函数奇偶性教学反思

函数奇偶性教学反思（精选14篇）

函数奇偶性教学反思 篇1

本节课讲授的内容是函数的奇偶性。函数的奇偶性是函数的一个很重要的性质，尤其是对其定义的把握是非常重要的。本节授课主要以学案与幻灯片相结合的形式，从不同的角度，逐步引导学生得出奇偶函数的定义及其图像特征。

学案方面：学案的设计好坏是能否有效引导学生对一节的知识达到从初步了解到很好理解的关键。由于学生的基础比较差，因此，本节学案的编写主要以由简到难，由具体到抽象，由个别到一般的形式呈现，一边回顾一边总结，层层递进，通过自己绘制图像，观察图像，完成学案，逐步引导学生得出奇偶函数的定义。

幻灯片方面：首先列举了一些生活中随处可见的对称图形的例子，让学生体会对称美，同时复习了初中关于对称图形的内容。然后具体以两个函数为例，分析其图像特征，观察体会其中的对称，最后总结得出奇偶函数的定义及图形特征。

学生活动方面：1.课前以小组为单位讨论完成学案；2.课堂展示完成情况；3.积极参与问题的回答。

通过本节课的讲授也呈现出了一些之前考虑欠缺的问题：1.留给学生自主学习学案的时间不足，致使有部分同学的学案完成情况不是很好；2.课堂上学生的活动较少，学生的参与度不是很高，形式比较单一，主要以回答问题，讲述完成学案成果为主，像通过具体分析函数的图像得出奇偶函数的定义这一过程，实际可大胆放给学生来完成等，这样更容易激发学生的学习热情，更容易调动学生。

函数奇偶性教学反思 篇2

函数的奇偶性的定义如下:

(1) 一般地, 如果对于函数f (x) 在定义域内的任一个x, 都有f (-x) =f (x) , 那么函数f (x) 叫做偶函数。

(2) 一般地, 如果对于函数f (x) 在定义域内的任一个x, 都有f (-x) =-f (x) , 那么函数f (x) 叫做奇函数。

学习这个定义要紧紧抓住两个要点: (1) 函数的定义中的x是任一个值。 (2) 都有f (-x) =f (x) (或f (-x) =-f (x) )

在讲课中, 我特别注意强调x是任一个而不是某一个, 而不少同学经常要用具体的某一个值来判断函数的奇偶性, 正是对定义缺乏深刻的理解。而定义中的都有f (-x) =f (x) (或f (-x) =-f (x) ) , 表示对于任意的x都成立, 即上面的式子是一个恒等式, 而不是对于部分x成立。

应该特别注意的是, 仅仅简单地记住这个定义的两个要点是远远不够的, 因为, 函数的奇偶性的定义包含着更深刻的内涵:

(一) 定义中涉及的求f (x) , f (-x) , 这里应该强调的是:f (x) 与f (-x) 必须同时有意义。因此, 可以得出下面的结论, 函数f (x) 是奇函数 (或偶函数) 的必要条件是函数的定义域必须是关于原点对称的数集 (原点可在也可不在定义域内) 。下面, 让我们总结一下常见的关于原点对称和关于原点不对称的数集。

在讲课中, 我通过对常见的关于原点对称和关于原点不对称的数集进行总结, 使同学们很快就能根据数集的形式来判断函数的定义域是否是关于原点对称的数集, 从而进一步判断出函数的奇偶性。

(二) 函数的奇偶性是整个定义域内的性质, 仅在定义域内的一个真子集中讨论函数的奇偶性是没有意义的。这一点和研究函数的单调性的方法不同。

因此, 只有深刻地理解函数的奇偶性的定义的内涵, 才能正确地判断函数的奇偶性。

二、关于函数奇偶性的几个重要性质

根据函数的奇偶性的定义, 我们可以系统地总结出函数的奇偶性的几个重要性质:

(1) 对称性:奇 (偶) 函数的定义域关于原点对称。

(2) 整体性:函数的奇偶性是整体性质, 对定义域内的任意一个x都必须成立。

(3) 可逆性:①f (-x) =f (x) ⇔f (x) 是奇函数

②f (-x) =-f (x) ⇔f (x) 是偶函数

(4) 等价性:①f (-x) =f (x) ⇔f (-x) -f (x) =0

②f (-x) =-f (-x) ⇔f (-x) +f (x) =0

(5) 图像的对称性:奇函数的图像关于原点对称。偶函数的图像关于y轴对称。

三、如何判断一个函数的奇偶性

根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性有两个步骤。首先应判断函数的定义域是否是关于原点对称的数集, 其次是验证f (-x) =f (x) (或f (-x) =-f (x) ) 对于定义域中的任意x是否成立。两个条件中尤以第一个条件最为重要, 因为如果不能满足第一个条件, 即使第二个条件成立也不能判断函数的奇偶性。不少同学在判断函数的奇偶性时经常只依据第二个条件是否成立来进行判断, 因而产生了错误。

根据判断函数的奇偶性的两个条件, 我们可以把函数按奇偶性分为: (1) 奇函数; (2) 偶函数; (3) 非奇非偶函数; (4) 既是奇函数也是偶函数四种类型。下面, 我们根据各种题型举行举例分析。

上述几个例子都是根据判断函数的奇偶性的两个步骤来判断函数的奇偶性的, 它属于比较简单的题目, 属于基本的题型。但有的题目较复杂, 例如:

由上面的例子可知, 若函数的表达式较复杂时, 一定要对式子的特点进行分析才得出恒等式是否成立的结论, 必要时应对表达式先进行化简, 再根据定义进行判断。

另外, 判断函数的奇偶性也可以根据它的图像的对称性进行判断。如果函数的图像关于原点对称, 则该函数一定是奇函数, 如果函数的图像关于y轴对称, 则该函数一定是偶函数。反之, 若函数

的图像关于原点或y轴不对称, 则该函数一定是非奇非偶函数。

四、几个判断函数奇偶性例子的错解分析

分析:上述解题结论正确, 过程错误。因为f (x) 与f (-x) 不能同时有意义。因此, 正确的解法是, 只有判断函数的定义域关于原点不对称, 就可以直接得出结论, 而不用验证f (-x) =f (x) (或f (-x) =-f (x) ) 是否成立。

分析:上述解题过程是错误的。很明显, 解题过程中没有考虑f (x) 的定义域是否是关于原点对称的数集。实际上, f (x) 的定义域是关于原点不对称的数集, 因此, f (x) =x2是非奇非偶函数。这道题也可以从它图像的对称性进行判断。

总之, 只要深刻地理解函数的奇偶性的定义, 那么, 判断函数的奇偶性就不难了。

摘要：函数的奇偶性是函数的重要性质之一。本文主要探讨函数的奇偶性的定义、性质, 函数按奇偶性的分类, 奇偶函数的图像特征以及几个常见的判别函数的奇偶性的错例分析。

关键词：奇函数,偶函数,函数奇偶性

参考文献

[1]陆利标.中学数学教与学.奇偶性的误区——忽视定义域.2007.

[2]韩忠月.高中数学教与学.高一数学测试题, 2007.

“函数奇偶性”教学片段的思考 篇3

关键词：函数奇偶性；数学教学

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2015）36-0044-03

近期观摩了几位老师《函数的奇偶性》的教学，颇有感悟，所思为文，谨与各位老师共同探讨。

一、理解课标，分析教材

关于普通高中课程标准实验教科书·数学（必修1）（人教A版）（以下简称人教版教材）P33～36的教学内容，《数学课程标准》明确要求：结合具体函数，了解奇偶性的含义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质。《数学课标解读》中特别说明：在教学中，要重视图形在数学学习中的作用，挖掘函数图象对函数概念和性质的理解，对数学的理解、数学思考的辅助功能；要注意几何直观的局限性，避免用几何直观代替逻辑证明的错误做法。

《教师教学用书》中也明确指出：研究函数性质时的“三步曲”为：第一步，观察图象，描述函数图象特征；第二步，结合图、表，用自然语言描述函数图象特征；第三步，用数学符号语言定义函数性质。教科书在处理函数的奇偶性时，沿用了处理函数单调性的方法，利用图象、表格探究数量变化特征，通过代数运算、验证发现的数量特征，在这个基础上建立奇（偶）函数的概念。

综上可见，从研究对象来看，奇偶性是从形到数，再从数到形，思维对象在数形之间不断地转换；从思维方式来看，有尝试、归纳、猜想、直观等合情推理，也有严谨的演绎推理，思维方式在直觉与逻辑之间转换；从语言形式来看，有自然语言、图形语言、符号语言，问题表征在三种语言间转换，学生思维在这三对转换之间不断地由粗糙到精致、由直观到逻辑、由肤浅到深刻、由零碎到系统，得以自然的生长。

二、教学片断，持续思考

（一）“生活问题数学化”与“数学问题生活化”

大部分老师通过生活中的实例，展示一些美丽的具有对称性的图片，通过感性材料的观察、分析，提炼出感性材料的本质属性，让学生在对具体问题的体验中感知概念。有的老师从具体函数图象引入，回顾单调性的研究过程，从数学的问题出发，引入本节课。两种方式均是在学生认知的基础上提出问题，引发学生在最近思维发展区积极思考，努力建立已有基础与发展区之间的联系。前者从一般轴对称和中心对称到特殊对称，从生活中的“形”到数学中的“形”，从“形”规律到“式”的规律。后者采用“开门见山”的导入方式，充分利用教材的编排顺序，直接点明要学的内容，沿用单调性的研究方法，使学生的思维迅速定向，明确目标、突出重点。情境引入环节，是“数学问题生活化”，还是“生活问题数学化”，值得我们探讨。

（二）“奇偶性的定义”与“奇偶性的性质”

有些教师从几何的角度给出定义：如果函数的图象是给出的，并且图象是关于y轴对称，这样的函数就是偶函数；如果图象是关于原点对称，这样的函数就是奇函数。人教版教材也是从几何直观的角度导出函数奇偶性的定义的。那么，我们是否可以用观察图象来判断函数的奇偶性呢？

问题的关键在于，函数图象是怎么画出来的呢？学生刚从初中升入高中，所接触的函数只是一些最基本的初等函数，如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数。而这些函数的图象是比较简单的，可以通过描点连线得到。但是这样得到的图象是不精确的、粗糙的。另外，函数图象千姿百态，并不是都简单易画的（当然我们可以借助图形计算器），那我们该如何判断函数的奇偶性呢？

经过这样的思考，显然只有严格推理，才能明确函数的奇偶性。即便是我们很清楚的正比例函数、反比例函数也要通过定义去判断去验证。正是函数具有奇函数或偶函数性质，函数的图象才一定会关于原点对称或关于y轴对称。至此，谁为定义谁为性质一目了然。

（三）“判断奇偶性”与“x的任意性”

大多数老师把“判断函数奇偶性”作为教学的重难点，总结判断的步骤。从教学出发，应该把“x的任意性”作为重点，重头戏应该是用几何直观感受对称，进而用代数形式给这种对称关系进行一般性刻画。前者，是从评价出发，受考试影响的结果。后者，是从认知出发，努力寻找将已有知识纳入到新学知识的途径，利用已有的研究方法来研究新的知识，让新的知识能够在已有的方法中持续生长。如，回顾研究函数单调性的过程与方法，重温单调性中“任取”的突破过程，这样做都是为了让知识能够自然而顺利的生长。如果只是停留在对知识的死记硬背，追求概念教学的最小化和习题教学的最大化，那么学生对知识的理解只能是机械的、零碎的。

（四）“整体到局部” 与“局部到整体”

如果把函数的一个个具体的知识看作“树木个体”，把与函数相联系的知识与方法看作“森林整体”的话，教学中就要处理好“树木个体与森林整体”的关系，要求既能够从“个体”认识“整体”，也能够从“整体”认识“个体”，两个方面都不可缺少。为此，既要注重与函数相关知识与方法的认识，又要注意对函数某一个特殊性质的分析与理解。所以，在函数奇偶性教学中，要在函数概念“大背景”下展开教学与学习。

遗憾的是，很多教学没有在认识函数整体上下功夫。例如，函数图象认识，从奇偶性角度，就是知道函数图象部分，再由部分推断函数整体；反之，由整体推断部分，具体的说就是“已知奇偶函数的一半图象，求另一半图象”。如果按照以下教学流程很难体现以上教学思想①展示生活或数学中的对称现象；②从具体到一般，形成奇（偶）函数的概念；③通过例题或练习，规范判断函数奇偶性的步骤；④课堂小结，布置作业。这个教学流程应该说基本完成了函数性质教学要求，但从更高要求，或者从提升学生研究函数能力角度看，对函数整体性认识是有些欠缺的。事实上，人教版教材中不仅设置了一些从整体认识函数图象与性质思考题（P35），还给出了相应的练习题（P36练习中的第2题）。教材中如此安排，目的是想告诉学生：奇偶性是研究函数的一种工具，奇偶性就是对称性，要从整体上理解函数的奇偶性。在已知函数奇偶性的前提下，若知道半个定义域的情况，可得出整个定义域内的整体情况，体会由局部到整体的数学思想。对于教材的把握，我们应该深入理解教材编写者的意图，活学活用教材，把蕴涵的思想和方法显化。

三、课堂感悟，教学启示

教学是一门遗憾的艺术。一节课成功与否，是要看有没有高水平的思维活动，有没有围绕学科概念的本质和主要的思想方法，有没有在学生认知的基础上提出问题，引发学生在最近思维发展区积极思考，培养学生的思维能力，帮助其逐渐形成良好的学习方法。教学过程中，要精心设计带有启发性和思考性的问题，创设问题情境，使学生从被动地“听”发展为主动地获取和体验数学概念，促使学生掌握知识、形成能力。

随着时间的推移，数学中的具体知识将会被多数人遗忘，但数学中所承载的文化将会影响久远。学生在数学的课堂上，不仅学会具体知识，还应掌握一定的研究方法，这对教师的要求将会更高。教学中，数学教师要不断地以课标、教材为本进行教学研究，要从课堂教学研究向学科的整体把握转变，不断地进行回顾反思，促使教学水平不断提高。

参考文献：

[1]严士健，张奠宙，王尚志.普通高中数学课程标准（实验）解读[Z].江苏：江苏教育出版社，2004，3.

[2]徐爱勇.一样的“哈姆雷特”，异样的“精彩”：从《双曲线的标准方程》两节课谈起[J].数学教学，2012，（2）：12～14.

[3]普通高中课程标准实验教科书·数学（必修1）（人教A版）[M].人民教育出版社，2009，5.

[4]普通高中课程标准实验教师教学用书·数学（必修1）（人教A版）[M].人民教育出版社，2010，5.

【教学设计】函数的奇偶性_数学 篇4

1.学情调查，情景导入

情景1：生活中，哪些几何图形体现着对称美？

情景2：我们学过的函数图象中有没有体现着对称的美呢？ 情景3：引导学生从对称角度将所说的函数图象进行分类比较。

2.问题展示，合作探究

问题1： 根据函数的解析式，结合函数的图像通过求值观察并总结出规律。(设计这个问题有这样的目的：通过直观图像帮助学生更好的找出规律一是从图象的角度作出判断；二是从“数的方面”论证概念创设教学情景.)问题2：“能不能从函数解析式的角度来描述函数图象的对称性？如果能，该怎么解决？

学生会选取很多的x的值，得到结论。追问：这些x的值能不能代表所有x呢？

借助课件演示，引导学生进行代数式推导，再次得出结论f(-x)=-f(x).(强调x是定义域内任意值，帮助学生完成由特殊到一般的思维过程)

用数学符号表示奇函数的严格定义。

问题4：让学生用自己的语言描述对偶函数的认识。(从形和数两方面)问题5：结合课本中的材料，仿照奇函数概念的建立过程，学生独立去建立偶函数的概念。

3.归纳概括，精致概念

(此时，大部分学生已经有了如何判断函数奇偶性的意识，只是不太确定。）问题6：通过具体例题的判断总结如何判断函数的奇偶性

(设计这个问题的目的:一来是为学生强调判断函数奇偶性的方法;二来强调判断函数奇偶性的一个先决条件：“定义域必须关于原点对称”)。

问题6：在学习函数奇偶性的概念中有哪些几个注意的地方？

问题7：我们经历了函数单调性和奇偶性概念的学习过程，谈谈你对这两个概念的认识？

(引导学生进一步精致所学概念：认识单调性、奇偶性都是描述函数整体特征的，都必须在整个定义域范围内进行研究；引导学生对定义中“任意”的理解；引导学生认识到函数图象是函数性质的直观载体；)最后布置思考题：

1、当____时一次函数f(x)=ax+b（a≠0）是奇函数

数的奇偶性教学反思 篇5

习题如右：小船最初在南岸，从南岸驶向北岸，再从北岸驶回南岸，不断往返。（1）小船摆渡11次后，船在南岸还是北岸？为什么？（2）有人说摆渡100次后，小船在北岸，他的说法对吗？为什么？

我的教学如下：

一、独立解决。这是一道生活问题，从字面上看，是很难想到它与“数的奇偶性”有任何联系的。教学时，发现学生解决问题的方法有很多种，有用“摆头”或“摆手”的方式模仿摆渡、有在纸上画图的……大部分学生都能解决。

二、观察分析——透过现象看本质。在引导学生观察并得出摆渡偶数次时船在南岸，奇数次时船在北岸的规律后，我追问：“如果这只小船是从南岸到北岸最后再回东岸，如此不断往返，我们发现的这个规律还成立吗？为什么？”学生在再次探索后发现规律不适应，而对于其本质原因却无法准确阐述。为什么用“数的奇偶性”可以解决小船在南北岸往返摆渡却无法解决小船在南北东岸往返摆渡的问题？在教师的进一步引导下，学生发现数与小船摆渡存有共性，即“数要不是奇数要不是偶数与小船要不在南岸要不在北岸”，也就是结果都是“二选一式的”，而当出现小船经过南北岸后还得过东岸时，这种共性就被打破了，因此规律也就不适应了。

函数的奇偶性教案 篇6

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函数的奇偶性

教学目标 知识与能力目标

（1）理解函数奇偶性的含义，掌握判断函数奇偶性的方法。（2）能用定义来判断函数的奇偶性。

（3）掌握奇偶函数的图像性质及其简单应用。2 过程与方法目标

（1）能培养学生数形结合的思想方法。（2）从数和形两个角度理解函数的奇偶性 3情感态度与价值观目标

（1）体会具有奇偶性函数的图像对称的性质，感受数学的对称美，体现数学的美学价值。

（2）通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生的观察、归纳、抽象的能力，同时渗透数形结合、从特殊到一般的数学思想。

教学重点

函数奇偶性概念的形成, 奇偶函数的图像特征与函数奇偶性的判断 教学难点

对函数奇偶性的概念的理解 教学用具

投影仪,计算机 教学方法

引导发现法 教学过程

一.引入新课

同学们，我们生活在美的世界中，在我们身边就有很多美丽的图片，现在请同学们认真观察下面生活中的几个图片，大家发现它们有什么特点呢？（教师用PPT展示一组图片：蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志等。同学们交流讨论后一起回答，最后教师给出答案，从而引入今天的课题）生活中的美引入我们的数学领域中，我们可以发现上面的那些图形都是对称图形（轴对称或是中心对称），特别地，给麦当劳的标志建立适当的直角坐标系，发现它的图象是关于y 轴对称的，这节课我们就同学们谈到的与轴对称的函数展开研究。

下面大家先思考一下： 哪些函数的图象关于y 轴对称？试举例

(学生可能会举出一些，如 二.讲解新课

和 等.)请同学们观察函数yx和y|x|的图象，它们各自有怎样的对称性？并根据表格试着解决下面的问题（学生观察，交流，发现问题，教师引导发现）：

上面两个函数图象具有什么共同特征？（答案：图像关于轴对称）

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http:// 能用函数解析式来描述图象这个特征吗？（答案：f(-x）=f(x))

22从而得到结论：实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=(-x)=x=f(x)及f(-x)=|-x|=|x|=f(x),这时我们称函数y=x及y=|x|为偶函数.从这个结论中就可以给出

偶函数定义：如果对于函数定义域内的任意一个x ,都有f(-x）=f(x)。那么f(x)就叫偶函数。(板书)(给出定义后可让学生举几个例子,如 步认识，同时用PPT给出偶函数

f(x)x21,f(x)2等以检验一下对概念的初

2x11 的图象，从而观察发现并验证得到偶函数图像的性质定理：偶函数的图像都是关于y轴对称的。）

类比得到偶函数定义的方法,让学生通过观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图象, 并完成课本34页的两个表格，得到图象的共同特征? 从而给出奇函数的定义、举出几个奇函数的例子，与奇函数图像的性质定理：奇函数的图像都关于原点对称.奇函数的定义: 如果对于函数 的定义域内任意一个 ,都有 ,那么就叫做奇函数.(板书)

（给出了奇偶函数的定义概念后，教师对定义中的关键字和符号进行说明，加深学生对概念的理解）说明：

⑴定义中的等式f(-x)=f(x)（或f(-x)=-f(x)）对定义域里的任意x都要成立，若只对个别x值成立，则不能说这函数是偶函数（或奇函数）；

⑵等式f(-x)=f(x)（或f(-x)=-f(x)）成立，除了表明函数值相等（或互为相反数）外，首先表明对定义域中的任意x来说，－x也应在定义域之中，否则f(－x)无意义；

⑶奇函数和偶函数的定义域必定是关于原点对称的，由此得结论：凡是定义域不关于原点对称的函数一定是非奇、非偶的函数.（下面两个例题分别帮助学生对奇偶函数的性质定理和概念的理解）

例1.根据下列函数图象,判断函数奇偶性.亿库教育网

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324例2中前三个题做完，进行一次小结,得到判断函数奇偶性的步骤：(1)先确定函数定义域,并判断定义域是否关于原点对称;(2)确定f(x)与f(-x)的关系;(3)作出结论: 若定义域关于原点对称，且f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;若定义域关于原点对称，且f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.剩下的几个小题留给学生课后去解决。

（最后给出一道思考题，综合了前面所学知识的简单应用，用于检查学生是否真正掌握了这堂课所要求掌握的内容。）思考：(1)判断函数 f(x)x3x的奇偶性.(2)根据图中给出的函数图象一部分,并根据f(x)的奇偶性画出它在y轴左边的图象吗?

三.回顾小结（板书）

1、两个定义：

对于f(x)定义域内的任意一个x, 例

2、判断下列函数的奇偶性(1)f(x)x;(5)f(x)x;x(1,1](2)f(x)x;(6)f(x)2x1;1(3)f(x)x;(7)f(x)0;x1(4)f(x);x如果都有f(－x)=-f(x)f(x)为奇函数 如果都有f(－x)=f(x) f(x)为偶函数

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2、两个性质：

一个函数为奇函数  它的图象关于原点对称 一个函数为偶函数 它的图象关于y轴对称

四.作业

1、判断下列函数是否具有奇偶性

(1)f(x)=x(2)f(x)=2x+ x(3)f(x)=x+ x(4)f(x)=2x+1 f(x)=x(x=-2,-1,0,1,2)

2、已知函数y=f(x)是奇函数，它在y轴的右边的图象如图所示，画出函数y=f(x)在y轴左边的图象.亿库教育网

例析抽象函数的奇偶性 篇7

例1 (2009年全国1) 函数f (x) 的定义域为R, 若f (x+1) 与f (x-1) 都是奇函数, 则 ( ) .

A.f (x) 是偶函数 B.f (x) 是奇函数

C.f (x+2) 是奇函数 D.f (x+3) 是奇函数

解 ∵f (x+1) 与f (x-1) 都是奇函数,

∴f (-x+1) =-f (x+1) , f (-x-1) =-f (x-1) .

∴函数f (x) 关于点 (1, 0) 及点 (-1, 0) 对称, 且它又是周期T=2[1- (-1) ]=4的周期函数.

∴f (-x-1+4) =-f (x-1+4) ,

即f (-x+3) =-f (x+3) .

∴f (x+3) 是奇函数.故选D.

例2 若函数f (x) 周期为2, 且等式f (1+x) =f (1-x) 对任意的x∈R均成立, 判断f (x) 的奇偶性.

解 由函数f (x) 的周期为2, 得f (x) =f (x+2) .

由f (1+x) =f (1-x) , 得f (-x) =f (2+x) .

∴f (-x) =f (x) , 故f (x) 是偶函数.

二、证明抽象函数奇偶性

例3 已知f (x) 的定义域为R, 且对任意实数x, y满足f (xy) =f (x) +f (y) .求证:f (x) 是偶函数.

证明 ∵f (xy) =f (x) +f (y) ,

∴当令y=-1时, f (-x) =f (x) +f (-1) .

当令x=y=-1时, f (1) =f (-1) +f (-1) .

令x=y=1时, f (1) =f (1) +f (1) .

故可知, f (1) =0, f (-1) =0,

∴f (-x) =f (x) .故f (x) 是偶函数.

三、用函数的奇偶性求抽象函数解析式

例4 已知f (x) 是奇函数, g (x) 是偶函数, 且f (x) +g (x) =x2+x+1, 求f (x) , g (x) 的表达式.

解 ∵f (x) +g (x) =x2+x+1, ①

∴f (-x) +g (-x) = (-x) 2-x+1. ②

把f (-x) =-f (x) , g (-x) =g (x) 代入②, 得

-f (x) +g (x) =x2-x+1. ③

由①③, 得f (x) =x2+1, g (x) =x.

四、几个抽象函数的奇偶性及函数模型

(1) 若函数y=f (x) 满足f (x+y) =f (x) +f (y) , 则f (x) 是奇函数.

(2) 若函数y=f (x) 满足$f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1-f(x)f(y)}$, 则f (x) 是奇函数.

(3) 若函数y=f (x) 满足f (x+y) +f (x-y) =2f (x) ·f (y) , f (0) ≠0, 则f (x) 是偶函数.

(1) 的模型是f (x) =kx (k≠0) , (2) 的模型是f (x) =tanx, (3) 的模型是f (x) =cosx.

五、求 值

例5 设f (x) 是定义在R上的偶函数, 且f (x+3) =1-f (x) , 则f (7.5) 的值为____.

解 取x=-1.5, 则

f (-1.5) =f (1.5) , f (-1.5+3) =1-f (1.5) ,

$\begin{array}{l}\text{得}f(1.5)=\frac{1}{2}.\\ f(4.5)=f(1.5+3)\\ =1-f(1.5)\\ =1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}‚\\ \therefore f(7.5)=f(4.5+3)=1-f(4.5)=0.5.\end{array}$

六、比较大小

例6 (2009年辽宁) 已知f (x) 是偶函数, f (x) 在区间[0, +∞) 单调增加, 则满足$f(2x+1)<f\left(\frac{1}{3}\right)$的x的取值范围是 ( ) .

$\begin{array}{l}\text{A}.\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)\text{B}.\left[\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)\\ \text{C}.\left(\frac{1}{2},\frac{2}{3}\right)\text{D}.\left[\frac{1}{2},\frac{2}{3}\right)\end{array}$

解 ∵f (x) 是偶函数, f (x) 在区间[0, ﹢∞) 单调增加,

$\therefore |2x+1|<\frac{1}{3}$, 即$-\frac{1}{3}<2x+1<\frac{1}{3}$,

解得$\frac{1}{3}＜x＜\frac{2}{3}$.故选A.

七、研究函数的图像

例7 若函数y=f (x+2) 是偶函数, 则y=f (x) 的图像关于直线____对称.

分析y=f (x) 的图像向左移2个单位得y=f (x+2) 的图像, y=f (x+2) 的图像向右移2个单位得y=f (x) 的图像.而y=f (x+2) 是偶函数, 对称轴是x=0, 故y=f (x) 的对称轴是x=2.

参考文献

[1]杨在强.关于函数对称性的几个结论.数学教学通讯, 2006 (3) .

函数·奇偶性与周期性 篇8

1. 已知[f（x）]是奇函数，[g（x）]是偶函数，且[f（-1）+g（1）=2]，[f（1）+g（-1）=4]，则[g（1）]等于（ ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

2. 已知[f（x）]是定义在R上的奇函数，当[x≥0]时，[f（x）=3x+m]（[m]为常数），则[f（-log35）]的值为（ ）

A. 4 B. -4 C. 6 D. -6

3. 已知[f（x）]是定义在R上的奇函数，若对于[x≥0]，都有[f（x+2）=f（x）]，且当[x∈[0，2]]时，[f（x）=ex-1，][f（2013）+f（-2014）=]（ ）

A. [1-e] B. [e-1]

C. [-1-e] D. [e+1]

4. 已知函数[f（x）]的定义域为[（3-2a，a+1）]，且[f（x+1）]为偶函数，则实数[a]的值可以是（ ）

A. [23] B. 2 C. 4 D. 6

5. 已知奇函数[f（x）=3x+a（x≥0），g（x）（x<0），]则[g（-2）]的值为（ ）

A. -6 B. -8 C. 4 D. 6

6. 定义运算[ab=a2-b2，][ab=][（a-b）2]，则[f（x）=2x（x2）-2]为（ ）

A. 奇函数 B. 偶函数

C. 常函数 D. 非奇非偶函数

7. 已知函数[f（x）=12（ex-e-x）]，则[f（x）]的图象（ ）

A. 关于原点对称 B. 关于[y]轴对称

C. 关于[x]轴对称 D. 关于直线[y=x]对称

8. 函数[f（x）=log2（1+x），g（x）=log2（1-x），]则[f（x）-g（x）]是（ ）

A. 奇函数

B. 偶函数

C. 既不是奇函数又不是偶函数

D. 既是奇函数又是偶函数

9. 已知定义在[R]上的函数[f（x）]，对任意[x∈R]，都有[f（x+6）=f（x）+f（3）]成立，若函数[y=f（x+1）]的图象关于直线[x=-1]对称，则[f（2013）=]（ ）

A. 0 B. 2013 C. 3 D. -2013

10. 已知定义在[R]上的函数[y=f（x）]满足以下三个条件：①对于任意的[x∈R]，都有[f（x+4）=f（x）]；②对于任意的[x1，x2∈R]且[0≤x1

A. [f（4.5）

B. [f（7）

C. [f（7）

D. [f（4.5）

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 若函数[fx=ax2+bx+3a+b][（a-1≤x≤][2a）]是偶函数，则点[a，b]的坐标是 .

12. 已知函数[f（x）]是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，且[x∈（-32，0）]时，[f（x）=] [log2（-3x+1）]，则[f（2014）]= .

13. 定义在[[-2，2]]上的奇函数[f（x）]在[（0，2]]上的图象如图所示，则不等式[f（x）>x]的解集为 .

14. 给出定义：若[m-12

三、解答题（共4小题，44分）

15. （10分）设[a]为实数，函数[f（x）=x2+|x-a|][+1]，[x∈R].

（1）讨论[f（x）]的奇偶性；

（2）求[f（x）]的最小值.

16. （12分）已知函数[f（x）=-x2+2x，x>0，0，x=0，x2+mx，x<0]是奇函数.

（1）求实数[m]的值；

（2）若函数[f（x）]在区间[[-1，a-2]]上单调递增，求实数[a]的取值范围.

17. （10分）已知函数[f（x）]的定义域是（[0，+∞）]，且满足[f（xy）=f（x）+f（y），f（12）=1]，对于[0f（y）].

（1）求[f（1）]；

（2）解不等式[f（-x）+f（3-x）]≥-2.

18. （12分）设函数[f（x）=ax-（k-1）a-x（a>0][且a≠1）]是定义域为[R]的奇函数.

（1）求[k]值；

（2）若[f（1）<0]，试判断函数单调性并求使不等式[f（x2+tx）+f（4-x）<0]恒成立的[t]的取值范围；

（3）若[f（1）=32]，且[g（x）=a2x+a-2x-2mf（x）]，在[[1，+∞）]上的最小值为-2， 求[m]的值.

怎么判断函数的奇偶性 篇9

1.先分解函数为常见的一般函数，比如多项式x^n，三角函数，判断奇偶性

2.根据分解的.函数之间的运算法则判断，一般只有三种种f(x)g(x)、f(x)+g(x)，f(g(x))(除法或减法可以变成相应的乘法和加法)

3.若f(x)、g(x)其中一个为奇函数，另一个为偶函数，则f(x)g(x)奇、f(x)+g(x)非奇非偶函数，f(g(x))奇

4.若f(x)、g(x)都是偶函数，则f(x)g(x)偶、f(x)+g(x)偶，f(g(x))偶

函数的奇偶性数学课件 篇10

一、教学目标

(一)通过具体函数，让学生经历奇函数、偶函数定义的讨论，体验数学概念的建立过程，培养其抽象概括能力.

(二)理解、掌握函数奇偶性的定义，奇函数和偶函数图像的特征，并能初步应用定义判断一些简单函数的奇偶性.

(三)在经历概念形成的过程中，培养学生归纳、抽象概括能力，体验数学既是抽象的又是具体的.

二、任务分析

这节内容学生在初中虽没学过，但已经学习过具有奇偶性的具体的函数：正比例函数y=kx，反比例函数，(k≠0)，二次函数y=ax■，(a≠0)，故可在此基础上，引入奇、偶函数的概念，便于学生理解.在引入概念时始终结合具体函数的图像，增强直观性，这样更符合学生的认知规律，同时为阐述奇、偶函数的几何特征埋下了伏笔.对于概念可从代数特征与几何特征两个角度去分析，让学生理解：奇函数、偶函数的定义域是关于原点对称的非空数集;对于有定义域奇函数y=f(x)，一定有f(0)=0;既是奇函数，又是偶函数的函数有f(x)=0，x∈R.在此基础上，让学生了解：奇函数、偶函数的矛盾概念——非奇非偶函数.关于单调性与奇偶性关系，引导学生拓展延伸，可以取得理想的效果.

三、教学设计

(一)问题情景

1.观察如下两图(图略)，思考并讨论以下问题：

(1)这两个函数图像有什么共同特征?

(2)相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的?

可以看到两个函数的图像都关于y轴对称.从函数值对应表可以看到，当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值相同.

2.观察函数f(x)=x和f(x)=的.图像，并完成下面的两个函数值对应表，然后说出这两个函数有什么共同特征.

可以看到两个函数的图像都关于原点对称.函数图像的这个特征，反映在解析式上就是：当自变量x取一对相反数时，相应的函数值f(x)也是一对相反数，即对任一x∈R都有f(-x)=-f(x).此时，称函数y=f(x)为奇函数.

(二)建立模型

由上面的分析讨论引导学生建立奇函数、偶函数的定义.

1.奇、偶函数的定义.

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.

2.提出问题，组织学生讨论.

(1)如果定义在R上的函数f(x)满足f(-2)=f(2)，那么f(x)是偶函数吗?

(f(x)不一定是偶函数)

(2)奇、偶函数的图像有什么特征?

(奇、偶函数的图像分别关于原点、y轴对称)

(3)奇、偶函数的定义域有什么特征?

(奇、偶函数的定义域关于原点对称)

(三)解释应用

[例题]

1.判断下列函数的奇偶性.

注：①规范解题格式;②对于(5)要注意定义域x∈(-1，1].

2.已知：定义在R上的函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=x(1+x)，求f(x)的表达式.

解：(1)任取x<0，则-x>0，∴f(-x)=-x(1-x)，而f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)，∴f(x)=x(1-x).

(2)当x=0时，f(-0)=-f(0)，∴f(0)=-f(0)，故f(0)=0.

3.已知：函数f(x)是偶函数，且在(-∞，0)上是减函数，判断f(x)在(0，+∞)内是增函数，还是减函数，并证明你的结论.

解：先结合图像特征：偶函数的图像关于y轴对称，猜想f(x)在(0，+∞)内是增函数，证明如下：

∴f(x)在(0，+∞)上是增函数.

思考：奇函数或偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性有何关系?

[练习]

1.已知：函数f(x)是奇函数，在[a，b]上是增函数(b>a>0)，问f(x)在[-b，-a]上的单调性如何.

4.设f(x)，g(x)分别是R上的奇函数和偶函数，并且f(x)+g(x)=x(x+1)，求f(x)，g(x)的解析式.

(四)拓展延伸

1.有既是奇函数，又是偶函数的函数吗?若有，有多少个?

2.设f(x)，g(x)分别是R上的奇函数，偶函数，试研究：

(1)F(x)=f(x)·g(x)的奇偶性.

(2)G(x)=|f(x)|+g(x)的奇偶性.

3.已知a∈R，f(x)=a-，试确定a的值，使f(x)是奇函数.

函数奇偶性教学反思 篇11

关键词：周期性;奇偶性;对称性;深刻联系

函数是整个高中数学的灵魂，又是学习高等数学的基础，在高考数学试题中占有重要的地位.而函数的周期性、奇偶性、对称性是它非常重要的性质，既是教学重点，又是难点，在解题中有着广泛的运用。高考常将函数的单调性、奇偶性及周期性相结合命题，以选择题或填空题的形式考查，难度稍大，为中高档题.但是学生对这些性质理解得不透彻，运用不灵活.下面对它们的联系做一些总结.

一、函数周期性、奇偶性、对称性定义及简单性质

奇函数：如果对于函数定义域内任意一个数x，都有f（-x）=-f（x），那么，函数f（x）就是奇函数.

偶函数：如果对于函数定义域内任意一个数x，都有f（-x）=f（x），那么，函数f（x）就是偶函数.

轴对称：如果函数f（x）满足f（x+a）=f（a-x），则f（x）的图像关于x=a对称.

性质1.设a，b是任意常数，则函数f（a+x）=f（b-x）的充要条件是f（x）的图像对称.

二、奇偶性、对称性、周期性三者之间的联系

1.对称性+奇偶性周期性

性质2.如果f（x）是奇函数，且图像关于x=a对称，则得f（x）是以T=2a为周期的周期函数.

推论：一般的，若定义在R上的函数f（x）的图像关于直线x=a和x=b对称，则f（x）是以（ ）为周期的周期函数.

2.对称性+周期性对称性，奇偶性

性质3.设f（x）的图像关于x=a对称，且T=b的周期函数，则f（x）的图像关于x=a+b对称.

推论：设，且，则是偶函数.

3.周期性+奇偶性对称性

性质4.如果是偶函数，且（a>0），则得的图像关于x=a对称.

性质5.如果是R上的奇函数，则得的图像关于x=a对称。

例1.函数f（x）的定义域为R，且满足：f（x）是偶函数，f（x-1）是奇函数，若f（0.5）=9，则f（8.5）=（ ）

A.-9 B.9  C.-3 D.0

解析：选B.因为f（x）是偶函数，所以f（x）=f（-x），又f（x-1）是奇函数，所以f（-x-1）=-f（x-1）.令t=x+1，可得f（-t）=f（t）=-f（t-2），所以f（t-2）=-f（t-4）.所以可得f（x）=f（x-4），f（x）周期T=4.所以f（8.5）=f（4.5）=f（0.5）=9.

例2.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且它的图像关于直线x=1对称.求证：f（x）是周期为4的周期函数.

证明：由函数f（x）的图像关于直线x=1对称，有f（x+1）=f（1-x），即有f（-x）=f（x+2）.

又函数f（x）是定义在R上的奇函数，

故有f（-x）=-f（x）.

故f（x+2）=-f（x）.

从而f（x+4）=-f（x+2）=f（x），

即f（x）是周期为4的周期函数.

评析：例1由函数的奇偶性得到函数的周期性，例2由函数的奇偶性与对称性得函数的周期性.

从上面的分析可以看出，函数奇偶性、周期性、对称性之间存在着联系，在解题中，若能从整体上把握并灵活运用这些性质，那么抽象函数的高考试题就能迎刃而解.

参考文献：

[1]王江.浅谈函数性质[J].数学教学，2008（4）.

[2]雷玲.中学数学名师教学艺术[M].华东师范大学出版社，2008-03.

函数的奇偶性与对称性 篇12

函数的奇偶性是函数的基本性质,奇函数的图像关于原点对称,偶函数关于y轴对称.若推广到一般情况可以得到函数的对称性,得到函数图像的对称中心和对称轴.奇偶性同学们比较熟悉,对称性问题感觉较难.下面通过几个实例来研究有关对称性的问题.

一、求对称中心和对称轴

例1 (2008年江苏名校联考)函数y=f(x)与y=g(x)有相同的定义域,且都不是常函数,对定义域中的任意x,有f(x)+f(-x)=0,g(x)g(-x)=1,且x≠0,g(x)≠1,则$F(x)=\frac{2f(x)}{g(x)-1}+f(x)$是____.(判断奇偶性)

解析 由题意可知$F(x)=\frac{2f(x)}{g(x)-1}+f(x)$的定义域关于原点对称.

$\begin{array}{l}F(-x)=\frac{2f(-x)}{g(-x)-1}+f(-x)\\ =\frac{-2f(x)}{\frac{1}{g(x)}-1}-f(x)=\frac{2f(x)g(x)}{g(x)-1}-f(x)\\ =\frac{2f(x)g(x)-[g(x)-1]f(x)}{g(x)-1}\\ =\frac{2f(x)}{g(x)-1}+f(x)=F(x)‚\end{array}$

∴F(x)是偶函数.

评注 判别函数奇偶性可以通过定义:先看定义域是否关于原点对称,否则非奇非偶;然后判断f(x),f(-x)相等或互补,相等则为奇函数,互补则为偶函数,否则非奇非偶.也可以通过图像的对称性来判断.

例2 (2011年镇江期末考试)函数$f(x)=\frac{2\cos {}^2\left(\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\right)-x}{x-1}$的对称中心坐标为____.

解析$f(x)=\frac{\cos (x-1)+1-x}{x-1}=\frac{\cos (x-1)}{x-1}-1$,设$g(x)=\frac{\text{c}\text{o}\text{s}x}{x}$,则f(x)=g(x-1)-1.

∵g(x)是奇函数,其对称中心为(0,0),

而f(x)的图像是由g(x)的图像向右移动1个单位长度,再向下移动1个单位长度得到的,故f(x)的对称中心是把原点(0,0)按向右移动1个单位长度,再向下移动1个单位长度得到点(1,-1),

∴f(x)的对称中心为(1,-1).

评注 奇函数的图像关于原点对称,偶函数关于y轴对称,利用函数图像间的平移变换,把易求的函数的对称中心同样平移成待求的函数的对称中心,体现了转化思想.

例3 (2010年上海春季)已知函数$f(x)=\frac{1}{4-2{}^x}$的图像关于点P对称,则点P的坐标为____.

解析 设点P的坐标为(a,b),由定义得到f(x)+f(2a-x)=2b对任意x∈R恒成立,

∴8-32b-2b·22a=(1-8b)(2x+22a-x)对任意x∈R恒成立,

$\therefore \{\begin{array}{l}1-8b=0‚\\ 8-32b-2b\cdot 2{}^{2a}=0‚\end{array}\therefore \{\begin{array}{l}a=2‚\\ b=\frac{1}{8}‚\end{array}$

∴点P的坐标为$\left(2‚\frac{1}{8}\right).$

评注 若自身对称曲线f(x)的对称中心为P(a,b),则f(x)+f(2a-x)=2b对任意x∈R恒成立,利用恒等式,可直接求出.

二、已知对称中心或对称轴求参数

例4 (2006年江苏)已知a∈R,函数f(x)=sinx-|a|,x∈R为奇函数,则a=____.

解析 解法一:由函数f(x)=sinx-|a|是定义域为R的奇函数,则f(0)=sin0-|a|=-|a|=0,即|a|=0,则a=0.

解法二:f(-x)+f(x)=0,得|a|=0,则a=0.

评注 奇函数的图像关于原点对称,除了通过奇函数定义解题,还可以考虑特殊值,若在x=0处有定义,则有f(0)=0,可以用此性质快速解决问题.

例5 已知函数f(x)=log4(4x+1)-kx(x∈R)为偶函数,则k=____.

$\text{解}\text{析}\text{解}\text{法}\text{一}:f(-x)=\log {}_4(4{}^{-x}+1)+kx=\log {}_4\left(\frac{1+4{}^x}{4{}^x}\right)+kx=\log (4{}^x+1)-x+kx=f(x)‚$

∴-x+kx=-kx对任意x∈R恒成立,$\therefore k=-\frac{1}{2}.$

解法二:由f(-1)=f(1),同样可以得到$k=-\frac{1}{2}.$

评注 偶函数通过定义直接恒等变形或特殊值法.

三、利用对称性质解决问题

例6 函数y=f(x)在(0,2)上是增函数,函数y=f(x+2)是偶函数,把$f(1)‚f\left(\frac{5}{2}\right)‚f\left(\frac{7}{2}\right)$用“<”连接起来是____.

解析 ∵函数y=f(x+2)是偶函数,

∴f(2+x)=f(2-x),f(x)的图像关于直线x=2对称.

∵在(0,2)时单调递增,

$\begin{array}{l}\therefore \text{在}(2,4)\text{时}\text{单}\text{调}\text{递}\text{减}‚f(1)=f(2-1)=f(2+1)=f(3).\\ \therefore f\left(\frac{7}{2}\right)<f(3)<f\left(\frac{5}{2}\right)‚\therefore f\left(\frac{7}{2}\right)<f(1)<f\left(\frac{5}{2}\right).\end{array}$

评注 函数在某个区间具有单调性,由函数的图像用对称性可以推到其他区间.

例7 (2009年山东)已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=____.

解析 ∵定义在R上的奇函数,满足f(x-4)=-f(x),∴f(x-4)=f(-x).

∵f(x)为奇函数,

∴函数图像关于直线x=2对称且f(0)=0，由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x),

∴函数是以8为周期的周期函数．

又∵f(x)在区间[0,2]上是增函数，

∴f(x)在区间[-2,0]上也是增函数．

如图所示，那么方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4，不妨设x1<x2<x3<x4.

由对称性知x1+x2=-12,x3+x4=4,

∴x1+x2+x3+x4=-12+4=-8.

评注函数若有两个对称中心或两条对称轴以及有一个对称中心一条对称轴，可以推导出函数具有周期性，进而得到函数在整个定义域上的性质，运用数形结合的思想通过图像解答问题．x+1

例8已知a>0，函数0的最大值为M，最小值为N，则

解析

∴f(x)关于点(0,2011)对称．

∴f(x)最大值点与最小值点关于点(0,2011)对称．

∴M+N=4022.

评注通过研究函数解析式，发现函数隐藏的对称性，并运用该性质．

函数奇偶性教学反思 篇13

班级__________姓名__________学号___________成绩_________ A组（基础题

必做）

1、如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f(x)在[-7,-3]上是（）

A．增函数且最小值为-5

B．增函数且最大值为-5 C．减函数且最小值为-5

D．减函数且最大值为-5 2．若f(x)是偶函数,其定义域为R,且在[0,+∞）上是减函数,则f(-3/4)与f(a2-a+1)的大小关系是______________________.x1x,3.判定函数的奇偶性 fxx1x.

B组(提高题

有能力的完成)1．已知函数y＝f(x)是偶函数(x∈R), 在x<0时,y是增函数,对x1<0, x2>0,有|x1|<|x2|,则（）。

A．f(－x1)>f(－x2)

B．f(－x1)

C．f(－x1)＝f(－x2)

D．以上都不对

2、设f(x)是R上的奇函数,且当x[0,)时f(x)=x(1x), 求f(x)的解析式

C 组

高考题尝试

6、(2006年山东理6)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为（）

函数奇偶性教学反思 篇14

●知识梳理

1.奇函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=－f（x）〔或f（x）+ f（－x）=0〕，则称f（x）为奇函数.2.偶函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=f（x）〔或f（x）－f（－x）=0〕，则称f（x）为偶函数.3.奇、偶函数的性质

（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）.（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.（3）若奇函数的定义域包含数0，则f（0）=0.（4）奇函数的反函数也为奇函数.（5）定义在（－∞，+∞）上的任意函数f（x）都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.●点击双基

1.下面四个结论中，正确命题的个数是

①偶函数的图象一定与y轴相交

②奇函数的图象一定通过原点

③偶函数的图象关于y轴对称

④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R）

A.1

B.2

C.3

D.4 解析：①不对；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f（x）=0〔x∈（－a，a）〕.答案：A 2.已知函数f（x）=ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）=ax3＋bx2＋cx是 A.奇函数

B.偶函数 C.既奇且偶函数

D.非奇非偶函数

3解析：由f（x）为偶函数，知b=0，有g（x）=ax＋cx（a≠0）为奇函数.答案：A 3.若偶函数f（x）在区间［－1，0］上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是

A.f（cosα）＞f（cosβ）

C.f（sinα）＞f（sinβ）

B.f（sinα）＞f（cosβ）D.f（cosα）＞f（sinβ）

解析：∵偶函数f（x）在区间［－1，0］上是减函数，∴f（x）在区间［0，1］上为增函数.由α、β是锐角三角形的两个内角，∴α+β＞90°，α＞90°－β.1＞sinα＞cosβ＞0.∴f（sinα）＞f（cosβ）.答案：B 4.已知（fx）＝ax＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则a＝___________，b＝___________.解析：定义域应关于原点对称，故有a－1＝－2a，得a＝

32.又对于所给解析式，要使f（－x）＝f（x）恒成立，应b＝0.答案：13

0 1x5.给定函数:①y=（x≠0）；②y=x2+1；③y=2x；④y=log2x；⑤y=log2（x+

x21）.在这五个函数中，奇函数是_________，偶函数是_________，非奇非偶函数是__________.答案：①⑤

②

③④ ●典例剖析

【例1】 已知函数y=f（x）是偶函数，y=f（x－2）在［0，2］上是单调减函数，则 A.f（0）＜f（－1）＜f（2）C.f（－1）＜f（2）＜f（0）

B.f（－1）＜f（0）＜f（2）D.f（2）＜f（－1）＜f（0）

剖析：由f（x－2）在［0，2］上单调递减，∴f（x）在［－2，0］上单调递减.∵y=f（x）是偶函数，∴f（x）在［0，2］上单调递增.又f（－1）=f（1），故应选A.答案：A 【例2】 判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|－|x－1|；（2）f（x）=（x－1）²

1x1x；

（3）f（x）=1x2|x2|2x(1x)x(1x)；

（4）f（x）=(x0),(x0).剖析：根据函数奇偶性的定义进行判断.解：（1）函数的定义域x∈（－∞，+∞），对称于原点.∵f（－x）=|－x+1|－|－x－1|=|x－1|－|x+1|=－（|x+1|－|x－1|）=－f（x），∴f（x）=|x+1|－|x－1|是奇函数.（2）先确定函数的定义域.由

1x1x≥0，得－1≤x＜1，其定义域不对称于原点，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数.（3）去掉绝对值符号，根据定义判断.1x20,1x1,由得

x0且x4.|x2|20,故f（x）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有x+2＞0.从而有f（x）= 1x2x22=1xx2，这时有f（－x）=

1(x)x2=－

1xx2=－f（x），故f（x）为奇函

数.（4）∵函数f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x＞0时，－x＜0，∴f（－x）=（－x）［1－（－x）］=－x（1+x）=－f（x）（x＞0）.当x＜0时，－x＞0，∴f（－x）=－x（1－x）=－f（x）（x＜0）.故函数f（x）为奇函数.评述：（1）分段函数的奇偶性应分段证明.（2）判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.【例3】（2005年北京东城区模拟题）函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1、x2∈D，有f（x1²x2）=f（x1）+f（x2）.（1）求f（1）的值；

（2）判断f（x）的奇偶性并证明；

（3）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x－6）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围.（1）解：令x1=x2=1，有f（1³1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0.（2）证明：令x1=x2=－1，有f［（－1）³（－1）］=f（－1）+f（－1）.解得f（－1）=0.令x1=－1，x2=x，有f（－x）=f（－1）+f（x），∴f（－x）=f（x）.∴f（x）为偶函数.（3）解：f（4³4）=f（4）+f（4）=2，f（16³4）=f（16）+f（4）=3.∴f（3x+1）+f（2x－6）≤3即f［（3x+1）（2x－6）］≤f（64）.（*）∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴（*）等价于不等式组

(3x1)(2x6)0, (3x1)(2x6)64(3x1)(2x6)0,(3x1)(2x6)64,或

1x3或x,1x3,3或或3

xR.7x53∴3＜x≤5或－73≤x＜－

7313或－

1313＜x＜3.或－

13∴x的取值范围为{x|－≤x＜－＜x＜3或3＜x≤5}.评述：解答本题易出现如下思维障碍：

（1）无从下手，不知如何脱掉“f”.解决办法:利用函数的单调性.（2）无法得到另一个不等式.解决办法：关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反.深化拓展

已知f（x）、g（x）都是奇函数，f（x）＞0的解集是（a，b），g（x）＞0的解集是（b2

2a22，），b2＞a，那么f（x）²g（x）＞0的解集是 2

A.（a222，b2b2）

b2

2B.（－b，－a2）D.（a2C.（a，）∪（－，－a）

2，b）∪（－b2，－a2）

提示：f（x）²g（x）＞02

f(x)0,g(x)02

或f(x)0,g(x)0.∴x∈（a，答案：C b2）∪（－

b2，－a）.【例4】（2004年天津模拟题）已知函数f（x）=x+

px+m（p≠0）是奇函数.（1）求m的值.（2）（理）当x∈［1，2］时，求f（x）的最大值和最小值.（文）若p＞1，当x∈［1，2］时，求f（x）的最大值和最小值.解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（－x）=－f（x）.∴－x－pxpx+m=－x－－m.∴2m=0.∴m=0.（2）（理）（ⅰ）当p＜0时，据定义可证明f（x）在［1，2］上为增函数.∴f（x）max= f（2）=2+p2，f（x）min=f（1）=1+p.p］上是减函数，在［

p，+∞）（ⅱ）当p＞0时，据定义可证明f（x）在（0，上是增函数.①当p＜1，即0＜p＜1时，f（x）在［1，2］上为增函数，∴f（x）max=f（2）=2+②当

p2，f（x）min=f（1）=1+p.p∈［1，2］时，f（x）在［1，p］上是减函数.在［p，2］上是增函数.p.f（x）min=f（p）=2f（x）max=max{f（1），f（2）}=max{1+p，2+当1≤p≤2时，1+p≤2+③当

p2p2}.p2，f（x）max=f（2）；当2＜p≤4时，1+p≥2+，f（x）max=f（1）.p＞2，即p＞4时，f（x）在［1，2］上为减函数，∴f（x）max=f（1）=1+p，f（x）min=f（2）=2+（文）解答略.p2.评述：f（x）=x+px（p＞0）的单调性是一重要问题，利用单调性求最值是重要方法.深化拓展

f（x）=x+px的单调性也可根据导函数的符号来判断，本题如何用导数来解？

●闯关训练 夯实基础

1.定义在区间（－∞，+∞）上的奇函数f（x）为增函数，偶函数g（x）在区间［0，+∞）上的图象与f（x）的图象重合，设a＜b＜0，给出下列不等式，其中成立的是

①f（b）－f（－a）＞g（a）－g（－b）②f（b）－f（－a）＜g（a）－g（－b）③f（a）－f（－b）＞g（b）－g（－a）④f（a）－f（－b）＜g（b）－g（－a）A.①④

B.②③

C.①③

D.②④

解析：不妨取符合题意的函数f（x）=x及g（x）=|x|进行比较，或一般地g（x）=f(x)f(x)x0,x0, f（0）=0，f（a）＜f（b）＜0.答案：D 2.（2003年北京海淀区二模题）函数f（x）是定义域为R的偶函数，又是以2为周期的周期函数.若f（x）在［－1，0］上是减函数，那么f（x）在［2，3］上是

A.增函数

C.先增后减的函数

B.减函数

D.先减后增的函数

解析：∵偶函数f（x）在［－1，0］上是减函数，∴f（x）在［0，1］上是增函数.由周期为2知该函数在［2，3］上为增函数.答案：A 3.已知f（x）是奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=lgf（x）的表达式是__________.解析：当x∈（－1，0）时，－x∈（0，1），∴f（x）=－f（－x）=－lg答案：lg（1－x）

x224.（2003年北京）函数f（x）=lg（1+x），g（x）=0x2x1,|x|1,h（x）=tan2x中，x1.11x，那么当x∈（－1，0）时，11x=lg（1－x）.______________是偶函数.解析：∵f（－x）=lg［1+（－x）］=lg（1+x）=f（x），∴f（x）为偶函数.又∵1°当－1≤x≤1时，－1≤－x≤1，∴g（－x）=0.又g（x）=0，∴g（－x）=g（x）.2°当x＜－1时，－x＞1，∴g（－x）=－（－x）+2=x+2.又∵g（x）=x+2，∴g（－x）=g（x）.3°当x＞1时，－x＜－1，2

∴g（－x）=（－x）+2=－x+2.又∵g（x）=－x+2，∴g（－x）=g（x）.综上，对任意x∈R都有g（－x）=g（x）.∴g（x）为偶函数.h（－x）=tan（－2x）=－tan2x=－h（x），∴h（x）为奇函数.答案：f（x）、g（x）5.若f（x）=a2a22122xxx为奇函数，求实数a的值.解：∵x∈R，∴要使f（x）为奇函数，必须且只需f（x）+f（－x）=0，即a－a－22x1+ 1=0，得a=1.6.（理）定义在［－2，2］上的偶函数g（x），当x≥0时，g（x）单调递减，若g（1－m）＜g（m），求m的取值范围.解：由g（1－m）＜g（m）及g（x）为偶函数，可得g（|1－m|）＜g（|m|）.又g（x）在（0，+∞）上单调递减，∴|1－m|＞|m|，且|1－m|≤2，|m|≤2，解得－1≤m＜说明：也可以作出g（x）的示意图，结合图形进行分析.（文）（2005年北京西城区模拟题）定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，又f（－3）=0，则不等式xf（x）＜0的解集为

A.（－3，0）∪（0，3）

B.（－∞，－3）∪（3，+∞）C.（－3，0）∪（3，+∞）

D.（－∞，－3）∪（0，3）解析：由奇偶性和单调性的关系结合图象来解.答案：A 培养能力 7.已知f（x）＝x（12x12.1＋

12）.（1）判断f（x）的奇偶性；（2）证明f（x）＞0.（1）解：f（x）＝x²

2xx11)，其定义域为x≠0的实数.又f（－x）＝－x²

2xx11)2(212xx2(2＝－x²＝x²

2xx11)＝f（x），2(12)2(2∴f（x）为偶函数.（2）证明：由解析式易见，当x＞0时，有f（x）＞0.又f（x）是偶函数，且当x＜0时－x＞0，∴当x＜0时f（x）＝f（－x）＞0，即对于x≠0的任何实数x，均有f（x）＞0.探究创新

8.设f（x）=log1（21axx1）为奇函数，a为常数，（1）求a的值；

（2）证明f（x）在（1，+∞）内单调递增；

（3）若对于［3，4］上的每一个x的值，不等式f（x）＞（m的取值范围.（1）解：f（x）是奇函数，∴f（－x）=－f（x）.∴log1ax1212）+m恒成立，求实数

xx1=－log

1ax12x11axx1=

x11ax＞01－a2x2=1－x2a=±1.检验a=1（舍），∴a=－1.（2）证明：任取x1＞x2＞1，∴x1－1＞x2－1＞0.∴0＜2x11＜2x210＜1+

2x11＜1+

2x210＜

x11x11＜

x21x21log

x1112x11＞logx2112x21，即f（x1）＞f（x2）.∴f（x）在（1，+∞）内单调递增.1（3）解：f（x）－（）x＞m恒成立.2令g（x）=f（x）－（）x.只需g（x）min＞m，用定义可以证g（x）在［3，4］上是

21增函数，∴g（x）min=g（3）=－

98.∴m＜－

98时原式恒成立.●思悟小结

1.函数的奇偶性是函数的整体性质，即自变量x在整个定义域内任意取值.2.有时可直接根据图象的对称性来判断函数的奇偶性.●教师下载中心 教学点睛

1.函数的奇偶性经常与函数的其他性质，如单调性、周期性、对称性结合起来考查.因此，在复习过程中应加强知识横向间的联系.2.数形结合，以形助数是解决本节问题常用的思想方法.3.在教学过程中应强调函数的奇偶性是函数的整体性质，而单调性是其局部性质.拓展题例

【例1】 已知函数f（x）=

ax21bxc（a、b、c∈Z）是奇函数，又f（1）=2，f（2）＜3，求a、b、c的值.解：由f（－x）=－f（x），得－bx+c=－（bx+c）.∴c=0.由f（1）=2，得a+1=2b.由f（2）＜3，得4a1a1＜3，解得－1＜a＜2.又a∈Z，∴a=0或a=1.若a=0，则b=

12，与b∈Z矛盾.∴a=1，b=1，c=0.【例2】 已知函数y=f（x）的定义域为R，对任意x、x′∈R均有f（x+x′）=f（x）+f（x′），且对任意x＞0，都有f（x）＜0，f（3）=－3.（1）试证明：函数y=f（x）是R上的单调减函数；

（2）试证明：函数y=f（x）是奇函数；