分解因式教学设计

分解因式教学设计（精选11篇）

分解因式教学设计 篇1

教学目标

（一）知识认知要求

进一步让学生掌握用提公因式法分解因式的方法.（二）能力训练要求

进一步培养学生的观察能力和类比推理能力.（三）情感与价值观要求

通过观察能合理地进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点.教学重点

能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地进行分解因式.教学难点

准确找出公因式，并能正确进行分解因式.教学过程

一、创设问题情境,引入新课

上节课我们学习了用提公因式法分解因式，知道了一个多项式可以分解为一个单项式与一个多项式的积的形式，那么是不是所有的多项式分解以后都是同样的结果呢？本节课我们就来揭开这个谜.二、新课讲解

［例2］把a（x－3）+2b（x－3）分解因式.分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即a（x－3）与2b（x－3），每项中都含有（x－3）,因此可以把（x－3）作为公因式提出来.解：a（x－3）+2b（x－3）=（x－3）（a+2b）

从分解因式的结果来看，是不是一个单项式与一个多项式的乘积呢？ ［例3］把下列各式分解因式:（1）a（x－y）+b（y－x）;（2）6（m－n）3－12（n－m）2.分析：虽然a（x－y）与b（y－x）看上去没有公因式，但仔细观察可以看出（x－y）与（y－x）是互为相反数，如果把其中一个提取一个“－”号，则可以出现公因式，如y－x=－（x－y）.（m－n）3与（n－m）2也是如此.解：（1）a（x－y）+b（y－x）=a（x－y）－b（x－y）=（x－y）（a－b）

（2）6（m－n）3－12（n－m）2 =6（m－n）3－12［－（m－n）］2 =6（m－n）3－12（m－n）2 =6（m－n）2（m－n－2）.二、做一做

请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立（1）2－a=__________（a－2）;（2）y－x=__________（x－y）;（3）b+a=__________（a+b）;（4）（b－a）2=__________（a－b）2;（5）－m－n=__________－（m+n）;（6）－s2+t2=__________（s2－t2）.解：（1）2－a=－（a－2）;（2）y－x=－（x－y）;（3）b+a=+（a+b）;（4）（b－a）2=+（a－b）2;

:（5）－m－n=－（m+n）;

三、课堂练习

1.把下列各式分解因式：（1）x（a+b）+y（a+b）（2）3a（x－y）－（x－y）（3）6（p+q）2－12（q+p）（4）a（m－2）+b（2－m）（5）2（y－x）+3（x－y）（6）mn（m－n）－m（n－m）2.补充练习：把下列各式分解因式（1）5（x－y）3+10（y－x）2（2）m（a－b）－n（b－a）

（3）m（m－n）（p－q）－n（n－m）（p－q）（4）（b－a）2+a（a－b）+b（b－a）

四.课时小结

本节课进一步学习了用提公因式法分解因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式，要认真观察多项式的结构特点，从而能准确熟练地进行多项式的分解因式.五、课后作业（略）六.活动与探究

把（a+b－c）（a－b+c）+（b－a+c）·（b－a－c）分解因式.解：原式=（a+b－c）（a－b+c）－（b－a+c）（a－b+c）=（a－b+c）［（a+b－c）－（b－a+c）］ =（a－b+c）（a+b－c－b+a－c）=（a－b+c）（2a－2c）=2（a－b+c）（a－c）

教学反思：

分解因式教学设计 篇2

关键词：因式分解,公因式,逆向思维

一、出示目标

1. 了解因式分解的意义, 会用提公因式法进行因式分解 (指数是整数) .

2. 通过整式乘法逆向得出因式分解方法的过程, 发展学生的逆向思考问题的能力和推理能力.

3. 初步体会因式分解的作用.

二、师生互动

教师讲授并逐步引导学生得出公因式与因式分解的概念, 并让学生体会、理解.

1. 公因式的概念

师:出示单项式乘多项式的法则.

ɑ (b+c+d) =ɑb+ɑc+ɑd并提出若反过来, 就得到怎样的数学式?

生:ɑb+ɑc+ɑd=ɑ (b+c+d)

师:其中ɑ是多项式ɑb+ɑc+ɑd各项都含有的因式, 称为该多项式各项的公因式。并板书.

师:出示“议一议”

下列多项式的各项是否有公因式?如果有, 试找出公因式.

生:学生独立思考后, 前后各组互相交流, 并激烈争论.

师:由学生说出各多项式的公因式, 并板书公因式的组成部分:

(1) 公因式的系数, 应取各多项式系数的最大公约数.

(2) 字母应取各项相同的字母.

(3) 各字母指数取次数最低次.

2. 因式分解的概念

师:像ɑb+ɑc+ɑd=ɑ (b+c+d) , 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式, 叫做把一个多项式因式分解.

生:互相体会, 并相互小声议论.

师:出示练习

下列各式由左边到右边的变形, 哪些是因式分解, 哪些不是?

生:回答.

3. 出示例题

例:把下列各式因式分解.

师生互动, 完成 (1) . (略)

其中第 (2) 题:

师:当多项式的第一项的系数为负数时, 把“-”号作为公因式的符号写在括号外, 使括号内第一项的系数为正.

4. 出示因式分解练习

(1) 把因式分解概念教学时“议一议”的多项式因式分解.

(2) 因式分解

其中 (1) 、 (2) 生答, 教师板书, 教学情况良好.

生:第 (4) 题

师:打断并强调上式中应写为:

生:顺着教师的意图加“1”后完成分析.

5. 出示闯关练习

因式分解:

生:独立思考, 并相互交流.

师:学生回答, 教师板书 (学生出错时, 教师改正完成) .

6. 回扣目标, 检查学生目标达的成情况, 并布置课堂作业 (必做题+选做题) , 课外作业 (略)

课后:

在教室内, 我问一个课堂表现较为活跃的女生“为什么‘议一议’中多项式ɑ2b+ɑb2的公因式是ɑb, 是ɑ或b不行吗?”该女生思考一会儿, 摇一摇头.

我又问例题 (2) -2m3+8m2-12m

可以吗?

我再问“你能知道因式分解有哪些作用吗?”她回答“暂时不知道.”

三、我的思考与分析

1. 本节课把握重点, 突破了难点, 很好地完成了课堂教学, 教学效果非常好.在课堂教学中, 培养了学生的语言表达能力和逆向思维能力.

2. 在本节教学过程中, 采取合作学习的教学方式, 有助于培养学生的合作精神、团队意识和集体观念, 又有助于培养学生的竞争意识与能力。同时, 还可以弥补一个教师难以面向有差异的众多学生进行教学的不足, 从而真正实现每个学生都得到发展的目标.

3. 学生在获取新知识的同时, 思维是发散的, 多种多样的, 也许某个错误的想法, 可以更好地拓展学生的思维, 巩固学生的新知识, 如“议一议”中, ɑ2b+ɑb2的公因式不是ɑb, 是ɑ或b会怎样?提出以后会怎样?再如因式分解第 (4) 题, 学生回答ɑ2b-2ɑb2+ɑb=ɑb·ɑ-ɑb·2b+ɑb若继续下去会怎样?分解后等式是否守恒?继而引发因式分解后要检验的思想.

4. 学生学习本节知识有什么作用?

浅谈因式分解教学中的几个问题 篇3

[关键词]因式分解数学概念问题

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2015）230018

在因式分解的教学过程中，笔者记录了学生出错的一些问题，并对这些问题进行了整理，现结合例子谈谈想法.

一、因式分解的概念理解不到位

现阶段，对数学概念的直接考查较少，因此数学概念的学习往往容易被学生忽视.学生对数学概念的学习停留在表面，只是满足于简单的识记.基础好的学生学习后能够准确地表达学习过的概念，而基础薄弱的学生则不能.我在因式分解第二课时教学中的提问，验证了这一点.由此，引发了我对这个问题的思考.为什么学生能够把语文和英语记得那么熟练、准确，而数学概念短短一句话却记得不清楚.结合学生的作业，简单谈谈对这个问题的一些看法.

下列各式从左到右的变形为因式分解的是（）.

A.（a+3）（a-3）=a2-9

B.m2-4+n2=（m+2）（m-2）+n2

C.x2-2x+1=x（x-2+1x）

D.3x+6=3（x+2）

对于A选项，是典型的多项式乘法，自然不是因式分解；对于B选项，等式左边是一个多项式，等式右边出现了乘积的形式，但整个式子仍是和的形式，应该排除；而C选项，虽然等式右边是乘积的形式，但违背了整式乘积的原则，所以C选项不是因式分解；D选项满足因式分解的概念，为正确答案.在批改作业的时候，四个选项都有学生选.为什么会出现四个选项都有学生选呢？问题的根源在于没有真正理解概念.课本上对因式分解的概念是这样描述的：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.要弄清因式分解的概念，我们可以这样理解：首先，因式分解是一种式子的恒等变形，它是把和的形式化成积的形式.对于是否因式分解的判断，看等式右边，如果不是积的形式立刻可以排除；其次，对参与乘积的因式也有要求，那就是必须是整式，如果不是整式也可以排除.本质上，因式分解就是对多项式进行变形，将多项式化成整式的积的形式；而多项式可以看做是整式相乘得来的.因此，整式的乘法和因式分解有如下关系：

多项式因式分解整式乘法整式的积

学生只有真正掌握了因式分解的概念后才能明确解题的目的.例如，对多项式进行因式分解，有学生是这样做的：

解原式=（4x）2-y2

=（4x+y）（4x-y）

=（4x）2-y2

=16x2-y2.

学生犯的错误是分解后又进行了相乘.由于之前刚刚学习过乘法公式，所以学生看到可以用平方差公式就不自觉地写出了结果.如果学生真正理解了因式分解的本质，就会发现这种结果肯定是错的.因式分解的目的就是化成整式乘积的形式，而得出的答案仍然是多项式，所以说没有明确解题的目的.

从上面两个例子来看，概念的学习是不容忽视的.概念是最基本的，是其他数学知识形成的基础.在教学过程中，要注重概念的学习.一个新的概念给出后，要加以内化，让学生真正理解，从而达到掌握的程度.

二、因式分解的方法掌握不到位

经过学习，学生基本上知道因式分解的几种常用的方法，如提取公因式法、十字相乘法、分组分解法等.但具体运用时容易出错.在教学过程中，要求学生在对多项式进行因式分解时，首先要做的是观察多项式的形式，看是否有公因式，如果有公因式，应该提取出来.关于提取公因式，有部分学生不能一次性提取出来.究其原因，是对公因式这一概念理解不透彻.所谓公因式，是指多项式各项都含有的因式，即公共的因式.因此，需要从系数、字母两个角度考虑.例如，学生对多项式-3x3+12xy2进行因式分解，有两种错误的分解，分别是：（1）原式=-x（3x2-12y2）；（2）原式=-3x（x2+4y2）.

对于第一种分解，学生给出的解释是不能分解了，不具备平方差公式的形式.事实上，学生提取公因式时，未能将公因数一并提出，导致错误；对于第二种分解，公因式是找对了，但提取时没有注意符号的问题，从而认为无法继续分解.所以，正确提出公因式是因式分解能够顺利进行的前提.要能够准确快速地提出公因式，还需要对公因式的概念加强理解.

公因式提取出来后再看能不能用公式或十字相乘法.例如，上面的例子在正确提取出公因式后，括号里就变成x2-2y2，可以继续用平方差公式分解.

以上这些问题是近期因式分解教学中发现的，如果学生真正把这些问题解决了，那么因式分解这部分内容就不会有那么多的错误了.

《因式分解》教学设计 篇4

1.内容

用因式分解法解一元二次方程.

2.内容解析

教材通过实际问题得到方程

，让学生思考解决方程的方法除了之前所学习过的配方法和公式法以外，是否还有更简单的方法解方程，接着思考为什么用这种方法可以求出方程的解，从而引出本节课的教学内容.

解一元二次方程的基本策略是降次，因式分解法将一个一元二次方程转化为两个一次式的.乘积为零，是解某些一元二次方程较为简便灵活的一种特殊方法.体现了降次的思想，这种思想在以后处理高次方程时也很重要.

基于以上分析，确定出本节课的教学重点：会用因式分解法解特殊的一元二次方程.

二、目标和目标解析

1.教学目标

(1)了解用因式分解法解一元二次方程的概念;会用因式分解法解一元二次方程;

(2)学会观察方程特征，选用适当方法解决一元二次方程.

2.目标解析

(1)学生能理解因式分解法的概念，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤，会利用因式分解求解特殊的一元二次方程;

(2)学生通过对比一元二次方程的结构类型，选用适当的方法合理的解方程，增强解决问题的灵活性.

三、教学问题诊断分析

学生在此之前已经学过了用配方法和公式法求一元二次方程的解，然后通过实际问题，获得一个显然可以用“提取公因式法”而达到“降次”目的的方程，从而引出因式分解法解一元二次方程，体现了从简单的、特殊的问题出发，通过逐步推广而获得复杂的、一般的问题，符合学生的认知规律.

在实际的教学中，学生在利用因式分解法解方程式往往会在因式分解上存在着一定的困难，从而不能将方程化成两个一次式乘积的形式.另外在面对一元二次方程时，缺乏对方程结构的观察，从而在方法的选择上欠佳，缺乏解决问题的灵活性，增加了计算的难度，降低了计算的准确性.为了突破这一难点，应带领学生认真观察方程的结构，对比方法的难易简便，从而选择合理的方法解决一元二次方程.

本节课的难点：学会观察方程特征，选用适当方法解决一元二次方程.

四、教学过程设计

1.创设情景，引出问题

问题一 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度(单位：m)为

.根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)?

师生活动：学生积极思考并尝试列方程，可有学生解释如何理解“落回地面”.

【设计意图】学生首先要理解实际问题背景下代数式的意义，理解落回地面的意义就是高度为零，就是表示高度的代数式的值为零，从而列出方程.在阅读并尝试回答的过程中让他们感受在生活、生产中需要用到方程，从而激发学生的求知欲.

2.观察感知，理解方法

问题二 如何求出方程的解呢?

师生活动：学生从已有的知识出发，考虑用配方法和公式法解决问题，教师再一步引导学生观察方程的结构，学生进行深入的思考，努力发现因式分解法方法解方程.

【设计意图】通过配方法和公式法的选择，更好地让学生对比感受因式分解法的简便，为本节课的教学内容做好知识上的铺垫和准备.

问题三 如果，则有什么结论?对于你解方程有什么启发吗?

师生活动：学生很容易回答有或的结论.由此进一步思考如何将一元二次方程化为两个一次式的乘积.

【设计意图】通过观察，引导学生进一步思考，发现用因式分解中提取公因式法解方程更加简便，从而学生会对方法的选择有一定的理解.

问题四 上述方法是是如何将一元二次方程降为一次的?

师生活动：学生通过对解决问题过程的反思，体会到通过提取公因式将一元二次方程化为了两个一次式的乘积的形式，得到两个一元一次方程，教师注重引导学生观察方程在因式分解过程中的变化，在学生总结发言的过程中适当引导.

【设计意图】让学生对比不同解法，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种节一元二次方程的方法叫做因式分解法.在反思小结的过程中，理解因式分解法的意义，从而引出本节课的教学内容.

3.例题示范，灵活运用

例 解下列方程

(1)

(2)

师生活动：提问：

(1)如何求出方程(1)的解呢?说说你的方法.

(2)对比解法，说说各种解法的特点.

学生积极思考，积极回答问题，对比解法的不同.

【设计意图】问题(1)的提出是开放式的，学生可能会回答将括号打开，然后利用配方法或公式法，也有些学生会观察到如果将

当作一个整体，利用提取公因式的方法直接就化为两个一次式乘积为零的形式.通过问题(2)的思考讨论，让学生体会解法的利弊，注重观察方程自身的结构.

师生活动：提问：(1)方程(2)与方程(1)对比，在结构上有什么不同?

(2)谈谈方程(2)的解法.

学生观察方程(2)与方程(1)的区别，用类比划归的思想解决问题.

【设计意图】问题(2)的方程需要先进行移项，将方程化为右侧等于零的结构，然后得到一个平方差的结构，利用平方差公式将一元二次方程化为两个一次式的乘积为零的结构.

4.巩固练习，学以致用

完成教材P14练习1，2.

【设计意图】巩固性练习，同时检验一元二次方程解法掌握情况.

5.小结提升，深化理解

问题五 (1)因式分解法的一般步骤是什么?

(2)请大家总结三种解法的联系与区别.

师生活动：学生积极思考，归纳因式分解法的一般步骤.总结各种解题方法的特点，体会各种方法的利弊，在交流的过程中加深对解一元二次方程方法的理解，教师对学生的发言给予鼓励和肯定，对于小结交流中的出现的问题及时进行引导纠正，帮助学生深入理解问题.

【设计意图】学生通过小结反思，深化对问题的理解，体会到配方法需要将方程进行配方降次，公式法需要将方程化为一般形式后利用求根公式求解;而因式分解法需要将一元二次方程化为两个一次项乘积为零的形式;另在还让学生体会到配方法和公式法适用于所有方程，但有时计算量比较大，因式分解法适用于一部分一元二次方程，但是三种方法都体现了降次的基本思想.

五、目标检测设计

解下列方程

1.

【设计意图】利用提取公因式法解方程.

2.

【设计意图】利用平方差公式解方程.

3.

【设计意图】利用因式分解法不适合的方程可选择用公式法或配方法解决.

4.

因式分解 教学设计3 篇5

第二讲 因式分解(二)

1．双十字相乘法

分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．

例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为

2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．

对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为

即

-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．

再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解

所以

原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］

=(x+2y-3)(2x-11y+1)．

上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：

http://

它表示的是下面三个关系式：

(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；

(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；

(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．

这就是所谓的双十字相乘法．

用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：

(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；

(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．

例1 分解因式：

(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；

(2)x2-y2+5x+3y+4；

(3)xy+y2+x-y-2；

(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．

解(1)

原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．

(2)

原式=(x+y+1)(x-y+4)．

(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．

http://

原式=(y+1)(x+y-2)．

(4)

原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．

说明(4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．

2．求根法

我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如

f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)

f(1)=12-3×1+2=0；

f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．

若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．

定理1(因式定理)若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．

根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．

定理2

http:// 的根，则必有p是a0的约数，q是an的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为an的约数．

我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．

例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．

分析 这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有

f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．

解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．

原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)

=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)

=(x-2)(x2-2x+2)．

解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，所以

原式=(x-2)(x2-2x+2)．

说明 在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．

例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．

http://

分析 因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±

为：

所以，原式有因式9x2-3x-2．

解 9x4-3x3+7x2-3x-2

=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2

=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2

=(9x2-3x-2)(x2+1)

=(3x+1)(3x-2)(x2+1)

说明 若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式

可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．

总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．

3．待定系数法

待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．

在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．

http://

例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．

分析 由于

(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．

解 设

x2+3xy+2y2+4x+5y+3

=(x+2y+m)(x+y+n)

=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有

解之得m=3，n=1．所以

原式=(x+2y+3)(x+y+1)．

说明 本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．

例5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．

分析 本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．

解 设

原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)

=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有

http://

由bd=7，先考虑b=1，d=7有

所以

原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．

说明 由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．

本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．

练习二

1．用双十字相乘法分解因式：

(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3；

(2)x2-xy+2x+y-3；

(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．

2．用求根法分解因式：

(1)x3+x2-10x-6；

(2)x4+3x3-3x2-12x-4；

(3)4x4+4x3-9x2-x+2．

3．用待定系数法分解因式：

http://

(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20；

因式分解优质课教学设计 篇6

----提公因式法

教学目标：

使学生明确因式分解与整式乘法之间的关系，让学生在探索中进行新旧知识的比较。

让学生经历探索因式分解的过程，理解并掌握因式分解的基本方法是提公因式法。教学重点：

掌握提公因式法进行因式分解。教学难点：

怎样进行多项式的因式分解，熟练运用提公因式法。教学过程：

创设情景，引入课题 计算下列各式：

1、(1)x(xy)xxy

(2)m(abc)mambmc

根据上面的算式填空：

2、(1)xxy()()(2)mambmc()()根据回答，引导学生观察两式的特点。

引导学生从等式的左右两边找异同点。学生不难发现第1题是整式的乘法，而第2题是把一个多项式化成了几个整式的积，他们之22间的运算是相反的，从而引出课题。

（一）自探提示：

阅读课本第39页第2-3段，思考：

1、什么是多项式的因式分解？

2、因式分解与整式乘法是什么关系？

3、什么叫公因式，什么叫提公因式法？

4、如何确定多项式各项的公因式？

5、提公因式法分解因式需要注意什么。

（二）解疑合探

教师引导学生针对自探问题进行展示，然后对思考、归纳的问题在小组内交流、讨论。

教师让学生展示，并由学生评价，老师最后补充并强调。因式分解：把一个多项式转化为几个整式积的形式（也称分解因式）

因式分解与整式乘法是互逆的（相反）。因式分解概念中要抓住二点：一是等式右边是整式乘积的形式；二是找到公因式要提出来。

（三）质疑再探

通过本节的学习，你还有哪些疑问或不懂得地方？请大胆提出来，大家帮你解决。

（四）运用拓展

1、填表

给学生3分钟的时间独立思考，然后鼓励学生说出结果，并找优等生进行评价。

并通过填表让学生发现如何确定一个多项式的公因式的方法。

2、把下列多项式因式分解。

（1）2a+2b

（2）2ac-4abc（3）(xy)(xy)

（4）

23axy6x23

启发学生先找到公因式，然后试着把公因式提取出来，找同学在黑板上板演，学生做好后，思考：你知道你因式分解的结果正确吗？如何检验正确与否呢？师生共同评价。

并引导学生从中发现提供因式法分解因式需要注意什么问题。

3、学生自编习题。根据本节所学习的知识，自己编1-2道习题，考考你的同桌，教师对比较好的习题在班内进行展示。

课堂小结：

同学们通过本节的学习，你掌握了哪些知识？学到了什么方法？然后教师进行小结。作业设计：

分解因式教学设计 篇7

数学教育理论认为数学概念教学应该注重概念产生的背景、提出(引入)过程等环节[1];数学概念学习APOS理论模型认为学生学习数学概念进行心理建构的第一阶段就是操作或活动阶段[2],即在一定背景下引入概念;在教科书的演变过程中,因式分解内容也从讲解式发展到启发式,尤其注重从实际的例子引入,以便学生理解[3]。不难看到,概念的背景和引入是概念教学非常重要的起步。至此,笔者将因式分解概念的背景介绍和引入作为备课的重点之一,让学生通过这节课体会因式分解概念学习的必要性和重要性。

一、基于概念背景的因式分解教学设计

为更好地引入因式分解这一概念的背景,笔者进行了如下的教学设计片段:

二、基于概念背景的因式分解思考

笔者将课程的引入设计为以上三重思考,通过一些例子来渗透因式分解这一概念的必要性和重要性,让学生在一个大的背景下学习因式分解概念。

1.因式分解与学科内容的逻辑关系

因式分解是对整式的一种变形,是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式,它与整式乘法是互逆变形的关系。因式分解是后续学习分式、二次根式、一元二次方程、二次函数等知识的基础,是解决整式恒等变形和简便运算问题的重要工具。因此,“思考1”的设计是想让学生体会到因式分解和后续学习的密切关系。笔者选择从分式化简的角度来引导学生思考,学生通过很容易想到了要想化简只需要将分子a2 a写成乘积的形式。

2.因式分解与实际应用

“思考2”展示了长方形草坪和长方体纸盒的设计问题:当长方形草坪的面积一定时,如何设计它的长和宽,当长方体包装盒的体积一定时,如何设计它的长、宽、高。尽管这样的设计不唯一,但学生通过12=4×3和ab=a × b也容易想到将a2-b2写成两个式子乘积的形式,将a3+2a2b+ab2写成三个式子乘积的形式,这样的问题让学生切实感受到生活中的一些实际问题也需要用到“将某个式子写成乘积的形式”,同时让学生感受因式分解有其几何背景。

3.因式分解与思维训练

在评课活动中,老师们曾提到,“思考1”和“思考2”的设计是在他们意料之中的, 但“思考3”的设计在他们意料之外。有老师问到,这样的问题学生在学完本课之后能解决吗?笔者认为“思考3”的设计目的并不是让学生一定会对n4+4进行因式分解,而是想让学生感受因式分解在数学史中的地位和作用,同时用这样一个数学史的问题引起学生的兴趣和思考,带着这个问题学完本章,在章节结束时顺其自然地解决这个问题。在实际授课过程中,笔者感受到学生对“思考1”和“思考2”的回答很流畅,而对“思考3”的回答就没那么顺畅了。笔者提示学生从具体的数入手计算,学生们行动起来,并把得到的数进行质因数分解,说明它是合数,也由此想到了是否能把n4+4也写成一些式子乘积的形式。

三、小结

至此,学生已经对“把某个式子写成乘积形式”这一变形的印象非常深刻了,此时提出因式分解的概念便水到渠成。后续教学过程就是围绕因式分解与整式乘法是互逆变形的关系归纳概括因式分解的概念,然后辨析概念,最后讲解了一种因式分解的基本方法—提公因式法。在本课的最后,笔者又回到了课程起始的三个思考,学生恍然大悟,要解决这三个问题,其实就是对a2-b2、a3+2a2b+ab2和n4+4进行因式分解。

整堂课下来,学生给笔者的感觉是他们多多少少体会到了学习因式分解概念的必要性,概念的产生也没有那么突兀。这使笔者感到这样的思考和备课是很有意义的。回顾已有学者、研究者对数学概念教学的研究,我们看到,概念的背景和引入虽然只是概念教学的一部分,但它却是概念教学非常重要的起步。在数学教科书的演变过程中,我们洞察到因式分解概念教学越来越注重从实际例子引入,从大的背景出发,启发学生思考,使概念在课堂中的产生顺理成章。

分解因式有“口诀” 篇8

一、 首先提取公因式

提取公因式是乘法分配律的逆变形．

例1分解因式：

（1）x2y（x－y）－xy2（y－x）；（2）3a2nb2m－6anb2m＋1．

解：（1）原式＝x2y（x－y）＋xy2（x－y）＝xy（x－y）（x＋y）．

（2）原式＝3anb2m（an－2b）．

点评：原式各项提取公因式后，剩余的项容易写错．它等于原有各项除以提出的公因式后所得商式．

二、 然后考虑用公式

分解因式的公式，有时可以直接应用，有时则要根据多项式的特点，把各项变形、整理后再应用．公式里的字母可以是一个数，也可以是一个单项式或多项式，因此，应用公式法的关键是掌握公式特点．

例2分解因式：a6－b6．

解：原式＝（64a6－b6）

＝（8a3＋b3）（8a3－b3）

＝（2a＋b）（4a2－2ab＋b2）（2a－b）（4a2＋2ab＋b2）．

点评：注意要分解到不可分解为止．若有分数系数，最好先提出分数，使多项式系数都变为整数．

三、 十字相乘试一试

十字相乘法，一般适用于二次三项式的分解因式．有些较复杂的多项式，经过整理化为二次三项式的形式，也可以运用此法．

例3分解因式：

（1）6a2－ab－2b2；

（2）2（a－b）2－（a－b）－6．

解：（1）[2 b

3 －2b]

原式＝（2a＋b）（3a－2b）．

（2）[1 －2

2 3]

原式＝［（a－b）－2］［2（a－b）＋3］

＝（a－b－2）（2a－2b＋3）．

点评：（1）题中要将其中一个字母（如b）看成系数，再用十字相乘法．（2）题中要把a－b看成一个字母．

四、 分组分解要合适

分组分解法必须配合以上各法，才能有效．在多项式项数多，无法用公式法时，可考虑先分组．但分组不是盲目进行的，要通过分组能提取公因式或利用公式法等．

例4 分解因式：

（1）a2－b2＋2bc－c2；

（2）x3－3x2－4x＋12．

解：（1）原式＝a2－（b2－2bc＋c2）＝a2－（b－c）2＝（a＋b－c）（a－b＋c）．

（2）原式＝（x3－3x2）－（4x－12）＝x2（x－3）－4（x－3）＝（x－3）（x2－4）

＝（x－3）（x＋2）（x－2）．

点评：分组分解，若是分组不当，分解将无法进行．如（1）题有的同学这样分组（a2－b2）＋（2bc－c2）＝（a＋b）（a－b）＋c（2b－c），分解就无法进行了．

五、 四种方法反复试，结果必是连乘式

有时分解因式需要四种方法反复运用，才能分解到底．

例5 分解因式：－2x（x2－y2＋z2）2＋8x3z2．

解：首先提取公因式，然后考虑用公式，最后考虑分组分解法．

原式＝－2x［（x2－y2＋z2）2－4x2z2］＝－2x（x2－y2＋z2＋2xz）（x2－y2＋z2－2xz）

＝－2x［（x＋z）2－y2］［（x－z）2－y2］＝－2x（x＋y＋z）（x－y＋z）（x－z＋y）（x－z－y）．

点评：分解因式的最终结果必须是几个因式乘积的形式．

用公式法分解因式教学反思（共） 篇9

反思一：用公式法分解因式>教学反思

在本学期的学校公开日，我上了题为《整式的乘除——用公式法分解因式》的公开课，效果良好。在这次活动中，我把这节课的一些感受和想法记录下来，为今后的教学积累经验。

一、课堂教学实施过程的>总结

《整式的乘除——用公式法分解因式》是八年级上册整式乘除一章中，属于因式分解的内容，本课是在学生学习了整式乘除中的平方差公式和完全平方公式的基础上提出来的，实际上是逆用平方差公式和完全平方公式进行因式分解，本课的教学目标十分明确，就是让学生会判断何时用公式法进行因式分解，并会用平方差公式分解因式。

由于各个层次学生的理解能力和接受方式有所不同，依据“非线性主干循环活动型单元教学模式”的教学理念，在备课时，我认真钻研教材，从学生的认知水平出发，编写课堂学习卷，力求做到让每个学生都能够学有所得。

因式分解虽然与整式的乘法是互逆运算，但是对于学生而言，它是一个新的知识，学生在前面的学习中虽然已经掌握平方差公式和完全平方公式，然而受思维定势的影响，学生对公式的逆用会产生混淆，学生的惯性思维是：平方差公式是?a?b??a?b??a?b，一旦22要将公式逆向，部分学生就比较难以接受，特别是学习能力较弱的学生，难度就更大一些。因此在学习卷的编写中，考虑到学生会不知道如何逆用公式，我在部分题中搭建了脚手架，降低难度，让学生在练习中轻松掌握用公式法分解因式的方法。在练习中，根据学生的个体差异，我设置A、B、C组题，有效分层，开展课内技能训练，让每个学生都学有所成。

二、及时反思

一堂课成功与否，并不取决于教师的讲授是否清晰，而是取决于学生参与课堂学习的积极程度，以及学生对知识理解和计算技能的形成。

1、本课教学是否真正达到了教学目标

从整节课的实施效果看，学生从先试后学——合作发潜——循环巩固，逐步掌握运用公式法分解因式的方法。从课堂的巡批情况和课后的作业分析情况看，学生对本课的知识掌握不是很理想，中等层次的学生能较好地完成A、B组题，能力较好的学生能做到C组题，基础较差的学生都能够完成B组大部分题，只能勉强完成了本课的教学目标。

2、遗憾之处

没有一节课能够做到真正的完美，总是会有这样那样的不足，而这些不足和遗憾，正是提升我们教学水平的动力。

遗憾之一：在复习近平方差公式和完全平方公式时，我没有把平方差公式和完全平方公式的符号表示形式写在黑板上，以便学生对比参照。

反思二：用公式法分解因式教学反思

因式分解这部分的内容是八年级数学第一学期重难点，虽然应用的公式只是三条，但要灵活应用于解题却不容易，所以我在制定这一章书的教学>计划时就对教材的教学顺序作出了一些调整。因式分解的公式是乘法公式的逆运算，所以我将因式分解提前学，在学会乘法公式后暂时略过整式的除法直接学习因式分解，我认为这样调整后可以加强公式的熟练使用；另一方面我加强乘法公式的练习巩固，在没有学习因式分解之前，先针对平方差公式以及完全平方公式的应用及逆用作了一个专题训练。在学习因式分解的这个专题训练的效果是不错的，因为平方差公式以及完全平方公式都是刚刚学习且应用较多的公式。作好这些准备工作之后，便开始学习因式分解。正式提出因式分解的定义的时候，同学们都一副明了的表情。而我也强调的就是因式分解与乘法公式是相反方向的变形，并且在练习中一再将公式罗列出来。然后讲授提公因式法、公式法（包括平方差、完全平方公式），讲课的时候是一个公式一节课，先分解公式符合条件的形式再练习，主要是以练习为重。讲课的过程是非常顺利的，这令我以为学生的掌握程度还好。讲完因式分解的新课，我随堂出了一些综合性的练习题，才发现效果是不太好的。他们只是看到很表层的东西，而对于较为复杂的式子，却无从下手。

课后，我总结的原因有以下四点：１、思想上不重视，因为对于公式的互换觉得太简单，只是将它作为一个简单的内容来看，所以课后没有以足够的练习来巩固。２、在学习过程中太过于强调形式，反而如何创造条件来满足条件忽略了。导致他们对于与公式相同或者相似的式子比较熟悉而需要转化的或者多种公式混合使用的式子就难以入手。３、灵活运用公式（特别与幂的运算性质相结合的公式）的能力较差。４、因式分解没有先想提公因式的习惯，在结果也没有注意是否进行到每一个多项式因式都不能再分解为止，比如最简单的将ａ3－a提公因式后应用平方差公式，但很多同学都是只化到a(ａ2－１)而没有化到最后结果a(a＋１)(a－１)。

因式分解是一个重要的内容，也是难点，我认为我对教材内容的调整是比较适合的，但是我忽略了学生的接受能力，也没有注意到计算题在练习方面的巩固及题型的多样化。在以后的教学中应该更多结合学生的学习情况去调整教学进度，多发现学生在学习方面的优势和不足之处。

反思三：用公式法分解因式教学反思

《整式的乘除——用公式法分解因式》是八年级上整式乘除一章中，属于因式分解的内容，本课是在学生学习了整式乘除中的平方差公式和完全平方公式的基础上提出来的，实际上是逆用平方差公式和完全平方公式进行因式分解，本课的教学目标十分明确，就是让学生会判断何时用公式法进行因式分解，并会用平方差公式和完全平方公式分解因式。

因式分解虽然与整式的乘法是互逆运算，但是对于学生而言，它是一个新的知识，学生在前面的学习中虽然已经掌握平方差公式和完全平方公式，然而受思维定势的影响，学生对公式的逆用会产生混淆，学生的惯性思维是：平方差公式是，完全平方公式是，一旦要将公式逆向，部分学生就比较难以接受，特别是学习能力较弱的学生，难度就更大一些。在练习中，根据学生的个体差异，我设置A、B、C组题，有效分层，开展课内技能训练，让每个学生都学有所成。

反思四：用公式法分解因式教学反思

本节课是因式分解第二种方法------公式法,主要是讲用平方差公式和完全平方公式分解因式.这节课的主要教学目标是让学生掌握用公式进行因式分解的方法。

本节课的总的设计思路是将整式中的乘法公式转换为因式分解中的公式,使学生能够更加容易接受和理解.这节课我的设计分为三个部分:首先是情境开头,通过整式乘法的逆变形得到分解因式的方法，让学生进一步感受到整式乘法与分解因式的互逆关系。从而引出因式分解中的平方差公式.第二部分是让学生通过小组讨论的形式总结出因式分解中平方差公式的特点以及能用平方差公式进行因式分解的多项式需要满足的条件.第三部分是通过一些例题讲解让学生掌握用公式分解因式的方法,并且让学生自己练习几道题目,在所出的习题中,前面两道题学生都能按照平方差公式和完全平方公式的方法分解,但是后两题,还用到之前学习的提公因式法,学生很容易将知识遗忘,所以教师还是要适时地点拨.第四部分是小结,是对本节课的一个总结。

分解因式教学设计 篇10

1、正确理解因式分解的概念，它与整式乘法的区别和联系.2、了解公因式概念和提公因式的方法。

3通过学生的自主探索，发现因式分解的基本方法，会用提公因式法把多项式进行因式分解.4、在探索提公因式法分解因式的过程中学会逆向思维，渗透化归的思想方法。教学重点是：因式分解的概念，用提公因式分解因式.教学难点是：找出多项式中的公因式和公因式提出后另一个因式的确定.这是一节数学常规课，没有游戏和丰富的活动，在进行新课改的今天，这节课如何体现新课改的精神，就成了我思考的重点，这节课我是这样上的：

在引入“因式分解”这一概念时是通过复习小学知识“因数分解”，因为因数分解学生已经掌握，由此提出因式分解的概念，一方面突出了多项式因式分解本质特征是一种式的恒等变形，另一方面也说明了它可以与因数分解进行类比，从而对因式分解的概念和方法有一个一整体的认识，也渗透着数学中的类比思想，此处的设计意图是类比方法的渗透。接着让学生进行练习，进一步巩固因式分解的概念。使学生进一步认识到因式分解与整式乘法的区别则通过把等号两边的式子互相转换位置而直观得出。从上面几个式子中的练习中，让学生观察属于因式分解的那几个式子的共同特点，得出公因式的概念。然后让学生通过小组讨论得到公因式的结构组成，进而总结出找公因式的方法，并且引导学生得出提取公因式法这一因式分解的方法其实就是将被分解的多项式除以公因式得到余下的因式的计算过程。此处的意图是充分让学生自主探索，合作学习。而实际上，学生的学习情绪还是调动起来了的。通过小组讨论学习，尽管语言的组织方面不够完善，但是均可以得出结论。接着通过例题讲解，使学生进一步认识到多项式可以有不同形式的表示，例题讲解的重点一是公因式的概念，如何去找公因式，二是公因式提出后，另一个因式是如何确定的。最后让学生自主完成练习题，通过练习，以达到深化理解所学内容，形成因式分解解题技能的目的，同时充分让学生暴露问题，以便查缺补漏，在学生练习之后的交流中，要注意学生出现的问题，最后作出汇总，强调运用提公因式法分解因式时，需注意的地方。然后进行课堂小结，布置作业，目的是使学生养成反思的习惯，为掌握知识、提高能力服务。

二、教学反思

课后，我认为教学目的已达到，尽管我对易错点进行了强调，但是做作业是还是出现了不少错误，说实话，以前，我会把这些学生叫过来，把这些出错的地方在给她们讲解一下，不考虑为什么会出现这样的结果。通过学习让我认识到：只有深入反思，才能提高我们的教学水平。只有深入反思，才能提高我们的课堂效率。最终得到我们的高效课堂。我觉得要想提高自己的教学水平，就要及时反思自己教学中存在的不足，在每一节课前充分预想到课堂的每一个细节，想好对应的措施，不断提高自己的教学水平。反思改变了我的看法，我们常会听到老师们抱怨“现在的学生怎么了，我讲了几遍还不会！到底该怎么办”，其实，在此之前我也经常抱怨，通过学习，我的看法发生了改变，为什么换位思考一下“我的教学中存在什么问题，为什么我讲了几遍学生还听不懂？到底是我的问题还是学生的问题”大家试想一下：时代在发展，社会在进步，人类思想在变化的，学生更不是静止不变的，每个时期的学生都有不同的思想和个性、生活方式和行为习惯、处事态度和准则。我反省：在改变学生和改变我自己的问题上我选择改变自己，因为我无权也无法改变别人，但可以改变自己。在学生反思和自己反思的问题上我选择反思自己。因为我不能反思学生的反思，但我可以反思我自己的反思。反思对教师成长也非常重要，教学反思本身就是发生在我们身边的，我们经历过的一些事情做较深入的分析。这种分析对每位老师来说，从认识到理解一些概念，从形成一些观念，到形成和改变一些行为习惯，也都是非常重要的，它有利于我们积累和丰富经验，有利于我们成长，有利于我们成为优秀教师，从而影响着一届又一届的学生。经验不是理论，更不能代替理论。要想把经验转化成理论，是要经过反思、验证、实践、理论化的过程的。而反思是这一过程的开始。所以说反思是一件对我们每位老师成长来说都是非常重要的一件事情。

如何进行因式分解 篇11

一、两项式的因式分解

两项式的因式分解,首先考虑提取公因式法,然后看它能否变形成a2-b2的形式。若能,就利用公式a2-b2=(a+b)(a-b)将其因式分解。

例1 (湖北省黄冈市)分解因式6a3-54a=______。

分析 本题是两项式的因式分解,这两项有公因式6a,把它提出后,另一个因式是a2-9,可变形为a2-b2的形式。

解 原式=6a(a2-9)=6a(a+3)(a-3)。

例2 (浙江省嘉兴市)分解因式(x+y)2-3(x+y)=______。

分析 把x+y当做一个整体,本题就是一个两项式,且这两项式有公因式可提出。

解 原式=(x+y)[(x+y)-3]=(x+y)(x+y-3)。

二、三项式的因式分解

三项式的因式分解,首先考虑提取公因式法,然后看它能否变形成a2±2ab+b2的形式。若能,就利用公式a2±2ab+b2=(a±b)2对其因式分解;若不能,再看它是否是x2+(p+q)x+pq的形式,若是,就利用公式x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)对其因式分解。

例3 (四川省内江市)分解因式-x3-2x2-x=______。

分析 本题是三项式的因式分解,这三项有公因式-x,把它提出后,另一个因式是x2+2x+1,可变形为a2+2ab+b2的形式。

解:原式=-x(x2+2x+1)=-x(x+1)2。

例4 (山东省济南市)分解因式x2+2x-3=______。

分析 注意到-3=3×(-1),且3+(-1)=2,那么本题是一个可变形成x2+(p+q)x+pq形式的三项式。

解 原式=x2+[3+(-1)]x+3×(-1)=(x+3)(x-1)。

三、四项式的因式分解

四项式的因式分解,一般要借助分组的手段。如果是二项和二项分组,分组后必定有公因式可提取,使因式分解顺利进行;如果是三项和一项分组,分组后必定可利用完全平方公式和平方差公式,使因式分解顺利进行。

例5(湖南省常德市)因式分解m2-mn+mx-nx=________。

分析 本题是四项式的因式分解,前两项有公因式m,后两项有公因式x,将它们各分为一组,分别提取公因式m和x后,另一个因式正好都是m-n。

解 原式=(m2-mn)+(mx-nx)

=m(m-n)+x(m-n)=(m-n)(m+x)。

例6 (安徽省)分解因式a2-b2-2b-1=______。

分析 后三项作为一组,它是一个完全平方的相反数,可化为-(b+1)2。这样,原式可变形为平方差形式的两项式。