数学教案－曲线和方程

数学教案－曲线和方程

数学教案－曲线和方程 篇1

我叫韩杨，今天我说课的课题是《曲线和方程》的第一课时。下面我将从教材分析、教学目标、教学重难点、教法和学法、教学过程和教学效果等六个方面加以分析和说明。

一、教材分析

《曲线和方程》是人教版高中数学第二册上册第七章第五小节的内容。本节课的主要内容是了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，学会求解曲线的方程，因为学生已有了用方程表示曲线的感性认识，特别是二元一次方程表示直线，现在要进一步研究平面内的曲线和含有两个变量的方程之间的关系，是由直观表象上升到抽象概念的过程。它既是对前一节线性规划知识的延伸和发展，也为下一节圆的方程打下了基础，起到了承上启下的作用。

二、教学目标

根据教学大纲的要求和高中学生的认知规律，以及新课标对教育目标的定位，我将本节课的教育目标确定为以下三点：

►知识与技能目标：初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；学会根据已有的情景资料找规律，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。►过程与方法目标

（1）通过直线方程的复习引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的直观认识；

（2）在形成曲线和方程概念的过程中，学生经历观察，分析，讨论等数学活动过程，探索出结论并能有条理的阐述自己的观点；

（3）能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识。

►情感态度与价值观目标；课堂中，通过对问题的自主探究，培养学生的独立意识和独立思考能力；在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理，乐于创新的情感需求，引发学生强烈的求知欲。

三、教学的重难点

根据数学新课标标准，我确定本节课的重点是“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念。为强化其认识，决定用集合相等的概念来解释曲线和方程的对应关系，并以此为工具来分析实例，这将有助于学生的理解，有助于学生通其法、知其理。

教学难点是怎样利用定义验证曲线是方程的曲线、方程是曲线的方程。因为学生在作 业中容易犯想当然的错误，通常在已知曲线建立方程的时候，不验证方程的解为坐标的点在曲线上，就断然得出所求的是曲线的方程。为了突破难点，本节课将通过例题让学生体会“二者”缺一不可的性质。四：教法和学法分析

数学是一门培养和发展人的思维的重要学科。因此，在教学中，不仅要让学生“知其然”，还要“知其所以然”，这也是我小学数学老师经常给我们说的一句话。新课标指出，学生是教学的主体，教师的教应从学生的认知规律出发，以学生活动为主线，在原有知识的基础上，构建新的知识体系。学是中心，会学是目的。本节课主要板书的形式，教给学生“动手画、动脑想、善分析、善总结”的研讨式学习方法，教给学生主动思考问题、主动解决问题的方法，这样才能使学生产生一种成就感，从而提高学习数学的兴趣。五：教学过程

对于45分钟的课堂，我做了以下时间安排: 课题引入约5分钟，讲授新课约20分钟，练习巩固约13分钟，课堂小结约5分钟，作业布置约2分钟。

因为还没有正式的成为老师，没有教学经验，对课堂的时间把握不是很准确，所以拟定了时间安排，希望对教学过程有所帮助，做到合理安排时间，下面我从六个方面介绍一下我的教学过程。

1、设置情境——提出课题

在本节课之前，学生已经学习过直线的各种方程，建立了二元一次方程与直线的对应关系。所以这节课首先让学生先画出方程xy0表示的直线，借助图形让学生再一次从直观上深刻体会方程的解与直线上的点一一对应关系。在巩固已有知识的前提下再提出：对任意曲线和二元方程是否都能建立这种等价关系呢？从而引出本节课的内容：曲线和方程。通过提问的方式有助于吸引学生的注意力，激发他们强烈的好奇心和求知欲，给学生搭建起一个探究和实践的平台． 2.讲授新课

通过前面已经学过的圆、抛物线、再推广到任意曲线，借助图形让学生体会到对任意曲线的解和方程的解都能建立一一对应关系，从而得出“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义。

问题2：如果概念中的两点少一点，是否也满足曲线上的点与方程的解的一一对应关系呢？

通过提问，引导学生对得到的结论要给予更多的思考，帮助他们提高认识，这也是概念 教学中学生理解概念的要点，给学生较多的时间互相探究问题和讨论解决问题。

找一下不同时满足两个条件的反例，通过反例的讲解，让学生自己总结得出: 要想满足曲线上的点与方程的解的一一对应关系，概念中的两点缺一不可。在概念教学中，通过反例的反衬，常常起着帮助学生理解概念的作用。

3、练习巩固

找一些典型例题让学生进行练习，做题过程中，要求学生独立思考，抽点几位学生到黑板上写出自己的答题过程，其他学生也独立完成，完成后，再抽点几个同学上台进行检查，错误的地方加以修改。这样既能让学生积极参与，增强学生的注意力，也能对解答中容易出错的地方加深印象。

4、课堂小结

本节课通过对实例的研究，掌握了“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义，在领会定义时，要牢记定义中（1）、（2）两点缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，两者都满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性。小结时才提出“必要性”与“充分性”的问题，使学生的认识再上一个台阶，另一点意在建立“解析几何”的基本思想，使之逐步转变为学生的思想。5.布置作业

书本习题7.5第2题、第3题、第5题、第6题。

作业要求：允许学生对不会做的题目可以不做，但要分析出不会做的症结所在，这样做的目的在于既可以避免抄袭现象的产生，也可以让学生自己分析出知识的薄弱点，由被动学习变成主动学习，增强学习兴趣。

6、板书设计

力求简明清楚，重点突出，加深学生对重点知识的理解和掌握，有利于提高教学效果。

曲线与方程

公式推导 例题 练习六．教学效果分析

本节课在引导学生探究的过程中，关注学生的认知心理过程，重视学生学习过程中的参与度、自信心以及独立思考能力。教学过程中注重层次性，对基础薄弱的学生多给他们创造机会，力争每一个层次的学生都能有机会得到积极的评价，因为这是让他们保持自信，爱好数学的最佳培养时机。

数学教案－曲线和方程 篇2

这个定义, 实质上是曲线C上的点的坐标与方程f (x, y) =0的解之间的一种一一对应关系。即:曲线上的所有点的坐标都是这个方程的解, 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点, 曲线和方程的统一必具有上述条件。建立了这个概念, 几何问题和代数问题就可以互相转化, 点与曲线的位置关系圳点的坐标与曲线方程的关系;曲线和曲线的位置关系圳两个曲线方程的关系, 即所组成的方程级的解的情况。曲线和方程是同一事物的两种不同表达形式, 即“形”与“数”之间的一种对应。曲线的性质反映在方程上, 因此, 可由方程来研究曲线的性质, 这恰为解析几何中解决问题的基本思想。

“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”, 阐明曲线上没有坐标不满足方程的点, 也就是说曲线上所有点都符合这个条件而毫无例外, 即曲线具有纯粹性;“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”, 阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏, 即曲线具有完备性。

例1:“曲线C上的点的坐标满足方程f (x, y) =0”是正确的, 则下面命题中正确的是 () :A.f (x, y) =0表示的曲线是C、B.坐标f (x, y) =0满足的点都在曲线C上、C.曲线C的方程是f (x, y) =0、D.曲线C是f (x, y) =0表示的曲线的一部分。正确答案:D

例2:已知方程: (1) x-y=0, (2) 姨x-姨y=0, (3) x2-y2=0, (4) x/y=1, 其中能表示直角坐标系的第一、三象限角平分线C的方程的序号是 () 。

分析:根据曲线的方程的概念, 要验证其纯粹性与完备性, 即曲线上的点的坐标都是方程的解, 且以方程的解为坐标的点都在曲线上, 二者缺一不可。

解: (1) 正确, 因为一方面以方程的解为坐标的点都在曲线C上;另一方面, 曲线C上的点的坐标都是方程的解。所以, 方程是曲线C的方程。 (2) 不正确, 因为它不满足纯粹性, 例如, 点 (-1, -1) 在第三象限角平分线上, 但其坐标不满足方程。事实上, 方程表示的曲线是第一象限角平分线 (包括原点) 。 (3) 不正确。因为它不满足完备性, 例如点 (1, -1) 的坐标满足方程x2-y2=0。但它不在曲线C上。事实上, 方程x2-y2=0表示的曲线是第一、三象限角平分线和第二四象限角平分线。 (4) 不正确。因为它不满足完备性, 例如点 (0, 0) 在曲线C上, 但其坐标不满足方程x/y=1。事实上, 方程x/y=1表示的曲线仅比曲线C少了一个点——原点 (0, 0) 。故正确答案为 (1) 。

曲线（轨迹）方程的求法 篇3

直接（译）法

在求曲线（轨迹）方程中，主要表现为直接将动点坐标化，将动点运动中满足的不变关系直接“翻译”成动点坐标之间的关系，从而得到曲线方程. 这种方法主要运用于题干条件与所求动点有着直接的数量关系或几何关系的题型.

例1 已知过原点的动直线[l]与圆[C1： x2+y2-6x][+5=0]相交于不同的两点[A]，[B]. 求线段[AB]的中点[M]的轨迹[C]的方程.

解析 设[M（x，y）]，又点[M]为弦[AB]的中点，则[C1M⊥AB].

所以[kC1M?kAB=-1]，

即[yx-3?yx=-1].

所以线段[AB]的中点[M]的轨迹[C]的方程为[（x-32）2+y2=94（53

点评 通过圆的交点弦的性质引出垂直直线的斜率之间的关系，从而得出交点弦中点的轨迹方程.

待定系数法

试题中给出了曲线类型（椭圆、双曲线等）或带未知系数的曲线方程，需要根据题设转化或者根据几何关系寻找等量关系，通过解方程求出有关量或直接确定系数，此方法一般结合曲线的性质进行转化.

例2 设椭圆[x2a2+y23=1][（a>3）]的右焦点为[F]，右顶点为[A]. 已知[1OF+1OA=3eFA]，其中[O]为原点，[e]为椭圆的离心率. 求椭圆的方程.

解析 设[F（c，0）]，由[1|OF|+1|OA|=3e|FA|]可得，

[1c+1a=3ca（a-c）]，即[a2-c2=3c2].

又[a2-c2=b2=3]， 所以[c2=1]，因此[a2=4].

故所求椭圆的方程为[x24+y23=1].

点评 本题是通过待定系数法求曲线方程的典型试题，除根据题设中的等量关系或者几何关系代数化得到方程外，还要注意由圆锥曲线中[a2=b2+c2]或[a2+b2=c2]等关系列出方程组.

定义法与几何法

此类问题一般先通过对条件的推理得到动点的轨迹符合相关曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义，再根据定义写出动点的轨迹方程.

例3 设圆[x2+y2+2x-15=0]的圆心为 [A]，直线[l]过点[B（1，0）]且与[x]轴不重合，[l]交圆[A]于[C，D]两点，过[B]作[AC]的平行线交[AD]于点[E]. 证明：[|EA|+|EB|]为定值，并写出点[E]的轨迹方程.

解析 如图，因为[|AD|=|AC|，][EB∥AC，]

故[∠EBD=∠ACD=∠ADC]. 所以[|EB|=|ED|].

故[|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|].

又圆[A]的标准方程为[（x+1）2+y2=16，]

从而[|AD|=4]，所以[|EA|+|EB|=4].

由题设得，[A（-1，0），B（1，0），|AB|=2].

由椭圆定义得，点[E]的轨迹方程为[x24+y23=1][（y≠0）].

点评 本题以圆的相关性质和平行线的性质为依托，利用角的转换得到线段的等量关系，从而得到动点到两定点的距离和为定值，转换到椭圆的定义求解.

代入法（相关点法）

此类问题一般有两个（或三个）动点，且动点间存在一定的依存关系，其中所求动点的轨迹方程很难直接求出；而另一动点的轨迹方程已知或能够根据题设条件较容易地得到轨迹方程，通过动点间的等量关系，用所求动点的坐标表示另一动点的坐标，再代入其方程从而得到所求动点的轨迹方程.

例4 一种作图工具如下图所示. [O]是滑槽[AB]的中点，短杆[ON]可绕[O]转动，长杆[MN]通过[N]处铰链与[ON]连接，[MN]上的栓子[D]可沿滑槽[AB]滑动，且[DN=ON=1]，[MN=3]. 当栓子[D]在滑槽[AB]内作往复运动时，带动[N]绕[O]转动一周（[D]不动时，[N]也不动），[M]处的笔尖画出的曲线记为[C]. 以[O]为原点，[AB]所在的直线为[x]轴建立如下图所示的平面直角坐标系. 求曲线[C]的方程.

解析 设[D]为[（t，0）（t≤2）]，[N（x0，y0），][M（x，y）].

依题意得，[MD=2DN]，且[DN=ON=1].

所以[（t-x，-y）=2（x0-t，y0），]且[（x0-t）2+y02=1，x02+y02=1.]

即[t-x=2（x0-t），-y=2y0，]且[t（t-2x0）=0].

由于当点[D]不动时，点[N]也不动，

所以[t]不恒等于[0]，于是[t=2x0].

故[x0=x4，y0=-y2]，代入[x02+y02=1]可得，

[x216+y24=1].

故所求曲线[C]的方程为[x216+y24=1].

点评 一般用相关点法求轨迹方程的题目只涉及两个动点，而本题中通过滑槽形成三个动点，并利用了三个动点之间的联系设置问题.

等量转化法

一些轨迹问题，建立其动点坐标之间的关系的途径较为隐蔽，仅仅运用数形结合的观点去考虑“形向数”的转化不足以求出方程，通常需要联立方程组利用韦达定理转化. 通过数的运算和变式进行等量转化，求出结果，其中韦达定理在转换过程中起着重要的纽带作用.

优秀教案双曲线及其标准方程 篇4

高中青年数学教师优秀课教案:双曲线及其标准方程(一)高中青年数学教师优秀课教案：双曲线及其标准方程

（一）教学目标：

（1）知识与技能：与椭圆定义类比，深刻理解双曲线的定义并能独立推导出双曲线标准方程；

（2）过程与方法：通过定义及标准方程的深刻开采与探究，使学生进一步体验认识类比发现及数形结合等思想方法的运用，提高学生的不雅察与探究能力；

（3）情感态度与价值不雅：通过教师指导下的学生交流探索勾当，发学生的学习兴趣，培养学生用联系的不雅点认识问题。

教学重点：双曲线的定义、标准方程及其简单应用 教学难点：双曲线定义中关于绝对值，2a<2c的理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时

教具：多电视台，一根拉链，小夹子 教学过程：

一、复习提问

师：椭圆定义是什么？

生：最简单的面内与两个定点的间隔之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆。（幻灯片展示椭圆图形及其定义）

二、新课引入

1、设问 师：最简单的面内与两个定点的间隔之差等于常数的点的轨迹是什么？学生思虑（老师在黑板上画出两个点 ,使F1在左侧,F2在右侧.记 =2c,2c>0）。

师：在椭圆里到两个定点的间隔的和这个常数是正数，那么，最简单的面内到两定点的差这个常数还一定是正数吗 生：不一定。

师：多是什么数呢？（学生甲回答：是正数，负数或零）师：当常数是零时动点的轨迹是什么？

生：是线段F1F2的中垂线。老师做出的中垂线。师：当常数是正数时的点的位置在什么地方？ 生：在线段F1F2的中垂线的右侧。

师：当常数是负数时的点的位置在什么地方？生：在线段F1F2的中垂线的左侧。师：最简单的面内与两个定点的间隔之差等于非零常数的点的轨迹究竟是是什么呢？我们一路做一个实验来探索。

2、实验：（师生共同完成）道具：一根拉链

详细作法：老师在拉开的拉链双侧各取一点打结（实验前已经丈量好，使两结之间的间隔小于两定点间的间隔），请两位同学协助将两点别离固定在定点F1，F2处，使拉链头在的上方。将拉链头看作动点M,使M到F1的间隔比M到F2的间隔远。师：|MF1|比|MF2|长多少？

请同学不雅察，将此中一侧拉链拉过来比较，学生可以很清楚的看到长出的部分。在|MF1|比|MF2|长出的地方用颜色鲜艳的小夹子做记号，在三次演示可以清楚的看到，在拉链的拉合中拉链头M到F1的间隔与到F2的间隔差始末是夹子到F1的间隔，间隔差记为2a（2a>0），当拉链头在的下方时，两次演示在拉链的拉合中，动点拉链头M到F1的间隔与到F2的间隔差始末是夹子到F1的间隔，即M到两定点的差始末是夹子到F1的间隔2a。同学们通过演示不雅察得出,拉链头M到F1的间隔与它到F2的间隔的差始末是正常数.将粉笔放在拉链头处,随着拉链的开合做出一条曲线(在作图过程中要保持将拉链拉直),老师在图的下方板书：|MF1|-|MF2|=2a(a>0);

调换两拉链的固定点，仍然请两位同学协助将两点别离固定在定点F1，F2处，这时候拉链头M到F1的间隔比M到F2的间隔短，使拉链头在的上方。同样在两次演示过程中提问：|MF1|比|MF2|短多少？让同学们不雅察，在拉链的拉合中,|MF1|始末比|MF2|短夹子到F2的间隔，记为2a（2a>0），当拉链头在的下方时结果相同.同学们很容易不雅察到在拉链的拉合过程中，拉链头到F1的间隔与它到F2的间隔的差始末是负常数,这个常数是2a的相反数，记为-2a。将粉笔放在拉链头处,随着拉链的合开做出一条曲线(在作图过程中要保持将拉链拉直),画出中垂线的左侧的一条曲线。

在图的下方板书：|MF1|-|MF2|=-2a(a>0)。师：我们将这两条曲线叫双曲线,此中的一条叫双曲线的一支.在黑板上板书课题： 8.3双曲线的定义及其标准方程。

师：比较每一条曲线满足的条件，这两支曲线，即双曲线上的动点M 满足的条件是什么？生：。

老师板书（2a>0）。

3、研究2a和2c的关系.师:最简单的面内到两定点的间隔的差的绝对值为常数的动点的轨迹一定是双曲线吗?(原以为双曲线定义已经得到的同学们又开始思虑)

师:与椭圆类比,在椭圆里,到两个定点的间隔之和等于常数2a,只有这个常数2a大于两定点的间隔时,动点的轨迹才是椭圆,当两个定点的间隔之和等于两定点的间隔时,动点的轨迹是之间的线段。在双曲线里,到两个定点的间隔差2a与两定点的间隔2c之间是否也有巨细关系呢?(同学们的视线又回到适才作出的双曲线图形上)

师:在适才所做的双曲线上任取一点M,它与构成为了三角学形, |MF1|与|MF2|的差也就是三角学形两边的差,同学们欣喜的喊到:三角学形两边的差小于第三边，2a<2c.(若点刚好是双曲线与所在直线的核心,没有构成三角学形，同学们仍然很容易得到2a<2c.)师:当2a=2c时，动点的轨迹是什么？还是双曲线吗?(同学们不雅察思虑)师:动点可能在所在的直线以外吗? 生:不可能

师:那么它一定在所在的直线上,它的轨迹是什么呢?同学们细心肠不雅察,兴奋地回答:以为端点的两条向外射线。

师:当2a>2c时，动点有轨迹吗？(若动点在之间,到F1与F2的间隔的差在变化,不是定值,并且的总长为2c,动点到F1与F2的间隔的差的绝对值2a不可能大于2c.生:当2a>2c时，动点没有轨迹.师:现在请同学们给出双曲线的准确定义.生(自信地):最简单的面内到两定点的间隔的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线用投影仪展示双曲线图形及其定义,核心,焦距概念。

三、新课讲解

1、双曲线定义：最简单的面内到两定点的间隔的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线即，（2a〈2c）叫双曲线的核心，=2c(2c>0)叫做焦距。强调：“最简单的面内”、“间隔的差的绝对值”、“常数2a小于”

2、双曲线的标准方程：

师：与求椭圆的标准方程类似，我们根据双曲线的定义推导双曲线的标准方程。求曲线方程的基本步骤是什么？ 生：（1）建系；（2）设点；（3）列式;（4）化简 老师在投影仪上演示求双曲线标准方程的过程中，同学们在练习本上书写求双曲线标准方程的过程。提醒同学们需要注意（1）紧紧抓住双曲线定义列式；（2）在化简

到，结合双曲线定义中2a<2c，则c2-a2是正数，与椭圆的标准方程的化简中令b2=a2-c2对比，可以令b2=c2-a2，使化简后的标准方程美不雅简洁，最后得到，当核心在轴上，核心是的双曲线标准方程是，若坐标系的选取不同，核心在轴上，则核心是，由双曲线定义得： 师：与核心在轴的双曲线方程 比较，它们结构有什么异同点？

生：结构相同，只是字母x，y交换了位置。

师：求核心在轴上的双曲线方程，只需把核心在轴上的双曲线标准方中ｘ，ｙ互换即可。得

3、双曲线的标准方程的独特的地方：

（1）双曲线的标准方程有核心在x轴上和核心y轴上两种： 核心在轴上时双曲线的标准方程为：(,)； 核心在轴上时双曲线的标准方程为：(,)

(2)有关系式成立，且此中a与b的巨细关系:可以为

4、怎样根据双曲线的标准方程判断核心的位置:

从椭圆的标准方程不难看出,椭圆的核心位置可由方程中含字母、项的分母的巨细来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是核心所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断核心所在的位置，即项的系数是正的，那么核心在轴上；项的系数是正的，那么核心在轴上

四、例题讲解

例1 判断下列方程是否表示双曲线.①方程 ②方程

例2 已知双曲线的核心为F1(-5 , 0),F2(5 , 0)，双曲线上一点P到F1、F2的间隔的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.五、课堂练习

1、a=4,b=3,核心在x轴上;

2、双曲线上一点P到F1的间隔为15,求点P到F2的间隔?

6、小结

1、双曲线的定义及其两类标准方程.是核心在轴上，核心在轴上有关系式成立

2、将双曲线的定义及其两类标准方程与椭圆的定义及其两类标准方程列表对比

七、课后作业

八、板书设计

8．3双曲线及其标准方程

（一）例题２：（解答过程）=2c(2c > 0)(2a>0)2a < 2c 教案说明

一、授课内容数学本质和教学目标定位

通过老师创设情景、启发诱导，师生共同动手实验，使学生经历直不雅感知，不雅察发现，归纳类比，抽象概括，符号表示，运算求解数据处理，反思建构等思维过程，进一步体验认识类比发现法及数形结合等思想方法的运用，提高学生的实践，不雅察，思虑，探究能力,特别是提高类比发现能力；通过教师指导下的师生交流探索勾当，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的不雅点认识问题，体会数学的科学价值、应用价值、人类社会文化价值，体会数学的系统性、严密性，崇尚数学的理性精神。对本节课的教学目标从以下几个方面进行定位：（1）知识与技能：与椭圆定义类比，深刻理解双曲线的定义并能独立推导标准方程；（2）过程与方法：通过定义及标准方程的深刻开采与探究，使学生进一步体验认识类比及数形结合等思想方法的运用，提高学生的不雅察与探究能力；（3）情感态度与价值不雅：通过教师指导下的学生交流探索勾当，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的不雅点认识问题，促进学生的数学交流能力，发展学生的创造力，培养学生提出问题的习惯和能力，培养独立思虑，积极探索的习惯。依据教学目标和学生的认知规律，把理解和掌握双曲线的定义及其标准方程确定为本节课的重点，把对双曲线的定义的理解和掌握确定为本节课的难点。

二、学习本内容的基础及今后作用本节教材所处的地位作用 双曲线的定义及其标准方程内容可分为二个课时，第一课时内容主要是双曲线的定义和标准方程，以及课本中的例1；第二课时主要是课本中的例

2、例3及几个变式例题。双曲线在社会出产、日常生活和科学技术上有着广泛的应用，大纲明确要求学生必须熟练掌握学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对圆锥曲线研究内容的进一步深化和提高。通过对椭圆的学习，学生已经对“由已知条件求曲线的方程，再从所得方程来研究曲线的几何性质”的解析法有了进一步的认识，为双曲线的学习在数学思想、方法等方面打好了基础，做好了铺垫。而在双曲线的学习中，如果把双曲线的定义及其标准方程研究透彻、清楚了，不仅很容易解决双曲线的定义及其标准方程（2）中的例

2、例3及几个变式例题，而且对双曲线的简单性质的学习打下了坚实基础。通过对双曲线的定义及其标准方程的学习，对已经学过的椭圆及其标准方程会有更深的理解，对抛物线的学习就会顺理成章,对圆锥曲线部分的解题的有很大帮助，以是这节课在本章中起着承前启后的作用。双曲线的定义与椭圆的定义相比困难程度增大，以是这节课在本章中的地位很是重要。

三、教学诊断分析

学生在学习了椭圆后，利用类比发现法，学习本节教材中的下列知识点是比较容易的：

1、用求曲线方程的一般方法确定求双曲线的标准方程的基本步骤；

2、应用双曲线定义求双曲线的标准方程；

3、双曲线方程的化简。

在本节教材中，较难理解的地方主要集中在双曲线的定义部分：

1、为何在拉链的拉合过程中拉链头到两个定点的间隔之差的绝对值为定值。

2、为何在定义中对差这个常数要加绝对值；

3、为何2a<2c ；

4、当2a=2c时的图像还是双曲线吗？

5、当2a>2c呢?

四、教学独特的地方和预期效果分析

1、通过实验，让学生主动参与、积极体验认识。教材中虽然有拉链，有双曲线的图像, 但那是静态的，为何在拉链的拉合过程中拉链头到两个定点的间隔之差的绝对值为定值,学生对本质并没有一个直不雅的理解;本人用几何画板或动画去做双曲线，不如直接实验得心应手，经过多次考虑决定用拉链画出双曲线的图像，变抽象为直不雅。（1）通过实验中的多次演示，以小夹子作为参照物，让学生清楚的看到在拉链的拉合中拉链头M到F1的间隔与到F2的间隔差始末是定值，并且这个定值随着拉链固定点的调换，可正可负，互为相反数。（2）把拉链头看作动点M,先使M到F1的间隔比M到F2的间隔远，即|MF1|-|MF2|=2a(a>0);将粉笔放在拉链头处,随着拉链的开合做出中垂线右侧一条曲线。调换两拉链的固定点，这时候拉链头M到F1的间隔比M到F2的间隔短，即|MF1|-|MF2|=-2a(a>0)，将粉笔放在拉链头处,随着拉链的合开画出中垂线的左侧的一条曲线。这两条曲线叫双曲线,此中的一条叫双曲线的一支.这两支曲线，即双曲线上的动点M 满足的条件是（2a>0）。对定义中绝对值的理解就很是直不雅了。

（3）研究2a和2c的关系.在实验的过程中，能用拉链画出双曲线，现实上是需要条件的。在绘图之前，我已经将两定点的间隔以及差的绝对值的巨细关系定好了，即2a<2c，以保证不仅能画出双曲线，而且使画出的双曲线比较美不雅。结合图形，与椭圆类比设问：在椭圆里，在双曲线里,到两个定点的间隔差2a与两定点的间隔之间是否也有巨细关系呢? 在双曲线上任取一点M,它与构成为了三角学形, |MF1|与|MF2|的差也就是三角学形两边的差,三角学形两边的差小于第三边，2a<2c.(若点刚好是双曲线与所在直线的核心,同学们仍然很容易得到2a<2c)然后设问：到两个定点的间隔差为定值的点的轨迹一定是双曲线吗?又对2a=2c的情况做讨论，同学们经过老师的引导和细心肠不雅察,得到这时候的图像是以为端点的两条向外射线。当2a>2c时，动点没有轨迹.2、以类比发现思维作为教学的主线(1)双曲线的定义与椭圆定义类比,(2)双曲线的标准方程与椭圆的标准方程类比⑶双曲线和椭圆中,2a与2c的意义及巨细关系的类比(4)核心在x轴上的方程与核心在y轴上的方程类比。

3、结合投影仪等形式，加大一堂课的信息容量，提高教学的直不雅性和意见意义性，提高课堂效益。

4、教师创设和谐、愉悦的环境进行引导，用激发兴趣、自主探究的讲解讨论相结合，使学生始末处于问题探索研究状态之中，促进学生说、想、做，鼓励学生发现问题，大胆分析问题和解决问题.进行主动探究学习，形成师生相互作用的教学氛围。老师捕捉住学生发言中的闪光点和思维的火花，对学生的积极体现给予鼓励和肯定。预期教学实效：

1、学生对双曲线的定义中的要害词：差，绝对值，2a<2c有很是清晰的理解，对双曲线的标准方程及其标准方程中a，b，c的关系有了深刻的认识，对例1和例2的解决水到渠成。

2、对椭圆的定义和双曲线的定义的区别和联系有深刻的理解；对椭圆的两个标准方程与双曲线的两个标准方程的形式有了清晰的认识。能结合各自定义说出各自标准方程中的a，b，c的关系。

数学教案－曲线和方程 篇5

一、学习目标与任务

1、学习目标描述 知识目标

使学生掌握双曲线的定义，能确定双曲线的标准方程；理解并掌握双曲线的简单几何性质，能运用双曲线的标准方程讨论它的几何性质，能确定双曲线的形状特征。能力目标

通过对相关网络资料的阅读，结合观察思考探究、协作交流讨论、动手实践操作，培养学生分析资料、提取信息、发现问题和解决问题的能力。

培养学生运用数形结合的思想，进一步掌握利用方程研究曲线的基本方法，通过与椭圆几何性质的对比来提高学生联想、类比、归纳的能力，解决一些实际问题。德育目标

进一步理解并掌握代数知识在解析几何运算中的作用，提高解方程组和计算能力，通过“数”研究“形”，说明“数”与“形”存在矛盾的统一体中，通过“数”的变化研究“形”的本质。帮助学生建立勇于探索创新的精神和克服困难的信心。

2、学习内容与学习任务说明 本节课的内容是双曲线简单几何性质的探索。学习重点：双曲线的简单几何性质及性质的应用。学习难点：双曲线离心率与双曲线形状的关系；

明确本课的学习目标，以学习任务驱动为方式，以双曲线性质探寻为中心，进行主动探究学习。

抓住本节课的重点和难点，采取类比、联想、发现、探究、协作、讨论等学习方法相结合的教学模式，突出重点、突破难点。主动操作实验、大胆分析问题和解决问题，充分利用本课网站内的内容和相关的学习资源的利用，在着重学习内容的基础上，联系所学知识和技能，对本节课程进行分析。培养学生自主学习的能力和克服困难的信心。

二、学习者特征分析

（说明学生的学习特点、学习习惯、学习交往特点等）本课的学习对象为高二年文科班的学生，他们经过近一年多的高中学习，已经有一定的学习基础和分析问题、解决问题的能力，基本的计算机操作较为熟练。

作为高二年文科班的学生普遍存在着数学科基础知识较为薄弱，对数学学习有一定的困难。在课堂上的主体作用的体现不是太充分，但是他们能意识到自己的不足，对数学课的学习兴趣高，积极性强。高二年文科班的学生在学习交往上表现为个别化学习，课堂上较为依赖老师的引导。学生的群体性小组交流能力与协同讨论学习的能力不强，对学习资源和知识信息的获取、加工、处理和综合的能力较低。

三、学习环境选择与学习资源设计 1．学习环境选择（打√）

（1）Web教室（√）（2）局域网（3）城域网（4）校园网（√）（5）Internet（√）（6）其它

2、学习资源类型（打√）

（1）课件（网络课件）（√）（2）工具（3）专题学习网站（√）（4）多媒体资源库（5）案例库（6）题库（7）网络课程（8）其它

3、学习资源内容简要说明（说明名称、网址、主要内容等）

《双曲线定义与简单几何性质网站》：双曲线定义、标准方程、双曲线的性质、协作讨论、例题、在线测试等几部分来探讨双曲线的定义与简单几何性质。

四、学习情境创设

1、学习情境类型（打√）

（1）真实性情境（√）（2）问题性情境（√）（3）虚拟性情境（√）（4）其它

2、学习情境设计

真实性情境：用Flash制作的一系列教学软件。

问题性情境：双曲线的简单几何性质：范围、对称性、顶点、焦点、渐进线、离心率等的寻找（文字，图片，制作相关的Flash）。虚拟性情境：双曲线离心率与双曲线开口形状的关系

五、学习活动的组织

1、自主学习设计（打√并填写相关内容）类型相应内容使用资源学生活动教师活动(1)抛锚式（√）

椭圆的定义和简单几何性质数学教材、网站中的椭圆部分对照、类比、联想复习提问，引导思路(2)支架式（√）

双曲线的定义和简单几何性质数学教材、专题网站及专题网站下的多媒体教学课件。分析、操作、协作讨论、总结、提交结论。问题的提出。

学习资源获取路径的指导。问题解答和咨询。(3)随机进入式（√）双曲线定义与几何性质相关问题的求解与应用双曲线的例题，在线测试各个相关网页根据自身情况选题、分析题目、协作讨论、解答问题。讲解例题

总结点评学生做题过程中存在的问题。(4)其它

2、协作学习设计（打√并填写相关内容）类型相应内容使用资源分组情况学生活动教师活动（1）竞争（2）伙伴

（√）双曲线简单几何性质的探究数学教材、专题网站及专题网站下的多媒体教学课件。每组4人。学生之间对双曲线的几何性质展开讨论研究问题的提出。学习资源获取路径的指导。问题解答和咨询。（3）协同（√）

双曲线的对称性；离心率对双曲线形状的影响Flash制作的一系列教学课件。每组4人。通过协作讨论区，同学之间互相配合、互相帮助、各种观点互相补充。归纳，概括，整理问题结论（4）辩论（5）角色扮演（6）其它

3、教学结构流程的设计

六、学习评价设计

1、测试形式与工具（打√）

（1）堂上提问（√）（2）书面练习（3）达标测试

（4）学生自主网上测试（√）（5）合作完成作品（√）（6）其它

2、测试内容

教师堂上提问：双曲线的定义、简单几何性质与椭圆的定义、简单几何性质的对比，寻找它们之间的相同点与不同点。学生学习回答，教师总结概括，达到本课的学习目的。

学生自主网上测试：解决双曲线定义与简单几何性质的相关练习。合作完成作品：通过对Flash课件的合作学习，得出性质结论。

七、教学过程

步骤教师行为学生行为设计意图 课堂准备

1、指导学生登陆网站。

2、介绍网站的操作方法。

3、讲明上课过程中的注意事项。（1）作好课前准备。（2）登陆网站。

（3）熟悉本网站的操作方法。

①少部分不熟悉网络操作的同学学会利用网络来辅助学习。②助于本节课的顺利进行。情境导入

1、请同学点击“学习任务”进入子页进行学习。

2、请同学点击“问题解决”，了解本节课要解决的问题。（1）学生在“学习任务”子页下，点击各个按钮进行操作，对本节课的学习内容，学习重点、难点做到胸中有数。

（2）学生点击按钮“问题解决”，清楚本节课要完成解决的问题。①使学生在操作中深深体会到双曲线的定义与几何性质的重要性，从而吸引了学生的注意力，使学生产生研究双曲线的动力。②这一导入过程，可调动学生的主动性和积极性，使学生完成角色的改变，从“要我学”变成“我要学”。操作探讨

1、请同学点击“双曲线定义”进入子页，选择按钮“椭圆”、“双曲线”、“第二定义”进入页面。

2、请同学点击按钮“性质探索”，进入双曲线简单几何性质的学习。

3、请同学点击按钮“范围”，进入双曲线范围的操作和探索，教师提醒注意与椭圆比较。

4、请同学点击按钮“对称性”，进入双曲线对称性的操作和探索，教师提醒注意与椭圆比较。

5、请同学点击按钮“焦点”，进入双曲线焦点的操作和探索，教师提醒注意与椭圆比较。

6、请同学点击按钮“顶点”，进入双曲线顶点的操作和探索，教师提醒注意与椭圆比较。

7、请同学点击按钮“离心率”，进入双曲线离心率的操作和探索，教师提醒注意与椭圆比较。指导学生操作Flash课件，让学生拉动离心率e，观察当e变化时，双曲线图形的变化情况。

8、教师针对学生得出的双曲线性质进行讲解校对。

9、教师在整个过程中，对个别学生进行辅导。

（1）学生点击按钮“双曲线定义”进入子页，选择按钮“椭圆”、“双曲线”、“第二定义”，完成复习任务。（2）学生点击按钮“性质探索”，进入双曲线的简单几何性质的操作和探索。（学生可分小组讨论）。

（3）学生把自己总结的“双曲线的范围”与教师的讲解进行校对订正。

（4）学生把自己总结的“双曲线的对称性”与教师的讲解进行校对订正。

（5）学生把自己总结的“双曲线的焦点”与教师的讲解进行校对订正。

（6）学生把自己总结的“双曲线的顶点”与教师的讲解进行校对订正。

（7）学生把自己总结的“双曲线的离心率”与教师的讲解进行校对订正。

（8）学生操作Flash课件，拉动离心率e，观察双曲线图形的变化过程。寻找发现双曲线图形开口与离心率e的密切关系，得出结论。并把自己的结论与教师的讲解进行校对订正。

（9）如在操作过程中有何问题，可进入“协作讨论”页面，进行探讨研究。

①学生在这一学习过程中充分发挥其主体作用，在提供的网络资源中，自主学习，操作实验，并从中发现问题，提出问题，最后总结结论，校对结论。②教师在这一教学过程中充分发挥出引导的作用，使教师起到成为“导航者”的效果。

③充分发挥网络的优势，使学生对在自主学习中碰到的困难，可能的疑问，能展开协作讨论，并得出结果。

④如在操作过程中有何问题，可进入“协作学习”页面下，进行探讨研究。

⑤创造一个让学生协作学习的空间，互相配合、互相帮助、各种观点互相补充，完成学习任务，从而培养学生团队精神、克服困难的精神以及各方面的能力。知识应用

1、请同学点击按钮进入“例题”页面。

2、讲解例

一、例

二、例三三道例题。

3、请同学点击按钮进入“在线测试”页面。

指导学生根据自身的情况选择“*”、“**”或“***”题，进行练习。

（1）学生听教师讲解例

一、例

二、例三三道例题。加深对刚学到的双曲线的简单几何性质知识应用的体会。

（2）学生根据自身的情况选择“*”、“**”或“***”题，进行在线测试。（3）如在解题过程中有何问题，可进入“协作学习”页面下，进行探讨研究。

①让学生实现知识的自我反馈。

②使题目具有层次性，适合不同层次的学生的学习需要。③使每道题具有交互性和实验性，保证学生在学习过程中的自主性。课堂小结

1、总结本课的教学内容。

2、总结本课的教学内容。高中数学《双曲线的简单几何性质》公开课小结

《双曲线的简单几何性质》这堂网络课，教学重点是放在如何使学生掌握好双曲线的简单几何性质：双曲线的范围，对称性，顶点，离心率上。首先，通过对椭圆几何性质的复习，使学生产生对学习研究双曲线的几何性质的浓厚兴趣。在对双曲线的定义和标准方程充分掌握的基础上，给学生打下了进一步学习双曲线几何性质的基础。其次，在教学中，本着以学生为本的原则，让学生自己动手参与实践，使之获取知识。在传统教学过程中，学生主要依靠老师，自主探索的能力不强，因此在本节课学习中，教师在课堂上适时抛出问题，使学生有的放矢，有针对性，知道自己下一步应该做什么。在强大的网络环境下，让学生动手摸索双曲线的几何性质，自主发现结论，以人机交互的方式，使个性化学习成为可能，体现了学科教学与教育技术的整合。第三、针对数学学科的特点，在学生自主探索发现结论后，还需在理论上给予支持。因此，对双曲线的各个几何性质，教师在课堂上分别给予小结，目的是让学生在今后的自主学习中，若遇到同样的问题，有能力自己解决。从而让学生逐步熟悉、形成较为完整的一套自主学习的方法。

在上课的过程中，充分体现出计算机的交互和便捷的特点，学生可以根据需要，在老师的引导下，选择自己学习的进度和内容，去自主的学习和探索。通过实际操作，帮助理解和掌握本节课重点内容：双曲线的范围，对称性，顶点，离心率。在上课过程中，学生积极思考，相互协作讨论，踊跃回答问题，气氛活跃，教学效果好。在学生课后的反馈中，总体的反映都觉得各自获益匪浅，从中学到了不少的东西，切实掌握了双曲线的4个简单几何性质。

当然，本节课还有许多需要改进的地方，如课堂上留给学生探索，动手的时间还可以再多一些；学生在自主探寻双曲线的性质时，分组协作讨论不够充分。由于学生电脑的水平以及数学学科的特点，所以许多学生不能很熟练地操作电脑，许多数学符号，公式无法在讨论区中体现。

总之，在网络教学这领域中，今后还有很大的学习空间，做为一名教师，要适应时代的需要，改善自己平时的传统教学思维，大胆创新，努力学习，不断地探索，不断反思。树立现代教育观念，不断学习现代化技术，完善自己，提高素质，才能担负起祖国赋予我们肩上的重任。

高中数学《双曲线的简单几何性质》教师评语 评议者1：

1、学生积极参与探究，课堂调控，师生互动好，较好地体现自主学习的精神；

2、采用类比方法，让学生类比椭圆几何性质，进行探究，符合教学规律，教学效果好；

3、网络制作精美，较好地调合学生的探究，建议要让学生的探究更加深入，即在理论上证明上还须加强，另外要加强学生的协作探究。评议者2：

1、课堂讲述较快，语速应较慢；

2、在讲解过程中能较好与椭圆类比来学习，但若能在页面中把与椭圆类比点，可再次展现，效果会更好；

3、本节课虽说是网络课，但整堂课还是以教师讲授为主，让学生在网络课中自主学习时间并不多。评议者3：

1、黑板上的图形是否可结合“幻灯片”演示文稿来呈现？

2、在网络课件中设置双曲线的几种情况及椭圆的顶点等几个内容，让学生动手探索，得出与椭圆的相同与不同点，使学生学会先过程后结果的探究学习方法。

3、课件让学生探作的互动课件，渗透了“数形结合”思想，使学生对抽象问题转化为具体形象的认识好。

4、讨论区用于讨论的问题应具有一定开放性，即多种角度，多层面，多方法的较好。

5、网络资源是否最大限度的利用？自主学习显不够时间。

6、在线测试软件，及时检查学生学习过程好。评议者4：

1、网络资源丰富；

2、在教学过程中来充分体现学生的学习自主性；

3、讨论区的运用较为合理。评议者5：

讲解速率有点快，协作讨论时，学生不是很投入，差生如能自己上网学习，也就不需要老师指导。评议者6：

网页制作技术含量高。网页能够考虑学生的学习应用，而设计，有利于“人机”互动。资源丰富，让学生采用类比法来学习双曲线的几何性质，能够充分体现了课改的精神，整个课堂节奏紧凑。评议者7：

“曲线与方程”教学设计 篇6

深圳中学 郭慧清

一、教学内容与内容解析 1．内容：

（1）曲线的方程与方程的曲线的概念；（2）求曲线的方程；（3）坐标法的基本思想与简单应用.2．内容解析：

“曲线与方程”是《普通高中数学课程标准》规定的教学内容．在教学时，不少人认为只是为后面学习椭圆、双曲线、抛物线做准备．尽管学习这一内容是学生体会并理解圆锥曲线与其方程的基础，但人们将碰得的曲线远非这些．因此，教学时不仅要让学生学习如何求曲线的方程，而且要通过这一内容培养学生的坐标法思想，使学生明白求出曲线方程的真正意义在于利用曲线的方程去研究曲线.研究曲线与方程的目的是把曲线的几何特征转化为数量关系，并通过代数运算等方便手段，处理已得到的数量关系,进而得出曲线的几何性质，并达到利用曲线为人们服务的目的．因此，学习这一部分内容可以加深学生对数学中的代数方法的认识，也能够让学生更好地体会数学的本质．

在平面直角坐标系建立以后，任何曲线都有唯一的方程，任何方程也都有唯一确定的曲线(或点集)．因此，曲线的方程是曲线的唯一表示．这种表示，为人们表达自己的思想认识提供了一种规范，这是人们应该具备的基本素养．

二、教学目标与目标解析 1．目标：

（1）通过实例理解曲线的方程与方程的曲线的概念，能判断已经学习过的特殊的曲线与方程之间是否具有互为表示的关系；

（2）通过实例体会求曲线的方程的基本步骤，能求出给定了几何特征的曲线的方程；

（3）通过实例体会不同的平面直角坐标系对同一曲线方程的影响，体会如何“恰当”地建立平面直角坐标系.（4）通过一些简单曲线的方程及其研究，体会坐标法的基本思想及简单应用． 2．目标解析：

教学目标（1）和（2）是本节课的教学重点，教学时落实好目标（1）、（2）和（3）是实现教学目标（4）的前提与保证.学生通过函数y =f(x)及其图象、直线的方程与圆的方程的学习，对曲线的方程与方程的曲线这些概念有了初步认识，但这只是一种意会，我们现在的任务是要建立曲线与方程之间的一般性的概念，让学生能从“定义”的角度去理解这些概念.教学目标（3）是学生初学时不易达到的目标，教学时要提供学生熟悉的曲线（比如直线，圆等）在不同坐标系中的方程的简洁程度，让学生体会建立坐标系时应该关注的要点．

对许多与曲线有关的具体问题而言，原本是没有坐标系的．因此，通过这样的问题，可以使学生体会如何建立坐标系，求出问题中曲线的方程，并通过曲线的方程帮助解决问题，这应该是实现教学目标（4）的一种较好的方法．

三、教学问题诊断分析 1．如何理解曲线与其方程之间的关系？学生可以很流利地背出曲线与其方程应该满足的两条，但是如何证明“一条曲线与一个方程之间具有互为表示的关系”，这是学生学习时可能遇到的第一个教学问题.这个问题可以结合“直线与其方程”、“圆与其方程”进行说明．

2．在求曲线的方程时，如何建立平面直角坐标系？这是学生会遇上的第二个教学问题，也是本节课的教学难点之一．教学时，应通过实例，帮助学生总结出建立坐标系的基本要点，并用具体问题让学生练习进行体会．

3．在将曲线上的点应该满足的几何特征转化为点的坐标应满足的等式后，常常遇上“将所得等式化简得到所求方程”的问题．对于有些复杂的等式，化简是一个学生不易把握的问题，学生在此极易出错，这是第三个教学问题.教学时不能因为这个问题而使教学偏离重点，因而宜使用信息技术工具解决这个问题.4．学生学习时，可能会因更多地关注代数运算而忽略数学思想的提炼，这个教学问题的解决，需要教师有目的地进行引领.四、教学支持条件

1．在进行本节课的教学时，学生已经在数学必修1中学习了函数y =f(x)及其图象，在数学必修2中学习了直线的方程与圆的方程，这些内容是学生理解曲线与方程概念的重要基础，因此教学时应充分注意这一教学条件，引导学生多进行归纳与概括.2．曲线与方程是数形结合的典范，教学这一内容时会涉及大量图形的绘制与方程的简化等代数运算，因此，TI图形计算器或几何画板是重要的支持条件，教学中充分利用这一条件，不仅可以节省大量时间用于学生思考，而且可以对实际问题中的数据不加“修饰”地进行分析.五、教学过程设计

引子：如果你邀请朋友在你所在城市的某餐馆聚会，你会怎样告诉他（她）聚会地点？例如，如果聚会地点在“深圳市笋岗路南，宝安路东的澳葡街”（如图一），你会怎样说？

（图一）

（图二）

意图：通过建立平面直角坐标系，用坐标来刻画点的位置，为后面用点与坐标的对应关系来研究曲线与方程的关系作准备，同时让学生体会坐标法思想。

师生活动：教师提出问题让学生思考，然后通过建立平面直角坐标系，给出聚会地点的坐标（如图二）。[问题1] 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径长为30 km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线（航行方向与东向西方向的夹角的正切值为4/7），那么它是否会受到台风的影响？

这是同学们在学习数学必修2时曾经研究过的问题，你能说说你现在会怎样解决这个问题？ 意图：体会坐标法的思想，强调研究曲线与方程的概念的必要性，让学生体会数学方法的好处.师生活动：教师提出问题后让学生交流并回答他们的想法，在此基础上，教师归纳并演示过程：如图建立直角坐标系，得出船的航线的方程为4x+7y-28=0，圆形区域的边界圆的方程为x+y=9.联解上面两个方程所成的方程组有一定的困难，可以通过TI图形计算器求解，如下列图示：

2由此可见让船按原定航线航行不会出现危险．

进一步问学生：如果没有坐标法，没有直线的方程与圆的方程，但要确定能否让船按原定航线航行，你会怎样做？

[问题2]我们知道，在平面直角坐标系中，经过点(x0,y0)，且方向向量为确定的，你能求出这条直线的方程吗？怎么说明你所求得的方程就是这条直线的方程呢？

意图：为引出曲线的方程与方程的曲线的概念做铺垫.师生活动：让学生尝试求直线的方程，在得出直线的方程后，教师介绍怎样说明所得的方程就是直线的方程．

[问题3] 你能说明中心在(a,b)，半径为的圆的方程是(x-a)+(y-b)=r吗？

2的直线是唯一意图：让学生体会教师在[问题2]中介绍的“说明所得方程是直线的方程”的方法，为介绍曲线的方程与方程的曲线的概念再做准备.师生活动：让学生先思考，然后教师引领学生完成说明过程.[问题4] 对一般的曲线与方程，你能给出方程是曲线的方程，曲线是方程的曲线的概念吗？ 意图：给出曲线的方程与方程的曲线的概念.师生活动：让学生先思考，然后教师引领学生阅读教材上的“定义”，给出曲线的方程与方程的曲线的概念.最后问学生：

[问题5] 给定命题A：“方程f(x,y)=0是曲线曲线”，请问命题A与命题B是否互为充要条件？

意图：加深对曲线的方程与方程的曲线的概念的认识.师生活动：学生回答，教师评析．学生完成教材P37练习第1题，并将题中的“中线AO（O为原点）所在直线的方程”修改为“中线AO（O为原点）的方程”后，提问学生结论有无改变？学生完成P37练习第2题． 的方程”；命题B：“曲线C是方程f(x,y)=0的 [问题6] 你能画出函数的图象吗？图象C上的点相应于坐标轴的距离而言具有怎样的几何特征？是否具有这些几何特征的点都在图象C上？

意图：理解用解析式表示的函数与其图象之间的关系，巩固曲线的方程与方程的曲线的概念.师生活动：（1）师生画出函数的图象C（可以利用信息技术工具）；（2）学生思考“图象C上的点相应于坐标轴的距离而言具有怎样的几何特征”，利用信息技术工具探究，可能归纳出的几何特征是“图象C上的点到两坐标轴的距离的乘积是常数k”；（3）学生思考“到两坐标轴的距离的乘积是常数的点都在图象C上”吗？；（4）师生得出“到两坐标轴的距离的乘积是常数k的点的轨迹方程是”；（5）证明所得结论，完成教材P35例1．

[问题7] 阅读教材P35“2．1．2求曲线的方程”的第一段内容，你能得出什么结论？ 意图：明确解析几何研究的基本内容.师生活动：学生阅读教材并提炼回答内容，请学生回答，教师点评．

[问题8]已知平面上的线段BC的长为所张的角恒为，动点A位于线段BC所在直线的同一侧，且向线段BC，动点A的轨迹是否有有限长度？若有，你能求出其长度吗？

意图：归纳求曲线的方程的步骤，体会坐标法的基本思想． 师生活动：

（1）教师讲解：以BC所在的直线为x轴，以线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则，．设点A在x轴的上方，坐标为(x,y)(y>0)，则点A的集合为

．

由于

因为所以

所以，点A的坐标满足方程x+(y-1)= 4 ① ；

反过来，由于上述的步骤均可逆，所以方程①的解作为坐标的点都在集合P中．

所以，点A的轨迹方程是①，点A的轨迹是一段以2为半径的圆弧，它的长度是整个圆的．因此，动点A的轨迹的长度为

（2）教师根据上述过程总结求曲线的方程的步骤（见教材P36）.（3）提问学生，有无其它建立坐标系的方法使点A的轨迹方程更简单，更简单的原因是什么？教师归纳总结建立坐标系的一般要点．

（4）提问学生思考：为什么不能把x+(y-1)= 4作为点A的轨迹方程？（5）学生练习教材P37练习第3题．

[问题9] 已知一条直线和一个点F，点F到l的距离是2．一条曲线上面的点到F的距离减去到l的距离所得的差都是2．你能建立适当的坐标系，求出这条曲线的方程吗？

意图：帮助学生熟悉和巩固求曲线的方程的步骤.师生活动：（1）师生一起讨论如何画出图形，如何建立坐标系．

（2）让学生按步骤求出曲线的方程．

（3）师生一起讨论如何避免轨迹中出现多余的点或方程中出现多余的解．（4）简化求解步骤．

[问题10]建立坐标系后，是否存在一条曲线有两个不同的方程？你能以[问题1]和[问题8]为例，归纳一下你本节课学得的东西吗？

意图：归纳总结本节内容.师生活动：学生思考交流，教师帮助总结.五、目标检测设计

1．教材P37，习题2.1：A组第3、4题；B组第1题．

数学教案－曲线和方程 篇7

关键词：圆锥曲线参数方程,高中数学解题

圆锥曲线定义中, 通过椭圆定义、双曲线定义、圆锥曲线上的点与两个焦点之间的关系进行解题。在解题的过程中, 需要对上述三者有个清晰的认识, 树立等价转换思想, 加强数形结合的建设, 由点到面, 促进教学层次的深化, 从而提升学生在圆锥曲线参数方程上的理解, 进而为有效解决数学难题提供重要支撑。

一、创新性思维:利用圆锥曲线方程解决高中数学题中常见的最值问题

传统的数学学习方式是通过广泛地做题, 不断进行数学题型的训练, 从而获得学习成绩的提升。目前, 针对学生学习特点与学习进度, 通过设计典型习题, 注重培养创新思维, 从而举一反三, 快速提升学生对于数理认识, 加强对数学的感知能力, 使数学成绩得到提升。后者更加注重人性化, 以学生为中心, 避免数学题练习的低质量与低学习效率。

椭圆一个内接四边形ABCD, 其各边与坐标轴平行, 求此四边形的最大面积与最大周长。

由题目可以进行推断, 将思路不要仅仅限于局部, 启用创新性思维, 不断与其他知识展开联想, 打开解题的突破点。

解析: 根据题目可以假设A (acosθ, bsinθ) , 通过对四边形的观察, 可以得到其四边与坐标轴分布保持平行, 推断四边形ABCD为矩形, 其面积可以表示为S=4 (acosθ×bsinθ) =2absin2θ。 当S表示为最大值, sin2θ 为最大值, 其值为1;当sin2θ=1 时, S=2ab, 四边形ABCD的周长可以表示为L = 4 ( bsinθ+ acosθ) = 4 (a2+b2) 1 /2sin (θ+β) ·sinβ= a÷ ( a2+ b2) 1 /2, cosβ= b ÷ ( a2+b2) 1 /2, 当sin (θ+β) 为最大值时, 四边形的周长为最大, sin (θ+β) 值为1, LMAX=4 (a2+b2) 1/2

二、探索性思维:采用定义与正余弦定理求焦点三角形

高中数学中, 存在一定数量难点, 对于学生的学习能力提出了新的要求, 要求学生在实际的解题过程中, 能够充分发挥探索性思维, 通过总结与小组合作, 提升数学解题能力。在圆锥曲线参数方程的应用解题中, 单一性题目较少, 复合型、复杂性题目较多, 难度系数也随之增加。如何充分发挥探索性思维, 需要学习不拘于形式, 通过对基础知识的深度理解, 正确把握解题的精髓。

例2:已知双曲线

P为双曲线上任意一点, ∠ F1PF2=θ, 求△ F1PF2 的面积。

在本题中, 在结合基础知识的基础上, 通过对定义的深度理解, 巧用正余弦定理, 进而利用面积公式与正余弦定理得到相应的答案。

通过与圆锥曲线中的双曲线定义能够得到,

通过对 (3) 与 (2) 进行分析与研究, 可以

在上式 (1) 中代入三角形面积

进而完成此题的解答。

三、自主学习能力提升:采用圆锥曲线参数方程解决范围问题

高中学习阶段, 强调自主学习与合作学习相结合, 通过自主学习发现自身存在的问题, 并采取有效措施加以解决, 从而促进自身学习水平的提升[4]。在高中数学解题中, 通过对科学思维的合理运用, 能够对数学习题轻松解答。

例3 : 椭圆方程

与x轴的正半轴相交, 交点表示为M, 如果该方程上有一点N, ON垂直于MP, 求椭圆离心率的范围。

学生在自主学习过程中, 面对疑难问题时不应立即求助, 依据自身对基础知识的掌握程度, 发挥自出探究精神, 对疑难问题提出挑战, 从而提升自身数学解题的能力与水平。

解析:根据题目可知。M的坐标可以用 (a, 0) 表示。假设N点坐标为 (acosθ, bsinθ) , 同时, 结合ON ⊥ MP可以得到

对上式进行化简, 可以推出:

由于ON ⊥ MP, 结合方程b2=c2-a2, 所有离心率e的范围是

四、圆锥曲线参数方程应用过程中应注意的问题

圆锥曲线参数方程在应用中强调对各种知识的综合运用, 通过合理运算思维与结构, 实现对数学问题的求解。在此过程中, 要求学生掌握基础知识的基础上, 更加注重对知识的灵活运用。因此, 学生在学习圆锥曲线参数方程相关基础知识时, 应注重多写、多问、多记, 打下扎实的基本功, 从而能够在解题中, 摸透数学题目的内涵, 快速解题。

五、结语:

高中数学在高中教育体系中占据着极为重要的位置, 需要教师在教学活动中, 在加强对基础知识的教学时, 注重学生对基础知识的运用。通过典型题目的专题讲解, 促进学生成绩的提升。

参考文献

[1]毛芹.圆锥曲线参数方程在高中数学解题中的应用[J].理科考试研究:高中版, 2014 (21) .

[2]陈尧明.直线参数方程教学设计[J].教学月刊:中学版, 2011 (23) .

[3]李淑燕.用圆锥曲线的参数方程解题例谈[J].数理化学习:高三, 2011 (7) .

[4]陈传熙.“圆锥曲线的参数方程”的教学困惑与对策分析[J].数学通报, 2010 (49) .

浅谈“巧设双曲线方程” 篇8

一、已知双曲线上两点，双曲线方程可设为 。

例1、已知双曲线上两点 ，求双曲线的标准方程。

解（法一）：（由于双曲线焦点的位置不明确，我们一般是分情况讨论求解）

当所求双曲线焦点在x轴上时，设双曲线标准方程为

将 两点代入上式得： ，此方程无解；

当所求双曲线焦点在y轴上时，设双曲线标准方程为

将 两点代入上式得： ，解得：

所以双曲线方程为 。

（法二）设双曲线方程为 ，

将 两点坐标代入得： ，

所以，所求双曲线的标准方程为 。

对比总结：已知双曲线上两点，求双曲线方程，可设为 。

但需注意：①必须标明 ；②当双曲线焦点位置不确定时，可将双曲线方程设为 ，这个方程包括了焦点在x轴和y轴两种情况。

二、与双曲线 有相同渐近线的双曲线方程可设为 。

例2、求与双曲线 有相同渐近线并且经过点 的双曲线方程。

解：（法一）双曲线的渐近线方程为 ，

当所求双曲线焦点在x轴上时， ，设其方程为 ，将点 代入上式： ，解得： ，所以双曲线方程为 ；

当所求双曲线焦点在y轴上时， ，设其方程为 ，将点 代入上式： ，此方程无解。

综上所述，所求双曲线的方程为 。

（法二）设双曲线方程为 ，将点 代入上式 ， ，所以所求双曲线方程为 。

对比总结：与双曲线 有相同渐近线的双曲线方程可设为

但需注意：①不能漏标 ；②若已知双曲线的渐近线方程，也可归纳为设法求解。

三、与椭圆 共焦点的双曲线方程可设为 。

例3、求于椭圆 共焦点且过点 的双曲线的标准方程。

解：（法一）因为椭圆 的焦点为 ，所以所求双曲线焦点为 。所以设所求双曲线方程为 ，将点 代入上式得： 且 ，消去 得 或 。当 时 舍

当 时 ，所以双曲线标准方程为 。

（法二）设双曲线方程为 ，将点 代入上式，得： ，解得： 或

，所以，所求双曲线的标准方程为 。

对比总结：与椭圆 共焦点的双曲线方程可设为

但需注意：① 的取值范围；②可拓展：与双曲线 有公共焦点的双曲线方程可设为 。

四、等轴双曲线的方程可设为 。

例4、若等轴双曲线过点 ，求该双曲线的标准方程。

解：（法一）当所求等轴双曲线焦点在x轴上时，设其方程为 （a>0）

将点 代入上式得 ，解得 ，所以双曲线方程为 ；

当所求等轴双曲线焦点在y轴上时，设其方程为 （a>0）

将点 代入上式得 ，此方程无解。

综上所述，所求等轴双曲线的标准方程为 。

（法二）设双曲线方程为 ，将点 代入方程解得： 。

所以，所求双曲线的标准方程为 。

对比总结：等轴双曲线的方程可设为 。

但需注意：①不能漏标 ；② 时，表示双曲线焦点在x轴上； 时，双曲线焦点在y轴上。

巩固练习：

1、经过点 的双曲线的标准方程为

2、经过点 且一条渐近线方程为 的双曲线标准方程为

3、双曲线与椭圆 有相同的焦点，它的一条渐近线方程为 ，则双曲线的方程为

4、等轴双曲线过点 ，则该双曲线的方程为

练习答案：1、 2、 3、 4、