反比例函数教学论文
榆次区北田中学
张鹏翔
1．本节课的内容是反比例函数的图象与性质，旨在进一步熟悉作函数图象的主要步骤即列表、描点、连线.理解函数的三种表示方法及相互转换，对函数进行认识上的整合.逐步明确研究函数的一般要求，反比例函数的图象具体展现了反比例函数的整体直观形象，为学生探索反比例函数的性质提供了思维活动的空间，通过对反比例函数图象的全面观察和比较，发现函数自身的规律，进行语言表述，在相互交流中发展从图象中获取信息的能力.同时可以使学生更牢
固地掌握由他们自己发现的反比例函数的主要性质.2．本节课的学习方式主要采用探究性学习与接受性学习相结合方式，重点放在反比例函数图象的特征与性质的探究与掌握上，力求通过这一过程使学生感受从“特殊”到“一般”的认知过程，感悟数形结合、分类、归纳、运动与变化的数学思想。
3．在教学中，主要让学生进行操作活动.通过描点、连线，了解反比例函数的图象是两支双曲线，且是独立的两支双曲线，由于k值的不同，分布的象限不同，函数值随自变量的变化而相应的变化以不问，让学生自己亲自得出的结果更容易掌握及汇忆牢固，由学生自己进行语言描述能发展学生的语言表达能力，同时通过互相补充修小，可以增进彼此问的合作交流意识和友谊.通过小组分工合作，在画具体函数图象的过程中,探索反比例函数图象特征，根据图象特征，总结画法，感受数学的图像美，简洁美。培养团队合作意识。4．用多媒体教学解决重点难点。
数学学科的特点是逻辑严密、思维抽象。初中学生的认知发展尚未成熟，缺乏逻辑严谨性，导致思考问题不全面，从而对数学中抽象的性质定理较难理会，而多媒体教学技术可以通过其图象及数据的处理功能在教师的操作下，层层深入地引导他们运用形象思维和直觉思维来处理问题，减少学习困难。在本节课的重点难点的解决过程中我都利用了几何画板的动态演示功能，在学生讨论反比例函数性质时，学生通过观察函数图象得出：“当k>0时，Y值随自变量X的增大而减小；当k<0时，Y值随自变量X的增大而增大”。这个结论是不完善的，必须补上“在每一象限内”这一条件。我处理这个问题时是利用多媒体图象的分解和组合技术通过在函数图象的两个分支上各取一个点，引导学生去比较相应的X、Y值的变化情况，让他们自己领会出应将上述结论改为“在每一象限内，当k>0时，Y值随自变量X的增大而减小；当k<0时，Y值随自变量X的增大而增大”。
一、反比例函数的概念
在八年级上册已经学过了一次函数的有关知识, 学生对函数的概念也有过认识.但由于函数的概念与数学上常见的一些概念和定义有比较大的区别, 函数的概念还是不太容易被学生接受.函数所体现的是量与量之间的关系, 是一个比较抽象的概念.因此在理解上会有些困难.如果学生没有很好地理解函数的概念, 那么函数的学习将会受到很大的阻碍.在这个单元中, 函数的概念的学习是一个重点.函数的概念部分应该怎么样去教学才能让学生更容易理解呢?创设一定的情境是让学生理解和体会这个概念的有效方法.如:
情境1:
(1) 当路程一定时, 速度与时间成什么关系? (s=vt)
(2) 当一个长方形面积一定时, 长与宽成什么关系?
[说明]这个情境是学生熟悉的例子, 当中的关系式学生都列得出来, 鼓励学生积极思考、讨论、合作、交流, 最终让学生讨论出:当两个量的积是一个定值时, 这两个量成反比例关系, 如xy=m (m为一个定值) , 则x与y成反比例.
这一情境为后面学习反比例函数概念作铺垫.
情境2:
汽车从南京出发开往上海 (全程约300 km) , 全程所用时间t (h) 随速度v (km/h) 的变化而变化.
问题: (1) 你能用含有v的代数式表示t吗? (2) 利用 (1) 的关系式完成下表:
(3) 速度v是时间t的函数吗?为什么?
[说明] (1) 引导学生观察、讨论路程、速度、时间这三个量之间的关系, 得出关系式s=vt, 指导学生用这个关系式的变式来完成问题 (1) .
(2) 引导学生观察、讨论, 并运用 (1) 中的关系式填表, 并观察变化的趋势, 引导学生用语言描述.
(3) 结合函数的概念, 特别强调唯一性, 引导讨论问题 (3) .
情境3:
用函数关系式表示下列问题中两个变量之间的关系:
(1) 一个面积为6400 m2的长方形的长a (m) 随宽b (m) 的变化而变化;
(2) 某银行为资助某社会福利厂, 提供了20万元的无息贷款, 该厂的平均年还款额y (万元) 随还款年限x (年) 的变化而变化;
(3) 游泳池的容积为5000 m3, 向池内注水, 注满水所需时间t (h) 随注水速度v (m3/h) 的变化而变化;
(4) 实数m与n的积为-200, m随n的变化而变化.
通过以上几个情境的创设, 对反比例函数的概念, 学生们肯定也有了较深刻的理解.掌握了反比例函数的概念之后, 接下来学习的是用待定系数法求反比例函数的解析式, 对于这部分内容, 我认为求解析式偏重于方法, 只要学生把方法掌握了, 求解析式就变成了解方程的问题, 在理解上并没有什么难处, 求解析式这一块还算是反比例函数这章中相对容易掌握的一部分了.
二、反比例函数的图像及图像的性质
反比例函数的图像及图像的性质这一块的内容可以联系一次函数并将两种函数进行比较学习.从复习一次函数的图像开始, 通过回忆和比较有助于学生理解反比例函数的性质.反比例函数的性质的理解和掌握可以通过探索的方式来让学生进行学习.这阶段我主要是设计了如下的探索活动.
探索活动:反比例函数的图像.
由于反比例函数的图像是曲线型的, 且分成两支对此, 学生第一次接触有一定的难度, 因此需要分几个层次来探求:可以先估计———例如, 位置 (图像所在象限、图像与坐标轴的交点等) 、趋势 (上升、下降等) ;再列表求出对应的x与y的值并利用描点法作图.
经过一系列的探索活动, 学生对反比例函数的图像也能够理解和掌握.反比例函数的图像性质如单调性这些内容在掌握了函数的图像之后就变得不难了, 学会观察图像、并能把函数与图像联系起来, 就能够很快理解函数的单调性.在反比例函数的应用中, 就是要学会综合运用反比例函数的解析式, 函数的图像以及性质解决实际问题.这一部分是对综合运用能力的考查, 归根到底还是要对函数的图像以及性质有深刻的理解和掌握, 才能从图形中挖掘出潜在的信息, 或者是把文字描述转换到图像的表达上, 对函数图像有深刻的理解才能很好地把知识运用到解决实际问题当中.在学习反比例函数的过程中, 一定要注意加强反比例函数与正比例函数的对比, 把函数中蕴涵的重要数学思想作为本章的主要线索, 加强学生对这种函数思想的理解和领悟.
参考文献
[1]雷晓宏.例说反比例函数的性质及应用[J].课程教育研究, 2012 (15) .
[2]邓文忠.反比例函数中的数学思想[J].初中生之友, 2012 (4) .
【关键词】微课 正比例函数 信息技术整合
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）07-0223-02
一、设计思想
微课程，简称微课，是指按照新课程标准及教学实践要求 ，以视频为主要载体，记录教师在课堂内外教育教学过程中围绕某个知识点（重点难点疑点）或教学环节而开展的精彩教与学活动全过程，时间在10分钟左右（一般人注意力集中的有效时间），有明确的教学目标，内容短小，能集中说明一个问题[1] 。
本课以2013年北师大版义务教育教科书八年级上数学 《正比例函数图象》为教学案例， 按照戴维·彭罗斯（David Penrose）于2008年秋提出的微课程建设五个步骤来设计：一是罗列出核心概念：本课的教学内容是正比例函数图象的画法和性质；二是提供上下文背景知识：设计学生学习任务单、利用几何画板展现了画函数图象的一般步骤、正比例函数图象的性质等[3]。采用几何画板来展现图象生成的过程（描点、列表、连线），即清晰明了的阐明了画图象的一般步骤，又相较传统讲法节省了时间[4]；三是录制教学视频，时间为8～10分钟；四是设计出学生自主学习模式和探究学习的任务；五是将教学视频与学习任务单分发到学生机 [2]。
二、指导思想和教学策略
1.指导思想
以学生为主体，在注重学生自主学习，自主探究学习的同时，不能忽视教师的主导性作用[5]。
2.教学策略
笔者首先把上课地点由班级迁到网络教室。采用探究式教学，营造一种自主、合作、探究的课堂环境。笔者课前录制了正比例函数图象的微课视频，学生通过观看视频自主学习，然后，设置好探究主题，指导学生围绕探究主题进行自主学习，分组研究，引导学生进行探究式学习，接下来可以选择利用几何画板完成作业，并制作成Word或PPT等多种形式的电子作品。笔者通过网络教室的回收功能，回收作业并指导学生评价同学作业，进行学习成果汇报，促进学生之间的交流。
3.学习策略
笔者教学对象是八年级的学生，这一阶段的学生通过信息技术课程学习，已经具备了操作几何画板的能力，学生可以使用几何画板完成练习。学生以相邻的四至五人成一组，相互合作共同解决问题；利用学习资源学习知识点，制作电子作业，拓宽知识面与深度（主动参与策略、合作策略、信息加工策略）。课上通过让学生分享不同的解题思路，达到一题多解，活跃学生解题思路的效果。
三、教学案例
笔者开始进行基于网络环境的教学实践，《正比例函数》教学案例具体环节如下。
1.复习旧知，引入新课
笔者通过复习上节课一次函数和正比例函数的概念，根据所给条件写出简单的函数关系式，并提出”正比例函数的图象是怎样的？”，吸引学生的注意力，为新课的讲解做好铺垫。
2.微课导学，掌握基本知识
引领学生打开微课视频如图1，时长为8分23秒，视频有函数图象的概念、画函数图象的一般步骤、正比例函数图象性质这三部分内容，学习任务单具有很强的引导视频学习作用，包含有学习目标、重难点、学法指导、学习过程、学习任务等内容。一边看微课一边做任务单中的学习任务，在做中学。这样设计的好处是：一是，微课具有可暂停、快进、反复使用的特点，学生根据自己理解接受能力协调学习进度，对于基础差的学生可多次观看；二是，对知识点的讲解有系统性，不受外界其他因素的影响。
图1 图象画法讲解
笔者在此过程中，不断地进行巡视，对操作有问题或教学内容有问题的学生进行解释和引导。
3.搜索习题，巩固新知
根据学习主题，笔者提供了查找学习资源的站点，例如：12999数学网初中数学，初中数学试卷——菁优网等，寻找与正比例函数相关的习题，将题目保存下来，小组讨论完成作答，更鼓励学生们提出问题进行探究。
笔者在此过程中，再进行巡视，查看学生寻找题目的涉及范围，确保搜索题目的范围是否含有未学习的内容，及时给与指导。
4.师生共评，点拨提高
利用网络教室的天域教学软件的回收功能，将小组完成的题目回收，笔者与学生一起点评，启发学生一题多解，培养学生创新思维能力。
5.总结提高，布置作业
学生归纳总结本节课所学内容的核心点和知识结构。笔者点拨、讲解核心问题、关联点、疑惑点，例如：提示画正比例函数的简便方法等。接下来，将任务单上未完成的部分作为课后作业。
四、教学反思
在网络教室利用微课教学，改变了数学的教学模式，能更好的满足学生按需选择学习，既可查缺补漏又能强化巩固知识，是传统课堂学习的一种重要补充和拓展资源。
利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的教学内容（当k>0时，图象过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0时，图象过第二、四象限，y随x的增大而减小），实现信息技术与数学的有机整合[6]；利用信息技术还可以很好地唤起学生探索问题的兴趣，调动学生思维的积极性，激发学生学习数学的兴趣。在实际教学时，在搜索习题这个教学环节的选择范围过大，课时把控不理想，有拖沓现象。
参考文献：
[1]黎加厚.微课的含义与发展[J].中小学信息技术教育，2013（4）：10-12.
[2]关中客.微课程[J].中国信息技术教育，2011（17）：14.
[3]刘明华. 正比例函数教学之我见[J]. 学周刊 2012年19期
[4]马丽，张雅文. 现代教育技术在中学数学教学中的应用[J]. 考试周刊. 2011（3）
[5]董寿云. 通过数学课程与信息技术的整合提高学习效率[J]. 数学学习与研究. 2010（24））
这节课是义务教育九年级数学下第26章反比例函数的第一节课，要求学生理解并掌握反比例函数的概念，能判断一个给定的函数是否为反比例函数，会根据已知条件用待定系数法求反比例函数解析式。在此之前，学生已经学过了一次函数和二次函数，相比前二种函数，反比例函数较为容易，对学生而言，函数的学习方法和套路都是不难掌握的，而这一节课也主要是引入反比例函数的概念，讲透这个概念就OK了。
首先，我来谈一下对自己这节课比较满意的地方。
新课引入部分。这个设想源自于女儿和她的小伙伴们出的一份份报纸，报纸上孩子们用她们特有的漫画手法，描述了身边的人与事，非常形象，虽然简单，但很有质感。因此，就故事《贪婪的财主》，我拜托女儿根据这个故事的情景，把这个故事用漫画的形式（如下图）勾勒出来，并且配上女儿稚嫩的童音来讲述这个故事，在课堂上，以这个为引入，大大的吸引了全班同学的兴趣。之后，又通过大量的生活中的实例，让同学们轻松的接收了反比例函数的概念。
二、展示学生成果部分。考虑到这节课在时间上还是有些紧张，但我又想让所有同学都
能达到一定的训练，因此在我出示例题后，让全班同学每人都把答案写在一张白纸上，我下位进行检查后，适当的选取部分同学的答案用手机
拍下来（如下图），通过网络传送到我的空间里，
即时在教室的电脑大屏幕上展示，并讲解，大大节省
了时间，效果也是不错的，而且还能看到大多数同学
的课堂练习情况，这个方式也得到许多老师的一致好评。
教态得体，语速适中。记得自己刚刚参加工作的时候，也有许多老师听过我的课，都反映语速较快，讲话就象剥豆子一样，通过这的磨炼，我对我这节课的语速还是比较满意的，而且在讲课期间，语言也比较精炼，教态方面个人感觉还是比较自然大方。
其次，我再来谈一下这节课的不足之处。
一、例题的设计。在例题的选取上，我也是反复进行了筛选，总希望不要太难，也不要太容易，通过在另一个班的教学，最后还是删掉了一道中考题，也是希望在时间上能够掌控，但后来还是发现，例题在整合方面还是有所欠缺，确实一节好课，一节好的数学课，不在乎例题有多少，关键是例题要精选，要能够涵盖或辐射出数学中的思想方法，太板的例题势必也会影响同学们学习的热情。
二、例题的讲解。上完课后，总觉得自己哪里没有讲好，在例题的讲解上，有些地方过于自信化，有些地方又过于啰嗦，有些知识点又没有更好的给学生解释到位，比如判断这个函数，是不是表示是的反比例函数？如果是，求出成果比例系数。在讲这个点时，应该将写成的形式，就能更好的确定比例系数。在这一点上，没有注意细节上的处理，而细节的处理往往在数学教学中是非常重要的，运用的好的话，也会产生事半功倍的教学效果。
三、数学思想的渗透不到位。我们说，数学的学习不在于你做了多少题目，而是在于你学到了多少数学思想，这节课上我虽然也提到了类比思想和整体思想，但不够系统，不够具体，没有体现过程与思想的有机结合，这点要向杨颖老师学习，在她的课上，她给学生整体呈现了函数学习中大家会接触的各类数学思想，而且在讲课过程中，也做了必要的渗透，希望在下次课上能在这方面有所进步。
主备人
陈春莲
知识与技能目标：①了解反比例函数的意义，理解反比例函数的概念；
②会求简单实际问题中的反比例函数解析式，反比例函数教案及教学反思。
程序性目标：①从现实情景和学生的已有知识经验出发，讨论两个变量之间的相互关系，从而加深对函数概念的理解；
②使学生经历抽象反比例函数概念的过程中感悟反比例函数的概念。
情感与价值观目标：
①通过反比例函数概念的教学，使学生亲身经历知识的发生、发展的过程，培养学生的自主、合作的意识以及确立良好的认知观；
②学生通过对反比例函数的简单应用，使其初步形成数学的建模意识和能力。
教学重点
反比函数的概念
教学难点
例1涉及较多的《科学》学科知识，学生理解问题时有一定的难度。
教学媒体准备
教学设计过程
（①教学程序设计；②教法设计；③学法设计；④教材的处理与媒体。）
一、通过对两个变量之间的反比例关系的讨论和探究，使学生感受彼此之间特殊的一一对应关系，从而加深对函数概念的理解。
（创设情境
写出下列各关系：
1.长方形的长为6，宽y和面积x之间有什么关系？
2、长方形的面积为6，一边长x和另一边长y之间要有什么关系？）
两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，如果两个变量的积是一个不为零的常数，我们就说这两个变量成反比例．借助正比例关系与反比例关系的类比，为问题的后续探究构建感性的氛围。
（请看下面几个问题：
探究：
问题1：北京到杭州铁路线长为1661km。一列火车从北京开往杭州，记火车全程的行驶时间为x(h),火车行驶的平均速度为y（km/h),(1)你能完成下列表格吗？
X(h)
y(km/h)
87.4
(2)Y与x成什么比例关系？能用一个数学解析式表示吗？）
（问题2：学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为24平方米的矩形饲养场．
设它的一边长为x(米)，请写出另一边的长y(米)与x的关系式．
根据矩形面积可知
xy＝24，即……）
使学生在体验探究的过程中，感受知识的形成过程，从而为知识的内化和正迁移创造了条件。
二、引导学生尝试自主、合作的学习，使学生经历知识构建和发现的过程，借此提出反比例函数的概念，培养了学生建模的意识、也发展了数学建模的能力。
（挑战自我
1、某住宅小区要种植一个面积为1000平方米的矩形草坪，草坪长为y米，宽为x米，则y关于x的关系式为＿＿＿＿＿＿；
2、已知北京市的总面积为1.68×104平方千米，全市总人口为 n 人，人均占有土地面积为 s 平方千米，则s关于n的关系式为＿＿＿＿＿＿；
３、京沪线铁路全程为１463km，某列车平均速度为 v（km／h），全程运行时间为t（h），则v关于t的关系式为＿＿＿＿＿＿。）
构建互动、和谐的课堂教学氛围，使学生对反比例函数概念完成从感性体验到理性认知的过渡。
（发现：
一般地，若变量y与x反比例，则有xy=k(k为常数，k≠0),也就是y=。
归纳：上述几个函数都具有y=的形式，一般地形如y=(k是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数(proportionalfunction)．k叫做反比例函数的比例系数，且反比例函数的自变量x的值不能为零。）
（练习
1、下列函数中，哪些是反比例函数？说出反比例函数的比例系数
⑴y=-3x；⑵y=2x+1；⑶y=；⑷y=3(x-1)2+1；⑸y=（s是常数，s≠0）；⑹xy=-；⑺x=-5y；）
利用学生对反比例函数概念的初步认识，引导学生借助自主练习，进一步加大学生对该概念的正迁移力度。
三、利用阿基米德的“撬动地球”的历史故事，结合了学生的心理发展特点，很好的激发了学生对问题探究的兴趣。我们常说，于其让学生“苦学”，不如让学生“乐学”。
创设一种欲罢不能的心理氛围，从而使学生形成了问题探究的动机。进一步培养学生分析问题、解决问题的数学建模能力。
（背景知识
给我一个支点，我可以撬动地球！
——阿基米德）
（【例1】如图，阻力为1000N，阻力臂长为5cm.设动力y（N），动力臂为x（cm）
（图中杠杆本身所受重力略去不计，教学反思《反比例函数教案及教学反思》。杠杆平衡时：动力动力臂=阻力阻力臂）
(1)求y关于x的函数解析式。
这个函数是反比例函数吗?如果是，请说出比例系数；
(2)求当x=50时，函数y的值，并说明这个值的实际意义；
(3)利用y关于x的函数解析式，说明当动力臂长扩大到原来的n倍时，所需动力将怎样变化？）
例题1涉及较多的《科学》学科的知识，学生在理解问题的背景时
有一定的难度，是本节教学的难点，教师在给出例题以前，有必要介绍一下“杠杆原理”，借助多媒体的教学辅助作用,使问题的出示显得活泼、直观，增强了问题的趣味性，从而更好的促使学生对问题的体验、探究。
（回顾与思考
练1.一个三角形,一边长为xcm,这边上的高为ycm,它的面积为25cm2.求(1)y关于x的函数关系式,并判断是什么函数？（2）自变量x的取值范围(3)当y=10时x的值.练2.一个矩形的面积是20cm2,相邻的两条边长为xcm和ycm,那么变量y是x的函数吗?是反比例函数吗?为什么?
练3.某村有耕地346.2公顷,人口数量n逐年发生变化,那么该村人均占有耕地面积m(公顷/人)是全村人口数n的函数吗?是反比例函数吗?为什么?）
在一次引导学生通过对以上问题的回顾与思考，更有效的促使学生亲历知识发生和发展的过程。很好的紧扣了本课时的过程性教学目标。
（课内练习：
1、已知反比例函数y=kx-，⑴说出比例系数；
⑵求当x=‐10时函数的值；
⑶求当y=2时自变量x的值。
2、设面积为10cm的三角形的一边长为a（cm），这条边上的高为h（cm），⑴求h关于a的函数解析式及自变量a的取值范围；
⑵h关于a的函数是不是反比例函数？如果是，请说出它的比例系数
⑶求当边长a=25cm时，这条边上的高。）
应该说，本课时的教法设计能很好的结合学生的心理发展特点和规律、结合学生的认知水平和经验、结合学生发展的能力要求。应该真正确立“以人为本”的教学理念。课堂教学中情景、例题、互动练习的设计；及多媒体的应用无不体现了这样的要求。
四，借助学生自主进行的课时及所学问题的小结，辅之以教师对反馈问题的设计，应该在培养学生良好的思维品质（反思），在培养学生对问题看法的自我校正、自我反馈的意识和能力有一定的作用。
（通过这节课的学习，你有什么收获？）
（交流反思：
本堂课，我们讨论了具有什么样的函数是反比例函数，一般地，形如y=(k是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数(proportionalfunction)．
k叫做反比例函数的比例系数,其中反比例函数的自变量x的值不能为零。）
（检测反馈
1.分别写出下列问题中两个变量间的函数关系式，指出哪些是正比例函数，哪些是反比例函数，哪些既不是正比例函数也不是反比例函数？
(1)小红一分钟可以制作2朵花，x分钟可以制作y朵花；
(2)体积为100cm3的长方体，高为hcm时，底面积为Scm2；
(3)用一根长50cm的铁丝弯成一个矩形，一边长为xcm时，面积为ycm2；
(4)小李接到对长为100米的管道进行检修的任务，设每天能完成10米，x天后剩下的未检修的管道长为y米．）
《反比例函数的意义》教学反思
昆阳二中陈春莲
《反比例函数的意义》教学反思：首先简单复习了一次函数、正比例函数的表达式，目的是想让学生清楚每种函数都有其特有的表达式，对反比例函数表达式的总结作了一个铺垫。其次利用题组
（一）中的三个题目列出了
v=（1）及教学反思----------陈春莲“TITLE=”1.1反比例函数（1）及教学反思----------陈春莲“/>,xy=k(k为常数，k≠0),也就是y=。s=（1）及教学反思----------陈春莲”TITLE=“1.1反比例函数（1）及教学反思----------陈春莲”/>
三个表达式，当让学生观察这三个表达式与以前我们所学的y=kx+b和y=kx有什么联系时，居然有很多同学认为它们和正比例函数类似，当时在课堂上对于这个问题的处理过于仓促，现在想来应注意细节问题。利用题组
（二）对反比例函数的三种表示方法进行巩固和熟悉。
例题非常简单，在例题的处理上我注重了学生解题步骤的培养，同时通过两次变式进一步巩固解法，并拓宽了学生的思路。在变式训练之后，我又补充了一个综合性题目的例题，（在上学期曾有过类似问题的,由于时间的久远学生不是很熟悉）但在补充例题的处理上点拨不到位，导致这个问题的解决有点走弯路。
题组
（三）在本节既是知识的巩固又是知识的检测，通过这组题目的处理，发现学生对本节知识的掌握还可以。从整体来看，时间有点紧张，小结很是仓促，而且是由老师代劳了，没有让学生来谈收获，在这点有些包办的趋势。
虽然在题目的设计和教学设计上我注重了由浅入深的梯度，但有些问题的处理方式不是恰到好处，有的学生课堂表现不活跃，这也说明老师没有调动起所有学生的学习积极性。总之，我会在以后的教学中注意细节问题的。
宁夏海原县三河中学（黒城中学）邓永明 755200
一、教学目标
(一)教学知识点
1、经历分析实际问题中变量之间的关系、建立反比例函数模型，进而解决问题的过程。
2、体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力。
（二）能力训练要求
1、激发学生在已有知识的基础上，进一步探索新知识的欲望。
2、在探索过程中培养和发展学生学习数学的主动性，提高应用数学的能力。(三)情感与价值观要求
1、调动学生参与数学活动的积极性，体验数学活动充满着探索性和创造性。
2、培养学生在学习过程中良好的情感态度，主动参与、合作、交流的意识，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功体验，有学好数学的自信心。
教学重点 建立反比例函数的模型，进而解决实际问题。
教学难点 经历探索的过程，培养学生学习数学的主动性和解决问题的能力。
二、教学过程分析
第一环节 复习回顾
活动目的：以提问的方式引导学生复习反比例函数的图象与性质
活动过程：反比例函数：当k>0时，两支曲线分别在，在每一象限内，y的值随x的增大而。
当k<0时，两支曲线分别在，在每一象限内，y的值随x的增大而。第二环节 情境导入
活动目的： 多媒体给出情境材料，引起学生的兴趣，体现数学的现实性。活动过程：某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务的情境。你能解释他们这样做的道理吗？（见书P143）
(1)用含S的代数式表示P，P是S的反比例函数吗？为什么？(2)当木板面积为0.2 m2 时，压强是多少
(3)如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大(4)在直角坐标系中，作出相应的函数图象。
(5)请利用图象对(2)和(3)作出直观解释，并与同伴进行交流。
活动效果及注意事项：在（4）中，要启发学生思考：为什么只需在第一象限作函数图象？此外，还要注意单位长度所表示的数值。在（5）中，要留有充分时间让学生交流，领会实际问题的数学意义，体会数与形的统一。第三环节 应用与拓展
活动目的：让学生利用图形上所提供的信息，正确写出反比例函数解析式；并通过综合运用表格，图象及关系式，形成对反比例函数较完整的认识
活动过程：做一做
1.蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I(A)与电阻R()之间 的函数关系如图所示。(书上P144)(1)蓄电池的电压是多少？你能写出这一函数的表达式吗？
(2)完成下表，并回答问题：如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？
2．如图，正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数k2y=x的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为(3,23).(1)分别写出这两个函数的表达式：
(2)你能求出点B的坐标吗?你是怎样求的?与同伴进行交流.活动效果及注意事项：在这个活动中，逐步提高学生从函数图象中获取信息的能力，提高感知水平；此外，在解决实际问题时，要引导学生体会知识之间的联系及知识的综合运用。第四环节 随堂练习
活动目的：用函数观点来处理实际问题的应用，加深对函数的认识。活动过程：练习
1.某蓄水池的排水管每时排水8m3，6h可将满池水全部排空。(1)蓄水池的容积是多少？
(2)如果增加排水管，使每时的排水量达到Q(m3)，那么将满池水排空所需的时间t(h)将如何变化？
(3)写出t与Q之间的关系；
(4)如果准备在5h内将满池水排空，那么每时的排水量至少为多少？(5)已知排水管的最大排水量为每时12m3，那么最少多长时间可将满池水全部排空？ 第五环节 知识小结
活动目的：通过老师小结，带领学生回顾反思本节课对知识的研究探索过程，提炼数学思想，掌握数学知识。
活动过程：今天这节课学习了什么？你掌握了什么？
生：这节课我们学习了反比例函数的应用.具体步骤是：认真分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而用反比例函数的有关知识解决实际问题今天学习了反比例函数的应用，讲了四个类型：
1.压力与压强、受力面积的关系2.电压、电流与电阻的关系3.已知点的坐标求相关的函数表达式
第六环节 作业布置
课本146页习题5.4 1,2
三、教学反思
一、吃透教材
正比例函数是在认识了函数、函数的图像基础上进行的本节课主要学习特殊的一次函数、正比例函数概念、图像和性质。本节内容既是前面知识的深化和应用。又为今后学习一次函数、反比例函数、二次函数的概念、图像、性质, 提供了一般思路和方法。因此本节课具有承上启下的重要作用, 在函数的学习中起到非常重要作用。所以教师要认真备好和吃透教材, 同时又要了解学生, 采用行之有效的方法教好这一课。
在教学过程中, 我以教科书的问题和大量的生活实例为背景, 引出正比例函数的概念。一般地, 形如y=kx (k是常数, k≠0) 的函数, 叫做正比例函数, 其中k叫做比例系数。正比例函数的本质是函数的特殊形式, 同样也是反映两个变量之间关系的重要函数。
同时, 函数图像可以直观、清楚地表示函数关系, 所以我通过正比例函数图像来研究它的性质, 从而得到了研究函数的一般方法。本节课的教学重点是正比例函数的概念、图像与性质和体验研究函数的一般思路与方法。
二、目标和目标解析
教学目标:
1.通过书中的例题分析归纳并理解正比例函数的概念。
2.在用“描点法”画正比例函数图像的过程中发现正比例函数的性质, 体验数学结合的思想。
3.利用发现的性质简便地画出正比例函数的图像, 掌握画函数的一般方法。
4.通过对正比例函数性质的探究, 使学生经历做数学的过程, 初步形成正确、科学的学习方法。
本节课要求学生能借助教科书上的问题和大量的课后习题的研究, 提炼出正比例函数的概念, 并能通过画图像、直观感知、讨论、探究、练习和实际操作, 得到正比例函数的性质, 进一步感受数形结合思想在解决问题过程当中的重要作用。通过探究归纳正比例函数的概念、图像、性质, 体验研究函数的一般思路与方法。
三、学生已有的知识
学生在小学阶段就已经对正比例关系有所了解, 在讲解正比例函数时, 我们可以比照小学研究过的正比例关系, 利用画图像的方法来引入教学。但是, 学生对新知识的理解和掌握总是有个过程, 所以作为教师我们要耐心细致地分析讲解, 不能操之过急。教学的难点是抽象出正比例函数图像是一条直线和由图像总结出正比例函数的性质以及性质的运用。为了有效实现教学目标突破难点, 可以借助计算器辅助教学和表格。
四、教学设计
(一) 新课引入
1.师生共同阅读书中的问题, 再逐一提出问题 (1) 、 (2) 、 (3) , 并列出相应的函数关系式, 认真分析比较这些函数关系式的共同特征。
设计意图:在复习学过的知识的同时, 使学生在不知不觉中接受新知识。
2.教师紧接着提问:上述问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示?这些函数有什么共同点?类比一元一次方程的定义, 师生共同归纳出正比例函数的概念。导出正比例函数的一般形式 (y=kx, 且k≠0并提问当k=0时会是什么样的结果) 。
教师分析:正比例函数是特殊的一次函数, 一次函数的形式为y=kx+b, b=0时即为正比例函数。因此一次函数包括正比例函数。
设计意图:用学过的知识来理解分析新知识, 促进新概念的形成, 同时也便于学生掌握理解新知识, 使学生认清了正比例函数和一次函数之间的关系。
3.提问:上述问题中各正比例函数的比例系数分别是什么?正比例函数中自变量的指数是多少?
4.练习:已知y+m与x+n (m, n为常数) 成正比例求y与x之间的函数关系式。
设计意图:体会正比例函数的系数特征, 记住正比例函数的指数。通过指出常数、自变量、自变量的函数, 对函数的概念进行回顾, 从而为后续环节找正比例函数的共同点建立生长点。这样可以当堂巩固、加深学生对正比例函数概念的理解且提高了运用概念能力, 为研究正比例函数图像的性质和学习其他函数埋下伏笔。
(二) 认识的扩大
1.画出下列正比例函数的图像
y=4x, y=-4x
2.提问:正比例函数的图像是什么图形?
设计意图:让学生通过列表、描点、连线画出图像。学生描的点可能在同一直线上, 也有可能不在同一直线上, 出现了本节课的第一个难点, 让学生通过自己的操作, 直观演示, 学生自己观察, 从而使学生理解正比例函数图像是一条直线, 从而突破难点, 得到正比例函数性质的第一部分, 进一步体会数型结合的思想。
3.提问:上面正比例函数图像分别经过了哪些象限?经过的象限由解析式中的哪些量决定?上面函数中, 随着x值的增大, y的值分别如何变化?直线左右上升和左右下降与y值随着x值的变化而变化之间的关系, 并且与k值的正负有何关系?
师生共同归纳:正比例函数图像的性质是:正比例函数y=kx, (k是常数k≠0) 我们通常称之为直线y=kx当k>0时直线y=kx经过一、三象限, 函数图像自左到右是上升的y随着x值的增大而增大。当k<0时直线y=kx经过二、四象限, 函数图像自左到右是下降的y随着x值的减小而减小。
设计意图:通过一系列的提问引导学生总结出正比例函数性质的第二部分。
(三) 新知检验
1.经过原点与点 (1, 3) 的直线是哪种函数的图像?
经过原点与 (1, -3) 呢?经过原点与 (a, k) 呢?为什么?
设计意图:通过当堂练习, 让学生利用总结的正比例函数图像特征与解析式的关系, 完成由图像到关系式的转化, 进一步理解数形结合思想的意义, 并掌握正比例函数图像的简单画法及原理。以上问题逐一出示, 让学生之间相互交流。由学生思考后回答, 教师只是帮助解决。这样会使学生的认识更加深刻, 有利于提高学生的积极性。
2.练习巩固:用最简单的方法画出y=-3x的函数图像。
设计意图:引导学生掌握画正比例函数图像的简单方法。
(四) 小结归纳
师生共同归纳:在本节课中我们经历了怎样的过程?有怎样的收获?
教师分析概括:在以后的学习中, 我们将继续这样的思路来研究各种具体的函数, 根据它们共同的结构给它们取名, 画出它们的图像与研究它们的性质。
1． 已知反比例函数y = - 的图象经过点P（2，a），则a =．
2． 在某一电路中，保持电压不变，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数关系.其图象如图1，则这一电路的电压为 V．
3． 已知反比例函数y = 与一次函数y = 2x + k的图象的一个交点的横坐标是 - 5，则k的值是 ．
4． 如图2，在反比例函数y = （x > 0）的图象上任意取一点M，过点M分别作y轴和x轴的垂线，垂足分别为P、Q，那么四边形OQMP的面积为 ．
5． 如果点（7a，- 6a）在双曲线y = 上，则双曲线在第 象限．
6． 我们学习了反比例函数. 例如，当矩形面积S一定时，长a是宽b的反比例函数，其函数关系式可以写为a = （S为常数，S ≠ 0）.
请你仿照上例另举一个在日常生活或学习中具有反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数关系式.
实例：；函数关系式： .
7． 图3是反比例函数y = 的图象，那么k与0的大小关系是 .
8． 已知反比例函数y = （8 - 4m）xm2 - 10在每个象限内，y随着x的增大而增大，则m =．
9． 如图4，正比例函数和反比例函数的图象相交于A、B两点，分别以A、B两点为圆心，画与y轴相切的两个圆．若点A的坐标为（3，8），则图中两个阴影部分面积的和是 ．
10． 如图5，△P1OA1、△P2A1A2均是等腰直角三角形，点P1、P2在函数y = （x > 0）的图象上，斜边OA1、A1A2都在x轴上，则点A2的坐标是 ．
二、选择题
11． 当x < 0时，反比例函数y = - 的图象
（）．
A． 在第二象限内，y随x的增大而减小
B． 在第二象限内，y随x的增大而增大
C． 在第三象限内，y随x的增大而减小
D． 在第三象限内，y随x的增大而增大
12． 已知反比例函数y = 的图象在第二、四象限，则一次函数y = - kx + k的图象不经过（）．
A． 第一象限B． 第二象限C． 第三象限D． 第四象限
13． 已知矩形的面积为28，则它的长y与宽x之间的函数关系用图象大致可表示为（）．
14． 某变阻器两端的电压为220 V，则通过变阻器的电流I（A）与它的电阻R（Ω）之间的函数关系的图象大致为（）．
15． 反比例函数y = - 的图象上，横、纵坐标都为整数的点的个数是（）．
A． 2B． 4 C． 6 D． 8
16． 图6是3个反比例函数y = ，y = ，y = 在x轴上方的图象，由此得到k1、k2、k3的大小关系为（）．
A. k1 > k2 > k3B. k3 > k2 > k1
C. k2 > k3 > k1D. k3 > k1 > k2
17． 若M（8，3）和N（b，- 2 - n2）是反比例函数y = 的图象上的两个点，则一次函数y = kx - b的图象经过（）．
A． 第一、二、三象限B． 第一、二、四象限
C． 第一、三、四象限D． 第二、三、四象限
18． 如果反比例函数的图象经过点（3，2），那么下列各点中在此函数图象上的是（）．
A. （- ，3）B. （2，）
C. （- ，2）D. （2，2）
三、解答题
19． 一定质量的二氧化碳，当它的体积V = 6 m3时，它的密度ρ = 1.35 kg/m3.（1） 求ρ与V的函数关系式.（2） 求当V = 9 m3时二氧化碳的密度ρ．
20． 已知正比例函数y1 = （a + 3）x（a < 0）与反比例函数y = 的图象有两个公共点，其中一个公共点的纵坐标为6．
（1） 求这两个函数的解析式.
（2） 在坐标系中画出它们的图象（可不列表）.
（3） 根据图象观察，当x取何值时，y1 > y2？
21． 已知点A（m，2）和点B（2，n）都在反比例函数y = 的图象上．
（1） 求m与n的值.
（2） 若直线y = mx - n与x轴交于点C，求点C关于y轴的对称点C′的坐标．
22． 已知反比例函数y = 的图象经过点4
——面积问题与装卸货物问题
一、新课导入 1.课题导入
前面我们结合实际问题讨论了反比例函数，看到了反比例函数在分析和解决问题中所起的作用.这节课我们进一步探讨如何利用反比例函数解决实际问题.2.学习目标
(1)掌握常见几何图形的面积（体积）公式.(2)能利用工作总量、工作效率和工作时间的关系列反比例函数解析式.(3)从实际问题中抽象出数学问题，建立函数模型，运用所学的数学知识解决实际问题.3.学习重、难点
重点：面积问题与装卸货物问题.难点：分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式.二、分层学习
1.自学指导
（1）自学内容：教材P12例1.（2）自学时间：8分钟.（3）自学指导：抓住问题的本质和关键，寻求实际问题中某些变量之间的关系.（4）自学参考提纲：
①圆柱的体积=底面积×高，104教材P12例1中，圆柱的高即是d，故底面积S.d②P12例1的第(2)问实际是已知S=500，求d.③例1的第(3)问实际是已知d=15，求S.④如图，科技小组准备用材料围建一个面积为60 m2的矩形科技园ABCD，其中一边AB靠墙，墙长为12 m，设AD的长为x m，DC的长为y m.a.求y与x之间的函数关系式；y60 xb.若围成矩形科技园ABCD的三边材料总长不超过26 m，材料AD和DC的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案.(AD=5 m,DC=12 m;AD=6 m,DC=10 m;AD=10 m,DC=6 m.)2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：
①明了学情：了解学生是否掌握利用面积（体积）公式列反比例函数关系式.②差异指导：辅导关注学困生.（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨.4.强化
(1)教材例1的解题思路和解答过程.(2)面积公式与体积公式中的反比例关系.(3)练习：已知某矩形的面积为20 cm2.①写出其长y与宽x之间的函数表达式；
②当矩形的长为12 cm时，宽为多少?当矩形的宽为4 cm，长为多少? ③如果要求矩形的长不小于8 cm，其宽最多是多少？ 答案：①y2055②cm;5 cm③cm x32
1.自学指导
（1）自学内容：教材P13例2.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：认真分析例题，积极思考，结合自学参考提纲自学.（4）自学参考提纲：
①工作总量、工作时间和工作效率（或速度）之间的关系是怎样的？
②教材例2中这艘船共装载货物240吨，卸货速度v（吨/天）与卸货时间t（天）的关系是v240.t③如果列不等式求“平均每天至少要卸载多少吨”，你会怎样做？写出你的解答过程.④一司机驾汽车从甲地去乙地，以80千米/小时的平均速度用6小时到达目的地.a.当他按原路匀速返回时，汽车速度v（千米/小时）与时间t（小时）有怎样的函数关系？v480 tb.如果该司机必须在4小时之内返回甲地，则返程时的速度不得
低于多少？(120千米/小时)c.若返回时，司机全程走高速公路，且匀速行驶，根据规定：最高车速不得超过120千米/小时，最低车速不得低于60千米/小时，试问返程所用时间的范围是多少？（4~8小时）
2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：
①明了学情：了解学生是否会列函数关系式，是否会根据反比例函数关系解决实际问题.②差异指导：指导学生从形式和自变量的取值范围两个方面对比正比例函数理解反比例函数.（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨.4.强化
（1）教材例2的解题思路和解答过程.（2）练习：某学校食堂为方便学生就餐，同时又节约成本，常根据学生多少决定开放多少售饭窗口，假定每个窗口平均每分钟可以售饭给3个学生，开放10个窗口时，需1小时才能对全部学生售饭完毕.①共有多少学生就餐？
②设开放x个窗口时，需要y小时才能让当天就餐的同学全部买上饭，试求出y与x之间的函数关系式；
③已知该学校最多可以同时开放20个窗口，那么最少多长时间可以让当天就餐的学生全部买上饭？
答案：①1800个；②y
三、评价
10;③30分钟.x 4
1.学生自我评价.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价；（2）纸笔评价（评价检测）.3.教师的自我评价（教学反思）.函数是初中数学的难点之一，当函数遇到实际应用，可谓是难上加难，但也使解题多了几种途径.对于这些实际问题，要善于运用函数的观点去处理.因此在教学过程要注意培养学生的审题能力，理解文字中隐藏的已知条件，合理地建立函数模型，然后根据模型找出实际生活中的数据与模型中的哪些量相对应.将实际问题置于已有的知识背景中，用数学知识重新解释这是什么，可以是什么，逐步培养解决实际问题的能力.一、基础巩固（70分）
1.(10分)某轮船装载货物300吨，到港后，要求船上货物必须不超过5日卸载完毕，则平均每天至少要卸载（B）
A.50吨 B.60吨 C.70吨 D.80吨
2.(10分)用规格为50 cm×50 cm的地板砖密铺客厅恰好需要60块．如果改用规格为a cm×a cm的地板砖y块也恰好能密铺该客厅，那么y与a之间的关系为（A）
A.y***0
2y B.C.y=150000a D.y=150000a a2a3.(10分)如果以12 m3/h的速度向水箱注水，5 h可以注满.为了赶时间，现增加进水管，使进水速度达到Q（m3/h），那么此时注满水箱所需要的时间t（h）与Q（m3/h）之间的函数关系为（A）
A.t606060 B.t=60QC.t12 D.t12 QQQ4.(10分)如果等腰三角形的底边长为x，底边上的高为y，当
它的面积为10时，x与y 的函数关系式为（D）
A.y105x20 B.y C.y D.y xx20x135.(10分)已知圆锥的体积V＝Sh（其中S表示圆锥的底面积，h表示圆锥的高）．若圆锥的体积不变，当h为10 cm时，底面积为30 cm2，则h关于S的函数解析式为h300.S6.(10分)小艳家用购电卡购买了1000度电，那么这些电能够使用的天数m与小艳家平均每天的用电度数n有怎样的函数关系？如果平均每天用电4度，这些电可以用多长时间？
解：m1000;250天.n7.(10分)某农业大学计划修建一块面积为2×106 m2的长方形试验田.（1）试验田的长y（单位：m）关于宽x（单位：m）的函数关系式是什么？
（2）如果试验田的长与宽的比为2∶1，则试验田的长与宽分别是多少？
2106解：（1）y;(2)长：2×103 m，宽：103 m.x
二、综合应用（20分）
8.(10分)某地计划用120~180天（含120天与180天）的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万立方米.（1）写出运输公司完成任务所需的时间y（单位：天）与平均每天的工作量x（单位：万立方米）之间的函数关系式，并给出自变量x的取值范围；
（2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石方比原计划
多5000立方米，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万立方米？
解：（1）y360(2≤x≤3);x（2）设原计划每天运送土石方x万立方米，实际每天运送土石方（x+0.5）万立方米.则36036024.解得 x=2.5.（x0.5）x因此，原计划每天运送土石方2.5万立方米，实际每天运送土石方3万立方米.9.(10分)正在新建中的住宅楼主体工程已经竣工，只剩下楼体外表面需要贴瓷砖，已知楼体外表面的面积为5×103 m2.(1)所需瓷砖的块数n与每块瓷砖的面积S有怎样的函数关系？(2)为了使住宅楼的外观更漂亮，开发商决定采用灰、白和蓝三种颜色的瓷砖，每块砖的面积都是80 cm2，灰、白、蓝瓷砖使用比例为2∶2∶1，则需三种瓷砖各多少块？
解：（1）n=5×103S；
（2）设需灰、白、蓝三种瓷砖分别为2x、2x、x块.（2x+2x+x）·80=5×103×104
x=1.25×105
因此，需灰、白、蓝三种瓷砖分别为2.5×105块、2.5×105块、1.25×105块.三、拓展延伸（10分）
10.(10分)水产公司有一种海产品共2104千克，为寻求合适的销售价格，进行了8天试销，试销情况如下：
观察表中数据，发现这种海产品每天的销售量y（千克）是销售价格x（元/千克）的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数中的一种.（1）请你选择一种合适的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外一种函数的理由；
（2）在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且以后每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？
（3）在按（2）中定价继续销售15天后，公司发现剩余的这些海产品必须在不超过2天内全部售出，此时需要重新确定一个销售价格，使后面两天都按新的价格销售，那么新确定的价格最高不超过每千克多少元才能完成销售任务？
解：（1）y关系.（2）30+40+48+（2104-504）÷
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