随机事件及其概率小结

随机事件及其概率小结

随机事件及其概率小结 篇1

一、知识点网络图

随机事件及其概率样本空间、样本点、事件的定义事件的关系及运算事件的关系及运算（、=、、、-、互斥、对立）算律（重点：对偶率的灵合运用）统计定义、古典定义、几何定义、主观概率概率定义及性质性质：定义中三条基本性质5条性质(BA)P(AB)P(A)P(B)减法公式(一般情况）P(AB)P(A)P(AB)P(AB)P(A)P(B)（A，B互斥）加法公式P(AB)P(A)P(B)P(AB)(一般情况）(A，B独立)P(AB)P(A)P(B)乘法公式P(AB)P(A)P(B|A)（一般情况）L(A)概率的计算古典概率P(A)m/n,几何概率P(A)L()P(AB)条件概率P(B|A)P(A)全概公式P(A)P(Bi)P(A|Bi)i=1P(B)P(A|Bi)逆概公式P(Bi||A)ik1,2,3,...P(Bi)P(A|Bi)i=1两个事件独立P(AB)P(A)P(B)多个事件独立独立试验kknk贝努里概型P(k)Cp(1p)k0,1,2,......n.nn

二、解题基本思路和技巧

1、掌握事件关系和运算的概率语言，斟酌题目中的“字眼”，准确的用字母表示问题中事件关系与运算.如：（1）“至少有一个”、“或”，就是事件的和；（2）“同时”、“且”、“都”表明是事件的积；（3）“有返回”、“彼此无关”、“重复”等都说明事件独立；（4）重复实验中带个“恰”，往往是贝努里概型；（5）在问题中隐含着“包含关系”、“先后关系”、“主次关系”的就要考虑条件概率。„„

2、解决复杂事件的方法有：利用事件的运算性质化简成简单事件之和（或积）；

考虑它的对立事件或者等价事件.勤动手，画个韦恩图给出直观想象，往往会得到事半功倍的效果.3、在古典概型、几何概型计算中，首先判断样本点是否具有等概性，计算古典概型中的分子与分母时，思路必须一致

4、减法公式、加法公式、乘法公式都有两个，一般和特殊，用时注意条件。

5、条件概率有两种计算方法；利用古典概型直接计算；利用定义中公式计算.6、全概公式与逆概公式是综合利用加法公式、条件概率、乘法公式解决复合事件概率问题的，关键是分析找出“结果”事件与影响结果的“原因”事件，且诸“原因”事件构成完备事件组。

求“结果”发生的概率，用全概公式；

随机事件及其概率小结 篇2

1. 教材及内容分析

《随机事件及其概率》是苏教版高中必修三第七章《概率》的第一小节内容，学生们在初中阶段已经对概率有过初步的认识，这节课是初中和高中概率知识的承接点，也是学生系统的学习概率的开始。

2. 教学过程

(1)创设生活情境，引入主题。上课之初，教师向学生展示一组生活中有关概率的图片，利用多彩与贴近生活的图片，向学生发问：一块石头会在一天就风化吗?王义夫这一枪会击中十环吗?我扔下一枚硬币它能出现正面的可能性有多大呢?让我们通过本节课的学习揭开这个谜底吧。

(2)创设问题情境，深化概念。教师向学生展示以下问题，让学生思考这些事件能否发生，有什么特点。如：“地球不断自西向东转动”“投一枚硬币出现正面”“在标准大气压下温度在零度以上时，雪结冰”学生在这些问题下，思考出了事情的必然发生、不可能发生、可能发生也可能不发生等情况。教师趁热打铁，引导学生总结随机事件、必然事件、不可能事件的概念。

(3)小组合作探究，发现概率的规律。教师引导学生以小组为单位，进行抛硬币的记录填表，观察其得出的结果并进行频率的计算，最后总结规律。根据这次试验，学生们得出了这样的结论“当抛掷的硬币的次数尽可能多的时候，硬币出现正面或者反面的频率值在常数值0.5左右，并且这一频率值是稳定的。因此，教师由特殊到一般引入概念：“一般地，如果随机事件A在n次试验中发生了m次，当试验的次数n很大的时候，我们可以把发生的频率m/n，作为事件A发生的概率的近似值。填表记录如下：

(4)引导学生创设例题，对知识进行运用。在学生对随机事件、必然事件、不可能事件的概念有了一定掌握的基础上，教师引导学生相互间进行创设与本节课相关的事件，学生们创设的问题如下：在一个物品袋里装有一角、五角、一元的硬币，随机拿出一枚是五角;在同一时间抛掷的两颗骰子，点数同时为六;在标准大气压下，水在89℃沸腾……

(5)将所学习的数学知识，应用于历史事件。在本节课的最后，教师引入以下典故，让学生进行思考。一次，梅累和朋友投掷骰子，每个人押的赌注是32个金币，梅累如果投掷出三次6点，朋友投掷三次4点就算对方赢，但是当梅累投掷两次6点，朋友投掷一次4点的时候，其中一人突然有事要离开，请问这两个人应该怎样分64枚金币才算合理?

3. 教学反思

在本节课的第一个环节，教师让学生回归生活，通过贴近生活的图片让学生感受到了身边存在着的数学问题，激发了学生学习的兴趣。在学生刚刚对所学知识感兴趣的时候，笔者采取了第二个环节，创设问题情境，让学生主动思考。学生通过思考生活中的常识性问题，通过主动思考发现了这些时间中存在着的随机事件、必然事件、不可能事件。而第三个环节则是本节课的亮点，教师并没有直接讲出概率是怎样得出的，而是让学生小组为单位，通过亲自动手，小组间的合作，探究出概率得出的过程以及呈现的规律，这个过程充分尊重了学生的主体性地位，让学生主动参与，主动探索，主动思考，得出结论。

随机事件的概率 篇3

例1 某企业生产的乒乓球被下届奥运会指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示：

（1）计算表中乒乓球优等品的频率；

（2）从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少（结果保留到小数点后三位）？

解析 （1）依据公式[f=mn]，计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900，0.920，0.970，0.940，0.954，0.951.

（2）由（1）知，抽取的球数[n]不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取球数的增多，频率在常数0.950的附近摆动，所以质量检查为优等品的概率约为0.950.

变式1 某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：

（1）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；

（2）在样本车辆中，车主是新司机的占[10%]，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占[20%]，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率.

解析 （1）设[A]表示事件“赔付金额为3000”元，[B]表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得：[P（A）=1501000=0.15]，[P（B）=1201000=0.12]. 由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3000元和4000元，所以概率为[P（A）+P（B）=0.27].

（2）设[C]表示事件“投保车辆新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有100辆，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有24辆，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为0.24，由频率估计概率得，[P（C）=0.24].

点拨 频率是个不确定的数，可以在一定程度上反映事件发生的可能性大小，但无法从根本上刻画事件发生的可能性大小. 但从大量重复试验中发现，随着试验次数的增多，事件发生的频率就会稳定于某一固定的值，该值就是概率.

随机事件的关系

例2 一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6. 将这个玩具向上抛掷1次，设事件[A]表示向上的一面出现奇数点，事件[B]表示向上的一面出现的点数不超过3，事件[C]表示向上的一面出现的点数不小于4，则（ ）

A. [A]与[B]是互斥而非对立事件

B. [A]与[B]是对立事件

C. [B]与[C]是互斥而非对立事件

D. [B]与[C]是对立事件

解析 根据互斥与对立的定义作答，[A?B=][出现点数1或3，]事件[A，B]不互斥更不对立. [B?C][=?，][B?C=Ω]（[Ω]为必然事件），故事件[B，C]是对立事件.

答案 D

变式2 对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹. 设[A={两次都击中飞机}，][B={两次都没击中飞机}，][C={恰有一次击中飞机}，][D={至少有一次击中飞机}，]其中彼此互斥的事件是 ，互为对立事件的是 .

答案 [A与B，A与C，B与C，B与D B与D]

点拨 对于互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件. 这些可以类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而判定所给事件的关系.

互斥事件、对立事件的概率

例3 经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：

求：（1）至多2人排队等候的概率是多少？

（2）至少3人排队等候的概率是多少？

解析 记“无人排队等候”为事件[A，]“1人排队等候”为事件[B，]“2人排队等候”为事件[C，]“3人排队等候”为事件[D，]“4人排队等候”为事件[E，]“5人及5人以上排队等候”为事件[F，]则事件[A，B，C，D，E，F]彼此互斥.

（1）记“至多2人排队等候”为事件[G，]

则[G=A+B][+C，]

所以[P（G）=P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）]

[=0.1+0.16+0.3=0.56].

（2）法一：记“至多3人排队等候”为事件[H，]

则[H=D+E+F，]

所以[P（H）=P（D+E+F）=P（D）+P（E）+P（F）=0.44.]

法二：记“至多3人排队等候”为事件[H，]则其对立事件是[G，]

所以[P（H）=1-P（G）=0.44].

变式3 某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门. 首次到达此门，系统会随机为你打开一个通道. 1号通道需要1小时走出迷宫，2，3号则分别需要2，3个小时返回智能门. 再次来到智能门时，系统会随机打开一个未到过的通道，直至走出迷宫为止.

求：（1）求走出迷宫时恰好用了1小时的概率；

（2）求走出迷宫的时间超过了3小时的概率.

解析 记“选择1号通道”为事件[A；]

“先选择2号通道，再选择1号通道”为事件[B；]

“先选择2号通道，再选择3号通道，再选择1号通道”为事件[C；]

“先选择3号通道，再选择1号通道”为事件[D；]

“先选择3号通道，再选择2号通道，再选择1号通道”为事件[E.]

易知，[A，B，C，D，E]互为互斥事件，且[P（A）=13，P（B）][=P（C）=P（D）][=P（E）=16].

（1）[P=P（A）=13.]

（2）法一：[P=P（C+D+E）=P（C）+P（D）+P（E）=12.]

法二：[P=1-P（A+B）=12.]

点拨 （1）解决此类问题，首先应根据互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算. （2）求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：①直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算；②间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式[P（A）=1-P（A）]求解，即用正难则反的数学思想，特别是“至多”“至少”型问题，用间接法更为简便.

《随机事件的概率》教学设计 篇4

知识目标：

了解必然事件、不可能事件、随机事件的概念;理解和掌握概率的统计定义及其性质。

能力目标：

通过不断地提出问题和解决问题，培养学生猜测、验证等探究能力。

情感目标：

在探究过程中，鼓励学生大胆猜测，大胆尝试，培养学生勇于创新、敢于实践等良好的个性品质。

教学重点与难点：

重点：理解概率的统计定义及其基本性质。

难点：认识频率与概率的区别和联系。

教学过程：

（一）设置情境、引入课题

观察下列事件发生与否，各有什么特点?（教师用课件演示情境）

（1）地球不停地转动; 必然发生。

（2）木柴燃烧，产生能量; 必然发生。

（3）在常温下，石头风化; 不可能发生。

（4）某人射击一次，中靶; 可能发生也可能不发生。

（5）掷一枚硬币，出现正面; 可能发生也可能不发生。

（6）在标准大气压下且温度低于0℃时，雪融化。 不可能发生。

定义：在条件S下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件;

在条件S下必然要发生的事件叫必然事件;

在条件S下不可能发生的事件叫不可能事件。

确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C…表示。

（二）探索实践、建构知识

让我们来做两个实验：

实验（1）：把一枚硬币抛多次，观察其出现的结果，并记录各结果出现的频数，然后计算各频率。

上课前一天事先布置作业，要求学生每人完成50次。

上课前一天事先布置作业，要求学生每人完成50次。

然后请同学们再以小组为单位，统计好数据。

投掷一枚硬币，出现正面可能性究竟有多大?（教师用电脑模拟演示）

实验（2）：把一个骰子抛掷多次，观察其出现的结果，并记录各结果出现的频数，然后计算各频率。

（先学生自己做实验，然后教师用电脑模拟演示）

根据两个实验分别回答下列问题：

（1）在实验中出现了几种实验结果?还有其它实验结果吗?

（2）这些实验结果出现的频率有何关系?

（3）如果允许你做大量重复试验，你认为结果又如何呢?

结论分析：

实验（1）中只出现两种结果，没有其它结果，每一次试验的结果不固定，但只是“正面”、“反面”两种中的一种，且它们出现的频率均接近于0.5，但不相等。

实验（2）中只出现六种结果，没有其它结果，每一次试验的结果不固定，但只是六种中的某一种，它们出现的频率不等。当大量重复试验时，六种结果的频率都接近于1/6。

概率的定义：

一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）。

注意以下几点：

（1）只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A的概率;

（2）概率与频率的区别：概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值;

（3）概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率;

（4）概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的`概率为0，随机事件的概率为1/2，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形。

（三）范例讲解、巩固检测

1、讲解范例：

例1、指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件。

（1）某地1月1日刮西北风;

（2）当x是实数时，x2≥0;

（3）手电筒的电池没电，灯泡发亮;

（4）一个电影院某天的上座率超过50%。

例2、某种新药在使用的患者中进行调查的结果如下表：

请填写表中有效频率一栏，并指出该药的有效概率是多少?

例3、（1）某厂一批产品的次品率为x，问任意抽取其中10件产品是否一定会发现一件次品?为什么?

（2）10件产品中次品率为x，问这10件产品中必有一件次品的说法是否正确?为什么?（解：（1）不一定;（2）正确）

2、基础练习：

（1）课本P126练习题。

（2）补充：判断下列说法是否正确。（口答）

①随机事件的频率具有偶然性，其概率则是一个常数。

②不进行大量重复的随机试验，随机事件的概率就不存在。

③当试验次数增大到一定时，随机事件的频率会等于概率。

（本题主要是为了检测学生对频率与概率的认识）

（四）总结提练、提高能力

本节课需掌握的知识：

①了解必然事件，不可能事件，随机事件的概念;

②理解随机事件的发生在大量重复试验下，呈现规律性;

③理解概率的意义及其性质。

（可以让学生自己总结，教师补充完善）

（五）布置作业、探究延续

随机事件及其概率小结 篇5

一、教学目标

1、通过实例理解确定性现象与随机现象的含义和随机事件、必然事件、不可能事件的概念及其意；

2、根据定义判断给定事件的类型，明确事件发生的条件是判断事件的类型的关键；

3、理解随机事件的频率定义及概率的统计定义，知道根据概率的统计定义计算概率的方法, 理解频率和概率的区别和联系；

4、通过对概率的学习，使学生对对立统一的辨证规律有进一步的认识。

二、教学重点

根据随机事件、必然事件、不可能事件的概念判断给定事件的类型，并能用概率来刻画实际生活中发生的随机现象，理解频率和概率的区别和联系。

三、教学难点

理解随机事件的频率定义及概率的统计定义及计算概率的方法，理解频率和概率的区别和联系。

四、教学过程

1、问题情景：

[设置情景]1名数学家＝10个师

在第二次世界大战中，美国曾经宣布：一名优秀数学家的作用超过10个师的兵力。这句话有一个非同寻常的来历。

1943年以前，在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击，当时，英美两国限于实力，无力增派更多的护航舰，一时间，德军的“潜艇战”搞得盟军焦头烂额。为此，有位美国海军将领专门去请教了几位数学家，数学家们运用概率论分析后得出，舰队与敌潜艇相遇是一个随机事件，从数学角度来看这一问题，它具有一定的规律性。一定数量的船（为100艘）编队规模越小，编次就越多（为每次20艘，就要有5个编次），编次越多，与敌人相遇的概率就越大。美国海军接受了数学家的建议，命令舰队在指定海域集合，再集体通过危险海域，然后各自驶向预定港口。结果奇迹出现了：盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的25%降为1%，大大减少了损失，保证了物资的及时供应。在自然界和实际生活中，我们会遇到各种各样的现象。如果从结果能否预知的角度来看，可以分为两大类：一类现象的结果总是确定的，即在一定的条件下，它所出现的结果是可以预知的，这类现象称为确定性现象；另一类现象的结果是无法预知的，即在一定的条件下，出现那种结果是无法预先确定的，这类现象称为随机现象。

确定性现象，一般有着较明显得内在规律，因此比较容易掌握它。而随机现象，由于它具有不确定性，因此它成为人们研究的重点。

随机现象在一定条件下具有多种可能发生的结果，我们把随机现象的结果称为随机事件。

观察下列现象发生与否，各有什么特点？

（1）在标准大气压下，把水加热到100C，沸腾；（2）导体通电，发热；（3）同性电荷，互相吸引；（4）实心铁块丢入水中，铁块浮起；（5）买一张福利彩票，中奖；（6）掷一枚硬币，正面朝上。引导学生分析：（1）（2）两种现象必然发生，（3）（4）两种现象不可能发生，（5）（6）两种现象可能发生，也可能不发生。

2、建构数学

（1）几个概念

确定性现象：在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果的现象；

随机现象：在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果的现象；

事件的定义： 对于某个现象，如果能让其条件实现一次，就是进行了一次试验。而试验的每一种可能的结果，都是一个事件。

必然事件：在一定条件下必然发生的事件；

不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件；

随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。

初中课本上把“随机事件”表述为“不确定事件”，“必然事件”与“不可能事件”统称“确定事件”。必然事件与不可能事件反映的都是在一定条件下的确定性现象，而随机事件反映的则是随机现象。我们用A，B，C等大写英文字母表示随机事件，简称为事件。

说明：三种事件都是在“一定条件下”发生的，当条件改变时，事件的类型也可以发生变化。例如，水加热到100C时沸腾的大前提是在标准大气压下，太阳从东边升起的大前提 是从地球上看等。

例1 试判断下列事件是随机事件、必然事件、还是不可能事件 :(1)我国东南沿海某地明年将3次受到热带气旋的侵袭；

(2)若a为实数，则|a|0；

(3)某人开车通过10个路口都将遇到绿灯；(4)抛一石块，石块下落；

(5)一个正六面体的六个面分别写有数字1，2，3，4，5，6，将它抛掷两次，向上的面的数字之和大于12。

解：由题意知，（2）（4）为必然事件；（5）是不可能事件；（1）（3）是随机事件。（2）随机事件的概率。

我们已经学习用概率表示一个事件在一次试验或观测中发生的可能性的大小，它是在0～1之间的一个数，将这个事件记为A，用PA表示事件A发生的概率.怎样确定一事件发生的概率呢？（2）概率

实验：在《算法初步》一章中，我们曾设计了一个抛掷硬币的模拟试验。图3-1-1是连 续8次模拟试验的结果：

图3.1.1 我们看到，当模拟次数很大时，正面向上的频率值接近于常数0.5，并在其附近摆动。在相同条件下，随着试验次数的增多，随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画该随机事件发生的可能性大小，而将频率作为其近似值。

概率：一般地，如果随机事件A在n次试验中发生了m次，当试验的次数n很大时，我们可以将发生的频率mm作为事件A发生的概率的近似值，即PA。

nn对于概率的统计定义，注意以下几点：

（1）求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验；

（2）只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A的概率；（3）概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；（4）概率反映了随机事件发生的可能性的大小；

（5）必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0。因此0PA1。

（3）频率的稳定性

频率的稳定性，即大量重复试验时，任何结果（事件）出现的频率尽管是随机的，频率却“稳定”在某一个常数附近，试验的次数越多，频率与这个常数的偏差大的可能性越小，这一常数就成为该事件的概率。（4）“频率”和“概率”这两个概念的区别

① 频率具有随机性，它反映的是某一随机事件出现的频繁程度，它反映的是随机事件出现的可能性；

② 概率是一个客观常数，它反映了随机事件的属性。

3、数学运用

（1）例题：

例

2某市统计近几年新生儿出生数及其中男婴数（单位：人）如下：

表3-1-2

(1)试计算男婴各年出生的频率（精确到0.001）；(2)该市男婴出生的概率是多少？ 解：（1）1999年男婴出生的频率为

114530.524，同理可求得2000年、2001年和

218402002年男婴出生的频率分别为0.521，0.512，0.512；

(2)各年男婴出生的频率在0.510.53之间，故该市男婴出生的概率约为0.52。

例

3（1）某厂一批产品的次品率为一件次品？为什么？

（2）10件产品中次品率为

1，问任意抽取其中10件产品是否一定会发现101，问这10件产品中必有一件次品的说法是否正确？为什10么？

解：（1）错误；（2）正确。（2）练习

（1）p88，练习第1、3题；（2）p91，练习第1、3题；

（3）某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习，结果如下表所示：

（1）计算表中进球的频率；

（2）这位运动员投篮一次，进球概率约是多少？ 解：（1）进球的频率分别为

681217250.75，0.8，0.8，0.85，0.83，81015203032380.8，0.76。4050（2）由于进球频率都在8.0左右摆动，故这位运动员投篮一次，进球的概率约是0.8。

五、回顾小结

1、理解确定性现象、随机现象、事件、随机事件、必然事件、不可能事件的概念并会判断给定事件的类型。

2、理解概率的定义和两个性质：①0PA1；②P1，P1，理解频率和概率的区别和联系。

六、课外作业

p88，练习第2题；

随机事件及其概率小结 篇6

随机线性系统依概率稳定的若干等价条件

在系统分析与设计时,需要对系统的动态行为有所了解.为此,讨论了It微分方程描述的线性随机系统依概率稳定性问题.借助Cauchy矩阵,利用测度的单调性与连续性,得到了该类系统在概率意义下的稳定性,包括稳定、一致稳定、渐近稳定和全局稳定的`若干充要条件,这些条件只与Cauchy矩阵的有界性和吸引性有关.

作 者：廖伍代 沈轶 廖晓昕 作者单位：华中科技大学控制科学与工程系刊 名：华中科技大学学报(自然科学版) ISTIC EI PKU英文刊名：JOURNAL OF HUAZHONG UNIVERSITY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY(NATURE SCIENCE)年，卷(期)：30(7)分类号：O231.13关键词：It 随机微分方程 依概率稳定 测度连续与单调

随机事件及其概率小结 篇7

关键词：启发式教学,条件概率,随机事件间的独立性

一、引言

我国古代大教育家孔子曾论述:“不愤不启, 不悱不发”, 意指对教师来讲, 应该通过自己的外因作用, 调动起学生的内因的积极性。启发式教学, 就是根据教学目的、内容、学生的知识水平和知识规律, 运用各种教学手段, 采用启发诱导办法传授知识、培养能力, 使学生积极主动地学习, 以促进身心发展。

对于我们三本经管类院校的学生, 其数学基础相对薄弱, 如何在学习数学时提高他们的学习积极性是至关重要的。而学习积极性在很大程度上和教师的主导作用有直接关系, 因此在全课教学中进行启发式教学, 提高学生学习积极性, 从而全方位地提高学生的能力。启发式教学对于教师的要求就是引导转化, 把知识转化为学生的具体知识, 再进一步把学生的具体知识转化为能力。教师的主导作用就表现在这两个转化上, 引导是转化的关键。下面我以《概率论与数理统计》中的条件概率、随机事件相互独立的概念的讲解为例, 为大家介绍一下我平时在课堂中是如何运用启发式教学法的。

二、教学目标

在教师的引导下, 学生们通过自己的演绎推理出条件概率的定义式, 进而看透其本质, 会应用它解决实际问题。随机事件间的独立, 这里的“独立”和我们平时说的“独立”有何区别?通过教师的引导让学生把随机事件A、B间的独立性与概率等式P (AB) =P (A) P (B) 等价起来, 进而得出引入独立性数学定义的必要性。

三、授课模式

在指导学生学习的过程中, 是“授之以鱼”还是“授之以渔”, 每一位有远见的教师都会选择后一种答案。教师在授课过程中应逐步引导学生掌握解决问题的方式方法, 让学生直接参与探索教学, 充分发挥学生的主观能动性, 开发学生的创新能力, 使学生在学习中有成就感, 这样有利于培养他们确立科学的态度和掌握科学的方法。就像我最喜欢的一句英文格言所说“I hear, I forget.I see, I remember.I do, I understand.”

我的做法是, 在课堂上着重问题的创设, 提供氛围, 让学生在实践活动中发现问题, 着手解决问题, 使学生成为学习的主人, 教师则成为学生的“协作者”。

1. 条件概率。

描述性定义:在已知事件A发生的条件下, 事件B发生的概率, 称为条件概率, 记作P (B |A) .

问题:条件概率P (B |A) 如何定义、计算?

引例1请同学们思考如下问题:

抛掷一枚均匀的骰子, 观察其出现点数的情况。设事件A为“偶数点出现”, 事件B为“4点出现”。现在来求已知事件A发生的条件下, 事件B发生的概率。

求解:引导学生分析出已知和所求。

已知:样本空间Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}, A={2, 4, 6}, B={4}.

所求:条件概率P (B |A) .

再引导学生画出如下文氏图:

显然利用上述信息, 原来的样本空间Ω缩减为A可得

其中1是事件AB中的样本点个数, 3是事件A中的样本点个数, 而样本空间共包含6个样本点。到此处, 同学们就很容易想到了古典概率的计算公式, 可得出

由学生自己总结归纳出, 只要在P (A) >0的条件下, 上述式子中的头尾部分具有一般性, 就可得到条件概率的数学定义:

定义1设A, B是样本空间Ω中的两个事件, 如果P (A) >0, 那么在事件A发生的条件下, 事件B发生的条件概率P (B A) 定义为

思考:你是否能写出在事件B发生的条件下, 事件A发生的条件概率P (A| B) 公式?

显然学生会得到如下定义:

设A, B是样本空间Ω中的两个事件, 如果P (B) >0, 那么在事件B发生的条件下, 事件A发生的条件概率P (A| B) 定义为

2. 两个事件间的独立性。

描述性定义:两个事件A和B相互独立, 直观含义是指事件A和B在发生可能性 (概率) 上相互没有影响。

问题:如何定量描述事件A和B在概率上相互没有影响?

此处提醒学生注意“相互”二字, 所以考虑两个方面:

(1) “在概率上, 事件A不影响事件B”, 等价于说, P (B A) =P (B) .

结合上面学习的条件概率定义得

(2) “在概率上, 事件B不影响事件A”, 等价于说, P (A| B) =P (A) .

结合上面学习的条件概率定义得

思考:由上述两个方面我们得到什么结论呢?

事件相互独立的数学定义:设A和B是任意两个随机事件, 如果P (AB) =P (A) P (B) , 则称事件A和B相互独立, 简称独立。

此处举个例子, 来熟悉应用一下该定义:

例考察抛掷两枚均匀骰子的试验, 记事件A为“第一枚点数为4”, 事件B为“第二枚点数为3”, 请判断A和B是否独立?

本题利用古典概率和独立性定义很容易得出结论, A和B是相互独立的。但是有同学会发出这样的疑问:老师, 我们从自己的经验也能知道A和B是相互独立的, 为什么还用这样的概率等式去验证呢?为消除学生的疑问, 我又在本题的基础上加上一问:记事件C为“两枚点数之和为7”, 判断A和C是否独立?通过这一问的解决, 学生自己会意识到直观经验有时会误导我们, 从而理解了随机事件的独立性及引入其严格的数学定义的必要性。

对一些学习能力、基础比较弱的学生, 以引导为主, 通过引导, 来掌握一些上课时不容易掌握的内容, 不让他们失去学习的兴趣, 并通过一些启发激发他们更好地学习这门课程, 变被动的“灌输”式为主动的“汲取”式。

现代教育思想明确指出:“最有效的学习方法就是让学生在体验和创造的过程中学习”。教学, 是要通过教师的工作使学生爱学、会学。学生的学习是否有学习积极性非常重要, 启发式教学的关键就是调动学生的学习积极性。

参考文献

[1]茆诗松, 周纪芗.概率论与数理统计[M].北京:中国统计出版社, 1999.

随机事件及其概率小结 篇8

一、零件在随机应力和随机强度下可靠度的模糊应力或模糊强度事件的概率表达

设随机应力和随机强度的概率密度函数分别为和，其函数曲线如图1所示。

由应力和强度干涉和概率密度函数联合积分法可以推得可靠度计算公式：

（1）

在随机应力和随机强度的分布密度已知的情况下，（1）式计算的零件可靠度是一个确定的数值。零件在随机应力和随机强度下的可靠度的计算可以转化为零件在随机应力和由随机强度决定下的模糊强度隶属函数的模糊概率问题。对（1）式经简单变换即可：

由于（1）式中符合隶属函数定义区间，因此，

（2）

可以看出（2）式为戒上型（偏小型）隶属函数；将（2）式分别代入（1）式并进一步推得：

（3）

由此可见，（3）式为随机应力与模糊强度或者为随机强度与模糊应力所表达的模糊事件的模糊概率的可靠度的计算公式。

二、零件在随机应力和随机强度下的一般模糊事件的概率问题

零件在随机应力和随机强度下的模糊事件的概率，其概率密度为和，则功能密度函数为：

（4）

其中和表示影响零件强度和应力的各种因素矢量，Z为影响零件功能的各种因素矢量。

对于（4）式可以提出如下三种随机强度和随机应力的模糊事件及其概率问题：

即随机应力和随机强度相等的临界模糊事件}；

即随机应力大于随机强度的失效模糊事件}；

即随机应力小于随机强度的安全模糊事件}。

对于模糊事件为对称型隶属函数；对于模糊事件为戒上型隶属函数；对于模糊事件为戒下型隶属函数。这里以线性隶属函数给出计算公式。

这三种模糊事件的概率由勒贝格积分公式可得：

（5）

如果这三个模糊事件互补且完备，则这三个模糊事件的概率和應为1。

由（5）式可知模糊事件的概率可以通过计算机仿真求隶属函数的数学期望。

三、结论

对于给定的随机应力和随机强度，在概率分布密度函数已知的情况下，零件的可靠度由应力—强度干涉模型给出的可靠度是唯一的，可以转化为相应模糊应力和随机强度或模糊强度和随机应力的模糊事件的概率所表达的可靠度，是分别由随机强度和随机应力的概率分布密度函数唯一确定。

参考文献

[1]王超，王金编著.机械可靠性工程.北京：冶金工业出版社，1992

[2]王彩华，宋连天编著.模糊数学方法学.北京：中国建筑工业出版社，1988