复变函数成绩分析报告
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复变函数在数学分析中的教学中具有非常重要的意义,复变函数与数学分析具有很多共同点,但是也有较多的不同,虽有不同,但复变函数中的很多知识点都是数学分析的推广,是数学分析的加深.数学分析与复变函数的相同点:
1.二者的定义相同，都是由一个对应法则从一个区域到另一个区域映射；实数域上的函数与复变函数在进行加、减、乘、除及复合时具有相同的性质；都具的基本初等函数，如指数函数，对数函数，幂函数等；
2.二者都具有极限和连续性，对数学分析中的一些比较重要的定理，如维尔斯特拉斯定理，区间套定理，有限覆盖定理在复数集也成立 ；
3.二者都具有积分，并且积分定义形式类似，都可用类似黎曼积分定义的形式来表述，在此就不详细说明了，实函数与复变函数中积分都有相同的运算法则；
4.二者都有数项级数和函数项级数，并且结构类似，函数项级数的收敛性都可用柯西一致收敛原理，魏尔斯特拉斯判别法来判断，函数都可以有泰勒展式，并且形式一致。
数学分析与复变函数的不同点:
数学分析和复变函数研究的是定义在数域上的函数，数学分析研究实数上的函数，复变函数研究复数领域的函数。由于定义域的不同，而导致了数学分析和复变函数有很多的差异。
1.极限
复变函数研究定义域上自变量趋近于其一个聚点的极限，数学分析中可研究自变量趋近于某一点的极限，也可研究趋近于无穷大的极限，也可以研究单侧极限，研究范围比复变函数要广。
2.求导与微分
复数的概念起源于求方程的根, 在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况.在很长时间里, 人们对这类数不能理解.但随着数学的发展, 这类数的重要性就日益显现出来, 并将其定义为复数.以复数作为自变量的函数就叫做复变函数, 而与之相关的理论就是复变函数论.复变函数论的全面发展是在19世纪, 并以其完美的理论成为数学的一个重要分支, 成为其他学科解决实际问题的强有力的工具.
解析函数是复变函数研究的主要对象, 复变函数的积分是研究解析函数的一个重要工具.复变函数积分的求解问题向来被认为是复变函数的重点和难点问题.有关复变函数围线积分的定理有柯西积分定理、复合闭路定理、留数定理, 等等, 定理和公式较多.在此以积分路径的封闭性和被积函数的解析性为突破口, 简单介绍了复变函数积分的解法.
二、积分路径C是不封闭曲线时的解法
1. 若被积函数f (z) 在区域D内不解析
则∫Cf (z) dz与积分路径有关, 可以通过解复变函数积分的一般方法参数法来解决, 解题步骤如下:
(1) 找到积分路径C的参数方程z=z (t) , α≤t≤β.
(2) 将z=z (t) 代入f (z) 与dz中, 得f (z) =f (z (t) ) , dz=z′ (t) dt.
(3) 由上步得到的计算该式结果即可得到相应积分结果.
2. 若被积函数f (z) 在区域D内解析
则∫Cf (z) dz与积分路径无关, 可以利用Newton-Leibniz公式求原函数:
∫Cf (z) dz=∫baf (z) dz=F (b) -F (a) , 即为原函数法求解复变函数积分.
三、积分路径C是封闭曲线时的解法
1. 被积函数f (z) 在区域D内解析, 且C在D内;或者f (z) 在C+D上解析, 且C为D的边界
则根据柯西积分基本定理, ∮cf (z) dz=0.例如计算∮|z|=5 (2z2+ez+cosz) dz的值.因为2z2, ez, cosz在复平面上均为解析, 所以2z2+ez+cosz在包含在|z|=5的连通区域内是解析的, 因此根据柯西积分定理, ∮|z|=5 (2z2+ez+cosz) dz=0.
2. 被积函数在区域D内有有限个奇点
此时需要采用挖奇点法, 如下面公式所示:
其中g (z) 在区域D内是解析的.挖奇点的方法是根据复合闭路定理, 把积分路径C包含区域内的奇点用互不相交且不包含的几个闭曲线将每一个奇点含于一条闭曲线中 (并且这些闭曲线都含于C中) , 再利用柯西积分公式和高阶导数公式计算复积分.
3. 留数法在解复变函数积分中的应用
当用高阶导数公式计算积分时, 若阶数过高则会太过繁琐, 这时运用留数定理及其计算规则来计算复积分, 就简便得多.留数理论是复变函数论中一个重要的理论.留数也叫做残数, 它的定义比较复杂.应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便.计算实变函数定积分, 可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后, 再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算, 当奇点是极点的时候, 计算更加简捷.
4. 利用幅角法解复变函数积分
由幅角原理可知, 如果f (z) =其中g (z) 除了可能在D上有有限个极点外, 在D上均应解析.若z属于C上的一个点时, g (z) 不为0, 则∮cf (z) dz=2∏i (N-P) , 其中N表示g (z) 在C内部的零点个数, 同样P为表示g (z) 在C内部的极点个数, 称这种方法为幅角法.
例如:求∮ctanzdz, 其中C为|z|=5.
则设g (z) =cosz, 它在C|z|=5内部解析, 有4个一级零点, 根据幅角法可得:
四、结论
复变函数论在应用方面涉及的面很广, 有很多复杂的计算都是用它来解决的.比如物理学上有很多不同的稳定平面场, 所谓场就是每点对应有物理量的一个区域, 对它们的计算就是通过复变函数来解决的.比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候, 就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题, 他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也作出了贡献.
总之, 在解有关复变函数积分的问题时, 对方法的选择要“因题而异”.首先从积分路径和被积函数入手, 确定积分路径是封闭曲线还是不封闭曲线, 然后再对被积函数在已给区域D内的解析性加以分析判断后, 再决定采取什么方式方法来解决你所面对的积分问题.按照这样一个基本步骤来寻找复变函数积分的计算方法, 解有关复变函数积分的问题就会得心应手.
参考文献
[1]王金柱.复变函数中的几个问题.陕西教育学院学报, 2000 (04) .
[2]刘胜春.复变函数解法探析.武汉市教育科学研究院学报, 2001 (03) .
[3]陈悦, 刘名生.复函数的三种不定式极限的简化计算.大学数学, 2008 (04) .
[4]潘学锋, 尹敏.一类复变函数问题的统一解法.兵团教育学院学报, 2007 (01) .
读《复变函数》与《积分变换》有感
在学了《高等数学》之后，我们进一步学习《复变函数》和《积分变换》这两本书，这两本书是《高等数学》的微积分扩展和延伸，还有将复数将以深入学习和扩展，并引入函数的概念。因此感觉有一定的深度和难度。它们都利用数学的理论来解决实际问题。
复变函数中有很多概念，其中理论和方法是实变函数在复数领域内的推广和发展，因而它们有许多相似之处，但是复变函数与实变函数有不同之点。就拿第一章来说，复数与复变函数，本课程研究对象就是自变量为复数的函数。在中学阶段，我们已经学习过复数的概念和基本运算。本章将原来的基础上作简要的复习和补充。然后再介绍在复变平面上区域以及复变函数的极限和连续性等概念，为进一步研究解析函数理论和方法奠定必要的基础。概括一下，以前学过方程x2=-1是无解的，因而设有一个实数的平方等于-1。第一节是复习原来的内容，然后逐步引入函数的概念。再引进对复变函数的表达式和复变函数重幂与方根以及加减法研究。由于上学期，我们学习函数概念中，引入极限的概念，然而复变函数也有极限特性。所以对复变函数极限分析有着相似之处，因此可以借鉴学函数极限方法来研究复变函数，然而复变函数又有其独特特性，研究时必然会给我们带来很多困难和意想不到的问题，所以就是它的不同之处。后面将复变函数引入微积分的概念，刚开始觉得挺好学，按照以前学微积分的思想就能接纳复变函数的微积分，当我遇到了用函数微积分解决复变函数时，复变函数的转化和变形却是难题，但是经过一番努力，我逐渐领悟到复变函数在微积分在数学中的独特魅力。
在学习复变函数中，要勤于思考，善于比较分析其共同点，更要领越复变函数的独特魅力，如果这样才能抓住本质，融会贯通。
而《积分变换》研究的是将复杂的运算转化为较简单的运算。本书讲解了积分在数学中的应用，常用的两种积分变换Fourier变换和Laplace变换。利用Fourier变换和Laplace变换将复杂的积分转化为简单的积分变换，有利于对复杂积分的求解，所以学习《积分变换》的思路就不像学习《复变函数》一样，它的解题思路和《积分变换》截然不同，就拿Fourier变换而言，先引进Fourier定理，然后利用Fourier定理解决数学中一些难解的积分，用积分变换也可以解决工业中一些工程计算。其重在积分变换。对于积分变换理论的学习，有助于解决我们在工业设计中遇到的问题，但对与此书着重对积分变换的思想培养和应用。当我开始学习《积分变换》时，感觉无从下手，尤其是对积分的变换，一看到积分变换的过程就很头疼，不知道从哪个地方开始下手，当学到Laplace变换时，才发现积分变换有它的一定的规律，只要把Fourier变换的思路用在Laplace变换，就会简化对Laplace变换的学习，我才明白Fourier变换只是学习积分变换的一种方法，第一种内容学会了，后面的内容就迎刃而解了。
(1) “学生基本信息表”的姓名与“成绩表”中的姓名不一样，“学生基本信息表”中的“王一”在“成绩表”中为“ 王 一”，出现了全角或半角空格。
(2) “学生基本信息表”中王小平在“成绩表”中无此人，即“学生基本信息表”的人数多于“成绩表”的人数。
(3) “成绩表”中成绩列为文本方式，且出现了全角数字。
(4) 每个表的数据为几千条。如果对“成绩表”中的姓名列进行排序，把成绩列进行复制粘贴到“学生基本信息表”中的成绩列，出现错位。
我通过Excel函数SUBSTITUTE和LOOKUP来解决，将“学生基本信息表”和“成绩表”进行了一些修改，实现将“成绩表”中的数据复制到“学生基本信息表”中，并且保持最终表格的清爽和数据的正确。
除去“成绩表”中全角或半角空格
首先，我要解决的问题是将“成绩表”中姓名的空格去掉，让“成绩表”中的学生姓名显示和“学生基本信息表”中的一样。此时我利用替换公式 SUBSTITUTE(SUBSTITUTE(A2，“半角空格 ”，“”)，“全角空格”，“”)。在D2单元格输入公式=SUBSTITUTE(SUBSTITUTE(A2，“ ”，“”)，“ ”，“”)，然后在整个D列复制公式。选择D列数据→进行复制，再选择A列所有数据→选择性粘贴→值和数字格式。
转化“成绩表”中成绩列为数字
删除了空格，下面的工作就是将“成绩表”中的数字规范为半角形式。同样利用函数SUBSTITUTE。在E2单元格输入公式= (SUBSTITUTE(C2，“。”，“.”))*1，其中SUBSTITUTE(C2，“。”，“.”)表示句号“。”转化为点号“.”，“*1”表示转化为数字。然后在E列复制公式。同样进行选择性粘贴。选择E列数据→进行复制，再选择C列所有数据→选择性粘贴→值和数字格式。删除“成绩表”中D 列、E列，
复制“成绩表”中数据到“学生基本信息表”
最后一步就是复制“成绩表”中的数据到“学生基本信息表”了，但是我们不能简单地利用复制粘贴来实现，因为我们的这个具体案例中包含没有成绩的同学，所以为了数据的正确性，我们知道查询函数LOOKUP有一个特性就是在查询结束后会在指定的区域返回查询结果，我就用它来达到复制“成绩表”中数据的效果。
其语法为LOOKUP(lookup_value，lookup_vector，result_vector)。其中Lookup_value为要查找的数值，Lookup_vector为只包含一行或一列的区域，且必须按升序排列，否则要返回错误，Result_vector 返回只包含一行或一列的区域。
如果函数LOOKUP找不到lookup_value，则查找lookup_vector中小于或等于lookup_value的最大数值，如果 lookup_value 小于lookup_vector 中的最小值，函数LOOKUP 返回错误值 #N/A，利用这个特性，我们把公式改为=LOOKUP(1，0/(条件)，引用区域)，条件――产生的是逻辑值True、False数组，0 /True=0，0/false=#DIV0!，即Lookup的第2参数便是由0、#DIV0!组成的数组(都比1小)，如果找到满足条件，就返回对应行引用区域的值;如果没有找到满足条件的记录则返回#N/A错误，从而实行精确查找。
在“学生基本信息表”中D2输入公式=LOOKUP(1，0/(成绩表!A$2:A$5=B2)，成绩表!C$2:C$5)。在没找到数据的一栏出现了#N/A，影响了表格的美观。稍微改进一下，利用ISNA函数判断是否为#N/A，如果是，设置为空。
因此在D2输入公式=IF(ISNA(LOOKUP(1，0/(成绩表!A$2:A$5=B2)，成绩表!C$2:C$5))，“”，LOOKUP(1，0/(成绩表!A$2:A$5=B2)，成绩表!C$2:C$5))，这样#N/A不会出现在单元格中，最后在D列进行公式复制即可。
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数学分析是高等院校数学专业的重要基础课,其主要研究对象是取值为实变量的实变函数.而复变函数是自变量为复数的函数,复变函数论是分析学的一个分支,故又称复分析,它是数学专业的后继课.复变函数论的主要研究对象是解析函数.学生在数学分析的基础上学习复变函数,如果能对二者间的内在联系深入探讨,那么有助于轻松掌握这些数学课程,减轻学习压力.通过学习,我们知道复变函数论中的许多内容都是数学分析中相关内容的延伸与拓展.例如函数的极限、连续性、可微性、洛必达法则、积分的概念及其性质、级数理论中的泰勒展开式等内容,在这儿不一一列举.本文就二者在初等函数方面的不一致给予对比,以加深学生对相关内容的学习与理解.
二、两者之间的差别
对任意的复数z=x+iy,复变数z的指数函数定义为w=ez=ex(cosy+isiny).若y=0,则w=ex,故实指数函数是复指数函数的特例.w=ex不是周期函数,但是w=ez是以2πi为周期的周期函数,即ez+2πi=ez.
三、小结
数域从实数域拓展到复数域后,我们在实分析中所学的极限、导数、积分、零点、基本初等函数、中值定理等知识也随着具有了不同的性质,也就是说它们在实数域中的性质不能一成不变地推广到复数域上来.本文就基本初等函数方面在实函数与复变函数中的不同点进行了分析和比较.通过比较我们可以发现新旧知识之间既存在着区别又有联系,只有通过比较分析才能够牢固地掌握新旧知识.因此在教学与学习的过程中,一定要关注二者的差异,这样才能将基础课与后继课紧密结合,达到事半功倍的效果.
摘要：本文主要从基本初等函数方面阐述了一元实变函数与单变量复变函数间的重大差异,由此巩固和理解基础课与后继课间的内在联系,达到事半功倍的效果.
关键词：实变函数,复变函数,基本初等函数
参考文献
[1]钟玉泉.复变函数论(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2004.
[2]钟玉泉.复变函数学习指导书[M].北京:高等教育出版社,1998.
[3]同济大学数学系编.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2006.
[4]刘玉莲.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2001.
虽然《复变函数与积分变换》这门课程有着重要的作用, 不过大部分高校对此课程设置的课时都比较少, 基本上都是三十二学时或者四十八学时, 相对于《高等数学》来说, 这些课时是非常有限的。在有限的时间内, 如何能让学生充分利用每周的少量课时, 理解和掌握这门课程的精髓, 并为以后的各门专业课打下坚实的基础, 这一点对于每一位授课老师以及学生来说都是极其重要的。以下根据我任教十几年来对该门课程的理解, 简单谈谈我对复变函数与积分变换教学的几点看法。
1 总结同一概念和性质在复变函数和高等数学中的相似与不同, 加强理解和记忆
《复变函数与积分变换 》这门课程的内容主要有两部分, 前半部分是复变函数, 后半部分是积分变换。其中复变函数以理论为主, 积分变换以应用为主。 复变函数是以高等数学为基础, 同时也是高等数学中实数域向复数域的扩展, 因此复变函数中的大部分概念都是和高等数学的概念类似, 性质也基本上都是相同的。 其中第一章复变函数的概念中, 区域的概念, 复变函数的概念, 复变函数的极限的概念, 复变函数的连续性以及闭区间上连续函数的性质等和实数域中相似;第三章复变函数的积分中, 积分的概念和实数域的定积分, 重积分的概念一致, 都是通过对所求变量按照“分割, 近似替代, 求和, 取极限”这四个过程来定义的;第四章级数中, 复变函数的幂级数, 泰勒级数也与高等数学中函数的级数, 泰勒级数的概念一致。在讲授这些内容的时候, 任课老师可以先和同学们一起简单的回忆《高等数学》中的概念和性质, 与复变函数结论有区别的地方可以重点说明, 接着讲解新内容, 相似点可以直接类比, 对于不同的地方需要重点强调, 而且可以启发学生去思考不同之处的根源。复变函数中的正弦函数和余弦函数是无界函数, 指数函数是周期函数, 对数函数是多值函数等, 这些内容如果任课教师在讲台上只是一味的照本宣科, 学生会觉得这是内容的重复, 听起课来肯定兴趣不高;如果老师能充分调动学生的积极性, 让他们自己去带着问题思考, 带着问题听课, 让他们自己找到相似点和区别, 不仅师生之间可以有良好的互动性, 学生也会对自己总结的这些知识加深印象。
2 把握侧重点, 强调课程的特色
《复变函数与积分变换 》这门课的课时一般不多, 但是它包含的内容却很多, 因此要想在比较少的时间内将所有的内容都详细的介绍, 那肯定是不可能的。 授课老师在上课之前应该掌握该课程的侧重点, 合理的安排好每个章节的授课时间。 在第一章复变函数中, 复数的辐角和复数的模, 复数的三角表示和几何表示以及复数的运算是以后各章内容的基础, 这部分内容只有讲透, 学生才能在以后的学习中有个扎实的基础。 复数域中的无穷远点是唯一的一个点, 很多课时少的学校将这部分内容作为选讲内容, 但我个人认为这是个基础知识, 无穷远点可以在很多时候简化计算量, 是个很有用的工具, 而且在积分变换的内容中也会涉及到这方面的知识, 这个知识点需要强调一下;第二章解析函数中, 解析函数以及解析函数的充要条件是重点, 也是研究复变函数在孤立奇点处留数的前提;第三章复变函数的积分, 这部分内容可以简单介绍原理, 为以后介绍洛朗级数和留数做前提;至于用柯西积分公式, 柯西古萨定理和高阶导数公式去计算封闭曲线的积分可以简单让学生理解;第四章级数, 洛朗级数是重点, 任课老师要让学生理解洛朗级数和泰勒级数的联系和区别, 并学会如何将同一复变函数在不同点, 不同的圆环域内, 展开成洛朗级数;第五章留数是个新的概念, 也是复变函数的核心, 对学生来说是个全新的知识, 任课老师在讲授这部分内容时可以适当放慢速度, 利用解析函数和洛朗级数的相关理论让学生理解核心概念-留数的定义, 掌握利用留数和洛朗级数去解决积分问题的方法。 留数是复变函数理论当中一个重要知识点, 留数理论也可以用来解决一些高等数学中很难求解的积分问题。这样学生可以感受到复变函数除了是实数域中理论的拓展, 还可以反过来解决实数域中的很多难题。
3 积分变换是一个工具, 侧重于应用
积分变换中主要有两个积分变换-傅立叶变换和拉普拉斯变换。这两个变换是相互联系又有区别。傅立叶变换是由周期函数的傅立叶级数推广得到的, 拉普拉斯变换是在傅立叶变换的基础上优化得来的, 这一部分的概念可以简单讲解。 积分变换部分关键是要让学生学会利用这两个工具解决一些实际问题, 比如在现代信号处理的应用等等;也可以增加一些时尚的和生活实际的应用问题, 提高学生的学习兴趣。 当然这也对授课老师提出了较高的要求, 要求教师能够对积分变换的可能的应用领域以及在其他实际中的用途等多方面的知识都有了解, 以方便在教学中随时可以调动学生的学习积极性。
4 结合多媒体, 缩短板书时间;缩短上课的周期, 提高效率
复变函数中有部分概念需要很强的空间想象能力, 例如基本初等函数的实部与虚部、复数的模与辐角、复球面的概念, 函数在孤立奇点处的留数等;积分变换部分, 工程上经常出现的单位脉冲函数, 这些对于刚刚接触到这门课程的学生来说, 都是是非常抽象的。 如果可以通过多媒体软件展示这些概念, 就会直观的多, 学生也容易理解。对工科的大部分学生来说, 复变函数与积分变换只是一个解决问题的工具, 很多结论没有必要要求学生去掌握具体原因, 只需要学会并熟练运用结论就可以了。 比如第三章的柯西-古萨定理, 复合闭路定理, 柯西积分公式, 高阶导数公式等这些结论, 学生只要能会运用就可以了。但是这几个结论相对来说都很长, 如果授课老师板书到黑板上需要浪费很多时间, 如果只是照着课本念一下, 学生又没有什么印象。 利用电子ppt, 在每次需要用的时候可以直接拿出来, 而且可以针对每个结论, 对应的举例说明, 那样就可以节省不少的时间。
最后对于小学时的课程, 希望能够缩短上课的周期, 变成前半学期或者后半学期教学。 这一点部分高校已经开始实行, 一周一次的课程教学效果远远有一周两三次的效果好。
当然授课老师在课堂上为了增加学生的学习兴趣, 可以适当渗透一些现代的数学思想, 为学生进一步学习现代数学知识提供一些接口;联系其他相关课程的知识和工程实际应用, 以加强学生的综合应用能力。 比如利用留数计算积分是复变函数理论中一个重要知识点, 课堂上除了详细介绍这些之外也可以介绍一下留数计算的物理应用, 如在数字滤波器性能分析和形状设计中的应用等, 这对于部分同学来说也是激起他们学习兴趣的一些理由。
参考文献
[1]复变函数.西安交通大学高等数学教研室编[M].4版.高等教育出版社.
[2]复变函数与积分变换.华中科技大学数学系编[M].2版.高等教育出版社.
“绪论”是课程的开篇,通常概括性的介绍全书。包括内容设置、学科的发展简史、与相关学科的联系和今后的发展方向及动态。但与以后教学内容相比由于几乎全是理论,与学习后续课程似乎没什么帮助,其内容和教学目标往往不被教师及学生重视,一代而过。我自己认为,“绪论”在教学中的作用没有被充分的认识及肯定。“绪论”的首轮效应在教学中具有重要意义。
2 重视绪论课的作用
绪论,即开头要讲的话。绪论课就是指各门课程正式教学开始前的前言课、简介课、概论课、导入课,其内容主要是对该学科进行综合性的概括和介绍,使学生明确学习本门课的目的和基本内容,对这门课有一个总体的、大概的认识,同时,初步了解该学科的教学特点、学习方法和教学的总体安排,为以后教学中师生的沟通与配合打下良好的基础。本文就自己所讲的复变函数及积分变换为例说明绪论课的重要性。
2.1 讲述工程数学分类及其作用
目前工程数学主要包括了线性代数、概率论、线性规划、复变函数及积分变换等课程。其中线性代数为所有工科专业学生的必修课程,而其它课程各专业设置的情况不尽一致。
2.2 工程数学的特点
工程数学被认为是一种用于指导和解决工程技术问题的工具。工程数学的教学内容是因为指导和解决工程技术问题的需要而设立的,是为后续专业课程的开设作铺垫的,它的教学重点是把抽象的数学理论知识实际应用化,能用、会用工程数学的知识来解决工程技术问题。由此可以得出工程数学的特点:
(1)有比较强的目的性和针对性;(2)知识结构局部完整,有一定的代表性,能反映出一个知识层面;(3)源自实际或近似于实际,能反映出知识点的实际意义;(4)形式多样性,包括:概念性、算法性和结论性;(5)注重解决问题的方法、途径和过程,注重思维的培养。
2.3 简要讲述复变函数的历史发展过程
在十六世纪中叶,G.Cardano(1501-1576)在研究一元二次方程x(x-10)=40时引进了复数。他发现这个方程没有根,并把这个方程的两个根形式地表为。在当时,包括他自己在内,谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上,复数被Cardano引入后,在很长一段时间内不被人们所理睬,并被认为是没有意义的,不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪,随着微积分的产生与发展,情况才有好转。特别是由于L.Euler的研究结果,复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的Euler公式eiθ=cosθ+isinθ揭示了复指数函数与三角函数之间的关系。然而一直到C.Wessel(挪威)和R.Argand(法国)将复数用平面向量或点来表示,以及K.F.Gauss(德国)与W.R.Hamilton(爱尔兰)定义复数为一对有序实数后,才消除人们对复数真实性的长久疑虑,“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和发展。
2.4 本书的线索及条理性,课时安排
以复数为中心,讲复数的基本性质及其应用,穿插提及在工程中的计算及后续课程中应用,附带提及积分变换的工程应用。即讲清楚本课程的线索。
本课程所选用的教材是高等教育出版社出版,李红、谢松发主编的《复变函数与积分变换》,总共72学时,绪论占用两学时。
3 绪论课的讲授方法
3.1 备课要充分
要上好绪论课,首先要重视绪论课教学,认真充分地备课,做到胸有成竹。备课时,一是备教学大纲,明确教学目的,以此为中心搜集素材;二是备教材,应通晓全部教材内容,了解内容所处的地位,以便把握教材,运用教材;三是备学生,了解学生的知识层次、个性特点;四是确定教法,根据内容、学情等选择教学策略,确定互动式等学生积极参与的教学方法;最后,设计教学进程,写好教案,为绪论课的顺利讲授铺平道路。
3.2 激发学生学习兴趣
“好学之不如乐学之”这句话充分说明了兴趣和求知欲在学习中的动力作用。如何使学生对陌生的课程产生兴趣,绪论的首轮效应至关重要,要由一个问题引导出另外一个问题来,由于问题的解决而产生乐趣,并且发现问题使学生的求知欲得到增强。使学生通过学习得到的是乐趣。
3.3 讲授正确的学习方法
举例说明:设有如图1所示的R和L串联电路,在t=0时接到直流电势E上,求电流i(t)。
由基尔霍夫定理知i(t)满足方程:
这是电路基础课程中的一个典型例子,如果直接解这个微分方程有通解和特解是比较麻烦的。拉氏变换作为一种数学工具,使有关运算得以简化,同时它也是研究工程实际问题中线性系统特性的有力工具,如果用拉氏变换解这个方程,会得到事倍功半的效果。但是为什么要用拉氏变换呢?这是由于它把关于时域t的方程微分方程转化为复频域s的代数方程,这样简化了运算过程,减少了出错率。
3.4 提出希望及要求
学生们已经了解本课程的重要性、任务、学习方法之后,还要提出今后的希望和要求,使学生知道今后的学习目标,坚定学好本课程的决心。在讲解下一次课时要进行预习,存疑上课并与老师及时沟通。使教师通过与学生的交流进一步发现问题。并且由于工程数学基本是对普遍性例子进行讲解,特例还要经过学生自己课外发现、总结。
4 两学期教学结果
如下表:07、09级自动化专业卷面分数对比可看出,成绩提高幅度较大。
5 结论
教学实践表明,讲好绪论课,促进了学生从“要我学”到“我要学”的转变,有利于培养学生的思考问题能力,养成良好的学习习惯,提高学习兴趣。还加强了学生和教师之间的沟通与交流,起到了教学相长的效果。
参考文献
[1]李红,谢松发.复变函数与积分变换(第三版)[M].高等教育出版社.
[2]贺文欣,卓煜娅.重视组织学绪论上好入门第一课[J].中国科教创新导刊,2009NO.26.
[3]周玲.绪论课教学的几点体会职业与教育[J].2008.03.
[4]徐成君,张丰雷.试论绪论课教学实践与探索[J].201002.
复变函数是在实变函数的基础上产生和发展起来的，在理论研究的各个方面既有区别又有联系。虽然复变函数论有本学科的独立性、完整性，但由于复变函数理论是高等数学的后继课程，复变函数的基本概念和定理都与高等数学理论类似，但又有发展。在教学过程中，可以采用类比的方法教学，所谓类比的方法就是指通过复变函数与实变函数类似之处的比较，由以往在高等数学中获得的实变函数的知识，引出新的处理复变函数的方法。运用“复与实”的类比，“一对二的对应”关系等，激发他们对新知识的认知积极性。
1.“一对二的对应关系”。
在复变函数中存在很多的一对二的对应关系，即一个复的对应到两个实的。学习的方法是“复的”不方便研究时就可转化为“实的”来研究。
1.1 复数对应于两个实数，如z=x+iy，复数z对应于两个实数x, y;
1.2 复函数对应于两个实函数，如w=z2，令z=x+iy, w=u+iv, 则u+iv= (x+iy) 2=x2-y2+2xyi, 因而复函数w=z2对应于两个实函数u=x2+y2, v=2xy;
1.3 复函数的极限对应于两个实函数的极限;
1.4 复函数的连续对应于两个实函数的连续;
1.5复函数的求导对应于两个实函数的求导, 通过柯西-黎曼方程还可以有其他的表达形式, 但都可用两个实函数的偏导来表示;
1.6复函数的解析对应于两个实函数柯西-黎曼方程
1.7 复数列的收敛对应于两个实数列的收敛;
1.8 复数项级数的收敛对应于两个实数项级数的收敛。
通过以上“一对二的对应”关系，可以很快地解决极限、求导、解析、级数等问题。在这些方面甚至很多定理都和高等数学中的定理基本相同，让学生体会到对新的复变函数的学习可以很方便地转化为已有知识的问题，能大大地提高学习兴趣。当然除了相同之处还有不同之处，复变函数是以复数为自变量的函数，实变函数是以实数为自变量的函数。因此要认清复数与实数的区别，这样便于把握问题的本质。
2. 复变函数与实变函数的区别。
复变函数论研究的内容和方法与高等数学中的一元微积分相比，有其特殊的方面，二者存在着诸多差异。教学中如何向学生展示二者的联系与差异，揭示复变函数的本质属性，是上好这门课的关键所在。
2.1 实数可以比较大小，而复数不可以;
2.2 复变函数极限与实变函数极限的定义的形式都一样，都是利用ε-σ定义的, 但是复变函数中z→z0在复平面上可以是沿任何方向趋向于z0, 而实变函数中x→x0只能沿实轴从左右两边趋向于x0。趋向的方式不同, 极限的实质就不相同。因为函数的连续, 可导, 可微等都是在极限的基础上展开的, 由此导致了复变函数与实变函数在连续、可导、可微等定义方面虽然形式相同, 但实则又存在着不同;
2.3 复变初等函数是一元实初等函数的推广，它与实初等函数有许多相同之处，但也有很大区别。比如单值和多值的区别;
2.4 复变函数积分的定义类似高等数学里积分的方法，采取的是分割、近似替代、求和、取极限等步骤来建立的, 但形式像一元积分, 而实质像曲线积分;
2.5 复变函数积分的牛顿—莱布尼兹公式与实一元函数的牛顿—莱布尼兹公式在形式和结果上几乎是完全一致, 但实一元函数积分对函数的要求比复变函数积分对函数的要求要低得多。用牛顿—莱布尼兹公式计算复变函数积分, 首先要解决的是, 积分上下限的两点是否可以包含在一个单连通域内, 且被积函数f (z) 是否在该单连通域内解析。
2.6 最大的不同之处是复变函数积分主要研究简单闭曲线上的积分c, 方法不同于高等数学中的方法, 但思想有相同之处。复合闭路定理或留数定理, 表达了边界与内部的联系, 在高等数学中的牛顿-莱布尼兹公式、格林公式、高斯公式同样表达了边界与内部的联系。
对所讲授的内容进行异同的对比，使学生了解新旧知识的关系，让学生认清复变函数与实变函数的异同，同时培养学生创造性思维。
3. 复变函数的中心内容是简单闭曲线上的积分
，围绕此展开，可以看到它独特的完美结构。
型积分是整个复变函数最中心的问题。被积函数f (z)在简单闭曲线C内解析，由柯西-古萨定理得;当被积函数f (z)在简单闭曲线C内不解析时，由复合闭路定理，简单闭曲线C上的积分转化为绕内部各个孤立奇点的简单闭曲线Ck的积分之和，这也是留数定理的主要内容。
剩下的问题就是如何解决绕单个孤立奇点的简单闭曲线Ck的积分，对这个问题逐步深入。
3.1 先解决型，f (z)在简单闭曲线C内解析，可用柯西积分公式。
3.2然后解决型, f (z) 在简单闭曲线C内解析, 可用高阶导数公式, 当n=1时就是3.1的情形。
3.3 最普通的形式，可用罗朗级数负一次幂系数c-1表达。
3.4 最后是留数，Res[f (z), z0]=c-1，就是罗朗级数负一次幂系数c-1, 只是不用把完整的罗朗级数都得出来, 因为只要得到负一次幂系数, 就可用留数计算规则直接计算负一次幂系数。
4. 小结。
总之，在教学过程中，要带领学生不断回忆高数中的知识，并从中联想如果放到复变函数中会有什么区别，然后进行探究、比较，认识到复变函数与实变函数的不同，可以做到知识的承前启后的效果，便于我们加深对知识的理解，提升认知的高度。教师的教学不是只要求学生以学到知识为目标，而是希望大家能够做到会学习、会研究;使学生不仅仅了解复变函数的知识，还在学法上得到某种启示，将核心放在思路、方法、能力的培养上。此外，对于工科学生的要求不需要像对数学专业的学生那样严格，教学中尽量做到教学语言“通俗化”，适当减少理论性较强的推导和证明。
参考文献
[1]西安交通大学高等数学教研室复变函数[M].北京高等教育出版社, 1978.
[2]刘子瑞, 梅家斌.复变函数与积分变换[M].北京科学出版社, 2007.
[3]宋达霞.浅析复变函数课程的对比法教学[J].新西部, 2009, (14) .
