解直角三角形测试题

解直角三角形测试题（共10篇）

解直角三角形测试题篇1

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初中数学解直角三角形测试题

一.选择题：（每小题2分，共20分）

1.在△EFG中，∠G=90°，EG=6，EF=10，则cotE=（）A.4353 2.在△ABC中，∠A=105°，∠B=45°，tanC的值是（）

A.3 B.4 C.3 D.512 B.33 C.1 D.2，tan2

3.在△ABC中，若cosAB3，则这个三角形一定是（）

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形

4.如图18，在△EFG中，∠EFG=90°，FH⊥EG，下面等式中，错误的是（）

A.sinGEF B.sinGEH

EG C.sinGGH D.sinGFGEFFH

FG 5.sin65°与cos26°之间的关系为（）

A.sin65°cos26°

C.sin65°=cos26° D.sin65°+cos26°=1 6.已知30°<α<60°，下列各式正确的是（）

A.B.C.D.7.在△ABC中，∠C=90°，sinA25，则sinB的值是（）

A.B.C.D.8.若平行四边形相邻两边的长分别为10和15，它们的夹角为60°，则平行四边形的面积是（）米2

A.150 B.C.9 D.7 9.如图19，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i= 2∶3，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是（）

A.7米 B.9米 C.12米 D.15米

10.如图20，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（）

A.1sin B.1cos C.sin D.1 二.填空题：（每小题2分，共10分）

11.已知0°<α<90°，当α=__________时，sin时，12.若。，则锐角α=__________。

12，当α=__________试题宝典

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13.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA35，abc36，则a=__________，b=__________，c=__________，cotA=__________。

14.若一个等腰三角形的两边长分别为2cm和6cm，则底边上的高为__________cm，底角的余弦值为__________。

15.酒店在装修时，在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯宽2米，其侧面如图21所示，则购买地毯至少需要__________元。三.解答题：（16、17每小题5分，其余每小题6分共70分）

16.计算(1tan60sin60)(1cot30cos30)

17.如图22，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AD=AB，求tanD。

18.已知直角三角形中两条直角边的差是7cm，斜边的长是13cm，求较小锐角α的各三角函数值。

19.如图23，ABCD为正方形，E为BC上一点，将正方形折叠，使A点与E点重合，折痕为MN，若tanAEN1,DCCE10。（1）求△ANE的面积；（2）求sin∠ENB的值。

20.已知在△ABC中，AB23，AC=2，BC边上的高AD3。（1）求BC的长；（2）若有一个正方形的一边在AB上，另外两个顶点分别在AC和BC上，求正方形的面积。

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21.已知，△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC，AB=5，AC=3，求AD的长。

22.如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，DE⊥AB于E，∠ADC=45°，若DE∶AE=1∶5，BE=3，求△ABD的面积。

23.已知ABC中，AD为中线，BAD60,AB10,BC43，求AC的长。

24.在△ABC中，∠A＝1200，AB＝12，AC＝6。求sinB＋sinC的值。

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25.四边形ABCD中，BC⊥CD，∠BCA＝60，∠CDA＝135，BC10,SABC403。求AD边的长。

26．湖面上有一塔高15米，在塔顶A测得一气球的仰角为40，又测得气球在水中像的俯角为60，求气球高出水面的高度（精确到0.1米）。

27、由于过度采伐森林和破坏植被，使我国许多地区遭受沙尖暴侵袭。近日A市气象局测得沙尘暴中心在A市正西300公里的B处以107海里/时的速度向南偏东60的BF方向移动，距沙尘暴中心200公里的范围是受沙尘暴影响的区域。

（1）通过计算说明A市是否受到本次沙尘暴的影响？

（2）若A市受沙尘暴影响，求A市受沙尘暴影响的时间有多长？

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0

0试题宝典

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试题答案一.选择题：

1.A 2.B 3.A 4.C 5.B 6.C 7.D 8.B 9.D 10.A 提示：10.如图24所示，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F，依题意，有AE=AF=1，可证得∠ABE=∠ADF=α。

所以可证得△ABE≌△ADF，得AB=AD，则四边形ABCD是菱形。

在Rt△ADF中，所以

二.填空题：

11.30°，30°；12.60°；13.a=9，b=12，c=15，14.15.504。

提示：13.设a=3t，c=5t，则b=4t，由a+b+c=36，得t=3。

所以a=9，b=12，c=15。

。

14.等腰三角形的腰只能是6，底边为2，腰不能为2，否则不满足三角形两边之和大于第三边，作底边上的高，利用勾股定理求高。

15.利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为5.8米，2.6米，则地毯的长度为2.6+5.8=8.4米，地毯的面积为8.4×2=16.8平方米，则买地毯至少需要16.8×30=504元。

三.解答题：

16.17.；

；

18.19.分析：根据条件可知MN是AE的垂直平分线，则AN=NE。所以∠AEN可以是Rt△EGN的一个锐角，或是Rt△GAN的一个锐角，或是Rt△EBA的一个锐角。

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解：∵

∵DC+CE=10，∴3a+2a=10，∴a=2。

∴BE=2，AB=6，CE=4。

又。

20.根据条件显然有两种情况，如图25。

（1）在图25（1）中，可求CD=1，∠CAD=30°，∠B=30°，∠C=60°，BC=4，所以△ABC是直角三角形。

在图25（2）中，可求CD=1，∠CAD=30°，∠B=30°，∠BAD=60°，BC=AC=2，△ABC是等腰三角形，AC平分∠BAD。

（2）在图26（1）中，设正方形边长为x，∵。

在图26（2）中，设正方形边长为x。，解得

解得

21.解法一：过B作CA延长线的垂线，交于E试题宝典

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点，过D作DF⊥AC于F。

∴DF∥BE ∴△FDC∽△EBC

∵AD平分∠BAC

∵∠BAC=120°

∴∠EAB=180°－∠BAC=60°

在Rt△ABE中，在Rt△ADF中，∵∠DAC=60°

解法二：如图11，过C作CE⊥AD于D，过B作BF⊥AD交AD的延长线于F。

∵AD平分∠BAC，∠BAC=120°

∴∠BAD=∠CAD=60°。

在Rt△AEC中，在Rt△ABF中，∵CE∥BF ∴△BDF∽△CDE。

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∵EF=1

分析：题目中有120°角及它的角平分线，所以有两个60°这个特殊角，要求60°角的一条夹边AD的长，可以构造等边三角形，得到与AD相等的线段。

解法三：如图12，过点D作DE∥AB交AC于E。

则∠ADE=∠BAD=∠DAC=60°

∴△ADE是等边三角形。

∴AD=DE=AE 设AD=x ∵△ABC∽△EDC

解法四：如图13，过B作AC的平行线交AD的延长线于E。

∵AD平分∠BAC，∠BAC=120°

∴∠BAD=∠DAC=∠E=60°。

∴△ADE是等边三角形

∴AE=AB=BE=5 ∵AC∥BE ∴△CAD∽△BED

小结：解三角形时，有些图形虽然不是直角三角形，但可以添加适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形，从而可以运用解直角三角形的有关知识去解决这些图形中求边角的问题。另外，在考虑这些组合图形时，要根据题目中的条件和要求来确定边与边，角与角是相加还是相减。22.解：在△AED中，∵DE⊥AB于E，又∵DE∶AE=1∶5，∴设DE=x，则AE=5x。

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在△ADC中，∵∠C=90°，∠ADC=45°，∴∠DAC=45°，在Rt△BED和Rt△BCA中，∵∠B是公共角，∠BED=∠BCA=90°，∴△BED∽△BCA。

∴AB=AE+BE=10+3=13。

23.解：

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24提示：过C点作CE⊥BA交BA的延长线于E，过点B作BD⊥CA交 CA的延长线于D。

SinB＋sinC＝211421732114

25.提示：作AF⊥AC于F，作AE⊥CD交CD的延长线于E。可求AC＝16，AD＝8 2。

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解直角三角形测试题篇2

1.解三角形的考点分析

解三角形就是求解出三角形的所有边和所有角, 正、余弦定理则是解三角形的一个有力工具, 由于正余弦定理本身与三角函数相联系, 因此对于涉及解三角形中的求角、求边的问题和判断三角形的形状等问题时, 需要结合“正、余弦定理”、两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数、诱导公式等进行三角函数变换, 多者相互结合求解三角形.

从表1和表2“2013—2015年四川卷和全国I、II卷解三角形所涉及内容”综合来看, 二者对于解三角形问题大部分涉及利用正、余弦定理结合三角函数求解三角形边、角、面积等, 少部分解三角形问题涉及不等式及向量方面的知识.从分值来看, 四川卷每年基本都有一道解答题涉及解三角形, 全国卷也将解三角形纳入重点内容.从出题意图来看, 解三角形可以考查学生知识的综合应用和灵活应用的能力.

2.三角函数与正、余弦定理结合解三角形

利用三角函数与正、余弦定理结合解三角形, 虽然题型相对简单, 但是所涉及知识面较宽, 尤其是三角函数中两角和与差、二倍角的正弦、余弦和正切公式等诱导公式的灵活应用是学生的一大难点, 同时解三角形时还隐藏着一些条件, 比如三角形内角和180°, 三角形三边满足两边之和大于第三边、两边之差小于第三边等.

(2) 若∠APB=150°, 求tan∠PBA.

分析:根据已知条件, 在△PAB中利用余弦定理即可求解PA, 利用正弦定理即可解出tan∠PBA.

解: (1) 由已知得∠PBC=60°, 所以∠PBA=30°.

(2) 设∠PBA=α, 由已知得PB=sinα.

小结:本题主要考查学生对正、余弦定理的理解和应用及一些较简单三角函数诱导公式.

(1) 求cos A的值;

小结:本题主要考查学生应用正弦定理和余弦定理、三角函数中和与差、二倍角诱导公式及平面向量的投影等知识, 所涉及知识面较宽, 考查学生知识的综合应用和灵活应用的能力.

3.不等式与解三角形结合

三角形中涉及求角、边、面积范围时, 就会应用到不等式的相关知识, 比如基本不等式等, 在“解三角形”的过程中, 要从研究角和边的取值范围开始, 充分考虑三角函数值的符号和三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边, 三角形内角和180°, 三角形的形状等已知或隐含条件, 尽可能缩小角和边的取值范围, 只有这样, 才能避免产生增根或“扩大”所求变量的取值范围[2].

例3 (2014课标全国Ⅰ, 理16) 已知a, b, c分别为△ABC的三个内角A, B, C的对边, a=2, (2+b) (sin A-sin B) = (c-b) sin C, 则△ABC面积的最大值为_____.

小结: 本题主要考查学生对正弦定理和余弦定理的理解和综合应用, 以及解三角形与基本不等式的结合.

总之, 解三角形虽然涉及内容较多, 需要结合“正、余弦定理”、两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数、诱导公式等进行三角函数变换, 进而求解三角形, 但是从2013—2015年四川卷和全国卷I、II分析解三角形的考点来看, 解三角形大部分涉及利用正、余弦定理结合三角函数求解三角形边、角、面积等, 少部分解三角形问题涉及不等式及向量方面的知识.学生需要灵活应用正余弦定理与三角函数的结合, 才能真正掌握解三角形的相关知识.

参考文献

[1]杨卫剑, 计惠方.2014年数学高考题大盘点——以“解三角形”为例[J].高中数理化, 2015:3.

解直角三角形不可忽视的问题篇3

一、忽视正弦、余弦的有界性

例1 计算 - cos40°+.

【错解】原式=-cos40°+sin50°-1

=sin50°-sin50°-

=-.

【分析】应注意锐角三角函数的取值范围，即：

00. 且在0<α<45°内，cosα>sinα；在45°<α<90°内，cosα

【正解】原式=cos40°-+1-sin50°

=sin50°-sin50°+

二、函数值与边长大小无关

例2 在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大100倍，那么锐角A的正弦值（）.

A. 扩大100倍

B. 缩小为原来的

C. 没有变化

D. 不能确定

【错解】A.

【分析】误认为锐角的三角函数值随着各边长扩大100倍，其也扩大100倍. 实际上，锐角A的三角函数值只与它的度数有关，与其所在的直角三角形的大小无关，即只要锐角A的度数确定，其三角函数值也随之确定.

【正解】C.

三、概念理解不清

例3 如图1，甲在60米高的大楼上A点看地面C点的乙的俯角为30°，则乙到大楼的距离CB为______米.

【错解】∵从A点看地面C点的乙的俯角为30°，

∴∠CAB=30°，

∴CB=ABtan30°=20（米），即乙到大楼的距离CB为20米.

【分析】在上面的解题过程中，由于对俯角的概念不清楚，错将俯角认为是∠CAB，而实际上俯角的定义是视线和水平线的夹角，即∠DAC=30°，故正确答案是60米.

四、勾股数的误用

例4 在直角三角形中，∠B=90°，a=3，b=4，求边长c的值.

【错解】由勾股定理得，c===5.

∴c=5.

【分析】在上面的解题过程中，习惯于3，4，5是一组勾股数，c=5前提是在∠C=90°的直角三角形中，而本题∠B=90°，∴b是斜边，故正确答案是c==.

五、忽视双直角三角形

例5 已知在△ABC中，∠A=30°，AB=40，BC=25，则S△ABC=______.

【错解】如图2，过点B作AC的延长线的垂线，垂足为D，

∵∠A=30°，AB=40，

∴BD=20，AD=20，

又BC=25，∴CD=15，∴AC=20-15，

∴S△ABC=×20-15×20=200-150.

【分析】因为已知条件是“角、边、边”，根据学过的全等三角形的知识，我们知道，只具备“角、边、边”不能确定一个三角形，也就是说还有另一个三角形，即如图3的情况.

易知此时S△ABC=200+150，

正确答案为S△ABC=200±150.

《解直角三角形》教学反思篇4

(2)让学生深刻认识锐角三角函数的定义，理解三角函数的表达式向方程的转化.

锐角三角函数的定义实际上分别给出了a、b、c三个量的关系，a、b、c用不同方式来决定的.三角函数值，它们都是实数，但它与代数式的不同点在于三角函数的值是有一个锐角的数值参与其中.当这三个实数中有两个是已知数时，它就转化为一个一元方程，解这个方程，就求出了一个直角三角形的未知的元素.

《解直角三角形》教学设计篇5

彬县公刘中学郭江平

一、教学内容分析

本课时的内容是解直角三角形，为了引起学生对教学内容的兴趣，所以在本课时的开头引入了一个实际问题，从而自然过度到直角三角形中，已知两个元素求其他元素的情境中.通过例题的讲解后引出什么是解直角三角形，从而了解解直角三角形的意义。通过讨论直角三角形的边与角之间的关系，到解直角三角形过程中，使学生能掌握解直角三角形的知识.以及在解直角三角形时，选择合适的工具解，即优选关系式.从而能提高分析问题和解决问题的能力.二、教学目标

1.知道解直角三角形的概念、理解直角三角形中五个元素的关系。

2.通过综合运用勾股定理，掌握解直角三角形，逐步形成分析问题、解决问题的能力.3．渗透数形结合的数学思想，养成良好的学习习惯．

三、教学重点及难点

教学重点：掌握利用直角三角形边角关系解直角三角形教学难点：锐角三角比在解直角三角形中的灵活运用

四、教学用具准备黑板、多媒体设备.五、教学过程设计

一、创设情景

引入新课：如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中倒下，树干断处离地面3米且树干与地面的夹角是30°。大树在折断之前高多少米？

由30°直角边等于斜边的一半就可得AB=6米。分析树高是AB+AC=9米。由勾股定理容易得出BC的长为3 米。当然对于特殊锐角的解题用几何定理比较简单，也可以用锐角三角函数来解此题。

注意:在解直角三角形的过程中,常会遇到近似计算,除特别说明外,边长保留四个有效数字.２.学习概念

定义：在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.３．例题分析

例题2 在Rt△ABC中，∠C=90，c=7.34，a=5.28，解这个直角三角形.分析：本题如图，已知直角三角形的一条直角边和斜边，当然首先用勾股定理求第三边，怎样求锐角问题，要记住解决问题最好用原始数据求解，避免用间接数据求出误差较大的结论.（板书）解：

∵∠C=90，∴a＋b＝c ∴b= ∵sinA= ∴∠A 460′

∴∠B=90－∠A≈90－460′=440′.注意:在解直角三角形的过程中,常会遇到近似计算,除特别说明外,边长保留四个有效数字,角度精确到1′。

4、学会归纳

通过上述解题，思考对于一个直角三角形,除直角外的五个元素中,至少需要知道几个元素,才能求出其他元素？

想一想：如果知道两个锐角，能够全部求出其他元素吗？如果只知道五个元素中的一个元素,能够全部求出其他元素吗? 归纳结论：在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余三个元素.[说明] 我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了00

《解直角三角形的应用》说课稿篇6

一、教材分析

(一)教材地位

直角三角形是最简单、最基本的几何图形，在生活中随处可见，是研究其他图形的基础，在解决实际问题中也有着广泛的应用.《解直角三角形的应用》是第28章锐角三角函数的延续，渗透着数形结合思想、方程思想、转化思想。因此本课无论是在本章还是在整个初中数学教材中都具有重要的地位。

(二)教学目标

这节课，我说面对的是初三学生，从人的认知规律看，他们已经具有初步的探究能力和逻辑思维能力。但直角三角形的应用题型较多，他们对建立直角三角形模型上可能会有困难。针对上述学生情况，确定本节课的教学目标如下：

1.通过观察、交流等活动，会建立直角三角形模型。

2.经历解直角三角形中作高的过程，懂得解直角三角形的三种基本模型，进一步渗透数形结合思想、方程思想、转化(化归)思想，激发学生的学习兴趣.

(三)重点难点

1.重点：熟练运用有关三角函数知识.

2.难点：如何添作辅助线解决实际问题.

二、教法学法

1.教法：采用“研究体验式”创新教学法，这其实是“学程导航”模式下的一种教法，主要是教给学生一种学习方法，使他们学会自己主动探索知识并发现规律。

2.学法：主要是发挥学生的主观能动性。学生在课前做好预习作业，课堂上则要积极参与讨论，课后根据老师布置的课外作业进行巩固和迁移。

三、教学程序

(一)准备阶段

我主要的准备工作是备好课，在上课前一天布置学生做好预习作业。

预习作业：

1. 如图，Rt⊿ABC中，你知道∠A的哪几种锐角三角函数?能给出定义吗?

2. 填表：锐角α 三角函数

3. 已知：从热气球A看一栋高楼顶部的仰角α为300，看这栋高楼底部的俯角β为600，若热气球与高楼的.水平距离为 m，求这栋高楼有多高?

4. 如图：AB=200m，在A处测得点C在北偏西300的方向上，在 B处测得点C在北偏西600的方向上，你能求出C到AB的距离吗?

5. 如图：梯形ABCD中，BC∥AD,AB=13,且tan∠BAE= ,求BE的长。

(二)课堂教学过程

1.预习作业的交流

小组交流预习作业并由学生代表展示。

2.新知探究

(1)教师出示问题1、

如图：要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN。已知点C周围200米范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东450方向上，从A向东走600米到达B处，测得C在点B的北偏西600方向上。问：MN是否穿过原始森林保护区?为什么?

追问：你还能求出其他问题吗?若提不出问题，可给出问题：若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要多少天?

(2)出示问题2、

如图，一艘轮船以每小时20千米的速度沿正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏西300方向，航行2小时后到达B处，在B处测得灯塔C在北偏西600方向。当轮船到达灯塔C的正东方向D处时，求此时轮船与灯塔C的距离(结果保留根号)。

追问：如果改变若干条件，你能设计出其他问题吗?

(3)出示问题3、

气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛(设为点O)的南偏东450方向的B点生成，测得OB= km，台风中心从B点以40km/h的速度向正北方向移动。经5h后到达海面上的点C处，因受气旋影响，台风中心从点C开始以30km/h的速度向北偏西600方向继续移动。以O为原点建立如图所示的直角坐标系。

如：(1)台风中心生成点B的坐标为，台风中心转折点C的坐标为 (结果保留根号)。

(2)已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭。如果某城市(设为点A)位于O的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间?

3.巩固练习

飞机在高空中的A处测得地面C的俯角为450，水平飞行2km，再测其俯角为300，求飞机飞行的高度。(精确到0.1km，参考数据： 1.73)

4.课堂小结

请学生围绕下列问题进行反思总结：

(1)解直角三角形有哪些基本模型?

(2)本节课涉及到哪些数学思想?

(3)你觉得如何解直角三角形的实际问题?

5、布置作业

复习第29章《投影与视图》具体见试卷

6、课堂检测

1.如图，直升飞机在高为200米的大楼AB左侧P点处，测得大楼的顶部仰角为45°,测得大楼底部俯角为30°，求飞机与大楼之间的水平距离.

2. 如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO .

3.如图所示，某水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽AD=2.5m，坝高4m，背水坡AB的坡度是1︰1，迎水坡CD的坡度1︰1.5，求坝底宽BC.

四、设计思路

浅析三角形解的个数以及解三角形篇7

已知三角形的两边和其中一边的对角, 不能唯一确定三角形的形状, 解决这类三角形问题将出现无解、一解和两解的情况, 应分情况予以讨论.在△ABC中, 已知a, b和∠A时, 三角形解的讨论如下:

(1) 当A为锐角时 (如图) ⅰ.a

(2) 当A为直角或钝角时ⅰ.a≤b时, 无解;ⅱ.a>b时, 有一解.

下面我们用余弦定理和根的判别式来进行讨论:

即c2-2bc cos A+b2-a2=0 (※)

这是一个关于c的二元一次方程, 由根的判别式得:

Δ= (-2b cos A) 2-4 (b2-a2) ,

即Δ=4 (a2-b2sin2A) .

(1) 当A为锐角时, 2b cos A>0,

∴当Δ>0时有4 (a2-b2sin2A) >0,

即a>b sin A, 此时方程有两解c1, c2.

根据韦达定理有:c1·c2=b2-a2, c1+c2=2b cos A.

∴当b sin A0, c1+c2>0, 方程有两正根, 即三角形有两解;

当b0, 方程有一正一负两根, 三角形有一解;

当Δ=0即a=b sin A时, 三角形有唯一解;

当Δ<0即a

(2) 当A为直角或钝角时, 2b cos A≤0, 由 (※) 得:

b2-a2=-c2+2bc cos A<0,

即a>b时, 方程有解且Δ>0, 方程有两解c1, c2, 而c1·c2=b2-a2<0,

∴方程有唯一正解, 即三角形有一解.

由此可以得出上面的结论, 即:

当A为直角或钝角时,

ⅰ.a≤b时, 无解;

ⅱ.a>b时, 有一解.

例判断下列三角形是否有解, 如有作出解答.

解根据余弦定理有a2+c2-2ac cos B=b2,

代入已知量得:a2-10a-50=0,

由余弦定理可以分别求得

由上述解题过程可以看出, 利用余弦定理以及演变的一元二次方程, 解相关的一元二次方程, 得到方程有解或无解, 根据正解的个数来判断三角形解的个数, 并顺便解出三角形中要求的边, 而由于余弦值在 (0, 180°) 是单调递减的, 因此所对应的角也是唯一的, 这样就可以解出三角形中的角, 从而达到判定三角形解的个数甚至解三角形的目的.

通过余弦定理和根的判别式以及韦达定理, 我们也可以讨论得出与课本上一致的结论, 条条大路通罗马, 我们的学习也是如此, 在数学的学习过程中, 方法并不是唯一的, 最重要的是找出适合同学们自己的一种方法, 能够快速、正确的解决问题.所以, 对于每一名同学来说, 数学的学习是一个持之以恒的过程, 和医生分析病例一样, 我们只有经过长期的练习, 首先对给出的题目进行分析, 找出已知条件和未知条件, 并且列出相对应的关系式, 然后解答.总结很重要, 对于正确的解答过程要继续保持, 如果解答不正确, 要找出错误的症结所在, 分析自己错误的原因, 加深印象, 这样才能避免在以后相同的题型中再犯同样的错误.只有通过不断的练习和总结, 才能找到一套有效的解题方法, 进而对数学产生浓厚的学习兴趣, 才能够学好数学, 运用好学到的数学知识.

摘要：本文主要通过运用余弦定理和根的判别式以及韦达定理来判定三角形的解的个数, 解出相关的三角形.

由一题四解浅析解三角形篇8

关键词：解三角形；正余弦定理；多种分析方法

一、正弦定理和余弦定理是解三角形的关键

1.正弦定理■=■=■=2R（R为△ABC外接圆半径），推广：

（1）a=2RsinA b=2RsinB c=2RsinC（边化角）

（2）sinA=■ sinB=■ sinC=■（角化边）

2.余弦定理c2=a2+b2-2abcosC（求边，另两个略），推广：cosC=■（求角）

以上是两定理的内容和推广，它揭示了任意三角形边角之间的规律。利用两定理可求三角函数的值，可求三角形的内角和边，判定三角形的形状，综合考查三角变换以及深化三角形和平面向量等多种知识的运用能力，当然这也是高中数学的主要精髓之一。

二、举例分析

说明：由于篇幅有限，例子中图形已省略，个别步骤作了简化。

例子：在△ABC中，AB=4，cosB=■，AC边上的中线BD=■，求sinA的值.

解法一：设M为BC的中点，则DM∥AB，且DM=2。在△BDM中，cos∠BMD=cos（180°-∠ABC）=-■，由余弦定理，得：（■）2=BM2+22-2×2×（-■）.BM解得BM=3，BM=-5（舍去）。

则BC=6，由AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB=28

得AC=2■，又由正弦定理■=■，得：sinA=■

解法二：作AE⊥BC，垂足为E，延长BD到M，使DM=BD，再作MF⊥BC，垂足为F，则BE=AB·cosB=2，并且AE=2■·BF=■=8，而CF=BE=2，所以BC=BF-CF=6又EC=4，所以AC=■=2■

在△ABC中，由正弦定理，得：sinA=■

解法三：延长BD至M，使DM=BD，连接AM，CM，则ABCM为平行四边形。

于是∠BAM=180°-∠ABC，在△ABM中，由余弦定理，得：（2■）2=42+BC2-2×4·BC·（-■）

解得BC=6。再根据解法一求出AC，最后得：sinA=■

解法四：以B为原点，向量■为x轴建立直角坐标系，由sinB=■，得：向量■=（4·cosB，4·sinB）=（2，2■）.设■=（x，0），则向量■=（■，■），从而向量■的模=■=■解得x=6，于是向量■=（-4，2■），所以根据两向量夹角公式，有：■·■=■·■·cosA，得cosA=■，故sinA=■=■（负值舍去，需讨论）

三、简评

1.所有三角形的边角变换，其实就是有条件限制的三角关系式的计算与证明，在三角形的三角变换中，正余弦定理、勾股定理和直角三角形中的边角关系都是解题的关键，通过本例可以看出。

2.解三角形的有关问题，常常需作一些辅助线。如解法一中的中位线，解法二和解法三中的延长线都是解三角形中常作的辅助线，应引起学生学习的足够重视。如果不作辅助线，解题方法就受局限，甚至造成解不出的可能。

3.通过建立适当直角坐标系，利用向量或点坐标的工具解答有关边角的问题，这也是解三角形中常用的方法。本例解法四就是用解析几何知识解决纯平面几何问题的典例，希望对学生有所启迪。

4.当然，解三角形有时还要用到两角和公式、倍角公式、半角公式、和差化积、积化和差公式、推导公式、两点间距离公式等诸多公式，希望学生灵活运用，以不变应万变。

5.解三角形其主要作用是解决在实际生活中的一些应用。常见有距离、高度、角度及平面图形的面积等计算与测量问题，希望学生学习时要有应用意识与动手能力，做到学有所用。

另外，本题还可继续探讨，例如，作△ABC的外接圆或利用点坐标法是否可解。感兴趣的学生可以试试。总之，解一般三角形万变不离其宗，其要领都是平面几何与正余弦定理两方面知识的结合。

（作者单位辽宁省本溪市机电工程学校）

解直角三角形测试题篇9

28.2解直角三角形

一、教学目标

1、使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角

2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．

3、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题．

二、教学重点、难点

重点：用三角函数有关知识解决方位角问题

难点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型

三、教学过程

（一）复习引入

1、叫同学们在练习薄上画出方向图（表示东南西北四个方向的）。

2、依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东65度、南偏东34度方向的射线

（二）教学互动

例5如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处.这时，解:如图, 在中，PCPAcos(900650)

80cos2 72.8 0在中,.，因此.当海轮到达位于灯塔P的南偏东340方向时，它距离灯塔P大约130.23海里.海轮所在的B处距离灯塔P有多远(精确到0.01海里)?

（三）巩固再现

1、习题1

2、上午10点整，一渔轮在小岛O的北偏东30°方向，距离等于10海里的A处，正以每小

时10海里的速度向南偏东60°方向航行．那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间？(精确到1分)．

3、如图6-32，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？

解三角形的学问篇10

解三角形的原理与公式

●正弦定理：===2R（R为三角形外接圆半径）.这组公式表明同一个三角形的各边长与其对角的正弦值成正比.

●余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA等.这组公式精确量化了两边夹角是如何决定第三边的.

●其他三角公式：各组三角变换公式以及三角形三个内角和A+B+C=π、三边关系a+b>c等.

解三角形的注意事项

●合理运用正弦定理、余弦定理

例1 为了测量敌方两个阵地A，B之间的距离，在我方一侧选取C，D两点（A，B，C，D四点位于同一平面内），测得CD=a，∠ACB=75°，∠BCD=∠ADB=45°，∠ADC=30°，求AB.

解析：例1中的四边形问题可通过化为几个三角形中的问题来求解.含有AB边的三角形可选择△ADB，在该三角形中目前只知道∠ADB为45°，无法直接求出AB，但是可以先分别在△BCD，△ACD中用正弦定理求得AD，BD，然后再在△ADB中用余弦定理求出AB.

由已知可求得∠CAD=30°，∠CBD=60°，如图1所示.

在△BCD中，由正弦定理得：=，故BD=a;

在△ACD中，由正弦定理得：=，故AD=a;

在△ADB中，由余弦定理得：AB==

点评：一般来说，已知条件中，“角多”则优先选择用正弦定理，“边多”则用余弦定理.当然，具体进行哪种选择还是应根据题目的情况先“预算”一下，许多题目需二者兼用.

●将正、余弦定理与三角变换相结合

例2 在△ABC中，cos（A-C）+cosB=，b2=ac，求B.

解析：在△ABC中，B=180°-（A+C），所以cosB=-cos（A+C），代入题中第一个等式，再通过用两角和与差的三角公式，可得到sinAsinC的值，再运用正弦定理将b2=ac转化为角的正弦的关系即可得解.

由cos（A-C）+cosB=可得cos（A-C）-cos（A+C）=，展开整理得sinAsinC=. 依据正弦定理，由b2=ac得sin2B=sinAsinC=，故sinB=（sinB>0）. 若B>，则cosB<0，与cos（A-C）+cosB=>1矛盾，所以B=.

点评：正、余弦定理反映的是同一三角形的三边与三角之间的“最纯粹”关系，其中不涉及角的和、差及倍数，一旦题目中出现角的和、差及倍数这类情形，就应考虑通过三角公式加以转化.

●将解三角形方法与代数、几何、向量方法等相结合

例3 在圆内接四边形ABCD中，AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，求AC.

解析：由几何知识可得B+D=π;但是，单独解△ABC，△ADC，则条件似乎既不足又过剩，“不足”是因为在每个三角形中，已知两边却不知夹角;“过剩”是因为条件B+D=π未能使用.要解决这种几个所求的量相互依存的题目，可考虑运用代数中的方程思想.

如图2所示，设AC=x.

在△ABC中，由余弦定理得cosB=;

在△ADC中，由余弦定理得cosD=;

又B=π-D，所以cosB+cosD=0，解得x=7.

点评：解三角形问题是数学问题的一种，只要问题的情景适合某种数学思想方法，就应当突破思维的局限性，大胆运用包括代数、几何、向量、坐标法等各种方法.

综合应用

例4 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sinA+sinC=psinB（p∈R）且ac=b2.

（1）当p=，b=1时，求a，c的值.

（2）若角B为锐角，求p的取值范围.

解析：（1）由正弦定理将sinA+sinC=psinB转化为a+c=pb，再与ac=b2结合，解得：a=1，c=或a=，c=1.

（2）因为a+c=pb，ac=b2，所以由余弦定理可得cosB====2p2-3，由0

点评：求解例4（2）的基本思路就是通过余弦值的范围来确定角的范围.运用余弦定理需要知道边与边的关系，而用正弦定理将sinA+sinC=psinB转化为a+c=pb就使得所有条件均表达为边的关系.

再则，相当多的同学只用a2+c2>b2来确定cosB==2p2-3的范围，进而求出p的取值范围，但是忽视题中参数p的任意性可能导致cosB=2p2-3的值大于1，从而少了p<这个范围. 建议：时刻注意隐含条件，求解范围应进行等价变形;有“小于”就再想想有没有“大于”，必要时“前门后门都上锁”.

例5 在△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，若sin∠BAM=，则sin∠BAC= .

解析：如图3所示，不妨设AC=1，BM=MC=m，∠BAC=α，∠MAC=β.由sin∠BAM=求得tan∠BAM=，则tan（α-β）===，解得m=.由勾股定理得AB==，故sin∠BAC===.

点评：求解例5运用了代数方法，根据已知条件斜△ABM中的sin∠BAM=求∠BAM的正切值，并用两直角三角形的角度差（α-β）来表示∠BAM，这是如何想到的？

首先，图形中没有任何一个三角形单独可解，边角之间又相互关联，所以可运用方程思想.

其次，解直角三角形最容易，在直角三角形中只需要求得边与边的比值就可以得到正弦，故想到设AC=1，BM=MC=m，如此也可以让“M是BC的中点”这个条件“搭便车”用上.

第三，选择正切就不必用根式表达斜边，如果我们懂得“知弦即知切”的道理，就会自然而灵活地由条件sin∠BAM=想到求出tan∠BAM=！

例6 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c=，cos2A-cos2B=sinAcosA-sinBcosB.

（1）求角C的大小.

（2）若sinA=，求△ABC的面积.

解析：（1）已知条件cos2A-cos2B=sinAcosA-sinBcosB的右边可简化为二倍角的正弦形式，左边可降幂加倍：-=sin2A-sin2B，整理得：cos2A-sin2A=cos2B-sin2B，即cos2A+=cos2B+，两角的余弦值相等，有以下两种情形：

若2A+=2kπ+2B+（k∈Z），则A=kπ+B，注意到a≠b，所以A≠B. 在△ABC中内角和不大于π，所以这种情况不可能存在;

若2A++2B+=2kπ（k∈Z），则A+B=kπ-，在△ABC中只有A+B=π-满足要求，故C=.

（2）现有c=，C=，sinA=，由正弦定理=可得a==.知道a，c欲求面积，可先算出sinB.因为a<c，故A是锐角，cosA=，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=，所以S=acsinB=.

点评：作为高考的第一道解答题，完整解答得满分是必须的.求解例6有两处关键：首先是三角变换，其次就是分类讨论.要做到解答完整无误，除了熟练掌握必备的知识而外，细节的观察和处理也至关重要.

解三角形就是在一个三角形的边、角及面积中，已知其中若干量去求解其他的量;解三角形的学问，就是合理运用正、余弦定理并与三角恒等变换相结合的学问.在各地的高考试题中，解三角形的题目往往作为第一道解答题，用以检测同学们的运算能力以及分析问题、解决问题的能力.

解三角形的原理与公式

●正弦定理：===2R（R为三角形外接圆半径）.这组公式表明同一个三角形的各边长与其对角的正弦值成正比.

●余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA等.这组公式精确量化了两边夹角是如何决定第三边的.

●其他三角公式：各组三角变换公式以及三角形三个内角和A+B+C=π、三边关系a+b>c等.

解三角形的注意事项

●合理运用正弦定理、余弦定理

由已知可求得∠CAD=30°，∠CBD=60°，如图1所示.

在△BCD中，由正弦定理得：=，故BD=a;

在△ACD中，由正弦定理得：=，故AD=a;

在△ADB中，由余弦定理得：AB==

●将正、余弦定理与三角变换相结合

例2 在△ABC中，cos（A-C）+cosB=，b2=ac，求B.

●将解三角形方法与代数、几何、向量方法等相结合

例3 在圆内接四边形ABCD中，AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，求AC.

如图2所示，设AC=x.

在△ABC中，由余弦定理得cosB=;

在△ADC中，由余弦定理得cosD=;

又B=π-D，所以cosB+cosD=0，解得x=7.

综合应用

例4 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sinA+sinC=psinB（p∈R）且ac=b2.

（1）当p=，b=1时，求a，c的值.

（2）若角B为锐角，求p的取值范围.

解析：（1）由正弦定理将sinA+sinC=psinB转化为a+c=pb，再与ac=b2结合，解得：a=1，c=或a=，c=1.

（2）因为a+c=pb，ac=b2，所以由余弦定理可得cosB====2p2-3，由0

例5 在△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，若sin∠BAM=，则sin∠BAC= .

解析：如图3所示，不妨设AC=1，BM=MC=m，∠BAC=α，∠MAC=β.由sin∠BAM=求得tan∠BAM=，则tan（α-β）===，解得m=.由勾股定理得AB==，故sin∠BAC===.

点评：求解例5运用了代数方法，根据已知条件斜△ABM中的sin∠BAM=求∠BAM的正切值，并用两直角三角形的角度差（α-β）来表示∠BAM，这是如何想到的？

首先，图形中没有任何一个三角形单独可解，边角之间又相互关联，所以可运用方程思想.

第三，选择正切就不必用根式表达斜边，如果我们懂得“知弦即知切”的道理，就会自然而灵活地由条件sin∠BAM=想到求出tan∠BAM=！

例6 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c=，cos2A-cos2B=sinAcosA-sinBcosB.

（1）求角C的大小.

（2）若sinA=，求△ABC的面积.

若2A+=2kπ+2B+（k∈Z），则A=kπ+B，注意到a≠b，所以A≠B. 在△ABC中内角和不大于π，所以这种情况不可能存在;

若2A++2B+=2kπ（k∈Z），则A+B=kπ-，在△ABC中只有A+B=π-满足要求，故C=.

（2）现有c=，C=，sinA=，由正弦定理=可得a==.知道a，c欲求面积，可先算出sinB.因为a<c，故A是锐角，cosA=，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=，所以S=acsinB=.

解三角形的原理与公式

●正弦定理：===2R（R为三角形外接圆半径）.这组公式表明同一个三角形的各边长与其对角的正弦值成正比.

●余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA等.这组公式精确量化了两边夹角是如何决定第三边的.

●其他三角公式：各组三角变换公式以及三角形三个内角和A+B+C=π、三边关系a+b>c等.

解三角形的注意事项

●合理运用正弦定理、余弦定理

由已知可求得∠CAD=30°，∠CBD=60°，如图1所示.

在△BCD中，由正弦定理得：=，故BD=a;

在△ACD中，由正弦定理得：=，故AD=a;

在△ADB中，由余弦定理得：AB==

●将正、余弦定理与三角变换相结合

例2 在△ABC中，cos（A-C）+cosB=，b2=ac，求B.

●将解三角形方法与代数、几何、向量方法等相结合

例3 在圆内接四边形ABCD中，AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，求AC.

如图2所示，设AC=x.

在△ABC中，由余弦定理得cosB=;

在△ADC中，由余弦定理得cosD=;

又B=π-D，所以cosB+cosD=0，解得x=7.

综合应用

例4 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sinA+sinC=psinB（p∈R）且ac=b2.

（1）当p=，b=1时，求a，c的值.

（2）若角B为锐角，求p的取值范围.

解析：（1）由正弦定理将sinA+sinC=psinB转化为a+c=pb，再与ac=b2结合，解得：a=1，c=或a=，c=1.

（2）因为a+c=pb，ac=b2，所以由余弦定理可得cosB====2p2-3，由0

例5 在△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，若sin∠BAM=，则sin∠BAC= .

解析：如图3所示，不妨设AC=1，BM=MC=m，∠BAC=α，∠MAC=β.由sin∠BAM=求得tan∠BAM=，则tan（α-β）===，解得m=.由勾股定理得AB==，故sin∠BAC===.

点评：求解例5运用了代数方法，根据已知条件斜△ABM中的sin∠BAM=求∠BAM的正切值，并用两直角三角形的角度差（α-β）来表示∠BAM，这是如何想到的？

首先，图形中没有任何一个三角形单独可解，边角之间又相互关联，所以可运用方程思想.

第三，选择正切就不必用根式表达斜边，如果我们懂得“知弦即知切”的道理，就会自然而灵活地由条件sin∠BAM=想到求出tan∠BAM=！

例6 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c=，cos2A-cos2B=sinAcosA-sinBcosB.

（1）求角C的大小.

（2）若sinA=，求△ABC的面积.

若2A+=2kπ+2B+（k∈Z），则A=kπ+B，注意到a≠b，所以A≠B. 在△ABC中内角和不大于π，所以这种情况不可能存在;

若2A++2B+=2kπ（k∈Z），则A+B=kπ-，在△ABC中只有A+B=π-满足要求，故C=.

（2）现有c=，C=，sinA=，由正弦定理=可得a==.知道a，c欲求面积，可先算出sinB.因为a<c，故A是锐角，cosA=，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=，所以S=acsinB=.

【解直角三角形测试题】推荐阅读：

3.2认识直角07-16

高中数学《空间直角坐标系》教案11 新人教A版必修10-18

三角形面积教案文档05-29

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