对数的运算性质教案

对数的运算性质教案（精选7篇）

对数的运算性质教案 篇1

3.2.1对数的运算性质

一、教学目标

1．理解并掌握对数性质及运算法则，能初步运用对数的性质和运算法则解题； 2．通过法则的探究与推导，培养学生从特殊到一般的概括思想，渗透化归思想及逻辑思维能力；

二、教学重难点

对数的运算法则及推导与应用；

三、教学方法建议

类比联想，观察验证、推理证明

四、教学过程

教学流程

1、学生背诵：（A）对数的定义：(A)有理数指数幂的运算性质

2、(B)学生展示

（1）已知loga2＝m，loga3＝n，求amn的值．

(2)设logaM＝m，logaN＝n，能否用m，n表示loga(M·N)呢？观察教材P75中3-2-1中的数据，可以发现对数的哪些运算性质：

3、学生互批

学生批改，教师强调学生展示错误的问题

4、精讲归纳

对数的运算性质：(C)（1）loga(M·N)＝logaM ＋logaN(a＞0，a≠1，M＞0，N＞0)；

（2）logMaN＝logaM －logaN(a＞0，a≠1，M＞0，N＞0)；（3）logM na＝nlogaM(a＞0，a≠1，M＞0，nR)典型例题： 例1（1）log

355125；（2）log2(2·4)；

教学方法

类比联想 观察验证，推理证明

对数的运算法则

例2 已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，求下列各式的值(结果保留4位小数)：

（1）lg12；（2）lg2716；

五、课堂检测

1(C)求下列各式的值：

(1)lg25lg(2)log345log35

2(C)已知lg2＝a，lg3＝b，试用含a，b的代数式表示下列各式：（1）lg54；（2）lg2.4；

（3）教材76页练习1-5

六、教学反思

对数的运算性质教案 篇2

教材内容整合遵循的基本原则有两条，一是联系性原则，二是统筹性原则．下面简单谈谈这两条原则在教学实践中的运用．

一、联系性原则

从知识逻辑联系的角度看教材内容整合的必要性．两部分内容的联系点就是指数(运算)与对数(运算)的互逆关系．从直观性看，直接通过指数与对数各组成部分的对比，给出对数定义，指数中底数、指数、幂与对数中底数、真数、对数的概念一目了然．教材在2.2.1“对数与对数运算”中就使用了这种设计．从细节性看，从指数与对数的相互关系出发，利用指数与指数运算的相关性质，可以逐一推导出对数和对数运算的相关性质以及对数的换底公式．对数的难度在于学生对其概念的陌生，捅破入门这层窗户纸的关键就在于，充分利用指数与对数的关系，运用指数的相关知识，得出对数的相关知识．只要在教学中严格要求学生把每一种证明推导方法练熟，把细节的功夫做足做透，就不难收到由渐悟到顿悟的效果．

从新、旧知识教学衔接的角度看教材内容整合的必要性．

从初、高中衔接的角度看，指数与指数幂运算的相关知识，是切入“对数与对数运算”学习的最佳切入点．对数是学生在高中数学学习中遇到的第一个真正意义上的新知识点，这个“新”应该包括两层意思，一是知识的内涵与外延超出了学生原有基础的范围，对数运算是学生接触到的第一种超越运算，其运算性质不同于以往学生掌握的以四则运算为主体的初等代数运算，从对数的定义、性质到对数运算的基本性质，对于学生都是全新的概念．二是与学生原有知识的衔接相对不足．与对数相关的基础知识，在初中阶段，仅仅接触过简单的指数性质与指数运算，且仅涉及整数指数幂的情况．在完成了“指数与指数幂的运算”一节的学习后学生才将整数指数幂的性质与指数运算，扩大到了整个实数域，构建起了一个相对完整的知识体系，同时也为对数与对数运算的学习奠定了基础．

从认知角度看，“先夯实常量基础、后进行变量迁移”，是初等数学学习的最优路径．在初中，学生的数学学习正是从实数、代数式、方程等相关基础知识的不断完善开始，逐步过渡到了函数的学习．高中的函数学习，仍然坚持这一认知路径．指数与对数作为一对互逆的运算，性质相互贯通，运算相辅相成，在函数性质上又互为反函数，因此指数和对数中任何一处知识点的掌握程度，不仅影响到彼此相关知识点的掌握，而且影响到指数函数和对数函数的学习．从整体上抓好指数与对数运算的学习，就是拿到了指、对函数学习的一把钥匙．

二、统筹性原则

教材内容整合，前提是不能违背课程标准和教材设计根本思想．这就要求教师统筹兼顾，既要处理好待整合内容之间的关系，也要妥善处理好剩余内容与之间的关系，使其既要追求局部效果，也要服从于教材的整体设计．这就对教材内容整合提出了两个层次的要求，最高要求是要把剩余内容，根据联系性原则，有机地整合到其他内容中;最低要求是，整合不能背离教材对原教学内容的整体要求，即内容不脱节、时间不超时、难度不超纲．下面以上两节课剩余内容的处理为例，阐释这一原则在教学实践中的应用．

前面分别整合了两节课程的前半部分内容，其中2.1节剩余的内容是2.1.2“指数函数及其性质”，2.2节剩余的内容是2.2.2“对数函数及其性质”．这两节课程内容之间存在整合的可能性，而联系两部分内容的桥梁就是反函数．在教学设计中，可以进行两种设计:

一是通过指数函数与对数函数互为反函数的关系，完成由指数函数向对数函数的过渡．在教学设计中，在完成“指数函数及其性质”的教学后，可以充分利用教材73页的“探究”(探究内容是“在指数函数y=2x中，x为自变量，y为因变量，如把y当成自变量，x当成因变量，那么x是y的函数吗?如果是，对应关系是什么，如果不是，请说明理由”)，引导学生，依据分类讨论思想对相应的对数函数的图像进行描点作图，进而给出对数函数的定义，并探讨其相关性质与图像特点，最后给出两者互为反函数的关系．

执行这种教学设计的前提，是在前期的教学中，学生对指数(运算)与对数(运算)的互逆关系掌握比较充分，运用得心应手．如果没有前一部分的整合，学生对指数(运算)与对数(运算)的关系理解尚不清晰，使用尚不成熟，这种教学设计就很难付诸实践．此外，在教学实践中，教师要对新课改以后的新要求精确掌控，比如，在反函数的教学中，“教科书只要求学生知道同底的指数函数与对数函数互为反函数，不要求学生讨论形式化的反函数，也不要求学生求已知函数的反函数”，在教学实践中，就不应把反函数作“定义化”处理，而徒增教学难度．

二是按照教材顺序，依次完成2.1.2“指数函数及其性质”与2.2.2“对数函数及其性质”的教学，并在最后指出两者具有互为反函数的关系．这是一种稳妥的教学设计，虽然由于前部分的内容整合，而使后面指、对函数的内容略显孤立，但是最后互为反函数的结论，依然突出了两节课之间的联系．教学设计，也较适宜普通班学生基础一般，或者年轻教师驾驭经验不足的情况，对于普通学生夯实基础、巩固提升，年轻教师积累经验、提高能力是一种不错的选择．

对数的运算性质教案 篇3

关键词：对数教学;案例分析;技巧总结

中图分类号：G633.6文献标识码：A     文章编号：1992-7711（2016）03-083-2

为了便于比较，我们不妨先熟悉该课要研究的对数的这三个公式：

1.loga（MN）=logaM+logaN;

2.logaMN=logaM-logaN;

其中a>0，a≠1，M>0，N>0。

3.logaMn=nlogaM，其中a>0，a≠1，M>0，n∈R。

案例1

该教师的上课流程简述如下：

流程（1）复习提问指数幂的三个性质：

am·an=am+n

aman=am-n

（am）n=amn

根据对数的定义，有

logNa=bab=N（a>0，a≠1，N>0）

流程（2）学生观察苏教版普通高中课程标准实验教科书p75表321中的数据，

师引导学生发现、推导以下两个公式：

logaM+logaN=logaMN①

logaM-logaN=logaMN②

（a>0，a≠1，M>0，N>0）

流程（3）师与生一起证明公式①

证明：设logaM=p，logaN=q

则ap=M，aq=N

所以MN=ap·aq=ap+q

loga（MN）=logaap+q=p+q=logaM+logaN

即logaMN=logaM+logaN

公式②让生类比证明。

流程（4）引出公式③

我们还可以得到：

当a>0，a≠1，M>0时，

loga（Mn）=nlogaM③

后面是例题讲评及练习等内容。

点评：该教师刚参加工作，也许学校的集体备课华而不实，从他的上课过程中看不出对教材的二次加工与处理过程，上课属照本宣科。对所教内容不熟，公式的表述与证明不严谨，不利于培养学生思维的严谨性。同时也体现不出教师的示范性。

如果认真分析上述案例，不难发现有以下几点不妥之处：

1.在流程（2）里，公式①中的真数MN丢掉括号，应改成loga（MN）;

2.在流程（2）里，公式①与②等于号左右内容颠倒，不符合常规;

3.在流程（4）里，公式③中的loga（Mn）应改为logaMn，此时真数加括号纯属画蛇添足;

4.在流程（4）里，公式③中没有标明该公式成立的另一个条件n∈R;

5.在流程（4）里还应再补充公式③的推论：logaan=n（其中a>0，a≠1，n∈R）;

6.在流程（3）里公式①的证明过程中，loga（MN）=logaap+q=p+q=logaM+logaN这一步是应用了公式③的推论，这显然是循环论证。这样复习提问过程中的对数的定义logNa=bab=N（a>0，a≠1，N>0）就显得多余的了，因为在证明时，MN=ap·aq=ap+q可由对数的定义而直接得到logaM+logaN=p+q=loga（MN）。这如同登宝山而空手归。尤其值得注意的是这位青年教师所用的典型错误证法流行甚广，用他自己的话说“当初我的老师也是这么教的”。这不能不引起我们反思。

7.在流程（4）里对于公式③没有给出证明过程，过于浮浅，照本宣科。

8.教师没有精心探究上述三个公式的正逆互用及易错点。事实上，教师应高屋建瓴，不仅要让学生明白三个公式可正逆互用，同时还要例举常见的真数没有意义以及误记公式等易错点。教学过程中教师不妨列举出学生常见的一些典错，如：log3（-3）（-5）=log3（-3）+log3（-5）、log10（-10）2=2lg（-10）、loga（M±N）=logaM±logaN、loga（MN）=logaM·logaN、logaMN=logaMlogaN。让学生自我纠错，进而在反思中掌握公式的特点并加深对公式的记忆与理解。

案例2

第二位教师整体构思与第一位教师是相同的，只是他增加了对于公式③的证明过程。简述如下：

证明：设logaM=p，则ap=M，

所以Mn=（ap）n=anp，

logaMn=logaanp=np=nlogaM。

案例3

第三位教师整体构思与第二位教师大致是相同的，只是他对于③的证明过程与第二位教师的方法不一样。简述如下：

由公式logaM+logaN=logaMN可得如下推论：

loga（M1M2…Mn）=logaM1+logaM2+…+logaMn

当M1=M2=…=Mn时，

得到nlogaM=logaMn。

点评：第二位与第三位教师刚带过高三又返回带高一，是有一定教学经验的，他们各自的证法有一定的诱惑性，以致在评课时，几个青年教师还很佩服地认为这两种证明方法是“神到之笔”。果真如此吗？请看下面的证法：

设logaM=p，由对数定义可得M=ap，

∴Mn=anp，

∴logaMn=np=nlogaM。（其中a>0，a≠1，M>0，n∈R）

这种证法与第一种很相似，但他处理的艺术主要体现在对对数定义公式logNa=bab=N（a>0，a≠1，N>0）的应用上。仔细体会不难看出后二位老师的错误之处：第二位教师利用待证公式的特例反过来证明该公式，犯了循环论证的错误;第三位教师把公式中的n想当然地认为是自然数，实际上n∈R，该教师犯了以偏概全的错误。两种错误的证法具有极大的迷惑性，笔者听了两所学校共八节同样的课例，八位教师全部讲错。

反思：

首先是教师的专业知识不精，备课不充分，工作态度不严谨。

教师备课时要做到：内容选择要合理，目标制定要准确，重点难点要把握，学生水平要了解，学习方法要恰当，教学方法要精选，问题设计要精当，教具和课件准备要充分，练习设计要精当。这些都是我们耳熟能详的一些备课要求。但我们往往会漏掉一个重要的方面，就是备课过程中细节问题要关注。课堂教学中的细节问题虽然是一些细小的问题，但是也能影响一堂课的教学效果，细小的问题也能酿成大的失误，因此教师在备课时不要轻易放过每一个细节问题。本文中三位老师对诸多细节处理的失误应引起我们各位数学同仁充分的重视。

其次，教材在对这部分内容的处理上，笔者认为也有值得商榷之处。

在案例1流程（2）中，利用电子表格处理数据，让学生归纳公式是一种创新，但如果能在原表的基础上再增加两列logM3+logN3和logM3-logN3的值，这样学生在观察数据时更易发现规律，当然，如果老师在课堂教学时，能灵活处理教材，上课时在电脑中一边操作一边增加相应的两列数据的产生过程，也能弥补教材的不足。另外，对于教学硬件不具备的学校，教师不能使用电脑演示数据的处理过程，那么教材中给出的电子表格也只能是空中楼阁，倒不如用传统的处理方法也能达到殊途同归的效果，比如让学生先求log22、log24log28、log2（2×4）、log2（82）等对数的值，引导学生发现规律。

教材对于公式logaMn=nlogaM，其中a>0，a≠1，M>0，n∈R的处理对学生的估计过高，只给出公式本身，没有一点提示，本意是培养学生类比联想、观察验证、推理证明的能力。而那么多的老师有的避而不谈，有的谈而出错，学生更难达到预期的效果，倒不如在课本旁边增加相关的探究提示，效果是不是要更好一些呢？

三个公式的证明是本节课的难点，但三个公式的证明有一个共同特点：先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形，然后再根据对数定义将指数式化成对数式。对数定义在证明过程中发挥着关键的作用。

对数运算法则教案 篇4

——对数的运算法则

一、教学内容分析：

本节课课程标准要求理解对数的运算法则，能灵活运用对数运算法则进行对数运算.本节课是在学习了“对数的概念”后进行的，它是上节内容的延续与深入，同时也是研究学习后续知识对数函数的必备基础知识.高考大纲中要求要理解对数的概念及其运算法则。

二、教学目标：

知识与技能目标：

理解并掌握对数法则及运算法则，能初步运用对数的法则和运算法则解题．

过程与方法目标：

通过法则的探究与推导，培养从特殊到一般的概括思想，渗透化归思想及逻辑思维能力．

情感态度与价值观目标：

通过法则探究，激发学习的积极性．培养大胆探索，实事求是的科学精神．

三、教学重难点：

教学重点：对数的运算法则及推导和应用； 教学难点：对数运算法则的探究与证明．

四、教具准备： 幻灯片、课件、多媒体

五、教学方法

本课采用“探究——发现”教学模式

六、教学过程：

（一）复习引入

1、对数的定义及对数恒等式

logaNbabN

（a＞0，且a≠1，N＞0）

2、指数的运算法则

aaa;mnmnaamnmna

amnamn

我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算法则，得出相应的对数运算法则吗？

（二）运算法则

（1）我们知道amanamn，那mn如何表示，能用对数式运算吗？

解： amanamn,设Mam,Nan

于是MNamn,由对数的定义得到MammlogaM,NannlogaN

MNamnmnlogaMN logaMNlogaMlogaN

即：两数积的对数，等于各数的对数的和。

提问：你能根据指数的法则按照以上的方法推出对数的其它法则吗？

（2）我们知道 a



a



a

，那mn如何表示，能用对数式运算吗？

mnmn解：令Mam,Nan,则由对数的定义，MammlogaM,NannlogaN,MMamnmnloga,NNM即logalogaMlogaN,N即：两数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数。

n（3）我们知道

a

m



a

m n

，那mn如何表示，能用对数式运算吗？ 

解：设Mam则Mnamnamn.由对数的定义logaMm,logaMnmn所以logaMnmnnlogaM 即logaMnlogaM（4）对数运算的作用：利用对数法则1和法则2可以使两对数的积、商的对数转化为两对数的各自的对数的和、差运算，法则3是降级运算，这三个法则大大简便了对数式的化简和求值。

（三）应用举例

例1：求下列各式的值：

(1)log2(4725);

(2)lg5100;(1)log2(4725)log247log225log2214log22514log225log221415119例2： 用logax，logay，logaz表示log aloga

2(2)lg100lg105525xyzxylogaxylogaz logaxlogaylogaz z小结：此题关键是要记住对数运算法则的形式。

（四）课堂练习：教材P68练习

（五）课堂小结：

（1）对数运算法则及其成立的条件是什么？

（2）对数运算法则的综合运用同时应注意掌握哪些变形技巧。

（六）布置作业：教科书习题3.2 A组第3题、第4题；第二教材课后练习。

七、板书设计：

§2.2.1 对数运算法则

1.运算法则 3.公式的推导证明 例1 复习引入

2.说明

例2 活动尝试

《对数函数的图像与性质》教案 篇5

(学生1)利用互为反函数的两个函数图像之间的关系，利用图像变换法画图.

(学生2)用列表描点法也是可以的。

请学生从中上述方法中选出一种，大家最终确定用图像变换法画图.

(师)由于指数函数的图像按 和 分成两种不同的类型，故对数函数的图像也应以1为分界线分成两种情况 和 ，并分别以 和 为例画图.

具体操作时，要求学生做到：

(1) 指数函数 和 的图像要尽量准确(关键点的位置，图像的变化趋势等).

(2) 画出直线 .

(3) 的图像在翻折时先将特殊点 对称点 找到，变化趋势由靠近轴对称为逐渐靠近轴，而 的图像在翻折时可提示学生分两段翻折，在 左侧的先翻，然后再翻在 右侧的部分.

学生在笔记本完成具体操作，教师在学生完成后将关键步骤在黑板上演示一遍，画出

和 的图像.(此时同底的指数函数和对数函数画在同一坐标系内)如图：

教师画完图后再利用电脑将 和 的图像画在同一坐标系内，如图：

然后提出让学生根据图像说出对数函数的性质(要求从几何与代数两个角度说明)

3. 性质

(1) 定义域：

(2) 值域：

由以上两条可说明图像位于 轴的右侧.

(3)图像恒过(1,0)

(4) 奇偶性：既不是奇函数也不是偶函数，即它不关于原点对称，也不关于 轴对称.

(5) 单调性：与 有关.当 时，在 上是增函数.即图像是上升的

当 时，在 上是减函数，即图像是下降的.

之后可以追问学生有没有最大值和最小值，当得到否定答案时，可以再问能否看待何时函数值为正?学生看着图可以答出应有两种情况：

当 时，有 ;当 时，有 .

学生回答后教师可指导学生巧记这个结论的方法：当底数与真数在1的同侧时函数值为正，当底数与真数在1的两侧时，函数值为负，并把它当作第(6)条性质板书记下来.

最后教师在总结时，强调记住性质的关键在于要脑中有图.且应将其性质与指数函数的性质对比记忆.(特别强调它们单调性的一致性)

对图像和性质有了一定的了解后，一起来看看它们的应用.

(三).简单应用

1. 研究相关函数的性质

例1. 求下列函数的定义域：

(1) (2) (3)

先由学生依次列出相应的不等式，其中特别要注意对数中真数和底数的条件限制.

2. 利用单调性比较大小

例2. 比较下列各组数的大小

(1) 与 ; (2) 与 ;

(3) 与 ; (4) 与 .

让学生先说出各组数的特征即它们的底数相同，故可以构造对数函数利用单调性来比大小.最后让学生以其中一组为例写出详细的比较过程.

三.拓展练习

练习：若 ，求 的取值范围.

四.小结及作业

案例反思：

对数的运算性质教案 篇6

人教新课标版（B）高一必修一3.2.1对数及其运算(1)教案

教学目标：理解对数的概念、常用对数的概念，通过阅读材料，了解对数的发展历史及其对简化运算的作用

教学重点：理解对数的概念、常用对数的概念.教学过程：

1、对数的概念：

复习已经学习过的运算

指出：加法、减法，乘法、除法均为互逆运算，指数运算与对数运算也为互逆运算：

若

（a0,a1）

2、对数的性质

（1）零和负数没有对数，即（2）1的对数为0，即log10（3）底数的对数为1，即logaa1

3、对数恒等式：aaN

4、常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，记为：log10NlgN

5、例子：

（1）将下列指数式写成对数式

5625 4logN，则 叫做以 为底 的对数。记作：logaNb中N必须大于零； 64a

337

1m

()5.73 26（2）将下列对数式写成指数式

log1164

2log21287 log327a lg0.012

（3）用计算器求值 lg2004

lg0.0168 lg370.125 lg1.732

课堂练习：教材第104页 练习A、B

小结：本节课学习了对数的概念、常用对数的概念，通过阅读材料，了解对数的发展历史及其对简化运算的作用

知识改变命运

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沁园春·雪北国风光，千里冰封，万里雪飘。望长城内外，惟余莽莽； 大河上下，顿失滔滔。

山舞银蛇，原驰蜡象，欲与天公试比高。

须晴日，看红装素裹，分外妖娆。江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。惜秦皇汉武，略输文采； 唐宗宋祖，稍逊风骚。

一代天骄，成吉思汗，只识弯弓射大雕。

俱往矣，数风流人物，还看今朝。课后作业：P114习题3—2A, 1

克

对数的运算性质教案 篇7

◇运用几何画板软件的作图功能、动态演示功能、反射功能,突出学习重点、突破学习难点。设计“动手实践1”,运用作图功能,使学生在同一坐标系中绘出多个对数函数图像,提高学生动手实践能力,加深对对数函数定义的认识,突出学习重点;设计“动手实践2”,运用动态演示功能,呈现对数函数图像随底数的变化情况,验证底数取定义范围内任意值时,对数函数所具备的性质,增强学生对图像的直观感知,突破学习难点;设计课件,运用反射功能,验证函数y=loga x与函数图像间的对称性。

◇运用学霸机房管理系统,借助“广播教学”、“文件分发”、“学生演示”功能,实现图像共享,提高学习效率,突破学习难点。“广播教学”功能,实现教师集中授课与学生自主学习相结合;“文件分发”功能,将教师机课件分发至学生机D盘,快速便捷,避免一一拷贝;“学生演示”功能是小组代表发言活动得以实施的关键。如果没有学霸机房管理系统,学生所绘图像只能呈现在自己的计算机上,无法实现共享,而“学生演示”功能的使用,使得全班同学能快速共享大量图像,提高了学生对研究过程的参与程度,学习效率明显提高。

●教材分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学1(必修)》(人教A版)第二章第一节第二课《对数函数及其性质》。本节课的内容在教材中起到了承上启下的关键作用。一方面,对数函数是在学生系统学习了函数概念,基本掌握了函数性质的基础上,进行研究的第一个重要的基本初等函数。作为基本初等函数,它是继指数函数之后对高中函数概念及性质的又一次应用;另一方面,对数函数是后续学习幂函数的基础,对于研究幂函数及其他基本初等函数,在研究方法上起到示范作用。

●学生分析

从学生的知识上看,学生已经学习了函数的定义、图像、性质,对函数的性质和图像的关系已经有了一定的认识。学生已经熟悉研究函数的一般过程和方法,会用此来研究对数函数。

从学生现有的学习能力看,通过初中对函数的认识与理解,学生已具备了一定的观察事物的能力,积累了一些研究问题的经验,初步具备了抽象、概括的能力。通过教师启发式引导,学生能自主探究完成本节课的学习,会进行几何画板的基本操作。

●教学目标

知识与技能目标:1通过具体实例了解对数函数模型的实际背景;2初步理解对数函数的概念、图像和性质。

过程与方法目标:1借助几何画板绘制对数函数图像,加深对定义的认识,增强对对数函数图像的直观感知;2学生观察对数函数图像,通过小组讨论,代表发言等活动,探究对数函数性质;3通过对对数函数的研究,体会数形结合、由具体到一般及类比思想。

情感态度与价值观目标:通过小组讨论、代表发言活动,培养合作交流意识。

●教学环境与准备

多媒体网络教室、几何画板课件、学霸机房管理软件。

●教学过程

1.创设情境

观察事例1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……依此类推,一个细胞分裂x次后,得到的细胞个数为个,思考y与x的函数解析式:;指数式化对数式:,用x表示自变量

观察事例2:一根1米长的绳子,第一次剪掉绳长的一半,第二次剪掉剩余绳长的一半,……剪了x次后,剩余绳子的长度为y米,思考y与x的函数解析式:;指数式化对数式:,用x表示自变量:

观察事例3:已知一个正方形S的面积是1,第一次取其四分之一生成正方形1S ,再取2S的四分之一生成S3 ,以此类推,求第x次取后生成的正方形xS的面积与截取次数x之间的函数解析式:;指数式化对数式:,用x表示自变量:

设计意图:课上播放PPT动画,回顾“指数函数及其性质”一节的三个观察示例:“细胞分裂”、“剪绳动画”、“截纸动画”,引出对数函数定义,同时使学生体会到对数函数与指数函数的联系。

2.探究新知

(1)归纳定义

问题1:上述观察事例中的三个函数解析式有什么共同特征?

学生思考得出,三个函数解析式,结构都是对数的形式,自变量在真数位置,定义域为(0,+∞)。

设计意图:通过对三个实例函数解析式的分析,突出对底数a取值的认识,引导学生把解析式概括为y=logax的形式,为形成对数函数定义作铺垫。

对数函数的定义:一般地,形如y=loga x( a>0且a≠1)的函数叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域为 (0,+∞)。

师生共同分析定义要点:1定义域为(0,+∞);2对数函数是形式化的定义;3a>0且a≠1。教师引导学生将指数函数定义与对数函数定义作对比。

练习1:根据对数函数定义,判断下列函数是否为对数函数。

设计意图:通过题目判断加深学生对对数函数定义的认识和理解,为学生自主选择底数,应用几何画板绘制对数函数图像作铺垫。

(2)作图探究

问题2:我们研究函数的一般过程是什么?

教师启发学生思考:归纳定义,画出图像,观察图像,总结性质,继而进行性质应用。

设计意图:对数函数作为基本初等函数,是继指数函数后对高中函数概念及性质的再次应用,学生已经熟悉研究函数的一般过程和方法,会用此来研究对数函数。

作图1:画出函数y=log2 x的图像。

学生独立在坐标纸上作图,教师巡视个别辅导,正投对比展示学生作图结果,总结作图要点,规范列表、描点、连线的每一步。

设计意图:描点法作图是画函数图像的基本方法,用正投呈现学生作图结果,培养学生画图基本功。

作图2:自主选择底数绘制对数函数的图像。

教师:为了研究对数函数性质,我给同学们传送了几何画板课件“动手实践1”,在D盘,这里有两个任务,请相继完成。对于任务1,全班同学分为6组,小组中每位同学设想一个具体的对数函数解析式,小组汇总,每位同学在同一坐标系中,绘制每组所确定的对数函数的图像,之后完成任务2(如图1)。

设计意图:设计任务1,是为了加深学生对对数函数定义的认识,增强对图像的直观感知。设计任务2,是将本节课的重点以任务形式呈现,使任务1的实施更具方向性,使课堂教学更具灵活性和机动性。

每位学生自主选择底数,确定一个对数函数解析式,小组汇总。

设计意图:学生自选底数,确定对数函数解析式,加深对对数函数定义的认识。

学生小组讨论之后,每位同学打开D盘,双击进入几何画板课件“动手实践1”,在同一坐标系中,绘制每组确定的对数函数图像。

设计意图:学生通过几何画板课件“动手实践1”,在同一坐标系中,绘制多个对数函数图像,在绘制过程中,可以更加直观地感知底数对对数函数图像的影响,能更好地观察图像特征,总结图像性质。

学生自主选择底数,绘制对数函数图像,完成“任务1”之后,思考、讨论“任务2”,各小组根据所绘制的对数函数图像,观察图像特征,总结性质,每组自荐一名代表发言。

教师适时发问、点拨,引导学生总结,师生、生生互动交流。

设计意图:应用学霸机房管理系统,“学生演示”功能,逐个呈现每组学生作图结果,快速大量共享图像,加深学生对对数函数图像特征的认识,有助于攻克教学难点,课堂效率明显提高。

小组学生发言,师生交流过程中,解决问题3、问题4和问题5。

问题3:观察图像,你认为如何对对数函数进行分类研究?

各小组学生共提出两类标准:1按图像上升和下降分两类;2按底数0<a<1, a>1分两类。经教师引导,学生发现这两类标准可以统一:a>1与图像上升统一;0<a<1与图像下降统一。

问题4:你能结合屏幕上所呈现的对数函数图像,观察它们的图像特征,并总结其性质吗?

各组学生从图像位置、特殊点、图像变化趋势等方面总结图像特征,概括性质如表1。

设计意图:学生通过观察具体对数函数图像,应用数形结合思想,归纳概括性质。

问题5:函数(a >0且a≠1)的图像之间有什么关系?

有的小组 作出的图像,观察、猜想两个函数图像关于x轴对称;有的小组作出3对对数函数图像(如图2),观察猜想图像关于x轴对称,进而猜想(a >0且a≠1)关于x轴对称。

对于学生 猜想的图像关于x轴对称,教师引导学生从坐标角度理解,并用几何画板进行验证。在函数图像和函数的图像上,分别取横坐标相同的两个点,点M和M'随之运动,观察纵坐标关系,发现纵坐标相反,点M'和M关于x轴对称,所以和的图像关于x轴对称。继而,教师操作课件验证:当a取定义范围内的任意值时,图像间的对称关系(如图3)。

设计意图:通过具体底数的两个对数函数图像间的关系,观察、归纳、概括一般的两个对数函数图像间关系,体会由特殊到一般思想的应用。

各小组总结图像特征,概括函数性质之后,教师总结呈现整理结果。

问题6:我们由具体对数函数分析出它们的图像特征和所具备的性质,所有的对数函数都具备这样的性质吗?

教师操作几何画板软件,通过拖动点,改变底数a的大小,得到y=loga x(a >0且a≠1)的对数函数的图像,验证底数a取定义范围内所有值时,对数函数的性质。

在几何画板课件“动手实践2”中,学生自己拖动点“a”,亲身体验图像随底数的变化情况,进而归纳性质(如图4)。

设计意图:通过几何画板课件的动态演示,学生更直观地观察到对数函数图像随底数a的变化情况,以及为什么要把底数分为a >1和0 <a<1两类,有利于学生由图像归纳性质,从而突破本节课的难点。

(3)归纳性质

学生观察图像,讨论总结性质,如下页表2。

设计意图:学生总结性质,培养学生归纳概括能力。

师生共同对学习内容进行总结:1研究函数的一般过程是:定义→图像→性质→应用。2借助图像研究性质,应用了数形结合思想;由具体对数函数入手,到一般对数函数总结性质,应用由特殊到一般思想方法;对数函数对底数分类进行研究性质,应用了分类讨论思想,类比指数函数研究对数函数,应用了类比思想。

3.例题讲解

师:刚才我们共同探究得出性质,下边看性质应用。

例1 :比较下列 各组中两个值的大 小 :

设计意图:通过例题使学生体会对数函数单调性应用,设计三题,使学生体会分类讨论思想。

第一题教师引导讲解,示范解答过程,第二题、第三题学生正投讲解。

设计意图:通过学生正投讲解题目做法,培养学生学习数学的信心和勇气,同时,对于出现的错误及时纠错,起到示范作用。

4.归纳总结

◇这节课你学到哪些知识?

◇这节课你体会到哪些数学思想方法?

5.分层作业

◇必做题:P73,2、3;

◇选作题 :函数y=ax和y=logax (a>0,a≠1)的图像间 有何关系?

●教学反思

1.设计问题系列,驱动教学

问题是数学的心脏,本节课以6个问题为主线贯穿始终,以问题解决为教学线索,在教师的主导与计算机的辅助下,学生思维由问题开始,由问题深化。

2.借助信息技术突出重点、突破难点

本节课的学习重点是对数函数的概念、图像和性质;学习难点是用数形结合方法从具体到一般地探索概括对数函数性质,为突出重点、突破难点,使用了以下信息技术:

◇探究对数函数概念:课上播放“细胞分裂”、“剪绳动画”、“截纸动画”三个PPT课件,学生总结三个“观察事例”中函数解析式的共同特征,概括到y=loga x的形式,从而形成概念,突出学习重点。

◇绘制对数函数图像:作图1,学生动手画图,初步感知对数函数图像,教师个别辅导,正投展示,对比分析作图结果,纠正作图错误,总结作图要点,培养学生作图基本功;作图2,设计课件,全体学生参与,自选底数绘制对数函数图像,从而加深了学生对定义的认识,增强了对图像的直观感知,突出学习重点。

◇探究对数函数性质:对数函数性质的获得,需要借助对数函数图像。设计“动手实践2”,教师运用几何画板的动态演示功能,验证底数a取定义范围内所有值时,对数函数的性质,学生操作课件“动手实践2”,通过拖动点“a”,改变底数a的值,观察对数函数图像随底数a的变化情况,学生的亲身体验,提高了对研究过程的参与程度,有效突破学习难点。

◇运用学霸机房管理系统,其“广播教学”“文件分发”“学生演示”功能,使得大量图像共享成为可能,使得学生小组代表发言活动得以实施。学霸机房管理系统的使用,提高了学生对研究过程的参与程度,使得学习效率明显提高,更为有效地突破学习难点。

点评

从信息技术与教学融合的角度上看,邢晓燕老师教学中最大的亮点有两个:

◇放手让学生使用几何画板画出对数函数的图像、探索对数函数的性质,实现了常规教学手段无法达到的教学效果。为了帮助学生建立对数函数的概念,画出对数函数的图像,初步了解对数函数的性质,邢老师设计了“动手实践1”环节,运用几何画板的作图功能,让学生在同一坐标系中绘出多个对数函数图像,帮助学生提高动手实践能力,加深对对数函数定义的认识,突出了学习重点;从具体到一般地探索概括对数函数性质是本课的教学难点,为突破难点,邢老师设计了“动手实践2”,通过课件的动态演示,学生更直观地观察到对数函数图像随底数a的变化情况,以及为什么要把底数分为a >1和0<a<1两类,有利于学生由图像归纳性质,从而突破本课的教学难点。

◇很好地运用了学校网络机房管理系统的“广播教学”“文件分发”“学生演示”功能,实现图像共享,提高课堂教学效率,突破学习难点。这里值得一说的是“学生演示”功能,该功能能够任意调用任何小组学生所绘图像到大屏幕上,实现小组学习情况全班分享,使得学习效率明显提高。

这节课的教学,如果能够考虑将教室里的交互式电子白板利用起来,师生充分运用白板功能结合几何画板等一起使用,也许教学效果会更好。