解直角三角形复习课

解直角三角形复习课（通用16篇）

解直角三角形复习课 篇1

本节课是一节复习课，内容是关于解直角三角形的知识的应用复习。在教学设计中，我针对学生对三角函数及对直角三角形的边角关系认识的模糊，计算能力薄弱等特点，我决定把教学的重、难点放在了解决有关实际问题的建构数学模型上。通过对知识点的回顾、基础知识的练习，例题的解题思路、例题变式练习及巩固练习等教学，绝大部分学生能很好地掌握了如何建构模型的解决方法，很好地达到了本节课的教学目的。

当然由于自己在如何上好一节复习课上还处在摸索阶段，所以在设计与安排上还存在很多不足，如本节课设计容量较大，有4个实际应用问题，学生对每个问题逐个探究解答，时间感觉比较紧。有时就有越俎代庖的感觉;本节课的教学内容是解直角三角形的应用问题。对一部分学生来说，他们从作辅助线构建直角三角形模型，到利用方程解答题目，直至描述答案都显得轻松自如；但对另外一部分学生来说，他们基础较弱，对数学的应用不是那么得心应手，不会合理构造直角三角形，也不能列出合理的方程进行解答。在课堂教学中，如何面向全体学生，如何培优与转差，这是值得思考的一个问题。

解直角三角形复习课 篇2

关键词：逆向思维,等腰三角形,时间与空间

学校进行全员赛课, 内容是“等腰三角形的复习”, 我想既让每位学生主动参与进来, 又能体现等腰三角形的有关知识点运用。以下给出几个片段。

片段 (1) 若给你一把带有刻度的直尺, 你能画出∠AOB的平分线吗?并说明理由 (图1) 。

生1:可以用直尺先在OA、OB上量取相同的长度, 使OM=ON, 连接MN, 用直尺取MN的中点P, 作射线O P, 射线O P就是∠AOB的平分线。

师:为什么?

生1:△OMN是等腰三角形, OP是底边上的中线, 根据等腰三角形三线合一, 那么OP必定是顶角平分线。

生2: (马上举手) 我也是作等腰△OMN, 再作底边上的高线。利用直尺的边长与宽的边缘垂直部分作OP⊥MN, 底边上的高线即为顶角一部分线。

生3: (疑惑) 这只是一把带有刻度的直尺, 应该没有作垂线的功能, 所以不可以作MN上的高线。

师:不过生2同学很会注意细节, 虽然此方法不太合适, 但也值得表扬, 不是吗? (全班响起热烈的掌声)

师:还有什么方法? (学生深思了好几分钟, 不过还是没人举手, 我怕经过我的引导得出的结论虽然学生能接受, 但如果他们自己得出的更会刻骨铭心, 更有成就感, 所以我还是给了学生足够的时间去思考, 去尝试作图, 这种过程是很有意思的, 其实每个学生都想第一个举手, 来证明自己的实力。)

生4:老师, 用直尺能作平行线吗?

生5:这个真的可以, 直尺两端可以看作互相平行。

(我点头同意)

生4:那我有一种想法, 先在OB上作线段OM, 再过M作MN∥OA, 用直尺截取MP=OM, 作射线OP即为∠AOB的平分线。 (此时有几个学生在窃窃私语, 投上赞叹的目光)

师:解铃还须系铃人, 你来解释一下?

生4:由MO=MP, 知∠MOP=∠MPO, 又MN∥OA, 可得∠POA=∠MPO, 所以∠MOP=∠POA, 即射线OP就是∠AOB的平分线。

师:太精彩了, 你是怎么想出来, 其他同学与老师也没想到有这么一种方法。 (没想到这“多余”的一问, 学生的回答却使我大开眼界)

生4:老师, 我也不是刻意这么去做的, 而是以前在解题时碰到有这种图形的题型, 以前是已知角平分线与平行线, 说明图2。

△OMN是等腰三角形。我现在把条件和结论适当变换一下, 没想到是可以成立的。

(想不到作为已经当了十年教师的我也没有考虑过这个问题的解答出来是由于学生的解题经验所致, 真的有时苦思冥想真的是无济于事, 不如以退为进。而我现在的学生居然用这种提出来了, 很有可能是我给予他们较足够的思考时间与空间吧, 所以对于老师而言, 不要太吝啬课堂时间, 不要总是说这个问题或还有其他方法同学们带回去思考, 其实没有几人回去思索, 因为课堂中他们才有较高的效率和表现力。)

师:还有其他方法吗? (以下这种方法可能想不到) 小明是这样做的:

(1) 分别在O A, O B上量取O M=O N, MR=NS。

(2) 连接MS, NR交于P。

(3) 作射线OP。

那么OP是∠AOB的平分线 (图3) 。

师: (与生一起) 先利用△OMS≌△ONR, 再得出△OPS≌△OPR, 或△OPM≌△OPN, 从而证得∠BOP=∠AOP, 即OP是∠AOB的平分线。

可能以前的复习课时, 都会一开始提问:等腰三角形有哪些性质呢?学生回答: (1) 等腰三角形的两个底角相等; (2) 等腰三角形三线合一。很显然, 这种提问只是一种知识的简单重复和记忆, 学生不用动任何脑筋即可回答, 学生自然没有动力, 也不利于学生的思维发展。而片段一则巧妙地将等腰三角形的性质蕴涵于一个题目当中, 同时通过的作图变式, 让学生主动利用性质, 举一反三, 加深了对等腰三角形性质的理解, 开拓了学生的思维, 有很强的实效性。

案例反思。

(1) 数学解题学习最有效的方法是“在解题中学习解题”, 在尽可能不提供现成结论的前提下, 亲身独立地进行数学解题活动, 从中学习解题思维, 哪怕解题最终没有到底, 也会有所发现, 有所体验。

(2) 重视发散思维和逆向思维能力的培养。

在数学教学中, 学生学习和掌握的许多概念、定理, 大多是正向思维的结果, 是概念、定理的正向应用, 而在应用的同时我们也应注意学生逆向思维的培养。因此, 在数学教学过程中适当地从数学相反方面进行逆向思维探究, 就能在探索中, 在对立统一中把握数学知识的内在联系, 使数学知识联贯化, 系统化。

(3) 培养学生提出和发现问题的意识给予他们充足的思考时间与空间。

解直角三角形不可忽视的问题 篇3

一、 忽视正弦、余弦的有界性

例1 计算 - cos40°+.

【错解】原式=-cos40°+sin50°-1

=sin50°-sin50°-

=-.

【分析】应注意锐角三角函数的取值范围，即：

00. 且在0<α<45°内，cosα>sinα；在45°<α<90°内，cosα

【正解】原式=cos40°-+1-sin50°

=sin50°-sin50°+

=.

二、 函数值与边长大小无关

例2 在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大100倍，那么锐角A的正弦值（ ）.

A. 扩大100倍

B. 缩小为原来的

C. 没有变化

D. 不能确定

【错解】A.

【分析】误认为锐角的三角函数值随着各边长扩大100倍，其也扩大100倍. 实际上，锐角A的三角函数值只与它的度数有关，与其所在的直角三角形的大小无关，即只要锐角A的度数确定，其三角函数值也随之确定.

【正解】C.

三、 概念理解不清

例3 如图1，甲在60米高的大楼上A点看地面C点的乙的俯角为30°，则乙到大楼的距离CB为______米.

【错解】∵从A点看地面C点的乙的俯角为30°，

∴∠CAB=30°，

∴CB=ABtan30°=20（米），即乙到大楼的距离CB为20米.

【分析】在上面的解题过程中，由于对俯角的概念不清楚，错将俯角认为是∠CAB，而实际上俯角的定义是视线和水平线的夹角，即∠DAC=30°，故正确答案是60米.

四、 勾股数的误用

例4 在直角三角形中，∠B=90°，a=3，b=4，求边长c的值.

【错解】由勾股定理得，c===5.

∴c=5.

【分析】在上面的解题过程中，习惯于3，4，5是一组勾股数，c=5前提是在∠C=90°的直角三角形中，而本题∠B=90°，∴b是斜边，故正确答案是c==.

五、 忽视双直角三角形

例5 已知在△ABC中，∠A=30°，AB=40，BC=25，则S△ABC=______.

【错解】如图2，过点B作AC的延长线的垂线，垂足为D，

∵∠A=30°，AB=40，

∴BD=20，AD=20，

又BC=25，∴CD=15，∴AC=20-15，

∴S△ABC=×20-15×20=200-150.

【分析】因为已知条件是“角、边、边”，根据学过的全等三角形的知识，我们知道，只具备“角、边、边”不能确定一个三角形，也就是说还有另一个三角形，即如图3的情况.

易知此时S△ABC=200+150，

正确答案为S△ABC=200±150.

解直角三角形复习课 篇4

解直角三角形及其应用

1.定义：在直角三角形中，由除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

2.直角三角形的边角关系：如图:

（3）边角之间的关系：

3.解直角三角形的四种基本类型：如下图：

http:// OD：北偏西60°

东西与南北方向线互相垂直。

5.运用解直角三角形的方法解决实际问题：

基本思路：要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的边角关系。（即构建数学模型：直角三角形），才能运用解直角三角形的方法求解。一般有以下几个步骤：

（1）审题：根据题意画出正确的平面图或截面示意图，在图形中弄清已知和未知。（2）将已知条件转化为示意图中的边、角关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题。（3）选择适当关系式解直角三角形。

典型例题

例1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，解直角三角形：（1）a＝8，b＝6（2）c＝16，∠A＝32° 分析：略 解：

http://

分析：图中CD是已知条件，但不在直角三角形中，根据生活经验知，△ABC、△ABD是Rt△，利用DC＝BD－CB，设AB＝x可求，也可利用角度关系得出CD＝AC，再解Rt△ABC。解：法一：设AB＝x 在Rt△ADB中，∠D＝30°

在Rt△ABC中，∠ACB＝60°

又DC＝BD－BC＝100

法二：如图，∵∠D＝30°，∠ACB＝60° ∴∠D＝∠DAC＝30° ∴AC＝DC＝100 在Rt△ABC中，∠ACB＝60°

答：

例4.如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，坝高23米，坝面宽BC＝6米，根据条件求：（1）斜坡AB的坡角α；

（2）坝底宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1米）。

http:// 在Rt△ADC中，∠ADC＝45°，DC＝6 ∴AC＝DC＝6

∠BDE＝45°

由勾股定理得：BC＝8

在Rt△BDE中，∠BDE＝45°

例6.如图，一艘轮船以20海里/小时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/小时的速度由南向北移动，距台风中心

海里的图形区域（包括边界）都属台风区，当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向B处，且AB＝100海里。

（1）若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，说明理由。

（2）现轮船自A处立即提高船速，向位于东偏北30°方向，相距60海里的D港驶去，为使台风到来之前到达D港，问船速至少应提高多少？（提高的船速取整数

http://

答：船速至少应提高25.5海里/小时。

模拟试题

一、填空题。

1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，则∠A＝__________，sinA＝__________。

2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝10，∠A＝45°，则a＝__________，b＝__________，∠B＝__________。

3.如果等腰三角形的顶角为120°，腰长为6cm，这个三角形的面积为__________。4.如图Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，∠DAC＝30°，BD＝2，则AC＝__________。，5.若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10m，则他所在的位置比原来的位置升高________ m。6.如图，从高出海平面500m的直升飞机上，测得两艘船的俯角分别为45°和30°，如果这两艘船一个正东，一个正西，那么它们之间的距离为__________。

二、选择题。

1.Rt△ABC中，∠C＝90°，则

（）

A.4

B.8

C.1

D.6 2.在Rt△ABC中，斜边AB是直角边BC的4倍，则cosA＝（）A.B.C.D.http:// 2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，6cm，求AB、AD的长。，D为AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝

3.如图，甲、乙两建筑物的水平距离为30m，从A点测得C点的仰角为60°，测得D点的俯角为30°，求建筑物甲的高CD。

4.如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50m，现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求缆绳AC的长。

http://

参考答案

一、填空题。

1.∠A＝30°，2.3.4.5.6 m 6.二、选择题。

1.A（引进参数，可计算2.B（3.B 4.C 5.C

三、解答题。

1.解：如图，过AB作AD⊥BC于D

。））

在Rt△ABD中，又

在Rt△ACD中，∠C＝45°

又

2.解：如图，在Rt△BCD中，∠BDC＝45°，DC＝6

http://

又CD＝50，即又∠C＝30°，5.解：（1）

分别过点D、C作DE⊥AB，CF⊥AB于E、F

设CF＝60 ∴BF＝3CF＝180

（米）

（2）在Rt△ADE中，i＝1：1.5，DE＝60

又EF＝CD＝10

（米）

（3）∴土方答：略。

（米3）

解方程复习课教案 篇5

解方程复习课教案

解简易方程复习课 教学内容：人教新课标五年级上册第四单元 ,第44―64页用字母表示数、解简易方程及练习。 教学目标： 1、加深理解用字母表示数的意义和作用,会用字母表示数和数量关系,培养学生抽象,概括的能力。 2、加深对方程及相关概念的认识，掌握解简易方程的步骤和方法，能正确地解简易方程。 教学重点：会用字母表示数和解简易方程。 教学难点：培养学生抽象，概括的能力。 教学理念：学习方式以自主学习与合作交流为主。 教学步骤 一、 揭示课题     今天我们来复习解简易方程，通过复习，要进一步明白字母可以表示数量、数量关系和计算公式，加深理解方程的概念，掌握解简易方程的步骤、方法，能正确地解简易方程。 二、 复习用字母表示数 1、用含有字母的式子表示：    (1) 求路程的数量关系。    (2) 乘法交换律。    (3) 正方形的面积计算公式。 让学生写出字母式子，同时指名一人板演。指名学生说说每个式子表示的意思。提问：用字母表示数有什么作用?你能举例说明吗？（用字母可以表示数，还可以表示数量关系，如小明比小红重2千克，用a表示小明的体重，那么小红的体重就是a－2．）用字母表示乘法式子时要怎样写? 三、复习解简易方程 1、复习方程概念。 （1）等式的意义：表示等号两边两个式子相等关系的式子叫等式。如：3+6.5=9.5、7-4.2=2.8、3.6× 0.5=1.8、3.5+x=9.5等都是等式。 （2）方程的意义：含有未知数的等式叫方程。判断一个式子是否是方程，首先要看这个式子是不是等式，接着再看这个式子中是否还含有未知数。如x 3.2=8、11x=363、x+7.6=11.4等都是方程。 （3）方程与等式的`关系：等式的范围比方程的范围大。方程都是等式，但等式不一定是方程。如：35 ÷7=5、2x=0、 3.5x=4、11.2-x=11.14等都是等式，但35÷ 7=5不是方程。 2、复习解方程 （1）方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。如：x=32是方程x-32=0的解。 （2）解方程：求方程的解的过程，叫做解方程。如：     4x=6 解：    x=6 ÷4    x=1.5 提问：解题的依据是什么？ 怎样进行验算 ？ 解方程的依据： A、四则运算之间各部分的关系。 一个加数=和-另一个加数 一个因数=积÷另一个因数 被减数=差+减数    减数=被减数-差 被除数=商 除数   除数=被除数÷商 B、等式的性质。 方程两边同时加上（减去）一个数，左右两边仍然相等； 方程两边同时乘或除以一个（不为0）的数，左右两边仍然相等。 （3）解方程应注意：书写时，要注意先写“解”字，上、下行的等号要对齐，注意不能连等。 四、综合练习（一）、对号入座． 1．使方程左右两边相等的（ ），叫做方程的解． 2．被减数＝差（ ）减数，除数＝（ ）○（ ）． 3．求（ ）的过程叫做解方程． 4．小明买5支钢笔，每支a 元；买4支铅笔，每支b 元．一共付出（ ）元．     5、3x÷（）=18÷（） （二）、当回裁判长． 1．含有未知数的式子叫做方程．（ ） 2．4x+5 、6x=8 都是方程．（ ） 3．18x=6 的解是x＝3．（ ） 4．等式不一定是方程，方程一定是等式．（ ） （三）、择优录取． 下面的式子中，（   ）是方程． ①25x   ②15－3＝12③6x＋1＝6④4x＋7＜9

 

解直角三角形复习课 篇6

课后反思本节课的教学过程，我总结以下几点：

一、本节课的复习重点在于找准数量关系式，在课堂上大量提问了学生应用题的数量关系式是什么，并进行了专项训练，不断地对学生加以引导、启发，努力使学生理解掌握解题的基本思路和方法，但学生在学习的过程中还是不能很好地掌握这一要领，这也是学生解答应用题的一个突出弱点，还是出现了许多错误，如找等量关系中的第5题，有的学生两根铁丝做了两个正方形，没有重点理解“分别”两个字，我在反馈时虽然说到不可以学生自己增加条件，没有深入地帮助指出错误的根源。同样的.，在只列方程的这道练习中第3题很多学生没有仔细审题，3.5倍变成了3.5(有十来个同学是这样错的)有的学生就直接变成整个积的3.5倍，没有抓住重点的字，是“它的3.5倍”，课堂中强调了“它”指的就是“一个数”也就是“这个数”，如果把三者再拎出来强调三个量其实是同一个量，可能效果会更好一些。

很多学生的等量关系是 6×瓶数+14=总朵数，或是8×瓶数=总朵数，两个数量关系都没有错，但在这道题中并没有告诉我们总的朵数，我通过两个错例的对比让学生去发现总朵数是一样的，可以作为一个中间量把两个算式连接起来即6×瓶数+14=8×瓶数，这样的过渡让学生感到不会那么突然，分析时讲清不变的是花的总朵数，只是在分的时候采用了不同的方法。不过讲过之后还有几个学生还不是很明白。在进行列方程时，只满足了让学生说出数量关系式是什么，应该让中下学生再说说关键句是什么，是根据哪句话找出来的，要让他们知道怎样去找，这样学生可能更有的放矢。

二、在本课中，我注重练习的设计，充分体现练习的针对性、层次性、综合性。如在找等量关系这一专项训练中，我设计了五道基本类型的问题，使学生较系统地掌握找等量关系的几种方法，又突出了本节课的重点。紧接着，安排了两道综合型练习。通过这环节的训练，切实提高学生的综合应用能力。在学生解答的过程中，我及时捕捉学生的解法，允许学生出错，并利用学生生成的错误资源，引发学生积极思考，在相互交流、相互评价的过程中，学生的潜能得以充分地挖掘，使不同的学生得到不同的发展。

解直角三角形不可忽视的问题 篇7

一、忽视正弦、余弦的有界性

【分析】应注意锐角三角函数的取值范围,即:

二、函数值与边长大小无关

例2在Rt△ABC中,如果各边长度都扩大100倍,那么锐角A的正弦值( )

A. 扩大100倍

B. 缩小为原来的1/100

C. 没有变化

D. 不能确定

【错解】A.

【分析】误认为锐角的三角函数值随着各边长扩大100倍,其也扩大100倍. 实际上,锐角A的三角函数值只与它的度数有关,与其所在的直角三角形的大小无关,即只要锐角A的度数确定,其三角函数值也随之确定.

【正解】C.

三、概念理解不清

例3如图1,甲在60米高的大楼上A点看地面C点的乙的俯角为30°,则乙到大楼的距离CB为 ______ 米.

【分析】在上面的解题过程中,由于对俯角的概念不清楚,错将俯角认为是∠CAB,而实际上俯角的定义是视线和水平线的夹角,即∠DAC=30°,故正确答案是米.

四、勾股数的误用

例4在直角三角形中,∠B=90°,a=3,b=4,求边长c的值.

【错解】由勾股定理得,

∴c=5.

【分析】在上面的解题过程中,习惯于3,4,5是一组勾股数,c=5前提是在∠C=90°的直角三角形中,而本题∠B=90°,∴b是斜边,故正确答案是.

五、忽视双直角三角形

例5已知在△ABC中,∠A=30°,AB=40,BC=25,则S△ABC=______.

【错解】如图2,过点B作AC的延长线的垂线,垂足为D,

【分析】因为已知条件是“角、边、边”,根据学过的全等三角形的知识,我们知道,只具备“角、边、边”不能确定一个三角形,也就是说还有另一个三角形,即如图3的情况.

由一题四解浅析解三角形 篇8

关键词：解三角形；正余弦定理；多种分析方法

一、正弦定理和余弦定理是解三角形的关键

1.正弦定理■=■=■=2R（R为△ABC外接圆半径），推广：

（1）a=2RsinA b=2RsinB c=2RsinC（边化角）

（2）sinA=■ sinB=■ sinC=■（角化边）

2.余弦定理c2=a2+b2-2abcosC（求边，另两个略），推广：cosC=■（求角）

以上是两定理的内容和推广，它揭示了任意三角形边角之间的规律。利用两定理可求三角函数的值，可求三角形的内角和边，判定三角形的形状，综合考查三角变换以及深化三角形和平面向量等多种知识的运用能力，当然这也是高中数学的主要精髓之一。

二、举例分析

说明：由于篇幅有限，例子中图形已省略，个别步骤作了简化。

例子：在△ABC中，AB=4，cosB=■，AC边上的中线BD=■，求sinA的值.

解法一：设M为BC的中点，则DM∥AB，且DM=2。在△BDM中，cos∠BMD=cos（180°-∠ABC）=-■，由余弦定理，得：（■）2=BM2+22-2×2×（-■）.BM解得BM=3，BM=-5（舍去）。

则BC=6，由AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB=28

得AC=2■，又由正弦定理■=■，得：sinA=■

解法二：作AE⊥BC，垂足为E，延长BD到M，使DM=BD，再作MF⊥BC，垂足为F，则BE=AB·cosB=2，并且AE=2■·BF=■=8，而CF=BE=2，所以BC=BF-CF=6又EC=4，所以AC=■=2■

在△ABC中，由正弦定理，得：sinA=■

解法三：延长BD至M，使DM=BD，连接AM，CM，则ABCM为平行四边形。

于是∠BAM=180°-∠ABC，在△ABM中，由余弦定理，得： （2■）2=42+BC2-2×4·BC·（-■）

解得BC=6。再根据解法一求出AC，最后得：sinA=■

解法四：以B为原点，向量■为x轴建立直角坐标系，由sinB=■，得：向量■=（4·cosB，4·sinB）=（2，2■）.设■=（x，0），则向量■=（■，■），从而向量■的模=■=■解得x=6，于是向量■=（-4，2■），所以根据两向量夹角公式，有：■·■=■·■·cosA，得cosA=■，故sinA=■=■（负值舍去，需讨论）

三、简评

1.所有三角形的边角变换，其实就是有条件限制的三角关系式的计算与证明，在三角形的三角变换中，正余弦定理、勾股定理和直角三角形中的边角关系都是解题的关键，通过本例可以看出。

2.解三角形的有关问题，常常需作一些辅助线。如解法一中的中位线，解法二和解法三中的延长线都是解三角形中常作的辅助线，应引起学生学习的足够重视。如果不作辅助线，解题方法就受局限，甚至造成解不出的可能。

3.通过建立适当直角坐标系，利用向量或点坐标的工具解答有关边角的问题，这也是解三角形中常用的方法。本例解法四就是用解析几何知识解决纯平面几何问题的典例，希望对学生有所启迪。

4.当然，解三角形有时还要用到两角和公式、倍角公式、半角公式、和差化积、积化和差公式、推导公式、两点间距离公式等诸多公式，希望学生灵活运用，以不变应万变。

5.解三角形其主要作用是解决在实际生活中的一些应用。常见有距离、高度、角度及平面图形的面积等计算与测量问题，希望学生学习时要有应用意识与动手能力，做到学有所用。

另外，本题还可继续探讨，例如，作△ABC的外接圆或利用点坐标法是否可解。感兴趣的学生可以试试。总之，解一般三角形万变不离其宗，其要领都是平面几何与正余弦定理两方面知识的结合。

（作者单位 辽宁省本溪市机电工程学校）

《解直角三角形》说课稿 篇9

一、教材分析：

《解直角三角形》是人教版九年级（下）第二十八章《锐角三角函数》中的内容。教学内容是能利用直角三角形的边角关系（勾股定理、两锐角互余、锐角三角函数）解直角三角形。通过学习，学生理解直角三角形的概念，学会解直角三角形，从而进一步把形和数结合起来，提高分析和解决问题的能力。它既是前面所学知识的运用，也是高中继续解斜三角形的重要预备知识，它的学习还蕴涵着深刻的数学思想方法，在本节教学中有针对性的对学生进行这方面的能力培养。

二、教学目标：

知识与技能

1、理解解直角三角形的概念。

2、理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。

过程与方法

综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，培养学生分析问题解决问题的能力。

情感态度与价值观

渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯。

三、教学重点、难点：

重点：理解解直角三角形的概念，学会解直角三角形 难点：三角函数在解直角三角形中的应用。

四、教法、学法分析：

教师通过精心设计问题，引导学生进行教学，并不断地制造思维兴奋点，让学生脑、嘴、手动起来，充分调动了学生的学习积极性，达到事半功倍的教学效果，而学生在教师的鼓励下引导下总结解题方

法，清晰自己解题的思路，并通过小组讨论、组际竞赛等多种方式增强学习的成就感及自信心，从而培养浓厚的学习兴趣。

五、教学过程：

⑴、上节课的知识回顾

首先引导学生复习上节课所讲的解直角三角形的意义及直角三角形中的边角关系。（为下面的新课作准备）

⑵、新知识的探究

讲授新知识这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．

解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演。

⑶、解直角三角形的应用实例

为了能培养学生数形结合的审题意识，安排了例

1、例2，完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？” 先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底。在实际应用练习：将平时实际生活中的问题抽象成解直角三角形的问题，进而解决实际问题，强调解直角三角形的应用非常广泛，应牢牢掌握。[4]、本节课小结

请同学回答本节课学了哪些知识？ [5]、作业布置

解直角三角形的应用教案 篇10

教学目标：1.使学生能运用解直角三角形模型，将斜三角形问题转化为解直角三角形。

2.通过对比练习，使学生体会到用斜三角形构造直角三角形，要构造为可解(含特殊角)的直角三角形。及方程思想的运用。

教学重点：

将斜三角形问题转化为解直角三角形和实际问题转化为数学模型。

教学难点：

将斜三角形问题转化为解直角三角形及方程思想的运用 教学过程：

一、让学生回忆解直角三角形的依据和哪两种情形？

依据：1.边的关系（勾股定理）2.锐角的关系（互余）3.边角关系（锐角三角函数关系式）情形有：1.已知两边，2，已知一边一锐角，二、练习直接解直角三角形

试一试：如图，在RtΔABC中，已知∠C=90°，(1)若AC=3,AB=5,求 sinA ；（已知两边）

A

(2)若AC=3, ∠A=60°,求BC；（已知一条直角边和一个锐角）

C

(3)若AB=5，∠A=60°,求BC.（已知斜边和一个锐角）

三、解斜三角形

变式：1）如图1，在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，AC=4，求AB。2）图2 中，∠B=135°，∠C=30°，AC=4，求AB。

BA

BB

图1

CC图2

A

四、用解斜三角形解决实际问题

典型中考题赏析：

将实际问题化为解斜三角形

例：（2013遂宁）如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，船B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少?（结果保留根号）

方程思想的渗透

变式训练：如果将上题中“C在B的北偏东15°方向”改为“C在B的北偏东30°方向”,其它条件不变，你能解吗？

小结：解决与斜三角形有关的实际问题

北450AC北300B的方东

法是构造可解的直角三角形（1）形内构造（2）形外构造

练习：如图，海岛A四周45海里周围内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏西60˚，航行18海里到C，见岛A在北偏西45˚，货轮继续向西航行，有无触礁的危险？

作高法解三角形 篇11

利用正弦、余弦定理解三角形是高考重点考查内容，通常难度不大.看到解三角形的试题，考生的第一反应就是正弦或余弦定理，但也有些试题不好判断是利用正弦定理还是用余弦定理，有些试题又可能两个定理都用到，显得有点复杂.其实有些试题我们可以既不用正弦定理也不用余弦定理，而采用数形结合、作出三角形的高，主要运用直角三角形中锐角的三角函数定义和勾股定理也可以解答试题.下面以近两年高考题为例，看看这别开生面的解法.endprint

利用正弦、余弦定理解三角形是高考重点考查内容，通常难度不大.看到解三角形的试题，考生的第一反应就是正弦或余弦定理，但也有些试题不好判断是利用正弦定理还是用余弦定理，有些试题又可能两个定理都用到，显得有点复杂.其实有些试题我们可以既不用正弦定理也不用余弦定理，而采用数形结合、作出三角形的高，主要运用直角三角形中锐角的三角函数定义和勾股定理也可以解答试题.下面以近两年高考题为例，看看这别开生面的解法.endprint

利用正弦、余弦定理解三角形是高考重点考查内容，通常难度不大.看到解三角形的试题，考生的第一反应就是正弦或余弦定理，但也有些试题不好判断是利用正弦定理还是用余弦定理，有些试题又可能两个定理都用到，显得有点复杂.其实有些试题我们可以既不用正弦定理也不用余弦定理，而采用数形结合、作出三角形的高，主要运用直角三角形中锐角的三角函数定义和勾股定理也可以解答试题.下面以近两年高考题为例，看看这别开生面的解法.endprint

深挖隐含条件妙解三角形 篇12

一、挖掘“公共边”解题

例1如图1, 在△ABC和△DCB中, 如果AC=BD, 那么增加一个条件, ____就可证明这两个三角形全等.

分析:题目中已知AC=BD, 其中还有一个隐含条件是公共边BC=CB, 即已知两个三角形有两边对应相等, 如果再知它们的夹角相等或者第三边也相等即可用“SAS”或“SSS”证明全等.

解:增加的条件是∠ACB=∠DBC或AB=DC.

点评:公共边相等是三角形全等中最常见的隐含条件.这些“公共相等”条件题设中一般不与说明, 需要仔细观察图形去发现.

二、挖掘“公共角”解题

例2如图2, AB=AE, C, D分别是AE, AB的中点, 则BC和DE相等吗?为什么?

分析:BC和DE分别在△ABC和△AED中, 要证明BC=DE, 可以通过证明这两个三角形全等.题目中已有AB=AE, 根据中点又有AD=AC, 两边对应相等, 再有公共角, 就可以判定这两个三角形全等.

解:BC=DE,

∵AB=AE, C, D分别是AE, AB的中点,

∴AD=AC

在△AED和△ABC中,

∵AB=AE, ∠A=∠A, AC=AD

∴△AED≌△ABC (SAS) ∴BC=DE

点评:公共角是证明三角形全等最常用的条件之一, 这条件题设中一般不与说明, 只有观察图形即可发现.

三、挖掘“等量关系”解题

例3已知:如图3, 点A、B、C、D在同一条直线上, EA⊥AD, FD⊥AD, AE=DF, AB=DC.

求证:∠ACE=∠DBF.

分析:要使∠ACE=∠DBF, 只要△EAC≌△FDB.现有条件AE=DF和∠A=∠D=90°, 缺少一组对应边相等.由AB=DC, 得AB+BC=DC+BC, 从而AC=DB, 由“边角边”可得△EAC≌△FDB.

证明:∵AB=DC∴AC=DB

∵EA⊥AD, FD⊥AD, ∴∠A=∠D=90°

在△EAC与△FDB中

∴△EAC≌△FDB (SAS) ∴∠ACE=∠DBF.

《解直角三角形的应用》说课稿 篇13

一、教材分析

(一)教材地位

直角三角形是最简单、最基本的几何图形，在生活中随处可见，是研究其他图形的基础，在解决实际问题中也有着广泛的应用.《解直角三角形的应用》是第28章锐角三角函数的延续，渗透着数形结合思想、方程思想、转化思想。因此本课无论是在本章还是在整个初中数学教材中都具有重要的地位。

(二)教学目标

这节课，我说面对的是初三学生，从人的认知规律看，他们已经具有初步的探究能力和逻辑思维能力。但直角三角形的应用题型较多，他们对建立直角三角形模型上可能会有困难。针对上述学生情况，确定本节课的教学目标如下：

1.通过观察、交流等活动，会建立直角三角形模型。

2.经历解直角三角形中作高的过程，懂得解直角三角形的三种基本模型，进一步渗透数形结合思想、方程思想、转化(化归)思想，激发学生的学习兴趣.

(三)重点难点

1.重点：熟练运用有关三角函数知识.

2.难点：如何添作辅助线解决实际问题.

二、教法学法

1.教法：采用“研究体验式”创新教学法，这其实是“学程导航”模式下的一种教法，主要是教给学生一种学习方法，使他们学会自己主动探索知识并发现规律。

2.学法：主要是发挥学生的主观能动性。学生在课前做好预习作业，课堂上则要积极参与讨论，课后根据老师布置的课外作业进行巩固和迁移。

三、教学程序

(一)准备阶段

我主要的准备工作是备好课，在上课前一天布置学生做好预习作业。

预习作业：

1. 如图，Rt⊿ABC中，你知道∠A的哪几种锐角三角函数?能给出定义吗?

2. 填表：锐角α 三角函数

3. 已知：从热气球A看一栋高楼顶部的仰角α为300，看这栋高楼底部的俯角β为600，若热气球与高楼的.水平距离为 m，求这栋高楼有多高?

4. 如图：AB=200m，在A处测得点C在北偏西300的方向上，在 B处测得点C在北偏西600的方向上，你能求出C到AB的距离吗?

5. 如图：梯形ABCD中，BC∥AD,AB=13,且tan∠BAE= ,求BE的长。

(二)课堂教学过程

1.预习作业的交流

小组交流预习作业并由学生代表展示。

2.新知探究

(1)教师出示问题1、

如图：要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN。已知点C周围200米范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东450方向上，从A向东走600米到达B处，测得C在点B的北偏西600方向上。问：MN是否穿过原始森林保护区?为什么?

追问：你还能求出其他问题吗?若提不出问题，可给出问题：若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要多少天?

(2)出示问题2、

如图，一艘轮船以每小时20千米的速度沿正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏西300方向，航行2小时后到达B处，在B处测得灯塔C在北偏西600方向。当轮船到达灯塔C的正东方向D处时，求此时轮船与灯塔C的距离(结果保留根号)。

追问：如果改变若干条件，你能设计出其他问题吗?

(3)出示问题3、

气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛(设为点O)的南偏东450方向的B点生成，测得OB= km，台风中心从B点以40km/h的速度向正北方向移动。经5h后到达海面上的点C处，因受气旋影响，台风中心从点C开始以30km/h的速度向北偏西600方向继续移动。以O为原点建立如图所示的直角坐标系。

如：(1)台风中心生成点B的坐标为 ，台风中心转折点C的坐标为 (结果保留根号)。

(2)已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭。如果某城市(设为点A)位于O的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间?

3.巩固练习

飞机在高空中的A处测得地面C的俯角为450，水平飞行2km，再测其俯角为300，求飞机飞行的高度。(精确到0.1km，参考数据： 1.73)

4.课堂小结

请学生围绕下列问题进行反思总结：

(1)解直角三角形有哪些基本模型?

(2)本节课涉及到哪些数学思想?

(3)你觉得如何解直角三角形的实际问题?

5、布置作业

复习第29章《投影与视图》具体见试卷

6、课堂检测

1.如图，直升飞机在高为200米的大楼AB左侧P点处，测得大楼的顶部仰角为45°,测得大楼底部俯角为30°，求飞机与大楼之间的水平距离.

2. 如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO .

3.如图所示，某水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽AD=2.5m，坝高4m，背水坡AB的坡度是1︰1，迎水坡CD的坡度1︰1.5，求坝底宽BC.

四、设计思路

解直角三角形单元说课稿优秀篇 篇14

一、教材简析：

本章内容属于三角学，它的主要内容是直角三角形的边角关系及其实际应用，教材先从测量入手，给学生创设学习情境，接着研究直角三角形的边角关系---锐角三角函数，最后是运用勾股定理及锐角三角函数等知识解决一些简单的实际问题。其中前两节内容是基础，后者是重点。这主要是因为解直角三角形的知识有较多的应用。解直角三角形的知识，可以被广泛地应用于测量、工程技术和物理中，主要是用来计算距离，高度和角度。教科书中的应用题，内容比较广泛，具有综合技术教育价值，解决这类问题需要进行运算，但三角中的运算和逻辑思维是密不可分的;为了便于运算，常需要先选择公式并进行变换，同时，解直角三角形的应用题和课题学习也有利于培养学生空间想象的能力，即要求学生通过对实物的观察，或根据文字语言中的某些条件画出适合它们的图形，总之，解三角形的应用题与课后学习可以培养学生的三大数学能力和分析解决问题的能力。

同时，解直角三角形还有利于数形结合。通过这一章的学习，学生才能对直角三角形的概念有较为完整的认识。另外有些简单的几何图形可分解为一些直角三角形的组合，从而也能用本章的知识加以处理。以后学生学习斜三角形的余弦定理，正弦定理和任意三角形的面积公式时，也要用到解直角三角形的知识。

二、教学目的、重点、难点：

教学目的：使学生了解解直角三角形的概念，能熟练应用解直角三角形的知识解决实际问题，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。

重点：1、让学生了解三角函数的意义，熟记特殊角的三角函数值，并会用锐角三角函数解决有关问题。

2、正确选择边与角的关系以简便的解法解直角三角形

难点：把实际问题转化为数学问题。

学会用数学问题来解决实际问题即是我们教学的目的也是我们教学的归宿。根据课标的要求，要尽量把解直角三角形与实际问题联系，减少单纯解三角形的习题。而要在实际问题中，要使学生养成先画图，再求解的习惯。还要引导学生合理地选择所要用的边角关系。

三、教学目标：

1、知识目标：

(1)经历由情境引出问题，探索掌握有关的数学知识内容，再运用于实践的过程，培养学数学、用数学的意识与能力。

(2)通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数;知道30、

45角的三角函数值;会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的角。

(3)运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题。

(4)能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题、

2、能力目标：培养学生把实际问题转化为数学问题并进行解决的.能力，进而提高学生形象思维能力;渗透转化的思想。

3、情感目标：培养学生理论联系实际，敢于实践，勇于探索的精神.

四、、教法与学法

1、教法的设计理念

根据基础教育课程改革的具体目的，结合注重开放与生成，构造充满生命活力的课堂教学体系。改变课堂过于注重知识传授的倾向，强调形成积极主动的学习态度，关注学生的学习兴趣和体验，让学生主动参与学习活动，并引导学生在课堂活动中感悟知识的生成，发展与变化。在教学过程中由学生主动去发现，去思考，留有足够的时间让他们去操作，体现以学生为主体的原则;而教师为主导，采用启发探索法、讲授法、讨论法相结合的教学方法。这样，使学生通过讨论，实践，形成深刻印象，对知识的掌握比较牢靠，对难点也比较容易突破，同时也培养了学生的数学能力。

2、学法

学生在小学就接触过直角三角形，先学习了锐角三角函数，所以这节课内容学生可以接受。本节的学习使学生初步掌握解直角三角形的方法，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。通过图形和器具的演示调动学生的学习积极性，同时让学生通过观察、思考、操作，体验转化过程，真正学会用数学知识解决实际的问题。

巧构三角形重心 妙解向量难题 篇15

定理1 O是△ABC的重心的充要条件是${\rm O}\overrightarrow{A}+{\rm O}\overrightarrow{B}+{\rm O}\overrightarrow{C}=0.$

定理2 如果O是△ABC的重心, 则△AOB, △AOC, △BOC的面积相等.

证明:如图1、延长AO交BC于D.

∵O是△ABC的重心,

∴AD是BC边中线.

则S△ABD=S△ACD, S△BOD=S△COD.

∴S△ABD -S△BOD=S△ACD-S△C OD.

即S△AOB=S△AOC.

同理, S△AOB=S△BOC.

故S△AOB=S△AOC=S△BOC.

问题:已知点O为△ABC所在平面上一点, 且${\rm O}\overrightarrow{A}+2{\rm O}\overrightarrow{B}+3{\rm O}\overrightarrow{C}=0$, 求△BOC, △AOC, △AOB的面积之比.

分析:由“${\rm O}\overrightarrow{A}+2{\rm O}\overrightarrow{B}+3{\rm O}\overrightarrow{C}=0$”发现, 它是以点O为始点的三个向量和为零向量的等式.联想三角形的重心具有这一特征, 故构造三角形重心来解决.

解:如图2、延长OB到B′, 使$\overrightarrow{{\rm O}{B}^{\prime }}=2{\rm O}\overrightarrow{B}$, 延长OC到C′, 使$\overrightarrow{{\rm O}{C}^{\prime }}=3{\rm O}\overrightarrow{C}$, 连结CB′、AB′、AC′、B′C′.

$\because {\rm O}\overrightarrow{B}+2{\rm O}\overrightarrow{B}+3{\rm O}\overrightarrow{C}=0‚\therefore {\rm O}\overrightarrow{A}+\overrightarrow{{\rm O}{B}^{\prime }}+\overrightarrow{{\rm O}{C}^{\prime }}=0$.则O是△AB′C′重心.

$\begin{array}{l}\therefore S{}_{△A{\rm O}{B}^{\prime }}=S{}_{△A{\rm O}{C}^{\prime }}=S{}_{△B^{\prime }{\rm O}{C}^{\prime }}.\\ \because |\overrightarrow{{\rm O}{B}^{\prime }}|=2|\overrightarrow{{\rm O}B}|‚|\overrightarrow{{\rm O}{C}^{\prime }}|=3|{\rm O}\overrightarrow{C}|,\\ \therefore S{}_{△A{\rm O}{B}^{\prime }}=2S{}_{△A{\rm O}B}‚S{}_{△A{\rm O}{C}^{\prime }}=3S{}_{△A{\rm O}C}‚S{}_{△B^{\prime }{\rm O}C}=2S{}_{△B{\rm O}C},\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{于}\text{是}S{}_{△B^{\prime }{\rm O}{C}^{\prime }}=3S{}_{△B^{\prime }{\rm O}C}=6S{}_{△B{\rm O}C}.\\ \therefore S{}_{△A{\rm O}B}=\frac{1}{2}S{}_{△A{\rm O}{B}^{\prime }},S{}_{△A{\rm O}C}=\frac{1}{3}S{}_{△A{\rm O}{C}^{\prime }},S{}_{△B{\rm O}C}=\frac{1}{6}S{}_{△B^{\prime }{\rm O}{C}^{\prime }}.\end{array}$

因此, $S{}_{△B{\rm O}C}:S{}_{△A{\rm O}C}:S{}_{△A{\rm O}B}=\frac{1}{6}:\frac{1}{3}:\frac{1}{2}=1:2:3.$

上述问题通过构造三角形重心, 利用重心与面积关系, 轻易给予解决.其实这个问题还可以做如下推广, 得到一般结论.

推广:已知O是△ABC所在平面内一点, 如果正实数x, y, z满足$x\overrightarrow{{\rm O}A}+y\overrightarrow{{\rm O}B}+z\overrightarrow{{\rm O}C}=0$, 那么S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=x ∶y ∶z .

分析:由条件$x\overrightarrow{{\rm O}A}+y\overrightarrow{{\rm O}B}+z\overrightarrow{{\rm O}C}=0$, 联想到三角形重心具有这样关系.故分别延长OA、OB、OC到A′、B′、C′, 构造以O为重心的△A′B′C′.

证明:如图3, 分别延长OA、OB、OC到A′、B′、C′, 使得$\overrightarrow{{\rm O}{A}^{\prime }}=x\overrightarrow{{\rm O}A}‚\overrightarrow{{\rm O}{B}^{\prime }}=y\overrightarrow{{\rm O}B}‚{\rm O}{C}^{\prime }=z\overrightarrow{{\rm O}C}$, 连结A′B′、B′C′、A′C′、A′B.

$\because x\overrightarrow{{\rm O}A}+y\overrightarrow{{\rm O}B}+z\overrightarrow{{\rm O}C}=0,\therefore \overrightarrow{{\rm O}{A}^{\prime }}+\overrightarrow{{\rm O}{B}^{\prime }}+\overrightarrow{{\rm O}{C}^{\prime }}=0.$

则O是△A′B′C′重心,

$\begin{array}{l}\therefore S{}_{△B^{\prime }{\rm O}{C}^{\prime }}=S{}_{△A^{\prime }{\rm O}{C}^{\prime }}=S{}_{△A^{\prime }{\rm O}{B}^{\prime }}.\\ \because \overrightarrow{{\rm O}{A}^{\prime }}=x\overrightarrow{{\rm O}A}‚\overrightarrow{{\rm O}{B}^{\prime }}=y\overrightarrow{{\rm O}B}‚\overrightarrow{{\rm O}{C}^{\prime }}=z\overrightarrow{{\rm O}C},\\ \therefore |\overrightarrow{{\rm O}{A}^{\prime }}|=x|\overrightarrow{{\rm O}A}|‚|\overrightarrow{{\rm O}{B}^{\prime }}|=y|\overrightarrow{{\rm O}B}|‚|\overrightarrow{{\rm O}{C}^{\prime }}|=z|\overrightarrow{{\rm O}C}|.\\ \therefore S{}_{△A^{\prime }{\rm O}B}=xS{}_{△A{\rm O}B}‚S{}_{△A^{\prime }{\rm O}{B}^{\prime }}=yS{}_{△A^{\prime }{\rm O}B}\end{array}$

, 从而S△A′OB′=xyS△AOB.

同理, S△A′OC′=xzS△AOC, S△B′OC′=yzS△BOC .

则$S{}_{△A{\rm O}B}=\frac{1}{xy}S{}_{△A^{\prime }{\rm O}{B}^{\prime }}‚S{}_{△A{\rm O}B}=\frac{1}{xz}S{}_{△A^{\prime }{\rm O}{C}^{\prime }}‚S{}_{△B{\rm O}C}=\frac{1}{xz}S{}_{△B^{\prime }{\rm O}{C}^{\prime }}.$

$\therefore S{}_{△B{\rm O}C}:S{}_{△A{\rm O}C}:S{}_{△A{\rm O}B}=\frac{1}{yz}:\frac{1}{xz}:\frac{1}{xy}=x:y:z.$

应用1:如图4, P是△ABC内一点, 且$A\overrightarrow{{\rm P}}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}A\overrightarrow{C}$, 则△ABP的面积与△ABC的面积之比为多少?

由上述结论可得S△APC∶S△APB∶S△BPC=2∶1∶2.

因此S△APB∶S△ABC=1∶5.

应用2:已知O是△ABC所在平面上一点, A、B、C所对的边分别为a、b、c, 若, 则O是△ABC的 () .

A.重心 B.垂心

C.外心 D.内心

解析:过O分别作BC、AC、AB的边上的高h1、h2、h3, 由, 根据上述结论可得

于是h1∶h2∶h3=1∶1∶1.即h1=h2=h3.

故O到BC、AC、AB距离相等.

O是△ABC内心, 因此答案选D.

【练习】

1.设O在△ABC内部, 且有, 则△ABC的面积与△OBC的面积之比为 () .

2.设O是△ABC内部一点, 且, 若△BOC的面积是8, 求△ABC的面积.

答案:1.D;2.14.

参考文献

[1].王勇.盘活向量条件、破解三类题型[J].数学教学, 2008. (10) .

解三角形的方法和技巧 篇16

一、直接法

例1在[△ABC]中，[A=600,b=1,SΔABC=3,] 求[a+b+csinA+sinB+sinC]的值.

分析 直接由公式可求[c],进而求[a],由正弦定理得所求．

解 [∵S△ABC=12bcsinA=12×1×csin600=3, ]

∴[c=4].

故[a2=b2+c2-2bc cosA=13,  a=13].

∴[a+b+csinA+sinB+sinC]=[asinA=13sin60°=2393.]

点拨若把角A、B、C都算出来再代入求解则太繁.

例2 半圆O的直径为2，O为圆心，A为直径延长线一点，且OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为边向外作等边[△ABC]，则B点在什么位置时，四边形OACB的面积S最大？求出最大值.

分析 四边形OACB可分割成两个三角形，分别求两个三角形面积即可．要计算三角形面积，引入一个辅助角作为变量．

解设[∠AOB=θ]，

则由余弦定理得[AB2=5-4cosθ]，

[S=S△AOB+S△ABC=sinθ+34AB2]

[=sinθ-3cosθ+534][=2sin(θ-π3)+534]，

当[θ-π3=π2]即[θ=5π6]时，S最大值为[8+534]．

点拨 本题的难点在于构造辅助角，之所以引入[∠AOB=θ]，是因为它与两个三角形面积公式都有联系．

二、化边为角、化角为边

例3 在[△ABC]中，[a2tanB=b2tanA]，试判断[△ABC]的形状．分析 已知等式既有边，又有角，既可考虑化边为角，又可考虑化角为边．

解法一 （化边为角）由正弦定理得

[sin2AsinBcosB=sin2BsinAcosA] ，

即[sinAcosA=sinBcosB]，

∴[sin2A-sin2B=0]，

∴[2A=2B]或[2A=π-2B]，

∴[A=B]或[A+B=π2]，

∴[△ABC]是等腰三角形或直角三角形.

解法二（化角为边）由[a2tanB=b2tanA]切化弦得

[a2sinBcosA=b2sinAcosB]，

由正弦、余弦定理得

[a2⋅b⋅b2+c2-a22bc=b2⋅a⋅a2+c2-b22ac,]

∴[a2-b2a2+b2-c2=0]，

∴[a=b]或[a2+b2=c2]，

∴[△ABC]是等腰三角形或直角三角形．

点拨 本题即可化边为角，又可化角为边来做．但显然解法一比解法二简单，所以要灵活地选择，找到简洁的方法．

例4 已知[△ABC]是半径为R的圆内接三角形，且[2R(sin2A-sin2C)=(2a-b)sinB].

（1）求角C；（2）求[△ABC]面积S最大值.

分析题设条件中有角、边、外接圆半径，可化角为边．

解（1）由[2R(sin2A-sin2C)=(2a-b)sinB]，

得[2RsinA2-2RsinC2=2a-b2RsinB,]

∴[a2-c2=2a-bb]，

即[a2+b2-c2=2ab]，

∴[cosC=a2+b2-c22ab=22]，∴[C=π4]．

（2）∵[C=π4]，∴[A+B=3π4] ，

∴ [S=12absinC=2R2sinAsinB]

[=-22R2cos(A+B)-cos(A-B)]

[=22R222+cos(A-B)] ，

当[A=B=3π8]时，S取最大值[1+22R2]．

点拨 第（1）问若化边为角则很困难，所以并非所有类似的题目均既可化边为角，又可化角为边．同时形如[a2+b2-c2]、[a2+c2-b2、][c2+b2-a2]的式子要联想到余弦定理. 第（2）问求[S]时，也可不用积化和差公式，而采取消角[(B=3π4-A)]的方法．

三、向量法

例5如图，[△ABC]中，[AD⊥AB,BC=3BD,][AD=1,∠BAC=1200]，求[CD]．

分析 题设条件在两个三角形中，若用直接法，则太繁，而用向量法则可使问题简化．

解 以[AB、AD]为基底，∵[AD⊥AB]，

∴[AD⋅AB=0]，[∠CAD=300]．

[AC⋅AD=AB+BC⋅AD]

[=AB+3BD⋅AD=3BD⋅AD]

[=3BA+AD⋅AD=3AD2=3].

又[AC⋅AD=ACADcos∠CAD]

[=AC×1×cos300=3]，

∴ [AC=2]，

∴[CD=12+22-2×1×2×cos300=5-23.]

点拨 此题难点在于想到求[AC⋅AD]；基底尽量选择与题设关系密切的向量，特别是垂直的向量；图中有多个三角形问题时，若用直接法比较困难，可考虑借助向量作为工具．

四、解析法

例6 台风中心在海上[O]点形成，沿北偏西[600]方向移动，速度是25千米/小时. 台风影响范围是130千米,在[O]点的正西240千米处有城市[A]，台风是否会对A市有影响？如果有影响, 影响时间多长？

分析 画图建立数学模型，转化为解直角三角形问题．

解 （1）设台风的方向为[OB]，建立如图所示的直角坐标系，则[A-240,0]，

直线[OB]方程[y=-33x] ， 点[A]到直线[OB]的距离[AD]为120千米．

∵120千米＜130千米，∴台风会对[A]市有影响．

（2）以[A]为圆心、130千米为半径画圆，交[OB]于[E、F]两点．

∵[AE]=130，[AD] =120，

由勾股定理可得[ED]=50，

∴[EF=100,][10025=4]．

故城市[A]会受影响4个小时.

例7 在[△ABC]中，已知[AB=463,cosB=66], AC边上的中线[BD=5]，求[sinA]的值.

分析本题解法较多，其中解析法是较简单的方法.

解建立如图所示的直角坐标系，则

[BA=463cosB,463sinB=43,453]．

设[BC=x,0]， 则[BD=4+3x6,253] ，

[BD=4+3x62+2532=5]，

得[x=2,x=-143](舍去)．

故[CA=-23,453].

[cosA=BA⋅CABACA=31414 ]，

∴[sinA=1-cos2A=7014].