一次分式函数

一次分式函数（通用14篇）

一次分式函数篇1

二、基本函数作图

例1．作下列函数图象

（1）；

（2）．

归纳1：反比例函数是以坐标轴为渐近线（无限接近）的双曲线，原点是图象的中心对称点；对于（1），点是该双曲线的一个顶点．

归纳2：一般地，函数的图象是双曲线，以坐标轴为渐近线，原点是图象的中心对称点．当时图象分布在一、三象限，图象与直线的交点是双曲线的顶点；当时图象分布在二、四象限，图象与直线的交点是双曲线的顶点．

三、利用平移作图

例2．类比函数的图象到函数的图象的变换，指出由的图象到的图象的变换，并作出函数的图象．

归纳：图象向右平移1个单位；图象向下平移2个单位，等等．

练习：指出函数的图象由那个函数经过怎样的平移得到，并作出函数的图象．

例3．作函数的图象，并归纳一次型分式函数图象与函数函数的图象的关系．

归纳：一次型分式函数本质上是一个反比例函数，两者的图象一般只相差一个平移．

练习：作函数的图象．

四．“二线一点”法作图探究

例4．已知函数．

（1）作函数的图象；

（2）并指出函数自变量x的取值范围（即函数的定义域）；因变量y的取值范围（即函数的值域）．

（3）x的取值范围，y的取值范围反映在图象上的特点是什么？

（函数图象与直线,没有交点，即,是对应双曲线的渐近线）

（4）找到了双曲线的渐近线，根据双曲线图象的大致形状，只要知道图象在“一、三象限”还是在“二、四象限”就可以画出其大致图象．如何根据函数的解析式直接来确定“象限”？（一般找与坐标轴的交点来确定）

（5）对于一般的一次型分式函数如何来确定渐近线，即确定x与y的取值范围？

（6）观察例4、例3，发现与系数关系．

例5．作函数的图象．

归纳：对于一次型分式函数的作法：

（1）先确定x与y的取值范围：，即找到双曲线的渐近线，；

（2）再取与一个坐标轴的交点确定图象在“一、三象限”还是在“二、四象限”；

（3）根据双曲线的大致形状画出函数的图象．

练习：用平移法与“二线一点”法分别作函数的图象．

五．小结

1．一次型分式函数本质上是一个反比例函数，两者的图象一般只相差一个平移．其图象是双曲线，其中，是双曲线的两条渐近线（曲线与直线无限接近），点是图象的中心对称点．

2．平移法作函数的图象时，先将函数解析式化为，再由图象平移得到．

3．“二线一点”法作函数的图象时，（1）先确定x与y的取值范围：，即找到双曲线的渐近线，；（2）再取与一个坐标轴的交点确定图象在“一、三象限”还是在“二、四象限”；（3）根据双曲线的大致形状画出函数的图象．

六．课后作业

1．若函数的图象过点，则函数图象分布在（）

（A）一、四象限（B）二、三象限（C）一、三象限（D）二、四象限

2．函数图象大致形状是（）

（A）

（B）

（C）

（D）

3．函数的图象可由下列那个函数图象平移得到（）

（A）（B）（C）（D）

4．观察函数的图象可得，当时，y的取值范围为（）

（A）（B）（C）（D）或

5．直线与函数图象一个交点的横坐标为，则k=__________．

6．函数在内随着增大而减小，则的取值范围

．

7．已知函数，则y的取值范围为_______________．

8．函数的图象可由函数向_______（左、右）平移________个单位；再向_________（上、下）平移________个单位得到．

9．函数的图象关于点(1,2)对称，则a=__________；b=___________．

10．已知一次函数y1=x+1，P点是反比例函数（k>0）的图象上的任一点，PA⊥x轴，垂足为A，PB⊥y轴，垂足为B，且四边形AOBP（O为坐标原点）的面积为2．

（1）求k的值；

（2）求所有满足y1=y2的x的值；

（3）试根据这两个函数的图象，写出所有满足y1>y2的x的取值范围．（只需直接写出结论）

11．已知函数．

（1）写出函数图象由那个反比例函数图象通过怎样的平移得到；

（2）写出函数图象的渐近线、中心对称点坐标；

（3）用“二线一点”法作出函数图象的大致形状．

12．作出函数图像，并完成下列各题：

（1）当时，求的值；

（2）当时，求取值范围；

一次分式函数篇2

函数值是指在函数y=f (x) 中, 与自变量x的值对应的y值.

函数的值域是函数值的集合, 是指图像在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合.函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定;当函数由实际问题给出时, 函数的值域由问题的实际意义确定.

分式函数是指函数解析式为分式形式的函数.

二、分式函数的类型及值域解法

类型一一次分式型

一次分式型是指分子与分母都是关于自变量x (或参数) 的一次函数的分式函数.

$1 . y = \frac{c x + d}{a x + b} (a \neq 0)$ 型

例1 求函数 $y = \frac{2 - 3 x}{2 x - 1}$ 的值域.

解法反函数法.利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系, 通过求反函数的定义域, 得到原函数的值域.

解反解 $y = \frac{2 - 3 x}{2 x - 1}$ , 得 $x = \frac{2 + y}{2 y + 3} .$

对调 $y = \frac{2 + x}{2 x + 3} (x \neq - \frac{3}{2}) .$

∴函数 $y = \frac{2 - 3 x}{2 x - 1}$ 的值域为

$\begin{array}{l} y \neq - \frac{3}{2} . \\ 2 . y = \frac{c s i n x + d}{a s i n x + b} (a \neq 0) 型 \end{array}$

分析这是一道含三角函数的一次分式函数, 由于含三角函数, 不易直接解出x, 但其有一个特点:只出现一种三角函数名.可以考虑借助三角函数值域解题, 其实质跟 $y = \frac{c t + d}{a t + b} (t = \sin x)$ 在t的指定区间上求值域类似.即:将 $y = \frac{c s i n x + d}{a s i n x + b}$ 反解, 得sinx=f (y) , 而-1≤sinx≤1, 即-1≤f (y) ≤1, 解之即可.

例2 求函数 $y = \frac{s i n x + 2}{2 - s i n x}$ 的值域.

$\begin{array}{l} 解由 y = \frac{s i n x + 2}{2 - s i n x} ‚ 得 \sin x = \frac{2 y - 2}{y + 1} . \\ ∵ - 1 \leq \sin x \leq 1 ‚ ∴ - 1 \leq \frac{2 y - 2}{y + 1} \leq 1, 解得 \frac{1}{3} \leq y \leq 3 . \end{array}$

$3 . y = \frac{c s i n x + d}{a c o s x + b}$ 或 $y = \frac{c c o s x + d}{a s i n x + b} (a \neq 0)$ 型

分析这道题不仅含有三角函数, 且三角函数不同, 例2解法行不通, 但反解之后会出现正、余弦的和、差形式, 故考虑叠加法.即:去分母以后, 利用叠加公式和|sinx|≤1解题.

例3 求函数 $y = \frac{3 s i n x - 3}{2 c o s x + 10}$ 的值域.

$\begin{array}{l} 解 ∵ 2 \cos x + 10 \neq 0 ‚ ∴ 3 \sin x - 2 y \cos x = 10 y + 3 ‚ \\ ∴ \sqrt{9 + 4 y^{2}} \sin (x - φ) = 10 y + 3, 其中 \tan φ = \frac{2 y}{3} . \end{array}$

由 $\sin (x - φ) = \frac{10 y + 3}{\sqrt{9 + 4 y^{2}}}$ 和|sin (x-φ) |≤1,

$\begin{array}{l} 得 \frac{| 10 y + 3 |}{\sqrt{9 + 4 y^{2}}} \leq 1 . \\ ∴ (10 y + 3)^{2} \leq 9 + 4 y^{2}, 整理得 8 y^{2} + 5 y \leq 0 . \end{array}$

$∴ - \frac{5}{8} \leq y \leq 0$ , 即原函数的值域为 $[- \frac{5}{8} ‚ 0] .$

总结求一次分式函数的值域, 首先要看清楚是在整个定义域内, 还是在指定区间上;其次用反函数法解题;再次还要注意含三角函数的分式函数, 其实质是在指定区间上求分式函数的值域.

类型二二次分式型

二次分式型是指分子与分母的最高次项至少有一项是关于x的二次函数.由于出现了x2项, 反解x的方法行不通.但我们知道, 不等式、函数、方程三者相互联系, 可考虑将其转化为不等式或方程来解题.

$1 . y = \frac{d x^{2} + e x + f}{a x^{2} + b x + c} (a ‚ d$ 不同时为0) , x∈R型

分析去分母后, 将方程看作是含参数y的二次方程f (x) =0.由于函数的定义域并非空集, 所以方程一定有解, Δ≥0 (f (y) ≥0) , 解不等式便可求出原函数的值域.即:用判别式法.先去分母, 得到含参数y的二次方程f (x) =0, 根据判别式Δ≥0 (Δ=f (y) ) , 即可求出值域.

例4 求函数 $y = \frac{3 x}{x^{2} + 4}$ 的值域.

解由 $y = \frac{3 x}{x^{2} + 4}$ , 得yx2-3x+4y=0.

当y=0时, x=0, 当y≠0时, 由Δ≥0, 得 $- \frac{3}{4} \leq y \leq \frac{3}{4} .$

∵函数定义域为R,

∴函数 $y = \frac{3 x}{x^{2} + 4}$ 的值域为 $[- \frac{3}{4} ‚ \frac{3}{4}] .$

说明判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内, 但不能用其在指定的区间上求二次函数的值域, 否则就会放大值域.

$2 . y = \frac{d x^{2} + e x + f}{a x^{2} + b x + c} (a ‚ d$ 不同时为0) , 指定的区间上求值域型.

例5 求 $y = \frac{16 x^{2} - 21 x + 5}{5 - 4 x} (x < \frac{5}{4})$ 的值域.

分析因为 $x < \frac{5}{4}$ , 所以若用判别式法, 可能会放大其值域.可以考虑使用均值定理解题.

$\begin{array}{l} 解 ∵ x < \frac{5}{4} ‚ ∴ 5 - 4 x > 0, \frac{1}{5 - 4 x} > 0 . \\ ∴ y = \frac{16 x^{2} - 21 x + 5}{5 - 4 x} = 1 - 4 x + \frac{1}{5 - 4 x} \\ = [(5 - 4 x) + \frac{1}{5 - 4 x}] - 4 \\ \geq 2 \sqrt{(5 - 4 x) \frac{1}{5 - 4 x}} - 4 = - 2 . \end{array}$

∴原函数的值域为[-2, ∞) .

例6 求 $y = \frac{x^{2} + 5}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ 的值域.

错解 $y = \frac{x^{2} + 5}{\sqrt{x^{2} + 4}} = \sqrt{x^{2} + 4} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 4}} \geq 2 .$

分析在使用均值定理时一定要注意使用条件“一定、二正、三相等”, 显然上述解法中 $\sqrt{x^{2} + 4}$ 和 $\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ 不能相等, “相等”条件不能成立.所以不能使用均值定理.但若用判别式法又无法解决根式问题, 此时可考虑借函数的单调性求值域.

解用单调性法.

$y = \frac{x^{2} + 5}{\sqrt{x^{2} + 4}} = \sqrt{x^{2} + 4} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 4}} .$

令 $\sqrt{x^{2} + 4} = t$ , 显然t≥2, 则 $y = t + \frac{1}{t} (t \geq 2) .$

$\begin{array}{l} 任取 2 \leq t_{1} \leq t_{2}, 则 f (t_{1}) = t_{1} + \frac{1}{t_{1}}, f (t_{2}) = t_{2} + \frac{1}{t_{2}} . \\ f (t_{1}) - f (t_{2}) = (t_{1} + \frac{1}{t_{1}}) - (t_{2} + \frac{1}{t_{2}}) \\ = (t_{1} - t_{2}) (1 - \frac{1}{t_{1} t_{2}}) . \\ ∵ 2 \leq t_{1} \leq t_{2} ‚ ∴ t_{1} - t_{2} < 0, t_{1} \cdot t_{2} \geq 4, 1 - \frac{1}{t_{1} t_{2}} > 0 . \\ ∴ f (t_{1}) - f (t_{2}) = (t_{1} - t_{2}) (1 - \frac{1}{t_{1} t_{2}}) < 0 ‚ \end{array}$

∴f (t1) <f (t2) , 即函数 $y = t + \frac{1}{t}$ 在t≥2上单调递增.

∴当t=2, 即 $\sqrt{x^{2} + 4} = 2 ‚ x = 0$ 时, $y_{\min} = \frac{5}{2} ‚$

∴原函数的值域为 $[\frac{5}{2}, \infty) .$

总结不管是求一次分式函数还是求二次分式函数的值域, 都必须注意自变量的取值范围.虽然我们提倡通解通法的培养, 但一定要看到只有对一类题才可以用通解通法.若失去同一类前提, 只强调通解通法, 便是空中楼阁.故要因题而论, 就事论事, 防止一概而论的错误, 用辩证和发展的眼光看待问题, 这样才会起到事半功倍的效果.

三、提炼知识, 总结分式函数值域解法

求函数的值域是高中数学的难点之一, 它没有固定的方法和模式.但我们可以针对不同的题型进行归类总结, 尽最大可能地寻找不同类型分式函数求值域的通解通法.常用的方法有:

1.反函数法.反函数法是求一次分式函数的基本方法, 是利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系, 通过求反函数的定义域, 得到原函数的值域.但要注意看清楚是在整个定义域内, 还是在指定区间上求值域.

2.判别式法.判别式法是求二次分式函数的基本方法之一, 即先去分母, 把函数转化成关于x的二次方程f (x, y) =0, 因为方程有实根, 所以判别式Δ≥0, 通过解不等式求得原函数的值域.需注意的是判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内.

3.不等式法.不等式法是利用基本不等式: $a + b \geq 2 \sqrt{a b} (a ‚ b \in R_{+})$ , 是在指定区间上求二次分式函数的基本方法之一, 当二次分式函数在指定区间上求值域时可考虑用不等式法.用不等式法求值域, 要注意均值不等式的使用条件“一正、二定、三相等”.

4.换元法.换元法是求复合型分式函数值域的常用方法.当分式函数的分子或分母出现函数 (如三角函数) 时, 可考虑用换元法, 将所给函数化成值域容易确定的另一函数, 从而求得原函数的值域.要注意换元后自变量的取值范围.

5.单调性法.单调性法是通过确定函数在定义域 (或某个定义域的子集) 上的单调性求出函数的值域的方法.

另外, 还可以根据函数的特点, 利用数形结合或求导数的方法求分式函数的值域.由于这些方法不是很常用, 在此就不多做说明.

求分式型函数的最值问题篇3

【关键词】数学分式型函数最值问题

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1674-4772（2014）03-092-01

分式型函数的最值问题一直是高考常考点，但却是学生学习的难点。解决这类问题，一般是利用分离常量法或利用基本不等式及对勾函数[y=ax+■（ab>0）]来解决。

一、一次比一次型

对于形如y=■型的函数求值域的问题，一般采用分离常量的方式，把函数式转变为常数与简单分式函数和差的形式，此类函数值y≠■.

例1. 求函数y=■的值域。

分析：这类问题一般是利用分离常量法解决，过程略。

解：函数y=■的值域是{y│y≠2}

例2. 求函数y=■的值域。

解：y=■=2-■

∵x2+1≥1 ∴0<■≤3

故函数y=■∈[-1，2）

点评：本题虽然分子和分母都是关于的二次式，但是因为没有一次项，故可以把x2看成一个整体，利用分离常量的方式进行分离，但要注意x2本身非负。类似的还有■，ax等。

二、二次比一次型

对于形如y=■型的函数求值域的问题，一般采用拆分的方式，把函数式转变为对勾函数的形式，借助基本不等式或对勾函数求值域。

例3. 求函数y=■（x>0）的取值范围。

分析：此类问题一般是结合基本不等式解决。

解：y=■=2x+■-1≥2■-1（当且仅当x=■是等号成立）所以函数y=■∈[2■-1，+∞）.

变式练习：若例3去掉x>0函数值域是什么？

分析：本题不能利用基本不等式，要借助函数g（x）=2x+■，如上图的函数g（x）∈（-∞，-2■]∪[2■-1，+∞）.

故y=■∈（-∞，-2■]∪[2■-1，+∞）.

三、一次比二次型

对于形如y=■型的函数求值域的问题，一般先取倒数，变成二次比一次型函数，再求值域。

例4. 求函数y=■（x>0）的值域.

解：y=■=■≤■（当且仅当x=■是等号成立）

∴函数y=■∈（0，■].

点评：本题如果没有这个条件，也可以仿照上面例4，借助对勾函数来解决。

例5. （2010辽宁）已知点P在曲线y=■上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 .

解：y'=■=■

∵ex>0，∴ex+■+2≥4，（当且仅当x=0时等号成立）

∴k=y'∈[-1，0）

因为倾斜角，所以倾斜角α的取值范围是[■，π）.

点评：一般来讲高考题目所涉及的分式函数求值域的问题基本上就可以用以上几种方式解决。

利用小o技术求分式函数的极限篇4

证：对任意自然数n，容易得到：

nn1n(1xn1)(n1)(1xn),1x(1x)(1x)

n(n1)xn1[(x1)1]n1n(x1)(x1)2o((x1)2)，或者

xn1[(x1)1]n1n(x1)o((x1))

于是有：

n(1xn1)(n1)(1xn)(n1)(xn1)n(xn11)

n(n1)(n1)[n(x1)(x1)2o((x1)2)](n1)nn[(n1)(x1)(x1)2o((x1)2)](n1)n(x1)2o((x1)2)(1xn)(1xn1)(xn1)(xn11)

[n(x1)o((x1))][(n1)(x1)o((x1))]n(n1)(x1)2o((x1)2)

(n1)n22(x1)o((x1))nn1因此limlimx11xx1n(n1)(x1)o((x1))

一次分式函数篇5

一教学目标:(一)知识教育点

1.理解分式方程的意义,掌握分式方程的一般解法.2.了解解分式方程时可能产生增根的原因,并掌握验根的方法.(二)能力训练点

1.培养学生的分析能力.2.训练学生的运算技巧,提高解题能力.(三)德育渗透点

转化的数学思想.(四)美育渗透点.通过本节的学习,进一步渗透化归的数学美.二学法引导: 1.教学方法: 演示法和同学练习相结合，以练习为主．

2.学生学法:选择一个较简单的题目入手,总结归纳出解分式方程的一般步骤..三重点难点疑点及解决办法:(一)重点

分式方程的解法及把分式方程化为整式方程求解的转化思想的渗透.(二)难点

了解产生增根的原因,掌握验根的方法.(三)疑点

分式方程产生增根的原因.(四)解决办法

注重渗透转化的思想，同时要适当复习一元一次方程的解法.四课时安排: 一课时五教具准备:

投影仪六教学过程:

(一)课堂引入

1．回忆一元一次方程的解法，并且解方程

x22x31 462．提出P53的问题

李老师的家离学校3千米,某一天早晨7点30分,她离开家骑自行车去学校.开始以每分钟150米的速度匀速行驶了6分钟,遇到交通堵塞,耽搁了4分钟;然后她以每分钟v米的速度匀速行驶到学校.设她从家到学校总共花的时间为t分钟.问:(1)写出t的表达式;

(2)如果李老师想在7点50分到达学校,v应等于多少? 分析:① 李老师在遇到交通堵塞时,已经走了多少米?还剩下多少米? ② 剩下的这一段路需要多少分钟? ③ 如果李老师想在7点50分到达学校,那么她从家到学校总共花的时间t等于多少? 由此可以得出:

2100 v2100(2)v应满足

20=6+4+

v(1)t的表达式 t=6+4+

观察(2)有何特点？

【概括】方程（2）中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.辨析：判断下列各式哪个是分式方程．

(1)；(2)

；(3)

；

(4)

；(5)

根据定义可得：(1)、(2)是整式方程，(3)是分式，(4)(5)是分式方程． 1.思考: 怎样解分式方程呢？

这节课我们就来研究一下怎样解一个分式方程.(板书:可化为一元一次方程的分式方程)为了解决本问题，请同学们先思考并回答以下问题：

1）回忆一下解一元一次方程时是怎么去分母的，从中能否得到一点启发？ 2）有没有办法可以去掉分式方程的分母把它转化为整式方程呢？上面的例子可以整理成:

10=

2100 v

两边乘以v,得10v=2100

两边除以10,得v=210 因此,李老师想在7点50分到达学校,她在后面一段的路上骑车速度应为每分钟210米.概括: 上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.例1 解方程:

53 x2x解: 方程两边都乘最简公分母x(x-2),得

5x=3(x-2)

解这个一元一次方程,得

x=-3

检验:把x=-3带入原方程的左边和右边,得

左边= 533，右边= =-1 x2x3142 x2x4

因此x=-3是原方程的解例2 解方程: 解: 方程两边都乘最简公分母(x+2)(x-2),得

x+2=4

解这个一元一次方程,得

x=2

检验:把x=2代入原方程的左边,得

11 2201

由于0不能作除数,因此不存在,说明x=2不是分式方程的根,从而原分式方程没有

0左边= 根.注意：由于分式方程转化为一元一次方程过程中，要去掉分母就必须同乘一个整式，但整式可能为零，不能满足方程变换同解的原则，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增根.因此，在解分式方程时必须进行检验.由此可以想到，只要把求得的x的值代入所乘的整式(即最简公分母)，若该式的值不等于零，则是原方程的根；若该式的值为零，则是原方程的增根．如能保证求解过程正确，则这种验根方法比较简便．

例3: 解方程:

解(略)

随堂练习: P57 练习

小

结: 解分式方程的一般步骤：

7x3 x1x11．在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程． 2．解这个整式方程．

3．把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．

作

一次函数教案篇6

6.2一次函数

一、教学目标

1、理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关系。

2、能根据所给条件写出简单的一次函数表达式。

二、能力目标

1、经历一般规律的探索过程、发展学生的抽象思维能力。

2、通过由已知信息写一次函数表达式的过程，发展学生的数学应用能力。

三、情感目标

1、通过函数与变量之间的关系的联系，一次函数与一次方程的联系，发展学生的数学思维。

2、经历利用一次函数解决实际问题的过程，发展学生的数学应用能力。

四、教学重难点

1、一次函数、正比例函数的概念及关系。

2、会根据已知信息写出一次函数的表达式。

五、教学过程

1、新课导入

有关函数问题在我们日常生活中随处可见，如弹簧秤有自然长度，在弹性限度内，随着所挂物体的重量的增加，弹簧的长度相应的会拉长，那么所挂物体的重量与弹簧的长度之间就存在某种关系，究竟是什么样的关系，请看：

某弹簧的自然长度为 3厘米，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加 1千克、弹簧长度y增加 0.5厘米。

（1）计算所挂物体的质量分别为 1千克、2千克、3千克、4千克、5千克时弹簧的长度，并填入下表：

（2）你能写出x与y之间的关系式吗？

分析：当不挂物体时，弹簧长度为 3厘米，当挂 1千克物体时，增加 0.5厘米，总长度为 3.5厘米，当增加 1千克物体，即所挂物体为 2千克时，弹簧又增加 0.5厘米，总共增加 1厘米，由此可见，所挂物体每增加 1千克，弹簧就伸长 0.5厘米，所挂物体为x千克，弹簧就伸长0.5x厘米，则弹簧总长为原长加伸长的长度，即y=3+0.5x。

2、做一做

某辆汽车油箱中原有汽油 100升，汽车每行驶 50千克耗油 9升。

（1）完成下表：

你能写出x与y之间的关系吗？（y=100−0.18x或y=100−x）

接着看下面这些函数，你能说出这些函数有什么共同的特点吗？

上面的几个函数关系式，都是左边是因变量，右边是含自变量的代数式，并且自变量和因变量的指数都是一次。

3、一次函数，正比例函数的概念

若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数。

4、例题讲解

5、课堂练习

补充练习。。。

六、课后小节

1、一次函数、正比例函数的概念及关系。

一次函数图像性质篇7

关键词：初中数学；一次函数；图像性质

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）12-295-01

《一次函数图像性质》这节课是新人教版八年级下册“19.2.2一次函数”（第二课时）的内容，下面我从四个方面谈谈我对这节课的一些粗浅认识：

一、目标分析

（一）知识与技能目标

1、利用前面学习的函数图像的画法通过列表、描点、连线画出一次函数的图像；2、使学生理解函数与函数图象之间的关系，会利用两个合适的点画出一次函数的图象，掌握k、b的意义和作用。

（二）过程与方法目标

1、通过描点法来研究一次函数图象，在动手绘制一次函数的图象的过程中，让学生经历“动手----比较----讨论---归纳”的数学活动，通过对一次函数图象的分析，归纳k、b的正负对函数图象变化趋势和函数性质的影响，让学生经历知识的探究、归纳的过程，体会数形结合思想方法和分类讨论思想方法的应用，同时培养学生的观察能力和抽象概括能力。2、通过从具体一次函数的图象特征抽象得到一般形式一次函数的图象特征，进而得到函数的性质，使学生经历从特殊到一般的研究问题的过程，体会从特殊到一般的研究问题的方法。

二、教学中问题诊断分析

在本节课的学习中，学生对于通过具体函数图象猜想一次函数图象的形状和k的正负对于函数图象的变化趋势和函数性质的影响并不困难，但是学生容易停留在只从“形”的角度认识一次函数的图象和性质，不会用函数和变量去思考问题，即从“数”——解析式的角度加深理解。所以，我们在进行教学时，有意识地加强对一次函数与正比例函数解析式的分析与比较，突出数学知识所蕴涵的数学思想和数学方法，以此加深学生对数形结合思想的体会，使学生逐步地增强应用数形结合思想解决问题的意识和能力。

三、本节课的教法特点及预期效果分析

1、由于本课的教学内容是在学生以往学习了正比例函数的图象和性质以及一次函数的定义的基础上进行的，因此这节课从复习正比例函数图像和性质开始，反思正比例函数是特殊的一次函数，正比例函数图像是一条直线，一次函数的图像是怎样的呢？体现特殊与一般的关系并引发猜想；这个问题吸引学生的注意力，再引出本课的内容，让学生在复习的过程中感受正函数模型图像与性质的研究方法。

2、根据本节课的教材内容特点，为了更直观、形象地突出重点、突破难点，提高课堂效率，课前设计了预习导学案，让学生提前一天家庭作业在第一个平面直角坐标系中画出y=2x和y=2x+3,y=2x-2的图象及在第二个平面直角坐标系中画出y=-2x和y=-2x+1,y=-2x-4的图象，因为本章几节课已经学习了列表、描点、连线画出函数图像，因此画出这几个函数图像对于学生来说不成问题；并且让学生类比正比例函数图像与性质的研究方法，观察所画的图像写出自己通过画图过程中的发现；y=2x和y=2x+3,y=2x-2这一组函数解析式中k值都等于2，它们的函数图像有什么特点呢？学生在画图中不难发现画出了一组平行线，同理画出y=-2x和y=-2x+1,y=-2x-4图像，也验证了学生的猜想；在导学案中出一组填空题提示学生深入思考探索发现一次函数解析式中k、b与一次函数图像的关系；这样既节省了课堂时间更增强了学生探索的欲望，通过在家的独立思考，在课堂上让学生交流探索发现，学生之间互相交流探索结果，互相讲解，探索交流完让学生以小组为单位派代表到讲台上交流探索发现，在前置学习和课堂教学过程中，通过设置带有探究性的问题，创设问题情境，引导学生动手实践探索，合作交流，最后全班一起归纳结论，并通过学生亲自动手绘制函数图象，让学生亲身体验知识的产生、发展和形成的过程。最后让学生运用探索出来的一次函数的图像的性质解决问题，这样把节省了课堂时间，回归到数学本质上来，让学生把更多的精力放在运用知识解决数学问题。

3、八年级的学生好奇、好学、好动，所以在教学过程中通过让学生自己动手画图，同学之间交流画法，谈谈想法等活动，充分发挥学生的主体性，进一步激发学生的求知欲。

一次函数与一元一次方程教案篇8

教学目标：

1．知识与技能

会用一次函数图象描述一元一次方程的解，发展抽象思维．

2．过程与方法

经历探索一元一次方程与一次函数的内在联系，体会数与形结合的数学思想．

3．情感、态度与价值观

培养良好的应用能力，体会代数的实际应用价值．

重、难点与关键

1．重点：理解用函数观点解决一元一次方程的问题．

2．难点：对一次函数与一元一次方程的再认识．

3．关键：应用数形结合的思想．

教具准备

直尺、圆规．

教学方法

采用“直观操作”教学方法，让学生在图形的认知中领会本节课内容．

教学过程

一、回顾交流，知识迁移

问题提出：请思考下面两个问题：

（1）解方程2x+20=0．

（2）当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？

【学生活动】观察屏幕，通过思考，得到（1）、（2）的答案，回答问题．

【教师活动】在学生充分探讨的基础上，引导学生思考：“一元一次方程与一次函数之间有何内在联系”？

【思路点拨】在问题（1）中，解方程2x+20=0，得x=-10；解问题（2）就是要考虑当函数y=2x+20的值为0时，所对应的自变量x为何值，这可以通过解方程2x+20=0，得出x=-10．这两个问题实际上是一个问题，从函数图象上看，直线y=2x+20与x轴交点的坐标是（-10，0），这说明，方程2x+20=0的解是x=-10．（课本图14．3-1）

【问题探索】

教师叙述：由上面两个问题的关系，能进一步得到“解方程ax+b=0（a，b为常数”与“求自变量x为何值时，一次函数y=ax+b的值为0”有什么关系？

【学生活动】小组讨论，观察上述问题的图象，联系方程、函数知识，领会贯通，踊跃回答．

【师生共识】由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y=ax+b，确定它与x轴交点的横坐标的值．

【教学形式】小组合作讨论，教师巡视、引导．

二、范例点击，领会新知

【例1】一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再过几秒它的速度为17米/秒？

【教师活动】激发学生思考．

【学生活动】先不看课本解答，独立地思考问题，抓住问题的本质：“设未知数，寻找等量关系．”得出方程，再应用函数的观点建立两个变量的关系式，上讲台演示自己的做法．

【评析】这两种解法分别从数与形两方面得出相同的结果，培养学生识图能力．

解法1：设再过x秒物体的速度为17米/秒．

依题意得：2x+5=17

解得：x=6

解法2：设速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）的函数．

y=2x+5

由2x+5=17

得2x-12=0

由如图看出，直线y=2x-12与x轴的交点为（6，0），得x=6．

三、随堂练习，巩固深化

1．看图2填空：

（1）当y=0时，x=_______．

（2）直线对应的函数解析式是________．

2．一元一次方程0.5x+1=0与一次函数y=0.5x+1有什么联系？

3．某种摩托车的油箱最多可储油10升，加满后，油箱中的剩油量y（升）与摩托车行驶路程x（千米）之间的关系式如图所示．

根据图象所提供的信息，回答下列问题：

（1）一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？

（2）摩托车每行驶100千米消耗多少升汽油？

（3）油箱中的剩余油量小于1升时，摩托车将自动报警，行驶多少千米后，摩托车将自动报警．

四、课堂总结，发展潜能

1．请同学们谈一谈，函数与方程的联系和区别．

2．对数形结合的思维方法进行总结．

五、布置作业，专题突破

1．课本P129习题14．3第1，2，5题．

一次函数教案2 篇9

教者：

教学班级：

教学课题：一次函数

教学时间：2008-11-20 教学目标：知识与技能：

1、了解一次函数的定义；

2、能运用一次函数解决简单的实际问题。

过程与方法：

1、通过对山高与气温的关系探究，获得对一次函数的初步认识；

2、经历实际问题的分析和求解过程，体会数学与现实的密切联系，提高解决问题的能力。

情感、态度与价值观：

通过实际操作经历对实际问题的数据关系的探索，培养学生积极探索的精神以及观察、分析、总结的学习态度。

教学重、难点

一次函数的定义是重点也是难点。

教学过程

一、创设情境，引入新课

问题：某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1 km气温下降6 ℃，登山队员由大本营向上登高x km时，他们所在位置的气温是y ℃，试用解析式表示y与x的关系.分析:y随x的变化规律是，从大本营向上当海拔增加x千米时，气温从5 ℃减少6x ℃.因此y与x的关系为y=5－6x 这个函数也可以写成y=－6x+5二、一次函数概念的学习

1、多媒体展示如下问题，并提问：下列问题中的对应关系可用怎样的函数表示？这些函数有什么共同点？

(1)有人发现,在20~50 ℃时蟋蟀每分鸣叫的次数c与温度t(单位： ℃)有关，即c的值约是t的7倍与35的差；

(2)一种计算成年人标准体重G(单位：千克)的方法是，以厘米为单位量出身高值h，再减去常数105，所得差是G的值；

(3)某城市的市内电话的月收费额y(单位：元)包括：月租费22元，拔打电话x分的计时费(按0.1元/分收取)；

(4)把一个长10cm、宽5cm的长方形的长减少x cm,宽不变，长方形的面积y(单位：平方厘米)随x的值而变化

2、让学生独立思考，有问题的也可以互相讨论，给出上面问题中的解析式。

3、学生做完后，学生发言，师生共同讨论，教师作总结，给出上面问题中的函数解析式。解答：上面问题中的函数解析式分别为：(1)C=7t-35；

(2)G=h-105；

(3)y=0.1x+22；

(4)y=-5x+50.4、让学生对比前面我们得到的确5个函数解析式，看看它们有什么共同的特点，鼓励学生积极发言。引导学生总结出一次函数的定义：

一般地，形如y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数。

当b=0时，y=kx+b就变成了y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。

三、讲例

例1 下列哪些函数是一次函数，哪些又是正比例函数.(1)y3x4;(2)y7x；(3)y9x；(4)y4x21；

(5)m2x6

四、练习

练习1：下列函数哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？

(1)y8x;(2)y8x;(3)y5x26;(4)y0.5x1练习2：一个小球由静止开始在一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加2米/秒.（1）求小球速度v（单位：米）随时间t（单位：秒）变化的函数关系式，它是一次函数吗？

（2）求第2.5秒时小球的速度

练习3:汽车油箱中原有汽油50升，如果行驶中每小时用油5升，求油箱中的汽油y(单位：升)随行驶时间x(单位：时)变化的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.y是x的一次函数吗？

五、小结

1、怎样的函数是一次函数？

2、一次函数的简单应用。

六、作业

1、课本120页第3题；

《一次函数》测试题篇10

——波利亚（匈牙利数学家，1887-1985）

一、填空题（每小题4分，共32分）

1. 正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象经过点（1，100），那么k=.

2. 在函数y=-2x-5中，k=，b=.

3. 正比例函数y=-2x的图象上有一点P.若P点的横坐标为- ，则P点坐标是.

4. 已知y=（m-3）x-2m-2是正比例函数，则m=.

5. A、B两地相距20 km.小明以每小时5 km的速度由A地步行到B地.设他与B地的距离为y km，步行时间为x h，则y与x的关系式为，y是x的函数.

6. 已知矩形的周长为c，对角线长为a，且两条对角线的夹角是60°.试写出周长c与对角线长a的函数关系式：.

7. 若函数y=（m-2）x+5-m是关于x的一次函数，则m满足的条件是.若此函数是正比例函数，则m的值是，此时函数的表达式是.

8. 已知y+6与3x+2成正比例，当x=1时，y=4.则当x=-1时，y的值是.

二、选择题（每小题4分，共24分）

9. 函数y=2x-1，y=πx，y= ，y= -3x，y=x 2-1中，是一次函数的有（）.

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

10. 关于函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0且b≠0），下列说法正确的是（）.

A. y+b与x成正比例 B. y与kx成正比例

C. y与x+b成正比例 D. y是x的一次函数

11. 已知水池的容积为50 m 3，每小时进水量为n m 3，灌满水所需时间为t h，那么，t与n的函数关系式是（）.

A. t=50+nB. t=50-nC. t=50nD. t=

12. 下列说法中不正确的是（）.

A. 一次函数不一定是正比例函数

B. 不是一次函数就一定不是正比例函数

C. 正比例函数是特殊的一次函数

D. 不是正比例函数就一定不是一次函数

13. 已知等边三角形的周长是12 cm.它的各边长减少x cm后，所得新的等边三角形的周长为y cm，则y与x的函数关系式为（）.

A. y=36-3x（0

C. y=12-3x（0≤x<4）D. y=12-3x（0≤x≤4）

14. 已知y=（m-1）x2-m2是正比例函数，那么m的值为（）.

A. -1 B. 1 C. -1或1 D. -2

三、解答题（15、16题每题10分，17、18题每题12分，共44分）

15. 试写出一个一次函数y=kx+b，使x=2时，y=5.

16. 某种书的单价为15.5元.当购买x本这种书时，花费为y元.y是x的一次函数吗？y是x的正比例函数吗？

17. 某电信局制定居民用市内电话的资费标准如下.

（1）试写出电话费y（元）与通话次数x（x>90）之间的函数关系式.

（2）如果小明家11月份的电话费为17.20元，那么，小明家11月份通话多少次？

18. 某车间有20个工人，每人每天加工甲种零件5个或乙种零件4個.在这20个工人中，派x人加工甲种零件，其余的加工乙种零件.已知每加工一个甲种零件获利16元，每加工一个乙种零件获利24元.

（1）写出该车间每天所获利润y（元）与x之间的函数关系.

（2）若使此车间每天获利1 760元，要派多少人加工乙种零件？

数学一次函数总结篇11

教学目的及过程：

首先复习了二次函数和一次函数的有关基础知识，二次函数的定义、开口方向、对称轴、顶点坐标及函数的增减性。一次函数的定义、图像及函数的增减性。采用特值法的形式检验学生的基础知识掌握情况，采取这样的方法学生易懂。

由于本节课是二次函数与一次函数的综合应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，以“启发探究式”为主线开展教学活动。以小组合作探究为主体，使每个学生都能够动手动脑参与到课堂活动中，充分调动学生学习的积极性和主动性，促使学生能够理解和建构二次函数与一次函数的关系，在建构关系的过程中让学生体验从问题出发到列二元一次方程组的过程，体验用函数思想去描述、研究量与量之间的关系，达到不但使学生学会，而且使学生会学的目的

例题设计：

在平面直角坐标系x中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线=x—1交于点A，点A关于直线x=1的对称点为B，抛物线C1：=x2+bx+c经过点A，B。

（1）求点A，B的坐标

（2）求抛物线C1：的表达式即顶点坐标

（3）若抛物线C2：=ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数图像，求a取值范围。

存在的问题：

一、复习过程中才发现有极少部分中等偏下的学生记不住抛物线的顶点坐标公式，还有的学生把抛物线的顶点坐标和所学过的一元二次方程求根公式相混淆，发现有的学生没有真正的理解抛物线的顶点坐标是怎么推导得来的。

二、在课堂教学实践中发现，学生的认知和老师的想象是不一样的`，如，在求a取值范围的时候，百分之九十五的学生都沉默不语，为什么？

反思：

一、教师既要站在学生的角度思考问题，也要从教师的角度考虑安排每堂课的整体设计。站在学生角度思考问题，教师就能够体察学生的所思所想，了解学生困惑的根源，教师就可以有针对性的调整教学设计。如上面中为什么学生都沉默不语？通过课后了解才知道他们不懂得抛物线=ax2和线段AB有一个交点是一个怎样的图像情形。根本原因是教师在备课中忽视了学生思考水平的现状和知识储备情况，导致教师用自己的思考代替了学生的思考，学生的思考与实践脱节。这就要求老师要从学生的实际出发，了解学生的学习以及思考水平状况，善于启发和引导，才能较好的达到教学效果。

《一次函数》教学反思篇12

本节课的设计，力求体现新课程改革的理念，结合学生自主探究的时间，为学生营造宽松、和谐的氛围，让学生学得更主动、更轻松，力求在探索知识的过程中，培养学生的探索能力和创新能力，激发学生学习的积极性。在学生选择解决问题的诸多方法的过程中，不过多地干涉学生的思维，而是通过引导学生自己去探究来选择解决问题的办法。

本节课也存在一些应该深刻的反思和改进的地方。例如在探究活动中有些问题处理的有些仓促，有些问题的指向性有些太明确，需要今后加强。另外，今后教学中还应该更多地关注学生的发展和提升。多用幽默和鼓励性的语言激励学生。

总之，本节课着力做到课堂是数学活动的场所，是师生共同成长的基地，是学生张扬自我舞台。

“一次函数”核心概念解读篇13

一、本章概念的横向细化

第1节“函数”.大家在初学时会感到比较抽象，不易理解.对于函数概念的学习，刚开始大家往往只关注关系式、自变量的取值范围或函数值这些显性的知识，而忽略了认识问题的变化过程这个隐性的内涵.我们可以通过教科书中的实例“匀速行驶的火车”、“水库的水位变化”、“水滴激起的波纹”感受变量与变量之间的关系，并运用函数的三种表达方式（列表法、图像法和解析式法）揭示实际问题的变化规律.

在学习中，我们要始终围绕“（1）在上述变化过程中不变的量是什么？（2）变化的量有几个？（3）它们之间有什么关系？（4）当一个变量确定时，另一个变量能确定吗？”这几个问题思考，进而真正理解函数的概念.即“一般地，在一个变化的过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，x是自变量”.

对于函数的概念，我们要抓住“两个变量之间的对应关系”这个本质.即每个变化的过程中，都有两个变量，并且这两个变量之间相互依存、相互制约.

第2节“一次函数”.通过对生活中一些实例的研究，我们可以从中抽象出一次函数的概念.即“一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的函数叫做一次函数.特殊地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数”.

该概念可分为三个层次理解，第一层次：上述一次函数的概念是通过一种表达式给出的，要求我们能够根据具体问题的表达式判断函数是否为一次函数（正比例函数），并能说明理由.第二层次：正比例函数是一次函数的特例，也就是一次函数包含了正比例函数，不能理解为两个单独的概念.第三层次：该表达式揭示了变量与变量间的关系，可根据函数值求与之对应的自变量的值，也可利用待定系数法求出一次函数的关系式.

第3节“一次函数的图像”.我们首先要学会按“列表、描点、连线” 三步来画函数图像的方法，对于一次函数，通常利用与坐标轴的两交点，0、（0，b）来画，其图像是一条直线.在此基础上，进一步感受一次函数图像直线的上升、下降与解析式中k的关系，进而认识其性质，千万不可死记一次函数的性质，我们可以借助图像，利用数形结合的思想方法理解记忆其性质.

第4节“用一次函数解决问题”.一次函数的实际应用是用一次函数的解析式或图像来解决问题，需要我们首先从问题中找到函数解析式或从函数图像直观地找出实际问题中变量之间的关系；其次，将简单的实际问题转化为一次函数的数学问题；最后，用一次函数的知识解决实际问题.

第5节“一次函数与二元一次方程”、第6节“一次函数、一元一次方程和一元一次不等式”.这两节内容主要是研究“一次函数”与“一次方程”“一次不等式”三者之间一般与特殊的关系，它们在某些特定情况下可以相互转换，学习时可以充分借助一次函数图像的直观特点，沟通三者之间的联系，进而解决问题.

二、本章概念的纵向深化

第1节研究了一般函数的定义、自变量的取值范围、函数的图像及图像的一些直观性质，为第2、3、4节内容的学习铺垫，一次函数属于函数中的一种，一次函数与函数是特殊与一般的关系.所以，建议大家在学习一次函数时可以采用类比、对比的方法，从定义、图像、性质三方面全面认识.利用前后知识的关联，有利于把已学的知识纳入原有知识体系中，整体建构知识框架.这样的研究思路和学习方法，也为我们初二下学期和初三进一步学习新的函数打好基础.

第5、6节的学习，是本章内容的难点，许多同学比较容易厘清知识之间的关系，但到了“运用”阶段，无法理解一次函数与二元一次方程，一次函数与一次方程、一次不等式之间的相互关系，下面我们就对这两个关系作一下分析.

对于“一次函数与二元一次方程”的相互关系，从形式上看，通过移项，可以将一次函数y=kx+b（k≠0）写成kx-y+b=0的形式，因此从左往右看，一次函数可以转化为二元一次方程的形式.反过来，二元一次方程也可以化为一次函数的形式.从一次函数图像上的点与方程的解来看，一次函数图像上任意一点的坐标都是二元一次方程的一个解；反之，二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图像上.二元一次方程和一次函数之间的这种对应关系，便可实现两个一次函数与二元一次方程组在形式与内容上的完美统一，这既是一种解二元一次方程组的新方法，也是一次函数在数学内部的运用，体现了转化思想和方程思想.

对于“一次函数与一元一次方程、一元一次不等式”的相互关系，将一次函数y=kx+b（k≠0）中的y分别取大于0、等于0、小于0的值，就可以得到一元一次不等式和一元一次方程.从图像上看，与x轴交点的横坐标就对应着一元一次方程的解，在x轴上方、下方的点集y的值大于0、小于0，其横坐标对应着一元一次不等式的解集.

三、本章概念的学习建议

在学习本章内容时，我们一定要有以下几个方面的思考：一是每个概念都不是独立的个体，要把所学的知识点连成线，线状的知识结成块，体会数学知识的完整板块及相互关联，这样学习有利于知识的存储和提取.二是在学习知识或解决问题中及时使用数学的思想方法，这样就有利于我们发现数学的本质.三是善于自主归纳课堂基本知识，积极参与数学学习的全过程，逐步积累数学活动经验.因为本章内容是初中函数学习的起始章，掌握研究函数“定义、图像、性质、运用和应用”的基本思路及“数形结合”等重要的思想方法，有利于今后新函数学习的对比和类比，如果能够做到举一反三，对所学知识及时迁移，就为今后函数的学习打下坚实的基础.

一次分式函数篇14

图们市第三中学

张翠兰

本节课从解具体的一元一次方程与当自变量x为何值时，一次函数的值为0这两个问题入手，通过观察、探究，发现这两个问题实际上是同一个问题，进而得到解方程kx+b=0与求自变量x为何值时，一次函数y=kx+b的值为0的关系，并通过观察函数图象确认了这个问题在函数图象上的反映。从而，归纳总结得出了用一次函数的观点求解一元一次方程的方法。

虽然前面有了学习一元一次方程和一次函数的基础，但是学生不会想到将一次函数与一元一次方程联系起来，所以从“数”和“形”两方面理解二者之间的关系，进一步将“数”和“形”结合起来，对学生来说仍然是个难点。

为了进一步理解二者之间的关系，通过一次函数来求解一元一次方程，我在得出结论后，设计了一系列的习题进行加深巩固，题目设计由易到难，由“数”到“形”，层层递进，便于学生理解掌握。在完成题目的过程中，注意规范学生的解题格式，以及解题过程的完整性，进一步渗透数形结合的思想以及函数观点看方程的思想。经历了这些练习后，同学们可以更熟练地掌握通过函数求解一元一次方程的方法。虽然用函数解决方程问题未必简单，但这种数形结合的思想在以后的学习过程中有着很重要的作用。

从课堂效果来看，大部分同学可以用函数的观点来认识一元一次方程，用函数的方法来求解一元一次方程。但也存在一下不足：

1、个别同学在自己通过画图象来求解一元一次方程上还有一定困难，理解上不是很到位，还需要教师进一步的指导落实。

2、本节课在时间安排上还有所欠缺，前面引导探究得出结论的过程用时过多，导致后面巩固练习中的最后一题没有完成，以后在教学中要注意各环节的时间安排，尽可能的合理一些。

3、教学中没能注重学生思维多样性的培养，数学教学的探究过程中，对于问题的最终结果应是一个从“求异”逐渐走向“求同”的过程，而不是在一开始就让学生沿着教师预先设定好方向去思考，这样控制了学生思维的发展。如在研究一次函数与一元一次方程的关系的过程中，我是步步指导，层层点拔，惟恐有所纰漏，使得学生的思维受到了限制。

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