上的单调性，并说明理由.3、判断并证明函数在上的单调性。练习的设定也是由浅入深层层推进的。回顾总结，加深理解理解理解请同学小结一下这节课的主要内容，有哪些是词语特别注意的？ 1、函数单调性的定义，注意定义中的关键词。 2、证明函数单调性的一般步骤； 3、在写单调区间时，不要轻易用并集的符号连接；课后知识性内容总结，把课堂内容转化为学生的素质兼顾差异，分层练习必做：习题2.1：第1、4、7题选做：研究的单调性，并给出严格证明，你能求出该函数的值域吗？ 1、针对学生个体的差异设置分层练习。既注重课内基础知识掌握，又兼顾了有余力的学生的能力的提高。 【例1】 求函数 解析:函数的定义域为 (-∞, 0) ∪ (0, +∞) , 在定义域内任取x1, x2, 设 ①当x1, x2∈ (-∞, -1]时, ∵x1<x2, ∴x1-x2<0, 而 ②当x1, x2∈[-1, 0) 时, ∵x1<x2, ∴x1-x2<0, 而 同理可得f (x) 在 (0, 1]上为减函数;f (x) 在[1, +∞) 上为增函数. 综上可知: 【例2】 已知f (x) =8+2x-x2, 如果g (x) =f (2-x2) , 求g (x) 的单调区间. 认识目标：掌握函数单调性的概念；会判断一些简单函数的单调性。 能力目标：培养学生的分析、归纳和总结能力；培养学生运动变化和数形结合的数学思想；培养学生理论联系实际的辩证唯物主义思想。 情感目标：营造亲切、活跃的课堂气氛，实施多元化评价，激励学生，使学生尝试成功，以点燃学生的学习热情。 教学重点、难点 重点：函数单调性概念和函数单调性的判断。 难点：判断函数的单调性。 教学过程设计与分析 创设问题情境 多媒体：学校的简介。（利用Flash进行演示） 提出问题：学校准备建造一个长方形的花坛，面积设计为16平方米。由于周围环境的限制，其中一边的长度长不能超过10米，短不能少于4米，求花坛半周长的最小值和最大值。 教师说明：此环节为创设情境。我们学校是上海市投资新建的郊区四所寄宿制重点高中之一，有着一流的硬件设施，绿化建设正在进行之中。抓住这一点，我设计了这节课的引例，切合实际，让学生有种亲切感。提出问题后，让学生思考、讨论下列问题：如何把实际问题归结为数学问题？经过思考、讨论，估计学生可以把问题归结为：设受限制一边长为x米，4≤x≤10，则另一边为16/x米，求半周长y＝x＋16/x（4≤x≤10）的最小值和最大值。如何求最小值？——运用基本不等式。如何求最大值？经过思考、讨论，最后大家一致认为利用y＝x＋16/x（4≤x≤10）的图像可以得出结论。 多媒体：利用Flash演示y＝x＋16/x（4≤x≤10）的图像,如图1所示。 教师说明：利用Flash给出函数的图像，从函数图像可以直观地得出结论，但是缺乏理论依据。指出缺乏理论依据的结论是站不住脚的，所以问题转化为寻找其理论依据，从而引入课题。这样可以培养学生严谨的治学态度。 揭示课题，引入新课 1.几何画板演示，点明课题。 多媒体：利用几何画板演示y＝x＋16/x（4≤x≤10）的动态的变化过程。用鼠标从左向右缓慢拖动y＝x＋16/x（4≤x≤10）上的A点，引导学生观察A点的纵坐标的变化情况（随着自变量x的增大，函数值y也在增大），如图2所示。 2.请学生根据自己的理解给出增函数定义。 一般地，对于给定区间上的函数f(x)：如果对于属于这个区间的自变量的任意两个值x1和x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在这个区间上是增函数。 3.请学生通过类比得出减函数的定义。 教师说明：在减函数定义的教学过程中，我改变了以往“灌输结论”的做法，让学生通过对增函数定义的理解从而得到减函数的定义，培养了学生的类比的重要数学思想方法，对于学生学习新知识、新概念有很大的帮助。 巩固新知，深化扩展 1.一次函数的单调性问题。 [例1]证明函数f(x)＝3x＋2在区间(－∞，＋∞)上是增函数。 引申：探索一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)在区间(－∞，＋∞)上的单调性。 2.二次函数的单调性问题。 [例2]判断函数f(x)＝x2－2x的单调区间，并加以证明。 教师说明：例题的给出由简单的一次函数到二次函数，遵循了学生一般的认知规律，使学生容易接受，易于理解。在二次函数f(x)＝x2－2x的单调性的证明中，分工合作，第一、二组的学生完成函数在[1，＋∞)上的证明；第三、四组的学生完成函数在(－∞，1]上的证明，倡导自主学习、合作学习的新的学习方式。通过例1、例2的解决，让学生归纳判断函数单调性的基本步骤，培养学生分析、归纳和总结的能力。 判断函数单调性的基本步骤： 第一步，设x1、x2是区间内的任意两个实数，且x1＜x2。 第二步，比较f(x1)、f(x2)的大小。 第三步，给出结论。 自主解决——[引例]的解决 教师说明：有了上述理论作基础，一开始提出的问题就能迎刃而解：证明函数y＝x＋16/x在区间[4，10]上是增函数；得出结论，当x=10时，ymax=11.6。此环节起到了首尾呼应的作用，让学生体会到数学源于生活又服务于生活，体会到数学的魅力，并指出，函数单调性的研究为解决函数的最值问题提供了又一重要方法，可见研究函数的单调性是非常有必要的。那么我们为何不乘胜追击，探索更一般的情况，研究函数y=x+k/x(k∈Ｒ)的单调性。 多媒体：利用Authorware进行探索、总结y=x+k/x(k∈Ｒ)图像，寻找一般的结果。（从特殊到一般）如图3、4所示。 学生总结、教师归纳 教师说明：提出问题，这节课你学到了哪些数学知识？学生一一罗列：函数单调性的概念、判断函数单调性的常用方法、证明函数单调性的基本步骤。进一步提出问题：整堂课体现了哪些重要的数学思维？自问自答：从特殊到一般的研究方法；从大胆的猜想到严格的证明；数形结合、类比的思想。利用计算机使我们探索数学问题的过程更加直观、简洁和生动。 （作者单位：上海市南汇中学 201300） 点评 “问题是数学的心脏”。一个好的问题能引起学生兴趣，启迪学生的思考，将思维引向深刻。闵丽红老师的“学校花坛问题”是一个很好的实际问题：在学校绿化建设中，如何建造其费用最省？闵老师通过引导学生观察问题、发现问题、提出问题、探究和解决问题，使学生感受到数学源于生活又服务于生活，以培养学生形成科学观，培养学生的创新精神和实践能力。 这节课最大的特点是贯穿始终的现代软件技术的应用，娴熟地运用了PowerPoint、Authorware、Flash和几何画板等多种教学媒体和手段，通过直观的画面和动态的影像，将数学知识的发生和发展淋漓尽致地展现在学生面前。尤其在利用Authorware进行探索、总结图像的过程中，首先，研究特殊情况（当k=2时）,使用列表描点、几何绘图两种方法，利用计算机动态地绘画出它的图像。紧接着，探索、总结其一般结果：随机地输入k的值，随即电脑显示相应函数的图像。最后，显示所有情况，一目了然，使每位学生对于图像都有了清晰的、精确的认识。利用多媒体处理这一部分达到的效果，是传统教学所不及的，充分地体现了现代技术的优越性。 《函数的奇偶性》说课稿1 一、教材分析 函数是中学数学的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中。函数的奇偶性是函数中的一个重要内容，它不仅与现实生活中的对称性密切相关联，而且为后面学习指、对、幂函数的性质作好了坚实的准备和基础。因此，本节课的内容是至关重要的，它对知识起到了承上启下的作用。 二。教学目标 1.知识目标： 理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇偶性。 2.能力目标： 通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想。 3.情感目标： 通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力。 三。教学重点和难点 教学重点：函数的奇偶性及其几何意义。 教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式。 四、教学方法 为了实现本节课的教学目标，在教法上我采取： 1、通过学生熟悉的函数知识引入课题，为概念学习创设情境，拉近未知与 已知的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性。 2、在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念。 3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达。 五、学习方法 1、让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的质的飞跃。 2、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力。 六。教学程序 （一）创设情景，揭示课题 “对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性？ 观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性。 f（x）= x2 f（x）=x x 通过讨论归纳：函数 是定义域为全体实数的抛物线；函数f（x）=x是定义域为全体实数的直线；各函数之间的共性为图象关于 轴对称。观察一对关于 轴对称的点的坐标有什么关系？ 归纳：若点 在函数图象上，则相应的点 也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等。 （二）互动交流 研讨新知 函数的奇偶性定义： 1.偶函数 一般地，对于函数 的定义域内的任意一个 ,都有 ,那么 就叫做偶函数。（学生活动）依照偶函数的定义给出奇函数的定义。 2.奇函数 一般地，对于函数 的定义域的任意一个 ,都有 ,那么 就叫做奇函数。 注意： 1.函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质。 2.由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 ,则 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 3.具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 轴对称；奇函数的图象关于原点对称。 （三）质疑答辩，排难解惑，发展思维。 例1.判断下列函数是否是偶函数。 （1） （2） 解：函数 不是偶函数，因为它的定义域关于原点不对称。 函数 也不是偶函数，因为它的定义域为 ,并不关于原点对称。 例2.判断下列函数的奇偶性 （1） （2） （3） （4） 解：（略） 小结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ②确定 ; ③作出相应结论： 若 ; 若 . 例3.判断下列函数的奇偶性： ① ② 分析：先验证函数定义域的对称性，再考察 . 解：（1） >0且 >= < < ,它具有对称性。因为 ,所以 是偶函数，不是奇函数。 （2）当 >0时，-<0,于是 当<0时，->0,于是 综上可知，在r-∪r+上， 是奇函数。 例4.利用函数的奇偶性补全函数的图象。 教材p41思考题： 规律：偶函数的图象关于 轴对称；奇函数的图象关于原点对称。 说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据。 例5.已知 是奇函数，在（0,+∞）上是增函数。 证明： 在（-∞，0）上也是增函数。 证明：（略） 小结：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致。 （四）巩固深化，反馈矫正 （1）课本p42 练习1.2 p46 b组题的1.2.3 （2）判断下列函数的奇偶性，并说明理由。 ① ② ③ ④ （五）归纳小结，整体认识 本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称，单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质。 （六）设置问题，留下悬念 1.书面作业：课本p46习题a组1.3.9.10题 2.设 >0时， 试问：当<0时， 的表达式是什么？ 《函数的奇偶性》说课稿2 各位老师，大家好！ 今天我说课的课题是高中数学人教A版必修一第一章第三节“函数的基本性质”中的“函数的奇偶性”,下面我将从教材分析，教法、学法分析，教学过程，教辅手段，板书设计等方面对本课时的教学设计进行说明。 一、教材分析 （一）教材特点、教材的地位与作用 本节课的主要学习内容是理解函数的奇偶性的概念，掌握利用定义和图象判断函数的奇偶性，以及函数奇偶性的几个性质。 函数的奇偶性是函数中的一个重要内容，它不仅与现实生活中的对称性密切相关，而且为后面学习幂函数、指数函数、对数函数的性质打下了坚实的基础。因此本节课的内容是至关重要的，它对知识起到了承上启下的作用。 （二）重点、难点 1、本课时的教学重点是：函数的奇偶性及其几何意义。 2、本课时的教学难点是：判断函数的奇偶性的方法与格式。 （三）教学目标 1、知识与技能：使学生理解函数奇偶性的概念，初步掌握判断函数奇偶性的方法； 2、方法与过程：引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构奇函数、偶函数等概念；能运用函数奇偶性概念解决简单的问题；使学生领会数形结合思想方法，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。 3、情感态度与价值观：在奇偶性概念形成过程中，使学生体会数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。 二、教法、学法分析 1.教学方法：启发引导式 结合本章实际，教材简单易懂，重在应用、解决实际问题，本节课准备采用“引导发现法”进行教学，引导发现法可激发学生学习的积极性和创造性，分享到探索知识的方法和乐趣，在解决问题的过程中，体验成功与失败，从而逐步建立完善的认知结构。使用多媒体辅助教学，突出了知识的产生过程，又增加了课堂的趣味性。 2.学法指导：引导学生采用自主探索与互相协作相结合的学习方式。让每一位学生都能参与研究，并最终学会学习。 三、教辅手段 以学生独立思考、自主探究、合作交流，教师启发引导为主，以多媒体演示为辅的教学方式进行教学 四、教学过程 为了达到预期的教学目标，我对整个教学过程进行了系统地规划，设计了五个主要的教学程序：设疑导入，观图激趣。指导观察，形成概念。学生探索、发展思维。知识应用，巩固提高。归纳小结，布置作业。 （一）设疑导入，观图激趣 让学生感受生活中的美：展示图片蝴蝶，雪花 学生举例生活中的对称现象 折纸：取一张纸，在其上画出直角坐标系，并在第一象限任画一函数的图象，以y轴为折痕将纸对折，并在纸的背面（即第二象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形。 问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，观察图象上相应的点的坐标有什么特点 以y轴为折痕将纸对折，然后以x 轴为折痕将纸对折，在纸的背面（即第三象限）画出第二象限内图象的痕迹，然后将纸展开。观察坐标喜之中的图形： 问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，观察图象上相应的点的坐标有什么特点 （二）指导观察，形成概念 这节课我们首先从两类对称：轴对称和中心对称展开研究。 思考：请同学们作出函数y=x2的图象，并观察这两个函数图象的对称性如何 给出图象，然后问学生初中是怎样判断图象关于 轴对称呢此时提出研究方向：今天我们将从数值角度研究图象的这种特征体现在自变量与函数值之间有何规律 借助课件演示，学生会回答自变量互为相反数，函数值相等。接着再让学生分别计算f（1），f（-1），f（2），f（-2），学生很快会得到f（-1）=f（1），f（-2）=f（2），进而提出在定义域内是否对所有的x,都有类似的情况借助课件演示，学生会得出结论，f（-x）=f（x），从而引导学生先把它们具体化，再用数学符号表示。 思考：由于对任一x,必须有一-x与之对应，因此函数的定义域有什么特征 引导学生发现函数的定义域一定关于原点对称。根据以上特点，请学生用完整的语言叙述定义，同时给出板书： （1）函数f（x）的定义域为A,且关于原点对称，如果有f（-x）=f（x），则称f（x）为偶函数 提出新问题：函数图象关于原点对称，它的自变量与函数值之间的数值规律是什么呢 （同时打出 y=1/x的图象让学生观察研究） 学生可类比刚才的方法，很快得出结论，再让学生给出奇函数的定义： （2）函数f（x）的定义域为A,且关于原点对称，如果有f（-x）=f（x）， 则称f（x）为奇函数 强调注意点：“定义域关于原点对称”的条件必不可少。 接着再探究函数奇偶性的判断方法，根据前面所授知识，归纳步骤： （1）求出函数的定义域，并判断是否关于原点对称 （2）验证f（-x）=f（x）或f（-x）=-f（x） 3）得出结论 给出例题，加深理解： 例1,利用定义，判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）= x2+1 （2）f（x）=x3-x （3）f（x）=x4-3x2-1 （4）f（x）=1/x3+1 提出新问题：在例1中的函数中有奇函数，也有偶函数，但象（4）这样的是什么函数呢？ 得到注意点：既不是奇函数也不是偶函数的称为非奇非偶函数 接着进行课堂巩固，强调非奇非偶函数的原因有两种，一是定义域不关于原点对称，二是定义域虽关于原点对称，但不满足f（-x）=f（x）或f（-x）=-f（x） 然后根据前面引入知识中，继续探究函数奇偶性的第二种判断方法：图象法： 函数f（x）是奇函数=图象关于原点对称 函数f（x）是偶函数=图象关于y轴对称 给出例2:书P63例3,再进行当堂巩固， 1,书P65ex2 2,说出下列函数的奇偶性： Y=x4 ; Y=x-1 ;Y=x ;Y=x-2 ;Y=x5 ;Y=x-3 归纳：对形如：y=xn的函数，若n为偶数则它为偶函数，若n为奇数，则它为奇函数 （三）学生探索，发展思维。 思考：1,函数y=2是什么函数 2,函数y=0有是什么函数 （四）布置作业： 课本P39习题1.3（A组） 第6题， B组第3 五、板书设计 《函数的奇偶性》说课稿3 一、说教材 《数的奇偶性》是义务教育课程标准实验教科书数学（北师大版）五年级上册第一单元的内容，教材在学习了数的特征的基础上，安排了多个数学活动，让学生探索和理解数的.奇偶性，尝试运用“列表”和“画示意图”等解决问题的策略，发现规律，解决生活中的一些问题。让学生经历探索加法中数的奇偶性变化的过程，在活动中发现数的奇偶性的变化规律，体验研究方法，提高推理能力。 二、说学情： 五年级学生在学习过程中已经具备一定的观察能力，分析交流等能力。进行小组合作和交流时，大多数学生能较清晰地表达出自己的主张和见解。绝大部分学生愿意通过自主思考，小组内和全班范围内交流的学习方式来提升自己对问题的认识。 三、说教法： 为适应数学学科“实践与应用”的需求，根据培养学生的求知欲和自我实现的需要，这节课我以学生自主合作探究为主要教学策略，扶放结合，把课堂中更多的时间留给学生去探究和发现，使他们能自主的总结规律、解决问题。 四、说学法： 1、通过动手操作，运用列表法和画图法发现数的奇偶性变化规律。 2、运用观察、猜测、验证方法得出结论，探索加法中奇偶的变化的过程，在过程中发现规律。 五、说目标： 1、在具体情境中，通过实际操作，尝试运用“列表”“画示意图”等方法发现数的奇偶性规律，并运用其解决生活中的一些简单问题。 2、经历探索加减法中数的奇偶性变化的过程，在活动中发现数的奇偶性的变化规律，在活动中体验研究方法，提高推理能力。 3、使学生体会到生活中处处有数学，增强学好数学的信心和应用数学的意识。 六、说重、难点： 1、掌握加法中数的奇偶性的变化规律。 2、能应用数的奇偶性分析和解释生活中一些简单问题。 七、说流程： （一）、旧知回顾： 1、什么是奇数？什么是偶数？ 2、下面的数哪些是奇数？哪些是偶数？（课件出示） 3、判断：自然数不是奇数就是偶数。 在此处设计导语：在我们研究的自然数中，可以把它们按奇偶性分为奇数和偶数两类，我们还可以用这些数的奇偶性来解决生活中的简单问题呢。这节课我们就来上一节数学活动课，继续探究一下有关“数的奇偶性”的问题（板书课题） （二）、创设情景，引出问题。 师：同学们，在南方的水乡，有很多地方的交通工具是船，有很多人以摆渡为生，请看王伯伯的船，最初小船在南岸，从南岸驶向北岸，再从北岸驶向南岸，不断往返。船摆渡11次后，船停在南岸还是北岸？ 探究小船所在的位置： 师：你准备用什么方法来分析。（生口答） 师：请同学们选出其中一种分析方法，把分析过程写在草稿纸上。 小组交流，汇报。 《函数的奇偶性》说课稿4 一、教材与学生 1、教材 《数的奇偶性》是在学生已经学习数的奇数和偶数的基础上进行的。因为这个知识才刚刚从中学数学，或小学奥数系列进入教材学生不熟悉，，教师也陌生，我就想，能否让学生亲身体会一下奥数并不神秘，同时能在快乐中去学有价值、有难度的数学。 2、学生 五年级学生在不断的学习过程中已经具备一定的观察、思考、分析、交流以及动手操作的能力。但基础的差异，环境的不同，后天开发的不等，故我在循序渐进，步步为营的同时，准备放开手脚，让学生去动手探索。 二、教学目标 1．让学生在观察中自然认识奇数和偶数；掌握数加减的奇偶性； 2．运用设疑——猜想——验证—运用的教学模式，培养的自主探究的能力； 3．让学生在一系列的活动中思考、学习，增长数学兴趣和增强学习的内驱力。 三、教法和学法 主要是自主探究与开放式教学相结合。 1、让学生自主探索规律，并全程参与。 我想，什么也不能代替学生的亲身体验。这里我讲一个小故事——有一天，我感冒了。不想说，也不想动，就说：孩子们，今天讲台就交给你们了，我就是一个擦黑板工。同学们笑了，尽管我讲的是租船和租车的复杂问题，但孩子们讲的头头是道，写的一丝不苟。为什么不在适当的时候把课堂还给学生呢？！ 2、大胆开放，抛弃束缚。 我的教学不想拘泥于一点，不想修建一个房屋让孩子们在里面玩，在思维的国度，应该是平等的，自由的。这难道不是北大的思想吗？开放式教学不是我们北大附中的精髓吗？ 因此我打破了教材的局限，设计了一个崭新的思路—— 四、教学设计和思路 （一）游戏导入，感受奇偶性 1、游戏一：6只小鸭子、5只蝴蝶找伴 2、游戏二：转轮盘 （1）讲要求：指针停在几上就再走几步； （2）独白： A请他们全班去吃饭，地方吗 B学生开心极了，当听到是东方饺子王………一片赞叹。 C结果：乘兴而来，败兴而归，有的指责我—骗人 （我—我怎么骗人了？） 讨论：为什么会出现这种情况呢？ 如果游戏一是感知数的奇偶，开始了微笑，那么游戏二就彻底激发了学生的学习的积极性和主动性，在笑声中，叹息声中，在失败中开始了思索，在思索中寻找答案。 （此时学生议论纷纷，正是引出偶数、奇数的最佳时机） 3、板书课题，加以破题，加以过渡。 （二）猜想验证，认识奇偶性 1、为什么没有人中奖呢？（学生猜想，教师板书） 2、真的是这样吗？（教师加以验证） （我在验证的同时，表扬学生达到了一年级水平，二年级的高度，三年级的容量，学生在笑声中体验了愉悦，在开心中学到了知识，增长了能力） （而在我展现了验证的过程后，开始表扬自己，这个人多帅，多聪明，像不像我——————，哈哈不服气，你来呀！） （三）大胆猜想，细心求证 1、独立来写（写出了加法，又写出了减法，我提示—有没有乘除呢？） 2、小组合作验证纠偏 3、小组展示（满满的一黑板，加减乘除都有。而且欲罢不能，我就在表扬学生的基础上，圈出我们今天应该掌握的加法的奇偶性。） （四）坡度练习，层层加深 1、填空 2、判断（这些内容，由浅入深，由难及易，层层推进） 3、填表（着重讲解了这一道题—因为它是例题，我把填表作为要点，学会观察与思考，从而得到规律。） 4、动手（有动脑的，动口的，这里的翻杯子就是动手了。） 五、课堂小结，课后延伸 1、说说我们这节课探索了什么？你发现了什么？或者有什么想说的？ 2、思考题 那如果是4个杯子全部杯口朝上放在桌上，每次翻动其中的3只杯子，能否经过若干次翻转，使得4个杯子全部杯口朝下？最少几次？ 《函数的奇偶性》说课稿5 一、说教学内容及农远资源说明。 《数的奇偶性》是北师大版教材五年级上册第一单元《倍数与因数》最后一课时；是在学生掌握奇数、偶数特点等知识基础之上的一次延伸；是让学生学会用数学策略解决生活问题的一次尝试。因此，本课时教学资源的使用目的主要是帮助学会解决问题的策略，体验猜想结果—举例验证—得出结论这种数学研究方式。农远资源我主要应用于课前的情境创设；教学中对学生体验猜想结果—举例验证—得出结论数学研究方式的辅助；以及学生应用数学模型解决问题中的游戏等环节。 二、说教学目标。 我从知识与技能角度确立目标一：尝试运用“列表”、“画示意图”等方法发现规律，运用数的奇偶性分析和解释生活中的一些简单问题。从过程与方法角度确立目标二：通过活动让学生经历猜想结果—举例验证—得出结论的探究过程，并在活动中发现加法中数的奇偶性的变化规律，掌握数的奇偶性特征。从情感、态度和价值观角度确立目标三：让学生在活动中体验研究方法，感悟解决问题的不同策略，提高推理能力。 三、说设计理念及农远资源的辅助使用。 本课我是四个方面进行设计的。 第一，我从故事引入，创设一个以摆渡为生的船夫想请学生们帮他解决一个问题这一情境。学生遇到这样一个以前从未见过的问题，便产生认知上的冲突，激发了学生的学习兴趣，也调动了学生学习的积极性，在情境创设中，多媒体资源的辅助使用，有效的调动了学生的求知欲，牢牢地把学生吸引在对未知内容的探究之上了。 第二，我组织学生分小组合作，动手操作，感受数的奇偶性，理解解决问题的不同策略，经历猜想结果—举例验证—得出结论这一数学研究方式。 这部分内容是本课教学的重点也是难点，我安排三个活动，层层推进，帮助学生学习。 活动一：对于船夫提出的划11次船在南岸还是北岸这一问题，我组织学生讨论，寻找解决问题的办法。引导学生尝试用不同的方法来解决，全班汇报交流时，利用媒体展示“列表”、“画示意图”等方式让学生理解解决问题的不同策略。 活动二：让学生翻动自己准备的纸杯子，通过动手操作进一步发现数的奇偶性规律，同时让学生想若把“杯子”换成“硬币”你能提出怎样的问题，并试着回答这些问题，再用硬币操作验证。安排这一活动目的是培养学生提出假设问题—猜想结果—再实践验证的数学研究习惯，发展学生主动探究能力。 活动三：是让学生合作探究加法中数的奇偶性，让学生体验猜想结果—举例验证—得出结论的`数学研究方式。本活动主要是让学生相互之间加强交流，形成自主、合作、探究的数学学习课堂。的使用有效的帮助学生建构出数学模型。 第三，运用数学模型，解决实际问题。 这一部分我安排三个内容。第一个内容是出示几个算式，让学生判断结果是奇数还是偶数。这一内容在学生已有数的奇偶性特征这一数学模型经验之后，独立完成已经没有障碍。第二个内容是有3个杯子全部杯口朝上放在桌上，每次翻动其中的两只杯子，能否经过若干次翻转使得3个杯子全部杯口朝下。这一内容是对前面同一问题的拓展，目的是让学生进一步理解奇偶性，同时培养学生动手实践能力。第三个内容，我安排的是一个游戏，也是一个实际问题，游戏是用骰子掷一次得到一个点数，从A点开始，连续走两次，走到哪一格，那一格的奖品归你。通过这个游戏让学生明白无论掷几，走两次都是偶数，而奖品都在奇数区域里，所以不论怎样都不能获得奖品。让学生运用学过的数学知识解开其中的奥秘，获得情感体验。 第四，总结反思，交流收获，同时进一步拓展知识视野，让学生将学习的知识与生活实际联系起来，培养学生初步的数学应用能力。 以上四步骤，让学生经历从情境创设到建构数学模型，再到运用模型解决解决问题三个阶段，三种层次。学生学会用自己的策略解决问题。媒体资源的辅助使用，让学生的体验更深刻，教学效果更显著，完全实现了课前确立的教学目标 《函数的奇偶性》说课稿6 教学目标 1.使学生理解奇函数、偶函数的概念； 2.使学生掌握判断某些函数奇偶性的方法； 3.培养学生判断、推理的能力、加强化归转化能力的训练； 教学重点 函数奇偶性的概念 教学难点 函数奇偶性的判断 教学方法 讲授法 教具装备 幻灯片3张 第一张：上节课幻灯片A。 第二张：课本P58图2—8（记作B）。 第三张：本课时作业中的预习内容及提纲。 教学过程 （I）复习回顾 师：上节课我们学习了函数单调性的概念，请同学们回忆一下：增函数、减函数的定义，并复述证明函数单调性的步骤。 生：（略） 师：这节课我们来研究函数的另外一个性质——奇偶性（导入课题，板书课题）。 （II）讲授新课 （打出幻灯片A） 师：请同学们观察图形，说出函数y=x2的图象有怎样的对称性？ 生：（关于y轴对称）。 师：从函数y=f(x)=x2本身来说，其特点是什么？ 生：（当自变量取一对相反数时，函数y取同一值）。 师：（举例），例如： f(-2)=4, f(2)=4,即f(-2)= f(-2)； f(-1)=1，f(1)=1，即f(-1)= f(1)； …… 由于（-x）2=x2 ∴f(-x)= f(x). 以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y）是函数y=x2的图象上的任一点,那么,与它关于y轴的对称点(-x,y)也在函数y=x2的图象上，这时，我们说函数y=x2是偶函数。 一般地，（板书）如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)= f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。 例如：函数f(x)=x2+1, f(x)=x4-2等都是偶函数。 （打出幻灯片B） 师：观察函数y=x3的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？ 生：（也是一对相反数） 师：这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？ 生：（函数的图象关于原点对称）。 师：也就是说，如果点（x,y）是函数y=x3的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y）也在函数y=x3的图象上，这时，我们说函数y=x3是奇函数。 一般地，（板书）如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x) =－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。 例如：函数f(x)=x，f(x) =都是奇函数。 如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。 注意：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数： （1）其定义域关于原点对称； （2）f(-x)= f(x)或f(-x)=- f(x)必有一成立。因此，判断某一函数的奇偶性时。 首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算f(-x)，看是等于f(x)还是等于- f(x)，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。 （III）例题分析 课本P61例4，让学生自看去领悟注意的问题并判断的方法。 注意：函数中有奇函数，也有偶函数，但是还有些函数既不是奇函数也不是偶函数，唯有f(x)=0（x∈R或x∈(-a,a).a>0）既是奇函数又是偶函数。 （IV）课堂练习：课本P63练习1。 （V）课时小结 本节课我们学习了函数奇偶性的定义及判断函数奇偶性的方法。特别要注意判断函数奇偶性时，一定要首先看其定义域是否关于原点对称，否则将会导致结论错误或做无用功。 （VI）课后作业 一、课本p65习题2.3 7。 二、预习：课本P62例5、例6。预习提纲： 1.请自己理一下例5的证题思路。 2.奇偶函数的图角各有什么特征？ 板书设计 课题 奇偶函数的定义 注意： 判断函数奇偶性的方法步骤。 小结： [本周教学重点] 掌握函数单调性的定义，会用定义法证明函数的单调性及其步骤。 (1)设x1，x2是定义域上的任意两个值，且x1 (2)作差f(x1)-f(x2)并将其变形为可判断符号的形式； (3)判断f(x1)-f(x2)的正、负； (4)结论 理解函数奇偶性的定义及奇、偶函数定理，能判断、证明一些简单函数的奇偶性，会利用函数奇偶性求解有关函数问题。 (1)函数的定义域在数轴上关于原点对称，是函数具有奇偶性的必要条件。 (2)f(-x)=-f(x)f(-x)+f(x)=0f(x)是奇函数。 f(x)=f(-x)f(-x)-f(x)=0f(x)是偶函数。 由f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是侧重于函数解析式的变形去证明f(x)的奇偶性；而f(-x)+f(x)=0或f(-x)-f(x)=0是通过运算去证明f(x)的奇偶性，两种定义形式各具不同优势。 (3)若f(x)是奇函数且允许x=0，则f(0)=0，即f(x)的图象过原点。 (4)若f(x)既是奇函数，又是偶函数，则f(x)=0。 (5)同为奇函数，同为偶函数的两个函数之积是偶函数；一奇一偶两个函数之积是奇函数。 (6)定义在R上的任意一个函数f(x)都可表示为一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)的和。 即f(x)=g(x)+h(x)，其中g(x)=[f(x)-f(-x)]，h(x)= [f(x)+f(-x)]。 理解反函数的概念，掌握求反函数的方法步骤。 (1)由原函数y=f(x)求出它的值域； (2)由原函数y=f(x)反解出x=f- 1(y)； (3)交换x，y改写成y=f-1(x)； (4)用f(x)的值域确定f-1(x)的定义域。 [例题分析] 例1．证明函数f(x)= 在定义域上的单调性。 [分析与解答] 函数的单调性必须在定义域内进行考查。由x2+x≥0得f(x)定义域为(-∞，-1][0，+∞)。 函数定义域不是一个连续的区间，应分别考查在每一个区间上的单调性，用定义法证明时，只需任取x1 任取x1 == 当-∞ ∴ f(x1)-f(x2)>0，∴ f(x)是(-∞，-1]上的单调递减函数。 当0≤x1 >0。 ∴ f(x1)-f(x2)<0，∴ f(x)是[0，+∞)上的单调递增函数。 例2．函数f(x)是[0，+∞)上的单调递减函数，f(x)≠0且f(2)=1，证明函数F(x)=f(x)+在[0，2]上的单调性。 [分析与解答]函数f(x)没有给出解析式，因此对F(x)的函数值作差后，需由f(x)的单调性，确定作差后的符号。任取0≤x1 由F(x1)-F(x2)=f(x1)+-f(x2)-=f(x1)-f(x2)+ =[f(x1)-f(x2)]·[1-] ∵ 0≤x1 ∴ f(x1)-f(x2)>0，f(x1)·f(x2)>1，<1，1->0，∴ F(x1)-F(x2)>0，F(x)是[0，2]上的单调递减函数。 例3．证明函数f(x)=的奇偶性。 [分析与解答] 函数的奇偶性必须在其定义域内考查。 由 函数f(x)定义域为[-1，0)(0，1]。 ∴ |x+3|-3=x+3-3=x。即f(x)=，由f(-x)= =-f(x)，∴ f(x)是奇函数。 例4．设f(x)是定义在R上的函数，对任意x1，x2∈R，恒有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，且f(x)不恒为0，证明 f(x)的奇偶性。 [分析与解答] 函数f(x)没有给出解析式，这就必须从定义域，法则，及f(x)不恒为0去分析，完成奇偶性的证明。由f(x)定义域为R，显然允许x=0，所以f(0)=0是f(x)的奇函数的必要条件。 令x1=x2=0，由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)得f(0+0)=f(0)+f(0)，整理得f(0)=0，对任意x∈R，由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)知f(-x)+f(x)=f(-x+x)=f(0)=0，∴ f(-x)=-f(x)，∵ f(x)不恒为0，∴f(x)不可能既是奇函数又是偶函数，所以f(x)是R上的奇函数。 例5．已知函数f(x)=(a，b，c∈Z)是奇函数，且f(1)=2，f(2)<3。 (1)求a，b，c的值；(2)用定义法证明f(x)在(0，1)上的单调性。 [分析与解答](1)∵ f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)，即 =-，解出c=0，∴ f(x)=，∵ f(1)=2，∴ =2，∴ 2b=a+1。 ∵ f(2)＜3，∴<3。将2b=a+1代入，∴ <3，解出-1 (2)f(x)==x+。任取0 f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)+=(x1-x2)(1-) ∵ 0 例6．证明函数f(x)= (x≠)的图象关于直线y=x对称。 [分析与解答] 由反函数定理可知，当两个函数互为反函数时，它们的图象关于直线y=x对称，所以要证明 f(x)=(x≠)的图象关于直线y=x对称，只需证明f(x)的反函数是其自身即可。 ∴ f(x)的值域为{y|y≠，y∈R}。 由y=，∴ ayx-y=x-1，(ay-1)x=y-1。 ∵ y≠，∴ ay-1≠0，x=，即f-1(x)= (x≠)，显然f(x)与f-1(x)是同一函数，所求f(x)的图象关于直线y=x对称。 [参考练习] 1．设f(x)是定义在R上的任意一个增函数，F(x)=f(x)-f(-x)必是（）。 A、增函数且是奇函数 B、增函数且是偶函数 C、减函数且是奇函数 D、减函数且是偶函数 2．已知y=f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2-2x，则f(x)在R上的表达式是（）。 A、y=x(x-2)B、y=x(|x|-1)C、y=|x|·(x-2)D、y=x(|x|-2) 3．若点(1，2)在函数y=的图象上，又在它的反函数的图象上，则（）。 A、a=3，b=-7 B、a=3，b=7 C、a=-3，b=-7 D、a=-3，b=7 4．函数f(x)是定义在[-6，6]上的偶函数，且在[-6，0]上是减函数，则（）。 A、f(3)+f(4)>0 B、f(-3)-f(2)<0 C、f(-2)+f(-5)<0 D、f(4)-f(-1)>0 5．设f(x)是定义在(-1，1)上的奇函数且是单调减函数，求解关于x的不等式f(1-x)+f(1-x2)<0的解集。 [参考答案]： 1.A 2.D 3.D 4.D 5.由f(1-x)+f(1-x2)<0，∴ f(1-x)<-f(1-x2)，∵ f(x)是(-1，1)上的奇函数，∴ f(1-x) 函数的单调性性教学反思 在教学过程中针对学生已经初步认识了函数是刻画某些运动变化数量关系的数学概念，在教学中借助图像对函数进行研究特别是对函数加以直接考察，利用一次函数，二次函数，反比例函数等几个具体函数了解它们的图像和性质。“图像是上升的，函数是单调增的；图像是下降的，函数是单调减的”仅就图像角度直观描述函数单调性的特征，学生并不感到困难。困难在于，把具体的，直观形象的函数单调性抽象出来，用数学的符号语言描述，教学中通过像及数值变化特征的研究，得到“图像是上升的”，相应地，即“随着x的增大，Y也增大，”初步提出单调性的说法。通过讨论、交流，让学生尝试，就一般情况进行刻画，提出单调性的定义，然后通过辨析，练习等帮助学生理解一概念。 在教学中要适当把握节奏，在一节课企图让学生完成对单调性的真正理解是不可能的，在今后的教学中学生通过判断函数单调性，寻找函数单调区间，应用函数单调性解决具体问题，等一系列学习活动逐步理解这一概念。 在这部分内容中主要应该掌握以下几点: 1. 增函数与减函数的定义 定义:对于函数f (x) 的定义域D内的某个区间上的任意两个自变量的值x1, x2。 (1) 若当x1<x2时, 都有f (x1) <f (x2) , 则说明f (x) 在这个区间上是增函数。 (如图1) (2) 若当x1<x2时, 都有f (x1) >f (x2) , 则说明f (x) 在这个区间上是减函数。 说明: (1) 增函数描述的是f (x) 随x的增大而增大, 函数图象从左到右是呈上升的;减函数描述的是f (x) 随x的增大而减少, 函数图象从左到右是呈下降的。 (3) 增函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应较大的函数值、较小的自变量对应较小的函数值。即“大对大、小对小”;减函数在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值、较小的自变量对应较大的函数值。即“大对小、小对大”。 2. 单调性与单调区间 若函数y=f (x) 在某个区间是增函数或减函数, 则就说函数y=f (x) 在这一区间具有 (严格的) 单调性, 这一区间叫做函数y=f (x) 的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。 在单调区间上, 增函数的图象从左到右是上升的, 减函数的图象从左到右是下降的。 说明: (1) 函数的单调区间是其定义域的子集; (2) 应是该区间内任意的两个实数, 忽略需要任意取值这个条件, 就不能保证函数是增函数 (或减函数) , 例如图2中, 在x1, x2, 那样的特定位置上, 虽然使得f (x1) <f (x2) , 但显然此图象表示的函数不是一个单调函数; (3) 除了严格单调函数外, 还有不严格单调函数, 它的定义类似上述的定义, 只要将上述定义中的“f (x1) <f (x2) 或f (x1) >f (x2) ”改为“f (x1) ≤f (x2) 或f (x1) ≥f (x2) ”即可; (4) 定义的内涵与外延:内涵是用自变量的大小变化来刻画函数值的变化情况;外延: (1) 一般规律:自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增, 自变量的变化与函数值的变化相反时是单调递减。 (2) 几何特征:在自变量取值区间上, 若单调函数的函数图象从左到右上升, 则为增函数, 函数图象从左到右下降则为减函数。 函数的单调性是对某个区间而言的, 对于单独的一点, 由于它的函数值是唯一确定的常数, 因而没有增减变化, 所以不存在单调性问题;另外, 中学阶段研究的函数, 对于闭区间内的任意值都有意义, 那么只要在开区间上单调, 它在闭区间上也就单调, 因此, 在考虑它的单调区间时, 包括不包括端点都可以;但若的取值函数无意义时, 则单调区间不包括该点。 3. 单调性的证明 根据定义证明函数单调性的一般步骤是: (1) 设x1, x2是给定区间内的任意两个值, 且x1<x2; (2) 作差f (x1) -f (x2) , 并将此差式变形 (要注意变形的程度) ; (3) 判断f (x1) -f (x2) 的正负 (要注意说理的充分性) ; (4) 根据f (x1) -f (x2) 的符号确定其增减性。 4. 复合函数的单调性 复合函数单调性的根据是:设y=f (u) , u=g (x) , x∈[a, b], u∈[m, n]都是单调函数, 则y=f[g (x) ]在[a, b]上也是单调函数。 (1) 若y=f (u) 是[m, n]上的增函数, 则y=f[g (x) ]的增减性与u=g (x) 的增减性相同; (2) 若y=f (u) 是[m, n]上的减函数, 则y=f[g (x) ]的增减性与u=g (x) 的增减性相反。 复合函数单调性的规律见下表: 题组讲习 【例1】 已知函数f(x)是定义在R上的增函数,若f(logax)>f(x2)在x∈0,12上恒成立,则a的取值范围是． 【例2】 已知定义在R上的奇函数f(x)满足在(0,+∞)单调递减,且f(2)=0,则不等式f(x+1)<0的解集是． 1. 解法一 由题意得,不等式logax>x2对x∈0,12上恒成立, 当a>1时显然不成立； 图1 当0 由函数y=logax(0<a<1)的单调性可得a14≥12, 所以116≤a<1． 解法二 (数形结合法)不等式logax>x2对x∈0,12上恒成立,表示在x∈0,12时,函数y=logax的图象在y=x2图象的上方,如图1所示,当a>1时显然不成立； 当0 所以116≤a<1． 2. 解法一 (分类讨论法)由f(x+1)<0得,f(x+1) 当x+1>0,即x>-1时,有x+1>2,解得x>1; 当x+1<0,即x<-1时,-x-1>0,由f(x+1)<0得,f(-x-1)>0=f(2), 则-x-1<2,解得-3 综上,不等式f(x+1)<0的解集是(-3,-1)∪(1,+∞)． 图2 解法二 (数形结合法)由题意,画出函数y=f(x)的示意图,如图2所示, 函数y=f(x+1)的图象是由函数y=f(x)的图象向左平移一个单位得到的, 由函数y=f(x)的图象经过点(2,0)、(0,0)和(-2,0)可知, 函数y=f(x+1)的图象经过点(1,0)、(-1,0)和(-3,0), 由图可知,不等式f(x+1)<0的解集是(-3,-1)∪(1,+∞)． 点评 1. 解决抽象函数中不等式问题的关键是利用函数单调性将f(m(x))>f(n(x))转化成m(x)与n(x)的大小关系； 2. 不等式问题的实质是函数图象的高低问题,函数的单调性则反映了图象的升降.数形结合也是解决这两类问题的很好途径,如问题1,2中的解法二。 类比•拓展•延伸 1. 已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2,若对任意的x∈［t,t+2］,不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立,则实数t的取值范围是． 图3 解 当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)2=x2, ∵f(x)是定义在R上的奇函数, ∴当x<0时,f(x)=-x2, 又当x≥0时,f(x)=x2, ∴由图3可知,函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增, 由f(x+t)≥2f(x)=f(2x)得,x+t≥2x对x∈［t,t+2］恒成立, 即t≥(2-1)x,∴t≥［(2-1)x］max, ∴t≥(2-1)(t+2),解得t≥2． 2. 设函数y=f(x)定义在R上,对任意实数m,n恒有f(m+n)=f(m)•f(n),且当x>0时,0 (1) 求证：f(0)=1,且当x<0时,f(x)>1； (2) 求证：函数f(x)在R上单调递减； (3) 设集合A={(x,y)|f(x2)f(y2)>f(1)},B={(x,y)|f(ax-y+2)=1,a∈R},若A∩B=,求a的取值范围． 解 (1) 令x=0,y=1得f(1)=f(0)f(1), ∵0 设x<0,则-x>0,0 令m=x,n=-x,则有 f(x)f(-x)=f(0)=1, ∴f(x)=1f(-x)>1； (2) 设x1 x2-x1>0,0 f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x2-x1+x1) =f(x1)-f(x2-x1)f(x1) =f(x1)［1-f(x2-x1)］, 由题意及(1)可知,对任意实数x恒有 f(x)>0,则f(x1)>0,又1-f(x2-x1)>0, ∴f(x1)>f(x2), ∴函数f(x)在R上单调递减； (3) 由集合A可得,f(x2+y2)>f(1), 由函数f(x)在R上单调递减得x2+y2<1,A表示单位圆内部的点的集合, 由集合B可得,f(ax-y+2)=1=f(0),则ax-y+2=0,B表示直线上的点的集合, ∵A∩B=, ∴直线ax-y+2=0与圆x2+y2=1相切或相离, ∴2a2+1≥1,解得a∈［-3,3］． 点评 1. 在问题1中用图象判断函数f(x)是定义在R上单调递增是关键,把2f(x)化成f(2x)是难点,这样就化成f(m(x))>f(n(x))形式；若将不等式两边都用解析式代入,则问题很难解决。 2. 在问题2中证明抽象函数单调性时运用了x2=(x2-x1)+x1,即减一个数再加一个数的技巧,使问题得到突破。 方法总结 从上面这些问题中我们可以看出,函数的单调性在抽象函数中的应用主要是两个方面：一是单调性的判断；二是单调性的逆向运用。判断抽象函数单调性主要运用定义法,但更应当注意x2=(x2-x1)+x1,x2=x2x1•x1的变形技巧以及题目中所给性质的运用。单调性的逆向运用,关键在于将所给的不等式两边化为函数值f(x)的形式,再利用函数单调性脱去函数的记号“f”。 实战演练 1. 已知偶函数f(x)在区间［0,+∞)单调增加,则满足f(2x-1) 2. 设函数f(x)是定义在［-1,1］上的奇函数,对任意的a、b∈［-1,1］,当a+b≠0时都有f(a)+f(b)a+b>0． (1) 若a>b,比较f(a)与f(b)的大小； (2) 解不等式fx-12 (3) 记P={x|y=f(x-c)},Q={x|y=f(x-c2)},且P∩Q=,求c的取值范围． 【参考答案】 1. 函数f(x)在［0,+∞)上递增,则在(-∞,0］上递减． f(2x-1) 2. 设-1≤x1 ∵x1-x2<0, ∴f(x1)+f(-x2)<0, ∵函数f(x)是定义在［-1,1］上的奇函数, ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1) ∴函数f(x)是定义在［-1,1］上的增函数. (1) 若a>b,则f(a)>f(b)； (2) ∵fx-12 ∴-1≤x-12≤1, -1≤x-14≤1, x-12 (3) 由题意得P={x|-1≤x-c≤1}={x|-1+c≤x≤1+c},Q={x|-1+c2≤x≤1+c2}, ∵P∩Q=, ∴-1+c>1+c2或-1+c2>1+c, 【《函数单调性》说课稿】推荐阅读： 函数单调性奇偶性练习11-18 函数单调性免费教案07-19 函数单调性定义证明11-22 必修一数学函数单调性09-11 含参函数的单调性问题07-09 《函数单调性》复习课教学反思12-30 函数单调性与最值教案07-13 利用导数求函数的单调性解读11-16 高中数学 1.3函数的单调性教学设计 新人教A版必修11-09 《二次函数》说课稿10-05《函数单调性》说课稿 篇2
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