你是我心中的太阳作文

你是我心中的太阳作文（精选7篇）

你是我心中的太阳作文 篇1

你是我心中的太阳作文

（一）在人生漫长的道路中，总会有一个照耀前路的太阳，它会让我们的人生更加精彩、灿烂。然而，在我心中的太阳就是那关心、疼爱>我的爸爸。

他，身材魁悟，长着短短的头发，下颌长着一些刺人的胡子，一双炯炯有神的眼睛，一双大耳朵，他就是我的爸爸了。

小时候，我非常喜欢跟爸爸玩耍，每当他坐在沙发上，我总会悄悄地爬上沙发上，吓他一跳，这时，他总会把我抱在怀里，我立刻把小手伸到他的下颌，摸一摸他的胡子，天真可爱地说？“爸爸，爸爸，你的胡子虽然很短很短，但为什么会刺人的呢？”爸爸就会笑嘻嘻地说？“你想一想吧！”那时的我总会说？“你何时把植物上的刺移植下来？”爸爸就会说？“女儿，你还不懂，我怎么能把那些刺移植下来呢？”

记得有一次，我生病了。爸爸一听到这个消息，什么也顾不上了，甚至丢下手头上的工作，马上回到家。回到家时，他看见了卧病在床的我，跑到我身旁说？“怎么呢？为什么不叫你妈带你去看病？”我说？“她还要上课，我不能耽误她的学生的课程。”说完，爸爸把我抱在怀里，冒着鹅毛大雪，急匆匆地向医院跑去„„虽然冰冷的雨水打在我的身上，但我还是觉得很>温暖，一点儿冰凉的感觉也没有。

爸爸，你知道吗？你是我心中的太阳，在我的人生道路上，有了你的关怀？爱护，使我的人生更精彩，更灿烂，每当我在生活上遇到>挫折，你总会帮助我，照亮我的前路，给我光明！

你是我心中的太阳作文

（二）每个人，总有一颗需要被爱的心，被感动的心，但是，却又有多少人去真正的爱别人呢？

一个春天的下午，我去楼下公园里晒太阳。正当我想躺在石头上小憩一会时，一个稚嫩的声音传入我的耳膜。

“爷爷，今天有太阳吧，好暖和呀。”

“是呀，宝宝越来越棒了！”

被人搅醒了我休息，难免有点不高兴，便转过头去看他们，边看还边想：那人有问题吧，自己长着眼睛都不知道自己看，还要„„我转过头去，那一幕使我惊呆了。一个五六岁的小男孩，一条腿被高位截肢，目光呆滞的坐在轮椅上微笑的问着在后面帮他推轮椅的爷爷许多稀奇古怪的问题，而爷爷总能巧妙地解决。

好一对奇妙的爷孙呐！

这天说变就变，刚才还是晴空万里，现在突然又乌云密布了。公园里的人见状都匆匆回家了。只有那对爷孙，还是有说有笑，心情丝毫不被这满天的乌云所影响。滴答滴答，刷拉刷拉，开始下雨了。但还我不愿意回家，便到大树下避雨。小男孩问他的爷爷说：“爷，是不是下雨了？”爷爷被问懵了，有点儿不知所措。这时一个叔叔撑着伞走过来说：“当然没有，你有感到雨点吗？”“可是，有雨点打击树叶是声音呀！”“那是你爷爷把你带到了音乐会，这个呀，是乐器发出的声音。好听吗？”“哦。真好听！”天真的小男孩完全相信了那个叔叔的话，嘴角又泛起了那如一泓清泉般的笑容。

每个人，总有一颗需要被爱的心，被感动的心，但是，却又有多少人去真正的爱别人呢？我在这个雨天找到了答案——那就是每个人。每个人心底也总会有一颗去爱别人的心，有一轮永恒的太阳！

你是我心中的太阳作文

（三）夜晚，我趴在窗台上，数着星星，望着月儿。渐渐地，我进入了梦乡。梦里，我看见了您那清晰的面孔，听见了您那熟悉的叮咛。每时每刻，我忘不了的都是您。爸爸，您是我心中的太阳。

小学二年级的时候，班里要竞选班干部。我非常想当学习委员，可是当时我没有>勇气，手几次都没有举起。回到家，是您摸着我的头告诉我：“自信的人不一定会成功，但不自信的人一定不会成功。”您还告诉我：“不要惧怕任何人，只有勇往直前才会成功。”就是这样，您教会了我勇者不惧，让我在班级竞选中战胜>对手，最终当上了学习委员。难道这不是您的功劳吗？

一次月考，名列前茅的我成绩却十分不理想。回到家，又是您，及时地来到我的身边。当您了解到我考试时的紧张，了解到我担心考不好而失去自己在学校的名次时，是您告诉我不管是平时还是考试，心态都要放松，只要有一个良好的学习习惯，只要平时长期坚持，就不必惧怕考试。就这样，您又教会了我智者不惑。

你是我心中的太阳作文 篇2

你是人间四月天的云烟。有多少男子为你倾心, 你却挥一挥清袖, 成了天边无法触及的云。你在告诉我, 若人生中有太多的选择, 在选择过后, 不如让他人心中的遗憾成为永久的美好。于是, 你的青春, 写进了徐志摩的诗篇中。那样一个十六岁的林徽因, 成了他永久的怀念。

你是人间四月天的花儿。你说你的世界里, 永远只需要安静。佛曰:一花一世界。你的世界, 是否就像花?那样一个寂静无声的世界, 静静的开放着一朵花, 那是只属于安静的你。你对我说, 美好的事情总不会是喧闹。尘世喧嚣, 不过是来来往往梦一场, 匆匆擦肩而过的相遇罢了。抱紧花蕊, 只因想开得更完美。寂静的完美, 是否是你一生的轨迹?

你是人间四月天的韵味。你是柔柳的轻曳, 是细雨的柔情, 是西子湖畔的清雅, 是江南小镇的古韵。你的脚步, 是青衣女子飘落的裙带, 是在蒙蒙细雨中的一串泪珠, 是四月天的一缕轻柔。你带来了人间的四月天———那是爱, 是暖, 是希望!

你是那样一个悲伤的灵魂, 缓缓地、缓缓地凝聚为一颗泪珠, 坠成一只泪蝶, 执着地追寻着那样一种美好;当你亲眼目睹古城墙被拆时, 你与梁思成抚砖痛哭, 你为了这些古韵的美, 坚持着自己一生选择的事业, 正如你追求的美好。纵使奔波劳累使你不堪重负, 旧疾复发, 可你永远相信着美好———那是一树树的花开, 是燕儿的呢喃细语。

你是我心中永远的歌 篇3

清晨，整个城市都还沉浸在美好的梦中，您却带着疲惫蹑手蹑脚地走到厨房，为我准备早餐。每一个早晨，我都是在香气中醒来的。当我吃完早饭，衣着整洁地坐上校车的时候，您却还未来得及打扮一下自己，便急匆匆地赶去上班。中午，您又要用自己为数不多的午休时间来打扫凌乱的房间。夕阳西下，当我迈着轻松的步伐走出校门时，您早已带着微笑等候在门口。夜幕降临，您用一双巧手为我们做了丰盛的晚餐。当我们饱食过那一道道美味，歇息在沙发上的时候，您却又在默默地清理着厨房的卫生。夜深虫鸣，家家户户都已关了灯，进入了梦乡，但我们家却总有一处灯是亮着的，那就是洗手间，那是您不辞辛劳，在为我们清洗着换下的脏衣服……

云卷云舒，花开花落。时间的脚步从未停止，我们在一点一滴中成长，而您的青丝却被岁月夺去了光泽。可是，亲爱的妈妈，我想对您说：“在我心中，您永远是最年轻，最美丽的。”岁月可以让容颜老去，却无法抹去您在我心中的位置，妈妈，我祝您身体健康！您的健康便是我们的幸福；妈妈，我祝您快乐！您的快乐便是我们生活中的阳光。

你是我心中的太阳作文 篇4

那年夏天，我与你相遇。我与你的关系，不像是父女，倒更像是朋友。曾经一位朋友问我，最好的异性朋友是谁?坦白说，我第一个就想起了你。似乎，也只想起了你。

你是那种典型的和小孩抢玩具，抢零食的家长，可以孜孜不倦地陪我和妹妹玩“售货员”游戏，可以兴致勃勃陪我们看动画片。你更是毫无原则的宠爱我们，有求必应，有呼必答。你可以和我面对面坐下，高谈政治、理想。你也可以在危机到来时迅速做出最好的选择，保证最小的损失。

我从没觉得，你已经是快五十岁的人了，从来没意识到你也会老去，更没想过你也会有力不从心的时候——我太把你当朋友了，以至于我忘了和你之间相隔的三十多年光阴，一度只觉得你是我最好的朋友，最早的知己。

考试考砸了，你会微笑着告诉我，我家闺女棒着呢!中上等，还不错嘛，继续加油!

事情做错了，你会拍拍我的头，告诉我，不着急，你还小，慢慢来，总是能做好的，对吧?

我说不想学，你会一副知书达理的样子，晃着头，说，这会儿不想学了嘛，可以!爸带你去吃好吃的，但是回来以后嘛，还是要认真学的。

可你，也不总是微笑着的，因为生活，总会给人一些措手不及的“惊喜”。

妈妈病了。

你在卧室里哭得像个孩子被人抢去了心爱的玩具，可你没有发出一点声音。

曾听人说，无声的哭泣，才是最痛的。我知道你一定心如刀绞，你整整一天都没有出来，也不让我们进去。你不愿让自己的两个孩子也变得忧郁，悲伤，你自己咽下了所有的苦和痛，然后又满面春风的出来了，仿佛什么都没有发生。

可我，看到了你布满血丝的眼睛。

爸爸，那段日子一定很难熬吧?没有人能真正体会到你的痛苦，你失去的，比我们多得多。

你是我心中的太阳作文 篇5

糖果.童年

在我年幼时，我特别爱吃糖，几乎到了嗜糖如命的程度，每次哭闹着向你要，你都狠心的拒绝我，说怕我吃太多会长蛀牙，我哭得昏天黑地，你的眉毛微微皱起，抱起我轻轻的拍打我的手，口中似是有语“真是的，真拿你没办法，吃多了对身体不好。”年幼的我不知道你为我好，最后你不忍心我嚎啕大哭，给了我几块，细心地叮咛着。我想，你初为人母，在异常疼爱我的情况下还没有完全理解如何面对我的无理取闹吧，最终失败在我声嘶力竭的哭声里。

青涩.童年

我在你的陪伴下慢慢成长，你每一次的细心呵护，让淘气的我没有因为跑闹而摔倒，把我捧在手心里。在这个年纪我渐渐有了“多愁善感”的毛病，有时候，只因你一句话我觉得啰嗦而向你发脾气，变得暴躁起来，你只是默默的容忍，也不大声的骂我打我，正因为如此，我慢慢的变得平静下来。还记得，你教我如何为人处世的道理，不知道你从何时起，你把我当做一个不懂事只会玩耍的孩子，告诉了我许多能提高修养的东西，我变的沉稳起来，不会像以前一样无理取闹，只是静而不语，像你曾经的沉默一样。

春秋几度，你伴我一路走来。一直呵护我，教育我，陪伴我，你是我的太阳。

初一作文你是我心中的太阳 篇6

太阳普照着大地，而你普照着我，我亲爱的奶奶，你就是我心中永远不落的太阳。

迷惘时，你规劝我。从小学习成绩也算名列前茅，可那一次考试却粉碎了我一直以来的骄傲。我低着头，无声地啜泣着，任凭不争气的泪水在脸上肆意流淌，愤恨与悔恨交织着。我知道一直对我期望很高，本以为回家迎来的准是一顿数落，然而事实却完全相反。或许你早已看出了我的心思，二话没说，拉着我坐下，用你那老树皮似的却依然温暖的手，替我轻轻拭去眼泪，缓缓地拍着我的背，告诉我：“勤勤，人这一辈子没有谁一直是顺风顺水的，磕磕绊绊总会遇到，跨过去就好了……”那天，你跟我说了很多关于你年轻时候的事情，我们奶孙俩在你一言我一语的交谈中，心拉得更近了。从那以后，我重拾信心，积极参与学习的残酷竞争中去，再遭遇挫折与困难时，都敢于相信自己，才会一步步接近自己想要的模样。

出去游玩时你殷切的叮嘱我。每次出门总是喋喋不休的说着：看着车，钱装好，长点心。……你说了一遍又一遍，耳朵里的茧子脱落一层又一层，就极不耐烦地甩了一句：“知道啦，知道啦，别说了!”话一出口，就又后悔了，看着你失落的样子，顿时又有些不忍。但出于自尊心，我却装作不以为然。再以后，你想唠叨又不敢唠叨，欲言又止的样子刺痛了我，其实没有了你的唠叨还是很不习惯，原来你的话语早已烙在心中。

几天之后，我找准了一个机会向你诉说，一抹淡淡的微笑，从此那亲切的唠叨声又在我耳边响起，你也变得更加可爱了……

成长的路上，你陪伴着我。从幼时的呀呀学语到现在，无时无刻不充满着你的关心与照顾。犯错误时，你用行动告诉我对与错;与同学吵架时，你总是第一个批评我。曾一度埋怨你，明明是我的奶奶，为什么却总是会先批评我?随着时间的流逝，才渐渐明白了你的良苦用心。

你的爱如酒，越来越醇，越品越能感受其中之滋味。

你永远是那明媚的太阳，孙女要在你老去之前，用最最平凡的实际行动来报答你一世的恩情……

初一作文你是我心中的太阳2

在我出生的那一刻起，您便背负了一个伟大而圣洁的称号——妈妈。今年，我十三岁了，也就是说，这是您照顾我的第十三年，一路走来，您为我付出了多少，我数不清，我只知道作为一个女儿，我亏欠您许多。

还记得小时候，我在幼儿园里可是一个大活宝，欺负小朋友，破坏玩具，无所不干。您可是着急上火，为我操碎了心，可我依然不改调皮的本性，我行我素，费再多的口舌，吃再多的巴掌我也只是一笑而过。一点也不像一个小姑娘，活脱脱是个假小子。幼时还是稚嫩的，我不知道要体谅您。现在大了才回忆起以前，您每晚对我的教导，是一种怎样的耐心啊。再大一点儿，步入小学，调皮的本性有所收敛，可是学习成绩的作弄又使您为我卖力，上课不听课，作业就算不会也不去问老师，成绩自然烂得不成样子。我丝毫不在意，可是您却心急如焚，买来许多辅导资料，请假不上班在家中自学后晚上再来教我，这种对我的爱与耐心恐怕也只有您能给予我吧!

直到上周，我看到一篇文章，文中写作者与母亲在一起的点点滴滴，怎样为他操劳，为他付出……我突然醒悟了。您，不也是这样么。想到前两天因为您叫我起晚而对您火冒三丈……这真是笑话。我都这么大了，竟然还不懂事……

也许，您对我的爱与付出，我这一辈子也无法偿还的清，但我知道，我与您在一起的时间过一天少一天了，我以后再也不会对您发火，再也不会因为成绩等等琐事让您操心了。

我只想对您说，妈妈，我爱您，我以后一定要努力学习，改掉脾气急躁的毛病。妈妈，您就是我心中的太阳啊，那颗永远要尊敬，永远要离不开、忘不掉的太阳。

初一作文你是我心中的太阳3

妈妈，您是我的太阳。

如果我是花朵，那么您就是衬托我的绿叶;如果我是雄鹰，那么您就是我飞翔的蓝天;如果我是一滴水，那么您就是一片汪洋;如果我是一颗地球，那么您就是拥抱我的太阳。啊!妈妈，您就是那一个充满热情的太阳。

刚来美的学校的时候，我不大喜欢说话，是一个内向而自卑的孩子，并不像现在这样落落大方、阳光自信。自从那一天起，发生了一个巨大的转变。

七年级刚开学的一个夜晚，放学回家，我沮丧的心情似乎早已被妈妈看透。她看着愁眉苦脸的我，就追问我今天是不是遇到了什么不顺心不如意的事。我沉默不语，妈妈又问是有同学欺负你还是你觉得这个学校不好。这句话一下就刺中了我的要害，泪水不停地在我的眼眶里打转，再也压抑不住我那痛苦的心情了。

我不断的抽泣：“妈妈，我觉得在这上学根本感受不到一种安全感，感觉在这学的都是一些无用的东西，跟不上似前小学同学的进度……我不想在这里读书了。”妈妈听了以后，对我说：“没关系的，这是一所跟其它学校不同的学校，有一新理念的课堂，要适应一些不一样的老师，慢慢来，你会适应的……”妈妈让我好好想想，便把我抱在怀里。我终于恍然大悟，在不知不觉中就睡在了妈妈的怀里。

如今，我很感谢妈妈，能使我安心在这里读书，才让我感受到这里有情意深重的同学、有待生如子的老师、有风趣幽默的课堂、有青春飞扬的课外活动……我对一所学校所有的美好构想，都在这里了，尤其是我的班主任李老师!在他的引导下、在妈妈的关心下，我开始乐观起来了、自信起来了，也优秀起来了!

每个人的心中都有一个太阳，她总是在你寂寞的时候温暖你，在你迷茫时照亮你……那么，谁是你的太阳呢?

初一作文你是我心中的太阳4

“咯咯咯……”这在耳边回响的爽朗的笑声，像有神奇的感染力一样，仿佛听的人就算心中有再多乌云，也会被这太阳一般灿烂的笑声所驱散。

你很爱笑，做什么事都以笑容去面对，你的笑声是那样的大方，开朗。

你陪伴我这么久，我们曾经一起打闹，一起吃饭，一起唱歌，一起学习，我们无时无刻不在一起。现在分开了，还真是有些不习惯呢!记得我们曾经在一起的那一段时光多美好!

记得那一次，我考试考砸了，很是很伤心。那一次，我整天闷闷不乐，而你就不放过一分一秒，用尽力气在逗我开心，可我却视若无睹，内心充满无限担忧：“这次没有考好，怎么办?”我内心焦急，父母辛苦的送我来上学，我却连一个让自己满意的分数都没有达到，怎么能让他们满意呢?

下课后，你来到我身旁静悄悄的坐下，说着：“没关系，一次失误而已，总不能让一次失误打倒你，寻求希望的信心吧!”你说完又大声地笑了起来，我被你的爽朗的笑声所感染，紧皱的眉头，渐渐舒展开来。

你见我多云转晴，立刻讲了几个幽默的笑话，我被你的笑声所带动，终于笑了起来。

你就像我心中的太阳，总在我乌云密布之时，放射出自己灿烂的阳光，替我驱散乌云。谢谢你!

初一作文你是我心中的太阳5

在我出生的时候便有一个噩梦日夜萦绕着我，并伴随着我成长，那是我不能解开的锁。

我从小就被医生诊断出有轻微脑震荡。家里人知道我有这种病想过放弃我，那意思就是不要我，抛弃我!那时的我年幼无知，只见妈妈对我总是嘻哈地笑，我认定她是我一辈子值得依赖的人，我自认为是妈妈心中的宝贝。但家人和亲戚朋友都劝父母放弃我这个累赘，唯独妈妈坚决反对，从此我就在家人放弃与留下之间的分歧中一点一滴的成长着。

脑震荡是一种长治长医的病，只要情绪不要波动太大，不要做剧烈运动，听从医生的话，好好爱护自己，不让自己受伤，那我还是可以平安度过自己的一生的。

在这成长过程中，妈妈是我温暖的避港湾。

时光飞逝，日月如梭，我在病痛中不断的成长起来，这病并没有影响到我的日常生活和学习。在我脑海里总是浮现一个熟悉的背影，只见她穿着淡紫色的毛衣外套，扎着一个简单而又不失风范的马尾，看起来给人温暖而放松的感觉，她时而回过头看看我，脸上总是嘻哈的笑容，她在喊我，哦!那脑海熟悉的背影正是我的妈妈。我泪流满面的回应着她，为什么我会泪流满面呢?看见妈妈一头花白的头发，不堪回首的这些年里，妈妈您为了坚持留下我这个有病的孩子，您顶着多少来自家人和亲戚朋友的压力?您为了让我快乐的和其他孩子一样正常成长，您付出了多少辛勤的汗水?您为了给我一个温暖的港湾，您又为我遮挡了多少风吹雨打?我渐渐懂事了，我明白您就是我值得我一辈子依赖的人。

妈妈如池塘里的莲花，“予独爱莲之出淤泥而不染，濯清涟而不妖。”妈妈，您在我心中就像这朵不沾一丝泥尘的莲花，永远雪白无瑕。

是谁让我从昏暗的阴影中走出来，让我感觉到明亮的存在?是谁在我最无助最需要保护我的人呢?是谁帮我开启了那一把心中解不开的锁?毫不疑问，那人正是我的妈妈!她就像太阳一样把我多年藏在心中的那片阴影拨开，让我重新见到灿烂的阳光，健康快乐的成长!

圆锥曲线你是我心中永远的“痛” 篇7

类型一椭圆方程的求解，直线和椭圆的位置关系

【例1】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率e=23，且椭圆C上的点到Q（0，2）的距离的最大值为3.

（1）求椭圆C的方程；

（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由.

分析（1）本题的关键是如何处理两点之间的距离的最值问题，其本质就是如何来设定点P的坐标，方法有两种：一般法和三角设参法；

（2）本小题可以抓住题目中的两个条件入手处理：①要求“△OAB的面积最大”首先要写出△OAB的面积表达式，而恰恰这个三角形的两条边|OA|=|OB|=1，所以可以选用∠AOB为变量用正弦定理来表示面积；②由于“点M（m，n）在椭圆C上”，故可以使用三角换元来表示m，n，借助公式S△AOB=12×|AB|×d，其中d表示圆心O到直线l的距离，弦长|AB|可以采用弦长公式或者用勾股定理来表示。

解（1）方法一：设c=a2-b2，由e=ca=23c2=23a2，所以b2=a2-c2=13a2，设P（x，y）是椭圆C上任意一点，则x2a2+y2b2=1，所以x2=a2（1-y2b2）=a2-3y2

|PQ|=x2+（y-2）2

=a2-3y2+（y-2）2

=-2（y+1）2+a2+6

当b≥1时，当y=-1时，|PQ|有最大值a2+6=3，可得a=3，

所以b=1，c=2.当b<1时，|PQ|

故椭圆C的方程为：x23+y2=1.

方法二：设c=a2-b2，由e=ca=23c2=23a2，所以b2=a2-c2=13a2，

则椭圆C：x2a2+y2a23=1，设P是椭圆C上任意一点，则Pacosθ，33asinθ，

|PQ|=（acosθ）2+33asinθ-22

=13a2+23a2cos2θ-433asinθ+4

=a2-23a2sin2θ-433asinθ+4

=-23（asinθ+3）2+6+a2

令t=asinθ∈[-a，a]，则|PQ|=-23（t+3）2+6+a2，当-3≤a≤3时，

则|PQ|max=6+a2=3，所以a=3；当a<-3或a>3时，则|PQ|<6+a2<3，所以不满足.故椭圆C的方程为：x23+y2=1.

（2）方法一：在△AOB中，|OA|=|OB|=1，S△AOB=12×|OA|×|OB|×sin∠AOB≤12，当且仅当∠AOB=90°时，S△AOB有最大值12，∠AOB=90°时，点O到直线AB的距离为d=22.d=221m2+n2=22m2+n2=2，m2+3n2=3m2=32，n2=12，此时点M±62，±22.

方法二：假设存在点M（m，n）满足题意，因为点M在椭圆C上，所以可设m=3cosα，n=sinα，则直线l：3cosαx+sinαy=1，点O到直线AB的距离为d=13cos2α+sin2α=12cos2α+1，所以|AB|=21-d2=21-12cos2α+1=22cos2α2cos2α+1

故S△AOB=12×|AB|×d=12×22cos2α2cos2α+1×12cos2α+1=2cos2α2cos2α+1

①当cosα≥0时，S△AOB=2cosα2cos2α+1=22cosα+1cosα≤222=12（当且仅当cosα=22时取到“=”）此时sinα=±22，所以点M62，±22，（S△AOB）max=12.

②当cosα<0时，S△AOB=-2cosα2cos2α+1=2（-2cosα）+-1cosα≤222=12（当且仅当cosα=-22时取到“=”） 此时sinα=±22，所以点M-62，±22，（S△AOB）max=12.

点拨在解决此类问题时应注意以下几点：

（1）解决圆锥曲线问题最好的方法，应该使用数形结合的方式来解题；

（2）求解有关变量的一元二次函数的最值类问题时，要注意变量的取值范围及其与对称轴之间的关系；

（3）使用基本不等式解题时要注意满足“一正、二定、三相等”。

类型二椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式

【例2】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）.已知（1，e）和e，32都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率.

（1）求椭圆的方程；

（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P.

（i） 若AF1-BF2=62，求直线AF1的斜率；

（ii） 求证：PF1+PF2是定值.

分析（1）第一小题较为容易，只要根据椭圆的性质a2=b2+c2，e=ca和已知（1，e）和e，32都在椭圆上列式求解；

（2）第二小题难度较大，如果仅仅注意到（i）中已知条件AF1-BF2=62的话，估计好多同学会往焦半径的方向上考虑；如果同时注意到（i）（ii）两个问题，估计有同学会往两点之间的距离公式上考虑，当然无论哪种考虑方式，都能都够解答。在处理（ii）时，把PF1，PF2通过所给的两平行线间线段成比例来转化为焦半径AF1，BF2来表示，这对于处理题目而言相对简单。

nlc202309010559

解（1）由题设知，a2=b2+c2，e=ca，由点（1，e）在椭圆上，得

12a2+e2b2=11a2+c2a2b2=1b2+c2=a2b2a2=a2b2b2=1，∴c2=a2-1点e，32在椭圆上，e2a2+322b2=1c2a2+3221=1a2-1a4+34=1a4-4a2+4=0a2=2

∴椭圆的方程为x22+y2=1.

（2）方法一：由（1）得F1（-1，0），F2（1，0），又∵AF1∥BF2，

①当直线AF1斜率不存在时，易知AF1=BF2=22.

②当直线AF1斜率存在时，则设直线AF1，BF2的方程分别为y=k（x+1），y=k（x-1）（k≠0）

设A（x1，y1），B（x2，y2），y1>0，y2>0

∴x212+y21=1

y1=k（x1+1）1k2+2y21-2ky1-1=0y1=1k+21k2+21k2+2=k·1+2+2k21+2k2

∴AF1=x1+12+y1-02

=1ky12+y21

=1k2+1·k·1+2+2k21+2k2

=1+k2·1+2+2k21+2k2

=21+k2+1+k21+2k2①，

同理，∴BF2=21+k2-1+k21+2k2②

（i） 由①②得，∴AF1-BF2=21+k21+2k2.解21+k21+2k2=62得k2=12

∵注意到k>0，∴k=22.∴直线AF1的斜率为22.

（ii） 证明：∵AF1∥BF2，∴PBPF1=BF2AF1，即PBPF1+1=BF2AF1+1PB+PF1PF1=BF2+AF1AF1.

∴PF1=AF1AF1+BF2BF1.由点B在椭圆上知，BF1+BF2=22，∴PF1=AF1AF1+BF2（22-BF2）.

同理PF2=BF2AF1+BF2（22-AF1）.

∴PF1+PF2=AF1AF1+BF2（22-BF2）+BF2AF1+BF222-AF1=22-2AF1.BF2AF1+BF2

由①②得，AF1+BF2=22k2+12k2+1，AF1·BF2=k2+12k2+1，

∴PF1+PF2=22-22=322.∴PF1+PF2是定值.

方法二：由（1）得F1（-1，0），F2（1，0），又∵AF1∥BF2，

∴设AF1，BF2的方程分别为my=x+1，my=x-1，A（x1，y1），B（x2，y2），y1>0，y2>0.

∴x212+y21=1

my1=x1+1（m2+2）y21-2my1-1=0y1=m+2m2+2m2+2.

∴AF1=（x1+1）2+（y1-0）2=（my1）2+y21=m2+1·m+2m2+2m2+2=2（m2+1）+mm2+1m2+2.①

同理，∴BF2=2（m2+1）-mm2+1m2+2.②

（i） 由①②得，∴AF1-BF2=2mm2+1m2+2.

解2mm2+1m2+2=62得m2=2

∵注意到m>0，∴m=2.∴直线AF1的斜率为1m=22.

（ii） 证明：同方法一可以得到，∴PF1+PF2=22-2AF1·BF2AF1+BF2，由①②得，AF1+BF2=22（m2+1）m2+2，AF1·BF2=m2+1m2+2，∴PF1+PF2=22-22=322.

∴PF1+PF2是定值.

方法三：延长AF1交椭圆于点B′，则点B′与B点关于原点对称，

设A（x1，y1），B′（x2，y2），B（-x2，-y2），则AF1=ex1+a2c=ex1+a，BF2=ea2c-（-x2）=a+ex2

∴AF1-BF2=（ex1+a）-（a+ex2）=e（x1-x2）=62，即x1-x2=3

（i）由题意设直线AF1的方程为y=k（x+1）（k≠0），由y=k（x+1）

x22+y2=1得（2k2+1）x2+4k2x+2k2-2=0

∴x1+x2=-4k22k2+1，x1x2=2k2-22k2+1

∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=-4k22k2+12-42k2-22k2+1=3

化简得12k4+4k2-5=0，解得k2=12或k2=-56

∵注意到k>0，∴k=22.∴直线AF1的斜率为22.（ii） 证明：同方法一可以得到，∴PF1+PF2=22-2AF1·BF2AF1+BF2

∴AF1+BF2=（ex1+a）+（a+ex2）=e（x1+x2）+2a=22-4k22k2+1+22

∴AF1·BF2=（ex1+a）（a+ex2）=12x1x2+（x1+x2）+2=k2-12k2+1+-4k22k2+1+2

∴AF1+BF2=22（k2+1）2k2+1，AF1·BF2=k2+12k2+1，∴PF1+PF2=22-22=322.

∴PF1+PF2是定值.

点拨在解决此类问题时应注意以下几点：

（1）注意条件“A，B是椭圆上位于x轴上方的两点”中所提到的对A，B纵坐标的要求。

（2）（i）题中条件“AF1-BF2=62”隐含了直线AF1斜率为正这一条件。

（3）当直线的斜率未确定的情况下，有两种处理方法：一种可以采用分类讨论的思想，另一种可以采用my=x+1，my=x-1，这样的直线方程假设方式就可以避免讨论。

奇思妙想 已知椭圆C：x2a2+y2=1（a>1）的右焦点为F（c，0）（c>1），点P在圆O：x2+y2=1上任意一点（点P在第一象限内），过点P作圆O的切线交椭圆C于两点Q，R.

（1）证明：|PQ|+|FQ|=a；

（2）若椭圆离心率为32，求线段