《直线与平面垂直的定义与判定》教学案例

《直线与平面垂直的定义与判定》教学案例（精选10篇）

《直线与平面垂直的定义与判定》教学案例 篇1

笔者上课的时间是2010年3月9日第三节，围绕新课改的精神，如何进行课堂教学上的公开课。我校是乡下普通高中，上课的班级是高二普通班，学生基础知识十分薄弱。广西桂林市全州县石塘高级中学廖永球教学课题

2.1课题：《直线与平面垂直的定义与判定》教学案例

2.2教材：高中数学第二册（下A）人教版第九章《直线、平面、简单几何体》

中的第四节“直线与平面垂直的判定和性质”第一课时教材分析

3.1 内容分析

“直线和平面垂直的定义与判定”这一内容经修改后教学要求大大降低，将“三垂线定理及其逆定理”由“掌握”级降为“了解”级要求。强调通过直观感知、动手实践来认知和理解线面垂直的定义和判定定理，能运用定义及定理证明一些空间位置关系的简单命题。在教学内容设计上更注重实践操作和探究。

3.2 教学目标

(1)知识目标：理解和掌握直线与平面垂直的定义及判定定理。

(2)能力目标：在合作探究中发展学生几何直观能力和空间想象能力。

(3)德育目标：通过创造情境激发学生学习的兴趣与热情；鼓励合作探究、互助交流，培养创新意识。

3.3 教学重点与难点

(1)教学重点：会运用定义与判定定理证明直线与平面的垂直关系。

(2)教学难点：在正方体模型中寻找线面垂直关系并予以证明。4 教学方法与思路

本教学内容在教法设计上力求做到用教材而非教教材：1．充分利用“观察”、“思考”、“探究”等，在原有教材内容的基础上重组整合教学内容，创设开放式问题情境，给学生创造自己动手操作的机会，利用自己制作的模型分组讨论，自主探究。2．多媒体演示为学生理解和掌握几何图形性质的教学提供形象支持，有助于提高学生的几何直观能力和空间想象能力。3．学生课前准备：自由分组；三角板、正方体模型。教学过程

师：空间中直线和平面有哪几种位置关系？

生1：平行、相交、直线在平面内。

师：直线与平面的位置关系有且只有三种：直线在平面内、直线和平面相交、直线和平面平行。请欣赏图片：当把笔直的旗杆抽象成直线l，天安门广场抽象成平面，我们可以看到直线l与平面具有怎样的位置关系？

生：垂直的！

师：下面我们来学习：直线与平面垂直的定义与判定。

【探究活动一：尝试探究中生疑】

一．引出定义

师：请大家拿出一支笔，竖立在桌面上，你会发现笔与桌面呈怎样的位置关系？ 生：垂直！

师：请在桌面任取一条直线，观察此直线与竖立直线会有怎样的位置关系？

学生通过自己尝试并观察周围同学的实验操作，得出结论：无论桌面什么位置上的直线都会与竖立的直线成相交垂直或异面垂直的位置关系！

师：由此引出空间中直线和平面垂直的定义：如果一条直线垂直于平面内的任何一条直线，则这条直线与平面垂直。

二．强化定义

师：怎样可以判定一条直线和平面垂直呢？如果直线与平面内无数条直线都垂直，能否判定直线与平面垂直？

生：用桌面和笔不断进行尝试与探索，对线面垂直的定义有了深层次的理解。生2：不能。如一条直线与平面斜交。可以在平面内先找到一条与斜线垂直相交的直线，再把这条直线平移，可以得到平面内有无数条直线与斜线垂直，但很明显斜线并不与平面垂直。

师：很好！该同学抓住了句中关键字：无数！回到线面垂直的定义注意其关键字：“无数”并不等价于“任何”！由于平面内直线的任意性，给证明和判断空间中的线面垂直带来不便。于是学生在合作探究中又生一问在平面内找到多少条直线与已知直线垂直就足以判定直线与平面垂直呢？

【探究活动二：分组讨论中释疑】

让学生分组实验，大胆讨论猜想，借助桌面、笔、三角板等进行探究实验。生：只需要在平面内找两条直线与已知直线垂直就可以了。

师：是平面内的任意两条吗？

生3：必须是平面内两条相交直线！

教师用两三角板直观演示，得出结论：线不在多，相交就行！至此得到一个判定空间中直线与平面垂直的重要判定定理：当平面内两条相交直线都与直线l垂直时，就可以判断直线l与平面垂直了！

通过教师创设问题情境，学生分组合作、讨论、交流，发现并容易接受空间中线面垂直的判定定理。深化定理，加强训练学生对图形语言、文字语言、符号语言的相互转化能力。展示线面垂直的几种常见直观图的画法。

【探究活动三：】

师：线面垂直可以借助线线垂直予以证明，也体现了转化的思想。你能举出一些实际生活中的例子是借助判定定理得出线面垂直的吗？

生4：比如我们所在的教室。右前方有一条竖直的墙角线，它与前方地面一条地脚线垂直，同时与我右边地脚线也垂直，而且地面这两条地脚线是相交直线！我们由判定定理得竖直的墙角线与地面垂直！

教师引入教材中的探究问题，鼓励学生借助线面垂直的定义及判定予以说明。

【探究活动四：实验操作中新疑】

师：在正方体模型中你能找到线面垂直的位置关系吗？

生：通过模型得出结论：每条侧棱垂直于上下底面，水平的棱垂直于左右侧面。师：如果加上正方体的各条面对角线和体对角线后，你能否找到更多的线与面的垂直关系？

生5：我们组发现正方体的面对角线BD与平面ACC1A1垂直。

师：你能否证明你的结论？

师：在学生表述证明过程的同时规范板书证明格式。要证明线面垂直只需在面内找到两条相交直线，证明它们与已知直线均垂直。这是一个通过线线垂直转化证明线面垂直的方法。

生6：我们组觉得线B1D与平面A1BC1好象是垂直的！

师：这组同学猜想正方体的体对角线与三条面对角线组成的平面垂直。你们能结合线面垂直的定义和判定定理帮助他们予以证明吗？

生7：好象学生5得出的结论对我们证明学生6的猜想有所帮助！

师：非常好！你认为平面ABCD内哪一条直线既与BD相交又与它垂直？ 生8：当把正方体的右侧面放在桌面当成底面，则得到与学生7已经证出的那对线线垂直完全一样！

师：说得好！

教师及时将学生分组讨论验证的结论展示给全体学生，并鼓励学生大胆交流，表述理论根据，展现自我。当有学生在通过实验猜想体对角线与三条面对角线构成的对角面垂直时，教师引导其如何利用判定定理规范证明。在教学过程中教师必须时刻注意与学生的互动，追随学生的思维，不断调整。这也对教师的教学基本功、应变能力、数学修养等各方面提出更高要求。由于采取“猜想——证明——表达与交流”的学习模式，教师充当着合作者与促进者，与学生更为贴近，课堂气氛活跃。

【归纳总结】

本节课学习了空间中直线与平面垂直的定义和判定定理。借助线线垂直来定义线面垂直；要证明线面垂直可以借助定义和判定定理转化为证明线线垂直。在证明与判定过程中需要灵活运用转化思想，大胆猜想，小心验证。

【课后作业】

作业：课本P33：2、3、4教学反思

《直线与平面垂直的定义与判定》教学案例 篇2

一、教材分析

面面垂直是《普通高中课程标准实验教科书必修2》 (苏教版) 第一章第§1.2.4中的内容.根据学生的学习特点和学习基础, 本段内容拟用两课时进行教学, 本节课属于第一课时, 教学内容为二面角的概念与度量及平面与平面垂直的判定定理.在立体几何的空间位置关系中, 垂直是研究的重点之一 (另一个是平行) .《普通高中数学课程标准 (实验) 》中明确提出, 认识和探索几何图形及其性质的主要方法是:直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算.实际教学时拟从这几个方面引导学生感知并理解“面面垂直”.

二、学情分析

垂直关系, 学生之前已经研究过“直线与平面的垂直”, 已能初步运用垂直证明的基本方法解决问题, 在知识上已有所储备.作为美术专业学生, 他们在空间上的感知能力相对比较强, 但是数学领悟力不是很到位, 因此教学设计时尝试以实例引入, 强化基本概念的辨识与训练, 通过直观感知、操作确认的方式让学生掌握定理、概念, 培养和发展学生的空间想象能力.

设计意图:学生的学习基础是每节课授课的起点, 而教学目标则是教学的终点, 研究起点和终点的落差及达成措施便成为教学思考的重点.

三、设计理念

与以往的立体几何教学要求相比, 本模块在几何推理证明方面的教学要求大大降低了, 削弱了以演绎推理为主要形式的定理证明, 减少了定理的数量, 删去了大量的几何证明题, 淡化了几何证明的技巧.因此教学中注重突出直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算等探索研究几何的过程.涉及的数学思想主要有: (1) 数形结合思想; (2) 符号化与形式化的思想; (3) 化归思想等.涉及的一般科学方法主要有:观察、实验、归纳、类比、分析、综合、抽象等.

设计意图:学生数学学习过程是活动的过程, 需要创设情境让学生理解、认识数学实现意义建构.

四、教学目标

1.理解和掌握二面角及二面角的平面角;

2.理解和掌握直二面角的概念;

3.会求二面角的大小;

4.理解和掌握面面垂直的判定定理.

五、教学重点与难点

教学重点:二面角及二面角的平面角的概念及求法.面面垂直的判定和性质定理.

教学难点:如何度量二面角的大小;理解面面垂直的判定定理

六、教学过程设计

(一) 创设情景, 提出问题

借助对图片 (人造卫星的运行轨道与地球黄道平面的交角) 、实例 (汽车上坡时坡度不同的影响) 的观察思考, 抽象概括出二面角的定义.提出问题“如何度量二面角的大小”?

设计意图:不是简单抛出概念, 而是通过提供资源给学生观察, 抛出问题让学生思考.

(二) 师生互动, 建构数学

1. 学生分小组讨论之后自由发言, 通过回忆 (异面直线所成的角, 直线和平面所成的角) , 思考、类比, 得出二面角的度量方法———构造二面角的平面角, 用平面角的大小表示二面角的大小.

设计意图:学生活动在这段内容教学设计中得到了充分展示, 在观察比较中形成感知、归纳提炼中升华思维, 教师在学生充分讨论的基础上, 借助几何软件cabri 3D引导学生进行梳理、归纳、提炼, 让学生经历了真实的数学学习全过程, 而不是简单地应用现成的数学规则去操作数学.

2. 例1如图1, 正方体ABCD-A1B1C1D1 (1) 指出下列二面角的棱和面 (1) 二面角A1-AB-D; (2) 二面角D1-AD-B; (3) 二面角D1-AB-D; (4) 二面角C1-DB-C.

(设计意图:通过最简单的模型———正方体, 强化学生对二面角的认识, 充分理解定义)

(2) 求出以上 (1) (2) (3) 二面角的大小.

设计意图:数学应用环节在引导学生认识二面角的同时, 需要进一步引导学生进行规范表达.

3通过直观感知、操作确认, 归纳出两个平面垂直的定义“两个平面所成二面角是直角”, 得出证明两个平面垂直的第一种方法:计算二面角的大小.

例2如图1, 正方体ABCD-A1B1C1D1, 求证:平面A1ABB1⊥平面ABCD.

设计意图:体会判断两平面垂直的第一种方法:计算得出直二面角, 因不是本节课的重点, 故所有过程是通过电脑投影展示, 不需要学生写.

4. 由“瓦工师傅砌墙时用铅垂线确认墙体是否与地面垂直”的例子引导学生经历从现实的生活抽象空间图形的过程, 并以教室大门为例, 通过操作确认, 引导学生归纳、概括出两个平面垂直的判定定理.

(三) 巩固训练, 提升总结

例3如图2, 已知AB是平面的垂线, AC是平面的斜线, CDα, CD⊥AC, 求证:平面ABC⊥平面ACD.

设计意图:通过简单的应用, 强化对判定定理的掌握和运用, 要求学生上黑板班演过程, 通过讲解使学生充分理解定理的应用, 并关注细节.

七、教学反思

1.备课时的困惑在于二面角的内容和面面垂直的判定定理在课堂上的时间安排, 通过分析教材, 本人认为, 新教材现在淡化了二面角的相关内容, 所以应该更侧重在判定定理上, 但是备课下来觉得时间很难安排, 因为二面角三部分内容量相当大, 而且面面垂直的定义必须是由二面角引出的, 所以改动多次后还是把时间安排为二面角20分钟, 面面垂直的判定定理25分钟.但是实际上课下来, 二面角上用时为30分钟, 而判定定理用了10分钟.所以, 在这里还是存在困惑, 不知道究竟在讲这个内容的时候, 两部分应该怎么安排, 二面角是不是还应该讲得更少.

2.教学中利用信息技术可以充分弥补传统教学在直观感、立体感、动态感方面的不足, 有利于化解难点、突破重点.本节课根据授课内容, 我选用了cabri 3D软件, 演示空间三类角的构成和度量, 效果非常好.例题的例图展示用几何画板, 点线的增减方便直观, 为学生观察图形得出结论提供了方便.

《直线与平面垂直的定义与判定》教学案例 篇3

【关键词】高中数学 引导探究 抽象概括 培养能力

【中图分类号】G633.63 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2014）8 -0231-02

一、教学内容分析

本节课是在前面已学空间点、线、面位置关系的基础作为学习的出发点，结合有关的实物模型，通过直观感知、操作确认（合情推理，不要求证明）归纳出直线与平面平行的判定定理。本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用，特别是对线线平行、面面平行的判定的学习作用重大。

二、学生学习情况分析

任教的学生在年段属中上程度，学生学习兴趣较高，但学习立几所具备的语言表达及空间感与空间想象能力相对不足，学习方面有一定困难。

三、设计思想

遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，借助实物模型，通过直观感知，操作确认，合情推理，归纳出直线与平面平行的判定定理，将合情推理与演绎推理有机结合，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，揭示直线与平面平行的判定、理解数学的概念，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，发展学生的空间观念和空间想象力，提高学生的数学逻辑思维能力。

四、教学目标

通过直观感知——观察——操作确认的认识方法理解并掌握直线与平面平行的判定定理，掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理。培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力。让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中學习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。

五、教学重点与难点

重点是判定定理的引入与理解，难点是判定定理的应用及立几空间感、空间观念的形成与逻辑思维能力的培养。

六、教学过程设计

（一）知识准备、新课引入

提问1：根据公共点的情况，空间中直线a和平面有哪几种位置关系？

提问2：根据直线与平面平行的定义（没有公共点）来判定直线与平面平行你认为方便吗？谈谈你的看法，并指出是否有别的判定途径。

（二）判定定理的探求过程

1、直观感知

提问：根据同学们日常生活的观察，你们能感知到并举出直线与平面平行的具体事例吗？

生1：例举日光灯与天花板，树立的电线杆与墙面。

生2：门转动到离开门框的任何位置时，门的边缘线始终与门框所在的平面平行（由学生到教室门前作演示），然后教师用多媒体动画演示。

[学情预设：此处的预设与生成应当是很自然的，但老师要预见到可能出现的情况如电线杆与墙面可能共面的情形及门要离开门框的位置等情形。]

2、动手实践

教师取出预先准备好的直角梯形泡沫板演示：当把互相平行的一边放在讲台桌面上并转动，观察另一边与桌面的位置给人以平行的感觉，而当把直角腰放在桌面上并转动，观察另一边与桌面给人的印象就不平行。又如老师直立讲台，则大家会感觉到老师（视为线）与四周墙面平行，如老师向前或后倾斜则感觉老师（视为线）与左、右墙面平行，如老师向左、右倾斜，则感觉老师（视为线）与前、后墙面平行（老师也可用事先准备的木条放在讲台桌上作上述情形的演示）。

[设计意图：设置这样动手实践的情境，是为了让学生更清楚地看到线面平行与否的关键因素是什么，使学生学在情境中，思在情理中，感悟在内心中，学自己身边的数学，领悟空间观念与空间图形性质。]

3、探究思考

（1）上述演示的直线与平面位置关系为何有如此的不同？关键是什么因素起了作用呢？通过观察感知发现直线与平面平行，关键是三个要素：①平面外一条线 ②平面内一条直线 ③这两条直线平行。

（2）如果平面外的直线a与平面内的一条直线b平行，那么直线a与平面平行吗？

4、归纳确认：（多媒体幻灯片演示）

直线和平面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线和这个平面平行。

简单概括：（内外）线线平行线面平行

作用：判定或证明线面平行。

关键：在平面内找（或作）出一条直线与面外的直线平行。

思想：空间问题转化为平面问题。

（三）定理运用，问题探究（多媒体幻灯片演示）

1、想一想：

（1）判断下列命题的真假？说明理由：

①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与平面平行（ ）

②过直线外一点可以作无数个平面与这条直线平行（ ）

③一直线上有二个点到平面的距离相等，则这条直线与平面平行（ ）

2、作一作：

设a、b是二异面直线，则过a、b外一点p且与a、b都平行的平面存在吗？若存在请画出平面，不存在说明理由？

先由学生讨论交流，教师提问，然后教师总结，并用准备好的羊毛针、铁线、泡沫板等演示平面的形成过程，最后借多媒体展示作图的动画过程。

[设计意图：这是一道动手操作的问题，不仅是为了拓展加深对定理的认识，更重要的是培养学生空间感与思维的严谨性。]

3、证一证：

例1（见课本60页例1）：已知空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，求证：EF || 平面BCD。

变式一：空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA中点，连结EF、FG、GH、HE、AC、BD请分别找出图中满足线面平行位置关系的所有情况。

变式二：在变式一的图中如作PQ EF，使P点在线段AE上、Q点在线段FC上，连结PH、QG，并继续探究图中所具有的线面平行位置关系？（在变式一的基础上增加了4组线面平行），并判断四边形EFGH、PQGH分别是怎样的四边形，说明理由。

[设计意图：设计二个变式训练，目的是通过问题探究、讨论，思辨，及时巩固定理，运用定理，培养学生的识图能力与逻辑推理能力。]

（四）总结

先由学生口头总结，然后教师归纳总结（由多媒体幻灯片展示）：

1、线面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与这个平面平行。

2、定理的符号表示：简述：（内外）线线平行则线面平行

3、定理运用的关键是找（作）面内的线与面外的线平行，途径有：取中点利用平行四边形或三角形中位线性质等。

七、教学反思

本节课的设计遵循“直观感知——操作确认——思辩论证”的认识过程，注重引导学生通过观察、操作交流、讨论、有条理的思考和推理等活动，从多角度认识直线和平面平行的判定方法，让学生通过自主探索、合作交流，进一步认识和掌握空间图形的性质，积累数学活动的经验，发展合情推理、发展空间观念与推理能力。

《直线与平面垂直的定义与判定》教学案例 篇4

一、选择题

1．两异面直线在平面α内的射影（）A．相交直线B．平行直线

C．一条直线—个点D．以上三种情况均有可能 2．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面（）A．有且只有—个B．可能存在也可能不存在 C．有无数多个D．—定不存在3．若平面α的斜线l在α上的射影为l′，直线b∥α，且b⊥l′，则b与l（）

A．必相交B．必为异面直线C．垂直D无法确定 4．如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的位置关系是（）．

A.互相垂直 B.互相平行 C.一定相交 D.平行或相交 5．已知平面，直线l，直线m，lm，则l与的位置关系是（）． A．l B．l// C．l

D．以上都有可能

6．过平面外一点P：①存在无数个平面与平面平行；②存在无数个平面与平面垂直；③存在无数条直线与平面垂直；④只存在一条直线与平面平行．其中正确的是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个 7．在二面角-l-的一个面内有一条直线AB，若

AB与棱l的夹角为45，AB与平面所成的角为30，则此二面角的大小是（）．

A．30

B．30

或150C．45D．45或135

8下列命题

①平面的每条斜线都垂直于这个平面内的无数条直线；②若一条直线垂直于平面的斜线，则此直线必垂直于斜线在此平面内的射影；

③若平面的两条斜线段相等，则它们在同一平面内的射影也相等；

④若一条线段在平面外并且不垂直于这个平面，则它的射影长一定小于线段的长．

其中，正确的命题有（）

A．1个B．2个C．3个D.4个

二、填空题

9．正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角DA1C1B的大小是________．

10．在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有____________个．

11.已知二面角ABCD、ACDB、ABDC都相等，则A点在平面BCD上的射影是BCD的___心． 12．、、是相交于点O，且两两垂直的三个平面，点P到、、的距离分别为4cm，6cm，12cm，则PO=________．

三、解答题

13．在四面体SABC中，ASC90，ASBBSC60，SASBSC，求证：平面ASC平面ABC

14如图，在长方体AC1中，已知AB＝BC＝a，BB1＝b（b＞a），连结BC1，过Bl作B1E⊥BC1交CC1于E，交BC1于Q，求证：AC1⊥平面EBlD1

两直线垂直与平行的判定教学设计 篇5

授课类型：新授课

授课对象：高二（1）班 教学目标：

1、充分掌握判定两直线平行的条件，能判断两直线是否为重合或平行

2、能利用两直线平行的判定条件解决一些简单的平面解析几何问题

3、掌握判定两直线垂直的判定条件，能利用判定条件解决一些平面解析几何问题

4、在探究斜率与两直线位置关系的过程中，体会分类讨论的重要思想，感受数学的严谨性

教学重点、难点：

1、当两直线的斜率都不存在时，两直线平行，且前提为两直线不重合2、两直线垂直的判定条件的推导

3、渗透分类讨论的重要数学思想

教具：多媒体课件三角板

教学方法：讲授法探究法

教学进程：

一、知识回顾导入新课

1、倾斜角（定义、范围）

2、斜率kktan(90)

3、斜率公式P1(x1,y1),P2(x2,y2)k0y2y1(x1x2)x2x

1问：平面上两条直线有几种位置关系呢？

①平行②相交③重合（）

平行与垂直是两直线的特殊的位置关系，那这节课我们就来学习“两条直线平行与垂直的判定”

二、新课讲授

1、两直线平行的判定

已知一条直线倾斜角，不能确定这条直线的位置，可以任意平移直线l1，任意作直线l2，得到

l1//l2问：不重合的两直线，倾斜角相等，两直线有什么位置关系呢？（平行）

两条不重合的直线因此，我们得到：当l1和l2是，12l1//l

2问：如果两条直线互相平行，它们的倾斜角满足什么关系呢？（用PPT展示动态图画）

我们得到：若两直线平行，它们的倾斜角相等。也即12l1//l2

两条不重合的直线※结论：当l1和l2是

时，12l1//l2（互为充要条件），由12我们可以得到什么？

两条不重合的直线问：若没有前提条件l1和l2是

（学生回答平行或重合，这里要强调两直线重合的位置关系，并且和学生说明如果没有特殊说明，说两条直线l1和l2时，一般指两条不重合的直线）问：若两直线平行时，它们的斜率满足什么关系呢？

（这时要反复演示直线转动过程

ppt，让学生注意到当）

l1和l2同时垂直于x轴时的特殊情形

学生会注意到当1290时，l1//l2，而此时直线的斜率k不存在在时呢？l1//l2,斜问：那当两直线斜率k1,k2存率k1,k2满足什么关系呢

此时，l1//l212tan1tan2k1k2？

问：反过来，由k1k2能否得到l1//l2的位置关系？我们首先要考虑什么？

（先排除两直线l1和l2重合的可能），当两条不重合的直线的斜率k1k2时，k1k2tan1tan212l1//l2

※结论：两条直线不重合且斜率都存在时，l1//l2k1k2（充要条件）

练习

1、判断题⑴l1//l2是

12的充要条件（×）

⑵若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行（×）⑶l1//l2是k1

k2的充要条件（×）

例

1、已知直线l1的倾斜角是450，且过定点（1,1），l2是经过两点A（x,1）,B(4,3)的直线，满足l1//l2,求x的值

分析：由题设可知，两直线的斜率k1和k2都存在，且l1和l2是两条不重合的直线，要满足l1//l2，只要使k1k2成立即可。

解：

设直线l1的斜率为k1,直线l2的斜率为k2,有k1tan451,k2则

x8

2两直线垂直的判定

刚刚讨论了两直线平行时的情况，那两直线垂直又怎么样

问：类比平行的情况，我们是从倾斜角1和2出发的，进而讨论平行的情况。那这里我们是否也可以从倾斜角

1、2出发呢？那我们首先要找到这两条直线的倾斜角

（讨论垂直判定的时候，要让学生类比平行的情况，思考从何入手，启发学生思考如何找到垂直判定的条件）

· 由图我们可看到直线l1,l2与x

关系式

314

4因为l1//l2,则有k1k2,即1 4xx4x4

2

1900

问：那它们的斜率呢？首先要考虑它们的斜率是否存在？

（学生可能会忽视斜率的存在性这一重要条件，虑斜率是否存在，强调分类讨论的思想）

◎ 当一条直线的斜率不存

在，一条直线的斜率为0时，即

k1不存在，k20或k10,k2不

存在时，满足l1l

2问：那当两条直线的斜率都存在时呢？（首先来看看特殊情况）

学生分小组分别计算直线l1和l2的斜率k1、k

2k11,k2

1k1,k2

3k13,k2

问：你们发现了什么？

(学生们会发现k1k21)

问：猜想一下，当两条直线的斜率都存在时，如果l1l2,那么它们的斜率会满足什么关系呢？

（学生会猜想k1k21）

·为了验证这一猜想，我们来看看一般情况： 不妨设01900，则90021800，直线l1的斜率为k1tan1,直线l2的斜率为k2tan2

因

为

当

l1l2

时有

21900，所以

sin(1900)cos11

k2tan2tan(190)0

cos(190)sin1tan1

则有k1k2tan1()1 tan1

所以我们有当两条直线的斜率都存在时，l1l2k1k21

问：那么反过来，当两条直线的斜率满足k1k21时，此时l1与l2又有怎么样的位置关系呢？

（鼓励学生自己动手进行探究）

当k1k21时，即tan1tan21，则有tan2，而我们已推导公式tan1

sin(1900)cos11，所以有tan2tan(190)0

cos(190)sin1tan1

tan(1900)，因为902180，0190，结合正切函数在0,上的函数图象，可得到

21900

即l1l2

所以当两条直线的斜率之积为1时，我们可以推出这两条直线垂直

※结论：当两条直线的斜率k1,k2都存在且不为0时，l1l2k1k21 练习：

1、判断题

⑴若两条直线的斜率之积为1，则这两条直线一定垂直（√）

⑵l

1l2是k1k2的充要条件（×）

例

2、已知A（5，1）,B（1,1），C（2,3）三点，试判断

分析：首先在平面直角坐标系中画出图形，由图进行猜想ABBC,即为直角三角形

在学习本节课内容前，学生们可能会想到：①平面向量法

0即可证明ABBC

②余弦定理（勾股定理）（ABBCcosB

ABC的形状

x

AC

BCABAC

2BCAB

· 用今天这节课的内容又怎么做呢？

要证明两直线AB 和直线BC垂直，只要求出这两条直线的斜率，它们的斜率之积等于1 解：

设直线AB斜率为kAB,直线BC斜率为kBC，1113

1,kBC251221以kABkBC1，即有ABBC所

kAB

所以ABC为直角三角形

课堂小结：

1、两直线平行的判定条件

12l与l

l1//l

2合2重

l1//l2k1k2的前提条件是两条直线的斜率都存在，且两条直线不重合2、两直线垂直的判定条件

当一条直线的斜率不存在，一条直线的斜率为

时，即

k1不存在，k20或k10,k2不存在时，这两条直线垂直

当两条直线的斜率k1,k2都存在且不为0时，l1l2k1k2

1作业:教材P896

P907、8、1、2、6

板书设计：

§3.1.2 两直线平行与垂直的判定

一、两直线平行的判定

1、12l1//l2或l1和l2重合例

12、l1与l2是两条不重合直

线



当

k1、k2不存在时，12

l

l1//l21

21//l2

当 k1、k2都存在时，k1k2tan1tan2l1//l2k1k2

二、两直线垂直的判定

当k10,k2不存在时

l1l2

当k1和k2都存在且不为

0时k2tan2tan(1900)

l1

sin(0190)1l2k1k2cos(0cos1

 190)sin1



1tan1

k1k2

两条直线平行与垂直的判定练习 篇6

1.l1与l2是两条不同的直线，下列正确命题的个数为（）①若l1//l2，则斜率相等； ②若斜率相等，则l1//l2； ③若l1//l2，则倾斜角相等； ④若倾斜角相等，则l1//l2。

A.0个B.1个C.2个D.3个 2.直线ax2y20与直线3xy20平行，则a()

A.－3B.－6C.32

2D.3

3.若直线axy10和直线2xby10垂直，则a,b满足()A.2ab0B.2ab0C.ab20D.ab20 4.直线l1的倾斜角为30°，直线l1l2，则直线l2的斜率为()A.3B.－3C.3D.－3

5.已知两点A(2,0),B(0,4)，则下列与直线AB垂直的直线为()A.2xym0B.2xym0C.x2ym0D.x2ym0 6.判断下列两条直线的位置关系

（1）l1的方程为y2x1，l2经过点A1,3，B4,9（2）l1的方程为y2x1，l2经过点A(1,2)，B(4,8)

（3）l1的倾斜角为45，l2的方程是xy1（4）l1经过点M(1,0),N(4,5)，l2过点R4,0，S-1,37.两直线x2yk0(kR)和5x10y70的位置关系是.8.求经过点(2,1)，且与直线2xy100垂直的直线l的方程．

9.判断四边形ABCD的形状，其中A(1,1)，B(2,3),C(1,0),D(2,2)．

《直线与平面垂直的定义与判定》教学案例 篇7

A、如果两条直线平行，则它们的斜率相等

B、如果两条直线垂直，则它们的斜率互为负倒数

C、如果两条直线的斜率之积为－1,则两条直线垂直

D、如果两条直线的斜率不存在,则该直线一定平行与y轴

2、下列多组点中，三点共线的是()

A.(1，4)，(—1，2)，(3，5)B.(—2, —5),(7,6),(—5,3)C.(1,0),(0,1),(7，2)3D.(0，0)，(2，4)，(—1，3)

3、若三点A(3，1)，B(-2，b)，C(8，11)在同一直线上，则实数b等于()

A.2B.3C.9D.-94、顺次连结A(-4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(-3，0)四点所组成的图形是()

A.平行四边形B.直角梯形C.等腰梯形D.以上都不对

5、直线l1的倾斜角为30,直线l1⊥l2,则直线l2的斜率为______，若l1//l2，则直线l2的斜率为______。

6、已知过点A(2,m)和B(m,4)的直线与斜率为2的直线平行,则m的值为_____

7、已知直线l1的斜率为3,直线l2过点A(1,2),B(2,a),若l1∥l2,则a值为_______

若l1⊥l2,则a值为_________

8、已知点P(3,m)在过点M(2,-1)和N(-3,4)的直线上,则m的值是______

9、已知A(2,3)，B(-4,0)，P(-3,1)，Q(-1,2)，试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论。

10、已知A(-6,0),B(3,6),P(0,3),Q(6,-6),试判断直线AB与PQ的位置关系.11、已知四边形ABCD的四个顶点分别为 A(0,0)，B(2,-1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明。

12、已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3)三点,试判断△ABC的形状

《直线与平面垂直的定义与判定》教学案例 篇8

面平行的判定》

一、教学内容分析 本节教材选自人教A版数学必修②第二章第一节课，本节内容在立几学习中起着承上启下的作用，具有重要的意义与地位。本节课是在前面已学空间点、线、面位置关系的基础作为学习的出发点，结合有关的实物模型，通过直观感知、操作确认(合情推理，不要求证明)归纳出直线与平面平行的判定定理。本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用，特别是对线线平行、面面平行的判定的学习作用重大。

二、学生学习情况分析 任教的学生在年段属中下程度，学生学习兴趣较高，但学习立几所具备的语言表达及空间感与空间想象能力相对不足，学习方面有一定困难。

三、设计思想 本节课的设计遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，借助实物模型，通过直观感知，操作确认，合情推理，归纳出直线与平面平行的判定定理，将合情推理与演绎推理有机结合，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，揭示直线与平面平行的判定、理解数学的概念，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，发展学生的空间观念和空间想象力，提高学生的数学逻辑思维能力。

四、教学目标 1.知识与技能(1)掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理。(2)培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力。进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力。2.过程与方法 学生通过观察图形，借助已有知识，掌握直线与平面平行的判定定理。3.情感态度与价值观(1)让学生亲身经历数学研究过程，体验创造激情，享受成功喜悦，感受数学魅力。(2)培养学生逻辑思维能力的同时，养成学生办事认真的习惯和实事求是的精神。

五、教学重点与难点(1)重点：直线和平面平行的判定定理的探索过程及应用。(2)难点：判定定理的应用及立几空间感、空间观念的形成与逻辑思维能力的培养。

六、教学过程设计(一)知识准备、新课引入 提问1：根据公共点的情况，空间中直线a和平面有哪几种位置关系?并完成下表：(多媒体幻灯片演示)位置关系 公共点 符号表示 图形表示 我们把直线与平面相交或平行的位置关系统称为直线在平面外，用符号表示为a 提问2：根据直线与平面平行的定义(没有公共点)来判定直线与平面平行你认为方便吗?谈谈你的看法，并指出是否有别的判定途径。设计意图：通过提问，学生复习并归纳空间直线与平面位置关系引入本节课题，并为探寻直线与平面平行判定定理作好准备。(二)判定定理的探求过程 1.直观感知 提问：根据同学们日常生活的观察，你们能感知到并举出直线与平面平行的具体事例吗? 生1：例举日光灯与天花板，树立的电线杆与墙面。生2：门转动到离开门框的任何位置时，门的边缘线始终与门框所在的平面平行(由学生到教室门前作演示)，然后教师用多媒体动画演示。学情预设：此处的预设与生成应当是很自然的，但老师要预见到可能出现的情况如电线杆与墙面可能共面的情形及门要离开门框的位置等情形。2.动手实践 教师取出预先准备好的直角梯形泡沫板演示：当把互相平行的一边放在讲台桌面上并转动，观察另一边与桌面的位置给人以平行的感觉，而当把直角腰放在桌面上并转动，观察另一边与桌面给人的印象就不平行。又如老师直立讲台，则大家会感觉到老师(视为线)与四周墙面平行，如老师向前或后倾斜则感觉老师(视为线)与左、右墙面平行，如老师向左、右倾斜，则感觉老师(视为线)与前、后墙面平行(老师也可用事先准备的木条放在讲台桌上作上述情形的演示)。设计意图：设置这样动手实践的情境，是为了让学生更清楚地看到线面平行与否的关键因素是什么，使学生学在情境中，思在情理中，感悟在内心中，学自己身边的数学，领悟空间观念与空间图形性质。3.探究思考(1)上述演示的直线与平面位置关系为何有如此的不同?关键是什么因素起了作用呢?通过观察感知发现直线与平面平行，关键是三个要素：①平面外一条线 ②平面内一条直线 ③这两条直线平行(2)如果平面外的直线a与平面内的一条直线b平行，那么直线a与平面平行吗? 4.归纳确认：(多媒体幻灯片演示)直线和平面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线和这个平面平行。简单概括：(内外)线线平行线面平行 符号表示： 作用：判定或证明线面平行。关键：在平面内找(或作)出一条直线与面外的直线平行。思想：空间问题转化为平面问题(三)定理运用，问题探究(多媒体幻灯片演示)1.想一想：(1)判断下列命题的真假?说明理由： ①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与平面平行()②过直线外一点可以作无数个平面与这条直线平行()③一直线上有二个点到平面的距离相等，则这条直线与平面平行()(2)若直线a与平面内无数条直线平行，则a与的位置关系是()A、a∥ B、a C、a∥或a D、学情预设：设计这组问题目的是强调定理中三个条件的重要性，同时预设(1)中的③学生可能认为正确的，这样就无法达到老师的预设与生成的目的，这时教师要引导学生思考，让学生想象的空间更广阔些。此外教师可用预先准备好的羊毛针与泡沫板进行演示，让羊毛针穿过泡沫板以举不平行的反例，如果有的学生空间想象力强，能按老师的要求生成正确的结果则就由个别学生进行演示。2.作一作： 设a、b是二异面直线，则过a、b外一点p且与a、b都平行的平面存在吗?若存在请画出平面，不存在说明理由? 先由学生讨论交流，教师提问，然后教师总结，并用准备好的羊毛针、铁线、泡沫板等演示平面的形成过程，最后借多媒体展示作图的动画过程。设计意图：这是一道动手操作的问题，不仅是为了拓展加深对定理的认识，更重要的是培养学生空间感与思维的严谨性。

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《直线与平面垂直的定义与判定》教学案例 篇9

一 学习目标

1．掌握线段垂直平分线的性质与判定方法。

2．在动手感悟、总结、证明中感受知识的产生于发展过程。3．能应用线段垂直平分线的性质与判定解决简单问题。

二 学习重点

掌握线段垂直平分线的性质与判定方法，能应用解决简单问题。

三 学习难点

线段垂直平分线的性质与判定的由来以及应用。

四 教学过程

（一）课前检测

（学生独立完成，小组核对答案）

和点P（－3，2）关于y轴对称的点是（）1.A.（3，2）

B.（－3，2）C.（3，－2）

D.（－3，－2）

下列英文字母属于轴对称图形的是（）

2.、N B、S C、L D、E A 3．如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是）（，折痕所在的直线叫做（）

4．在对称图形中，对称轴两侧相对的点到对称轴的（）

对称轴_______连结两个对称点之间的线段（引出课题）5.（二）动手感悟

1．动手操作，猜想结论（让学生阅读教材相关内容，后说一说如何做一条线段的垂直平分线，简要做法，然后会做的自己按步骤完成，不会的跟着老师的演示完成，中间调控时间，让学生有足够的时间思考。）

（1）任意画一条线段AB，利用尺规画出这条线段的垂直平分线。

2）在垂直平分线上任取一点C，连接CA，CB（（3）沿垂直平分线对折，观察CA,CB的数量关系？（4）你能用一句话来描述刚刚操作观察得出的结论吗？（慢慢把语言趋于简练和准确）

结论：

线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等。思考：这个结论成立吗？你能证明吗？（先独立思考，再小组讨论）2．总结线段垂直平分线的性质，写出符号语言表达（结合图形，对性质进行理解）

3．你能写出此性质的逆命题吗？它成立吗？

（1）先写出逆命题，小组内进行核对，全班检查。后根据写出的逆命题，画出图形，写出已知，求证。

（2）思考如何证明？四人小组内解析，讲解。（3）形成结论：

线段垂直平分线的判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。（画出图形，用符号语言来表示，进一步理解）

（三）基础过关（学生独立完成，核对答案）

A．20°

B．22.5°

C．25°

D．30° 4.如图：Rt△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，∠CAD：∠DAB=2：1，则∠B的度数为（）1．三角形三边的垂直平分线交于一点，且这点到三个顶点的距离_________．

2．到线段两端距离相等的点在这条线段的______．

3．已知线段AB外两点P、Q，且PA=PB，QA=QB，则直线PQ与线段AB的关系是____

（四）巩固提升（学生先独立思考，据情况进行小组讨论交流）1.如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（）

A．ED=CD

B．∠DAC=∠B

C．∠C＞2∠B

D．∠B+∠ADE=90°

∠CAD=10°，则∠ACB=（）

A．80°

B．90°

C．100°

D．110°

2.线段AB外有两点C，D（在AB同侧）使CA=CB，DA=DB，∠ADB=80°，3.已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6,AC=10，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，求△ABE的周长。

（五）学以致用

1.威海市政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等。

（以A、B、C三点为顶点的三角形三边垂直平分线的交点）

2.在烟威高速公路L的同侧，有两个化工厂A、B，为了便于两厂的工人看病市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？（AB垂直平分线与公路L的交点）（将实际问题转化为数学问题进行解答，渗透建模思想。）

（六）畅所欲言

这节课你有什么收获？给同学一点温馨提示

（七）布置作业

五 板书设计

六 教学反思

线段的垂直平分线

《直线与平面垂直的定义与判定》教学案例 篇10

2、过程与方法：（1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；（2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识。

二、教学重点、难点

重点：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系。

难点：用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。

三、学法与教法

1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考等，较好地完成本节课的教学目标。

2、教法：观察类比，探究交流。

四、教学过程

（一）复习引入：空间两直线的位置关系：（1）相交；（2）平行；（3）异面

2.公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行 推理模式： ．

3.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

4.等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.5.空间两条异面直线的画法

6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。推理模式： 与 是异面直线

7．异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点 作直线，所成的角的大小与点 的选择无关，把 所成的锐角（或直角）叫异面直线 所成的角（或夹角）．为了简便，点 通常取在异面直线的一条上

8．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线 垂直，记作 ．

（二）研探新知

1、引导学生观察、思考身边的实物，从而直观、准确地归纳出直线与平面有三种位置关系：

（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点

（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点

（3）直线在平面平行 —— 没有公共点

指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示

a α a∩α=A a∥α

例1下列命题中正确的个数是（）

?内，则L∥?⑴若直线L上有无数个点不在平面

内的任意一条直线都平行?平行，则L与平面?(2)若直线L与平面

（3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行

内任意一条直线都没有公共点?平行，则L与平面?（4）若直线L与平面

（A）0(B)1(C)2(D)

32、探析平面与平面的位置关系：

① 以长方体为例，探究相关平面之间的位置关系？ 联系生活中的实例找面面关系.② 讨论得出：相交、平行。

→定义：平行：没有公共点；相交：有一条公共直线。→符号表示：α∥β、α∩β＝b

→举实例：…

③ 画法：相交：……。平行：使两个平行四边形的对应边互相平行

④ 练习： 画平行平面；画一条直线和两个平行平面相交；画一个平面和两个平行平面相交

探究：A.分别在两平行平面的两条直线有什么位置关系？

B.三个平面两两相交，可以有交线多少条？ C.三个平面可以将空间分成多少部分？

D.若，则

（三）、巩固练习

1．选择题，则a∥b??，b? ④若a∥?，则a∥?，则a∥b ③若a∥b，b∥?，b∥? ②若a∥?，则a∥??表示平面）①若a∥b，b?（1）以下命题（其中a，b表示直线，其中正确命题的个数是（）

（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个，则直线a，b的位置关系①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交.其中可能成立的有（）?，b∥?（2）已知a∥

（A）2个（B）3个（C）4个（D）5个的位置关系一定是（）?的距离都是a，则直线AB和平面?外有两点A、B，它们到平面?（3）如果平面

??（A）平行（B）相交（C）平行或相交（D）AB

=l，则l（）?∩?，?，n∥平面?（4）已知m，n为异面直线，m∥平面

（A）与m，n都相交（B）与m，n中至少一条相交

（C）与m，n都不相交（D）与m，n中一条相交

教材P51 练习学生独立完成后教师检查、指导

（四）归纳整理、整体认识

教师引导学生归纳，整理本节课的知识脉络，提升他们掌握知识的层次。

（五）作业：

1、让学生回去整理这三节课的内容，理清脉络。