离散数学证明题解题方法（精选13篇）
1、定义和定理多。
离散数学是建立在大量定义上面的逻辑推理学科。因而对概念的理解是我们学习这门学科的核心。在这些概念的基础上，特别要注意概念之间的联系，而描述这些联系的实体则是大量的定理和性质。
●证明等价关系：即要证明关系有自反、对称、传递的性质。
●证明偏序关系：即要证明关系有自反、反对称、传递的性质。（特殊关系的证明就列出来两种，要证明剩下的几种只需要结合定义来进行）。
●证明满射：函数f：XY，即要证明对于任意的yY，都有x
或者对于任意的f(x1)=f(x2)，则有x1=x2。
●证明集合等势：即证明两个集合中存在双射。有三种情况：第一、证明两个具体的集合等势，用构造法，或者直接构造一个双射，或者构造两个集合相互间的入射；第二、已知某个集合的基数，如果为א，就设它和R之间存在双射f，然后通过f的性质推出另外的双射，因此等势；如果为א0，则设和N之间存在双射；第三、已知两个集合等势，然后再证明另外的两个集合等势，这时，先设已知的两个集合存在双射，然后根据剩下题设条件证明要证的两个集合存在双射。
●证明群：即要证明代数系统封闭、可结合、有幺元和逆元。（同样，这一部分能够作为证明题的概念更多，要结合定义把它们全部搞透彻）。
●证明子群：虽然子群的证明定理有两个，但如果考证明子群的话，通常是第二个定理，即设
1是
●证明正规子群：若
图论虽然方法性没有前几部分的强，但是也有一定的方法，如最长路径法、构造法等等 下面讲一下离散证明题的证明方法：
1、直接证明法
直接证明法是最常见的一种证明的方法，它通常用作证明某一类东西具有相同的性质，或者符合某一些性质必定是某一类东西。
直接证明法有两种思路，第一种是从已知的条件来推出结论，即看到条件的时候，并不知道它怎么可以推出结论，则可以先从已知条件按照定理推出一些中间的条件（这一步可能是没有目的的，要看看从已知的条件中能够推出些什么），接着，选择可以推出结论的那个条件继续往下推演；另外一种是从结论反推回条件，即看到结论的时候，首先要反推一下，看看S,则
从哪些条件可以得出这个结论（这一步也可能是没有目的的，因为并不知道要用到哪个条件），以此类推一直到已知的条件。通常这两种思路是同时进行的。
2、反证法
反证法是证明那些“存在某一个例子或性质”，“不具有某一种的性质”，“仅存在唯一”等的题目。
它的方法是首先假设出所求命题的否命题，接着根据这个否命题和已知条件进行推演，直至推出与已知条件或定理相矛盾，则认为假设是不成立的，因此，命题得证。
3、构造法
证明“存在某一个例子或性质”的题目，我们可以用反证法，假设不存在这样的例子和性质，然后推出矛盾，也可以直接构造出这么一个例子就可以了。这就是构造法，通常这样的题目在图论中多见。值得注意的是，有一些题目其实也是本类型的题目，只不过比较隐蔽罢了，像证明两个集合等势，实际上就是证明“两个集合中存在一个双射”，我们即可以假设不存在，用反证法，也可以直接构造出这个双射。
4、数学归纳法
数学归纳法是证明与自然数有关的题目，而且这一类型的题目可以递推。作这一类型题目的时候，要注意一点就是所要归纳内容的选择。
学习离散数学的最大困难是它的抽象性和逻辑推理的严密性。在离散数学中，假设让你解一道题或证明一个命题，你应首先读懂题意，然后寻找解题或证明的思路和方法，当你相信已找到了解题或证明的思路和方法，你必须把它严格地写出来。一个写得很好的解题过程或证明是一系列的陈述，其中每一条陈述都是前面的陈述经过简单的推理而得到的。仔细地写解题过程或证明是很重要的，既能让读者理解它，又能保证解题过程或证明准确无误。一个好的解题过程或证明应该是条理清楚、论据充分、表述简洁的。针对这一要求，在讲课中老师会提供大量的典型例题供同学们参考和学习。
在学习离散数学中所遇到的这些困难，可以通过多学、多看、认真分析讲课中所给出的典型例题的解题过程，再加上多练，从而逐步得到解决。在此特别强调一点：深入地理解和掌握离散数学的基本概念、基本定理和结论，是学好离散数学的重要前提之一。所以，同学们要准确、全面、完整地记忆和理解所有这些基本定义和定理。
学好高数＝基本概念透＋基本定理牢＋基本网络有＋基本常识记＋基本题型熟。数学就是一个概念＋定理体系(还有推理)，对概念的理解至关重要，比如说极限、导数等
再快乐的单身汉迟早也会结婚,幸福不是永久的嘛！
爱就像坐旋转木马，虽然永远在你爱人的身后，但隔着永恒的距离。
江苏省盐城市2014中考数学试题中的28题是最后一题,也是整个考卷中的一道压轴题,其分数也占了重要的比重,对学生的综合能力的考查提出了更高的要求.
28. (12分 )(2014年江苏盐城 )如图1,在平面直角坐标系中,一块等腰直角三角板ABC的直角顶点A在y轴上,坐标为(0,-1),另一顶点B坐标为 (-2,0),已知二次 函数y = 3 /2x2+ bx + c的图像经过B,C两点. 现将一把直尺放置在直角坐标系中,使直尺的边A′D′∥y轴且经过点B,直尺沿x轴正方向平移,当A′D′与y轴重合时运动停止.
(1)求点C的坐标及二次函数的关系式 ;
(2) 若运动过程中直尺的边A′D′ 交边BC于点M, 交抛物线于点N,求线段MN长度的最大值;
(3) 如图2 , 设点P为直尺的边A′D′ 上的任一点 , 连接PA,PB,PC,Q为BC的中点 ,试探究 :在直尺平移的过程中 ,当时,线段PA,PB,PC之间的数量关系.请直接写出结论,并指出相应的点P与抛物线的位置关系.
( 说明 : 点与抛物线的位置关系可分为三类 , 例如 , 图2中,点A在抛物线内,点C在抛物线上,点D′在抛物线外.)
一、培养良好的审题习惯
良好的审题习惯是学好数学的一个重要能力,如果在审题时因为粗心看错一个条件关系,就会导致整个解题的方向出现偏差,最终使得解题出现错误,对压轴性的题目更是如此. 因此教师在平常的授课过程中要培养学生养成良好的审题习惯,明确题目中的各种变量之间的逻辑关系,找出有利于解题的条件并归纳整理,以此提高答题的正确率.
例如在做2014年江苏省盐城市中考试卷28题时,首先要培养学生的读题习惯,要求学生在做这道题目时,至少将题目读三遍. 第一遍熟悉题目内容,看清题目要求,第二遍寻找其中的内在逻辑联系,第三遍开始罗列其中的解题条件. 以此使学生养成良好的读题习惯,减少出错率. 其次引导学生抓住题目中的重点信息. 在不同考点问题中, 抓住相应题型中的要点.
二、讲求做一问是一问的原则
在做数学压轴题时, 要讲求做一问是一问的原则. 压轴题一般来说会有三个问题,对大多数的学生来说,做出第一问,一般不是问题. 如果第一问不会做,切不可轻易放弃第二问,如果实在不会也要讲求技巧. 在评卷的过程中,老师都是按点采分,按步骤给分. 因此在做题的过程中,会写多少就写多少,但是在书写的过程中,要注意书写规范、字迹工整、布局合理;尽量多用几何知识和三角函数,少用代数计算.
例如在2014年江苏省盐城市中考数学试题的28题中, 第一问要求求点C的坐标及二次函数的关系式,对于这一小问来说比较简单,要求C点的坐标,则要考虑作x,y轴的垂线来表示横纵坐标, 较易得出△CDA≌△AOB, 所以可得C点坐标, 进而得出抛物线解析式. 这一问主要考查了三角形全等有关的知 识. 在第二问 中要求求 线段MN长度的最 大值,要想解答第二问,则必须要做对第一问. 此问主要考查有关求解线段长度的知识,其难度不大,涉及直线与抛物线交点的问题. 对于这类题目横坐标相同的两点距离, 可以用这两点的纵坐标作差. 因为两点分别在直线和抛物线上则可以利用解析式. 设横坐标为x, 表示两个纵坐标, 作差得关于x的二次函数,利用最值性质来求解,结果易求得.
三、解题三步法
做数学压轴题一般讲求三步法原则,即三个步骤(认真审题,理解题意、思考解题思路,正确答题).解数学压轴题时要善于总结题目中所隐含的重要数学思想, 例如转化思想、 数形结合思想、 分类讨论思想以及方程的思想等. 正确认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征和数、式的数量以及结构特征的关系,确定解题的思路和方法.
例如,2014年江苏省盐城市中考数学试题的28题的最后一问,其难度最大,涉及了更多的知识点,其知识点涉及抛物线图像与性质、函数性质及圆的基础知识等,在这一题中利用数形结合的思想以及分类讨论的思想,使得抽象的题目变得具体化, 从而有利于解题. 这一问中对P点的位置分别做了讨论,P点在抛物线上、在抛物线内、在抛物线外. 其中P在抛物线上时,P点只能与B或C重合, 此时,PA,PB,PC可求具体值,则有等量关系.
中考压轴题是为考查考生综合运用知识的能力而设计的题目,其特点是知识点多、覆盖面广、条件隐蔽、关系复杂、 思路难觅、解法灵活. 所以在解答这一类型的题目时,一定要注意解题技巧,做到认真审题、数形结合、分类讨论等. 因此本文以2014年江苏省 盐城市中 考数学压 轴题为例 进行分析,具体说明中考数学压轴题的解题方法.
摘要：中考压轴题属于综合题的范畴,对学生综合分析能力提出了更高要求,难度也逐渐加大,然而学生对这一类题目的解题准确率普遍较低,失分情况严重.基于这种情况,如何有效提高学生对中考压轴题的解答率成为广大初中教师深入研究的主要方向.因此本文以江苏省盐城市2014中考数学试题为例,对中考数学压轴题解题方法加以分析.希望可以提高学生对中考数学压轴题的解答率,提高学生的数学成绩.
一、读题
1.读题要细心，有些学生一看到某一题前面部分有似曾相识的感觉，就直接写答案，这种还没有弄清楚题目讲的是什么意思，题目让你求证的是什么都不知道，这非常不可取，我们应该逐个条件的读，给的条件有什么用，在脑海中打个问号，再对应图形来对号入座，结论从什么地方入手去寻找，也在图中找到位置.
2.要记.这里的记有两层意思.第一层意思是要标记，在读题的时候每个条件，你要在所给的图形中标记出来.如给出对边相等，就用边相等的符号来表示；第二层意思是要牢记，题目给出的条件不仅要标记，还要记在脑海中，做到不看题，就可以把题目复述出来.
3.要引申.难度大一点的题目往往把一些条件隐藏起来，所以我们要会引申，那么这里的引申就需要平时的积累，平时在课堂上学的基本知识点掌握牢固，平时训练的一些特殊图形要熟记，在审题与记的时候要想到由这些条件你还可以得到哪些结论，然后在图形旁边标注，虽然有些条件在证明时可能用不上，但是这样长期的积累，便于以后难题的学习.
对于读题这一环节，我们之所以要求这么复杂，是因为在实际证题的过程中，学生找不到证明的思路或方法，很多时候就是由于漏掉了题中某些已知条件或将题中某些已知条件记错或想当然地添上一些已知条件，而将已知记在心里并能复述出来就可以很好地避免这些情况的发生.
二、分析
指导学生用数学方法中的“分析法”，执果索因，一步一步探究证明的思路和方法.教师用启发性的语言或提问指导学生，学生在教师的指导下经过一系列的质疑、判断、比较、选择，以及相应的分析、综合、概括等认识活动，思考、探究，小组内讨论、交流、发现解决问题的思路和方法.而对于分析证明题，有三种思考方式：
1.正向思维.对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出.
2.逆向思维.顾名思义，就是从相反的方向思考问题.运用逆向思维解题，能使学生从不同角度、不同方向思考问题，探索解题方法，从而拓宽学生的解题思路.这种方法是推荐学生一定要掌握的.在初中数学中，逆向思维是非常重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显，数学这门学科知识点很少，关键是怎样运用，对于初中几何证明题，最好用的方法就是用逆向思维法.如果学生已经上九年级了，证明题不好，做题没有思路，那一定要注意了：从现在开始，总结做题方法.有些学生认真读完一道题的题干后，不知道从何入手，建议从结论出发.例如：可以有这样的思考过程：要证明某两个角相等，那么结合图形可以看出，有可能是通过证两条边相等，等边对等角得出；或通过证某两个三角形全等即可;要证三角形全等，结合所给的条件，看还缺少什么条件需要证明，证明这个条件又需要什么，是否需要做辅助线，这样思考下去……我们就找到了解题的思路，然后把过程正着写出来就可以了.这是非常好用的方法.
3.正逆结合.对于从结论很难分析出思路的题目，我们可以结合结论和已知条件认真的分析，初中数学中，一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的，所以可以从已知条件中寻找思路，比如给我们某个角的角平分线，我们就要想到会得到哪两个角相等，或者根据角平分线的性质会得到哪两条线段相等.给我们梯形，我们就要想到是否要做辅助线，是作高，或平移腰，或平移对角线，或补形等等的辅助线.正逆结合，战无不胜.
三、书写过程
分析完了，理清思路了.就要根据证明的思路，用数学的语言与符号写出证明的过程.
证明过程的书写，其实就是把证明的思路从脑袋中搬到纸张上.这个过程，对数学符号与数学语言的应用要求较高，在讲解时，要提醒学生任何的“因为、所以”在书写时都要符合公理、定理、推论或与已知条件相吻合，不能无中生有、胡说八道，要有根有据！证明过程书写完毕后，对证明过程的每一步进行检查，是非常重要的，是防止证明过程出现遗漏的关键.
四、巩固提高
课后布置相应的练习，让学生及时巩固，再现所学知识，并利用类比的方法进行新知识的求解证明，进一步掌握求解证明的方法技巧，从而提高学生的能力.
以上就是我们研究的初中数学几何证明题“读”、“析”、“述”、“练”的教学模式.虽然实践表明：“读、析、述、练”这种几何证明题教学模式，有助于激发学生学习证明题的兴趣；有助于学生数学解题水平的提高；有助于学生数学学习能力的发展.但我们在以后的教学过程中，还将不断改进、不断完善，以便能更有效地提高我校初中数学教学的效率.
反证法反证法是证明那些“存在某一个例子或性质”，“不具有某一种的性质”，“仅存在”等的题目。它的方法是首先假设出所求命题的否命题，接着根据这个否命题和已知条件进行推演，直至推出与已知条件或定理相矛盾，则认为假设是不成立的，因此，命题得证。
构造法证明“存在某一个例子或性质”的题目，我们可以用反证法，假设不存在这样的例子和性质，然后推出矛盾，也可以直接构造出这么一个例子就可以了。这就是构造法，通常这样的题目在图论中多见。值得注意的是，有一些题目其实也是本类型的题目，只不过比较隐蔽罢了，像证明两个集合等势，实际上就是证明“两个集合中存在一个双射”，我们即可以假设不存在，用反证法，也可以直接构造出这个双射。
作者：容茂和完成时间：2011年12月
【内容摘要】:针对学生解决几何证明题比较困难的情况，给学生分析研究几何证明题的解题方法与技巧，提高学生学习几何的兴趣，增强解决问题的信心。
【关键词】: 方法与技巧 ；注重基础 ； 善于归类 ；突破难关
在初中阶段，学生学习数学都会遇到两大难题：一是代数中的列方程解应用题；二是几何中的证明题。下面，笔者结合多年的教学经验和方法谈谈几何证明题的解题方法与技巧。
一、注重基础，善于归类。知识要靠平时的积累，只有当量变发生到一定程度才能产生质变。因此，在平时的学习中，特别是从七年级开始学习几何这门课时，就要做到每学习一个几何概念、定理、推论等都要分清它们的用途，并进行归类，为以后的学习打下基础。例如：在人教版七年级上册第四章《图形认识初步》中，在学习“线段的中点”、“角的平分线”、“等角的补角相等”、“等角的余角相等”等概念和性质时，就要分清：“线段的中点”可以用于证明两条线段相等；“角的平分线”、“等角的补角相等”及“等角的余角相等”等概念和性质都可以用来证明两个角相等。随着学习的不断深入，需要学习掌握的定理、性质就会更多。因此，学生必须做到边学习边归类，三年下来，整个初中阶段就会形成一个环环紧扣、条理清晰的几何知识系统。
二、明确几何证明题的类型。在知识的归类中，我们可以逐渐发现上述所学习的定理、性质、推论等的用途基本上都不外乎用来证明：两条线段相等、两个角相等、两条线段（或直线）平行、两个三角形全等（或相似），或者一个图形是某些特殊的图形（如平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形
等）。比较常见的是前面的四种证明题类型。因此，学生在碰到相应类型的证明题时，头脑中就要有相应的定理、性质、推论的出现，而对于用哪一个或几个定理去解决问题，取决于证明题的需要。
三、确定证明的切入点。几何证明题的证明方法主要有三个方面。第一，从“已知”入手，通过推理论证，得出“求证”；第二，从“求证”入手，通过分析，不断寻求“证据”的支撑，一直追溯回
1到“已知”；第三，从“已知”及“求证”两方面入手，通过分析找到中间“桥梁”，使之成为清晰的思维过程。
四、要善于挖掘及利用题目图形中的隐藏条件。有的证明题中的已知条件有限，仅从已知条件出发未必能够找出正确的证明方法，但如果善于观察及利用图形中的隐藏条件，则可能很容易证明。例如
“对顶角相等”、“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”、“在同一个圆中，同一段弧所对的圆周角相等”等等就不需要在题目及图形中说明或指出，但它们也属于已知条件。
除了要掌握几何证明题的常用方法外，还要知道一些类型题的解题技巧。下面以证明“两条线段相等”这一类型为例，说明它的解题技巧。
（一）要证明相等的两条线段在同一条直线或线段上。
这种题型的证明方法都是从“求证”问题入手，通过分析，寻求
“证据”回到“已知”条件。具体的证明方法是通过线段的加或减得到，例如：人教版九年级上册第88页第8题，如图1，两个圆都是以
O为圆心，求证：AC=BD。分析：要求证相等的两条线段AC与BD
都在同一条线段AB上，而AB是大圆的弦交小圆于C、D两点；而题目中可用的条件不多，B
因此可以结合圆、弦考虑作辅助线：过圆心O作
线段OEAB于E，则构成垂径定理，于是有AE=BE，CE=DE，AECE=AC，BEDE=BD，所以AC=BD。图
1（二）要证明相等的两条线段在同一个三角形内。
这种题型的主要证明方法是考虑用“等角对等边”定理展开证
明。例如：如图2，在△ABC中，AE是△ABC的外角∠DAC的平分线，且AE∥BC，求证：AB=AC。
分析：如果要证明AB=AC 证明：∵AE平分∠DAC∴∠DAE=∠EACE∵AE∥BC∴∠DAE=∠B，∠EAC=∠C
∴∠B=∠C∴△ABC是等腰三角形BC
图2∴AB=AC
（三）要证明相等的两条线段分别在两个三角形内。
这种题型的主要证明方法是考虑根据“三角形全等”的定理展开
证明。在证明前，首先要把这两条线段分在两个三角形内，再去考虑证明这两个三角形全等。例如，人教版八年级下册第121页第8题，如图3，四边形ABCD是等腰梯形，点E、F在BC上，且BE=FC，连接DE，AF，求证：DE=AF。
分析：因为要证明线段DE、AF相等，显然DE、AF不在同一个三角形内，也不在同一直线或线段上，所以要考虑用“三角形全等”的中，定理去进行证明，AF在△ABF中，DE在△DCEAD 因此可能性围绕证明△ABF≌△DCE，然
后结合已知条件“等腰梯形”有
AB=DC，∠B=∠C，这时已有“一边一角”，但还有一个条件“BE=FC”未BEFC 用，于是有BE+EF=FC+EF，即BF=CE，于是构图3成“SAS”，因此△ABF≌△DCE。这题主要从
“已知”及“求证”两方面入手，通过分析找到中间“桥梁”：△ABF≌△DCE。
如果遇到一些证明题比较棘手，利用上述三种方法都不能证明
时，可以考虑用线段的“转移”，即把“求证”中的其中一条线段使之与图中的另一条线段相等，于是就使得“求证”中的另一条线段与这条线段或在同一条直线（或线段）上，或在同一个三角形内，或在两个三角形中，再用上述三种方法的其中一种去进行证明。这种证明方法属于借助中间“桥梁”（当然可能还有其它方法可证，这要由题目的已知条件和图形去确定解题方法）。
例如，如图4，在△ABC中，AF是BC边上的中线，D是AF上的一
点，BD的延长线交AC于点E，且∠BDF=∠CAF。求证：BD=AC。
分析：在图4中所要求证的两条线段虽然可以分在两个三角形
（BD在△ABD或△BDE，AC在△ACF或△ABC）中，但它们显然不全
等，这时可以考虑通过作辅助线，使“AC”与BD在同一个三角形中，再用定理“等角对等边”去进行证明。辅助线作法：延长AF到G，使FG=AF，连接BG，如图5。这时△ACF≌△GBF（SAS），于是可得BG=AC以及∠G=∠CAF，而已知∠BDF=∠CAF，所以∠BDF=∠G，故BD=BG，从而得到BD=AC。这个过程相当于把AC转移到一条和它相等的线段BG
上，使之在同一个三角形中，这就是线段的“转移”，这也是证明题中的一种常用技巧。
A
E
BFC
图
4A
E
BFC
G
图
（作者：河南省唐河县刘军义）
几何做题很容易，证明过程写详细。数学原理巧运用，前后贯通有条理！题目信息不放过，必与结果有联系。学科符号用恰当，统一规范又适宜： 因为所以单点对，大小符号尖相抵； 图形符号缩字同，角线名称字母替。证理恰切书规范，美观整洁又得体！解释：
1、题目信息：指题目中给的证明条件。
2、结果：指要证明的内容。
3、因为所以单点对：指“∵”和“∴”竖写时情况。
4、尖相抵：指“＞”和“＜”横写时的情况。
5、图形符号缩字同：指“□”“◇”“△”等代替图形名称时占一个汉字的位置。
一、数列问题
数列解答题在高考中的考查主要为通项公式与前n项和公式,其中,第一问一般设置通项公式问题,可直接考查等差、等比数列的通项公式,也可以an与Sn的关系的形式给出;第二问相对比较综合,主要考查数列求和或数列与不等式、函数等知识结合的综合问题.
例1(2014年江西卷·理) 已知首项都是1的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N*)满足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.
(1)令cn=an/bn,求数列{cn}的通项公式;
(2)若bn=3n-1,求数列{an}的前n项和Sn..
二、三角问题
三角在高考中命题类型主要有:(1)三角与平面向量的交汇考查,一般将函数的解析式以平面向量的坐标形式的数量积的运算的形式给出,设置求周期与最值或单调区间类型的问题;(2) 三角与解三角形知识的交汇,主要是利用正、余弦定理解决三角形的面积;三角形内角的计算以及数量关系的证明等;(3)解三角形的一些实际应用问题.
例2(2014年安徽卷·理)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.
(1)求a的值;
(2)求sin (A+π/4)的值.
三、概率与统计问题
在近几年的高考中,解答题对概率与统计的考查主要有以下几种类型:统计与统计案例型、概率型、统计与概率相结合型,难度一般不大,只要掌握相关的基础知识即可顺利解答.
例3(2014年天津卷·理)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院. 现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).
(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.
随机变量X的数学期望E(X)=6/5.
四、立体几何问题
立体几何一般第一问考查空间中点、线、面的位置关系,第二问设置可以用性质、定理来定性解决,也可以用空间向量定量计算来解决的问题,多考查空间角或空间距离.
例4 (2014年新课标全国卷Ⅰ·理)如图 , 三棱柱ABC-A1B1C1中 , 侧面BB1C1C为菱形,AB⊥B1C.
(1)证明:AC=AB1;
(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角A-A1B1-C1的余弦值.
解:(1)证明略.
五、平面解析几何问题
圆锥曲线在高考中的主要命题形式为:给出曲线方程,讨论曲线的基本元素和简单的几何性质;给出曲线满足的条件,判断(或求)其轨迹; 给出直线与曲线、曲线与曲线的位置关系,讨论与其有联系的有关问题(如直线的方程、直线的条数、弦长、曲线中参数的取值范围等);讨论直线与曲线、曲线与曲线的关系;考查圆锥曲线与其它知识的综合(如与函数、数列、不等式、三角函数、向量、导数等).
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若动点P(x0,y0)为椭圆外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.
中考数学填空题解题技巧
一、直接法
这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。它是解填空 题的最基本、最常用的方法。使用直接法解填空题，要善于通过现象看本质，熟练应用解方程和解不等式的方法，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法。
二、特殊化法
当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，而已知条件中含有某些不确定的量，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的 恰当特殊值(或特殊函数，或特殊角，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论。这样可大大地简化推理、论证的过程。
三、数形结合法
“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”数学中大量数的问题后面都隐含着形的信息，图形的特征上也体现着数的关系。我们要将抽象、复杂的数量关 系，通过形的形象、直观揭示出来，以达到“形帮数”的目的;同时我们又要运用数的规律、数值的计算，来寻找处理形的方法，来达到“数促形”的目的。对于一 些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。
四、等价转化法
通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果。
中考数学复习谨记三大要素
第一，重视课本知识：任何科目的学习都万变不离其宗，数学也不例外，数学里面的这个“宗”，就是课本，因为所有的学习知识都来源于课本，考试的内容有些高于课本，但是基础知识点还是不会变化的，考试的试题就是课本知识的衍生物，要一点一点去挖掘试题背后的东西，找到其中要考试的重点是哪部分。所以课本还是不能丢的，不能一味地去做一些试题而忽略了课本这个根本。尤其是在学习新知识的时候，必须要保证将课本的知识点和例题弄明白，书后的每个练习都要认真地做一遍，这样才能说我们基本掌握了这一部分知识。
在暑假相信很多同学都会对将要学习的知识进行预习。有很多同学在对数学进行预习的时候有一个误区，就是认为我把书看了就是预习了，我觉得只有在看书的基础之上能够将课本上每节的配套练习解决才算真正的预习，因为数学知识的掌握情况最终还是得体现在解题中。
第二，要学会正确地纠错：在学习数学的过程中，每个人都会犯错，出现错误是正常的，并不可怕，可怕的是很多同学一错再错，这里面就涉及正确纠错的问题。暑假的时间相对充裕，正是我们纠错的好时机。但是数学的改错绝对不是简单地用红笔把得数改正就可以的。正确的纠错应该是首先搞清楚自己到底错在哪里，是自己对题目的分析有问题还是运算过程中出现了错误，其次大家要把自己的错误记在心里，时时强化自己的记忆，纠正头脑中的错误观念。如果条件允许，家长能够把孩子每天犯的错误单独抄在一个本上定期让孩子再重新做一遍，会收到更好的效果。
第三，做好总结：学习之后的总结是学习的一个重要环节，进行总结是对知识进行升华的过程。很多同学也知道要进行总结，但是需要总结什么很多人并不清楚，在这里建议同学们利用暑假时间总结以下几点：
1.总结旧知的知识结构。数学每一章都有一个知识体系，大家应该把这个知识体系总结出来并利用这个知识体系，记忆和掌握数学的各种定理和知识点。
2.总结自己一些容易出现错误的点。大家可以重新回忆自己出现过的错误，看看哪些地方是自己反复出现问题的点，往往反复出现问题的点就是自己的学习漏洞，如果运算有问题就强化运算能力，如果是知识有漏洞就把知识再回顾一遍，并适当地配合着知识做一些练习。
中考数学答题规范技巧
一、答题工具
答选择题时，必须用合格的2B铅笔填涂，如需要对答案进行修改，应使用绘图橡皮轻擦干净，注意不要擦破答题卡。禁止使用涂改液、修正带或透明胶带改错。必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后，再用0.5毫米黑色墨水签字笔描清楚。
二、答题规则与程序
①先选择题、填空题，再做解答题。
②先填涂再解答。
③先易后难。
三、答题位置
按题号在指定的答题区域内作答，如需对答案进行修改，可将需修改的内容划去，然后紧挨在其上方或其下方写出新的答案，修改部分在书写时与正文一样，不能超出该题答题区域的黑色矩形边框，否则修改的答案无效。
四、解题过程及书写格式要求
《考试说明》中对选择填空题提出的要求是“正确、合理、迅速”，因此，解答的基本策略是：快——运算要快，力戒小题大做;
稳——变形要稳，防止操之过急;
全——答案要全，避免对而不全;
活——解题要活，不要生搬硬套;
一、材料是解题关键，需要读懂
1.题干选项均材料。当题干和选项都是材料的时候，很显然，材料不读无法做题，材料不读懂无法做对题。然而，整个题目都是材料的时候尤其是文言文材料的时候，一般我们都会因为看不懂很烦躁而很长时间不能进入正题。所以当遇到这类情况，我们要镇定自如，要坚信麻烦不代表难，难也不是针对我一个，我不会别人也未必会。这样自我宽心可以让我们耐心读题，从而理清题目，快速准确解答。
2.仅是题干有材料。一般来说，“题眼”来自题干。如果题干主体就是材料，那么不言而喻，“题眼”就在材料中，所以读懂题干材料的显性和隐性信息非常必要。显性信息自然一读便可得，至于隐性信息，顾名思义则需要我们的“火眼金睛”去深挖发掘。如何练就我们的“火眼金睛”?除了认真审题和具有扎实基础，还需要的就是抓住细节、反复揣摩。
3.仅是选项有材料。四个选项之一就是题目的正确答案，所以当选项是材料的时候，我们必须把四个选项认真读懂，然后联系题干要求再作答。这类题目不可偷懒只去读部分选项进行排除，非材料类的选择题之所以可以运用简单排除法，是由于其文字理解难度小，有的叙述错误明显。而材料类选项本身材料就难懂，孰对孰错就更难分辨，模棱两可下是不可以使用排除法的。
二、材料是解题辅助，无需太懂
高考是多种能力的考查，为了体现出区分度，命题者也可谓“煞费苦心”。增加一些文言材料到选择题一方面增加了试题难度，另一方面也丰富了试题内容给考生设了一个“障眼法”。换句话说，有的是“醉翁之意不在酒”，形式上看是在考查学生文言理解能力和文字信息处理能力，实际上考的就是简单的书本知识。即使文言内容看不懂，只要基础知识牢固，题目照样可以轻松解决。不过，这些材料也不是一无是处，它可以起到解题辅助作用，让考生更顺利的解题。
三、材料是混淆视听，无需读懂
现在似乎是一个“包装时代”，试题也越来越注重包装追赶时代潮流。诚然，试题进行一定的包装改造，可以将考过的试题翻来覆去，也可以使整份试卷视觉感受不错。然而，有时也会成为考生答题的负担和干扰。所以我们考生不要畏惧纸老虎，再烦的题目、再难的题目都是由简单容易的题目组合改造而来。题目考的方式在变，但是知识点是不变的。
拓展：历史“死记硬背”也有技巧
注意中外史结合
中国近代史是世界近代史的一部分,在学习世界近代史时把中国近代史的相关知识联系起来.如学习“资本主义世界市场的初步形成”或“亚洲革命风暴”,就可以联系“鸦片战争”和“太平天国运动”,对两次鸦片战争发生的历史背景,战争产生的影响和太平天国运动的地位有进一步的了解;学习“欧洲的启蒙运动”,可以联系“辛亥革命”和“新文化运动”,认识西方资产阶级思想对中国革命的影响;学习“工业革命和资本主义经济的发展”可以联系中国的“洋务运动”和“中华民族工业的兴起”,对中国工业化的起步,工业化的历程及特点有进一步的认识.
在梯形ABCD中，AD∥BC，AC垂直BD，若AD=2，BC=8，BD=6，求（1）对角线AC的 长。（2）梯形的面积。
梯形
解： AC于BD交接点为O 设OC=x,OA=y,OD=z，则BO=6-y,三角形而AOD以AD为底得高h1,三角形BOC以BC为底的高h2.,因为AC垂直BD，AD=2，BC=8，BD=6。故AOD和BOC都为直接三角形，根据面积法得出两个①等式三角形AOD（2h1=yz），②三角形BOC（8h2=(6-z)x）.③三角形BDC（6x=8(h1+h2)）根据勾股定理求的2个等式，④y^2+z^2=4,⑤x^2+(6-z)^2=64 ,由①②③解得x=4y,通过这个x,y的关系带入④⑤可以解得z=6/5，y==8/5，x=32/5，h1=24/25,h2=96/25 ,故梯形的高位 24/5。则 AC=8.梯形面积为（2+8）*24/5*1/2=24在-44，-43，-42，…0，1，2，3，…2005，2006 这一串连续整数中，前100个数的和是多少？方法一 解：前100个数的和=-(1+2+----------------------+44)+(0+1+2+3+-----------------+55)
=-(1+44)*44/2+(1+55)*55/2=550方法二 解：前100个数的和
已知p[-1,2],点p关于x轴的对称点p1,关于直线y=-1的对称点为p2,关于直线y=3的对称点为p3,关于直线y=a的对称点为p4，分别写出p1,p2,p3,p4的坐标，从中你发现了什么规律？选择题 给出任意个选项，再把正确答案的序号填在括号里，而不是正确答案，但自己首先要算出正确答案，再把正确选项的序号填在括号里。(一般在答题卡是涂
“A”,“B”,“C”或“D”)例如：x+y=3 2x=y x=(1)y=(2)A1;2 B2;1 C0;0 D无解
要看清楚是不是直接写得数，如果是，就不能写过程，不是直接写得数的要写出过程，初学者过程要求详细，学的时间久些就可以适当简略些。记得要写“解”（特别是解方程），在考试时这样的题目因为解失分很不值，也要尽量不让它失分。
算完再验算一下。直接将得数代入即可。
∵什么平行于什么
∴∠=∠
或∠+∠=180°
∵∠等于∠或∠+∠=180°
∴什么平行什么
这些是简单的。
如果有一些复杂，都是这种格式，但要加多几步
∵两直线平行(已知)
∴∠X=∠Y(两只线平行，内错角(或同位角)相等)
或者是∠X+∠Y=180(两只线平行，筒旁内角互补)
： 怎么会用汉字表示呢，要用几何语言。比如两直线平行要写成a//b
我知道啊 只是一开始LZ没告诉得太详细
a平行b(符号不打了)
∴∠X=∠Y(两只线平行，内错角(或同位角)相等)
或者是∠X+∠Y=180(两只线平行，筒旁内角互补)
3
就是不知道怎么区分这两种证明格式：
1 当 时，满足 。。 并证明
回答时好像要把该满足的内容当做条件证明
2 试探究 。。。。。。。。同上
怎么回答时就要自己在草稿本上算出当 时，然后把它作为条件 得到满足 的结论
可能表达错了
反正就是 一种要把内容当条件 一种要算出条件 证明内容这个结论
4
证：【需要证的】
∵【从题目已知条件找】(已知)
∴【从上一步推结论】(定理)
……(写上你所找的已知条件然后推出结论进行证明，最好“∴”后面都标上所根据的定理)
∴【最终所证明的】
5
首先肯定是先写上“证明”二字。然后根据所问问题一问一问证明(注意：因为，所以)，因为就：摆出条件，所以：就得出结果。这个你可以买点参考书之类的`资料看看，注意他们的格式，好好自习的学学吧!祝你好运哦!
6
1 当 xx 时，满足 。。 是以xx为条件，做出答案。。
2 试探究 。。。。。。。。 是以。。。。。。。。。为条件，做出答案
证：【需要证的】
∵【从题目已知条件找】(已知)
∴【从上一步推结论】(定理)
……(写上你所找的已知条件然后推出结论进行证明，最好“∴”后面都标上所根据的定理)
∴【最终所证明的】
7
角边角
边角边
边边边
等 证明全等三角形
y=kx+b
y=ax+bx+c
将点的坐标代入函数解析式求出 k b或a b c
继续追问：
SSS、AAS、SAS、HL、ASA。这些那么简单，不用了。
我的问题是：如何根据题目来解或证明这2个三角形全等的格式
例如：因为....
25 In its country of Germany, the hot dog was called the frankfurter. It was named after Frankfurt, a German city. Frankfurters were first sold in the United States in the 1860s. Americans called frankfurters dachshund sausages . A dachshund is a dog from Germany with a very long body and short legs. Dachshund sausages first became popular in New York, especially at baseball games. At games they were sold by men who kept them warm in hot-water tanks. As the men walked up and down the rows of people, they yelled, Get your dachshund sausages! Get your hot dachshund sausages! People got the sausages on buns, a special bread.
One day in 1906, a newspaper cartoonist named Tad Dargan went to a baseball game. When he saw the man with the dachshund sausages, he got an idea for a cartoon. The next say at the newspaper office he drew a bun with a dachshund inside ---not a dachshund sausage, but a dachshund. Dorgan didn t know to spell dachshund. Under the cartoon, he wrote Get you hot dogs!
The cartoon caused deep interest and excitement, and so was the new name. If you go to a baseball games today, you can still see sellers walking around with hot-water tanks. As they walked up and down the rows they yell, Get your hot dogs here! Get your hot dogs!
The main purpose of the passage is to show_____.
A the home country of the hot dog
对于证明题，有三种思考方式：
(1)正向思维。对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出，这里就不详细讲述了。
(2)逆向思维。顾名思义，就是从相反的方向思考问题。运用逆向思维解题，能使学生从不同角度，不同方向思考问题，探索解题方法，从而拓宽学生的解题思路。这种方法是推荐学生一定要掌握的。在初中数学中，逆向思维是非常重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显，数学这门学科知识点很少，关键是怎样运用，对于初中几何证明题，最好用的方法就是用逆向思维法。如果你已经上初三了，几何学的不好，做题没有思路，那你一定要注意了：从现在开始，总结做题方法。同学们认真读完一道题的题干后，不知道从何入手，建议你从结论出发。例如：可以有这样的思考过程：要证明某两条边相等，那么结合图形可以看出，只要证出某两个三角形相等即可;要证三角形全等，结合所给的条件，看还缺少什么条件需要证明，证明这个条件又需要怎样做辅助线，这样思考下去……这样我们就找到了解题的思路，然后把过程正着写出来就可以了。这是非常好用的方法，同学们一定要试一试。
(3)正逆结合。对于从结论很难分析出思路的题目，同学们可以结合结论和已知条件认真的分析，初中数学中，一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的，所以可以从已知条件中寻找思路，比如给我们三角形某边中点，我们就要想到是否要连出中位线，或者是否要用到中点倍长法。给我们梯形，我们就要想到是否要做高，或平移腰，或平移对角线，或补形等等。正逆结合，战无不胜。
几何证明题入门难，证明题难做，是许多初中生在学习中的共识，这里面有很多因素，有主观的、也有客观的，学习不得法，没有适当的解题思路则是其中的一个重要原因。掌握证明题的一般思路、探讨证题过程中的数学思维、总结证题的基本规律是求解几何证明题的关键。在这里结合自己的教学经验，谈谈自己的一些方法与大家一起分享。
一要审题。很多学生在把一个题目读完后，还没有弄清楚题目讲的是什么意思，题目让你求证的是什么都不知道，这非常不可龋我们应该逐个条件的读，给的条件有什么用，在脑海中打个问号，再对应图形来对号入座，结论从什么地方入手去寻找，也在图中找到位置。
二要记。这里的记有两层意思。第一层意思是要标记，在读题的时候每个条件，你要在所给的图形中标记出来。如给出对边相等，就用边相等的符号来表示。第二层意思是要牢记，题目给出的条件不仅要标记，还要记在脑海中，做到不看题，就可以把题目复述出来。
三要引申。难度大一点的题目往往把一些条件隐藏起来，所以我们要会引申，那么这里的引申就需要平时的积累，平时在课堂上学的基本知识点掌握牢固，平时训练的一些特殊图形要熟记，在审题与记的时候要想到由这些条件你还可以得到哪些结论(就像电脑一下，你一点击开始立刻弹出对应的菜单)，然后在图形旁边标注，虽然有些条件在证明时可能用不上，但是这样长期的积累，便于以后难题的学习。
四要分析综合法。分析综合法也就是要逆向推理，从题目要你证明的结论出发往回推理。看看结论是要证明角相等，还是边相等，等等，如证明角相等的方法有(1.对顶角相等2.平行线里同位角相等、内错角相等3.余角、补角定理4.角平分线定义5.等腰三角形6.全等三角形的对应角等等方法。然后结合题意选出其中的一种方法，然后再考虑用这种方法证明还缺少哪些条件，把题目转换成证明其他的结论，通常缺少的条件会在第三步引申出的条件和题目中出现，这时再把这些条件综合在一起，很条理的写出证明过程。
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