二次函数的最值问题修改版

二次函数的最值问题修改版（共8篇）

二次函数的最值问题修改版 篇1

上的最值问题

数学组：王勇

一、教学目标：

1． 理解二次函数的最值概念，掌握二次函数的最值求法； 2． 培养学生数形结合的能力和将数学问题转化的能力。

二、教学重点：二次函数最值求法

教学难点：二次函数在闭区间上的最值

三、教学过程：

二次函数是函数中重要的函数，二次函数在闭区间上的最值问题一直是函数中的一个难点。今天我们用数形结合的方法来突破这个问题。请看下面例题

问题1 求函数f(x)x22x3，x2,4的最大值与最小值

练习：将题中条件x2,4改为（1）x3,0，（2）x3,4

小结：求二次函数在固定区间上的最大值与最小值：考虑对称轴与区间的位置关系。

如果我们将x3,4改为xa,4，怎样求最值呢？

问题2 求函数f(x)x22x3，xa,4的最值

小结：注意分类讨论

以上问题是函数的图像不变，要研究的区间含字母，如果我们将区间固定，函数的解析式中含字母，又怎样求最值呢？

问题3 求函数f(x)x2ax3，x1,3的最大值与最小值

小结：对称轴的讨论是关键

练习4 已知fxx-2ax3在区间1,2上最大值为4，求a的值 2

f(x)a(xh)2k(a0)x[m,n]小结：二次函数在闭区间[m,n]上的最值

（三）作业：

二次函数的最值问题修改版 篇2

掌握二次函数最值问题.

学习目标 (一)

二次函数y=ax2+bx+c在自变量取任意实数时的最值情况:

当a>0时, 函数在x=处取得最小值

当a<0时, 函数在x=处取得最大值

练习:

1. 抛物线y=2 (x+4) 2+7的开口方向是____, 顶点坐标为____, 对称轴是直线____, 当x=_____时, y有最____值为_____.

2. 抛物线y=-x2+6x+5的开口方向是________, 顶点坐标为_____, 当x=____时, y有最____值为____.

3.抛物线y=中, 当x=____时, y有_______值是________.

4. 二次函数y=-x2+mx中, 当x=2时, 函数值最大, 则其最大值是_______.

5. 已知二次函数y=x2-2x+c的最小值是-4, 则c=_______.

6. 二次函数y=ax2-4x+a的最大值是3, 则a=______.

学习目标 (二)

当自变量x在某个范围内取值时, 函数的最值问题.

练习:

7. 已知二次函数的图像 (0≤x≤3) 如图所示.关于该函数在所给自变量取值范围内, 下列说法正确的是 () .

A.有最小值0, 有最大值3

B.有最小值-1, 有最大值0

C.有最小值-1, 有最大值3

D.有最小值-1, 无最大值

8. 已知抛物线y=当1≤x≤5时, y的最大值是______, 最小值是______.

学习目标 (三)

二次函数的最值问题在实际生活中的应用.

练习:

9. 某学校要在围墙旁建一个长方形的生物苗圃园, 苗圃的一边靠围墙 (墙的长度不限) , 另三边用木栏围成, 建成的苗圃为如图所示的长方形ABCD.已知木栏总长为120米, 设AB边的长为x米, 长方形ABCD的面积为S平方米.

(1) 求S与x之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围.

(2) 当x为何值时, S取得最大值?并求出这个最值.

10. 某工艺厂设计了一款成本为每件20元的工艺品, 投放市场进行试销后发现每天的销售量y (件) 是售价x (元/件) 的一次函数y=-10x+1000.

(1) 设该工艺品每天获得的利润为w元, 求出w与x的函数关系式.

(2) 如果该工艺品售价最高不能超过每件30元, 那么售价定为每件多少元时, 工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大?最大利润是多少元?

二次函数在闭区间上的最值问题 篇3

类型1定轴定区间

例1已知函数[f(x)=x2-2x]，求[f(x)]的最小值.

解[f(x)=x2-2x=(x-1)2-1]，

由图1可知，当[x=1]时，[f(x)min=-1].

变式1已知函数[f(x)=x2-2x]，[x∈[2,4]]，求[f(x)]的最小值.

解析由图1可知，函数[f(x)]在[[2,4]]为增函数，

[∴f(x)min=f(2)=0.]

变式2已知函数[f(x)=x2-2x]，[x∈[0,3]]，求[f(x)]的最大值.

解析由图1可知，函数[f(x)]在[[0,1]]上递减，在[[1,3]]上递增，且3离对称轴的距离大于0离对称轴的距离.

[∴f(x)max=f(3)=3.]

例2已知二次函数[f(x)=ax2+4ax+a2-1]在区间[-4，1]上的最大值为5，求实数[a]的值.

解将二次函数配方得[f(x)=a(x+2)2+a2-][4a-1]，函数图象对称轴方程为[x=-2]，顶点坐标为[(-2，a2-4a-1)]，图象开口方向由[a]决定.很明显，其顶点横坐标在区间[-4，1]内.

①若[a<0]，函数图象开口向下，如下图2所示.当[x=-2]时，函数[f(x)]取得最大值5.

即[f(-2)=a2-4a-1=5]，解得[a=2±10].

故[a=2-10(a=2+10舍去)].

②若[a>0]，函数图象开口向上，如上图3所示，当[x=1]时，函数[f(x)]取得最大值5.

即[f(1)=5a+a2-1=5]，解得[a=1或a=-6]，故[a=1(a=-6舍去)].

综上可知：函数[f(x)]在区间[-4，1]上取得最大值5时，[a=2-10或a=1].

点拨求解有关二次函数在闭区间上的最值问题，应先配方，作出函数图象，然后结合其图象研究，要特别注意开口方向、对称轴和区间的相对位置.在例1中，二次函数图象的开口、对称轴和区间都是固定的. 需注意的是，当函数的最值的取得在区间两个端点都有可能的时候，要比较端点与对称轴距离的大小.在例2中，二次函数图象的对称轴和区间是固定的，但图象开口方向是随参数[a]变化的，要注意讨论.二次函数[f(x)=a(x-k)2+h][(a>0)]在区间[[m,n]]最值问题：

①若[k∈[m,n]]，则[f(x)min=f(k)=h]，[f(x)max=max{f(m),f(n)}].

②若[k∉[m,n]]，当[k

当[k>n]时，[f(x)min=f(n)]，[f(x)max=f(m)].

类型2定轴动区间

例3已知函数[y=x2-2x,x∈[-2,a]]，求函数的最小值[g(a).]

分析由于函数图象的对称轴为[x=1]，区间左端点固定，区间右端点的位置不能确定，所以需分两类讨论，即①对称轴在区间[[-2,a]]内，②对称轴在区间[[-2,a]]右侧.

解[∵]函数[y=x2-2x=(x-1)2-1],

①当[-2

②当[a≥1]时，函数在[[-2,1]]上单调递减，在[[1,a]]上单调递增，则当[x=1]时，[ymin=-1].

综上可知[g(a)=a2-2a,-2

例4已知函数[f(x)=-x22+x+6]在区间[[m,n]]上的值域是[[2m-2,2n-2]]，求[m、n]的值.

分析由于函数图象的对称轴为[x=1]，而区间左右端点值均含有参数，所以要分三类讨论，即①对称轴在区间右侧，②对称轴在区间内，③对称轴在区间左側.

解[∵f(x)=-x22+x+6=-12(x-1)2+132,]

①若[m

②若[m<1

故[2n-2=132]，得[n=174.]

由于[2m-2<0,f(n)=-12(174-1)2+132=3932>0,]

故[f(x)]在[x=m]处取最小值[2m-2.]

即[-12(m-1)2+132=2m-2]，解得[m=-1-17].

③若[1≤m

解得[m=2,n=4.]

综上可知[m=-1-17n=174]或[m=2n=4].

点拨当二次函数解析式确定，但自变量取值区间变化时，需根据对称轴和区间的位置关系，对区间参数进行讨论.

类型3动轴定区间

例5求[f(x)=x2-2ax-1]在区间[[0,2]]上的最大值和最小值.

分析因为有自变量有限制条件，要求函数最值，最好是先作出函数图象，作二次函数图象时先看开口方向，再看对称轴的位置，因为此函数图象对称轴[x=a.]位置不定，并且在不同的位置产生的结果也不同，所以要以对称轴的位置进行分类讨论.

解[f(x)=(x-a)2-1-a2]，对称轴为[x=a.]

①当[a<0]时，由图4可知，[f(x)min=f(0)=-1]，[f(x)max=f(2)=3-4a.]

②当[0≤a<1]时，由图5可知，[f(x)min=f(a)=-1-a2,][f(x)max=f(2)=3-4a.]

③当[1≤a≤2]时，由图6可知，[f(x)min=f(a)=-1-a2,][f(x)max=f(0)=-1.]

④当[a>2]时，由图7可知，[f(x)min=f(2)=3-4a,][f(x)max=f(0)=-1.]

例6已知二次函数[f(x)=-x2+2ax+1-a]在[[0，1]]上有最大值2，求[a]的值．

解[f(x)=-(x-a)2+a2-a+1]．

①当[a<0]时，[f(x)max=f(0)=2，]得[a=-1]．

②当[0≤a≤1]时，[f(x)max=f(a)=2]，解得[a=1±52∉[0，1]]，故该方程在[[0，1]]上无解．

③当[a>1]时，[f(x)max=f(1)=2]，得[a=2]．

综上可知：[a=-1]或[a=2]．

点拨当二次函数开口方向和给定区间固定，对称轴位置不确定时，只要讨论对称轴和给定区间的位置关系即可，结合图象需分两种或三种情况讨论.

类型4动轴动区间

例7设[a]是正实数，[ax+y=2][(x≥0,y≥0).]若[y+3x-12x2]的最大值是[M(a).]求[M(a)]的表达式.

分析该题是二元函数求最大值，应先由[ax+y=2]解出[y]代入，消元，转化为关于[x]的二次函数，再求最大值.

解设[f(x)=y+3x-12x2]，由[ax+y=2]得[y=2-ax].

[∴f(x)=(2-ax)+3x-12x2=-12[x-(3-a)]2+12(3-a)2+2.]

[∵y≥0]，[∴2-ax≥0].

又[a>0,x≥0]，[∴x∈[0,2a].]

（1）当[0<3-a<2a(a>0)]即[0

（2）当[3-a≥2a(a>0)]即[1≤a≤2]时，[M(a)=][f(2a)=-2a2+6a].

（3）当[3-a≤0]即[a≥3]时，[M(a)=f(0)=2].

[∴M(a)=12(3-a)2+2-2a2+6a2][(0

点拨当二次函数对称轴和区间都不固定时，还是应先配方，理清函数对称轴和区间的位置关系，然后对参数进行讨论.通过前面二次函数在闭区间上的最值问题的四类题型，我们可以发现二次函数的最值总是在对称轴或区间端点处取得.

例8已知函数[f(x)=ax2+(2a-1)x-3][(a≠0)]在区间[[-32,2]]上最大值为1，求实数[a]的值.

分析若按常规方法从求函数最大值直接入手，则需作如下分类讨论：

①当[a<0]时，分三种情况讨论最大值；

②当[a>0]时，分两种情况讨论最大值.

一共有五种情形，过程繁琐.若从整体角度分析，注意到函数[f(x)]的最大值只可能产生在二次函数的顶点或端点处，这样可以先求函数[f(x)]在顶点和端点的函数值，再逐一验证参数的正确性即可.

解函数[f(x)]的最大值只能在[x1=-32]，或[x2=2]，或[x3=1-2a2a]处取得．

①令[f(-32)=1]，解得[a=-103]，此时[x0=1-2a2a=-2320∈-32，2]．故[f(x)]的最大值不可能在[x1]处取得．（[a=-103]，抛物线开口向下）

②令[f(2)=1]，解得[a=34]，此时[x0=1-2a2a=-13<-32+22]．故[f(x)max=f(2)]，得[a=34]，符合题意．

③令[f1-2a2a=1]，解得[a=-3±222]．要使[f(x)]在[x0=1-2a2a]处取得最大值，必须且只须[a<0]且[x0∈[-32,2]]，经检验，只有[a=-3+222]合题意．

综上可知：[a=34]或[a=-3+222]

点拨本题利用特殊值检验法，先计算特殊点（闭区间的端点、抛物线的顶点）的函数值，再检验其真假，思路明了、过程简洁，是解决逆向型闭区间二次函数最值问题的一种有效方法.

求解二次函数在闭区间上的最值问题，关键是抓住“三点一轴”.“三点”即区间端点与区间中点，“一轴”即二次函数的对称轴，合理进行讨论.

[【练习】]

1．已知函数[y=x2-2x+3 , x∈[0,m]]上有最大值3，最小值2，则[m]的取值范围是（ ）

A. [  [1,+∞) ]B. [ [0,2]]

C. [ [1,2]]D. [(-∞,2]]

2．已知函数[f(x)=x2－2x＋2]的定义域和值域均为[[1，b]]，则[b＝].

3．已知定义在区间[0,3]上的函数[f(x)＝kx2－2kx]的最大值為3，那么实数[k]的取值范围为．

4．若函数[f(x)=-12x2+132]在区间[[a,b]]上的最大值为[2b]，最小值为[2a]，求区间[[a,b]].

[【参考答案】]

1. C 2. 23. {1，－3}

二次函数的最值问题修改版 篇4

二次函数是高中数学中最基本也最重要的内容之一，而二次函数在某一区间上的最值问题，是初中二次函数内容的继续，随着区间的确定或变化，以及系数中参变数的变化，它又成为高考数学的热点.

一、求定二次函数在定区间上的最值

当二次函数的区间和对称轴都确定时，要将函数式配方，再根据对称轴和区间的关系，结合函数在区间上的单调性，求其最值.

【例1】 已知2x2≤3x，求函数f(x)=x2-x+1的最值.

解:由已知2x2≤3x，可得0≤x≤32，即函数f(x)是定义在区间[0，32]上的二次函数，将二次函数配方得f(x)=(x-12)2+34，其图象开口向上，且对称轴方程x=12∈[0，32]，故f(x)?max=f(32)=74，f(x)?min=f(12)=34.

二、求动二次函数在定区间上的最值

当二次函数的区间确定而对称轴变化时，应根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况分别讨论，再利用二次函数的示意图，结合其单调性求解.

【例2】 已知二次函数f(x)=ax2+4ax+a2-1在区间[-4，1]上的`最大值是5，求实数a的值.

解:将二次函数配方得f(x)=a(x+2)2+a2-4a-1，其对称轴方程为x=-2，顶点坐标为(-2，a2-4a-1)，图象开口方向由a决定，很明显，其顶点横坐标在区间[-4，1]上.若a<0，则函数图象开口向下，当x=-2时，函数取得最大值5，即f(-2)=a2-4a-1=5，解得a=2-10(a=2+10舍去);若a>0，则函数图象开口向上，当x=1时，函数取得最大值5，即f(1)=5a+a2-1=5，解得a=1(a=-6舍去).综上讨论，函数f(x)在区间[-4，1]上取得最大值5时，a=2-10或a=1.

三、求定二次函数在动区间上的最值

当二次函数的对称轴确定而区间在变化时，只需对动区间能否包含抛物线的顶点的横坐标进行分类讨论.

【例3】 已知函数f(x)=-x2+8x，求f(x)在区间[t，t+1]上的最大值g(t).

解:函数f(x)=-x2+8x=-(x-4)2+16，其对称轴方程为x=4，顶点坐标为(4，16)，其图象开口向下.

(1)当顶点横坐标在区间[t，t+1]右侧时，有t+1<4，即t<3，当x=t+1时，g(t)=f(t+1)=-(t+1)2+8(t+1)=-t2+6t+7.

(2)当顶点横坐标在区间[t，t+1]上时，有t≤4≤t+1，即3≤t≤4，当x=4时，g(t)=f(4)=16.

(3)当顶点横坐标在区间[t，t+1]左侧时，有t>4，当x=t时，g(t)=f(t)=-t2+8t.

综上，g(t)=-t2+6t+7，当t<3时;16，当3≤t≤4时;-t2+8t，当t>4时.

四、求动二次函数在动区间上的最值

当二次函数的区间和对称轴均在变化时，亦可根据对称轴在区间的左、右两侧及穿过区间三种情况讨论，并结合其图形和单调性处理.

【例4】 已知y2=4a(x-a)(a>0)，且当x≥a时，S=(x-3)2+y2的最小值为4，求参数a的值.

解:将y2=4a(x-a)代入S的表达式得S=(x-3)2+4a(x-a)=[x-(3-2a)]2+12a-8a2.

S是关于x的二次函数，其定义域为x∈[a，+∞)，对称轴方程为x=3-2a，顶点坐标为(3-2a，12a-8a2)，图象开口向上.若3-2a≥a，即02=4，此时a=1或a=12.若3-2a1，则当x=a时，S?min=[a-(3-2a)]2+12a-8a2=4，此时a=5(a=1舍去).

二次函数的最值问题修改版 篇5

1.3.3

函数的最值与导数

一、选择题

1．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M＝m，则f′(x)()

A．等于0

B．大于0

C．小于0

D．以上都有可能

[答案]　A

[解析]　∵M＝m，∴y＝f(x)是常数函数

∴f′(x)＝0，故应选A.2．设f(x)＝x4＋x3＋x2在[－1,1]上的最小值为()

A．0

B．－2

C．－1

D.[答案]　A

[解析]　y′＝x3＋x2＋x＝x(x2＋x＋1)

令y′＝0，解得x＝0.∴f(－1)＝，f(0)＝0，f(1)＝

∴f(x)在[－1,1]上最小值为0.故应选A.3．函数y＝x3＋x2－x＋1在区间[－2,1]上的最小值为()

A.B．2

C．－1

D．－4

[答案]　C

[解析]　y′＝3x2＋2x－1＝(3x－1)(x＋1)

令y′＝0解得x＝或x＝－1

当x＝－2时，y＝－1；当x＝－1时，y＝2；

当x＝时，y＝；当x＝1时，y＝2.所以函数的最小值为－1，故应选C.4．函数f(x)＝x2－x＋1在区间[－3,0]上的最值为()

A．最大值为13，最小值为

B．最大值为1，最小值为4

C．最大值为13，最小值为1

D．最大值为－1，最小值为－7

[答案]　A

[解析]　∵y＝x2－x＋1，∴y′＝2x－1，令y′＝0，∴x＝，f(－3)＝13，f＝，f(0)＝1.5．函数y＝＋在(0,1)上的最大值为()

A.B．1

C．0

D．不存在[答案]　A

[解析]　y′＝－＝·

由y′＝0得x＝，在上y′>0，在上

y′<0.∴x＝时y极大＝，又x∈(0,1)，∴ymax＝.6．函数f(x)＝x4－4x

(|x|<1)()

A．有最大值，无最小值

B．有最大值，也有最小值

C．无最大值，有最小值

D．既无最大值，也无最小值

[答案]　D

[解析]　f′(x)＝4x3－4＝4(x－1)(x2＋x＋1)．

令f′(x)＝0，得x＝1.又x∈(－1,1)

∴该方程无解，故函数f(x)在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D.7．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是()

A．5，－15

B．5,4

C．－4，－15

D．5，－16

[答案]　A

[解析]　y′＝6x2－6x－12＝6(x－2)(x＋1)，令y′＝0，得x＝2或x＝－1(舍)．

∵f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4，∴ymax＝5，ymin＝－15，故选A.8．已知函数y＝－x2－2x＋3在[a,2]上的最大值为，则a等于()

A．－

B.C．－

D.或－

[答案]　C

[解析]　y′＝－2x－2，令y′＝0得x＝－1.当a≤－1时，最大值为f(－1)＝4，不合题意．

当－1

9．若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是

()

A．k≤－3或－1≤k≤1或k≥3

B．－3

C．－2

D．不存在这样的实数

[答案]　B

[解析]　因为y′＝3x2－12，由y′>0得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y′<0，得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以有k－1<－2

A．[3，＋∞)

B．[－3，＋∞)

C．(－3，＋∞)

D．(－∞，－3)

[答案]　B

[解析]　∵f(x)＝x3＋ax－2在[1，＋∞)上是增函数，∴f′(x)＝3x2＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立

即a≥－3x2在[1，＋∞)上恒成立

又∵在[1，＋∞)上(－3x2)max＝－3

∴a≥－3，故应选B.二、填空题

11．函数y＝x＋(1－x)，0≤x≤1的最小值为______．

[答案]

由y′>0得x>，由y′<0得x<.此函数在上为减函数，在上为增函数，∴最小值在x＝时取得，ymin＝.12．函数f(x)＝5－36x＋3x2＋4x3在区间[－2，＋∞)上的最大值________，最小值为________．

[答案]　不存在；－28

[解析]　f′(x)＝－36＋6x＋12x2，令f′(x)＝0得x1＝－2，x2＝；当x>时，函数为增函数，当－2≤x≤时，函数为减函数，所以无最大值，又因为f(－2)＝57，f＝－28，所以最小值为－28.13．若函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________．

[答案]　－1

[解析]　f′(x)＝＝

令f′(x)＝0，解得x＝或x＝－(舍去)

当x>时，f′(x)<0；当00；

当x＝时，f(x)＝＝，＝<1，不合题意．

∴f(x)max＝f(1)＝＝，解得a＝－1.14．f(x)＝x3－12x＋8在[－3,3]上的最大值为M，最小值为m，则M－m＝________.[答案]　32

[解析]　f′(x)＝3x2－12

由f′(x)>0得x>2或x<－2，由f′(x)<0得－2

又f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，∴最大值M＝24，最小值m＝－8，∴M－m＝32.三、解答题

15．求下列函数的最值：

(1)f(x)＝sin2x－x；

(2)f(x)＝x＋.[解析](1)f′(x)＝2cos2x－1.令f′(x)＝0，得cos2x＝.又x∈，∴2x∈[－π，π]，∴2x＝±，∴x＝±.∴函数f(x)在上的两个极值分别为

f＝－，f＝－＋.又f(x)在区间端点的取值为

f＝－，f＝.比较以上函数值可得f(x)max＝，f(x)min＝－.(2)∵函数f(x)有意义，∴必须满足1－x2≥0，即－1≤x≤1，∴函数f(x)的定义域为[－1,1]．

f′(x)＝1＋(1－x2)－·(1－x2)′＝1－

.令f′(x)＝0，得x＝

.∴f(x)在[－1,1]上的极值为

f＝＋＝.又f(x)在区间端点的函数值为f(1)＝1，f(－1)＝－1，比较以上函数值可得f(x)max＝，f(x)min＝－1.16．设函数f(x)＝ln(2x＋3)＋x2.求f(x)在区间上的最大值和最小值．

[解析]　f(x)的定义域为.f′(x)＝2x＋＝

＝.当－0；

当－1

当x>－时，f′(x)>0，所以f(x)在上的最小值为

f＝ln2＋.又f－f＝ln＋－ln－＝ln＋＝<0，所以f(x)在区间上的最大值为

f＝ln＋.17．(2010·安徽理，17)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间及极值；

(2)求证：当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.[分析]　本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力．

解题思路是：(1)利用导数的符号判定函数的单调性，进而求出函数的极值．(2)将不等式转化构造函数，再利用函数的单调性证明．

[解析](1)解：由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x

(－∞，ln2)

ln2

(ln2，＋∞)

f′(x)

－

0

＋

f(x)

单调递减

2(1－ln2＋a)

单调递增

故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．

(2)证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.由(1)知当a>ln2－1时，g′(x)最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增．

于是当a>ln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．

而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0.即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.18．已知函数f(x)＝，x∈[0,1]．

(1)求f(x)的单调区间和值域；

(2)设a≥1，函数g(x)＝x3－3a2x－2a，x∈[0,1]．若对于任意x1∈[0,1]，总存在x0∈[0,1]，使得g(x0)＝f(x1)成立，求a的取值范围．

[解析](1)对函数f(x)求导，得

f′(x)＝＝－

令f′(x)＝0解得x＝或x＝.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x

0

(0，)

(，1)

f′(x)

－

0

＋

f(x)

－



－4



－3

所以，当x∈(0，)时，f(x)是减函数；

当x∈时，f(x)是增函数．

当x∈[0,1]时，f(x)的值域为[－4，－3]．

(2)g′(x)＝3(x2－a2)．

因为a≥1，当x∈(0,1)时，g′(x)<0.因此当x∈(0,1)时，g(x)为减函数，从而当x∈[0,1]时有g(x)∈[g(1)，g(0)]．

又g(1)＝1－2a－3a2，g(0)＝－2a，即x∈[0,1]时有g(x)∈[1－2a－3a2，－2a]．

任给x1∈[0,1]，f(x1)∈[－4，－3]，存在x0∈[0,1]使得g(x0)＝f(x1)成立，则[1－2a－3a2，－2a]⊇[－4，－3]．

即

二次函数的最值问题修改版 篇6

二次数学的实际运用

——图形面积的最值问题

【知识与技能】：通过复习让学生系统性地掌握并认识如何用函数的思想解决几何问题中面积最值问题，培养其整体性思想。【过程与方法】：能通过设置的三个问题，概括出二次函数解决这类问题的基本思路和基本方法，并学会用数学问题的结论，分析是否是实际问题的解，掌握类比的数学思想方法。

【情感态度与价值观】：体会函数建模思想的同时，体会数学与现实生活的紧密联系，培养学生认真观察，不断反思，主动纠错的能力和乐于思考，认真严谨、细心的好习惯。感受多媒体的直观性和愉悦感。【重点】：如何利用二次函数的性质解决实际问题——图形面积的最值问题 【难点】：如何探究在自变量取值范围内求出实际问题的解 【教学过程】 【活动1】：导入引言：

二次函数在实际问题中的应用常见类型有抛物线形问题和最值问题。而最值问题考试类型有两类（1）利润最大问题；

（2）几何图形中的最值问题：面积的最值，用料的最佳方案等，本节课，我们学习如何用二次函数解决实际问题中图形面积的最值问题。

【活动2】：师生互动，合作学习

我们来看一道简单的例题

例1：李大爷要借助院墙围成一个矩形菜园ABCD，用篱笆围成的另外三边总长为24米，则矩形的长宽分别为多少时，围成的矩形面积最大？

师（让学生思考）：题目中已知量是什么？ 未知量是什么？如何理解“矩形面积最大”问题？是什么影响了矩形面积的变化呢？我们一起来看下面的动画演示（通过动画演示，让学生感受量的变化）师：在演示中你们看到了什么？想到了什么？你能列出函数解析式吗？

学生解决：若设矩形一边长为X，当X在变长时，另一边变短，当X变短时，另一边变长，则面积S也随之发生了变化；设宽AB为X米，则长为24-2X(m)所以 面积S=X(24-2X)=-2X2+24X=-2(X-12)2 +288 师：分析归纳解函数问题的一般步骤是什么？

（板书: 第一步，正确理解题意,分析问题中的常量和重量；

第二步，巧设未知数，用未知数表示已知量和未知量，列二次函数解析式表示它们的关系； 第三步，计算，将一般式转化为顶点式，求出数学问题的最值。）

师：请问这时解出的数学问题的解是不是实际问题的解，如何检验呢？（在师生共同研讨的过程中找出计算中学生容易犯的错误，分析解答是否符合实际问题）

小结：求解完答案后，我们要善于检查，分析，反思数学问题的解是否是实际问题的解。活动3：变式训练，巩固应用。

师：如果我们在图形中再加一个“竖道”，请问刚才的问题中，什么量在变化，什么量不变化？是否影响面积的变化？

师生共同总结得出：AB不变而BC在变，BC表示时要考虑竖道的个数。

师：请大家看下面的中考题，这个问题中涉及的是方程的思想还是函数的思想？ 一题多变1：

要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB,BC各为多少米？

学生自主探究问题并解答（引导学生分析讨论如何舍去方程的根，获得实际问题的解）

师： 问题中面积是否由“400”可以改为“500”

“600”

“700”呢？面积是否可以取一个任意大的数值呢？

生：不可以，x受墙长的影响，围栏长度的影响，面积不能超过一个最大值。师：引导利用函数的思想解决下面的问题。活动4：深入探究，设疑激趣 一题多变2：

师：请大家仔细阅读下面的例题，分析问题中的已知条件又作了哪些变化？ 如图所示，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃的一边AB＝xm，面积为ym2.(1)求y与x的函数关系式；（2）y是否有最大值？若有，求出y的最大值。

学生互学，师生共同总结：师：利用函数的思想解决实际问题时，要考虑自变量的取值范围，要在自变量范围内 求出最大值，要学会检验数学问题的解是否是实际问题的解。利用函数解决实际问题，我们在后面的学习中还要继续探究。

【活动4】归纳小结:（1）

利用函数思想解决实际问题的一般步骤是什么？（2）

三角函数的最值问题 篇7

一、 可转化为利用正、余弦函数的有界性 (|sinx|≤1, |cosx|≤1) 求解的最值问题

1.可将函数式化为y=Asin (ωx+φ) +k的形式求解的问题

(1) 形如y=asinx+b (或y=acosx+b)

【例1】 求函数y=2sinx+1的最值.

解:∵-1≤sinx≤1, ∴-1≤2sinx+1≤3, 故有ymax=3, ymin=-1.

(2) 形如$y=\frac{a\text{s}\text{i}\text{n}x+b}{c\text{s}\text{i}\text{n}x+d}$ (或$y=\frac{a\text{c}\text{o}\text{s}x+b}{c\text{c}\text{o}\text{s}x+d})$, 从函数式中将sinx (或cosx) 反解出来, 再利用|sinx|≤1 (或|cosx|≤1) 求解, 或用分离常数的方法求解.

【例2】 求函数$y=\frac{3\text{s}\text{i}\text{n}x-1}{\text{s}\text{i}\text{n}x+2}$的最大值和最小值.

解:由$y=\frac{3\text{s}\text{i}\text{n}x-1}{\text{s}\text{i}\text{n}x+2}$得$y\sin x+2y=3\sin x-1\Rightarrow \sin x=\frac{-1-2y}{y-3}(y\ne 3)$.又$|\sin x|\le 1\Rightarrow |\frac{-1-2y}{y-3}|\le 1\Rightarrow -4\le y\le \frac{2}{3}\Rightarrow y{}_{\max }=\frac{2}{3},y{}_{\min }=-4.$

2.可将函数式化为sin (ωx+φ) =f (y) 的形式求解的问题

形如$y=\frac{a\text{s}\text{i}\text{n}x+b}{c\text{c}\text{o}\text{s}x+d}$ (或$y=\frac{a\text{c}\text{o}\text{s}x+b}{c\text{s}\text{i}\text{n}x+d})$, 可化归为sin (ωx+φ) =f (y) , 利用|sin (ωx+φ) ≤1|去处理;或用万能公式换元后再用判别式去处理;当a=c时, 还可利用数形结合的方法去处理.

【例3】 求函数$y=\frac{\sin \theta -1}{\cos \theta -2}$的最值.

解:由$y=\frac{\sin \theta -1}{\cos \theta -2}$去分母得

$\sin \theta -y\cos \theta =1-2y\Rightarrow \sqrt{1+y{}^2}\sin (\theta -\phi )=1-2y(\tan \phi =y),|\sin (\theta -\phi )|=\left|\begin{array}{c}\frac{1-2y}{\sqrt{1+y{}^2}}\end{array}\right|\le 1\Rightarrow 0\le y\le \frac{4}{3}.$

故函数的最大值为$\frac{4}{3}$, 最小值为0.

二、 可转化为求二次函数y=at2+bt+c在闭区间[-1, 1]上的最值问题

1.形如y=asin2x+bsinx+c (或y=acos2x+bcosx+c) , 其中a≠0, 可令t=sinx (或t=cosx) , -1≤t≤1, 化归为闭区间上二次函数的最值问题求解.

【例4】 求函数f (x) =cos2x+sinx在区间$[-\frac{\text{π}}{4},\frac{\text{π}}{4}]$上的最小值.

$$

, 当$t=-\frac{\sqrt{2}}{2}$时, $[f(x)]{}_{\min }=\frac{1-\sqrt{2}}{2}.$

2.形如y=A (sinx±cosx) +Bsinxcosx, 可令sinx±cosx=t, 则$t=\sqrt{2}\sin (x\pm \frac{\text{π}}{4})(|t|\le \sqrt{2})$, 将sinxcosx转化为t的函数关系式, 从而化为二次函数的最值问题.

【例5】 求函数$y=\frac{\text{s}\text{i}\text{n}x\text{c}\text{o}\text{s}x}{\text{s}\text{i}\text{n}x-\text{c}\text{o}\text{s}x+1}(0＜x＜\text{π})$的值域.

解:令sinx-cosx=t, 则$\sin x\cos x=\frac{1-t{}^2}{2},\therefore y=\frac{\frac{1-t{}^2}{2}}{t+1}=\frac{1-t}{2}$, 又∵x∈ (0, π) , 则$t=\sqrt{2}\sin (x-\frac{\text{π}}{4})\in (-1,\sqrt{2}]$, 故$y\in [\frac{1-\sqrt{2}}{2},1).$

评:关于sinx±cosx与sinxcosx的问题应充分注意 (sinx±cosx) 2=1±2sinxcosx的关系.

三、转化为可利用均值不等式求解的最值问题

形如$y=\sin x+\frac{a}{\text{s}\text{i}\text{n}x}$ (或$y=\cos x+\frac{a}{\text{c}\text{o}\text{s}x})$, 其中a∈R+.

【例6】 求函数$y=\sin x+\frac{1}{2\text{s}\text{i}\text{n}x}(0＜x＜\text{π})$的最小值.

解:$\because 0＜x＜\text{π},\therefore 0＜\sin x\le 1‚y=\sin x+\frac{1}{2\text{s}\text{i}\text{n}x}\ge 2\sqrt{\text{s}\text{i}\text{n}x\cdot \frac{1}{2\text{s}\text{i}\text{n}x}}=\sqrt{2},$

当且仅当$\sin x=\frac{1}{2\text{s}\text{i}\text{n}x}\Rightarrow \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow x=\frac{\text{π}}{4}$或$\frac{3\text{π}}{4}$时, $y{}_{\min }=\sqrt{2}.$

求分式型函数的最值问题 篇8

【关键词】 数学 分式型函数 最值问题

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1674-4772（2014）03-092-01

分式型函数的最值问题一直是高考常考点，但却是学生学习的难点。解决这类问题，一般是利用分离常量法或利用基本不等式及对勾函数[y=ax+■（ab>0）]来解决。

一、一次比一次型

对于形如y=■型的函数求值域的问题，一般采用分离常量的方式，把函数式转变为常数与简单分式函数和差的形式，此类函数值y≠■.

例1. 求函数y=■的值域。

分析：这类问题一般是利用分离常量法解决，过程略。

解：函数y=■的值域是{y│y≠2}

例2. 求函数y=■的值域。

解：y=■=2-■

∵x2+1≥1 ∴0<■≤3

故函数y=■∈[-1，2）

点评：本题虽然分子和分母都是关于的二次式，但是因为没有一次项，故可以把x2看成一个整体，利用分离常量的方式进行分离，但要注意x2本身非负。类似的还有■，ax等。

二、二次比一次型

对于形如y=■型的函数求值域的问题，一般采用拆分的方式，把函数式转变为对勾函数的形式，借助基本不等式或对勾函数求值域。

例3. 求函数y=■（x>0）的取值范围。

分析：此类问题一般是结合基本不等式解决。

解：y=■=2x+■-1≥2■-1（当且仅当x=■是等号成立）所以函数y=■∈[2■-1，+∞）.

变式练习：若例3去掉x>0函数值域是什么？

分析：本题不能利用基本不等式，要借助函数g（x）=2x+■， 如上图的函数g（x）∈（-∞，-2■]∪[2■-1，+∞）.

故y=■∈（-∞，-2■]∪[2■-1，+∞）.

三、一次比二次型

对于形如y=■型的函数求值域的问题，一般先取倒数，变成二次比一次型函数，再求值域。

例4. 求函数y=■（x>0）的值域.

解：y=■=■≤■（当且仅当x=■是等号成立）

∴函数y=■∈（0，■].

点评：本题如果没有这个条件，也可以仿照上面例4，借助对勾函数来解决。

例5. （2010辽宁）已知点P在曲线y=■上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 .

解：y'=■=■

∵ex>0，∴ex+■+2≥4，（当且仅当x=0时等号成立）

∴k=y'∈[-1，0）

因为倾斜角，所以倾斜角α的取值范围是[■，π）.

点评：一般来讲高考题目所涉及的分式函数求值域的问题基本上就可以用以上几种方式解决。