matlab数学实验与建模（共10篇）
题 目 求π的近似值的数学建模问题
学 院 材料科学与工程
专业班级
学生姓名
成 绩
年 05 月 20
MATLAB
2010 日
摘要 这个学期，我们开了MATLAB的课程，因为是一个人做所以作业选择书上一道相关的题目，并参考了一些资料。
任务
求π的近似值
分析
1111这个公式求π的近似值，直到某一项的绝对值小于10-6为止。4357采用MATLAB的循环来求
实验程序
x=1;y=0;i=1;while abs(x)>=1e-6 y=y+x;x=(-1)^i/(2*i+1);i=i+1;end format long,pi=4*y 可以用实验结果 pi =
3.14***92 收获
得出的π值已经非常接近真实的值了，学好MATLAB可以提高我们的效率。
参考文献
一、学习方面
(一) 学习目的的变化
Matlab课程开设最初是因为工作岗位的需要. 学生通过学习Matlab, 可以更好地适应未来的工作岗位. 但随着数学建模比赛的影响力越来越大, 在比赛中获奖能成为找工作时的重要砝码, 许多学生学习Matlab的目的就变成了参赛获奖, 功利性较强. Matlab具有十分强大的绘图和计算功能, 即使不再学习其他编程软件, 也基本可以满足数学建模比赛的需要. 于是在有限的精力下, 许多学生会选择把Matlab作为自己的编程入门语言, 而放弃学习以C语言为代表的其他传统编程语言.
为了明确的目标而学习, 实际上最能激发学生的学习动力. 在严峻的就业形势下, 毕业生就业时的竞争力, 更能直接地反映出一个高等院校的办学水平. 所以, 应该在教学时给予这些学生更多的支持和照顾.
(二) 学习难度的变化
Matlab是基于C语言开发的, 它的编程语言和C语言非常接近. 但是C语言程序和Matlab程序之间的转化并不是简单的复制粘贴. 同样的问题, Matlab可以利用自身的特点, 写出思路完全不同的解答.
例如, 用Matlab建立矩阵
以上两种解答程序各有特点, 都需要学生掌握. 对于初次接触编程的学生来说, 等于同时在学习C语言和Matlab所以表面上是直接学习Matlab, 实际上还是要先学C语言的思想. 编程思想的建立需要一个积累过程, 没有捷径可走. 因此, 直接学习Matlab的难度很大.
二、教学方面
(一) 教学内容的变化
原本Matlab的开课时间较晚, 学生都熟练地掌握了C语言. 教学的重点主要在介绍软件的功能, 程序设计等内容均为略讲. 但现在开课时间被提前, 学生编程基础差的特点, 使得传统的教学内容已经不能满足需求了.
针对学生没有学过C语言的特点, 扩充“Matlab程序设计”这一章的内容. 原来本章只是简单介绍几个流程控制语句的范例, 供学生参考使用. 扩充后的本章与传统的C语言教学内容基本一致, 但所有的程序范例都是在Matlab的环境下运行, 编程思想更倾向于Matlab而非C语言. 本章的作用是让学生们更快地掌握一定的编程思想, 尽早跟上后续课程的进度.
针对学生学习负担重的特点, 舍弃部分Matlab编程语句的讲授. 例如, while语句和switch - case语句在数学建模的实际需求中大多可以被for语句和if替代. 所以略去这些内容不讲, 留给学有余力的学生课后自学.
(二) 教学模式的变化
在学生掌握了Matlab的基础操作后, 不再分章节地介绍Matlab的功能, 而是带着学生们重做往年的数学建模真题, 让学生在解题的过程中逐步学会使用比赛中需要的功能. Matlab的教学模式也由传统的讲授式变为任务驱动式.
以2013年全国大学生数学建模比赛专科组C题“古塔的变形”为例, 题目附件中给出了对某古塔的4次观测数据, 要求根据数据分析古塔的变形情况. Matlab在问题中承担着重要的数据预处理任务. 首先, Excel格式的数据不能被Matlab直接读取, 需要将数据复制到记事本中, 再通过Matlab读取. 学生在这个过程中复习文件管理、工作地址管理等Matlab基础操作. 然后, 因提供的数据有部分缺失, 要通过数据插值或数据拟合的方法将缺失数据补全. 学生在这个过程中学习数据插值和数据拟合的一般方法, 并体会这两种方法各自的优缺点. 最后将所有数据整合, 绘制古塔轮廓外貌. 学生在这个过程中学习Matlab的各种绘图语句并了解它们的特点.
通过任务驱动式的教学模式, 使得学生对Matlab的学习更加积极主动. 针对数学建模比赛的需要调整教学内容, 舍弃数学建模中用不到的内容, 增加数学建模的针对性练习, 让教与学的联系更加紧密, 教学效果提升明显.
(三) 老师的变化
数学建模的指导老师多为数学老师, 他们了解数学建模, 更能针对性地去指导学生学习Matlab. 所以Matlab已由过去计算机老师授课, 变成了现在数学老师在授课. 老师的变化是教学中改变最大的一环. 数学老师了解数学建模, 讲授Matlab时有其自身优势, 但同时也存在一些劣势. 例如, 编程思想讲解不到位, 机房广播软件使用时机不合理等. 所以, 数学老师和计算机老师之间互相取长补短, 才能让Matlab的教学更上一层楼.
数学建模让Matlab从自学为主的选修课变成了热门课程, 如何学好Matlab, 如何教好Matlab, 还需要在实践中继续探索与研究.
摘要：随着全国大学生数学建模比赛的影响力越来越大, 很多从未学习过编程的学生, 甚至文科生也都在学习Matlab.这使得Matlab的学习与教学发生了新的变化.
摘要：详细介绍了成人教育中数学类专业数学建模与数学实验课程教学改革的思路，以及数学建模课程和数学实验课程的相互渗透，最后，给出了该课程具体的教学改革方法和步骤。并以此为切入点将数学建模的思想融入到数学的其他课程中去，以期最终带动整个学科的改革和发展。
关键词：数学建模；教学改革；素质教育
成人教育中，数学专业的学生大多数是中学教师，授课的方式也主要以函授与面授相结合的方式进行。而高中数学课程标准将数学建模作为贯穿于整个高中数学课程的重要内容，并渗透在每个模块或专题中，并明确指出，高中阶段至少应安排一次较为完整的数学建模活动，这一要求也反映在最新编写的高中数学教材中。这就要求我们的数学教师必须树立“数学具有广泛应用性”的信念和数学应用意识，并且具备一定的数学建模能力。作为中学数学教师也应具有这样的信念、意识和能力。
数学建模就是建立数学模型来解决实际问题，通过对实际问题进行合理的抽象、假设以及简化，从而利用其中“规律”建立变量、参数之间的数学模型，并求解模型，最后用所求的结果去解释、检验以及指导实际问题。数学建模的本质决定了它不仅是一种创造性的活动，而且是一种解决实际问题的量化手段。由此，开设数学建模课程有助于学生创新能力、自学能力和综合知识应用能办的培养；有助于学生洞察力和抽象能力的培养。同时，我们提出了“以培养学生的创新意识与创新能力为重点，以渗透数学建模思想加强数学建模课程建设为突破口”的教学模式，形成了“学生创新意识与创新能力培养的探索与实践的教学改革总体设想及实施方案”，这都将要求我们对数学建模课程的教学进行改革，以适应学科发展和社会发展的要求。
一、数学建模与数学实验课程的教学思路
数学建模课具有难度大、涉及面广、形式灵活，对教师、学生要求高等特点。在数学建模课程的教学过程中，指导思想是：以学生为主体，以问题为主线，以培养能力为目的来组织教学工作。通过教学使学生了解如何利用数学知识和方法去分析、解决问题的全过程，提高他们分析、解决问题的能力；提高他们学习数学的兴趣和应用数学的意识与能力，使他们能在今后的工作中经常性地想到用数学去解决问题。所以，教学过程的重点是创造一个环境去诱导学生的学习欲望，培养他们的自学能力，增强其应用意识和创新能力，提高其数学素质，强调的是分析、解决问题的思
结合成人教育的特点，在教学中，我们采用探索讨论与作业相结合的方法。这种模式通过创造一种环境、提出一些问题、学生自学、师生共同研讨等步骤来实现。采用这种模式应注意的是提出的问题必须适当，既不能使学生无从下手，又不能太简单。学生为了参加讨论就必须查阅有关的参考文献，这样也就培养了学生自学的能力。学生共同讨论的方式也有助于培养学生的团结协作的精神，也能够充分发挥成人学生理解能力强的作用。课外作业是将学生分成几个小组，指定一些有一定意义和难度适当的实际问题，让学生通过查阅相关的资料，相互反复讨论，最后形成解决问题的方案，通过计算给出结果，并写成完整的小论文。这样不仅能充分发挥小组中的每一个成员的特长，而且还能使他们养成一种团结协作的良好习惯。数学建模教学已突破了纯粹由教师讲、学生听、做习题的教学模式，学生的主动性增强了，师生间、学生间的交流讨论与合作更加灵活多样。
通过数学建模活动，可以培养学生理论联系实际、解决实际问题的能力，充分认识到数学的重要作用，提高对数学学习的兴趣，在课堂中做到积极学习，同时使得他们在以后的工作学习中，自觉主动地利用数学工具解决实际问题。通过数学建模学生能够学会如何利用所学知识构造模型，从而加深对数学知识的理解。通过数学建模能够培养学生的团结协作精神和动手能力，也能够训练学生的写作能力。
由于数学建模必然要涉及到数值计算问题，而成人学生大多数未系统学习数学软件课程，利用算法语言编程也存在着一定的困难。因此，我们在数学实验中强调以实验室为基础，以学生为中心，以问题为主线，以培养能力为目标来组织教学工作。首先是根据数学建模的问题所涉及的数值计算问题，介绍一些相应的软件，包括它有哪些功能、怎样使用以及如何进行编程等，引导学生利用计算机去完成数值计算、数据处理、计算机模拟等。其次是针对一些简单的实际问题，引导学生利用编程或软件来得到结果。最后是根据成人学生以后教学工作的需要，介绍一些与中学数学联系密切的实际问题作为学生的思考题。数学模型与数学实验课程，不仅使学生积累了许多数学模型实例，而且也能够加深学生对知识的理解和掌握，有助于广大教师改进教学方法和教学思想。因此，通过这种渗透使得传统数学的基础知识为数学建模提供了广泛的理论依据，反过来，数学模型与数学实验又促进了传统知识的学习与拓展。
二、进行数学建模教学改革的方法和途径
1改革数学建模与数学实验课程的内容和体系
现在许多大学数学教学内容单一，重理论轻应用，缺乏整体的现代数学思想和方法；教材编写上也很少体现数学发展的过程，缺少趣味性。这一切会使学生思维方式僵化，只会做纯粹的数学题目而不会解决实际问题，当然无法适应数学建模的需要。所以应积极改革数学建模课程的内容和结构体系。随着数学建模活动的影响日益扩大和参与的教师不断增加，越来越多的教师在自己原有的教学内容中引入了数学建模，加强了学生综合能力的训练。数学实验课程中计算机和数学软件的引入，丰富了原来教学的形式和方法；在课堂讨论和上机训练中计算机和数学软件的使用，在相当程度上提高了成人学生运用计算机的能力。
2考核方式改革
数学建模课程不同于传统数学课程，因而不宜采用闭卷考试的方式，我们对该课程采用开卷形式，由教师指定问题，学生选择，以论文作为答卷。评分采用优秀、良好、及格、不及格四个等级，评判论文的成绩主要是看论文的思想方法好不好，论述是否清晰。
3加强实践环节，提高动手能力
过去，学习数学只要有纸和笔就行，如今随着计算机的广泛应用和互联网的飞速发展，学生对于数学学习有了更高的要求。数学建模是一门利用数学软件解决实际问题的综合性课程。数学实验是其中不可或缺的一个重要组成部分。笔者在教学中反复强调数学实验的重要性，要求学生熟练掌握计算机及网上资源，并且熟练掌握一些数学软件的使用，如：Mathematics，Matlab，Spss等。
4拥有一支高素质的数学建模师资队伍
数学建模的教学，对教师的能力提出了很高的要求，不仅要求教师必须掌握一定的数学建模的知识和方法，还必须对数学应用的广泛性、如何应用数学有着深刻的理解，才能把建模教学搞好。所以可以举办一些数学建模教师培训班、研讨班，也可以请专家讲学来提高教师的业务水平。
实验课成绩
学 学 生 实 验 报 告 书
实验课程名称 数据分析与建模 开 开 课 学 院 管理学院 指导教师姓名 鄢 丹 学 学 生 姓 名
学生专业班级 信管
班
2018 —2019 学年
第1
学期实验报告填写说明
1． 综合性、设计性实验必须填写实验报告，验证、演示性实验可不写实验报告。
2． 实验报告书 必须按统一格式制作（实验中心网站有下载）。
3． 老师在指导学生实验时，必须按实验大纲的要求，逐项完成各项实验；实验报告书中的实验课程名称和实验项目 必须 须与实验指导书一致。
4． 每项实验依据其实验内容的多少，可安排在一个或多个时间段内完成，但每项实验只须填写一份实验报告。
5． 每份实验报告教师都应该有签名、评分表及实验报告成绩。
6． 教师应及时评阅学生的实验报告并给出各实验项目成绩，完整保存实验报告。在完成所有实验项目后，教师应按学生姓名将批改好的各实验项目实验报告装订成册，构成该实验课程总报告，按班级交到实验中心，每个班级实验报告袋中附带一份实验指导书及班级实验课程成绩表。
7． 实验报告封面信息需填写完整，并给出实验环节的成绩，实验环节成绩按其类型采取百分制或优、良、中、及格和不及格五级评定（与课程总成绩一致），并记入课程总成绩中。
实验课程名称：_ 数据分析与建模__
实验项目名称 实验一
简单的数据建模 实验 成绩
实 实 验 者
专业班级
组 组
别 无 无 同 同 组 者 无 无 实验日期 2018 年 年 9 月 月 26 日 第一部分：实验预习报告（包括实验目的、意义，实验基本原理与方法，主要仪器设备及耗材，实验方案与技术路线等）
一、实验目的、意义 本实验旨在通过资料查阅和上机实验，使学生加深了解数据分析与建模的理论与方法，掌握典型的数据模型的建立与使用。
二、实验基本原理与方法 数据分析的理论，最优化模型的建模方法。
应用 Excel 的方法。
三、实验内容及要求 1、应用 Excel 建模分析 某学院有 3 个系，共有学生 200 人，A 系 103 人，B 系 63 人，C 系 34 人。现在成立一个由 21 名学生组成的学生会，该如何公平地分配席位？ 实验任务：用 利用 Q 值法分配席位，并且在 Excel 中进行 Q 值计算。
（提示：参考讲义中的计算过程。）、单变量最优化 一个汽车制造商售出一辆某品牌的汽车可获利 1500 美元，估计每 100 美元的折扣可以使销售额提高 15%。
（1）多大的折扣可以使利润最高？利用五步方法及单变量最优化模型。
（2）对你所得的结果，求关于所做的 15%假设的灵敏性。分别考虑折扣量和相应收益。
（3）假设实际每 100 美元的折扣仅可以使销售额提高 10%，对结果会有什么影响？如果每 100 美元折扣的提高量为 10%~15%之间的某个值，结果又如何？（4）什么情况下折扣会导致利润降低？
实验任务：请将上述求解过程，除了用导数求解外，再用 用 Excel 建模求解之。
（提示：考虑 Excel 的数据，图形，公式三者的关系；Excel。的函数。参考教材第一章。））
四、实验方案或技术路线（只针对综合型和设计型实验）
按照实验任务要求，理论结合实际的实验方案，巩固课程内容，温故知新，查遗补漏，夯实理论基础，提升实验动手能力。
技术路线是，从整体规划，分步骤实施，实验全面总结。
第二部分：实验过程记录（可加页）（包括实验原始数据记录，实验现象记录，实验过程发现的问题等）、应用 Excel 建模分析 1.分配方案：
第一步：对每个单位各分配一席； 第二步：当分配下一席位时，计算在当前席位份额下各单位的 Q 值，并比较相应 Q 值的大小，将下一席位分配给当前 Q 值最大的一方； Q 值计算公式为：
（其中，Qi 表示单位 i 的 Q 值，Pi 表示单位 i 的人数，Ni 表示单位 i 的当前席位数）
第三步：重复执行第二步，直至席位分配完为止。
2.实验步骤：本实验的实验工具为 Excel（1）首先，打开 Excel 新建一个表格，并做好前期的基本数据输入工作，表格内容包括三部分：
a.已知的每个系的人数和所求的每个系最终分得席位数； b.在不同的已分配席位数的情况下，三个系 Q 值的取值； c.席位分配过程：给席位编号，标注出每个席位的分配结果； 完成后结果如下图所示：
（2）然后，对每个系均分一个席位后，开始对第 4 个席位进行分配。此时各系已分配席位数均为 1，计算此时各系的 Q 值并比较大小：
a.计算 A 系的 Q 值，公式如图所示：
b.计算 B 系的 Q 值，公式如图所示：
c.计算 C 系的 Q 值：
Q 值大者得席位，所以第 4 个席位分配给 A 系。
（3）然后对第 5 个席位进行分配，由于只有 A 系的已分配席位数变为 2，所以此时只需计算 A 系的 Q 值，再比较各系 Q 值大小即可。A 系 Q 值的计算公式只需将原来的 A6 都换成 A7即可，如下图所示：
Q 值大者得席位，所以第 5 个席位分配给 B 系。
（4）然后对第 6 个席位进行分配，由于只有 B 系的已分配席位数变为 2，所以此时只需计算 B 系的 Q 值，再比较各系 Q 值大小即可。B 系 Q 值的计算公式只需将原来的 A6 都换成 A7即可，如下图所示：
Q 值大者得席位，所以第 6 个席位分配给 A 系。
（5）采用类似上述的方法（当已分配席位数加 1 时，Q 值的计算公式中 A 后面的数字也加 1 即可）依次对后面的席位进行分配，直到第 21 个席位分配完毕。
最终 A 系分得席位 11 个，B 系分得席位 6 个，C 系分得席位 4 个。最终分配结果及分配具体分配过程如下图：
6、单变量最优化（（1）多大的折扣可以使利润最高？利用五 步方法及单变量最优化模型。
1.提出问题 【全部的变量包括】
一辆某品牌汽车的成本 C（美元）
一辆某品牌的汽车的折扣金额 100x（美元）
没有折扣时一辆某品牌汽车的售价 P（美元）
有折扣时一辆某品牌汽车的售价 p（美元）
没有折扣时的销量 Q（辆）
有折扣时的销量 q（辆）
没有折扣时的销售额 R（美元）
有折扣时的销售额 r（美元）
有折扣后的利润 L（美元）
【关于上述变量所做的假设】
P – C = 1500 p = P – 100x q = Q *(1 + 0.15x)L = q *(p – C)x >= 0 【目标】求 L 的最大值 2.选择建模方法 本题为单变量优化问题，则建模方法为：设 y = f(x)在 x >= 0 的区间范围内是可微的，若 f(x)在 x 处达到极大或极小, 则 f ΄(x)= 0。
3.推导数学表达式 L = q *(p – C)= Q *(1 + 0.15x)*(p – C)= Q *(1 + 0.15x)*(1500-100x)
= Q *(-15 x^2 + 125x + 1500)记 y = L 作为求最大值的目标变量，x 作为自变量，原问题就化为在集合 S={ x : x ≥0}上求以下函数的最大值：
y = f(x)= Q *(-15 x^2 + 125x + 1500)（Q 为非负常量）
4.求解模型 在本题中，即对 y = f(x)= Q *(-15 x^2 + 125x + 1500)在区间 x >= 0 上求最大值，Q 为非负常量。当 f ΄(x)= Q *(-30x + 125)= 0 时，解得 x ≈ 4.17 故 y = f(x)= Q *(-15 x^2 + 125x + 1500)在 x = 4.17 时取得最大值。
5.回答问题 答：417 美元折扣可以使利润最高。
【 【Excel 建模求解】
1.打开 Excel 新建一个表格，分别列出 X 栏和 Y 栏。X 栏依次写入 0，1，2，3 „„ 等等，Y 栏第一项，根据公式，将 x 以 A2 替代，写入公式“=-15*A2*A2+125*A2+1500”（此处假设 Q = 1），其余的 Y 栏数据，采用拖曳复制的方式复制粘贴公式。当 X 栏有值时，Y 栏就有对应的值。
2.选中 X 栏和 Y 栏的数据，点击菜单栏的【插入】然后插入【散点图】，得到如下图表：
由表和图可知，当 x 在 4 附近时，y 取得最大值。将 x 的取值区间缩小到[3.5 , 4.5] , 再绘出一次散点图，如下：
由上述表和图可知，当 x = 4.2 时，y 取得最大值。
回答问题：大约 420 美元折扣可以使利润最高。
（（2）对你所得的结果，求关于所做的 15% 假设的灵敏性。分别考虑折扣量和相应收益。
设销售额提高百分比为 r 1.折扣量 100x 关于销售额提高百分比 r 的灵敏性（故考虑 x 关于 r 的灵敏性即可）
a.粗分析 前面已假定 r =15%，现在假设 r 的实际值是不同的，对几个不同的 r 值，重复前面的求解过程,可以得到对问题的解 x 关于 r 的敏感程度的一些数据。
即给定 r，对 y = f(x)=(1 + r x)*(1500-100x)（此处假设 Q = 1）求导，得到 f“(x)=-200rx + 1500r-100，令 f”(x)= 0,可得相应 x =(15r-1)/2r , 故折扣量 100x = 50(15r-1)/r ,采用
类似第（1）问的 Excel 建模方法，绘出折扣量 100x 关于销售额提高百分比 r 的散点图。
由上述图表可看到折扣量 100x 对参数 r 是很敏感的。即如果给定不同的销售额提高百分比r，则折扣量 100x 将会有明显变化。因此，r 的取值要合适、合理，所做的分析才有意义。
b.折扣量 100x 对销售额提高百分比 r 灵敏性的系统分析 前面已计算出，使 f“(x)=0 的点为 x =(15r-1)/2r，若要 x≥0,只要 r >= 0.067 , 最佳折扣量100x可由x =(15r-1)/2r即100x = 50(15r-1)/r给出,对 r < 0.067 ,在[0,+∞)上都有f”(x)<0,最佳折扣量为 x=0。下图给出了 r =0.05 的情况（此处假设 Q = 1）：
c.折扣量 100x 对 r 的灵敏性的相对改变量：
由 x =(15r-1)/2r 可得在点 r=0.15 处，dx/dr = 1/(2 r^2)
S(100x , r)= S(x , r)=(dx/dr)*(r/x)= 1/(2rx)= 0.8
即若销售额提高百分比 r 增加 1%，则导致折扣量 100x 增加 0.8%
2.收益（即利润）L 关于销售额提高百分比 r 的灵敏性 a.粗分析 L = q *(p – C)= Q *(1 + rx)*(p – C)= Q *(1 + rx)*(1500-100x)
不妨设 Q = 1，由前面分析可得，折扣量 100x 对销售额提高百分比 r 是很敏感的，且此处分析的利润应该是给定 r 的情况下的最大利润，故将 x =(15r-1)/2r 代入式子 L =(1 + rx)*(1500-100x)得 L = 25(15r+1)^2 / r= 25(225r + 1/r + 30)。
采用类似前面的 Excel 建模方法，绘出利润 L 关于销售额提高百分比 r 的散点图。
由上述图表可看到利润 L 对参数 r 是很敏感的。即如果给定不同的销售额提高百分比 r，则利润 L 将会有明显变化。因此，r 的取值要合适、合理，所做的分析才有意义。
b.利润 L 对销售额提高百分比 r 灵敏性的系统分析 对 L 求导可得 L“(r)= 25(225 – 1/r^2)，使 L”(r)=0 的点为 r = 1/15≈0.067，当 r < 0.067 时，L 随着 r 的增大而减小；当 r >= 0.067 时，L 随着 r 的增大而增大，r=0.067 是极小值点。
c.利润 L 对 r 的灵敏性的相对改变量：
由 L = 25(225r + 1/r + 30)可得在点 r=0.15 处，dL/dr = 25(225 – 1/r^2)≈ 4513.89 S(L , r)=(dL/dr)*(r/L)=(225r – 1/r)/(225r + 1/r + 30)≈ 0.385 即若销售额提高百分比 r 增加 1%，则导致利润 L 增加 0.385%
（（3）假设实际每 100 美元的折扣仅可以使销售额提高 10%，对结果会有什么影响？如果每 100为 美元折扣的提高量为 10%~15% 之间的某个值，结果又如何？ 假设实际每 100 美元的折扣仅可以使销售额提高 10%，当 r = 0.1 时，折扣量 100x = 50(15r-1)/r = 250，利润 L= Q *(1 + 0.1x)*(1500-100x)= 1562.5Q(Q 为常量)答：会使折扣量变为 250 美元，利润变为 1562.5Q(Q 为没有折扣时的销量)如果每 100 美元折扣的提高量为 10%~15%之间的某个值，折扣量 100x 的变化曲线如下图所示：
100x = 50(15r-1)/r
利润 L（假设 Q = 1，仅考虑变化趋势）的变化曲线如下图所示：L = 25(225r + 1/r + 30)
（（4）什么情况下折扣 会导致利润降低？ 利润 L = y = f(x)= Q *(-15 x^2 + 125x + 1500)利润 L（假设 Q = 1）随 x 变化的变化曲线如下图所示：
由第（1）问所求可得，极大值点为 x = 4.17（折扣量 100x = 417 美元），当折扣量 100x <= 417 美元时，随着折扣量的增加，利润增加； 当折扣量 100x > 417 美元时，随着折扣量的增加，利润降低。
由上图还可知，当 x 取[8 , 8.5]区间上的某个值时，利润恰好等于 1500 美元。所以对 x 的取值再进行细分，绘出散点图如下：
由图可知，当 x > 8.33 时，即当折扣量> 833 美元时，此时利润小于没有折扣时的利润。
第三部分
结果与讨论（可加页）
一、
实验结果分析（包括数据处理、实验现象分析、影响因素讨论、综合分析和结论等）、应用 Excel 建模分析（1）问题 1：已分配席位数和席位号服从等差数列，重复输入浪费时间。
解决方法：使用 Excel 的自动填充功能 以已分配席位数的输入为例，具体操作如下：
a.在准备填充的第一个单元格输入原本应输入的值，此处输入 1，然后保持鼠标停留在该单元格； b.然后在菜单栏找到【开始】，点开后找到【填充】并点击；
c.点击【填充】后选择【序列】，然后进行参数设置。此处应选择【列】和【等差数列】，【步长值】输入等差数列公差值，【终止值】为等差数列最后一个数的值。操作如下图：
d.使用自动填充之后可以得到结果如下：
（2）问题 2：本实验的实验任务是利用 Q 值法分配席位，并且在 Excel 中进行 Q 值计算。
我认为如果在 Excel 中仅仅只进行 Q 值计算，是无法准确地确定 Q 值计算次数的终止点，容易产生一些不必要的计算。
解决方法：
我将表格的内容分为三部分：
a.已知的每个系的人数和所求的每个系最终分得席位数；（有助于更直观地了解已知条件和最终结论；同时 Q 值计算公式中我使用了 B2、C2、D2 单元格，如果三个系的人数发生变化，则只需要修改此处的数据即可，不必修改公式）
b.在不同的已分配席位数的情况下，三个系 Q 值的取值； c.席位分配过程：给席位编号，标注出每个席位的分配结果；（有助于更直观地了解 Q 值法分配的原理；便于最后计算各系的最终分得席位数）
此种分法便于确定 Q 值计算次数的终止点。具体方法是：
每进行一次 Q 值计算，则分配一次席位，分配结果直接写在表格中相应位置，更加直观。当所有席位分配完毕，则是 Q 值计算的终止点，此时在表格中回顾席位分配过程并计数即可得到各系最终分得的席位数。
13、单变量最优化（1）问题 1：绘制散点图之前，要先在表格中输入自变量的值，该数据服从等差数列。
解决方法：使用 Excel 的自动填充功能 具体操作：类似【用 应用 Excel 建模分析】中的问题 1 的操作步骤。
（2）问题 2：绘制散点图之前因变量的计算公式处理方法 解决方法：使用拖曳复制再粘贴的方法。
以第（1）问的第一个散点图为例，具体操作如下：
a.打开 Excel 新建一个表格，分别列出 X 栏和 Y 栏。
b.X 栏采用 Excel 的自动填充功能，依次写入 0，1，2，3 „„ 等等，Y 栏第一项，根据公式，将 x 以 A2 替代，手写输入公式“=-15*A2*A2+125*A2+1500”（此处假设 Q = 1），c.其余的 Y 栏数据，采用拖曳复制的方式复制粘贴公式。首先选中 Y 栏第一项，点击鼠标右键，点击【复制】；然后选中待填入数据的所有 Y 栏单元格，点击鼠标右键，点击【粘贴选项】中的【公式】；则当 X 栏有值时，Y 栏就有对应的值。
d.绘散点图：全部选中 X 栏和 Y 栏的数据，点击菜单栏的【插入】然后插入【散点图】，得到如下图表：
（3）问题 3：使用 Excel 求函数极值点的方法
解决方法：除了用公式法和导数求解之外，使用 Excel 采用多次绘散点图的方法也可求出函数极值点。
以第（1）问为例，具体操作如下：
采用前面的问题（2）中的方法，得到第一个散点图如下：
由表和图可知，当 x 在 4 附近时，y 取得最大值。
故将 x 的取值区间缩小到[3.5 , 4.5] , 再绘出一次散点图，如下：
由上述表和图可知，当 x ≈ 4.2 时，y 取得最大值。而导数计算结果为 x≈4.17，可知绘散点图求函数极值点是可行的。
如果想得到更精确的结果，可以将 x 的取值区间继续缩小，每个值之间的差也不断缩小，直至更加接近于真正的极值点。
二、
小结、建议及体会 此次实验涉及到的知识点包括数据分析的理论、最优化模型的建模方法、应用 Excel 的方法等，我按照实验任务的要求，查阅相关资料，制定出理论结合实际的实验方案，采用“从整体规划，分步骤实施，实验全面总结”的技术路线完成了实验。
此次试验，巩固了我在课堂所学的内容，加深了我对数据分析与建模的理论与方法的了解，帮助我基本掌握了典型的数据模型的建立与使用，提升了我的实验动手能力。
此次实验我主要面临的问题是如何使用 Excel 建模。由于先前对 Excel 的了解甚少，所以此次实验的困难可能会稍大一点，不过，我也因此学到了 Excel 的许多使用技巧，包括自动填充、拖曳复制粘贴公式等，使我受益匪浅。
同时，我还学习了利用表格中的数据绘制散点图，以此类推，也掌握了其他图形的绘制方法。这使得我对于以后其他情况下的数据分析处理多了一种分析方法。我感觉数据分析与建模真的是一门很有用的课，建模帮助我们将现实问题转化为数学问题，再进而求解，更加方便。而模型的求解过程帮助我们掌握了一些建模分析的软件，这将会成为我们人生的一笔财富，成为我们日后需要进行数据分析时的助力。
建议：我觉得关于 Excel 建模方面的知识还是有点少，课件里的内容不是很便于学习。如果可以的话，希望老师可以提供一份较为系统的利用 Excel 建模的过程的资料（步骤叙述明确，带有截图和提示）。不过，该课程后期并不会继续使用 Excel 建模，所以此建议请老师斟酌时间和精力再考虑，或者选择熟悉 Excel 建模过程的同学帮助老师制作此资料，供其他不擅长的同学学习。
第四部分
评分标准（教师可自行设计）及成绩
观测点 考核目标 权重 得分 实验预习1． 预习报告 2． 提问 3． 对于设计型实验，着重考查设计方案的科学性、可行性和创新性 对实验目的和基本原理的认识程度，对实验方案的设计能力 20%
实验过程 1． 是否按时参加实验 2． 对实验过程的熟悉程度 3． 对基本操作的规范程度 4． 对突发事件的应急处理能力 5． 实验原始记录的完整程度 6． 同学之间的团结协作精神 着重考查学生的实验态度、基本操作技能；严谨的治学态度、团结协作精神 30%
结果分析 1． 所分析结果是否用原始记录数据 2． 计算结果是否正确 3． 实验结果分析是否合理 4． 对于综合实验，各项内容之间是否有分析、比较与判断等 考查学生对实验数据处理和现象分析的能力；对专业知识的综合应用能力；事实求实的精神 50%
该项实验报告最终得分
作为一名中学数学教师，必须研究数学思维规律，重视数学思维在教学过程中的作用，以便在教学中培养和发展学生的数学思维能力。
【关键词】思维; 持续 ; 诱发 ;
能力从中学数学的教学目的来看，要使学生掌握数学知识，提高独立思维能力，发展智力和陶冶个性品质，数学思维问题是核心问题。
苏联教育家期托利亚尔在《数学教育学》一书中指出：“数学教学是数学(思维)活动的教学。”当前，在数学教学改革中，数学思维是根本的东西。
作为一名中学数学教师，必须研究数学思维规律，重视数学思维在教学过程中的作用，以便在教学中培养和发展学生的数学思维能力。
1数学思维的本质与中学生思维发展的特性
自然世界中很多现象是以二维一阶微分方程组作为模型的, 即
其中方程组 (1) 的右端不显示时间变量t, 称方程组 (1) 为自治微分方程组, 也称为自治微分系统。若x=x (t) , y=y (t) 是自治微分方程组 (1.1) 过点 (x0, y0) 的任意一个解, 称此解为三维空间 (t, x, y) 中的积分曲线。此三维积分曲线在 (x, y) 面上的投影曲线称为相轨线, (x, y) 平面也称为相位平面。
若点 (x0, y0) 满足条件U (x0, y0) =0, V (x0, y0) =0, 称 (x0, y0) 是自治微分方程组 (1) 的一个临界点, 临界点对应的常值函数x (t) =x0, y (t) =y0称为自治微分方程组 (1) 的平衡解, 此平衡解对应的相轨线为相平面上的一个单点。
若自治系统 (1) 的初值点 (x*, y*) 与临界点 (x0, y0) 充分接近的时候, 对应初值解 (x (t) , y (t) ) 与平衡解 (x0, y0) 的距离可以任意小, 称临界点 (x0, y0) 是稳定的, 否则称为不稳定的。设, 则∀ε>0, , ∀X*:|X*-X0|<δ, |X (t) -X0|<ε若临界点 (x0, y0) 是稳定的, 且当初值点 (x*, y (*) 充分接近临界点x0, y0) 时, 初值解 (x (t) , y (t) ) 无限趋近平衡解 (x0, y0) , 称临界点 (x0, y0) 是渐进稳定的。即
微分方程的稳定性理论由俄国数学家李雅普诺夫创立, 通过构造李雅普诺夫函数, 然后判断李雅普诺夫函数V (x) 及d V/dt的符号就可以判断出临界点的稳定性。同时法国数学家庞加莱创建了微分方程的定性理论, 通过构建微分方程的相平面、相轨线、平衡解来分析在平衡点附近的微分方程的相轨线的变化趋势, 这些理论构成了微分方程的定性与稳定性理论, 是微分方程的主要发展方向。
2 基于MATLAB的OBE软件与Simulink仿真系统概述
微分自治系统 (1.1) 的方向场及相轨线可以由OBE软件画出, 本文使用的是John Polking建立的基于MATLAB的pplane程序, 这个程序可以免费使用 (math.rice.edu/~dfield) , pplane程序界面如图1所示。
通过pplane软件将微分自治系统输入到The differential equations, 然后在The display window输入x, y的取值范围, 点击proceed按钮得到相应微分系统的向量场, 并且可以在向量场中选定初值点得到对应的相轨线, 而且pplane软件可以求解出微分自治系统的平衡点, 程序运行结果如图2所示。
自治微分系统 (1) 可以通过Simulink系统和仿真环境得到相应的积分曲线, Simulink是目前仿真领域首选的计算机环境。Simulink系统具有丰富的模块库:连续模块、非连续模块、离散模块、逻辑模块、数学模块信号路线模块等, 通过这些模块库可以容易的建立所要研究的系统框图, 通过执行系统框图就可以得到相应系统的仿真结果。Simulink系统仿真结构框图如图3所示, 仿真结果如图4所示。
3野生生物保护区生态数学模型的建模与仿真
某大型野生生物保护区, 现有x0只山羊和y0只老虎, t个月后, 山羊的数量x (t) 和老虎的数量y (t) 满足自治微分系统:
利用MATLAB OBE软件pplane可以画出生态系统 (图5) 的向量场和相轨线以及临界点, 如图5、图6所示, 画出了三条相轨线, 分别过初值点 (1000, 4000) , (800, 3000) , (600, 1500) , 且给出了临界点 (300, 500) , 临界点附近的相轨线均为闭轨线, 从而可以分析出老虎与山羊的数量将会周期变化, 并且临界点 (300, 500) 是稳定的平衡解, 但不是渐进稳定的。
利用Simulink仿真系统可以给出生态系统 (图5) 的结构框图及建模仿真结果图, 如图7、图8所示, 给出了经过初值点 (1000, 4000) 的仿真结果图, 从仿真结果曲线可以看出老虎与山羊的数量变化周期是200 (月) , 山羊数量的最大值是1800只, 第一次出现时间是170 (月) , 老虎数量的最大值是5000只, 第一次出现的时间是180 (月) 。
4 结论
本文利用MATLAB OBE软件pplane及Simulink仿真系统讨论了一类生态系统模型, 给出了此类生态系统的向量场、典型的相轨线、临界点, 同时也给出了此类生态系统的Simulink结构框图和系统仿真图, 并且分析得到了此类生态系统的循环周期、最大值等结论, 实例表明MATLAB的pplane软件与Simu⁃link仿真系统在生态系统建模仿真问题上有着重要的应用价值。
参考文献
[1]东北师范大学微分方程教研室.常微分方程[M].北京:高等教育出版社, 2005:71-77.
[2]蔡燧林.常微分方程[M].杭州:浙江大学出版社, 2008:9-15.
[3]Edwards C Henry, Penney David E.Differential Equations andBoundary Value Problems:Computing and Modeling[M].NewYork:Pearson College Division, 2004:17-29.
[4]席伟.微分方程方向场MATLAB仿真工具箱设计[J].信息安全与技术, 2012, 11 (1) :40-43.
关键词：数值分析；数学建模；数学实验；教学改革
一、引言
“数值分析”是为我校机械工程、电气工程、材料工程和化学与环境工程等专业的硕士研究生开设的一门学位课程，通常需要学生在本科阶段学习过“高等数学”“线性代数”及“常微分方程”三门课程。“数值分析”课程又为后续的“数学模型”“软件工程”和“算法设计与分析”等课程奠定知识和方法论基础。该课程涉及内容较多，并具有很强的理论性和实践性。随着现代计算机技术的迅猛发展以及社会对硕士人才培养提出的更高要求，如何采用有效的教学方法，提高教学质量已成为“数值分析”课程教学任务中不可回避的重要问题。为了培养和提高学生发现、分析以及解决问题的能力，为今后能够顺利担负科研任务打下坚实的基础，根据该课程的特点，融入数学建模和数学实验的教学法，不仅可以激发学生的学习兴趣，使其对教学内容掌握得更加扎实，讲解和实践的案例还可以成为学生在将来从事科研活动时的重要参考资料。
二、“数值分析”课程的特点
国内外为硕士生开设的数值分析理论及类似课程所采取的讲授方法基本类似。教学模式或者较为注重计算公式的推导，或者偏重于具体算法的应用。从教学方式上看，传统的“注入式”教学模式仍占主导地位，这严重影响了研究生的个性培养、创新思维的训练。总体来说，该门课程的特点可以概括为以下两点：（1）具有理论数学的抽象性与严密科学性；（2）应用的广泛性与实践的高度技术性。
三、融合数学建模和数学实验教学法的内涵与实例
（一）教学法的内涵与作用
结合“数值分析”课程教学的特点，可以作出如下定义：融合数学建模和数学实验教学法是指在教师的策划和指导下，基于教学创新理念，以提高学生分析解决问题的能力为目的，并以数值分析课程的知识结构为主线，组织学生通过对具有代表性的数值分析模型的提出、原理的解释、应用领域的分析、思考、讨论和交流等活动，引导学生自主探究，加深对知识理解等的一种特定的教学方法。
该教学法是一种理论联系实际，启发式的教学过程。通过教师采用数学模型引导来说明理论知识，通过实验仿真，激发学生的学习兴趣，提高学生分析解决问题的能力。采用该教学法可以克服传统教学中“教师主体”的模式缺点，使学生成为教学的中心，不仅不必强记定理公式，而且能够使学生了解到实际问题的多选择性和不确定性，激发学生的创新精神。
目前，我校进行了研究生培养模式的改革，提高了要求，在这种情况下，传统的培养方式及教学方式必须进行改革，该教学法具备上述优点，是一种非常适应现代教学现实的方法。
（二）教学法的实例
目前的数值分析理论课程教学，只是在分析已有的模型，而对于模型的提出过程讲授得较少，因此造成了学生的分析能力强于综合能力。而学生在未来的科研工作中，对于综合能力的要求要高于分析能力。所以讲授数值分析模型的提出过程对培养学生的综合能力是十分有益的。在此笔者列举教学实践中的典型例子说明该教学法的优点。
应用实例：
在讲授教材中“常微分方程初值问题数值解法”这部分的内容时，教材上只是给出了微分方程的几种数值方法及其对应的误差估计、收敛性和稳定性，内容较为晦涩难懂，学生往往不能理解常微分方程来自于哪些实际问题，特别不理解数值解的内涵，于是笔者在讲授该部分内容时融入了数学建模的思想。为使学生理解数值解的内涵，借助C++、MATLAB或MATHEMATICA等软件做程序的编写，完成数值解的求解及几种方法解的图形显示，加深对该部分内容的认识和比较。
提出数学建模问题：食饵捕食者问题。
意大利生物学家D’Ancona发现：第一次世界大战期间意大利阜姆港捕获的鲨鱼的比例有明显的增加，如表1所示。
事实上，捕获的各种鱼的比例代表了渔场中各种鱼的比例。战争中捕获量会下降，而食用鱼会增加，以此为生的鲨鱼也同时增加。但是捕获量的下降为什么会使鲨鱼的比例增加，即对捕食者更加有利呢？
他无法解释这个现象，于是求助于他的朋友，著名的意大利数学家Volterra。Volterra建立了一个简单的数学模型，回答了D’Ancona的问题。
模型假设：
1.食饵增长规律遵循指数增长模型，相对增长率为r；
2.食饵的减小量与捕食者数量成正比，比例系数为a；
3.捕食者独自存在时死亡率为d；
4.食饵的存在使捕食者死亡率的降低量与食饵数量成正比，系数为b。
通过上述教学案例的使用，使学生在学习常微分方程问题数值解的理论后，对一些实际问题，能够建立微分方程组模型，并动手实验给出方程组的数值解，加深对数值解的认识，对数值解收敛性、误差情况和稳定性有具体的认知，并进一步通过图形等方法对结果进行验证、解释和分析。
通过3个教学循环的教学经验和多年的科研实践经验，如果采用新教学法，可以显著提高教学效果，并且可以引入现代科研领域的一些前沿内容，推动教学改革的进行。
在数值分析理论课程的教学活动中引入了数学建模和数学实验的教学法，对教学内容及实践活动进行了总结，教学实践活动表明该教学法能够提高学生的独立思考能力，解决问题的能力，使学生在理论知识和实践能力方面达到了学以致用的效果，教学质量得到了明显提高。
参考文献：
[1]赵景中，吴勃英.关于数值分析教学的几点探讨[J].大学数学，2005，21，（3）：28-30.
[2]李大潜.将数学建模思想融入数学类主干课程[J].中国大学教学，2006，28，（1）：9-11.
关键词 高职教育 数学建模 数学教育
中图分类号：G71 文献标识码：A
当前，高职教育成为社会关注的热点，面临大好的发展机遇，同时，经济、科技和社会发展也对高职教育人才培养工作提出了许多新的、更高的要求。这就决定了高职教育中各种课程的设计必须以实际需要和培养学生能力为主，而对于一些理论的要求则可以相应降低。
以笔者从事的数学及高等数学课程为例，传统的教学方式仍然是相对比较偏向解题应试的。而对于高等职业院校的各专业学生来讲，除了一小部分学生有专升本的意愿之外，大部分学生并不存在诸如升学考试之类的压力，这样使得学生在数学这种基础课的学习上就缺乏相应的压力和动力。很多学生除了认为数学课比较枯燥难懂无趣之外，还认为其用处不大，无法与其专业课程的学习甚至是社会生产实际相联系。在这样的情况下，高等职业院校的数学教学就陷入了某种困境。教学传统理念的陈旧落后和无法快速的联系实际也使很多院校在数学课的取舍上选择了后者，包括笔者所在的学院也有部分系部和专业压缩甚至砍掉了数学课程。完全砍掉数学课程的做法，笔者认为并不是最好的方式方法。这样使得部分有意愿学习高等数学的同学无从下手，也使得他们的专升本考试变得困难重重。一刀切过于武断，那么如何才能有效的使数学教学与专业课程的学习和社会生产实际相联系，并在培养学生能力方面有所进展呢？引入模块化的数学建模教学应该不失为一种值得探讨的方法。
随着科学技术的不断发展，数学模型这个词汇越来越多地出现在现代人的生产、工作和社会活动中。电气工程师必须建立所要控制的生产过程的数学模型，用这个模型对控制装置作出相应的设计和计算，才能实现有效的过程控制。气象工作者为了得到准确的天气预报，一刻也离不开根据气象站、气象卫星汇集的气压、雨量、风速等资料建立的数学模型。生理医学专家有了药物浓度在人体内随时间和空间变化的数学模型，就可以分析药物的疗效，有效的指导临床用药。城市规划者工作者需要建立一个包括人口、经济、交通、环境等大系统的数学模型，为领导层对城市发展规划的决策提供科学依据。厂长经理们要是能够根据产品的需求状况、生产条件和成本、储存费用等信息，筹划出一个合理安排生产和销售的数学模型，一定可以在市场的千变万化中把握住最好的商机，获得更大的经济效益。即便是在日常的外出访友或者采购中，用一个数学模型也可以优化出行的路线。显然数学模型的建立在诸多的自然科学研究和社会生产实践中都有着广泛而且意义重大的应用，那么对于更加注重能力培养的高等职业院校的教学来讲，学习建立数学模型即数学建模的能力便是“授之以渔”，这比单纯地学习一些枯燥的概念来讲要有意义得多。
分析与设计：例如描述药物浓度在人体内的变化规律以分析药物的疗效；建立跨音速流和激波的数学模型，用数值模拟设计新的飞机翼型。
预报与决策：生产过程中产品质量指标的预报、气象预报、人口预报、经济增长预报等等，都要有预报模型；使经济效益最大的价格策略、使费用最少的设备维修方案，是决策模型的例子。
控制与优化：电力、化工生产过程的最优控制、零件设计中的参数最优化，要以数学模型为前提。建立大系统控制与优化的数学模型，是迫切需要和十分棘手的课题。
另一方面，数学建模与计算机技术的关系密不可分。比如在设计领域中广泛应用的CAD技术，就是建立在数学模型和计算机模拟基础上的。一些大型的设计和数据处理问题如新型飞机的研发设计、石油勘探数据的分析当然离不开巨型计算机，而微型电脑的普及更使数学模型逐步进入了人们的日常活动。比如当一位公司经理根据客户提出的产品数量、质量、交货期等要求，用手提电脑与客户进行价格谈判时，您不会怀疑他的电脑中贮存了由公司的各种资源、产品工艺流程及客户需求等数据研制的数学模型——快速保价系统和生产计划系统。另外，以数字化为特征的信息正以爆炸之势涌入计算机，去伪存真、归纳整理、分析现象……，计算机需要人们给它以思维的能力，这些当然要求助于数学模型。
由此可见，数学建模对于培养学生解决问题的宏观思考和设计能力是有极大的益处的，而且可以使得数学教学更加有针对性，学生也能够有更大的动力和兴趣。利用各种数学软件如Matlab等，可以将最基本的建模问题搬进实验室，数学课也可以上的丰富多彩。当然，这种新型的教学模式还需要数学教师在实际教学的设计当中发挥更大的主观能动性，精心安排，才能达到较好的效果。
参考文献
[1] 刘亚国.高职数学教学中融入数学建模思想初探[J].长沙通信职业技术学院学报，2008（02）.
[2] 汤志浩，张新元.高职数学教学中融入数学建模探讨[J].技术与市场，2009（04）.
关键词：数学实验,数学建模,素质教育,创新能力
数学是一门自然科学基础学科, 自20世纪下半叶以来, 数学最大的变化和发展是“应用”。数学几乎渗透到了所有学科领域, 其作用也越来越大, 不但运用于自然科学各学科、各领域, 而且渗透到了经济、军事、管理以及社会科学各领域。事实上, 当前社会发展对数学的需求并不只是对数学家和专门从事数学研究的人才的需求, 更大量的需求是在各领域中从事实际工作的人善于运用数学知识及数学思想方法解决每天面临的大量实际问题, 从而取得经济效益和社会效益。
高校中传统数学的应试型教学模式往往注重专业需要和偏重知识传授, 主要课程如数学专业的数学分析、高等代数、解析几何、常微分方程等, 又如理工科专业的高等数学、线性代数、概率统计等, 内容均存在着重经典轻现代、重计算技巧轻数学思想方法等倾向。显然, 这种体系不利于学生综合利用数学知识能力和创造能力的培养, 严重阻碍了数学在社会实践中应起作用的发挥和数学本身的发展。因此, 理工科院校的数学教学改革亟待解决在数学的教学过程中怎样培养学生学习的创造性, 提高他们数学应用的能力。于是, 开设数学实验和数学建模课程已成为高校数学教学改革的突破口, 因为数学实验和数学建模不仅可以激发学生学习数学的兴趣, 还可以提高学生解决实际问题的能力。
本文分析讨论数学实验和数学建模在理工科大学生素质培养中的重要作用, 从而将大学数学教学模式由传统的过窄、过细专业造成的“专门化”和“小而全”的课程设计思想转变为课程设置厚基础、厚综合化, 力求课程整体结构优化。
一、数学实验和数学建模
数学实验课是一门实践性很强的课程, 它将数学理论、科学计算、数学软件以及数学建模有机结合, 强化学生对数学理论的理解和应用。它通过使用计算机以及数学软件解决实际问题的过程, 进一步学习数学或应用数学, 激发学生的学习兴趣, 培养学生的探索能力、动手能力和应用能力, 有效地提高数学教学的质量。
数学建模是对客观事物进行合理的抽象和量化, 然后用公式模拟和验证的一种模式化思维。建立数学模型是处理数学科学理论问题的一个经典方法, 也是处理各类问题的有效方法, 是数学应用于科学和社会的最基本的途径。数学建模所研究的对象是日常生活和工程实践中的实际问题, 把这些实际问题转化成数学问题过程就是数学建模的过程。所以数学建模和数学紧密相连, 也就是说数学本身自始至终充满了数学模型。
二、数学实验课程的意义和作用
数学实验能提高学生学习数学的兴趣和积极性。通过数学软件的使用, 数学实验可以演示一些传统教学方法无法实现的知识内容, 从而使学生对其有直观的认识。可视化的教学过程能使学生的思维形象化、可操作化, 从而改变数学抽象的内容, 使晦涩的数学理论变得生动而有趣。利用数学软件, 验证某些数学定理, 可以使学生深入认识数学规律, 激发学生学数学的兴趣。特别是通过对实际问题的分析, 建立数学模型, 并使用计算机解决问题, 使学生感受到数学在实际中的应用, 使学生由被动地学数学变成主动地用数学。实践证明, 数学实验可以促成数学教学的良性循环, 即参加数学实验愈多, 则愈感到自己数学知识的不足, 那么就愈要学习更多的数学知识充实自己。如此, 就激发了学生学习数学的积极性。
数学实验能有效提高学生的实践能力。数学实验的直观性使学生更好地接受数学理论, 掌握数学规律。通过自己动手分析问题, 建立数学模型, 利用数学软件和计算机编程, 学生的实践能力能得到有效提高, 增强了学生学好数学、用好数学的信心。通过数学实验的思考、完成以及对实验结果的分析, 学生能更好地理解和正确应用数学理论和方法, 学生的理论水平和实践能力得以大大提高。
数学实验能提高学生的综合素质。在通过数学实验解决实际问题的过程中, 学生学到了知识, 提高了动手能力, 更培养了独立思考的习惯, 增强了探索精神和创新意识。实际问题的引入和求解, 极大地开阔了学生的视野, 解决问题的过程中也能培养学生的团队精神, 最终提高学生的综合素质。
三、数学建模课程的意义和作用
高校作为人才培养的基地, 围绕加快培养创新型人才这个主题, 积极探索教学改革之路, 是广大教育工作者面临的一项重要任务。正是在这种形势下, 数学建模与数学建模竞赛, 这个我国教育史上新生事物的出现, 受到了各级教育管理部门的关心和重视, 也得到了科技界和教育界的普遍关注。这主要是数学建模的教学和竞赛活动有利于人才的培养, 特别是人才的综合能力、创新意识、科研素质的培养。也正因为如此, 数学建模活动的实际效果正在不断地显现出来, “数学建模的人才”和“数学建模的能力”正在实际工作中发挥着积极的作用。
数学建模本身就是一个创造性的思维过程。数学建模的教学内容、教学方法以及数学建模竞赛培训都是围绕创新能力的培养这一核心主题进行的, 其内容取材于实际, 方法结合于实际, 结果应用于实际。数学建模的教学和竞赛培训, 为学生的探索性学习和研究性学习搭建了平台。数学建模的教学和竞赛, 注重培养学生敏锐的观察力、科学的思维力和丰富的想象力, 既要求学生具有丰富的知识, 又要求学生具有较强的实践操作能力;既有智力和能力要求, 又有良好的个性心理品质要求;既要求敢于竞争, 又要求善于合作。数学建模真正体现了开发学生的潜能、培养学生的优秀心理品质以及积极探索态度的良好结合。在数学建模的教学与竞赛中, 特别注重发挥学生的主动性、积极性、创造性、耐挫折性, 特别是提倡探索精神、创造精神、批判精神、团队协作精神等。知识创新、方法创新、结果创新、应用创新无不在数学建模的过程中得到体现。实践正在证明, 数学建模的教学与竞赛活动是培养大学生创新思维和创新能力的一种极其重要的方法和途径。
数学建模可以培养学生的科学精神和创新思维的习惯。创新是数学建模的生命线。无论是机理分析还是测试分析都是需要本着符合科学的精神去创新、去建立新的实用模型。在数学建模中, 对给出的实际问题, 一般是不会有现成的模型, 这就要求我们在原有模型的基础上进行创新。面临新的实际问题, 现成的模型是不能很好地解决的, 这就要求我们进行创新, 建立新的模型。学生在建模的过程中, 科学精神和创新思维得到了培养。
数学建模可以培养学生的团队精神和语言文字表达能力。根据数学建模竞赛的要求, 要对自己的解决问题的方法和结果写成论文, 因此通过数学建模可以很好地提高学生撰写科技论文的文字表达水平;竞赛要求三个同学在短短的三天内共同完成建模任务, 他们在竞赛中就必须分工合作、取长补短、求同存异, 从而很好地培养了学生的团队精神和组织协调的能力。
四、数学实验和数学建模课程间的相辅相成
以实际的工业、经济、生物等问题为载体, 以大学生基本数学知识为基础, 在教师的指导下, 采用自学、文献阅读、讨论、试验等方式, “数学实验”与“数学建模”可以实现一个相辅相成的教学过程。通过学习查阅文献资料、用所学的数学知识和计算机技术, 借助适当的数学软件 (即数学实验) , 学会用数学知识去解决实际问题的一些基本技巧与方法 (即数学建模) 。通过这个过程的学习, 加深学生对数学的了解, 使同学们数学方法应用能力和发散性思维的能力得到进一步的培养。数学建模与数学实验课程的融合教学能走出一条“从课堂到课外, 再从课外到课堂”实践性教学模式, 这样的教学模式必将深受学生欢迎, 它的教学无论对培养创新型人才还是应用型人才都能发挥其他课程无法替代的作用。
参考文献
[1]姜启源.数学模型[M].3版.北京:高等教育出版社, 2003.
[2]肖树铁.数学实验[M].北京:高等教育出版社, 1999.
[3]傅英定, 成孝予, 彭年斌, 等.转变教育观念, 培养学生创造性思维能力的研究与实践.电子高等教育的理论与实践[M].成都:电子科技大学出版社, 2000:181-184.
[4]宿维军.数学建模活动对培养人才的作用[J].数学的实践与认识, 2002, 32 (5) :867-868.
[5]贾晓峰.大学生数学模型竞赛与高等学校数学教学改革[J].工科数学, 2003, 16 (2) :79-82.
关键词：光纤陀螺,调制增益,仿真,Y波导,半波电压
0 引 言
Simulink是Matlab中的通过建立系统方框图对动态系统进行建模、仿真并对仿真结果进行分析的软件包。使用Simulink可以更加方便地对系统进行可视化建模及仿真。
光纤陀螺作为光机电一体化的高精度传感器,对光纤陀螺系统中光电等信号的转换过程和精度具有很高的要求,因此,在光纤陀螺研制过程中利用Simulink软件进行了数字闭环光纤陀螺系统建模和仿真分析,以提高光纤陀螺的研制水平及缩短研制周期[1,2,3]。
1 光纤陀螺简介
1.1 光纤陀螺组成
光纤陀螺通常由光学系统、电路系统、结构体三部分构成。其中光学系统由SLD光源、分束器、Y波导相位调制器、光纤线圈和光电探测器共五部分组成,各器件通过光纤以全波导形式连接在一起;电路系统分为光源驱动电路、光电探测器前放电路和信号处理电路。结构体分为光纤环、光源结构、外壳、顶盖等。图1为数字闭环光纤陀螺系统框图。
1.2 工作原理
光纤陀螺的工作原理基于Sagnac效应,即两束反向传播的相干光经过一个完整的旋转路径后存在一个相位差,这个相位差称为Sagnac相移,它与光纤环的旋转角速率成正比。
光学系统构成光学干涉仪,在分束器的作用下将进入光纤环的光分为顺时针和逆时针的两束光,两束光发生干涉,干涉信号为光电探测器所接收,干涉信号的大小与作用在光纤环上的角速度成正比,光学系统是构成光纤陀螺角速度测量的物质基础。
电路系统具体分为信号检测部分和数字信号处理部分。信号检测部分是从探测器上取得开环陀螺信号,并对其进行放大、滤波、解调,然后把输出信号送到数字信号处理部分的输入端。数字信号处理部分是对信号检测部分的输出进行滤波,积分处理。一方面形成陀螺的测量输出;另一方面形成陀螺的反馈信号送到数字阶梯波相位反馈部分,控制其数字阶梯波发生电路产生的阶梯波电压,驱动Y波导,构成光纤陀螺闭环控制回路。数字闭环光纤陀螺信息流程图见图2[1,2]。
2 仿真模型组成
数字闭环光纤陀螺仿真模型如图3所示[3,4]。
2.1 数字信号处理功能模块
该模块功能在光纤陀螺实体中由FPGA(或DSP)来执行。
该部分由阶梯波发生器(JTB)、增益闭环控制(ZBKZ)和阶梯高度积分器(JTGD)三部分构成。
主要功能是:产生光纤陀螺的调制方波,对奇偶采样相减解调出转速信号;对解调出的数字信号进行数字积分产生相位台阶,对相位台阶二次积分产生数字阶梯波;调制方波和数字阶梯波两个信号叠加和作为FPGA(或DSP)的输出,输出给DA转换器,产生用来驱动Y波导的驱动电压;图4为FPGA输出仿真结果。
增益闭环控制(ZBKZ)对Y波导的半波电压参数变化进行实时测量,产生反馈调整系数对阶梯波的阶梯高度进行调整,以保证陀螺输出的真值不随Y波导的半波电压参数变化而变化。
将一段周期内的相位台阶均值通过通讯接口进行输出,此阶梯高度均值即为光纤陀螺所测得的转速。图5为陀螺输出仿真结果。
2.2 DA模块
DA模块实现DA转换器的功能,将数字阶梯波的数字信号转换为模拟信号,并加载于YBD(Y波导相位调制器)的+,-两个电极上。图6为DA输出仿真结果。
2.3 YBD(Y波导相位调制器)模块
YBD模块的功能是将+,-两个电极上输入的电压信号转化为光学相位信号,对光纤陀螺的光学系统施加方波及阶梯波反馈调制,实现光纤陀螺的闭环控制。图7为Y波导输出仿真结果。
2.4 GXH(光纤环)模块
GXH(光纤环)模块的功能建立输入转速和两束输出光相位差的数学关系,其数学关系为
2.5 SLD--PIN模块
将光学系统的相位差变化,转换为电压变化,以利于后续的AD实现数字采样。图9为探测器响应电压仿真结果。
2.6 AD模块
AD模块将模拟电压信号转化为数字信号,并将信号发送于后续数字信号处理模块。图10为AD输出仿真结果。
3 增益闭环控制分析
在光纤陀螺系统中存在两个闭环,一个为主闭环,由光学系统和电学系统构成,实现光纤陀螺转速测量功能,另一个为增益控制闭环,主要是对Y波导半波电压随温度的变化进行实时测量、反馈,从而保证光纤陀螺的主闭环准确可靠的工作。因此,光纤陀螺的两个闭环系统的设计对光纤陀螺性能的好坏具有重要作用。在此,基于Simulink仿真分析手段对光纤陀螺两个闭环系统,特别是对增益闭环控制对光纤陀螺性能的影响作以分析,具体内容如下[5,6,7,8]:
Simulink仿真模型中仿真参数设定为:
光波长λ=1310nm,光纤线圈直径D=10cm,光纤长l=300m,由环长l决定的渡越时间为τ=1.5μs(仿真过程为方便观察现象,将渡越时间取为τ=1s),SLD光源的输出光强设定为I=200μW,光电探测器的响应度为K=850mV/μW,Y波导的半波电压为Vy=Ky×pi伏特,Ky为半波电压变化系数。设陀螺的输入转速为0.01rad/s。利用Simulink仿真模型对光纤陀螺采用增益闭环控制与未采用增益闭环控制两种情况进行对比分析[9,10,11]:
当半波电压变化系数Ky,由“1”线性变化到“1.1”,模仿Y波导所处的工作环境温度降低的情况。图11给出了系数Ky变化时,存在增益闭环控制与否对陀螺输出的影响。
当半波电压变化系数Ky,由“1”线性变化到“0.9”,模仿Y波导所处的工作环境温度升高的情况。图12给出了系数Ky变化时,存在增益闭环控制与否对陀螺输出的影响。
由仿真分析结果可知:光纤陀螺系统的增益闭环控制能够对Y波导的半波电压随环境的波动进行补偿,保证陀螺的测量值不随Y波导的半波电压变化而发生漂移(见图11、图12中的左图)。反之,光纤陀螺无复位控制闭环,测量值随Y波导的半波电压变化而发生漂移(见图11、图12中的右图),且存在跳大数现象,对陀螺的精度影响较大,不能保证陀螺正常工作。光纤陀螺系统的增益闭环控制对光纤陀螺性能具有重要影响,特别是温度条件下的性能。
4 Simulink仿真和分析的实际应用
目前,光纤陀螺采用的增益闭环控制的方法是通过比较阶梯波复位前后解调信号来判断半波电压是否波动,但是这种方法在低转速情况下,由于复位周期较长,不能实时地跟踪半波电压的变化,效果不好,因此,借助Matlab/Simulink软件作为设计手段,对光纤陀螺闭环控制波形进行了仿真设计,设计出了组合调制波形,如图13所示,组合调制波形在低转速甚至转速为0时,会每10个渡越时间即发生一次2π复位,大大提高了第二闭环控制的效率,使增益控制闭环能够实时的跟踪补偿Y波导半波电压变化。
将仿真设计结果在光纤陀螺系统上进行了验证实验:实验中采用精度为0.05 0 /h的光纤陀螺,陀螺敏感轴朝天放置做常温静态测试, 陀螺Y波导的2π电压为4 V,实验中,把初始2π电压调偏,调到3V,放大了该项误差,把陀螺放置在位置台上并使敏感轴朝天,分别用方波调制和组合调制方法进行静态测试,所得数据如图14 所示。
实验结果表明:方波调制需要5min把2π电压调准,使陀螺输出达到其精度指标,陀螺输出曲线存在明显的启动过程;组合调制只需要1s就能调准2π电压,陀螺输出曲线无明显的启动过程。组合调制方法对Y波导2π电压的变化实施有效控制,提高了陀螺产品的性能。以上实验也表明,Matlab/Simulink软件是技术人员开展设计工作的重要而高效设计手段,并且还可借助Matlab的Real-Time workshop 实现模型到代码的自动生成功能,实现仿真设计到硬件实施全过程,大大缩短设计周期,降低设计风险和成本。
5 结 语
利用Simulink实现了光纤陀螺系统的设计细节分层次建模和评估,可视化地再现了光纤陀螺系统各个环节的信号转化关系及参数变化对陀螺性能的影响。Simulink软件使研究人员能更深入地了解光纤陀螺的系统行为特性,进一步优化设计,提高光纤陀螺的性能,是一个设计、评估光纤陀螺性能的有力工具。
参考文献
[1]Lefvre H C.光纤陀螺仪[M].张桂才,王巍,译.北京:国防工业出版社,2002.
[2]张桂才.光纤陀螺原理与技术[M].北京:国防工业出版社,2008:322-376.
[3]薛定宇.基于MATLAB/Simulink的系统仿真技术与应用[M].北京:清华大学出版社,1996.
[4]朱汉卿,谷良贤.基于Simulink的导弹控制系统参数优化设计[J].航天控制,2008,26(3):79-82.
[5]Yeh Y,Kim D I,Kim B Y.New digital close loop processor for a fiber optic gyroscope[J].IEEE Photonics Technology Letters,1999,11(3):361-363.
[6]张晞,潘雄,张春熹.光纤陀螺随机调制的理论分析及实验[J].北京航空航天大学学报,2006,32(2):195-198.
[7]张桂才,巴晓艳.集成光学器件参数对光纤陀螺性能的影响[J].导航与控制,2005,4(1):45-49.
[8]王妍,张春熹.带第二反馈回路的全数字闭环光纤陀螺[J].压电与声光,2005,27(4):348-351.
[9]谭呈明,李德才,梁志军,等.数字闭环光纤陀螺复位电压控制技术研究[J].中国惯性技术学报,2005,13(1):64-67.
[10]李绪友,王长伟,邹继斌.集成光学器件对光纤陀螺稳定性的影响的研究[J].光子学报,2005,34(6):830-834.
【matlab数学实验与建模】推荐阅读：
数学实验与建模作业05-27
实验报告matlab09-09
信号系统matlab实验07-27
电机matlab实验报告09-09
matlab学习体会05-25
matlab数值分析实例06-21
参加数学建模竞赛的心得09-10
数学建模宣讲会活动总结06-27
数学建模课程教学现状分析及对策研究06-22
全国大学生数学建模竞赛论文格式规范07-11
