三角形、四边形知识点总结（精选11篇）
一、相交线
1.线段的垂直平分线：
（1）定义：垂直且平分一条线段的直线，叫做线段的垂直平分线。
（2）性质：线段垂直平分线上的点，到线段两端点的距离相等。
角的平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
二、平行线
1.定义：在同一平面内不相交的两条直线，叫平行线。
2.性质：（1）两直线平行，同位角相等。（2）两直线平行，内错角相等（3）两直线平行，同旁内角互补（4）平行线间的距离相等（5）平行线截相交两条直线，对应线段成比例。
3.判定：（1）同位角相等，两直线平行（2）内错角相等，两直线平行（3）同旁内角互补，两直线平行
（4）平行于同一直线的两直线平行。（5）垂直于同一直线的两直线平行。第二节 三角形 一、三角形的分类 二、三角形的边角关系 1.边与边的关系
（1）△两边之和大于第三边（2）△两边之差小于第三边 2.角与角关系
（1）△三个内角的和等于180°
（2）△的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
（3）△的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
五、特殊三角形 1.等腰△
（1）性质：1）两腰相等2）两个底角相等3）底边上“三线合一”4）轴对称图形（1条对称轴）
（2）判定：1）两边相等的三角形是等腰△ 2）两个角相等的三角形是等腰△ 2.等边△
性质：1）三边相等2）三个角相等，都等于60° 3）三边上都有“三线合一”4）轴对称图形（3条对称轴）
3.Rt△
（1）性质：1）两个锐角互余 2）勾股定理 3）斜边上中线等于斜边的一半 4）30°角所对的直角边等于斜边的一半
（2）判定：1）有一个角是直角的三角形 2）勾股定理逆定理
第三节 全等三角形
1.对应边相等 2.对应角相等
3.对应线段（高线、中线、角平分线）相等 4.全等三角形面积相等
三、判定：（SAS）（AAS）（ASA）（SSS）（HL）
第四节 四边形
一、特殊四边形
二、平行四边形
（1）性质：1）边：对边平行且相等2）角：对角相等，邻角互补3）对角线：互相平分4）对称性：中心对称图形
（2）判定：1）边：两组对边分别平行 两组对边分别相等 一组对边平行且相等 2）对角线：对角线互相平分 3）角：两组对角分别相等。
三、矩形
1.性质：（1）具有平行四边形的一切性质（2）4个角都是直角（3）对角线相等（4）既是中心对称图形，又是轴对称图形
2.判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）有三个角是直角的四边形是矩形（3）对角线相等的平行四边形是矩形
四、菱形
1.性质：（1）具有平行四边形的一切性质（2）四条边都相等（3）对角线互相垂直，且平分内对角 2.判定：（1）邻边相等的平行四边形是菱形（2）四边都相等的四边形是菱形（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
五、正方形：
（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
六、梯形
1.等腰梯形的性质：（1）两腰相等（2）两底角相等（3）两条对角线相等（4）轴对称图形 2.直角梯形的性质：一腰与底垂直 3.梯形中常用辅助线
七、多边形
1.n边形内角和（n-2）·180° 2.n边形外角和为360° 3.n边形对角线条数
例1 已知直线AB和CD相交于O点，射线OE⊥AB于O，射线OF⊥CD于O，且∠BOF=25°，求：∠AOC与∠EOD的度数。（画出图形，结合图形计算）
1.如图：在□ABCD中，M和N分别为AD、BC的中点，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F。求证：四边形ENFM是平行四边形
2.如图：在正方形ABCD中，AB=3，过边AB上的一个三等分点N作NE//AD,交CD于E，以过A的一条直线为折痕，将点B折至NE上，这个落点为P，折痕与BC交于F,求：BF的长。
5.）如图，四边形ABCD是平行四边形，EF分别是BC、AD上的点，∠1=∠2.求证：△ABE≌△CDF.【答案】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，AB=DC，又∵∠1=∠2，∴△ABE≌△CDF（ASA）.２．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.(1)求证：△ADF∽△DEC(2)若AB＝4,AD＝33,AE＝3,求AF的长.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC AB∥CD ∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180°
∵∠AFE+∠AFD=180 ∠AFE=∠B ∴∠AFD=∠C ∴△ADF∽△DEC(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC CD=AB=4 又∵AE⊥BC ∴ AE⊥AD 在Rt△ADE中，DE= ∵△ADF∽△DEC ∴
AD2AE2(33)2326
菱形、正方形是这类四边形的特殊情况.高一学习钝角的三角函数及诱导公式后，对角线夹角为θ的四边形面积也可求：
作者简介岳昌庆，男，河南人，1967年10月生，硕士，副编审.中学数学教学研究.已在30余种报刊发文50余篇.曾任北师大附中教师、《数学通报》编辑等.
初中数学教学中，经常会遇到直角坐标系中的三角形、四边形的面积问题.我们有：对角线互相垂直的四边形的面积等于这两条对角线乘积的一半.（证明略）
菱形、正方形是这类四边形的特殊情况.高一学习钝角的三角函数及诱导公式后，对角线夹角为θ的四边形面积也可求：
作者简介岳昌庆，男，河南人，1967年10月生，硕士，副编审.中学数学教学研究.已在30余种报刊发文50余篇.曾任北师大附中教师、《数学通报》编辑等.
初中数学教学中，经常会遇到直角坐标系中的三角形、四边形的面积问题.我们有：对角线互相垂直的四边形的面积等于这两条对角线乘积的一半.（证明略）
菱形、正方形是这类四边形的特殊情况.高一学习钝角的三角函数及诱导公式后，对角线夹角为θ的四边形面积也可求：
相似形与相似三角形
基本概念：
1.相似形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，我们称它们互为相似形。
2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。
1．几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理）
（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.已知a∥b∥c,A
D
a
B
E
b
C
F
c
可得
等.（2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.A
D
E
B
C
由DE∥BC可得：.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.（5）①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
②比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即＝，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段。
2．比例的有关性质
①比例的基本性质：如果，那么ad=bc。如果ad=bc（a，b，c，d都不等于0），那么。
②合比性质：如果，那么。
③等比性质：如果==(b+d++n≠0)，那么
④b是线段a、d的比例中项，则b2＝ad.典例剖析
例1：①
在比例尺是1：38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约7cm，则它的实际长度约为______Km.②
若
=
则=__________.③
若
=
则a：b=__________.3．
相似三角形的判定
（1）
如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
（2）
两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。
（3）
三边对应成比例的两个三角形相似。
补充：相似三角形的识别方法
(1)定义法：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。
(2)平行线法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。
注意：适用此方法的基本图形，(简记为A型，X型)
(3)三边对应成比例的两个三角形相似。
(4)两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。
(5)两角对应相等的两个三角形相似。
(6)一条直角边和斜边长对应成比例的两个直角三角形相似。
(7)被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。
【基础练习】
（1）如图1，当
时，△ABC∽
△ADE
（2）如图2，当
时，△ABC∽
△AED。
（3）如图3，当
时，△ABC∽
△ACD。
小结：以上三类归为基本图形：母子型或A型
（3）如图4，如图1，当AB∥ED时，则△
∽△。
（4）如图5，当
时，则△
∽△。
小结：此类图开为基本图开：兄弟型或X型
典例剖析
例1：判断
①所有的等腰三角形都相似．
（）
②所有的直角三角形都相似．
（）
③所有的等边三角形都相似．
（）
④所有的等腰直角三角形都相似．
（）
例2：如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AD于E,交BC的延长线于F
求证：
△ABF∽
△CAF.例3：如图：在Rt
△
ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，若
AB=6
；AD=2；
则AC=
；BD=
；BC=；
例3：如图：在Rt
△
ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，若E是BC中点，ED的延长线交BA的延长线于F，求证：AB
:
AC=DF
:
BF
第二节
相似三角形的判定
(一)相似三角形：定义
1、对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．
温馨提示：
①当且仅当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；
②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；
③对应中线之比、对应高之比、对应角平线之比等于相似比。
④两个钝角三角形是否相似，首先要满足两个钝角相等的条件。
2、相似三角形对应边的比叫做相似比．
温馨提示：
①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．
②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1．
③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．
3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．
4、相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两条边(或其延长线)分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似．
温馨提示：
①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：
∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；
②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明下节相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；
③有了预备定理后，在解题时不但要想到上一节“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．
(二)相似三角形的判定
1、相似三角形的判定：
判定定理(1)：两角对应相等，两三角形相似．
判定定理(2)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
判定定理(3)：三边对应成比例，两三角形相似．
温馨提示：
①有平行线时，用上节学习的预备定理；
②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理1或判定定理2；
③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3．但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．
例1.如图三角形ABC中，点E为BC的中点，过点E作一条直线交AB于D
点，与AC的延长线将于F点，且FD=3ED，求证：AF=3CF2、直角三角形相似的判定：
斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
温馨提示：
①由于直角三角形有一个角为直角，因此，在判定两个直角三角形相似时，只需再找一对对应角相等，用判定定理1，或两条直角边对应成比例，用判定定理2，一般不用判定定理3判定两个直角三角形相似；
②如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为“母子相似三角形”，其应用较为广泛．
③如图，可简单记为：在Rt△ABC中，CD⊥AB，则△ABC∽△CBD∽△ACD．
直角三角形的身射影定理：AC2=AD*AB
CD2=AD*BD
BC2=BD*AB
总结：寻找相似三角形对应元素的方法与技巧
正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功．通常有以下几种方法：
(1)相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边；
(2)相似三角形中，一对最长的边(或最短的边)一定是对应边；对应边所对的角是对应角；对应边所夹的角是对应角．
2、常见的相似三角形的基本图形：
学习三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对相似三角形的判定思路要善于总结，形成一整套完整的判定方法．如：
(1)“平行线型”相似三角形，基本图形见上节图．“见平行，想相似”是解这类题的基本思路；
(2)“相交线型”相似三角形，如上图．其中各图中都有一个公共角或对顶角．“见一对等角，找另一对等角或夹等角的两边成比例”是解这类题的基本思路；
(3)“旋转型”相似三角形，如图．若图中∠1=∠2，∠B=∠D(或∠C=∠E)，则△ADE∽△ABC，该图可看成把第一个图中的△ADE绕点A旋转某一角度而形成的．
第三节
相似三角形中的辅助线
一、作平行线
例1.如图，的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延长线与BC延长线相交于F，求证：
例2.如图，△ABC中，AB
二、作垂线
例3.如图从
ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证：。
三、作延长线
例4.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分线CH⊥AB于点H，BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21，求△HBC的面积。
例5.如图，RtABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FGAB于G，求证：FG=CFBF
四、作中线
例6
如图，中，AB⊥AC，AE⊥BC于E，D在AC边上，若BD=DC=EC=1，求AC。
五、过渡法（或叫代换法）
有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明．
1、等量过渡法（等线段代换法）
遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。
例1：如图3，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E．求证：DE2＝BE·CE．
2、等比过渡法（等比代换法）
当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。
例2：如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F．求证：．
3、等积过渡法（等积代换法）
思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。
例3：如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，G是DC延长线上一点，过B作BE⊥AG，垂足为E，交CD于点F．
求证：CD2＝DF·DG．
六、证比例式和等积式的方法：
对线段比例式或等积式的证明：常用“三点定形法”、等线段替换法、中间比过渡法、面积法等．若比例式或等积式所涉及的线段在同一直线上时，应将线段比“转移”(必要时需添辅助线)，使其分别构成两个相似三角形来证明．
A
E
F
B
D
G
C
H
例
图
C
E
D
A
F
M
B
例3 如图过△ABC的顶点C任作一直线与边AB及中线AD分别交于点F和E．过点D作DM∥FC交AB于点M．(1)若S△AEF：S四边形MDEF＝2：3，求AE：ED；
(2)求证：AE×FB＝2AF×ED
第四节
相似三角形难题集
一、相似三角形中的动点问题：
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；
（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．
2.如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．
（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；
②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；
（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．
3.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．
（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；
（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？
4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．
（1）当x为何值时，PQ∥BC？
（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．
5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。
（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
三、构造相似辅助线——双垂直模型
6.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式．
7.在△ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB为边在C点的异侧作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．
8.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点．求证：MC：NC=AP：PB．
9.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么D点的坐标为（）
A.B.C.D.10..已知，如图，直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点．以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为1﹕2。
求C、D两点的坐标。
四、构造相似辅助线——A、X字型
11.如图：△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线AE交CD于F。求证：
12.四边形ABCD中，AC为AB、AD的比例中项，且AC平分∠DAB。
求证：
13.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝b，CD＝a，E为AD边上的任意一点，EF∥AB，且EF交BC于点F，某同学在研究这一问题时，发现如下事实：
(1)当时，EF=；(2)当时，EF=；
(3)当时，EF=．当时，参照上述研究结论，请你猜想用a、b和k表示EF的一般结论，并给出证明．
14.已知：如图，在△ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且BE＝EF＝FC。
求BN：NQ：QM．
15.证明：（1）重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的．（注：重心是三角形三条中线的交点）
一、平行线分线段成比例定理及其推论：
1.定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。
3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条线段平行于三角形的第三边。
二、相似预备定理：
平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。
三、相似三角形：
1.定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
2.性质：（1）相似三角形的对应角相等；
（2）相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例；
（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
说明：①等高三角形的面积比等于底之比，等底三角形的面积比等于高之比；②要注意两个图形元素的对应。
3.判定定理：
（1）两角对应相等，两三角形相似；
（2）两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似；
（3）三边对应成比例，两三角形相似；
（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角对应成比例，那么这两个直角三角形相似。四、三角形相似的证题思路：
五、利用相似三角形证明线段成比例的一般步骤：
一定：先确定四条线段在哪两个可能相似的三角形中；
二找：再找出两个三角形相似所需的条件；
三证：根据分析，写出证明过程。
如果这两个三角形不相似，只能采用其他方法，如找中间比或引平行线等。
六、相似与全等：
全等三角形是相似比为1的相似三角形，即全等三角形是相似三角形的特例，它们之间的区别与联系：
1.共同点它们的对应角相等，不同点是边长的大小，全等三角形的对应边相等，而相似三角形的对应的边成比例。
2.判定方法不同，相似三角形只求形状相同的，大小不一定相等，所以改对应边相等成对应边成比例。
常见考法
（1）利用判定定理证明三角形相似；（2）利用三角形相似解决圆、函数的有关问题。
误区提醒
1、把平行四边形沿着它的一条高剪开，就拼成了一个长方形。
2、平行四边形的底等于长方形的长，平行四边形的高等于长方形的宽。
3、因为长方形的面积=长×宽，所以平行四边形的面积=底×高。
二、三角形面积公式的推导过程：
1、两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。
2、三角形的底等于平行四边形的底，三角形的高等于平行四边形的高。
3、三角形的面积等于平行四边形的一半，因为平行四边形的面积=底×高，所以三角形的面积=底×高÷2.三、梯形面积公式的推导过程：
1、两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。
2、平行四边形的底等于梯形的上底加下底，平行四边形的高等于梯形的高。
长三角
长三角是一个具有多重意义的概念。
自然地理概念:
长江入海的地方，由于河水所含的泥沙不断淤积而形成的低平的大致成三角形的
陆地。万里长江由西向东奔向大海，江水滔滔直下，所携带的泥沙在入海口不断淤积，沧海桑田，历经千万年，终于形成坦荡、宽阔的三角形的陆地。
长三角形成原因:
三角洲基底为扬子准地台的一部分。喜马拉雅构造运动中断沉降。第四纪新构造运动中，地壳和海平面频繁升降，最后一次大海侵结束后，长江携带的泥沙不断沉积，开始在江口发育三角洲。
由于科氏力的作用，主江流不断右偏，使江口沙群依次并入北岸。红桥期、黄桥期、金 沙期、海门期、北沙期等形成的沙坝、沙洲群，形成今天长江北岸最大的冲积平原城市盐城，以及邗江、泰兴、靖江、如皋、如东、南通、海门、启东诸县地。江口附近的崇明、长兴、横沙等沙岛，也将按此规律并入北岸。江口沙嘴也同步延伸。
北岸沙嘴延伸为今三角洲北界，地面高6～8米。
南岸沙嘴经江阴、太仓、外冈、马桥一线向东延伸，地面高程4.5～6米左右，与钱塘江北岸相连后达杭州湾。沙嘴内侧的浅水海湾被淤封成为古太湖的前身。此后浅水海湾不断淤浅，逐渐演变为湖荡罗布、河道交错的低平原。南岸沙嘴外侧滨海地区不断淤积成滨海平原。
三角洲上散布着一系列海拔100～300米的残丘，大部由泥盆系砂岩和石炭、二迭系灰岩构成，少数由燕山期花岗岩和粗面岩组成。
气候状况:
主要为亚热带季风气候。过去47年和25年期间，长江三角洲年均气温、年均最高和最低气温都显著增加，增温率都是冬季和春季较高，夏季最低。大城市站增温率明显高于小城镇和中等城市站，城市化效应对大城市气温基本上都是增温作用，其中对平均最低气温的增温率及贡献率最大，对平均最高气温都最小。长江三角洲气温变化趋势和增温率、城市化效应的增温率及增温贡献率与其他地区具有较好的一致性。
交通设施:
长江三角洲地区是中国交通最为发达的地区之一。
1、铁路:
京沪铁路、沪宁高铁、沪杭高铁、宁杭高铁、京沪高铁、宁启铁路、沪杭铁路、沪蓉高速铁路合宁段、甬台温铁路、新长铁路、陇海铁路、沪通铁路(建设中)、连盐铁路(建设中)、江苏沿海铁路(建设中)、宁安城际铁路(建设中)。
2、公路:
沪昆高速公路、沿海高速公路(沈海高速公路)、宁杭高速公路、杭绍甬高速公路、苏绍高速公路、绍诸高速公路、嘉绍高速公路、沪宁高速公路、苏嘉杭高速公路、宁合高速公路、宁通高速公路、宁马高速公路、甬舟高速公路、苏州绕城高速公路、锡澄高速公路、江苏沿江高速公路、上三高速公路、甬台温高速公路、扬溧高速公路、京沪高速公路、宁淮连高速公路、宁宿徐高速公路、宁靖盐高速公路、同三高速公路(起点黑龙江省同江市，终点为海南省三亚市)、盐徐高速公路、连徐高速公路。
3、机场
上海浦东国际机场、上海虹桥国际机场、南京禄口国际机场、苏南硕放国际机场、南通兴东机场、常州奔牛机场、徐州观音国际机场、淮安涟水机场、连云港白塔埠机场、盐城南洋机场、扬州泰州机场、杭州萧山国际机场、宁波栎社国际机场、舟山普陀山机场、温州永强国际机场、台州路桥机场、义乌机场、衢州机场、合肥新桥国际机场。
4、航运
上海港、南京港、无锡港、常州港、扬州港、镇江港、泰州港、苏州港、南通港、南通洋口港、盐城大丰港、连云港、宁波港、绍兴港、舟山港、台州港、温州港、乍浦港、马鞍山港。5、桥梁
南京长江大桥、南京长江二桥、南京长江三桥、南京长江四桥、大胜关长江大桥、杭州钱江大桥、钱江二桥(彭埠大桥)、钱江三桥(西兴大桥)、钱江四桥(复兴大桥)、钱江五桥(袁浦大桥)、钱江六桥、钱江七桥、钱江八桥、钱江九桥、钱江隧道(钱江十桥)钱江铁路新桥、江阴长江大桥、马鞍山长江大桥、润扬长江大桥、苏通长江大桥、泰州长江大桥、舟山跨海大桥、东海大桥、钱塘江1-10桥、杭州湾三大通道(杭州湾跨海大桥、嘉绍跨海大桥、崇启大桥(在建)等。
6、海港
1、勾股定理:直角三角形两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方。
2、如下图,在 Rt △ ABC 中,∠ C 为直角,则∠ A 的锐角三角函数为(∠ A 可换成∠ B :
3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦
值。
4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值;任意锐角的余切值等于它的余角的正切 值。
5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要 A 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得 由 B A 对 边 邻边 C A 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得 由 B A
6、正弦、余弦的增减性: 当 0°≤ α≤ 90°时, sin α随 α的增大而增大, cos α随 α的增大而减小。
7、正切、余切的增减性: 当
0°<α<90°时, tan α随 α的增大而增大, cot α随 α的增大
而减小。
1.若α为锐角,则 0__sin α__1;0__cos α__1.2.已知 cosA=23 ,且∠ B=900-∠ A ,则 sinB=__ 3.计算: 2sin450-21 cos600= __ 4.计算: 2sin450-3tan600= __ 5.计算:(sin300+tan450 ·cos600= __ 6.若 0<α<900, sin α=cos600,则 tan α= __ 7.在 Rt △ ABC 中,∠ C 为直角, ∠ A=300,则 sinA+sinB=(A.1;B.23 1+;C.22 1+;D.41 8.已知 sinA=21(∠ A 为锐角 ,则∠ A=_________, cosA___, tanA=__________.9.在 Rt △ ABC 中,∠ C 为直角, AC=4, BC=3,则 sinA=(A.43;
B.34;C.53;D.54.10.在 Rt △ ABC 中,∠ C 为直角, sinA=22 ,则 cosB 的值是(A.21;B.2;C.1;D.22 11.当锐角 A>450时, sinA 的值(A.小于 22;B.大于 22;C.小于 2 D.大于 23 12.若两圆的半径分别是 1cm 和 5cm ,圆心距为 6cm ,则这两圆 的位置关系是(A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 13.⊙ O 的半径为 5,圆心 O 到直线 l 的距离为 3,则直线 l 与⊙ O 的位置关系是(A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确 定
14.在平面直角坐标系中,以点(2, 3为圆心, 2为半径的圆 必定(A.与 x 轴相离、与 y 轴相切 B.与 x 轴、y 轴都相离 C.与 x 轴相切、与 y 轴相离 D.与 x 轴、y 轴都相切 15.一条弧所对的圆心角是 90 ,半径是 R ,则这条弧的长是.16.若弧 AB 的长为所对的圆的直径长, 则弧 AB 所对的圆周角的 度数为 17.扇形的周长为 16,圆心角为 360 ,则扇形的面积是(A.16 B.32 C.64 D.16π
18.一个扇形的半径等于一个圆的半径的 2倍, 且面积相等.求 这个扇形的圆心角.19.半径为 6cm 的圆中, 60 的圆周角所对的弧的弧长为.20.半径为 9cm 的圆中, 长为 12cm π的一条弧所对的圆心角的度 数为.21.如图, A 是⊙ O 外一点, B 是⊙ O 上一点, AO• 的延长线交⊙ O 于点 C ,连结 BC ,∠ C =22.5°,∠ A=45°。求证:直线 AB 是⊙ O 的切线。
一、活动目标
1.经历阅读、思考、解答并与同伴交流关于平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式教学的相关资料与问题。
2.明确化归法的含义。能够分清平行四边形、三角形与梯形的面积这三个公式教学时,教学目标上的相同与不同点。
3.能了解平行四边形面积计算公式教学的不同引入方法,并对不同的引入方法的优点与不足进行分析。
4.能够明确如何引导学生探索平行四边形面积计算公式。
二、活动时间
教研活动可以分成两个时间段,第一段是交流本方案中的问题60分钟。然后是一个老师上课,上平行四边形面积计算公式这节课40分钟,评课再50分钟。共2个半小时,可以在同一个半天中,也可以分开。可以根据学校教研活动的时间和教研组老师的情况,选择下面“活动前准备”中的一些问题进行解答与交流。
三、活动前准备
先让全组数学教师解答下面的问题,并准备在小组或全数学组交流。(注:以下带有*号表示问题有一定的难度。
(一
⒈你认为“平行四边形的面积、三角形的面积和梯形的面积计
算公式”这三块教学内容,小学生应该先学哪一块内容?为什么?现行的小学数学教材中,学生学习这三块内容的顺序是怎样的? ⒉平行四边形、三角形和梯形这三个图形的面积公式推导时,都运用了化归的方法(也有人叫它是转化的方法。
(1请你写一写什么叫化归法?如果你不能直接写出化归法的含义,那么,请你试着先举出运用化归法解决数学问题的例子,然后再试着写一写什么叫做化归法。
(2请你阅读下面的文章,阅读完后,请在数与代数和图形与几何的领域中各举一个运用化归法解决问题的例子。
如果问,数学家与其他科学家在解决问题时,在思维方法上有什么特别的地方?可能的回答是:数学家的思维方式更善于运用化归法。有人曾对“化归法”作过生动的比拟。“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴,现在的任务是要烧水,你应当怎样去做?”。正确的回答是:“在水壶中放进水,点燃煤气,再把水壶放到煤气灶上。”接着又提出第二个问题:“假设其他的条件都不变,只是水壶中已有了足够的水,这时你应该怎样去做?”。对此,人们往往回答说:“点燃煤气,再把壶放到煤气灶上。”但这并不是最好的回答,因为“只有物理学家才这样做,而数学家则会倒去壶中的水,并且声称我已经把后一问题化归成先前的问题了。”
这个比喻固然有点夸张,但却道出了化归的根本特征。利用化归法解决问题的过程可以简单地用以下框图表示:
又如,当我们已经知道三角形内角和是180°后,(凸多边形的内角和的问题可以按照下面的方法来解决。
图1 如上图1所示,因为,四边形可以分割成两个三角形,所以,它的内角和是2×180°=(4-2×180°;因为,五边形可以分割成三个三角
形,所以,它的内角和是3×180°=(5-2×180°;因为,六边形可以分割成四个三角形,所以,它的内角和是4×180°=(6-2×180°;因为7边形可以分割成5个三角形,所以,它的内角和是5×180°=(7-2×180°;
……
一般地,因为n边形可以分割成(n-2个三角形,所以,它的内角和是(n-2×180°。从上面的分析可以知道,解决多边形内角和问题的关键是把多边形分割成(若干个三角形,这实质上已经把原来的求多边形内角和的问题化归成求三角形内角和的问题。而三角形内角和的问题已经解决,从而多边形内角和的问题也可以解决。
可以用下图直观的表示:
⒊如果用三节新课分别教学平行四边形、三角形和梯形面积的计算公式,那么这三节课的教学目标有哪些相同的地方?有哪些不同的地方? ⒋大家知道,如果先学习习近平行四边形的面积计算公式,那么可以用两个完全相同的三角形或梯形拼成一个平行四边形的方法,推导出三角形或梯形的面积计算公式,因此,这两个面积计算公式的教学可以有不同的课时设计。以下是两个不同的教学顺序: 教学顺序一:(1三角形面积计算公式新课(一课时;(2三角形面积计算公式练习课(一课时;(3梯形面积计算公式新课(一课时;(4梯形面积计算公式练习课(一课时;(5三角形与梯形面积计算的综合练习课(一课时。按照这样的教学顺序进行教学,一共安排5课时。
教学顺序二:
(1三角形与梯形面积计算公式新课(一课时;(2三角形与梯形面积的练习课(三课时;(其中第一课时重点练习三角形面积计算公式的应用,但也有梯形面积公式的应用练习;第二课时重点练习梯形面积计算公式的应用,但也有三角形面积计算公式的应用练习。第三课时是三角形与梯形面积计算公式的综合应用练习。共安排了4课时。
请你回答下面的问题:(1上面的两种不同的教学顺序你更喜欢哪一种?喜欢的主要理由是什么。(2从学生作业错误率的高低来看,凭你的经验,觉得按照顺序一这样教学,一开始的错误率会高还是低?大约到第几节课时,学生的错误率最高?按照顺序二教学,错误率的高低又是怎样变化的?(3有人认为:“不能简单地说上面的哪一种教学顺序更好。而应该根据对不同的学生实际,不同难度的数学教学内容来确定不同的顺序。”你同意这个观点吗?以下的一些情况,你认为分别运用哪一种教学顺序更合适?请在括号内分别写出顺序一或二。并简要说明理由。
①班级学生的数学基础相对比较弱;(②班级学生的数学基础相对比较好;(③数学教学的内容比较抽象,学生学习的难度比较大;(④学生学习的数学内容难度比较小;((4如果对两个基础差不多的班级学生,分别用上面的两种顺序进行教学,那么这两个班的学生,在三角形与梯形的面积计算公式的理解与掌握水平上会有差异吗?如果没有差异,主要原因是什么?如果有,主要差异是哪些?(5*如果要运用上面的两种不同的教学顺序设计做一个对比教学实验,那么,这个实验的主要过程是哪些?请你写一写。
(二
⒌按照现行教材的编写顺序,在学习习近平行四边形面积计算公式之前,学生有哪些知识和经验与学习这一知识密切相关? ⒍*在学生没有学习习近平行四边形面积公式之前,如果给他们一个平行四边形的纸片,让他们求出这个平行四边形的面积,他们可能会运用什么样的方法?(如果读者感兴趣,可以把了解学生学习习近平行四边形的面积计算公式的起点,作为一个专题来研究,写成专题研究文章,即通过调查,包括访谈,了解到学生的学习起点和解决问题的不同思路。
⒎一个老师在上平行四边形面积计算公式这节课时,设计了开门见山的导入方式,上课一开始教师就在黑板上写出:平行四边形的面积。并问:看到这个课题,你想提出什么数学问题。(学生提问。教师根据学生的提问梳理筛选出学习目标:(1什么是平行四边形的面积?(2怎样计算平行四边形的面积?(3计算平行四边形的面积有什么用处? 你喜欢这样的开头方式吗?你觉得这样的设计有什么优点?有什么不足? ⒏大家知道,在学习习近平行四边形的面积计算公式之前,学生已经学过了长方形的面积计算公式,但在长方形的面积计算公式推导中,学生并没有学到“图形的面积大小与高有关”这一知识点,也没有相应的基本活动经验。在平行四边形的面积计算公式推导中,学生将第一次接触“图形的面积与高有关”这一知识。掌握这一知识对于推导三角形和梯形的面积计算公式,显然有着十分重要的意义。想一想,你有什么办法可以让学生明确平行四边形的面积大小与高有关?下面的做法是否可以使学生明确到这一点? 先用硬纸板做一个平行四边形的框架,然后拉动变形,使得变化出的平行四边形有不同的高。拉动时,先定格在一个位置,让学生观察这时平行四边形的底、高和面
积等因素,再拉动定格在另一位置,让学生观察、想象、思考:两个不同位置时平行四边形的什么变了?什么没有变? 再做一个课件,在网格中先出示一个平行四边形,然后慢慢的不断变化,把变化前后的几个平行四边形都呈现出来(如下图2,让学生观察、想象、思考:什么在变?什么没有变?平行四边形的面积大小是怎么变化的?底与高是怎样在变化?面积的大小与什么有关?
图2 ⒐有一个老师在备平行四边形面积教学这节课时,做了以下的预设:今天我们来研究平行四边形的面积(板书课题。这里有两个图形(如图3,一个是长方形,一个是平行四边形,请大家先测量出必要的数据,再通过计算求出它们的面积。
图3 预设:第一个图形是长方形,学生会先量出(或数出它的长是6厘米,宽是4厘米,从而计算出面积是6×4=24(平方厘米。
第二个图形是平行四边形,学生可能会运用以下的一些方法求出它的“面积”:
方法一:先量出横的(水平的底是6厘米,斜的(倾斜的底是5厘米,从而计算出面积是6×5=30(平方厘米。这实质上是学生的猜想,这部分学生认为平行四边形面积等于相邻两边的乘积。
方法二:先测量出平行四边形相邻两条边的长度(也是两条底边的长度,分别是6厘米和5厘米,再计算出面积是(6+5×2=22(平方厘米。这是学生的又一个猜想。
方法三:先画出这个平行四边形底边上的高,再量出高是4厘米,底是6厘米,面积是6×4=24(平方厘米。这也是学生的一个猜想。
在学生有这些猜想后,接着就是运用各种方法来验证猜想是否正确。……。在上面的预设中,你觉得:(1学生有可能象方法一这样求平行四边形的面积吗?(2认为平行四边形面积等于相邻两边乘积的学生数占全班的百分比大约是多少?(3学生为什么会认为:平行四边形的面积等于相邻两边的乘积呢?也就是他们产生这一结论的主要原因是什么?(4可以设计怎样的教学过程,逐步引导学生自己认识到:“平行四边形面积等于相邻两边的乘积”这一结论是错误的?适当地改进上面第9题的演示过程,可以让学生明确这一点吗? ⒑在平行四边形面积计算公式教学时,要运用化归的方法,把平行四边形转化成为已经知道面积计算公式的长方形。这是学生第一次接触到剪、拼转化的方法。想一想,你可以通过怎样的引导过程,能够使更多的学生自己想到用这种剪、拼的方法? 下面是两个不同的引导过程,你更喜欢哪一个设计?为什么?(1整体入手的方法:教师向学生说明,下面将出示一些图形,要求他们求出这些图形的面积。如果图形中有方格,那么一个小方格代表1平方厘米。
(1(2(3
(4(5(6 图4
①出示上图4(1,让学生说一说它的面积是多少。可以用什么方法知道这个长方形的面积。交流后得到可以用数方格(数方格法和测量出长与宽的长度再计算出面积(公式法这两种方法。板书:数方格法:要把图形放在网格中。公式法:要测量出相关线段的长度,然后运用这些长度进行计算,从而得出这个图形的面积。
②出示图4(2,让学生说出面积是多少。并进一步明确可以用数方格法和公式法得出面积。引出剪、拼转化的思想,讨论交流:剪、拼转化前后两个图形的什么变了(形状变了,什么没有变(面积的大小没有变。如果要用公式法计算这个图形的面积,需要测量出哪几条线段的长度(或者说哪几条线段的长度需要知道。
③出示图4(3,与上述过程②类似。并进一步讨论出可以在不同的地方剪开,再拼。强调用剪、拼的方法转化成已经知道面积计算公式的图形时,要注意剪、拼前后两个图形的比较与分析。
④出示图4(4,让学生分别用数方格法和用剪、拼的方法得出这个平行四边形的面积。比较剪、拼前后的两个图形,得出如果要用公式法计算平行四边形面积,那么就要测量出平行四边形的底与高,公式
是：平行四边形面积=底×高。⑤ 出示图 4(5，让学生想一想，要求出这个平行四边形的面积 需要测量哪几条线段的长度。这个图形的面积是多少。⑥ 出示图 4(6，与上述过程⑤类似。要求学生自己画出高，测 量后再求出面积。⑦ 让学生自己在方格纸上任意画一个平行四边形，先用公式法 求出面积，再用数方格的方法进行验证。(2 局部入手的方法(数方格的方法：学生在学习长方形面积计 算公式时，是先用面积单位去度量，然后发现规律得到公式的。因此，用数方格的方法
求出一个图形的面积学生有一定的活动经验。让学生用 数方格的方法求平行四边形的面积，当遇到不是正好一格的时候，就要 想办法拼成一整格，要找到两个(或几个不到一整格的图形，使这些图 形可以拼成一整格，即拼成一个小正方形。这样就会有部分学生想到把 不到一格的剪下来，与另一个不到一格的图形拼在一起。在面积不变的 情况下，把不是整格的图形转化为整格。这可能是最容易想到用剪、拼 方法的地方，也可能是剪、拼方法产生的最直接原因。学生在小范围的 部分剪、拼中(从理论上说，每次剪下的一块都是可以是不足一整格的，逐步发现较大范围的整体剪、拼，即可以剪下一个三角形(或梯形，再 通过两个三角形(或梯形拼在一起，可以得到一个长方形，从而把平行 四边形转化成了已经知道面积计算公式的长方形了。这就是剪拼转化思 想的产生的整个过程。具体的操作过程如下： ① 出示图 5，先说明每一个小方格表示 1平方厘米，再让学
生数一数(用数格的方法这两个面积各是多少平方厘米。图5 学生数后思考：哪一个图形的面积容易数出？为什么？这个平行 四边形的面积是多少？你是怎样数的？ 交流后得出：长方形的面积容易数出，因为它都是整格的。长方 形的面积计算已经有了公式，只要计算长×宽就可以得到面积。平行四 边形的面积不容易数出，因为有不到一整格的情况。但可以先数整格的，再把不到一整格的拼起来再数：先数整个的小方格，一行有四个，有三 行，共 12 个。另外左右两边各有三个半格，每行左右的两个半格可以 拼成一个整格，这样可以拼出三个整格(如图 6(2，所以这个平行四边 形的面积是 12+3=15平方厘米。(1(2 图6 比较图 6（1、(2两个图形，想一想，什么变了？什么没有变？在上 面的过程中，老师要强调每一行的左右两个半格都可以通过剪、拼的方 法得到一整格。② 先要求学生继续用数方格的方法求下面图 7 中左右两个平行
四边形的面积。由于在下面图 7 中的两个平行四边形中，不到一格的又 不是正好半格，这样的格子怎么计数，就需要学生动脑思考。由于有了 上面左右两个半格剪拼成一格的经验，部分学生会先发现左右两个不到 一整格可以剪拼成一整格。并进一步发现沿着高剪下三角形(或梯形拼 成长方形进行化归的过程。图7 引导学生比较转化前后两个图形的关系，并思考测量出平行四边形 中哪些线段的长
1、平行四边形的性质：
平行四边形的判定：
2、三角形的中位线：
三角形的中位线定理：
3、矩形的性质：
矩形的判定：
4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
5、菱形的性质：
菱形的判定：
6、正方形的性质：
正方形的判定：（定义）
7、梯形的定义：（判定）
等腰梯形的性质：
等腰梯形的判定：
辅助线的引法：
8、重心：A、线段的重心就是线段的中点。B、平行四边形的重心是对角线的交点。C、三角形的重心是三条中线的交点。D、任意图形的重心用线锤法寻找。
1、平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、平行四边形的性质
(1)平行四边形的对边平行且相等。(对边)
(2)平行四边形相邻的角互补，对角相等(对角)
(3)平行四边形的对角线互相平分。(对角线)
(4)平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
常用点：(1)若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。
(2)推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
3、平行四边形的判定
(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。(对边)
(2)定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。(对边)
(3)定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。(对边)
(4)定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。(对角)
(5)定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。(对角线)
4、两条平行线的距离
两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。 注意：平行线间的距离处处相等。
5、平行四边形的面积: S平行四边形=底边长×高=ah
111
二、菱形
1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2、菱形的性质
(1)菱形的四条边相等，对边平行。 (边)
(2)菱形的相邻的角互补，对角相等。(对角)
(3)菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。(对角线)
(4)菱形既是中心对称图形又是轴对称图形;对称中心是对角线的交点(对称中心到菱形四条边的距离相等);对称轴有两条，是对角线所在的直线。
3、菱形的判定
(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
(2)定理1：四边都相等的四边形是菱形。(边)
(3)定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。(对角线)
(4)定理3：对角线垂直且平分的四边形是菱形。(对角线)
4、菱形的面积： S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半
三、矩形
1、矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质
(1)矩形的对边平行且相等。(对边)
(2)矩形的四个角都是直角。(内角)
(3)矩形的对角线相等且互相平分。(对角线)
(4)矩形既是中心对称图形又是轴对称图形;对称中心是对角线的交点(对称中心到矩形四个顶点的距离相等);对称轴有两条，是对边中点连线所在的直线。
3、矩形的判定
(1)定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
(2)定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。(角)
(3)定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。(对角线)
※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
4、矩形的面积:S矩形=长×宽=ab
四、正方形
1、正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、正方形的性质
(1)正方形四条边都相等，对边平行。(边)
(2)正方形的四个角都是直角 (角)
(3)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角(对角线)
(4)正方形既是中心对称图形又是轴对称图形;对称中心是对角线的交点;对称轴有四条，是对角线所在的直线和对边中点连线所在的直线。
3、正方形的判定
(1)定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
(2)定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形。
(3)定理2：对角线互相垂直的矩形是正方形。
(4)定理3：有一个角是直角的菱形是正方形。
(5)定理4：对角线相等的菱形是正方形。
(6)定理5：对角线垂直且相等的平行四边形是正方形。
判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：
(1)先证它是矩形，再证它是菱形。
今年以来，我区根据《2017年温州市“四边三化”行动考核办法》的要求，制订出台了《2017瓯海区“四边三化”行动考核办法》，建立区四套班子领导成员督促挂钩联系镇街制度，全力推进“四边三化”工作。同时，以“拆、清、绿”为重点，迅速行动、统筹协调，出动人员11496人次，共清理垃圾 8337.67吨。完成省级重点问题点整治6处，市级问题点位31处。铁路边省政协专项民主监督中发现的5个问题点已完成整治并销号。共改造坟墓612座，河边第一季度市级考核扣分点78处，现已全部整改到位。彩钢房建筑物整治上，坚持拆、改、换、喷、管并重，在全区排摸梳理出了172处需要整治的彩钢房违建，并以责任清单强化整改落实，截至目前，已完成整治57处，面积5.45万平方米。启动了金丽温高速瓯海段、G104国道瓯海段2条精品示范路创建。与此同时，制定《瓯海区“四边三化”“ 互查、互比、互学”活动方案》，全力推进四边三化工作。“四边”区域脏、乱、差问题得到有效的解决，城镇环境面貌显著改善。
存在问题
1、矿山治理方面。省级整改点潘桥建冬矿区实际治理情况与地质大队编制的方案不符，处于停滞状态。市级整改点娄桥东风矿区第二阶段治理尚未启动；潘桥长丰矿区治理方案采用的的数据底图存在问题；天长矿区处于停工状态治理进度没有达到考核要求。
2、公路方面。高速、国省道、通景公路临时停车区还存在抛洒物及乱扔垃圾等现象。
3、铁路方面。考核中发现新增问题整治点位10处，反弹问题15处。
4、青山白化方面。温瑞大道仙岩街道段、104国道丽岙街道段两侧沿线青山白化现象反弹回潮现象比较严重。“四边区域”坟墓生态化改造经费比较短缺，重点地段因治理不够彻底；此外，随着需要治理的区域不断扩大，难度也随之加大。如瓯海大道西段延伸。
5、河边方面。河道周边环境清理保洁责任单位不够明确；河岸河坡垃圾杂物乱堆放、河道黑臭反弹现象是考核扣分的主要项目。此外，由于周边居民保护水质意识不高，污水收集不完全，污水管网故障等原因，影响了河道水质的提升。
6、城区三化方面。绿化带零星垃圾较多、有黄土裸露现象，梅泉街、雪山路沿街店铺超门窗或占道经营、堆放问题较严重，附一医（茶山院区）周边区域存在流动摊贩、店招及广告牌空置破损、小广告乱张贴等情况，2条道路路面单项废弃物（果皮、烟蒂、纸屑、其他废弃物）数量超标，梅泉街道路两侧树穴木板缝隙内杂物较多。
7、其他方面。彩钢房建筑物整治难度大。全区未整治点位115处，共计54537平方米。按照省办通知要求，全省整治工作要求今年11月底前全面整治完成，力争提前到6月底前完成。
下一步工作
1、突出重点。持续推进省级重点问题和自查自纠问题 点位整治工作。继续加大对乱搭乱建、乱采乱挖、废品垃圾、广告牌残留、黑烟囱、青山白化、绿化缺失、矿山整治、赤膊房、蓝色屋面等十大类问题的摸排整治力度，开展高速公路沿线广告牌“清零”行动回头看，全面巩固“两路两侧”整治成果。不折不扣落实省级问题点位和市级问题点位的整改，按时完成市级“四边三化”行动信息平台问题点位的销号。
2、强化考核。一是加强与市三改一拆办的对接；二是将S1线沿线的“三化”列为重点工作来抓。
3、创新载体。全力做好“互查、互比、互学”活动（各镇街问题点位已上报），通过该活动，对各镇街治乱治违、立面改造、环境打造和长效机制建设等工作开展交流学习，在全区营造“比、学、赶、帮、超”的良好氛围。全区互看、互评、互比分两轮进行，上半年重点查找各镇街工作的问题和短板，下半年重点学习先进工作经验。通过“互查、互比、互学活动”促进我区四边区域环境进一步提升。
4、攻坚克难。对照考核情况，对扣分严重的问题点进行梳理，并对“短板”问题进行破难攻坚。针对“两路两侧”乱搭乱建、田间疤点、山体裸露以及“蓝色屋面”等问题，通过领导督办、内部考核、专报通报等措施予以落实。如省政协王建满副主席提到的动车站北侧的山体裸露问题，我们将列为重点攻坚项目。
5、打造亮点。按照“高起点、高标准、高品质”的目标，以“最美系列”、精品示范线创建为契机，在解决沿线十大类问题的基础上，深化“四边”区域环境综合整治。从绿化、彩化和沿线立面改造等方面打造亮点，加大田间地头和庭院环境提升，促进沿线环境综合提升，展示瓯海美丽形象，努力把“四边”区域打造成“美丽瓯海”的标志线和风景线。
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