函数单调性定义证明（精选9篇）
例
1、用函数单调性定义证明:
(1)为常数)在 上是增函数.(2)在 上是减函数.分析：虽然两个函数均为含有字母系数的函数，但字母对于函数的单调性并没有影响，故无须讨论.证明:(1)设
则 是 上的任意两个实数，且，=
由 得，由
得，.于是，即即..(2)设在 是 上是增函数.上的任意两个实数，且，则
由 得，由
得
于是 即.又，..在 上是减函数.小结：由(1)中所得结论可知二次函数的单调区间只与对称轴的位置和开口方向有关，与常数 无关.若函数解析式是分式，通常变形时需要通分，将分子、分母都化成乘积的形式便于判断符号.根据单调性确定参数
例
1、函数
在上是减函数，求的取值集合.分析：首先需要对 前面的系数进行分类讨论，确定函数的类型，再做进一步研究.解：当
具备增减性.当，解得
.故所求的取值集合为
.时，函数此时为，是常数函数，在上不时，为一次函数，若在上是减函数，则有
【例1】 求函数
解析:函数的定义域为 (-∞, 0) ∪ (0, +∞) , 在定义域内任取x1, x2, 设
①当x1, x2∈ (-∞, -1]时, ∵x1<x2, ∴x1-x2<0, 而
②当x1, x2∈[-1, 0) 时, ∵x1<x2, ∴x1-x2<0, 而
同理可得f (x) 在 (0, 1]上为减函数;f (x) 在[1, +∞) 上为增函数.
综上可知:
【例2】 已知f (x) =8+2x-x2, 如果g (x) =f (2-x2) , 求g (x) 的单调区间.
最初学习单调性时往往容易将定义域与单调区间混淆.有些函数在整个定义域上是单调的，如一次函数；有些函数在整个定义域上是非单调的，如常函数y=c，又如函数y=1，x∈Q，0，x∈RQ；而有些函数在整个定义域上是非单调的，但在其部分区间上是增函数，在其另一部分区间上是减函数，如二次函数.
若函数在定义域的两个区间A，B上都是增（减）函数，一般不能简单地认为其在A∪B上是增（减）函数.如
f（x）=在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上也是减函数，但不能说它在（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数，事实上，取x1=-1＜1=x2，而f（x1）=-1＜1=f（x2），并不符合减函数的定义.又如函数g（x）的图像如图1所示，g（x）在（-∞，0）上是增函数，在［0，+∞）上也是增函数，且对任意的x1＜0≤x2，g（x1）＜g（x2），则可以说g（x）在R上是增函数.能不能说函数在A∪B上是增（减）函数，关键看它是否符合函数单调性的定义.
例1 （2006年北京理科卷）已知f（x）=（3a-1）x+4a，x＜1，logax，x≥1（a＞0且a≠1）是（-∞，+∞）上的增函数，那么实数a的取值范围是.
分析 这是利用分段函数在其定义域上是增函数这样一个条件，求其中字母参数的问题.毫无疑问，f（x）在分段函数的各段范围上都应该是增函数，于是可以分别获得a的取值范围.那么怎么实现f（x）在定义域（-∞，+∞）上是增函数呢？ 这就需要借助函数单调性的定义了.显然函数f（x）两部分的图像分布状况如图2，图3或图4所示，其中图2，图3满足函数单调性的定义，于是应有（3a-1）×1+4a≥loga1.
答案：，.
点评 函数单调性的定义强调“任意”所取的“x1，x2”来自于“同一区间”，所以函数的两个（或多个）单调区间能否写成并集形式的关键是，在并集中任意取x1，x2时，是否符合函数单调性的定义.
函数的单调性是对于函数定义域内的某一子集而言的.反过来，在讨论函数单调性时，不能遗忘首先是在定义域的大前提下进行的.
例2 已知f（x）=loga（2-ax）（a＞0且a≠1）在［0，1］上是减函数，则实数a的取值范围是.
分析 函数可以分解成y=logat和t=2-ax，显然t=2-ax是x的减函数，于是要使得f（x）=loga（2-ax）是减函数，只需y=logat是t的增函数，故有a＞1.但对数函数要求真数大于零，故t=2-ax是x的减函数应理解为是［0，1］上的正值递减函数.同学们，下面怎么处理，你想到了吗？
答案：（1，2）.
函数的单调区间反映的是函数值的连续变化情况，属于函数的整体性质，是函数具有增（减）性质的所有部分，如函数f（x）=x2+1的单调增区间为［0，
+∞）；而函数在区间上单调体现的是函数在被考察区间上的局部特征，如函数f（x）=x2+1在［1，2］和（3，+∞）上单调递增.一般地，后者应为前者的子集.
例3 已知函数f（x）=x2-2ax+1在区间［1，+∞）上递增，求实数a的取值范围.
分析 思路一 函数f（x）=x2-2ax+1的单调增区间是［a，+∞），所以［1，+∞）应为［a，+∞）的子集.
思路二 函数f（x）=x2-2ax+1在区间［1，+∞）上递增，即有当1≤x1＜x2时，f（x1）＜f（x2）恒成立，从而求出实数a的取值范围.
答案：（-∞，1］.
点评 （1） 判断函数单调性的常用方法有：图像法，即根据图像的上升和下降进行判断；定义法，即根据增、减函数的定义，按照“取值——作差、变形——定号——下结论”的步骤进行判断（其中“作差、变形——定号”的目的是比较大小，有时也可作商）.
（2） 不等式a＜对1≤x1＜x2恒成立，即a小于右式的最小值.这里尽管1并不是右式的最小值，但它是右式取值的端点，右式均比1大，故a可取1.
（3）本题中的在［1，+∞）上递增，也可说成在（1，+∞）上递增，因为函数在某点处的函数值是确定的，讨论函数在某点处的单调性没有意义.事实上，只要函数连续且在区间端点有意义，函数单调区间既可以写成闭区间，也可以写成开区间，所以本题区间无论是开或闭，都不影响结果.
在所讨论的区间上任取x1＜x2，当f（x1）＜f（x2）时，函数是增函数，当f（x1）＞f（x2）时，函数是减函数.实际上，若任取x1＞x2，当f（x1）＞f（x2）时，函数为增函数，当
f（x1）＜f（x2）时，函数为减函数.即如果自变量的大小关系与函数值的大小关系一致时，函数为增函数，反之，函数为减函数.
例4 已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，求不等式f（x）＜f（8（x-2））的解集.
分析 函数f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，所以自变量的大小关系与函数值的大小关系相反，可以列出相应的不等式，注意不要忘记定义域，即有x＞0，8（x-2）＞0，x＞8（x-2），解得2＜x＜，所以原不等式的解集为x2＜x＜?摇.
1. 若函数f（x）=x2+2ax+2在［-5，5］上是单调函数，则实数a的取值范围是.
2. 已知函数f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，则f（a2+a+1）f（填“＜”，“＞”，“≤”或“≥”符号），不等式f（x）＞f（2-x）的解集为.
3. 已知0＜x≤2，则函数f（x）=的最大值为.
4. 判断函数f（x）=（a≠0）在区间（-1，1）上的单调性.
1. {a|a≤-5或a≥5}. 2. ≥，{x|x＞1}. 3. -1.
我说课的课题是《普通高中课程标准实验教科书 必修1》第二章第三节——函数的单调性。我将根据新课标的理念和高一学生的认知特点设计本节课的教学。我从下面三个方面阐述我对这节课的理解和教学设计。
一、教材分析
1、教材内容
本节课是北师大版(必修一)第二章函数第三节——函数的单调性，本节课内容教材主要学习函数的单调性的概念，依据函数图象判断函数的单调性和应用定义证明函数的单调性。
2、教材的地位和作用
函数是本章的核心概念，也是中学数学中的基本概念，函数贯穿整个高中数学课程。在历年的考题中常考，函数的思想也是我们学习数学中的重要思想。在这一节中利用函数图象研究函数性质的数形结合思想将贯穿于整个高中数学教学。
函数的基本性质包括单调性、奇偶性、周期性、对称性、有界性。而我们今天学习的内容就是函数基本性质中的一种——单调性。函数的单调性是用代数方法研究函数图象局部变化趋势的。函数的单调性是学生初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上对增减性有一个初步的感性认识，是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数等内容的基础，对进一步探索、研究函数的其他性质有着示范性的作用，对解决各种数学问题有着广泛作用。此外在比较数的大小、极限、导数以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用，它是整个高中数学中起着承上启下作用的核心知识之一。通过对本节课的学习，让学生领会函数单调性的概念、掌握证明函数单调性的步骤，并能运用单调性知识解决一些简单的实际问题。通过上述活动，加深对函数本质的认识。更主要本节教学过程中还渗透了探索发现、数形结合、归纳转化等数学思想方法，这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大意义。
根据函数单调性在整个教材内容中的地位和作用，并结合学生的认知水平，本节课教学应实现如下教学目标。
3、教学目标
知识与技能:理解函数单调性和单调函数的意义;会判断和证明简单函数的单调性。
过程与方法:培养从概念出发，进一步研究其性质的意识及能力;体会感悟数形结合、分类讨论的数学思想。
情感态度与价值观:领会用运动的观点去观察分析事物的方法，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯;由合适的例子引发学生探求数学知识的欲望，突出学生的主观能动性，激发学生学习的兴趣。
4(教学的重点和难点 教学重点: 函数单调性的概念，判断并证明函数的单调性;1 函数单调性说课稿 教学难点: 根据定义证明函数的单调性和利用函数图像证明单调性。
二、教法与学法 1(教学方法 本节课是函数单调性的起始课，根据教学内容、教学目标和学生的认知水平，本节课主要采用“创设情景、问题探究、合作交流、归纳总结、联系巩固”的教学方式，这样既增加了教师与学生、学生与学生之间的交流，又能激发学生的求知欲，调动学生积极性，使他们思路更加开阔，思维更加敏捷。
2(教学手段
教学中使用多媒体辅助教学，目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识。
3(学法
高一学生知识上已经掌握了一次函数、二次函数、反比例函数的图象和基本性质等内容，但对知识的理解和方法的掌握上不完备，反应在解题中就是思维不严密，过程不完整;能力上具备了一定的观察、类比、分析、归纳能力，但知识整合和主动迁移的能力较弱，数形结合的意识和思维的深刻性还需进一步培养和加强，所以应从下面两方面来提高学生的水平。
(1)让学生利用图形直观感受;(2)让学生“设问、尝试、归纳、总结、运用”，重视学生的主动参与，注重信息反馈，通过引导学生多思、多说、多练，使认识得到深化。
三、教学过程
本节课的教学过程包括:创设情境，引入课题;归纳探索，形成概念;巩固提高，深化概念;归纳小结，提高认识.具体过程如下:(一)创设情境，引入课题
我们知道，函数是刻画事物变化的工具。在2003年抗击非典型肺炎时，卫生部门对疫情进行了通报。如下图是北京从4月21日到5月19日期间每日新增病例的变化统计图。
思考如何用数学语言刻画疫情变化, [设计意图]:通过实际生活中的例子让学生对图像的上升和下降有一个初步感性认识，为下一步对概念的理性认识作好铺垫。同时通过多媒体展示，能够提高学生的兴趣，增强直观性，拉近数学与实际的距离，感受数学源于生活,让学生学会用数学的眼光去关注生活。函数单调性说课稿(二)归纳探索，形成概念
在本阶段的教学中，为使学生充分感受数学概念的形成与发展过程和数形结合的数学思想，加深对函数单调性的本质的认识，我设计了几个环节,引导学生分别完成对单调性定义的认识.1、提出问题，观察变化
12问题:分别做出函数的图像，指出上面四yxyxyxy,，，，，2,1， x 个函数图象在哪个区间是上升的，在哪个区间是下降的, 8 688 86466 44422 22-10-5510-10-5510-10-5510-10-5510-2-2-2-2-4-4-4-6-4-6-6-8-6-8-8-8 12 yx,，2yx，，1yx,y,x 通过学生熟悉的图像，及时引导学生观察，函数图像上A点的运动情况，引导学生能用自然语言描述出，随着增大时图像变化规律。让学生大胆的去说，x 老师逐步修正、完善学生的说法，最后给出正确答案。
【设计意图】 新课标十分注重初中与高中的衔接，注重通过函数的图像，研究函数的基本性质。以学生们熟悉的函数为切入点，尽量做到从直观入手，顺应同学们的认知规律。第三个、第四个函数图像的上升与下降要分段说明，通过讨论使学生明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质（2、步步深化，形成概念 2观察函数y=x随自变量x 变化的情况，设置启发式问题:(1)在y轴的右侧部分图象具有什么特点,(2)如果在y轴右侧部分取两个点(x，y)，(x，y)，当x 【设计意图】通过启发式提问，实现学生从“图形语言”到 “文字语言”到 “符号语言”认识函数的单调性，实现“形”到“数”的转换。另外，对“任意性”的理解，我特设计了问题(2)、(3)，达到步步深入，从而突破难点，突出重点的目的。通过对以上问题的分析，从正、反两方面领会函数单调性。师生共同总结出单调增函数的定义，并解读定义中的关键词，如:区间内，任意，当<时，xx12都有<。f(x)f(x)12 仿照单调增函数定义，由学生说出单调减函数的定义。3 函数单调性说课稿 教师总结归纳单调性和单调区间的定义。 注意强调:函数的单调性是函数在定义域某个区间上的局部性质，也就是说，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性。 【设计意图】通过问题的分解，引导学生步步深入，直至找到最准确的数学语言来描述定义。体现从简单到复杂、具体到抽象的认知过程。在课堂教学中教师引导学生探索获得知识、技能的途径和方法。通过探索，培养学生的观察能力和运动变化的观点，同时充分利用图形的直观性，渗透了数形结合的思想，学生在探索的过程中品尝到了自己劳作后的甘甜，感受到耕耘后的丰收喜悦，更激起了学生的探索创新意识。 3(巩固提高，深化概念 本环节在前面研究的基础上，加深学生进一步理解函数单调性定义本质，完成对概念的再一次认识.练习1:如下图给出的函数，你能说出它的函数值随自变量值的变化情yx况吗? 怎样用数学语言表达函数值的增减变化呢? 1f(x),例1 说出函数的单调区间，并指明在该区间上的单调性.x 练习2:判断下列说法是否正确 (1)定义在R上的函数满足，则函数是R上的增函数。f(x)f(2),f(1)(2)定义在R上的函数满足，则函数是R上不是减函数。f(x)f(2),f(1)1(3)已知函数，因为是增函数。所以函数fx()y,ff(1)(2)，，x，，(4)定义在R上的函数在，,0,上是增函数，在0,，,上也是增函数，f(x)则函数是R上的增函数。 (5)函数在上都是减函数，所以在 上是减函数。 例2 画出函数的图像，判断它的单调性，并加以证明。f(x),3x，2 通过对上述几题讨论，加深学生对定义的理解。强调以下三点，完成本阶段的教学: ?单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性。函数单调性说课稿 ?有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数)。 ?函数在定义域内的两个区间A,B上都是增(或减)函数，一般不能认为函数在上是增(或减)函数。 【设计意图】函数单调性定义产生是本节课的难点，难在:如何使学生从描述性语言过渡到严谨的数学语言。而对严谨的数学语言的准确理解及正确应用更是学生薄弱环节，这里通过问题研讨体现了以学生为主体，师生互动合作的教学新理念。例1主要是从图形上判断函数的单调性;例2主要对数形结合，定义法证明函数的单调性的只是巩固与应用.(四)归纳小结，提高认识 归纳小结是巩固新知识不可或缺的环节之一，本节课我采用组织和指导学生自己谈学习收获的方式对所学知识进行归纳，深化对数学思想方法的认识，为后续学习打好基础(1(本节小结 函数单调性定义，判断函数单调性的方法(图像、定义)在方法层面上，引导学生回顾判断，证明函数单调性的方法和步骤;引导学生体会探究过程中用到的思想方法和思维方法，如数形结合，等价转化，类比等。 2(布置作业 课后作业实施分层设置，书面作业、课后思考.作业布置:教材第38页的第2，3，5题 思考交流:问题 如果可以证明对任意的，且，有xxab,(,),xx,1212fxfx()(),21，能断定函数在上是增函数吗? fx()(,)ab,0xx,21 【设计意图】:目的是加深学生对定义的理解，让学生体会这种叙述与定义的等价性，而且这种方法进一步发展可以得到导数法，为今后用导数方法研究函数单调性埋下伏笔。 以上各个环节，环环相扣，层层深入，注意调动学生自主探究与合作交流，努力实现教学目标，也使新课标理念能够得到很好的落实。 各位评委，本节课我在概念教学上进行了一些尝试.在教学过程中，我努力创设一个探索数学的学习环境,通过设计一系列问题,使学生在探究问题的过程中，亲身经历数学概念的发生与发展过程，从而逐步把握概念的实质内涵,深入理解概念。函数单调性说课稿 附一:板书设计 函数的单调性 一、函数单调性的概念 三、例题讲解 四、课堂练习 二、证明函数单调性的步骤 例1: 函数的单调性性教学反思 在教学过程中针对学生已经初步认识了函数是刻画某些运动变化数量关系的数学概念，在教学中借助图像对函数进行研究特别是对函数加以直接考察，利用一次函数，二次函数，反比例函数等几个具体函数了解它们的图像和性质。“图像是上升的，函数是单调增的；图像是下降的，函数是单调减的”仅就图像角度直观描述函数单调性的特征，学生并不感到困难。困难在于，把具体的，直观形象的函数单调性抽象出来，用数学的符号语言描述，教学中通过像及数值变化特征的研究，得到“图像是上升的”，相应地，即“随着x的增大，Y也增大，”初步提出单调性的说法。通过讨论、交流，让学生尝试，就一般情况进行刻画，提出单调性的定义，然后通过辨析，练习等帮助学生理解一概念。 在教学中要适当把握节奏，在一节课企图让学生完成对单调性的真正理解是不可能的，在今后的教学中学生通过判断函数单调性，寻找函数单调区间，应用函数单调性解决具体问题，等一系列学习活动逐步理解这一概念。 新课标明确指出：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，不仅把函数看成是变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，函数的思想将贯穿高中数学课程的始终《函数的单调性》的课标教学要求，从结合实际问题出发，让学生感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的间断问题。数学新课标还提到：要注重提高学生的数学思维能力，即“在学生学习数学运用数学解决问题时，应经历直观感知，观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程”。 对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：（1）要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；（2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的．根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标，重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识；强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成；确定本节课的重点和难点．在本节课的教学设计中在分析学生的认知发展水平和已有的只是经验的基础上，让学生通过观察函数图像的变化规律，然后归纳猜测，勇于实践探究式的教学方法，取得了较好的教学成果。 为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施： 一、函数单调性可以从三个方面理解 （1）图形刻画：对于给定区间上的函数，函数图象如从左向右连续上升，则称函数在 1 该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减。 （2）定性刻画：对于给定区间上的函数，如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减。 （3）定量刻画，即定义。 上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径 二、判断增函数、减函数的方法： ①定义法：一般地，对于给定区间上的函数，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值、，当 时，都有 〔或都有 〕，那么就说 在这个区间上是增函数（或减函数）。 与之相等价的定义： ⑴，〔或都有 〕则说 在这个区间上是增函数（或减函数）。其几何意义为：增（减）函数图象上的任意两点 连线的斜率都大于（或小于）0。 ⑵，〔或都有 〕则说 在这个区间上是增函数（或减函数）。 ②导数法：一般地，对于给定区间上的函数，如果 那么就说 在这个区间上是增函数；如果 那么就说 在这个区间上是减函数； 如果函数 在某个区间上是增函数（或减函数），就说 在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做的单调区间。如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间。导数法是一个通法，而且不要过多的技巧，但要注意本法只对于给定区间上的可导函数而言才可以用，一般含有绝对值的函数应采用其他方法。 ③复合函数单调性的根据：设都是单调函数，则在上也是单调函数。 函数的单调性说明了物质是变化的，变化是有规律的，通过学习教会学生用变化的观点 2 看世界，树立与时俱进的思想意识。 1.任意取值:设x1, x2为区间D内任意两个值, 且x1 2.作差变形:作差f (x1) -f (x2) , 并通过通分、因式分解、配方分析、有理化等方法, 向有利于判断差值符号的方向变形; 3.判断定号:确定f (x1) -f (x2) 的符号.当符号不确定时, 可以考虑分类讨论; 4.得出结论:根据函数单调性的定义得出结论, 若f (x1) -f (x2) <0, 则f (x2) 为增函数;若f (x1) -f (x2) >0, 则f (x2) 为减函数. 即“任意取值———作差变形———判断定号———得出结论”. 其中变形是为了有利于判断差值符号, 是证明的难点.本文结合学生在变形时的困难, 探讨利用定义证明函数单调性的三种变形策略. 策略一:因式分解 因式分解是最常用的变形策略.若函数解析式是分式, 通常变形时需要通分, 将分子、分母都化成乘积的形式, 并对各因式符号的判断, 来确定f (x1) -f (x2) 的符号, 进而得出结论. 例1证明函数f (x) =x+在区间 (0, 1) 上是减函数. 证明:任意取x1, x2∈ (0, 1) , 且x1 因为x1, x2∈ (0, 1) , 且x1 所以x1-x2<0, 0 所以f (x1) -f (x2) >0, 即f (x1) >f (x2) . 所以f (x) =x+在区间 (0, 1) 上是减函数. 策略二:配方分析 例2证明函数f (x) =x3在R上是增函数. 证明:任意取x1, x2∈R, 且x1 因为x1, x2∈R, 且x1 所以f (x1) -f (x2) <0, 即f (x1) 故函数f (x) =x3在R上是增函数. 本例中, 因式 (x12+x1x2+x22) 的符号难以直接确定, 因此采取配方法化为, 分析判断因式 (x12+x1x2+x22) 的符号. 策略三:分子 (分母) 有理化 例3已知函数f (x) , 求证:函数f (x) 在区间[0, +∞) 上是增函数. 证明:任意取x1, x2∈[0, +∞) , 且x1 所以f (x1) 所以函数f (x) 在区间[0, +∞) 上是增函数. 本例中, 把看成进行分子有理化, 可以达到判断f (x1) -f (x) 的符号的目的. 关键词：函数单调性；实录；数学思维 中图分类号：G633.62 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2011）09-049-03 本课教学目标：（1）通过观察函数的图像，直观说出函数的单调性和单调区间；（2）由特殊到一般发现、探究函数的单调性，并会用数学语言描述函数的单调性；（3）通过例题的探究，会模仿例题用函数单调性的定义证明函数的单调性。 教学重点是函数单调性的应用，难点是发现、探究函数单调性的定义，有意识培养学生的数学思维习惯。 一、课堂实录 1、函数单调性概念的生成 师：初中我们学习过一元一次函数和一元二次函数，请同学们作出函数 的图象以及 的图象。 （由学生展示 以及 的列表和图象，略。） 师：对于函数的图 的图像，你观察到什么？ >0）的图象，你又观察到什么？它们的图像有什么共同特征？ 生：图像是上升的。 师：能否确切一点，图像是如何上升的？ 生：从左向右看，图像是上升的。 师：很好。这是我们从小养成的直观经验，它是我们数学思维的起点，这种直观感觉往往为我们解决数学问题指明了方向，但仅仅有直观描述还不够，还需用更简明的逻辑方式来表述。换句话说，就是用抽象的数学语言描述直观的形，具体到上面的函数图形，这种上升的趋势，你能用变量 、 描述吗？ 生： 随 的增大而增大。 师：这位同学的回答不仅看出了图像的变化，还结合了函数概念的本质即自变量 和函数 来讨论。非常好。这是我们初中研究问题的思维方式，经验型思维向逻辑思维过渡，但这种描述还是建立在直观的基础上，就是把这种直观感知用数学的语言来描述。那么，我们是否还能用数学式子来刻画这种函数 随自变量 的变化而变化的关系呢？请同学们观察函数 的列表，自变量 的两个值，与之相对应的函数 的的两个值，你能用数学式子来表示吗？（同学们陷入思考） 生：表1中取两组变量，当 。 生：表1中再取两组变量 ，有 。 生：我们也取了两组值，也有当 。那我们能不能说对任意的有x1、x2，和相应的y1、y2。当 ，都有 。 （师将探寻的目光转向同学，但没有作出回答。同学们就此展开了讨论，得到了肯定的答案。） 师：那也就是说，对与函数 来说，图像是上升的，即 随 的增大而增大；还可以表示为对于函数定义域内的任意两个变量 、 ，当 ，都有 。反过来成立吗？即能不能说对于函数定义域内的任意两个变量当 、 ，当 ，都有 ；也可以说 随 的增大而增大；也可以说函数的图像是上升的？ 生：可以，因为这里的 、 是任意的。 师：同学们考虑一下我们刚才从对自变量 取特殊值1、2或2、3或其他两个值时得到的结论推广到一般。反过来，对于任意函数我们能否通过两组特殊值当 。就得到这个函数的图像是上升的呢？ 生：（在黑板上画出一个函数的图像，略），在此图像上取这样的两个点，当 时，有 ，而图象是先下降再上升的，这说明这里的任意性不能用特殊值代替。 师：很好。这种由特殊值成立，推广到一般结论，是我们数学中常用的一种思维方法，体现了规律的发现过程。但是这种只有特殊值成立，而一般结论不一定成立。 师：象满足这样的数量关系的数学式子的函数在这个区间上是增函数。这个区间就叫做函数的单调增区间。你能确切的给出函数是增函数的定义吗？ 生：对于函数 在其定义域内的某个区间I上的任意两个值 、 ，当 时，总有 ，我们就称该函数在这个区间上是单调增函数，该区间叫该函数的单调增区间。 师：在这里为什么要强调定义域内的某个区间上，而不是整个定义域呢？ 生：比如，我们开始做的函数 的图像，在想 时，图像是下降的，函数在 时不是增函数；而当 时，图像是上升的，即函数在 才是增函数。 师：你认为函数在 时是什么函数呢？ 生：应该是减函数。两个相对嘛。 师：很好，这位同学运用了类比推理。那你能给减函数下个定义吗？ 生：对于函数 在其定义域内的某个区间 上的任意两个值 、 ，当 时，总有 ，我们就称该函数在这个区间 上是单调减函数。 师：很好，非常准确地定义了函数的单调增区间和单调减区间。函数的增减性，我们称为函数的单调性。刚才我们探讨的函数单调性的过程，就是一个严谨的逻辑思维的过程，希望大家能好好体会。 （通过课堂上经历函数单调性概念的生成过程，体验逻辑思维的展开。） 2、函数单调性概念剖析和应用 师：请同学们认真阅读我们刚刚探讨的函数单调性的概念，你认为哪些词语比较关键，请指出来。 生：定义域内的某个区间上，是指特定的区间，说明不一定是整个定义域；任意两个变量 、 而不能用具体数值来代替。 师：回答的很好，函数的单调性是函数在定义域内某个区间上的性质，是函数的局部性质。尽管是局部性质，也是在一定区间上的本质属性，即刚才说的特定区间的性质，它为我们认识函数带来了方便，也可以推广到对其他事物的认识。在定义域内就是某一事物存在的条件，定义域变化，函数将会发生变化，事物的性质也会发生变化，这就需要具体问题具体分析。还有同学要补充吗？ 生：单调区间是定义域的子集。 师：很好，这位同学又结合函数的三要素进行了分析。刚才，我们讨论了函数单调性的概念，用直观感知了单调函数图象的变化，即儿童时代的思维形式，这是我们思维的逻辑起点；在直观描述的基础上，同学们用语言定性地描述了单调函数的变化，即用少年时代的思维方式，已经带有明显的逻辑思维特点；最后我们又用数学表达式定量地刻划了函数的单调性，即我们用严密的逻辑思维方式准确表述了函数单调性，这是典型的数学思维方法，具体说来，就是我们使用了数学思维中的数形结合、集合、对应等逻辑思维方法。而这种思维方法是我们学习数学常用的的方法，我们要逐步适应它，从思想上接受它，并自觉的使用它，而不是让今后的教学内容适应你。 下面我们结合具体例题，体会函数单调性的实际应用。 例1观察函数的图像，写出函数的单调区间。学生自主完成，没有难度。学生之间交流后到黑板上展示。 师：这是应用了直观感知来解决问题，是不是我们学习了高中数学知识，直观感知的思维就可以否定呢，当然不是，直观感知往往会给我们指出问题的方向，有了方向，才有努力的目标。 这里还要注意一个问题，函数的单调性是在某个区间上体现的，同样是单调性相同的两个区间，即本题中的两个单调性相同的区间能合在一起吗？举出例子。 生：不能。在同一个区间上取值时，函数是单调的，当两个值取在不同区间时，就不能满足，所以这两个值没有任意性。 （有些同学有疑惑，同组展开讨论。） 师：例2，用定义证明函数 在( 上是增函数。请同学们讨论一下如何用定义证明函数的单调性。 生：在区间( 任取两个值 、 ，当 时，总有 。 师：请你把你的想法展示给大家。 生：（在黑板上完整地展示过程）在区间（ 上任取两个值 、 ，当 时， , ， ，故 ，即 ，亦即 。所以函数 在 时是增函数。 师：从这里大家可以体会逻辑推理的严谨性，以及用定义证明的形式化方法。数学本身就是形式化的科学，形式化在数学的学习中有很多应用。咱们讨论的函数的单调性的证明就是形式化的应用。观察函数的图象可以直观感知函数的变化趋势，以及确定函数的单调区间，但它不能代替严格的证明。 师：同学们，我们再观察函数 与函数 的整体图像，大家下去思考函数图像具有怎样的性质，这是我们下一节要讨论的内容。下面同学们回顾本节学习内容，并作出小结。 （师生共同总结，略。） 二、教学分析和反思 函数的性态常常可以用图像清晰的表现出来。学习函数单调性时，用简单的函数的图像更容易时学生观察和概括。本节课就是引导学生通过概括“函数单调性”概念，结合一次、二次函数理解函数单调性及其几何意义，学会运用函数的图像理解和研究函数的性质。这节课内容比较简单，但从简单中让学生理解函数单调性的实质，体验数学的思维方式与方法。课堂中始终贯穿思维方法这条主线，在学习数学知识的同时，和同学们一起数学的思考，数学的概括；学习内容的设置注重知识的结构化和内在一致性，使得知识的学习具有连贯性；课堂组织形式灵活多样，为学生发现、探索新知创造条件。这节课能够获得学生认同，我认为主要有以下方面的原因： 1、精心设计教学内容与组织形式，使学生的课堂学习始终贯穿数学思维方法的探索与体验 教师的课堂组织形式要致力于学生的积极主动地发现并营造出适于学生学习的课堂氛围。人们只有通过练习解决问题和努力于发现，方能学会探索方法。一个人越有这方面的实践经验，就越能把学习所得归纳成一种解决问题的习惯，在学习时体会发现、概括的快乐，培养学生学习的兴趣。而这种良好的思考、探索的习惯不仅有利于数学的学习，也有利于培养他们对生活的兴趣和热爱。本节课，不管是概念的教学还是应用概念解决数学问题，都是学生在教师的引导下，单人或小组探索、发现、归纳、总结及应用，通过这种教学的方式，形成学生思考的习惯，培养学生思考的能力和意识。在本节课上，教师教授数学概念的过程的方法：教师通过适当的引导，设置相应的问题，课堂讨论等形式，使学生进入学习的情境，使学生自行推论出函数单调性的概念，并经历由特殊到一般的逻辑推理过程。在运用概念解决问题时，通过教师相应的引导、适当的举例、课堂讨论等形式，让学生自行推论出相关的解题过程，把所学习的数学概念应用于解决数学问题。在教学的过程中，问题的设置是一个关键，是提起学生兴趣把握教学内容逐步推演展开课堂教学内容的钥匙。教师要精心抛锚：课堂初始要精心设计；课程过程中，要根据回答的问题、情景随机应变，让学生根据抛出的问题开展思索、探讨。 2、充分利用学习卷（导学案），注重教学过程的结构化形式和内在一致性 数学课堂的教学要呈现出一定的结构化特征。主要步骤如下：在学习卷的编写中将新授知识与学生的原有知识相联系；本节课就通过简单的一元一次函数、一元二次函数的直观图形和函数单调性对接，从对图形的逐步严密的描绘中概括函数的单调性。通过学生对学习卷的预习明确学生对已有知识的掌握程度以及对新授知识的初步了解，在此基础上，教师提出本节问题，师生共同探究，学生动手操作，共享实验结果；整理实验数据；验证、修改假设；探讨规律；明确尚未解决的问题，为下一个教学内容做铺垫。 上述教学步骤使得学生的知识习得过程具有联贯性。学生可以根据原有的知识，设计实验，逐步推演，获得新知，并成为下一轮学习的基础。 3、关注数学知识系统性，教学活动建构在学生已有认知、思维、情感上 本节课从学生的已有知识出发，师生共同经历了函数单调性的形成过程，了解了函数单调性概念的实质；获得了探讨规律的一般方法；形成了函数单调性的概念及其应用；发展了学生的逻辑思维能力。 教师的课堂组织形式只有建立在学生已有知识的基础上，才能激发学生的求知欲；在此基础上把握学生思维发展的特点，才能致力于学生的积极主动地发现并营造出适于学生学习的课堂氛围。课堂上特别关注学生的讨论，鼓励学生发言，肯定学生发言的视角、内容，激发学生的热情和思考的深入在学习中使同学们探索、表现、成功的快乐。 课堂教学在知识学习的过程中，实现师生间、生生间情感的交流，使情绪、情感、知识、思维、活动互相交融，师生共同完成学习活动，始终体现“教师为主导，学生为主体”新课程教学理念。 参考文献 [1]普通高中课程标准实验教科书数学必修1A版［M］．北京：人民教育出版社2009. [2]普通高中数学课程标准（实验）［M］．北京：人民教育出版社，2003. [3]钱佩玲．数学思想方法与中学数学［M］．北京：北京师范大学出版社，2008. [4]〔美〕R•柯朗，H•罗宾．什么是数学—对思想和方法的基本研究［M］．上海：复旦大学出版社，2008. 数学概念的教学是培养学生创新精神和实践能力的一个很好的切入点，重视数学概念的发生、发展、形成的过程的体验，让学生进行深入的思考和全方位的探索。对于提高学生学习数学的兴趣，培养学生创新精神和实践能力将是十分有利的。现以《函数的单调性》教学实例来进行分析： 一、案例 课题：函数的单调性（第一课时） 二、实施过程（注：课堂实录已经简化） 1．问题引入 师：我们观察某自来水厂在一天24小时内，水压Y随时间X的的变化情况。不妨设其函数解析式：y=f(x);x[0,24] 师： “在哪些时间段内，水压在逐渐上升?在哪能些时间段内，水压在下降?”（很快得出正确答案。） 师：在某一时间段内水压在上升，实际上是水压Y的值随时间X的增大在逐渐增大，于是我说函数y=f(x)在区间[0，3]上，是单调递增函数。同理，函数y=f(x)在区间[3,9]上是单调递减函数。这就是我们要研究的函数的又一特性——函数的单调性。2．定义探究 师：在某个区间上：①函数值Y随X的增大而增大（图象从左——右，呈上升趋势），就说这个函数在这个区间上是增函数。②函数值Y随X的增大而减小（图象从左——右，呈下降趋势），就说这个函数在这个区间上是减函数。 提出问题1：请同学仔细阅读课本中函数单调性的定义，思考课本定义方法和上面定义方法是否一致？如果一致，定义中哪一句表达了该意思？ 生：我认为是一致的．定义中的“当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）”描述了y随x的增大而增大；“当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）”描述了y随x的增大而减少． 师：说得非常正确．定义中用了两个简单的不等关系“x1＜x2”和“f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2）”，它刻划了函数的单调递增或单调递减的性质．这就是数学的魅力！定义中只用了两个简单的不等关系，就刻划出了单调递增和单调递减的性质特征，把文字语言表达为数学语言，简单明了。 师：提出问题2：我们思考这样一个问题：定义中有哪些关键的词语或句子至关重要？能不能把它找出来。（有的同学回答不准确） 生1：我们认为在定义中，有一个词“给定区间”是定义中的关键词语．（阐述了理由）。师：很好，我们在学习任何一个概念的时候，都要善于抓住定义中的关键词语．增函数和减函数都是对相应的区间而言的，离开了相应的区间就根本谈不上函数的增减性．还有没有其他的关键词语？ 生2：还有定义中的“任意”和“都有”也是关键词语． 生3：“属于” 也是关键词。师：能解释一下为什么吗？ 生3：“属于”就是说两个自变量x1，x2必须取自给定的区间，不能从其他区间上取． 师：那么“任意”和“都有”又如何理解？ 生4：“任意”就是指不能取特定的值来判断函数的增减性，而“都有”则是说只要x1＜x2，f（x1）就必须都小于f（x2），或f（x1）都大于f（x2）． 师：能不能构造一个反例来说明“任意” 和“都有”呢？ （让学生思考，但有些学生仍有困难，我设计了三个判断题）提出问题3：判断下列命题的真假： ①函数y=x2 在(-∞,0)上是减函数，在[0，+∞]上是增函数，所以函数 y=x2 在定义域R上是增函数或是减函数。 ②已知函数f(x)=x2(-2≤x≤2)。取x1=-2,x2=1，则x1 ③若函数y=1/x在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）也单调递减，则该函数在定义域内单调递减。 （三个问题的提出，引起很大凡响，学生发言踊跃，互相讨论、补充，把本节课推向高潮）师：因此，要判定一个函数的增减性，主要途径就是依照定义，抓住关键，在给定区间内任取两个自变量x1，x2，根据它们的函数值f（x1）和f（x2）的大小来判定。3．定义应用 提出问题4：判断函数f(x)=1/x在（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义加以证明。解：略 师：易知函数f(x)=1/x在（-∞,0）上也是单调递减函数，请同学归纳一下要证明一个函数在某个区间上单调性的方法和步骤？ 第八组：①设量；②作差；③判断；④定论。 4．课堂小结（由学生回答）（略） 5．布置作业 （略） 三、案例分析 （一）本节课的设计思路 1．知识目标设计： （1）在探究中，寻求函数单调性规律并形成概念。 （2）熟练运用函数单调性的概念证明函数在某个区间上的单调性。2．能力目标设计： （1）通过对单调性概念的发生、发展的分析过程，培养学生的数学意识、逻辑思维能力;（2）通过本节课的教学探究，培养学生用数学语言代替文字语言的表达能力。提高对数学美的鉴赏能力;（3）对学生进行由“特殊”到“一般”的辩证唯物主义教育。3．教学过程设计： 针对本节课教学目标，教学过程分为三个阶段： （1）问题引入阶段：问题的提出具有实际意义，引起学生的兴趣，锻炼学生的观察能力，又直逼主题，学生容易接受。通过图形的直观感觉，给学生函数单调性的感性认识，为突破难点做好铺垫。从而自然导入主题。 （2）定义探究阶段：本节课的中心内容，围绕三个问题的提出，对定义进行探究，层层深入，发动学生，分组讨论，积极思考，在巡视过程中，启发引导学生，及时掌握学生的动向，寻求函数单调性规律并形成概念。 （3）概念应用阶段：函数的单调性定义应用只设计了问题4，这一过程由学生来完成，使学生自主进行学习，独立探究问题，在解决问题的过程中进行自我评判和调控，会对已有的经验进行反思，总结出解题的步骤和规律。 （二）本案例课堂教学的特点 1、抓住课堂教学的基本原则 (1)主体性原则：尊重学生的主体地位，发挥教师的主导作用，教师创造性地教，学生创造性地学，使教、学的主体共同参与整个教学过程。在本案例课堂教学活动过程中，教师围绕三个阶段，以问题的形式提供给学生，学生主动参与。特别是问题2、3的提出，学生产生许多疑惑，矛盾升级，老师便组织学生开展了互相交流和讨论，适时介入，和学生一起相互启发和梳理，并洞察课堂中发生地各种问题，准确地判断发生问题的原因，能动地、有效地处理这种问题，这一过程体现师生相互平等，教学相长的良好课堂氛围。 (2)探索性原则：教师努力使教学活动富有探索性，为学生创设进行观察、探索、发现的学习环境，鼓励学生质疑问难，大胆联想，激发学生的学习兴趣和创造兴趣，引导学生通过亲身体验获取新知，把教学过程转化为学生自觉进行探索新知的过程，使学生积极主动地在学习中体验探索的乐趣。通过对问题2、3的讨论，大部分学生对单调性概念的发生、发展有了较深刻的理解，探索到函数单调性规律并形成了概念。同时培养了学生用数学语言代替文字语言的表达能力，提高对数学美的鉴赏力。这一教学过程使学生认识到看似简单的定义中有很多值得去推敲，去研究的东西，通过对问题的分析、总结，把包含在概念中的复杂和隐蔽的内涵，层层剥离，进行多层面的展开，从而使教学由表及里，深入清晰地揭示出概念的本质。因为学生理解程度的差异，老师提出问题4，这是本节课的亮点，简单的三个判断题，再一次揭示了概念的本质。把函数单调性概念的探究推向高潮，通过反向思维使学生的思维素质得以提升，促使学生能够在获得对概念理解的同时，逐步学会学习和思考，增长经验和智慧。这一部分课堂效果非常好。 (3)实践性原则：在教学中要重视理论联系实际，要结合实例进行教学，鼓励学生动口、动脑、动手，让学生参与到数学概念的形成过程；要组织有效的练习，引导学生运用所学到的知识去解决实际问题，使学生获得运用知识的能力。函数的单调性定义应用只设计了问题5，典型的反比例函数，这一过程由学生来完成，但学生的证明过程也存在一定问题，老师再次强调定义，对照解答的层次性，再让学生自主订正，使学生自主进行学习，独立探究问题，在解决问题的过程中进行自我评判和调控，会对已有的经验进行反思、质疑，总结出解题的步骤和规律。问题5的提出起到前后呼应，加深印象、画龙点睛的作用，既是对本节课的反馈，又是引发对本节课的思考。由于时间的关系，课上讨论的并不透彻和完美，但给学生课后进一步的思考、探究留下了空间。 (4)激励性原则：要帮助学生实现成功，让学生在学和做中能经常感受到成功的喜悦和愉悦，认识到自身的价值，以此来激励学生的求知欲和成就感，从而培养学生的自尊心和自信心，增强学生的创造动机和创造热情，使学生能不断地追求新知，积极进取，勇于创新。 2、体现能力培养的指导思想 概念教学有利于培养学生的发现能力；有利于培养学生的创新精神；有利于培养学生的实践能力。概念教学的基本目标是帮助学生形成概念，而学生形成概念的关键是发现事物的本质属性或规律。发现是创造的一种重要形式，创造需要一种实践活动的过程。现代著名心理学家布鲁纳认为：“发现不限于那种寻求人类尚未知晓的事物的行为，正确地说，发现包括着用自己的头脑亲自获得知识的一切形式。”由此可以看出，学生用自己的头脑去亲自获得知识也是一种发现。在过程中发现，在发现中创新。因此，在数学教学中，教师要努力创造条件，给学生提供自主探索的机会，给学生充分的思考空间，让学生在观察、实验、归纳、分析的过程中去理解数学概念的形成和发展过程，进行数学的再发现、再创造，培养学生的发现能力和创新能力。 (三)本案例课堂教学引发的反思 1、概念教学的方法应灵活多样 中学数学教材展现在学生面前的往往是由概念到定理，法则再到例题的三步曲，这在一定程度上掩盖了数学概念和思想方法的形成，发展过程，从而也掩盖了数学发现、数学创造、数学应用所经历的思维活动过程，抽象的概念也会给学生造成厌恶的感觉。所以数学概念教学不应简单地给出定义，而应加强概念的引入和概念属性的感知，本案例的引入，从实际生活中提炼，通俗易懂，平易近人。教学时应创设情境，方法灵活多样，激发学生的学习兴趣，让学生积极参与教学活动中来，亲身体验、主动建构，使学生了解知识的发生与发展的背景和过程，使学生对数学的学习感到乐趣。为此，从引进新概念开始就要创造启发式的教学环境，揭示概念的本质属性，并用简单的文字加以表达，在对概念进行结构分析和概念的应用，形成一个生动的概念发生的过程，这一过程需分层次递进，低层次的理解是高层次理解的基础，各层次之间最好不要越级，任何急功近利的想法或做法都是不可取的。 2、正确认识和处理探究过程与时间限定的矛盾 探究活动比较费时间，教师都很重视课堂效率，而且对调控教学节奏，颇有一些办法，是不是一发现学生得到了正确的结论，就让其回答，并结束这个探究过程？由于教学时间的限定，如果探究的不够完美、透彻，或本节课的教学内容没有全部完成，那么总感到一种缺憾，所以在这个矛盾的驱使下，往往追求进度，多讲几个例题，忽略学生的经历。而新课程标准则强调让学生经历“直观感知”、“观察发现”……等思维过程来形成思维能力。这就要求我们要以学生体验、理解、掌握知识为中心，重视数学概念的构作，数学思维的建立，数学意识的形成，所以，教师应设计好每节课的内容与容量，本案例延长了概念的探究过程，重视学生的数学意识、思维品质的培养，使学生懂得数学的意义与价值。虽然只有一个例题，但非常典型，同样收到很好的效果。 落实新课程改革精神，并不是 【函数单调性定义证明】推荐阅读： 函数单调性奇偶性练习11-18 函数单调性免费教案07-19 《函数单调性》说课稿03-03 必修一数学函数单调性09-11 含参函数的单调性问题07-09 《函数单调性》复习课教学反思12-30 函数单调性与最值教案07-13 利用导数求函数的单调性解读11-16 函数极限用定义证明02-02函数的单调性性教学反思 篇5
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