上海中考数学分析（推荐7篇）
数学试卷
（满分120分，考试时间120分钟）
考生注意：除第一、二大题外其余各题如无特别说明，都必须写出证明或计算的主要步骤．
一．填空题（本大题共14题，每题2分，满分28分）
1
1．计算：22＝__________．
无意义，那么x＝__________．
2．如果分式x3x
23．在张江高科技园区的上海超级计算中心内，被称为“神威1”的计算机运算速度为每秒384 000 000 000次，这个速度用科学记数法表示为每秒___________次．
4．方程2x1＝x的根是__________．
5．抛物线y＝x－6x＋3的顶点坐标是 __________．
6．如果f（x）＝kx，f（2）＝－4，那么k＝__________．
7．在方程x＋2221x3x2＝3x－4中，如果设y＝x－3x，那么原方程可化为关于y的整
2式方程是__________．
8．某出租车公司在“五一”长假期间平均每天的营业额为5万元，由此推断5月份的总营业额约为5×31＝155（万元）根据所学的统计知识，你认为这样的推断是否合理？答：__________．
9．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，如果AD＝8，DB＝6，EC＝9，那么AE＝__________．
10．在离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为a，如果测角仪高为1.5米，那么旗杆的高为__________米，（用含a的三角比表示）．
11．在△ABC中，如果AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，那么这个三角形的重心G到BC的距离是__________cm．
12．两个以点O为圆心的同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，如果AB的长为24，大圆的半径OA为13，那么小圆的半径为__________．
13．在Rt△ABC中，∠A＜∠B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么∠A等于__________度．
14．已知AD是△ABC的角平分线，E、F分别是边AB、AC的中点，连结DE、DF，在不再连结其他线段的前提下，要使四边形AEDF成为菱形，还需添加一个条件，这个条可以是__________．
二、多项选择题（本大题4题，每题3分，满分12分）
［每题列出的四个答案中，至少有一个是正确的，把所有正确答案的代号填入括号内，错选或不选得0分，否则每漏选一个扣1分，直至扣完为止］
15．在下列各数中，是无理数的是（）
（A）π；
（B）
227；
（C）9；
（D）4．
16．在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）
2（A）2和12；
（B）2和；
3（C）4ab和ab；
（D）a1和a1．
17．如果两个半径不相等的圆有公共点，那么这两个圆的公切线可能是（）
（A）1条；
（B）2条；
（C）3条；
（D）4条
18．下列命题中，正确的是（）
（A）正多边形都是轴对称图形；
（B）正多边形一个内角的大小与边数成正比例；
（C）正多边形一个外角的大小随边数的增加而减少；
（D）边数大于3的正多边形的对角线长相等．
三、（大小题共4题，每题7分，满分28分）x2x2x12x62
219．计算：．
x1xx6x92
3x15x1,
20．解不等式组：465xx6.33①②
21．如图1，已知四边形ABCD中，BC＝CD＝DB，∠ADB＝90°，cos∠ABD＝求S△ABD︰S△BCD．
45，图1
22．某校在六年级和九年级男生中分别随机抽取20名男生测量他们的身高，绘制的频数分布直方图如图2所示，其中两条点划线上端的数值分别是每个年级被抽20名男生身高的平均数，该根据该图提供的信息填空：
图2
（1）六年级被抽取的20名男生身高的中位数所在组的范围是__________厘米；
九年级被抽取的20名男生身高的中位数所在组的范围是__________厘米．
（2）估计这所学校九年级男生的平均身高比六年级男生的平均身高高__________厘米．
（3）估计这所学校六、九两个年级全体男生中，身高不低于153厘米且低于163厘米的男生所占的百分比是__________．
四、（本大题共4题，每题10分，满40分）
23．已知：二次函数y＝x－2（m－1）x＋m－2m－3，其中m为实数．
2（1）求证：不论m取何实数，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；
（2）设这个二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0）．B（x2，0），且x1、x2的倒数和为23，求这个二次函数的解析式．
24．已知：如图3，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，直线CM、DN分别切半圆于点C、D，且分别和直线AB相交于点M、N．
图3
（1）求证：MO＝NO；
（2）设∠M＝30°，求证：NM＝4CD．
25．某班进行个人投篮比赛，受污损的下表记录了在规定时间内设进n个球的人数分布情况：
同时，已知进球3个或3个以上的人平均每人投进3.5个球；进球4个或4个以下的人平均每人投进2.5个求，问投进3个球和4个求的各有多少人．
26．如图4，直线y＝
12x＋2分别交x、y轴于点A、C，P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥x轴，B为垂足，S△ABP＝9．
图4
（1）求点P的坐标；
（2）设点R与点P的同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作RT⊥x轴，T为垂足，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标.五、（本大题只有1题，满分12分，（1）、（2）、（3）题均为4分）
27．操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．
图5图6图7
探究：设A、P两点间的距离为x．
（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论；
（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由．
（图
5、图
6、图7的形状大小相同，图5供操作、实验用，图6和图7备用）
上海市2002年中等学校高中阶段招生文化考试
数学试卷答案要点与评分说明
一．填空题（本大题共14题，每题2分，满分28分）
1．4；
6．－2； 2．2；
23．3.84×10；
14．x＝1；
5．（3，－6）； 9．12；
13．30； 7．y＋4y＋1＝0；
8．不合理；
12．5；
10．20tan＋1.5；
11．1；
14．AB＝AC、∠B＝∠C、AE＝AF、AE＝ED、DE∥AC、„中的一个
二、多项选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分）
15．A、D；
16．B、C
17．A、B、C
18．A、C
三、（本大题共4题，每题7分，满分28分）
19．解：原式＝x2x1x1x3x3x122x3
„„„„„„„„（4分）x3x2x3x32x
3＝
＝
20．„„„„„„„„（2分）
x3＝1．
„„„„„„„„（1分）
解：由①解得 x＜3
„„„„„„„„（3分）
由②解得 x≥
„„„„„„„„（3分）
∴ 原不等式组的解集是
21．解：∵ cos∠ABD＝
45≤x＜3
„„„„„„„„（1分）
∴ 设AB＝5k
BD＝4k（k＞0），得AD＝3k
„„„„„„„„（1分）
于是S△ABC＝12AD·BD＝6k
„„„„„„„„（2分）
2∴ △BCD是等边三角形，∴ S△BCD＝34BD＝43k
„„„„„„„„（2分）
2∴ S△ABD︰S△BCD＝6k︰43k＝3︰2
„„„„„„„„（2分）
22．（1）148～153
„„„„„„„„（1分）
168～173
„„„„„„„„（1分）
（2）18.6
„„„„„„„„（2分）
（3）22.5%
„„„„„„„„（3分）
四、（本大题共4题，每题10分，满分40分）
23．（1）证明：
和这个二次函数对应的一元二次方程是x－2（m－1）x＋m－2m－3＝0
Δ＝4（m－1）－4（m－2m－3）
„„„„„„„„（1分）
＝4m－8m＋4－4m＋8m＋12
„„„„„„„„（1分）
＝16＞0．
„„„„„„„„（1分）
∵ 方程x－2（m－1）x＋m－2m－3＝0必有两个不相等的实数根．
∴ 不论m取何值，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点．
„„„„„（1分）
（2）解：
由题意，可知x1、x2是方程x－2（m－1）x＋m－2m－3＝0的两个实数根，∴ x1＋x2＝2（m－1），x1·x2＝m－2m－3．
„„„„„„„„（2分）
∵ 1x11x22
32222
22，即
x1x2x1x223，∴
2m1m22m323（*）„„„„（1分）
解得 m＝0或m＝5
„„„„„„„„（2分）
经检验：m＝0，m＝5都是方程（*）的解
∴ 所求二次函数的解析是y＝x＋2x－3或y＝x－8x＋12．„„„„„„„„（1分）
24．证明：连结OC、OD．
（1）∵ OC＝OD，∴ ∠OCD＝∠ODC
„„„„„„„„（1分）
∵ CD∥AB，∴ ∠COD＝∠COM，∠ODC∠DON．
∴ ∠COM＝∠DON
„„„„„„„„（1分）
∵ CM、DN分别切半圆O于点C、D，∴ ∠OCM＝∠ODN＝90°． „（1分）
2∴ △OCM≌△ODN．
„„„„„„„„（1分）
∴ OM＝ON．
„„„„„„„„（1分）
（2）由（1）△OCM≌△ODN可得∠M＝∠N．
∵ ∠M＝30°∴ ∠N＝30°
„„„„„„„„（1分）
∴ OM＝2OD，ON＝2OD，∠COM＝∠DON＝60°
„„„„„„„„（1分）
∴ ∠COD＝60°
„„„„„„„„（1分）
∴ △COD是等边三角形，即CD＝OC＝OD．
„„„„„„„„（1分）
∴ MN＝OM＋ON＝2OC＋2OD＝4CD．
„„„„„„„„（1分）
25．解：设投进3个球的有x个人，投进4个球的有y个人„„„„„„„„（1分）
3x4y523.5,xy2
由题意，得
（*）„„„„„„„„（4分）
0112273x4y2.5.127xyxy6,整理，得
„„„„„„„„（2分）
x3y18
解得x9,y„„„„„„„„（2分）
经检验：x9,y3 是方程组（*）的解．
答：投进3个球的有9个人，投进4个球的有3个人．
„„„„„„„„（1分）
26．解：
（1）由题意，得点C（0，2），点A（－4，0）．
„„„„„„„„（2分）
设点P的坐标为（a，由题意，得S△ABP＝
1212a＋2），其中a＞0．
12（a＋4）（a＋2）＝9．
„„„„„„„„（1分）
解得a＝2或a＝－10（舍去）
„„„„„„„„（1分）
而当a＝2时，12a＋2＝3，∴ 点P的坐标为（2，3）． „„„„„„„„（1分）
kx
（2）设反比例函数的解析式为y＝
．
k2
∵ 点P在反比例函数的图象上，∴ 3＝，k＝6
∴ 反比例函数的解析式为y＝
设点R的坐标为（b，那么BT＝b－2，RT＝
6b6b6x，„„„„„„„„（1分）），点T的坐标为（b，0）其中b＞2，．
RTAOBTCO
①当△RTB～△AOC时，6，即
RTBTAOCO 2，„„„„„„（1分）
∴ b． 2，解得b＝3或b＝－1（舍去）b2
∴ 点R 的坐标为（3，2）．
„„„„„„„„（1分）
①当△RTB∽△COA时，6RTCOBTAO，即
RTBTCOAO12，„„„„„„（1分）
∴ 1b． ，解得b＝1＋13或b＝1－13（舍去）b221312
∴ 点R 的坐标为（1＋13，）．
„„„„„„„„（1分）
综上所述，点R的坐标为（3，2）或（1＋13，1312）．
五、（本大题只有1题，满分12分，（1）、（2）、（3）题均为4分）
27．图1
图2
图3
（1）解：PQ＝PB
„„„„„„„„（1分）
证明如下：过点P作MN∥BC，分别交AB于点M，交CD于点N，那么四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形（如图1）．
∴ NP＝NC＝MB．
„„„„„„„„（1分）
∵ ∠BPQ＝90°，∴ ∠QPN＋∠BPM＝90°．
而∠BPM＋∠PBM＝90°，∴ ∠QPN＝∠PBM．
„„„„„„„„（1分）
又∵ ∠QNP＝∠PMB＝90°，∴ △QNP≌△PMB． „„„„„„„„（1分）
∴ PQ＝PB．
（2）解法一
由（1）△QNP≌△PMB．得NQ＝MP．
∵ AP＝x，∴ AM＝MP＝NQ＝DN＝
22x，BM＝PN＝CN＝1－
22x，∴ CQ＝CD－DQ＝1－2·
22x＝1－2x．
得S△PBC＝1212BC·BM＝
1212×1×（1－
22x）＝
12－
2412x． „„„„„„（1分）
324122
x
（1分）
S△PCQ＝CQ·PN＝
×（1－2x）（1－
122
22x）＝－x＋
S四边形PBCQ＝S△PBC＋S△PCQ＝
即 y＝
解法二 122
x－2x＋1．
22x－2x＋1（0≤x＜）．
„„„„„„„„（1分，1分）
作PT⊥BC，T为垂足（如图2），那么四边形PTCN为正方形．
∴ PT＝CB＝PN．
又∠PNQ＝∠PTB＝90°，PB＝PQ，∴△PBT≌△PQN．
S四边形PBCQ＝S△四边形PBT＋S四边形PTCQ＝S四边形PTCQ＋S△PQN＝S正方形PTCN „（2分）
＝CN＝（1－
122
22x）＝
12x－2x＋1
∴ y＝x－2x＋1（0≤x＜2
2）．
„„„„„„„„（1分）（3）△PCQ可能成为等腰三角形
①当点P与点A重合，点Q与点D重合，这时PQ＝QC，△PCQ是等腰三角形，此时x＝0
„„„„„„„„（1分）
②当点Q在边DC的延长线上，且CP＝CQ时，△PCQ是等腰三角形（如图3）
„„„„„„„„（1分）
解法一 此时，QN＝PM＝
22x，CP＝2－x，CN＝
22CP＝1－
22x．
∴ CQ＝QN－CN＝
22x－（1－
22x）＝2x－1．
当2－x＝2x－1时，得x＝1．
„„„„„„„„（1分）
解法二 此时∠CPQ＝
12∠PCN＝22.5°，∠APB＝90°－22.5°＝67.5°，∠ABP＝180°－（45°＋67.5°）＝67.5°，得∠APB＝∠ABP，∴ AP＝AB＝1，∴ x＝1．
一、试卷评析
1. 注重“双基”考查,反映语言教学的核心本质
试卷中的语音、词汇和语法部分基本覆盖考纲要求掌握的知识点,对音标、词性、时态、语态、非谓语、状语从句、情态动词、间接引语、语言功能等多个项目进行了考查,有极高的内容效度。这些部分的试题难度在近几年上海中考英语试卷中控制得较好,难度总体偏低。本次试卷中还有一定数量的试题考查了初中阶段重点但易错的知识点,如在考查“some…others…”结构时学生容易混淆others与相近词,又如在考查“be busy doing”结构时学生对动词形式的把握容易出错。此外,尽管是双基考查,但对基本知识和技能的检测也并非简单机械,如两篇5选4的选词填空就旨在引导学生在丰富的语境中思考词汇的运用,由此考查单词和词组的掌握程度。
2. 关注实际生活,呈现语言教学的时代特征
听力部分的语言材料大多采用日常对话与独白留言等生活口语形式,涉及旅游、购物、季节、宠物、求助热线等多个生活话题,拥有丰富生活元素的听力测试可以有效地检测并反映学生在实际生活中运用语言的能力。以上这个特点在其他部分也有所体现,如语法部分提及了微信,阅读部分论及了当前世界其他国家的学校教育。可以说,试卷融合了大量贴近生活的信息,激活了学生头脑中原有的图式,具有强烈的时代气息。
3. 考查多种技能,促进语言教学的丰富完整
较之以往,2015年上海中考试卷对阅读技能的考查进行了拓展,具体有下述两个突破。
(1)往年的阅读理解仅注重考查学生能否在不借助词典的情况下阅读含有1～3%生词的语言材料的能力,但在2015年的中考英语阅读理解试题中,命题者还考查了学生能否借助词典来阅读语言材料的能力。以D篇为例,这是一篇关于信件往来的阅读材料,围绕“圣诞老人送礼物是否属实”的主题展开。该阅读材料的文体和话题对考生颇为新鲜,而语言文字具一定难度,就此,命题者在试卷中提供生词表以间接考查学生能否凭借词典进行难度较大的文本阅读。可以说,2015年的上海中考英语试卷对学生的语言综合运用技能(尤阅读技能)的考查进行了丰富,考查学生使用语言工具的能力。
(2)以往的阅读理解对英语标识或图标理解能力的考查较为忽略,而2015年的中考试卷填补了这一空白。比如,在B篇中,命题者巧妙地将阅读文本和英语标识有机结合,一幅标识对应一个段落。要答对该题,考生就需要阅读文本的第三段并把握该段主旨“作出正确人生决定的重要性”,方可得到对应的正确答案。
4. 鼓励创新思维,体现语言教学的未来趋势
作文试题是本张试卷的一大亮点,以开放性极高的题目设置,要求学生写一篇关于自己想进行的发明创造。选题恰到好处,灵活度较大,给予学生充分而自由的想象空间,去整理日常生活所引发的奇思妙想并梳理成文。这种对创新思维的鼓励能够让教师进一步意识到在日常教学中促进学生创新思维培养的必要性。语言课堂不仅要传授学生语言知识与技能,还要培养学生思维,尤其是创新思维,这是未来语言教学的发展趋势。中考增添考查学生创新思维的内容,显然对日常教学有一定的指导意义,能有效推动语言教学的变革。
5. 精选语言材料,凸显语言教学的人文属性
2015年上海中考英语试卷涉及多个维度的语言素材,包括家庭和睦、包容理解、消费节俭、社会和谐、独立思考、社区服务、慈善关爱、科技应用、生态平衡等。这些内容无形之中在答题时要求学生反馈其对人与自然、人与社会的认识和思考。可见,中考作为教学一个重要的检测环节,作为考查学习成效的一种途径,同样充分考虑人文元素的涵盖问题,引导学生关注社会生活,同时增强服务社会生活的意识。初中阶段是人生观和价值观逐步确立的时期,在此期间能否形成积极正确的情感、态度和观念对学生今后的学习生活有着深远影响。因此,正如中考所指引的,在初中英语教学中融入人文教育乃必要之举。
二、复习教学建议
根据以上对2015年上海中考英语试卷的分析,教师可以从以下五个方面开展复习教学。
1. 注重听力文本的真实性,分级设置听力任务
在2015年的上海市中考英语试卷听力部分中,听力语篇不仅有分角色朗读,还有电话铃声的插入,更接近真实生活场景,也更容易让学生理解。无论是句子的长度、句型的变化还是选取的材料,都贴近现实生活。从备考角度看,这就要求学生注重日常生活中语言的实际运用,接触贴近生活的语言材料。因此,教师需要坚持听力语言材料的真实性和听力任务设计的真实性:在日常的听力教学中,充分使用录像资源、电视广播节目、网络资源、原版电影电视剧、英语歌曲等地道的真实语言材料。与此同时,教师还可以进行任务分级,以控制任务难度的方式增进学生自然交际的信心和能力。
2. 重视考纲的基础知识,使学生掌握扎实的句法、词法
尽管2015年中考的语法选择部分对语法知识点的考查相对常规,但若掌握得不扎实,基础题也会成为易错题。所以,教师应引导学生仍应重视考纲,对考纲里的知识点举一反三。教师也应当帮助学生在日常教学中储备句式、词性等基本知识,以准确判断考题中缺失的句子成分和相应词性,同时留意词汇手册中一词双性的单词,避免词性判断的失误,并掌握不同词性之间转换的基本规则,注意常见前缀与后缀的含义及用法;此外,鼓励学生养成记纠错本的习惯,梳理其自身薄弱的语法知识点。
3. 关注阅读题材的多样性,培养学生良好的阅读习惯
由2015年上海中考英语试卷阅读部分可见,A篇的文本是非常贴近学生生活的课程表,D篇的两封信件不仅具有诗歌形式,还通过word box帮助学生保持阅读的整体性,这都在要求学生平日能够接触不同题材的语言学习材料,利用英语报纸、课外英语读物等拓宽阅读面,同时养成良好的阅读习惯。“授之以鱼,不如授之以渔”,教师在结合中考英语试卷不同文体的阅读特点和解题策略的教学中,还需要带领学生总结相应的阅读技巧,共同分析常犯错误,指导学生进行有效的阅读。比如,教师要求学生限时阅读,抓住段落主题句或文章中心句,把握文章大意。教师可以利用不同文体,帮助学生使用正确的阅读策略,由此提高阅读能力。此外,在进行英语阅读技能训练的同时,教师也需要逐步培养学生正确的阅读习惯,如自查生词、揣摩词义的自学能力。而学生一旦有了较强的阅读能力,语言技能便会有质的飞跃,在书面表达能力和解题速度上都能有明显体现。
4. 进行真实写作,培养学生的创新思维和想象力
2015年上海市中考英语作文试题设置提醒教师在创新时代的大背景下,应鼓励学生勤于思考,发挥想象,勇于创新,用真实的语言表达真实的愿望。文章要出彩,生搬硬套句子自然无用,需要的是学生平日对基本单词、词组和句型的积累。对此,教师可以建议学生写英语日记,或对课文内容进行仿写、概括等写作操练,在此基础上鼓励学生表达自己的真实想法,自由地展开想象,在自我抒发、自我畅想的过程中提升思维和创新力。
5. 创设文化语境,加强学生的人文素养培养
显现于本次试卷的人文元素,无疑突出了人文教育培养的重要性。在英语教学中,让学生了解和掌握所学语言的文化背景和语言习惯,应成为教师的教学任务之一。为此,教师应当在课堂教学中创设具体形象的文化语境,鼓励学生进行角色交谈和沟通,通过各种交际场合,带领学生了解国外的风俗习惯、社会心理、文化礼仪等人文知识。由此,学生不仅可以在交流中提升语言技能,做到中西方文化的和谐贯通,还能在潜移默化之间吸取外来的文化精髓,并自主地内化为个人的精神品格,使自身的文化素养逐步得到提升。
生活中总有值得我们铭记的日子，正是“这一天”让我们的生命更加丰富。“这一天”，可能是从清晨到日暮都那么不同寻常；也可能是某一个时刻让“这一天”变得不同凡响。
请以“记住这一天”为题，写一篇600字左右的文章。
【满分作文】
记住这一天
一考生
月亮孤零零地挂在天上，我也孤零零地坐在窗前，月亮的银光照射在我脸上，似乎把我的心照得更酸更痛。我的嘴里咸咸的，是泪吗？我怎么会哭了呢？不就是妈妈不记得今天是我的生日吗？她只知道工作，工作，怎么连宝贝女儿的生日都忘了呢？
突然，从门外传来脚步声。是妈妈回来了，我暗暗吃了一惊，但马上抹了把泪，跳上床，把头深深地埋进被子里，我绝不能让妈妈知道我哭过。门“吱”地打开了，妈妈轻轻地走了进来。坐在床沿边，轻轻地托起我埋在被子里的头，理了理我的头发……那双手温暖极了，我却觉得更委屈，既然这么“关心”我，为什么不记得我的生日？真的伤透了我这个做女儿的心。想到这里，我故意翻了个身，把妈妈刚给我盖好的被子一脚蹬到地上，心中不由暗自得意。妈妈叹了口气，捡起被子轻轻拍了拍上面的灰重新给我盖上，然后吻了一下我的额头，放一样什么东西便出去了。
半晌听不见动静，我睁开双眼，发现妈妈留下了几本书和一张字条。那些书全是我喜欢的文学作品，什么《绝妙诗词文》，什么《现代散文选》我简直陶醉了，过了许久，我才去留意那张字条，上面写了几行字：
芳芳：
今天是你的生日，妈实在是抽不出时间陪你。你在怪妈妈，对吗？原谅妈妈。这几本书是妈妈送你的礼物，希望你能喜欢。
妈妈
我看着看着，不由得对刚才的行为感到内疚。偷偷打开房门一条小缝儿，对面房间的灯光还亮，妈妈还伏在写字台上写工作报告。望着妈妈那为了事业、为了家庭、为了我而日益消瘦的背影，我心头一热，嘴里又是咸咸的。14岁了，长大了一岁，应该多一份对妈妈的理解和爱，怎么能只要求妈妈关心理解自己呢？我轻轻地走出房间，给妈妈倒了杯热茶，把对妈妈的关心、理解、爱统统融进了热茶之中。这也许是世界上最有韵味的茶了。当我把茶端到妈妈面前时，妈妈那双红肿的眼睛赞许地看着我。此时不需要任何表白，不需要做任何的解释，静寂中洋溢着温情。
这一刻我永远不会忘记，因为它让14岁的我懂得了，两代人的沟通，需要彼此的爱与理解，不是吗？
【点评】
黄浦区教师进修学院数学教研员李建国
继语文、外语后，今年中考数学也将使用答题纸答题，并在全市集中电脑阅卷。根据这一变化，我们应该如何应对呢？首先，要把握好目前的中考动向，特别是今年可能出现的变化。近年来上海的中考越来越注重解题过程的规范和解答过程的完整。有很多学生认为只要解出题目的答案就万事大吉了，其实有过程的解答题，过程分比最后的`答案要重要得多，不要题目会做而不得分。
答题纸答题要注意：1、为了便于网上阅卷，今年选择题的题目有所增加，由原来的4题增加到8题。根据这一变化考生需加强选择题题型的训练。
2、要注意选择题部分必须用2B铅笔正确填涂，避免错误的填涂方法，以免扫描不清、扫描不出甚至错误。
3、考试答题时，应注意试题的顺序，试题题号应与答题纸上的题号一一对应。
4、注意字体端正，笔迹清楚。不能使用修正液、修正带。
5、注意2B铅笔的使用，除选择题和添辅助线之外一律不能使用铅笔作答；非选择题部分必须使用黑墨水钢笔或黑色水笔。
6、答题务必在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框内的答题或在草稿纸、试卷上答题将一律无效。
7、要保持答题纸整洁，不折叠，不破损。
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，如果BC=2，∠A=α，则AC的长为（）A．2sinα B．2cosα C．2tanα D．2cotα 2．下列抛物线中，过原点的抛物线是（）A．y=x2﹣1 B．y=（x+1）2
C．y=x2+x
D．y=x2﹣x﹣1 3．小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则教学大楼的高度应为（）
A．45米 B．40米 C．90米 D．80米 4．已知非零向量A．∥，∥，，下列条件中，不能判定
C．
=
∥的是（）
=，=
B． D．5．如图，在▱ABCD中，点E是边BA延长线上的一点，CE交AD于点F．下列各式中，错误的是（）
A． B． C． D．
6．如图，已知在△ABC中，cosA=，BE、CF分别是AC、AB边上的高，联结EF，那么△AEF和△ABC的周长比为（）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．已知，则的值为 ． 8．计算：（﹣3）﹣（+2）= ．
9．已知抛物线y=（k﹣1）x+3x的开口向下，那么k的取值范围是 ． 10．把抛物线y=x2向右平移4个单位，所得抛物线的解析式为 ． 11．已知在△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB的长是 ．
12．如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、C、E和点B、D、F，如果AC：CE=3：5，BF=9，那么DF= ． 2
13．已知点A（2，y1）、B（5，y2）在抛物线y=﹣x+1上，那么y1 y2．（填“＞”、“=”或“＜”）14．已知抛物线y=ax+bx+c过（﹣1，1）和（5，1）两点，那么该抛物线的对称轴是直线 ． 15．在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，AD⊥BC，垂足为D，BE是△ABC 的中线，AD与BE相交于点G，那么AG的长为 ．
16．在一个距离地面5米高的平台上测得一旗杆底部的俯角为30°，旗杆顶部的仰角为45°，则该旗杆的高度为 米．（结果保留根号）
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为 ．
218．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=9，cosB=，把△ABC绕着点C旋转，使点B与AB边上的点D重合，点A落在点E，则点A、E之间的距离为 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．计算：
．
=，=． 20．如图，已知点D是△ABC的边BC上一点，且BD=CD，设（1）求向量（2）求作向量（用向量、表示）； 在、方向上的分向量．
（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
21．如图，已知AC∥BD，AB和CD相交于点E，AC=6，BD=4，F是BC上一点，S△BEF：S△EFC=2：3．（1）求EF的长；
（2）如果△BEF的面积为4，求△ABC的面积．
22．某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯AC，截面如图所示，一楼和二楼地面平行（即AB所在的直线与CD平行），层高AD为8米，∠ACD=20°，为使得顾客乘坐自动扶梯时不至于碰头，A、B之间必须达到一定的距离．
（1）要使身高2.26米的姚明乘坐自动扶梯时不碰头，那么A、B之间的距离至少要多少米？（精确到0.1米）
（2）如果自动扶梯改为由AE、EF、FC三段组成（如图中虚线所示），中间段EF为平台（即EF∥DC），AE段和FC段的坡度i=1：2，求平台EF的长度．（精确到0.1米）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
23．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB上的中点，E是边BC上的点，AE与CD交于点F，且AC=CE•CB．（1）求证：AE⊥CD；
（2）连接BF，如果点E是BC中点，求证：∠EBF=∠EAB．
224．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（3，0），C（0，3），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；
（2）点C关于抛物线y=﹣x+bx+c对称轴的对称点为E点，联结BC，BE，求∠CBE的正切值；（3）点M是抛物线对称轴上一点，且△DMB和△BCE相似，求点M坐标． 2
25．如图，已知四边形ABCD是矩形，cot∠ADB=，AB=16．点E在射线BC上，点F在线段BD上，且∠DEF=∠ADB．（1）求线段BD的长；
（2）设BE=x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；（3）当△DEF为等腰三角形时，求线段BE的长．
2017年上海市松江区中考数学一模试卷参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，如果BC=2，∠A=α，则AC的长为（）A．2sinα B．2cosα C．2tanα D．2cotα 【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】根据锐角三角函数的定义得出cotA=【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴cotA=，代入求出即可．
∵BC=2，∠A=α，∴AC=2cotα，故选D．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键，注意：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，则sinA=
2．下列抛物线中，过原点的抛物线是（）A．y=x2﹣1 B．y=（x+1）2
C．y=x2+x
D．y=x2﹣x﹣1，cosA=，tanA=，cotA=
．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】分别求出x=0时y的值，即可判断是否过原点． 【解答】解：A、y=x2﹣1中，当x=0时，y=﹣1，不过原点； B、y=（x+1）2中，当x=0时，y=1，不过原点； C、y=x2+x中，当x=0时，y=0，过原点； D、y=x2﹣x﹣1中，当x=0时，y=﹣1，不过原点； 故选：C． 【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握抛物线上特殊点的坐标及一般点的坐标的求法是解题的关键．
3．小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则教学大楼的高度应为（）
A．45米 B．40米 C．90米 D．80米 【考点】相似三角形的应用． 【专题】应用题．
【分析】在相同时刻，物高与影长组成的直角三角形相似，利用对应边成比例可得所求的高度． 【解答】解：∵在相同时刻，物高与影长组成的直角三角形相似，∴1.5：2=教学大楼的高度：60，解得教学大楼的高度为45米． 故选A．
【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：在相同时刻，物高与影长的比相同．
4．已知非零向量A．∥，∥，，下列条件中，不能判定
C．
=
∥的是（）
=，=
B． D．【考点】*平面向量．
【分析】根据向量的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、B、C、D、==，∥，∥，则、都与
平行，三个向量都互相平行，故本选项错误；
表示两个向量的模的数量关系，方向不一定相同，故不一定平行，故本选项正确；，说明两个向量方向相反，互相平行，故本选项错误； =，则、都与
平行，三个向量都互相平行，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量，主要利用了向量平行的判定，是基础题．
5．如图，在▱ABCD中，点E是边BA延长线上的一点，CE交AD于点F．下列各式中，错误的是（）
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解． 【解答】解：∵AD∥BC ∴=，故A正确；
∵CD∥BE，AB=CD，∴△CDF∽△EBC ∴=，故B正确；
∵AD∥BC，∴△AEF∽△EBC ∴=，故D正确．
∴C错误． 故选C．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
6．如图，已知在△ABC中，cosA=，BE、CF分别是AC、AB边上的高，联结EF，那么△AEF和△ABC的周长比为（）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9 【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】由△AEF∽△ABC，可知△AEF与△ABC的周长比=AE：AB，根据cosA=
=，即可解决问题． 【解答】解：∵BE、CF分别是AC、AB边上的高，∴∠AEB=∠AFC=90°，∵∠A=∠A，∴△AEB∽△AFC，∴∴==，∵∠A=∠A，∴△AEF∽△ABC，∴△AEF与△ABC的周长比=AE：AB，∵cosA==，∴∴△AEF与△ABC的周长比=AE：AB=1：3，故选B．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．已知，则的值为
．
【考点】比例的性质．
【分析】用a表示出b，然后代入比例式进行计算即可得解． 【解答】解：∵ =，∴b=a，∴==．
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，用a表示出b是解题的关键．
8．计算：（﹣3）﹣（+2）= 【考点】*平面向量．
． 【分析】根据平面向量的加法计算法则和向量数乘的结合律进行计算． 【解答】解：：（﹣3）﹣（+2）=﹣3﹣故答案是：．
﹣×2）=
．
【点评】本题考查了平面向量，熟记计算法则即可解题，属于基础题型．
9．已知抛物线y=（k﹣1）x2+3x的开口向下，那么k的取值范围是 k＜1 ． 【考点】二次函数的性质．
【分析】由开口向下可得到关于k的不等式，可求得k的取值范围． 【解答】解：
∵y=（k﹣1）x+3x的开口向下，∴k﹣1＜0，解得k＜1，故答案为：k＜1．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向与二次项系数有关是解题的关键．
10．把抛物线y=x2向右平移4个单位，所得抛物线的解析式为 y=（x﹣4）2 ． 【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】直接根据“左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将y=x2向右平移4个单位，所得函数解析式为：y=（x﹣4）．
故答案为：y=（x﹣4）2．
【点评】本题考查的是函数图象平移的法则，根据“上加下减，左加右减”得出是解题关键．
11．已知在△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB的长是 8 ． 【考点】解直角三角形．
【专题】计算题；等腰三角形与直角三角形． 【分析】利用锐角三角函数定义求出所求即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，∴sinA=，即=，22解得：AB=8，故答案为：8
【点评】此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
12．如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、C、E和点B、D、F，如果AC：CE=3：5，BF=9，那么DF= ．
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论． 【解答】解：∵AC：CE=3：5，∴AC：AE=3：8，∵AB∥CD∥EF，∴∴BD=∴DF=，，． 故答案为：【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，关键是找出对应的比例线段，写出比例式，用到的知识点是平行线分线段成比例定理．
13．已知点A（2，y1）、B（5，y2）在抛物线y=﹣x2+1上，那么y1 ＞ y2．（填“＞”、“=”或“＜”）
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】分别计算自变量为2、5时的函数值，然后比较函数值的大小即可． 【解答】解：当x=2时，y1=﹣x+1=﹣3； 当x=5时，y2=﹣x2+1=﹣24； ∵﹣3＞﹣24，∴y1＞y2． 故答案为：＞
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
14．已知抛物线y=ax2+bx+c过（﹣1，1）和（5，1）两点，那么该抛物线的对称轴是直线 x=2 ． 【考点】二次函数的性质．
【分析】根据函数值相等的点到对称轴的距离相等可求得答案． 【解答】解：
∵抛物线y=ax+bx+c过（﹣1，1）和（5，1）两点，∴对称轴为x=故答案为：x=2．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数值相等的点到对称轴的距离相等是解题的关键．
15．在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，AD⊥BC，垂足为D，BE是△ABC 的中线，AD与BE相交于点G，那么AG的长为 2 ．
【考点】三角形的重心；等腰三角形的性质；勾股定理．
【分析】先根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AD，再判断点G为△ABC的重心，然后根据三角形重心的性质来求AG的长．
【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴AD==3，=2，22∵中线BE与高AD相交于点G，∴点G为△ABC的重心，∴AG=3×=2，故答案为：2
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理以及三角形的重心的性质，判断点G为三角形的重心是解题的关键．
16．在一个距离地面5米高的平台上测得一旗杆底部的俯角为30°，旗杆顶部的仰角为45°，则该旗杆的高度为 5+5 米．（结果保留根号）
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】CF⊥AB于点F，构成两个直角三角形．运用三角函数定义分别求出AF和BF，即可解答． 【解答】解：作CF⊥AB于点F．
根据题意可得：在△FBC中，有BF=CE=5米． 在△AFC中，有AF=FC×tan30°=5则AB=AF+BF=5+5故答案为：5+5米 ．
米．
【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为 ．
【考点】线段垂直平分线的性质． 【专题】探究型．
【分析】设CE=x，连接AE，由线段垂直平分线的性质可知AE=BE=BC+CE，在Rt△ACE中，利用勾股定理即可求出CE的长度． 【解答】解：设CE=x，连接AE，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE=BE=BC+CE=3+x，∴在Rt△ACE中，AE2=AC2+CE2，即（3+x）2=42+x2，解得x=． 故答案为：．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=9，cosB=，把△ABC绕着点C旋转，使点B与AB边上的点D重合，点A落在点E，则点A、E之间的距离为 ．
【考点】旋转的性质；解直角三角形．
【分析】先解直角△ABC，得出BC=AB•cosB=9×=6，AC=得出BC=DC=6，AC=EC=
3=3
．再根据旋转的性质，∠BCD=∠ACE，利用等边对等角以及三角形内角和定理得出∠B=∠CAE．作CM⊥BD于M，作CN⊥AE于N，则∠BCM=∠BCD，∠ACN=∠ACE，∠BCM=∠ACN．解直角△ANC求出AN=AC•cos∠CAN=3×=
2，根据等腰三角形三线合一的性质得出AE=2AN=4
．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AB=9，cosB=，∴BC=AB•cosB=9×=6，AC=
=3
．
∵把△ABC绕着点C旋转，使点B与AB边上的点D重合，点A落在点E，∴△ABC≌△EDC，BC=DC=6，AC=EC=3∴∠B=∠CAE．
作CM⊥BD于M，作CN⊥AE于N，则∠BCM=∠BCD，∠ACN=∠ACE，∴∠BCM=∠ACN．
∵在△ANC中，∠ANC=90°，AC=3∴AN=AC•cos∠CAN=3∴AE=2AN=4故答案为4． ． ×=2，cos∠CAN=cosB=，，∠BCD=∠ACE，【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了解直角三角形以及等腰三角形的性质．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．计算：
．
【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值． 【分析】直接将特殊角的三角函数值代入求出答案．
【解答】解：原式= === ．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．
20．如图，已知点D是△ABC的边BC上一点，且BD=CD，设（1）求向量（2）求作向量（用向量、表示）； 在、方向上的分向量．
=，=．
（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
【考点】*平面向量．
【分析】（1）在△ABD中，利用平面向量的三角形加法则进行计算；
（2）根据向量加法的平行四边形法则，过向量的起点作BC的平行线，即可得出向量向量方向上的分向量． 【解答】解：（1）∵∴∵∴∵∴
（2）解：如图，，且；，在、所以，向量、即为所求的分向量．
【点评】本题考查平面向量，需要掌握一向量在另一向量方向上的分量的定义，以及向量加法的平行四边形法则．
21．如图，已知AC∥BD，AB和CD相交于点E，AC=6，BD=4，F是BC上一点，S△BEF：S△EFC=2：3．（1）求EF的长；
（2）如果△BEF的面积为4，求△ABC的面积．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）先根据S△BEF：S△EFC=2：3得出CF：BF的值，再由平行线分线段成比例定理即可得出结论；
（2）先根据AC∥BD，EF∥BD得出EF∥AC，故△BEF∽△ABC，再由相似三角形的性质即可得出结论． 【解答】解：（1）∵AC∥BD，∴
∵AC=6，BD=4，∴
∵△BEF和△CEF同高，且S△BEF：S△CEF=2：3，∴∴，．
∴EF∥BD，∴，∴∴，（2）∵AC∥BD，EF∥BD，∴EF∥AC，∴△BEF∽△ABC，∴．
∵∴，．
∵S△BEF=4，∴∴S△ABC=25．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
22．某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯AC，截面如图所示，一楼和二楼地面平行（即AB所在的直线与CD平行），层高AD为8米，∠ACD=20°，为使得顾客乘坐自动扶梯时不至于碰头，A、B之间必须达到一定的距离．
（1）要使身高2.26米的姚明乘坐自动扶梯时不碰头，那么A、B之间的距离至少要多少米？（精确到0.1米）
（2）如果自动扶梯改为由AE、EF、FC三段组成（如图中虚线所示），中间段EF为平台（即EF∥DC），AE段和FC段的坡度i=1：2，求平台EF的长度．（精确到0.1米）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36），【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 【分析】（1）连接AB，作BG⊥AB交AC于点G，在Rt△ABG中，利用已知条件求出AB的长即可；（2）设直线EF交AD于点P，作CQ⊥EF于点Q，设AP=x，则PE=2x，PD=8﹣x，在Rt△ACD中利用已知数据可求出CD的长，进而可求出台EF的长度．
【解答】解：（1）连接AB，作BG⊥AB交AC于点G，则∠ABG=90° ∵AB∥CD，∴∠BAG=∠ACD=20°，在Rt△ABG中，∵BG=2.26，tan20°≈0.36，∴∴AB≈6.3，答：A、B之间的距离至少要6.3米．
（2）设直线EF交AD于点P，作CQ⊥EF于点Q，∵AE和FC的坡度为1：2，∴，，设AP=x，则PE=2x，PD=8﹣x，∵EF∥DC，∴CQ=PD=8﹣x，∴FQ=2（8﹣x）=16﹣2x，在Rt△ACD中，∵AD=8，∠ACD=20°，∴CD≈22.22 ∵PE+EF+FQ=CD，∴2x+EF+16﹣2x=22.22，∴EF=6.22≈6.2 答：平台EF的长度约为6.2米．，【点评】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是坡度角，关键是根据题意做出辅助线，构造直角三角形．
23．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB上的中点，E是边BC上的点，AE与CD交于点F，且AC2=CE•CB．（1）求证：AE⊥CD；
（2）连接BF，如果点E是BC中点，求证：∠EBF=∠EAB．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）先根据题意得出△ACB∽△ECA，再由直角三角形的性质得出CD=AD，由∠CAD+∠ABC=90°可得出∠ACD+∠EAC=90°，进而可得出∠AFC=90°；
（2）根据AE⊥CD可得出∠EFC=90°，∠ACE=∠EFC，故可得出△ECF∽△EAC，再由点E是BC的中点可知CE=BE，故，根据∠BEF=∠AEB得出△BEF∽△AEB，进而可得出结论．
2【解答】证明：（1）∵AC=CE•CB，∴．
又∵∠ACB=∠ECA=90° ∴△ACB∽△ECA，∴∠ABC=∠EAC． ∵点D是AB的中点，∴CD=AD，∴∠ACD=∠CAD ∵∠CAD+∠ABC=90°，∴∠ACD+∠EAC=90° ∴∠AFC=90°，∴AE⊥CD
（2）∵AE⊥CD，∴∠EFC=90°，∴∠ACE=∠EFC 又∵∠AEC=∠CEF，∴△ECF∽△EAC ∴
∵点E是BC的中点，∴CE=BE，∴
∵∠BEF=∠AEB，∴△BEF∽△AEB ∴∠EBF=∠EAB．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
24．如图，抛物线y=﹣x+bx+c过点B（3，0），C（0，3），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；
（2）点C关于抛物线y=﹣x+bx+c对称轴的对称点为E点，联结BC，BE，求∠CBE的正切值；（3）点M是抛物线对称轴上一点，且△DMB和△BCE相似，求点M坐标． 22 【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据二次函数的性质解答即可；
（2）过点E作EH⊥BC于点H，根据轴对称的性质求出点E的坐标，根据三角形的面积公式求出EH、BH，根据正切的定义计算即可；（3）分和两种情况，计算即可．
2【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x+bx+c经过点B（3，0）和点C（0，3）∴解得，2，∴抛物线解析式为y=﹣x+2x+3，y=﹣x+2x+3=﹣（x﹣1）+4，∴抛物线顶点D的坐标为（1，4），（2）由（1）可知抛物线对称轴为直线x=1，∵点E与点C（0，3）关于直线x=1对称，∴点E（2，3），过点E作EH⊥BC于点H，∵OC=OB=3，∴BC=∵∴解得EH=，，CE=2，22∵∠ECH=∠CBO=45°，∴CH=EH=∴BH=2，； ∴在Rt△BEH中，（3）当点M在点D的下方时
设M（1，m），对称轴交x轴于点P，则P（1，0），∴BP=2，DP=4，∴，∵，∠CBE、∠BDP均为锐角，∴∠CBE=∠BDP，∵△DMB与△BEC相似，∴①或，，，∵DM=4﹣m，∴解得，∴点M（1，）②，则，解得m=﹣2，∴点M（1，﹣2），当点M在点D的上方时，根据题意知点M不存在． 综上所述，点M的坐标为（1，）或（1，﹣2）．
【点评】本题考查的是二次函数知识的综合运用、相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法求二次函数解析式的一般步骤、熟记相似三角形的判定定理和性质定理、掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
25．如图，已知四边形ABCD是矩形，cot∠ADB=，AB=16．点E在射线BC上，点F在线段BD上，且∠DEF=∠ADB．（1）求线段BD的长；（2）设BE=x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；（3）当△DEF为等腰三角形时，求线段BE的长．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）由矩形的性质和三角函数定义求出AD，由勾股定理求出BD即可；（2）证明△EDF∽△BDE，得出结果；
（3）当△DEF是等腰三角形时，△BDE也是等腰三角形，分情况讨论： ①当BE=BD时；②当DE=DB时；③当EB=ED时；分别求出BE即可． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，在Rt△BAD中，∴AD=12∴（2）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵∠DEF=∠ADB，∴∠DEF=∠DBC，∵∠EDF=∠BDE，∴△EDF∽△BDE，∴，；，AB=16，求出CE=|x﹣12|，由勾股定理求出DE，即可得出∵BC=AD=12，BE=x，∴CE=|x﹣12|，∵CD=AB=16 ∴在Rt△CDE中，∵，∴，∴，定义域为0＜x≤24（3）∵△EDF∽△BDE，∴当△DEF是等腰三角形时，△BDE也是等腰三角形，①当BE=BD时 ∵BD=20，∴BE=20 ②当DE=DB时，∵DC⊥BE，∴BC=CE=12，∴BE=24； ③当EB=ED时，作EH⊥BD于H，则BH=即∴解得：BE=，；
一、测评统计素养的框架
统计呼唤素质教育, 统计教学的重点应是培养学生统计意识、体会统计基本思想方法;相应的测评也应真正考查学生的统计素养。重在评价学生素养的PISA是这样界定数学素养的:在各种各样情境中能够自觉产生使用数学的意识, 使用数学的概念、程序、事实和工具来描述、解释、说理甚至预测的能力, 看到数学在社会中所起作用, 能够积极参与社会事务、运用数学理智地进行判断和决策的能力, 并给出了数学素养的一个模型[2]25~26。
基于对国内外关于数学素养和统计素养文献的研究, 我们认为统计素养可以包括以下六个要素:基本知识、基本技能、基本活动经验、基本思想观念、运用统计知识提出问题、分析问题和解决问题中涉及的诸多能力、情感和态度[3]。这个框架与上述PISA数学素养模型有许多相似之处。由于情感和态度一般使用问卷单独进行测评, 所以本文暂不涉及这个维度。下面, 我们对上海过去十年的中考题以及PISA2009实测题和PISA2012机考候选题, 在这个框架下进行比较分析, 并对统计素养的测评给出具体建议。
二、PISA与上海中考对统计素养测评的比较
这两项测评的对象年龄相仿, 都为14或15岁的学生;考查的内容大部分也是共同的, 但也有上海学生没有学过的独立性、拟合等内容;PISA使用的开放性解答题、封闭性解答题、复合选择题、单项选择题, 基本上可以与我国的解答题、填空题、判断题、选择题相对应。考查的形式大部分为纸笔测试, 但PISA2012加强了对过程的考查, 创造性地引入了机考 (computer-based assessment of mathematics, CBAM) , 以弥补纸笔测试在考查能力方面的不足[4]。
本研究逐题编码和分析了两项测评中的概率统计测试题, 为38道上海2003~2012年的中考题、8道PISA2009实测题和27道PISA2012机考候选题 (2) 。下面, 我们将分情境与形式、知识与技能、过程与能力三部分进行比较。
(一) 考题的情境与形式
测试题的情境按PISA2009的分类, 分为个人、教育、公众、职业、科学、数学6种, 从前至后, 离学生熟悉的情境越来越远, 离形式化的数学情境越来越近。如掷骰子游戏属于个人情境, 它直接和学生个人日常活动有关。在学校里进行调查等在校园内发生的为教育情境。公众情境则和当地或者广泛的社群有关, 需要学生观察周围环境的某些层面或环节, 天气预报、歌星唱片销量、体育竞赛、彩票等都属于社会情境。工农业生产数量与产品质量、商品销量等与工作场合有关的问题属于职业情境。科学情境则较为抽象, 指将数学用于自然世界、科技领域以及技术过程和理论研究的情境, 如人口数据、地震数据、医学数据、各种垃圾自然分解的时间等等。数学内部问题为数学情境的问题。
测试题的形式有“选择题”“填空题”“解答题”“判断题”“手工制图题”, 以及在计算机环境下的“计算机制图”“计算机实时呈现变化的数据”“计算机模拟试验”。在机考的环境下, 考生可以在屏幕上拖动条形、对三维立体图形进行操作、旋转, 对较多的数据进行有选择的排序、表示、分析, 直观地画出数据拟合线, 让计算机随机产生样本, 并在此基础上研究总体的性质, 用计算机模拟试验来解决概率问题等等。
研究发现, 上海2003~2012年的中考接近一半的概率统计测试题所使用的情境是贴近学生现实的, 以学校生活为主, 其次是公众情境和个人情境, 缺少职业和科学情境, 纯数学情境的只有一题, 是给出一组数据求其中位数。PISA2009考查概率统计只有8道测试题, 情境使用似乎比较均匀, 公众、个人和科学情境使用略多。PISA2012概率统计机考候选题使用最多的情境是科学和职业, 均超过三分之一, 这一方面是因为机考的重点是对数据进行分析, 如分析GDP数据、地震数据、植物与气候关系、面包店各种面包销售情况、职业病数据等等。另一方面, 本研究是以每一道小题作为统计单位的, 机考题常常包含了多道小题, 所以情境的数量容易受多道小题的考题影响。
*注:有3道使用机器的题同时采用了选择或判断的题型
PISA测评的每一题都有真实的情境, 需要相关背景的介绍, 所以在篇幅上比我们的测试题要长, 但其数据与情境融合得好, 难以剥离。上海的中考题虽然也都有现实背景, 但其中约有四分之一的题均是容易剥离情境或可更换情境的问题。
关于测试题型, 近十年的上海中考题用于测试概率统计领域的是选择题、填空题、手工作图题和解答题, 除填空题占绝对优势外, 其他三者在数量上差不多。PISA因为引进了机考, 所以测试题形式比上海中考多, 使用最多的是选择题、填空题和判断题, 计算机环境下的新题型以计算机制条形图为主, 大家期盼的“计算机实时呈现变化的数据”和“计算机模拟试验”的测试题很少, 这可能与开发相应试题的成本、难度有关。必须说明的是, PISA纸笔测试允许学生使用纸笔、橡皮、尺规、计算器这些常规工具, 它认为计算器已经成为人们日常生活和工作中的常用工具, 所以也应该包括在测试可使用的常规工具之内。
两项测评均以封闭性答案考题为主, 应该是考虑到人工评分一致性这一客观要求, PISA测试虽然强调考查素养, 但OECD对命题的指导意见上还是明确指出“题目不应过于开放”, 还给出了具体例题加以说明。
(二) 考查的知识与技能
两个测试考查的基本知识技能有以下11个方面:表示与整理数据 (条形图、折线图、扇形图、散点图、频数 (率) 分布直方图表等统计图表的制作) 、处理数据 (计算平均数、中位数、众数和方差等, 由频率分布求频数) 、平均数的使用条件、平均数的意义、方差的意义、读取数据 (条形图、折线图、扇形图、散点图、频数〈率〉分布图表等统计图表的读取) 、在分析数据基础上作简单推断、样本的代表性、独立性、实验概率、古典概率计算或列全所有可能结果。其中用直线近似刻画两个变量之间的线性相关关系和事件的独立性超出了上海市中考的范围, 但PISA命题范围通常在大多数国家或地区的课程内容之内, 所以上海市乃至全国课程标准制订者可以思考是否需要非形式地涉及这两个内容, 笔者是赞同渗透的, 因为它们本来就都是朴素的统计思想与基本的概率概念。
数据显示, 上海近十年有超过一半的概率统计测试题要求从统计图表中读取数据信息。超过三分之一的测试题考查了处理数据, 都是纯粹的计算题, 计算概率、在分析数据基础上简单推断以及样本的代表性也有一定数量。统计教育重在帮助学生经历从提出问题、收集数据、表示整理数据、分析数据到归纳推断这一完整的统计过程, 相比之下, 上海近十年的中考题考查的重点在计算, 忽视了考查学生自己选取数据、选取处理数据的方法、基于数据分析归纳推断出结论的能力以及解释计算结果的意义的能力, 这也许与教材编写忽视这些过程与能力有关系, 这与PISA题目覆盖知识与技能较多、考查处理数据与概率计算的题量明显低于上海中考形成鲜明对照。
(三) 考查的过程与能力
(1) 基本活动经验
由于人们对于随机现象的直觉常常不可靠, 所以在教师的指导下, 有意识地、系统地观察随机现象并作记录对于概率统计学习非常重要, 积累活动经验在认知发展过程中不可或缺。本研究将“收集数据获得判断”“表示与整理数据”“直观拟合数据”和“实施模拟试验”列为4种基本活动。
“表示与整理数据”是上海中考和PISA考试都最为关注的活动经验, 即学生在制作统计图表中积累的活动经验。纸笔测验一般只能考查学生画图、列表等表示数据的经验, 比如上海中考的3道和PISA2009的1道手工制图题都是让学生补充完整统计图上未完成的部分。但是在计算机环境下, 考查范围可以大大扩展, 如考生是如何读取用电子数据表提供的有上百个统计数据的图表的?如果学生没有在数据表中对数据排序的活动经验, 要说出在某个范围内数据有多少, 最大值或最小值是什么, 可能只会逐个去数或比较, 效率很低且容易出错。虽然PISA机考题目中一般会对选择、排序等给出操作说明, 但是因为这些操作方法在电子表格软件中是通用的, 所以有过操作数据表学习经验的学生就会迅速地获得答案而不用理会这些说明。
PISA2012机考候选题中考查的另一个重点是“收集数据获得判断”, 即需要收集更多的数据作为证据, 判断某个说法的正确性;这在不允许使用计算器的纸笔考试中很难实现;但在计算机环境下, 可以事先将大量数据输入数据库, 或者让计算机实时产生随机数, 学生按一下按钮, 刷新的数据就出现了。按多少次按钮、关注呈现出的什么数据, 都可以考查是否具备了在变动的多组数据中得出判断的经验。这里之所以可以称为“收集数据”, 是因为计算机给出的不是一组特定的数据, 所以考生需要挑选适合本问题的相关数据。不过, 计算机环境下完成“直观拟合数据”和“实施模拟试验”, PISA考试也还处在起步探索阶段, PISA2012机考候选题中这类考题都各只有一题。
上述一些活动经验在纸笔测试环境下几乎不可能被考查, 不仅阅卷相当困难, 而且考核重点难以落到分析、推断等智力活动上, 在考查基本活动经验这个维度, PISA的测试题很值得我们研究与学习。
(2) 基本思想观念
本课题将考查的概率统计基本思想观念划分为“调查研究, 基于数据归纳结论或建立模型”、“表示和分析数据的方法可能有多种, 需要选取”、“随机现象既有随机性又有规律性”“用样本估计总体”“考察分布的思想”等5项。
题量比较的结果说明, PISA测试题更重视思想观念的考查, 量多面广。
(3) 能力
水平1:能根据要求表示和整理简单的数据, 获得数据所蕴含的基本信息, 正确运用古典概率公式解决简单的概率计算问题。
水平2:能在具体问题情境中通过收集数据解决简单问题, 能恰当地把多个信息联系起来使用, 进行简单的判断或推断, 会计算较为复杂的概率。
水平3:能在具体问题情境中, 主动分辨合适的抽样方法, 恰当地表示、分析和处理数据, 在数据的不同表示形式之间能建立灵活的转换, 对不恰当的数据处理或说法主动提出质疑, 能清晰表达所解读到的数据信息以及作出的推断, 能灵活选用理论的或实验的途径解决概率问题。表5显示的是考查能力的题量比较结果。
上海市近十年概率统计中考题难度偏低在这里获得印证。其实, 水平1的测试题反映的是掌握最基本技能的情况, 水平2也只是考查能否恰当而连贯地完成几个简单任务, 这两个水平的题目都是常规的。学生的高水平能力主要体现在解答水平3的题目中, 如能够自己选择合适的某一组数据予以关注和分析, 寻找证据发现不恰当陈述的漏洞等等智慧性的工作。
三、总结与建议
本研究就概率统计领域, 在对上海最近十年的中考题、2009年PISA的实测题以及2012年PISA机考候选题编码和分析的基础上, 发现在测评统计素养时:
(1) 许多上海中考题的情境未真正与问题融合, 且缺乏科学情境;
(2) PISA较多使用的判断题便于考查学生的认知状况, 但上海中考没有使用;
(3) 上海中考偏重考查计算, 基于数据的分析、归纳、建模、解释等智慧技能和思想方法考查太少, 难度偏低, 容易对教学产生不利导向;
(4) 在计算机环境下更容易考查学生的基本活动经验、基本思想观念和能力。
对比PISA测试题, 本研究也给出以下建议:
(1) 积极推进概率统计教育的发展, 将加深理解、重视应用列为教学目标;
(2) 建议协同统计界和统计应用人士, 在全社会宣传统计价值, 并参与到中小学数学教育中来;
(3) 允许计算器进入中考考场, 测试卷可分为不能使用计算器部分与允许使用计算器部分, 并尽快启动对机考的研究, 逐步过渡。
自上世纪80年代以来, 世界范围内越来越多的国家正在将统计教育引入其中小学课程。一些国际测评结果或研究表明, 统计是我国学生相对薄弱的一个学习领域, 我们需要在课程与评价方面做更多更细的工作。
摘要：围绕统计素养及其测评这一主题, 对上海最近十年的数学中考题、2009年PISA的实测题以及2012年PISA机考候选题进行了比较与分析, 发现上海中考题在测评统计素养方面偏重考查计算, 基于数据的分析、归纳、建模、解释等智慧技能和思想方法考查太少;借鉴PISA命题经验的基础上提出了若干建议。
关键词：统计素养,PISA,中考,测试与评价
参考文献
[1]陆璟, 朱小虎.如何看待上海2009年PISA测试结果[J].上海教育科研.2011, (1) .
[2]OECD (.2013) .PISA 2012 Assessment and Analytical Framework:Mathematics, Reading, Science, Problem Solving and Financial Literacy.OECD Publishing.
[3]李俊.论统计素养的培养[J].浙江教育学院学报, 2009, (1) .
1. 仔细阅读《考试说明》,深入研究其中变化
《考试说明》是初三升中数学复习的“指挥棒”.复习之前,要认真仔细阅读,深入分析研究,弄清楚下面几个主要问题:①考什么;②考到何种程度;③怎么样考;④与往年相比,有何变化;⑤针对其中变化,有何对策.只有这样,我们在复习时才能做到心中有数,有的放矢,才能不丢三漏四.
2. 根据学生实际,精心选择复习教材
选择复习教材,其实是一种“学问”.要根据学生的实际情况,通盘考虑,细心筛选,选择一本能充分体现以生为本的复习教材.
二、横向覆盖,基础训练
1. 整合知识结构,形成网络
在复习之初(俗称第一轮复习),主要任务是帮助学生把初中阶段的知识整合,架设系统,形成知识网络,在此基础上,揭示知识与知识之间的联系和区别.
2. 透视考点,落实双基
对照《考试说明》,理清每一章节的知识点,逐一落实每一考点.复习练习以基础知识为主,这也是面向全体学生的需要.如《二次函数》的考点有定义、图像、性质和解析式,而性质中开口方向、对称轴、顶点坐标为重点.因此,在复习二次函数时要紧紧抓住这些知识点,进行基本知识和基本技能的训练.
三、纵向提高,专题训练
1. 确定专题
从宏观的角度出发,总揽全局,确定专题.初中数学复习专题主要有:应用题、一元二次方程的根的判别式和根与系数关系的应用、函数、两直线平行或垂直的证明、两线段或角相等的证明、几何等积式或比例式的证明、几何计算题、探索题与开放题等.
2. 精选例题和练习题
例题和练习题在复习阶段的课堂教学中,具有举足轻重的地位.通过例题和练习题的解答,可使学生学会如何应用和深化所学过的数学知识,而且还能增强学生分析问题和解决问题的能力.精选的题目一方面要富有典型性、代表性,另一方面要难易适中和针对性强,三要多选一些具有一题多解、一题多变、一图多变等功能的题目.
四、紧扣中档,备战训练
1. 深入研究升中试题的特点
纵观近几年的升中试题,中档题是一份试题中的重要组成部分,分量很大.所谓“得中档题者得天下”就是这个道理.因此,在复习期间,要对近年升中试题中的中档题认真分析,细心考究,把握尺度,以避免出现复习要求过低或过高的现象.其特点通常是:初中阶段中最重要的知识点,如实数、零指数、负指数的混合运算、分式的计算、解方程(组)、解不等式(组)等是每年必考内容,难度不大,题目类型常规,不偏不怪.
2. 针对性地练习,反复地练习,形成技能、技巧
在分析升中考试试题特点的基础上,对一些重要和经常考试的知识点有针对性地练习,反复地练习,最终形成解各类型题目的技能和技巧.学生的技能、技巧从何而来?如何形成?唯一的方法就是通过大量的反复练习,对知识进行巩固、强化、归类,达到举一反三,熟能生巧.
3. 加强模式训练
模式教学是数学教学的一种重要方法.初中数学中的许多内容教学都可运用此法.这种教学和练习方式,不仅能使学生思路清晰,而且对提高学生的成绩能收到立竿见影的效果.复习期间应重视这种训练模式.如解分式方程就是一个典型例子,其解法无非就是去分母,通过观察,根据解题模式:找最简公分母——去分母——化为整式方程——解整式方程——检验进行即可解决问题.
4. 重视逆向思维的培养
逆向思维是一种发散性思维,在数学教学中应用很广.在这里不谈很复杂的逆向思维,只是谈谈数学上的“检验”,笔者认为检验亦是一种最基本的逆向思维,在复习中要时刻注意检验这种思维的训练和培养.但现实教学中,大部分教师往往忽略这一点,造成“学生会做的题目往往做不对”的普遍现象.那么,在复习中如何培养这种逆向思维呢?笔者认为关键在于形成习惯.
例1已知二次函数y=2x2+bx+c的图像经过点A(0,1),(2,-1),(1)求b、c.(2)略.
本题相信学生都知道怎样做,问题就是做出来的答案是否正确.如果学生在平时的练习中养成“检验”这种逆向思维,把x=0,y=1和x=2,y=-1代入函数式,看左右两边是否相等,就很快发现自己的结果错误与否,以便及时纠正.
例2 解不等式: -≥.
易得其解集为x≤3.如何检验是否正确呢?笔者认为采取“夹击法(笔者予以的称谓),即将x=2.9和x=3.1代入原不等式,会发现x=2.9时不等式成立,而x=3.1则否,故可知答案正确的机率相当高.
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