《余角与补角》教学设计
“余角和补角”是一节探究性活动课，采用了“提出问题——猜想结论——验证结论——应用结论”这样一个基本模式，课堂设计流畅，学生充分思考、活动，课堂气氛活跃。
（一）创设情境，引入概念。
以往在教授这一课时，教师往往平铺直叙的引入余角、补角概念，而王靓老师通过比萨斜塔这一学生熟知的著名建筑引出概念，不但使学生能充分理解概念，并且可以充分引起学生的有意注意，一下子把学生吸引到课堂上来。
（二）落实双基
做课不仅是一种展示，更重要的是让学生掌握必要的知识。活动二的设计充分体现了这一点，并且在解题过程中渗透了方程思想的应用，既是对上一章知识的应用和巩固，也为今后的学习打下基础。
（三）活动设计，训练学生灵活解题能力。
活动五的设计引导学生利用三角板构造满足互余情况的特殊位置关系的图形，了解特殊位置关系与特殊数量关系的对应，在活动中充分运用新学的知识，培养学生的创造性和探索精神，充分调动了学生积极思考。
（四）评价方案设计合理,具有综合性
为了综合考察学生的基本技能和能力水平，让不同层次的学生都有展示的机会，设计了一道多步骤评价方案,通过此问题既能检验学生上课的质量,同时也给学有余力的学生提供了一个提高的机会。
人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》七年级(上)第4章第三节“余角与补角”第二课时——方位角.
教学目标:
知识与技能目:理解方位角的意义及其在生活中的作用,体会利用操作、归纳、获得数学知识.
过程与方法目:通过现实情境,充分利用学生的生活经验去体会方位角的意义;在与其他人交流的过程中,能合理清晰地表达自己的思维过程.
情感态度与价值观:通过创设问题情境,让学生主动参与,激发学生学习的热情和兴趣,激活学生思维;在与他人的合作过程中,增强互相帮助、团结协作的精神.
教学重点:
利用方位角来表示方向及利用它来解决实际问题.
教学难点:
如何利用方位角作图表示方向.
课堂实录:
伴随舒缓悠扬的音乐声,屏幕上展现出了一幅幅美丽的北方四季景色照片.
师:同学们,这些照片中的景色美吗?这些照片都来自我生活与工作的地方——建三江,如果你们有机会来建三江,我很愿意为你们做向导,欢迎你们来局直子弟校找我.如果来局直子弟校找我的话,你能说说局直子弟校在火车站的什么方向吗?(屏幕中出现了以火车站为观测点的简易地形分布图,没有标角度;)
生:在火车站的东北方向.
(该生很高兴得到了一次回答的机会.)
师:请你再来说说人民广场在火车站的什么方向?
生:也在火车站的东北方向吧?
(学生满脸疑惑,回答没有自信,其他同学开始有了议论.)
师:大家同意他的意见吗?
(学生摇头.)
师:如果都在东北方向,那么这两个地方应该在同一条射线上,可是我们可以结合简易地形图,不难发现,这样的回答不正确.那么究竟如何表示方向呢?(教师稍停顿,设置悬念,激起学生的探求欲望.)
师:我再给大家出示一张带有度数的简易地形图,看一看现在是不是可以描述方向了.
(学生豁然开朗,确定描述方向时应该有度数.)
师:我们以火车站为观测点,请你再来说一说人民广场和局直子弟校分别在火车站的什么方向?
生:人民广场位于火车站的北偏东45°,局直子弟校位于火车站的东偏北30°.(学生根据自己的生活经验和认知感觉回答.)
师:这位同学的回答是否正确呢?通过这节课的学习我们就可以得到答案.这节课我们就来共同学习:如何利用方位角来描述方向.(板书课题.)
[设计意图]通过欣赏美丽的图片,让学生感受美丽的生活,体会数学来源于生活,又服务与生活.激起学生的学习兴趣,激发学生的探究欲望.
师:由地理知识我们知道在地图上,上北下南,左西右东,因此我们把这四个方向分别称为:正北方向,正南方向,正东方向,正西方向.(利用屏幕和教具向学生说明,并板书.)
师:通常情况下,我们以这四个方向为基准线来描述物体的方向,比如:
当表示正北方向的射线OA绕点O由北向东偏转30°,此时射线OA所表示的方向就是北偏东3°,其中用来帮助描述方向的30°角就叫做方位角.(板书方位角的定义.)
(注:利用Flash动画,操作演示,并说明.演示两次,给学生充分的体会和感悟的时间和空间.)
师:请同学们思考,这个方向除了这样描述外,还可以怎样描述呢?
生:东偏北60°.
师:回答正确,非常好,我请一名同学详细地分析一下你的答案.
生:正东方向的射线OA绕点0由东向北偏转60°,此时射线OA所表示的方向就是东偏北60°.
师:你怎么得出的60°?
生:由东向北偏转的角与刚才由北向东偏转的角是互余的.
师:很好!正如同学所说的,这条射线既可以称作“北偏东30°”,也可以说成“东偏北60°”,但习惯上我们以“正北、正南”为基准,通常说成是由北偏或由南偏.
(注:教师再次操作电脑,动画演示“北偏东45°”.)
师:图中射线表示什么方向?
生:北偏东45°或东偏北45°.
师:这两个答案中的角度除了互余外还有什么关系?
生:相等.
师:那么这种情况下我们就把这个方向简称为“东北方向”,类似的,你还能说出哪些特殊的方向?
生:东南、西北、西南.
师:很好,同学们的举一反三能力很强!现在我们再回到“建三江”,解决刚才的问题.
(屏幕中再次出现建三江简易地形图,学生很快并准确地回答出各地点位于火车站的方向.)
[设计意图]
对学生未知的如何借助方位角来描述方向,教师利用多媒体辅助教学,通过动画演示与教师的讲解相结合,让学生体会并感悟数学知识的形成与发展的过程,对一个新的知识有一个内化的过程,而对于后续问题的探索和挖掘,则由学生独立或合力完成,让学生充分参与课堂,主动探求知识,使数学活动不是单纯的依赖、模仿和记忆,而是一个生动活泼、积极主动和富有个性的探索历程,充分贯彻“教是为了不教”的原则.
变式训练:
如图,(1)射线04表示＿＿＿＿＿＿方向,射线OB表示＿＿＿＿＿＿方向,(2)射线OA与OB的夹角＿＿＿＿＿＿度?
师:非常好!大家掌握的不错,同学们学习能力很强.(学生得到表扬,沾沾自喜.)
[设计意图]
通过变式训练,让学生体会利用方位角识别方向,同时巩固了余角的有关知识,使新旧知识融会贯通.
师:下面我们来轻松一下,做个小游戏,游戏的名字叫“听声定位”.
(学生非常兴奋.)
游戏规则:由一名学生叫停秒针,请挑战者来回答.由叫停秒针的同学来判断答案是否正确,以表盘中心为观测点,请说出秒针所指的方向.并说清楚以什么方向为基准线.(大屏幕出示)
师:在游戏开始之前,我们重新认识一下表盘:表盘的指针转一个大格是多少度,一个小格又是多少度.
生:一个大格30°,一个小格6°.
师:好,游戏现在开始.
在第一组同学完成游戏后,教师请参与者谈一谈怎样得出的答案.
(注:借助几何画板,制作了可以随时叫停,可以随时归零的可动的表盘.)
生:以正北方向为基准线,表针是由北向东偏转了两个大格、三个小格,两个大格就是60°,三个小格就是18°,所以指针所指的方向在表盘中心的北偏东78°.
师:这位同学表述的非常清楚.
由于时间关系,游戏只能进行两组.
师:老师看出来了,大家玩得还不够尽兴,可是我们课上的时间有限,这样吧,我们课下再继续游戏,好吗?(征求学生的意见.)
[设计意图]
通过游戏活动让学生熟练掌握用方位角表示方向,既增加了课堂的趣味性,又让学生从中巩固了知识,寓教于乐.
师:大家会识别方向了,如何画出一个给定的方向呢?教
师设计了以下活动:
根据八五六农场的地形情况,给出以农场机关为观测点,其他几个建筑物的具体方位:
医院在农场机关的北偏东30°方向,距离机关500米;
商场在农场机关的西南方向,距离农场机关600米;
青山中学在农场机关的南偏西65°方向,距离农场机关350米。
(注:图上1厘米表示实际距离100米.)
教师以作青山中学在农场机关的南偏西65°方向,距离农场机关350米为例,先规范画图,示范怎样选定观测点后,用量角器和直尺画出表示给定的方向的射线.
接着请学生选择医院或商场中的一个进行绘制并进行点评.
师:我们的学习是为了更好地应用于生活.那么当台风“鲇鱼”来临的时候,我们该怎样用所学的知识帮助当地人提前做好预防工作呢?
屏幕出示:
近日,超级台风“鲇鱼”先后登陆菲律宾及我国福建省漳浦县沿海地区.
如图:经测量,台风风源既位于菲律宾南偏东75°的方向上,又位于漳浦县南偏东60°的方向上,你能确定台风“鲇鱼”风源的位置吗?
○漳浦
○菲律宾
这项任务由学生先小组探究,再派代表上黑板画图并阐述理由.
师:这组同学完成得非常好,并且语言描述清晰准确,在巡视中我也看到其他组的同学也研究并画出了图形,下面大家结合大屏幕,我再把作图的过程给大家演示一遍,希望能更好地帮助同学们掌握画图的要求.
(教师操纵电脑,画图确定出台风中心的位置.)[设计意图]
这项任务由学生先小组探究,再派代表上黑板画图并阐述理由,使学生体会数学知识来源于生活又应用于生活的新课程理念.同时,又将难度提高,体现了思维的递进和练习的梯度.
师:我们这节课已经接近了尾声,通过本节课,你有什么收获或体会?请你来谈一谈吧.
生:我会识别方向了.
生:我知道东北方向不是生活中的“东北”,而是北偏东45°.
生:我知道了如何画图确定方向.
[问题与情境]
初中的学习，要学会观察，学会思考，上面的问题其实就在我们的身边.
某学校组织学生在植树节这天在校园里种树．大伙儿分工合作，有的挖坑，有的放村苗，有的浇水，干得热火朝天． 有几棵树苗由于填土太少，被浇得倾斜了（如图1所示），我心里很是同情，就过去扶直小树． 在扶直小树的一刹那，我忽然想到了我们要学习的余角．哦！原来我们生活中就有丰富的数学知识.我继续向前走，一位同学正在挖坑，铁锹和地面形成了两个角（如图2所示），那不就是我们要学习的互补角的模型吗？我深情地望着眼前的情景，欣喜地想着要学习的内容，真是数学离不开生活，生活中到处都有数学．只要我们细心地观察，认真思考，一定还能发现很多生活中的数学问题.你能说出图1、图2中∠α与∠β的关系吗？
我们观察图1，斜向上的实线表示被雨水浇歪了的树苗，那么此时的树苗与地面就不垂直了，虚线表示栽种时垂直于地面的树苗，那么虚线与地面（水平线）垂直，即有∠α ＋ ∠β ＝ 90°.
我们再来观察图2，铁锹与地面所成的两个角都不是直角，但是，这两个角正好组成一个平角，即有∠α ＋ ∠β ＝ 180°.
如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角，简称互余．也就是说，其中一个角是另一个角的余角，∠α的余角可表示为90°－∠α．
如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角，简称互补．也就是说，其中一个角是另一个角的补角，∠α的补角可表示为 180°－∠α．
[开眼界]
欧氏几何是欧几里得几何学的简称，创始人是公元前3世纪古希腊伟大的数学家欧几里得.在他以前，古希腊人已经积累了大量的几何知识，并开始用逻辑推理的方法证明一些几何命题.欧几里得这位伟大的几何建筑师在前人准备的“木石砖瓦”材料的基础上，天才地按照逻辑系统把几何命题整理起来，建成了一座巍峨的几何大厦，完成数学史上的光辉著作——《几何原本》，这本书的问世，标志着欧氏几何的建立，是整个数学发展史上意义极其深远的大事，也是整个人类文明史上的里程碑.
欧几里得将过去许多没有联系和未予严谨证明的定理加以整理，使几何学变成一座建立在逻辑推理基础上的不朽丰碑.《几何原本》的意义不仅限于其内容的重要或者他对定理的出色证明，真正重要的是欧几里得在书中创造的一种公理化的方法.
在证明命题时，每一个命题总是从前一个命题推导出来，而这前一个命题又是从再前一个命题推导出来的.我们不能这样无限地推导下去，总有一些命题要作为起点.这些作为论证的起点、具有自明性且其自明性已被公认下来的命题称为公理，如“两点确定一条直线”等.同样，对于概念来讲也有不加定义的原始概念，如点、直线等.在一个数学理论系统中，尽可能少地采用原始概念和不加证明的公理，由此出发，利用纯逻辑推理，把该理论体系建立成一个演绎系统，这样的方法称为公理化方法，欧几里得就是采用这种方法，以公理、公设、定义为要素，一个接着一个地证明了大量的命题.其论证之精彩，逻辑之周密，结构之严谨，令人叹为观止.零散的数学理论被他成功地编织为一个从基本假定到复杂结论的系统.在数学发展史上，欧几里得是成功地应用公理化方法的第一人.
用现代的标准来衡量，《几何原本》在逻辑的严谨性上还存在着不少缺点.其公理系统还不完备，个别公理不是独立的，可以由其他公里推出，许多定理的证明又不得不借助于直观完成.1899年德国数学家希尔伯特公理体系的成功建立，使欧几里得几何学成为一个逻辑结构完善而严谨的几何体系.
[经典例析]
例1 如图3，O是直线AB上的一点，∠AOE＝∠FOD＝90°，OB平分∠COD．
（1）图中与∠DOE互余的角有哪些？
（2）图中与∠DOE互补的角有哪些？请说明理由．
图中与∠DOE的和为90°的角均是其余角，与这个角的位置没有关系；与∠DOE的和为180°的角均是其补角，也与这个角的位置没有关系.
解：（1）图3中与∠DOE互余的角有∠EOF、∠BOD、∠BOC.
① ∵ ∠FOD ＝ 90°，∠FOD ＝ ∠DOE ＋ ∠EOF，
∴ ∠DOE ＋ ∠EOF ＝ 90°．
∴ ∠EOF是∠DOE的余角．
② ∵ ∠AOE ＋ ∠BOE ＝ 180°， ∠AOE ＝ 90°，
∴ ∠BOE ＝ 90°．
又 ∠BOE ＝ ∠DOE ＋ ∠BOD，
∴ ∠DOE ＋ ∠BOD ＝ 90°．
∴ ∠BOE是∠DOE的余角．
③ ∵ OB平分∠COD，
∴ ∠BOC ＝ ∠BOD．
又 ∠BOD ＋ ∠DOE ＝ 90°，
∴ ∠BOC ＋ ∠DOE＝ 90°．
∴ ∠BOC是∠DOE的余角．
（2）图3中与∠DOE互补的角有∠BOF、∠COE.
① ∵ ∠AOE ＝ ∠DOF，
∴ ∠AOF ＋ ∠EOF ＝ ∠DOE ＋ ∠EOF．
∴ ∠AOF ＝ ∠DOE．
∵ ∠AOF ＋ ∠BOF ＝ 180°，
∴ ∠DOE ＋ ∠BOF ＝ 180°．
∴ ∠DOE与∠BOF互为补角．
② ∵ ∠BOC ＋ ∠DOE ＝ ∠EOF ＋ ∠DOE ＝ 90°，
∴ ∠BOC ＝ ∠EOF．
∴ ∠BOC ＋ ∠BOE ＝ ∠EOF ＋ ∠BOE．
∴ ∠COE ＝ ∠BOF．
∵ ∠DOE ＋ ∠BOF ＝ 180°，
∴ ∠DOE ＋ ∠COE ＝ 180°．
∴ ∠DOE与∠COE互为补角．
解这类题目，一定要理解余角、补角的定义，互余角、互补角的找法是看这两个角的和是否为90°或180°，与这两个角的位置无关.
例2 一个角的余角比这个角的补角的 还小10°，求这个角的余角及这个角的补角的度数.
一般采用代数的方法.因为这个角的余角与补角都与这个角有关，所以，可设间接未知数，再找出题中的等量关系，列出一元一次方程，从而求解.
解：设这个角的度数为x，则这个角的余角的度数为90 °－ x，这个角的补角的度数为180 °－ x. 依题意得
90° － x ＝ （180 °－ x） － 10°．
解得x ＝ 60°
故90° － x ＝ 30°，180° － x ＝ 120°．
答：这个角的余角为30°，这个角的补角为120°.
解这类题时，因为不知道这个角的度数，所以难以直接求出它的余角或补角． 因此解题的关键是求出这个角的度数，所以设这个角的度数为x，再根据题意找到相等关系，从而求解.
例3 如图4 ，三条直线AB、CD、EF相交于同一点O，则图中小于平角的角中，有[ ]对对顶角，分别是[ ]．
根据对顶角的概念，可推知：两条直线相交有2对对顶角，三条直线相交，共有6对对顶角． 由AB与CD相交成的对顶角有∠AOC与∠BOD、∠COB与∠DOA；由AB与EF相交成的对顶角有∠EOB与∠FOA、∠AOE与∠BOF；由CD与EF相交成的对顶角有∠COE与∠DOF、∠EOD与∠FOC．共6对.
答案：6 ∠AOC与∠BOD、∠COB与∠DOA、∠EOB与∠FOA、∠AOE与∠BOF、∠COE与∠DOF、∠EOD与∠FOC
解这类题的关键是要防止遗漏或重复，为此，我们可以先看有几对两两相交的直线，然后利用每两条相交直线形成2对对顶角这一结论去计数.其实对顶角的找法不止一种，也可以先以一个角为标准进行计数（∠AOC、∠COE、∠EOB的对顶角），再找出由两个角合并成一个角的角（∠AOE、∠COB、∠EOD的对顶角），再进行计数.还可以以一条边为起点，向一个方向旋转着去找角.
[即学即练]
1． 如果一个角是36°，那么（）．
A． 它的余角是64°B． 它的补角是64°
C． 它的余角是144°D． 它的补角是144°
2． 过一个钝角的顶点作这个角的两边垂线，若这两条垂线的夹角为40°，则此钝角为（）．
A． 140°B． 160°
C． 120°D． 110°
3． 钟表上12时15分时，时针与分针的夹角为（）．
A． 90°B． 82．5°
C． 67．5°D． 60°
4． 如图5，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1 ＝ 15°30′，则下列结论中不正确的是（）．
A．∠2 ＝ 45°
B．∠1 ＝ ∠3
C．∠AOD与∠1互为补角
D．∠1的余角等于75°30′
5． ∠1、∠2互为补角，且∠1＞∠2，则∠2的余角是（）．
A． （∠1＋∠2） B． ∠1
C． （∠1－∠2）D． ∠2
6． 若∠A ＝ 30°，则∠A的余角的度数为[ ].
7． 已知∠A＝30°，那么∠A的补角的度数为[ ].
8． 如图6，将两块三角板的直角顶点重合后重叠在一起，如果∠1 ＝ 40°，那么∠2 ＝ [ ]．
9． 一个角的余角与这个角的补角之和为180°，求这个角的度数.
10． 分析图7所示的折叠过程回答问题．
（1）∠2的度数是多少？为什么？
（2）∠1与∠3有何关系？
（3）∠1与∠AEC，∠3与∠BEF分别有何关系？
[中考风向标]
1． （2007年·常州市）若∠α ＝ 30°，则∠α的余角的度数为[ ].
互为余角的概念是指：如果两个角的和为90°，那么这两个角互为余角.此题已知∠α ＝ 30°，那么它的余角的度数就是90° － 30° ＝ 60°.
2． （2007年·南京市）如果∠α ＝ 40°，那么∠α的补角等于[ ].
互为补角的概念是指：如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角.此题已知∠α ＝ 40°，那么它的补角的度数就是180° － 40° ＝ 140°.
3． （2007年·河北）如图8，直线a、b相交于点O，若∠1等于40°，则∠2等于（）．
A． 50°B． 60°
C． 140°D． 160°
由图8可知，∠1与∠2是邻补角，则有∠1 ＋ ∠2 ＝ 180°，已知∠1 ＝ 40°，所以∠2就能求出来了，∠2 ＝ 180° － 40°＝140°.
4． （2007年·宁德市）如图9，CD⊥AB，垂足为C，∠1 ＝ 130°，则∠2 ＝ [ ]．
∠2的余角也是∠1的补角，∠1＝130°，其补角为50°，则50°角的余角是40°，即∠2 ＝ 40°.
5． （2007年·济南市）已知：如图10，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点O的一条直线，则下列∠1与∠2的关系中，一定成立的是（）．
A．相等B．互余
C．互补D．互为对顶角
由AB⊥CD知，∠BOD ＝ 90°，EF为过点O的一条直线，所以，∠1 ＋ ∠2 ＋ ∠BOD ＝ 180°，则∠1 ＋ ∠2 ＝ 90°． 两个角的和为90°，这两个角一定互为余角.
6． （2007年·资阳市）如图11，已知△ABC为直角三角形，∠C ＝ 90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1 ＋ ∠2等于（）．
A． 90°B． 135°C． 270°D． 315°
由图11可知，∠1 ＋ ∠3 ＝ 180°，∠2 ＋ ∠4 ＝ 180°，而∠3 ＋ ∠4 ＝ 90°，所以，∠1 ＋ ∠2 ＝ （180° － ∠3 ） ＋ （180° － ∠4 ） ＝ 180° ＋ 180°－ （∠3 ＋ ∠4） ＝ 180° ＋ 180° － 90° ＝ 270°.
新课标指出：教师在教学中要有自己的独立性，根据自己的教学实际情况去创造性地运用教材。故本节课重新设计了教材的呈现形式。本节设计重点突破互余的概念的形成过程，探索互余的性质，然后类比迁移互补的概念及性质，通过解剖麻雀的方法，培养学生自主获取知识的能力。而类比既是建构性的思维，又是反思性的问题，教学中经常由此及彼地进行类比的联想，然后进行大胆猜测，实现认知上的突破，是学生养成类比质疑的习惯，在学习、讨论中，不断地发现问题、解决问题，从而达到认识事物本质的有效办法之一。
本节课的设计还有一点比较满意，就是作已知角的余角。学生有的用量角器度量的方法，有的以角的一边构造直角得出余角的不同方案。在用三角板拼图的设计过程中，学生不同方法很多差异较大。让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效的解决问题。尝试评价不同方法之间的差别。我们在教学中应鼓励这种差异的存在。
1、在让学生画一个角的余角后，学生被误导为一个只有两个余角，而我没有做深入的解释：一个角的余角其实有无数个如果最后再强调一下哪两个叫互余，那效果会更好。
2、缺少对学生回答的一种判断、强化、比较、组合。对课堂中学生所产生的一些资源捕捉能力不够。
本文为自本人珍藏版权所有仅供参考
附件4：
《余角、补角、对顶角》教学实践报告
（指导思想，设计方法等说明）
本节课以新课程理念为指导思想，本着“人人学习有用的数学”的观点，重视培养学生探索、发现知识和应用、解决问题的能力。课堂模式由单一的知识型向复合的应用、实践型转变，采用“引导——发现”的教学模式。这种模式的基本程序是“问题——猜想——验证——应用”。让学生体会到数学是来源于实际、应用于实际的工具。这种应用既体现在生活中又体现在整个知识网络中。教学手段由教师讲授的单一渠道拓展为多途径多手段的复合渠道，让学生的各个感知器官积极、协调的运转，达到事半功倍的效果。该操作的理论依据是布鲁纳的“发现学习”理论和杜威的“活动学习”理论。布鲁纳认为发现不仅限于寻求尚未知晓的事物，它包括用自己的头脑亲自获得知识的一切形式。学生在数学学习的过程中只有通过亲身的体验，才能掌握方法；他们在学习过程中应该是积极的探索者，教师要精心设置一个个问题链，以活动贯穿，创造一个适合学生探索的环境，通过不同的途径引导其自主探索。本节课先建立比萨斜塔的问题情境，建立余角和补角的模型，然后探究（解释），在探究过程中，分为猜想—验证--证明--归纳（性质）--几何语言（如何写解题步骤），在应用拓展中设计了过关训练，每一个步骤都与课标紧密相联，真正地把新课程理念实到实处。
一、实践过程
1、创设情境、激发兴趣，合作探究、获得新知：
让学生观看意大利比萨斜塔的图片，比萨斜塔是学生熟悉的建筑，而且有许多科学渊源，容易激发学生的学习兴趣，将实际问题抽象成数学问题后，学生合作探究自然引入余角、互余、补角、互补的概念，获得新知。
2、课堂练习、巩固深化概念：
通过4道由浅入深的课堂习题，巩固深化学生对互余、互补内涵与外延的理解，并且训练学生应用方程思想解决角及其关系角之间的问题。
3、深入探究、加深理解：
把互余、互补的概念讲清楚了，互余、互补的性质就容易了。因此，我把探索性质的过程交还给学生。通过多媒体动画演示，让学生观察、思考、小组讨论、教师巡视并个别引导、最后由学生用自己的语言归纳总结出余角和补角的性质。
4、拓展训练、巩固提高：
通过活动4训练学生运用性质解决平面图形问题，活动5培养学生动手操作能力和性质在实际问题中的应用。运用多种形式的拓展训练，巩固了相关概念和性质，让学生感知数学源于生活，又用于生活。
5小结反思、拓展延伸
通过教师设问“本节课你有哪些收获？”，让学生自己归纳小结本节课的内容与收获。
6、布置作业、当堂反馈：
课堂作业当堂布置，当堂完成。
二、收获与体会
学生必须通过自己的探索才能学会数学和会学数学，与其说学习数学，不如说体验数学和做数学。始终给学生以创造发挥的机会，让学生自己在学习中扮演主动角色，教师不代替学生思考，把重点放在教学情境的设计上，本节课采用这种教学设计对学生理解和消化当堂
知识决定命运 百度提升自我课的知识点，起到了良好的教学效果，充分调动了学生的动眼观察、动嘴讨论、动手操作、动脑思考的积极性，培养了他们通过观察、实验、比较、概括，对提高学生分析问题和解决问题的能力有很大的突破。促进了学生自主学习的良好习惯的养成。运用现代化的教学手段，把图形的“静”变“动”，增强了直观性，初步培养想象能力，同时提高课堂教学的效率。这里，运用了数形结合这一重要数学思想方法，起到变抽象为直观和化难为易的作用。
三、问题与建议
学习目标：
1、在具体的现实情境中，认识一个角的余角和补角。
2、会利用一个角的余角和补角的概念进行计算。重、难点及关键：
1、重点：认识角的互余、互补关系及其性质，确定方位是本节课的重点。
2、难点：通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质是难点。
一、引入新课：
让学生观察意大利著名建筑比萨斜塔。
比萨斜塔建于1173年，工程曾间断了两次很长的时间，历经约二百年才完工。设计为垂直建造，但是在工程开始后不久便由于地基不均匀和土层松软而倾斜。
二、探索新知：
1、探究互为余角的定义：（学生阅读课本P137）
如果两个角的和是90°(直角)，那么这两个角叫做互为余角，其中一个角是另一个角的余角。即:∠1是∠2的余角或∠2是∠1的余角。
2、练习⑴：
图中给出的各角，那些互为余角？
3、探究互为补角的定义：
如果两个角的和是180°(平角)，那么这两个角叫做互为补角，其中一个角是另一个角的补角。即:∠3是∠4的补角或∠4是∠3的补角。
4、练习⑵：
（1）图中给出的各角，那些互为补角？
（2）填下列表： ∠a ∠a的余角 ∠a的补角 5° 32° 45° 77° 62°23′ x°
结论：同一个锐角的补角比它的余角大90°。（3）填空：
①70°的余角是，补角是。
②∠a（∠a <90°）的它的余角是，它的补角是。重要提醒：ⅰ(如何表示一个角的余角和补角)锐角∠a的余角是（90 °—∠ a）
∠a的补角是（180 °—∠ a）
ⅱ互余和互补是两个角的数量关系，与它们的位置无关。
5、讲解例题：
例1:若一个角的补角等于它的余角4倍，求这个角的度数。
解： 设这个角是x °，则它的补角是（180°－x°）,余角是(90°－x°)。根据题意得：
（180－x°）= 4(90－x°)解之得： x =60 答：这个角的度数是60 °。
6、练习⑶：
一个角的补角是它的3倍,这个角是多少度?
7、探究补角的性质：
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补，如果∠1＝∠３,那么∠2与∠４相等吗？为什么？
教师活动：操作多媒体演示。
学生活动：观察图形的运动，得出结果：∠2=∠４ 补角性质：同角或等角的补角相等
教师活动：向学生说明，以上从观察图形得到的结论，还可以从理论上说明其理由。∵ ∠1 +∠2=180°，∠3 +∠4=180° ∴ ∠2=180°－∠1，∠4=180°－ ∠3 ∵ ∠1 =∠3
∴ 180°－∠1 =180°－ ∠3 即：∠2 =∠4
8、探究余角的性质：
如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４互余，如果∠1＝∠３，那么∠2与∠４相等吗？为什么？
教师活动：操作多媒体演示。
学生活动：观察图形的运动，得出结果：∠2=∠４ 余角性质：同角或等角的余角相等
教师活动：向学生说明，以上从观察图形得到的结论，还可以从理论上说明其理由。∵ ∠1 +∠2=90°，∠3 +∠4=90° ∴ ∠2=90°－∠1，∠4=90°－ ∠3 ∵ ∠1 =∠3
∴ 90°－∠1 =90°－ ∠3 即：∠2 =∠4
9、讲解例题：
例2：如图,∠AOB=90°,∠COD=∠EOD=90°,C,O,E在一条直线上,且∠2=∠4,请说出∠1与∠3之间的关系？并试着说明理由？ 解:∠1=∠3
∵ ∠1+∠2= ∠COD=90°
∠3+∠2= ∠AOB=90° ∴ ∠1=∠3(等角的余角相等)
10、练习⑷：
如图∠AOB = 90 °,∠COD = 90 °则∠1与∠2是什么关系？
三、课堂小结：
1、本节课学习了余角和补角，并通过简单的推理，得到出了余角和补角的性质。
2、了解方位角，学会了确定物体运动的方向。
四、课外作业：
1、课本第114页：9、11、12题。
2、学习指要第78-79页：训练二和训练三。
【《余角与补角》教学设计】推荐阅读：
余角和补角 第二课时 教案10-28
