八年级数学命题的证明

八年级数学命题的证明（精选7篇）

八年级数学命题的证明 篇1

第二十四章 证明与命题

（一）复习

一、教学目标：

1、了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件（题设）和结论。

2、会在简单情况下判断一个命题的真假。理解反例的作用，知道利用反例可证明一个命题是错误的。

3、了解证明的含义，理解证明的必要性，体会证明的过程要步步有据。

4、会根据一些基本事实证明简单命题。

2、说明一个命题是假命题,通常只用找出一个反例,但要说明一个命题是真命题,就必须用推理的方法,而不能光凭一个例子。

（二）说一说

1.指出下列句子，哪些是命题，哪些不是命题？

（１）有两个角和夹边对应相等的三角形是全等的三角形；

（２）有两条边对应相等的两个三角形全等；

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（３）作∠Ａ的平分线；

（４）若ａ＝ｂ 则a2= b

2（5）同位角相等吗?

2.说出一个已学过定理:

说出一个已学过公理:

3、下列把命题改写成“如果„„，那么„„”的形式。并判断下列命题的真假.（1）不相等的角不可能是对顶角.（2）垂直于同一条直线的两直线平行；

（3）两个无理数的乘积一定是无理数.（三）练一练

1.用反例证明下列命题是假命题：

(1)若x(５-x)=0，则x=0；

(2)

(3)

（4）若x≠2,（四）例题分析

例1求证:(1)根据题意(2)知”和“求证”;

;

(4);

例2已知：如图，△ABC中,∠C=2∠B，∠BAD=∠DAC.求证：AB=AC+CD

还有其他方法吗？

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A

BDCBDC

(第三题)(第二题)

例3已知 ：如图D,E分别是BC,AB上的一点,BC、BD的长度之比为的面积是△ABC的面积的一半.求证： BE=3AE

例

4、已知：如图，直线AB，CD，EF在同一平面内，且 EF∥ EF，求证：AB ∥ CD。

证明：假设AB∥CD,那么AB与CD∵AB ∥ EF，CD ∥ EF（已知）

∴过点P有两条直线AB，CD都与直线∴AB ∥ CD不能成立。

∴AB ∥ CD

&科&

1.；

2.3.写出结论（肯定原命题成立）。

练习：

如图,已知:AB=AE，BC=DE，∠B= ∠E,AF⊥CD于F.求证:CF=DF.（五）小结：

（六）作业布置：练习一份

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八年级数学命题的证明 篇2

1. 教学内容。北师大版《义务教育教育教科书·数学》八年级上册第七章平行线的证明第2节定义与命题第一课时。

2. 内容解读。本节课是在学习了为什么要证明的基础上进行的, 学生在感受到了生活中证明的必要性后就要学习证明的方法和依据, 而定义就是证明的基本依据, 而且通过定义和命题能体会到许多的判断“可以证明”, 也为下一步的“怎样证明”做好铺垫。同时, 本节课是一节概念性的课, 是下一步进行规范证明的起点, 为培养学生的观察能力、逻辑思维能力、归纳演绎能力和创新应用能力打下基础。

3. 教学目标。

(1) 从具体实例中, 探索出定义, 并了解定义在现实生活中的重要性。

(2) 从具体实例中, 了解命题的概念和结构特征, 并会区分真、假命题。

(3) 通过从具体举例中提炼数学概念, 体会数学与实际生活的联系, 感受数学来源于生活, 并服务于生活。

4.教学重点。

命题的概念。

5.教学难点。

命题的结构特征及真假命题的判断。

6.教学过程。

(1) 创设情境、引入新课。

教师 :大家好, 很高兴能有机会和大家一起参加本次活动, 作为东道主, 希望同学们能用良好的表现, 向全省各地的专家、老师展示我们的风采, 有没有信心?

学生 :有。 (声音不是太响亮)

教师 :看来同学们还是有点紧张。没关系, 下面我们先来放松一下 : (课件展示幻灯片2——赵本山的小品 :“昨天、今天、明天”的视频内容) (约1分钟)

设计意图 :通过小品中的“包袱”让学生放松心情的同时又能直观感受对名称、术语不同认识所产生的差异, 激发学生的学习兴趣, 唤起他们的好奇心与求知欲 ;同时还可以体现定义对于生活的重要性。

(学生观看视频, 并有笑声。)

教师 :大家感觉到好笑的原因是什么?秋波是那样解释的吗?

学生 :秋波不是这样解释的。

学生 :不是, 解释是错误的。

教师 :我们的艺术家通过对“秋波”的一个完全不同的认识达到了逗大家笑的目的。其实生活中这样是事情非常多, 对同一名称、术语不同的认识就可能产生误会、笑话, 有时也对我们的交流产生障碍, 而要避免这样的问题, 就需要我们对同一名称、术语有相同的认识, 那你能说一下怎样认识下面的术语吗? (课件展示幻灯片3)

(学生口答内容, 并互相补充。)

(教师在学生回答的同时展示正确的解释。)

设计意图 :在小品的基础上对常见名称、术语进行准确的解释, 为引入“定义”做了充足的铺垫。

点评 :本环节通过创设轻松诙谐的小品这一特定情境, 引出“秋波”一词, 一方面缓解了刚开始时紧张的课堂气氛, 另一方面, 利用“秋波”这一熟悉的名词, 给出另类的解释, 让学生既觉得可笑, 又有所期待, 为下面“定义”的引出作下铺垫。

(2) 自主交流、合作探究。

【合作探究一】定义的概念 :

教师 :同学们说的不错, 那大家想一下, 我们在描述名称或术语的含义时, 最重要的是什么?

(学生思考并给出不同的回答。)

教师 :下面我们来举个例子, 现在请我们班“聪明”的同学站起来。

教师 : (稍等一会发现没有同学站起) 看来同学们都很谦虚, 没关系, 你不好意思夸自己聪明, 那你能告诉我其他同学谁聪明吗?

学生 :还是没有答案。

教师 :怎么还没答案呢?

学生 :不好说。

教师 :为什么?

学生 :不好确定。

教师 :看来我们同学找到原因了, 我们不好确定哪些同学是“聪明”人的原因是 :我们不知道聪明的标准。实际上我们有时做不到是因为我们对它的描述不准确、不清晰。因此我们对名称、术语的描述要清晰准确。 (课件展示幻灯片4) 同时板书课题——7.2定义。

设计意图 :通过对“聪明”的定义让学生体会下定义时清晰、准确的必要性, 更好理解定义的概念和要求。

教师 :我们举几个例子来看一下。 (课件动画展示)

试一试 :

教师 :你能说一说学过哪些定义? (课件展示幻灯片5)

(学生分小组举例回答。)

教师 :我给大家两个定义。 (动画展示线段、三角形及其定义) 你还能再举几个例子吗?

(学生思考并回答, 没有主动举手的) 。

教师 :看来学的越多, 越不好想, 那就由我来给大家举几个例子, 请同学们来说一说它们的定义。

学生 :……

教师 :原来我们不知不觉中学了这么多的定义, 对于这么多的定义你到底掌握的怎么样呢? 我们来考察一下。 (课件展示幻灯片6)

(学生结合所学知识给出答案并相互完善, 同时利用动画效果逐个展示相关的定义。)

设计意图 :在例题的基础上理解定义, 同时通过学生的合作探究进一步体会、理解定义, 让学生充分地参与到知识的探究过程中, 真正地让学生成为知识探究、生成过程中的主体。

想一想 :

教师 :看来同学们对定义的认识比较深刻, 我们学习了这么多的定义, 那么请大家思考一下 :我们学习定义有什么意义呢?

(学生先思考, 然后小组交流。)

(教师根据学生的回答, 及时引导学生总结定义的意义。)

师生总结学习定义的必要性 :

(1) 定义是严密的表述, 可以规范我们对事或物的认识。

(2) 定义是证明的重要依据。比如依据“垂直”的定义, 可以得出两条直线所成的角90°, 反过来如果两条直线相交构成的角中有90°的角, 我们就可以判定这两条直线互相垂直。

设计意图 :通过对学习定义的必要性这一问题的提出和分析进行探究, 让学生在已有的直接经验和间接经验的基础上认识学习的意义, 培养学生归纳总结的能力。

点评 :教师巧设“聪明”一词, 充分调动学生参与的积极性, 同时也切实体会下“定义”时清晰、准确的必要性, 自然得出什么是“定义”, 接着教师示范典型的“定义”样式, 鼓励学生回顾已学过的一些定义, 加深对“定义”的理解, 最后师生共同总结学习“定义”的意义, 教师的语言幽默, 学生主动参与的积极性高涨。

【合作探究二】命题的概念 :

教师 :当然, 生活的需要判断的事非常多, 我们也经常会做出判断, 比如…… (课件展示幻灯片7)

教师 :这三句话对两条线段的长短做出了判定吗?

学生 :做出了判定。

教师 :好, 下面我们再来看几个句子。 (课件展示幻灯片8)

(学生小组内讨论并回答。)

教师 :学生回答后课件展示结果并与学生总结给出命题的定义 :一般地, 对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。 (动画展示同时板书课题——7.2定义与命题)

教师 :我们发现 : (1) (3) (6) (7) 都做出了判断, 它们都是命题, 而 (2) (4) (5) 没有做出判断, 所以它们不是命题。

设计意图 :从学生对命题的认识的实际情况和例题出发, 引导学生通过思考、探索交流获得数学的基础知识和基本活动经验促使学生主动地、富有个性地学习, 不断提高发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力。

教师 :我们知道了命题的定义, 下面我们就来检验一下, 看看同学们是不是真的理解了。 (课件展示幻灯片9)

(学生回答并总结分析。)

教师 :同学们的判断都非常准确, 那么你认为判断一个句子是不是命题的关键是什么?

学生 :看是否做出了判断。

(教师在学生回答的同时展示 :“特别关注——是不是命题的关键是 :是否做出了判断。”)

设计意图 :本环节中通过练习, 强化学生对知识的理解, 同时培养学生对知识的应用意识。对是不是命题的关键的思考, 调动学生参与教学的同时, 深化对知识的理解, 同时又培养了学生的归纳总结的能力。

教师 :我们找到了判断是不是命题的关键, 就抓住了命题的本质, 不过作为命题来讲, 既然我们要对一件事或物要做出判断, 那么肯定要在一定的条件下进行, 而且还要得到一个结论。 (通过语速的快慢和停顿, 引导学生说出“条件”和“结论”。) 比如 :两直线平行, 同位角相等。 (动画展示) 引导学生分析命题的结构特征。

教师 :通过分析我们很清晰地看到, 每个命题都有条件和结论两部分构成, 那就请同学们参照上面的特征说出下列命题的条件和结论。 (课件展示幻灯片11)

(学生小组内讨论、分析并给出答案。)

(教师在学生解答的过程中利用动画效果逐步分析 :“对顶角相等”这一命题的条件和结论。同时将“对顶角相等”转化为“如果……那么……”的形式。) (课件展示幻灯片12)

教师 :对顶角相等判断的结果是什么?

学生 :相等。 (动画展示)

教师 :谁相等?

学生 :角相等。 (动画展示)

教师 :几个角? 一个?

学生 :两个角。 (动画展示)

教师 :两个什么角?

学生 :对顶角。 (动画展示)

教师 :句子的转化感觉有点别扭, 怎么办?

学生 :可以补充完整。 (动画展示)

教师 :很好, 我们补充完整将这句话改写为 :如果两个角是对顶角, 那么这两个角相等。 (动画展示)

教师 :你能找到这个命题的条件和结论吗?

学生 : (口答) 条件是 :两个角是对顶角, 结论是 :这两个角相等。

注意 :在上述的过程中, 师生问答的过程中, 利用动画效果逐步展示清晰体现命题结构的分析过程。

设计意图 :在对命题有一定理解的基础上, 利用课件的动画效果直观的分析、展示命题的结构特征。同时通过问题作为引导, 注重启发学生积极思考, 从而调动学生的思维活动, 让学生参与到知识的生成过程中, 在学会结论的同时, 清晰地感受学习的过程, 让学生成为学习过程的主体。

教师 :你能用这种方法将第 (4) 个命题转化成“如果……那么……”的形式吗?

(学生动手写成转化的结果, 并分析命题的结构特征。同时教师课件动画效果展示分析过程。)

教师 :这样分析后同学们能不能清晰地理解命题的结构特征呢?

学生 :能。

教师 :将命题改写成什么样的结果可以清晰体现命题的条件和结论。

学生 :写成“如果……那么……。

教师 :这样行不行呢? 我们来验证一下。 (课件展示幻灯片13)

(学生思考、交流并回答。)

教师 :看来同学们对命题的结构特征掌握的非常好准确, 只要你能将其写成“如果……那么……”的形式, 就能准确地找到对应的条件和结论。

设计意图 :练习的设置让对命题的结构特征有更好地认识, 在理解的基础上, 学会应用知识进行分析和解决问题, 强化了学生应用意识的培养。

点评 :教师没有直接给出“命题”的定义, 而是通过引导学生观察和判断一系列问题, 直观感知有些语句“作出了判断”, 而有些语句“没有作出判断”, 从而得出了“命题”的定义。接着教师抓住命题需要“作出判断”, 从而自然引出“判断需要条件”, “判断后定能得出一结论”, 让学生对“条件”、“结论”的认识水到渠成。最后, 通过层层递进的设问, 让学生在答疑的同时体会了寻找“条件、结论”的方法, 这样的师生互动紧张而又激情四射。

【合作探究三】真、假命题的概念 :

教师 :我们找到了条件和结论, 那么同学们考虑一下, 基于条件得到的结论是不是正确呢?

学生 :不一定。 (思考后交流、回答)

教师 :也就是说, 我们做出的判断可能是正确的, 也可能是错误的。你能结合这4个命题说一下吗?

注意 :引导学生分析错误的判断, 并用举反例的方法说明命题是错误的。同时结合命题 (2) 、 (4) 强调列举的反例要做到 :符合命题的条件, 但是得到的结论与命题不相同。

设计意图 :在巩固命题结构特征的基础上, 发现命题中的判断有正确的, 有错误的, 从而为下面的“真、假命题”做好铺垫。

教师 :据此可知, 一个命题有正确和不正确的之分。 (课件展示幻灯片14)

教师 :提出问题 :怎样判断命题的真假?

学生 :思考并讨论。

学生 :可以举一个反例来证明。 (动画展示)

教师 :我们总结的方法对不对呢? 下面就让我们来试一试。 (课件展示幻灯片15)

(学生思考后回答问题并说明理由。)

(教师在学生回答的同时动画展示答案, 同时强调可以通过举反例的方法说明一个命题是错误的是假命题。)

设计意图 :练习的设置使得学生学习知识的环节趋于完整, 掌握知识的同时, 强调对知识的灵活运用。

点评 :既然是人为判断, 就难免有错误, 自然引出命题的真与假, “真的”不言而喻, “假的”可以借助“举反例”来证明。

(3) 归纳总结、拓展升华。

教师 :学完了真假命题, 我们这节课的内容也就学完了, 请同学们思考一下本节课我们都学习了哪些内容, 快速地总结一下, 并与同学们分享你的收获。 (课件展示幻灯片16)

(学生总结学过的内容并交流、展示。)

(教师在学生展示后, 适当地总结并通过动画展示。1.定义 ;2.命题 ;3.真、假命题。)

教师 :我们除了掌握知识之外我们还要知道我们学习的作用和意义 :

定义让我们对事、物有相同的认识, 减少误解, 方便交流。因此, 下定义让我们的世界规范、和谐。

通过命题可以不断地由已知的条件推导、探究未知的结论。因此, 提命题让我们的社会发展、进步。

设计意图 :教师鼓励学生结合本节课的学习畅所欲言地谈论自己的感受和收获, 对知识形成较好的归纳, 使之系统化, 进一步培养学生总结归纳的能力与合作互助的意识。

点评 :归纳简洁明了, 与时俱进。

(4) 当堂检测, 评价反馈。

教师 :我们的学习有这么重要的作用, 那么就要求同学们准确地掌握所学的知识, 并且能灵活地运用, 你能不能做到呢? 我们来检测一下。 (课件依次展示幻灯片17~21)

1.请给下列图形命名, 并给出名称的定义 :

2.下列语句中, 哪些是命题, 哪些不是命题?

(1) 1+2≠3

(2) 三角形的三条高交于一点 ;

(3) 在ΔABC中, 若AB>AC, 则∠C>∠B吗?

(4) 两点之间线段最短。

3.下列命题中真命题的是 ( )

(A) 从“1、2、3、4、5、6”六个数中任选一个数, 是偶数的概率为0.4

(B) 若a与b互为相反数, 则a+b=0

(C) 绝对值等于它本身的数是正数

(D) 任何一个角都比它的补角小

4.下图表示某地的一个灌溉系统。如果C地水流被污染, 那么_________的水流也被污

根据上图, 你还能说出其他的命题吗?

设计意图 :针对本节课的重点, 有目的地设计习题, 以检测教学目标达成情况、纠正错误、熟练知识, 发现与弥补遗漏 ;同时可以让学生全面了解自己的学习过程, 感受自己的成长和进步, 同时促进学生对学习及时进行反思, 为教师全面了解学生的学习状况, 改进教学, 实施因材施教提供重要依据。

能力提升 :在数学运算中, 除了加、减、乘、除等运算外, 还可以定义新的运算。如定义一种“星”运算, “*”是它的运算符号, 其运算法则是 :a*b= (a+b) × (ab) 于是 :

5*3= (5+3) × (5-3) =16

3*5= (3+5) × (3-5) =16

5*3*3=16*3=247

按以上定义, 填空 :2*3=_ ;2*3*5=_ 。

2.对于同一平面内的三条直线a、b、c, 给出下列六个论断 :

(1) a∥b; (2) b∥c; (3) a⊥b;

(4) a∥c; (5) a⊥c ; (6) b⊥c.

以其中两个论断为条件, 一个论断为结论, 组成一个真命题 (至少写出3个) 。

设计意图 :在基础性检测练习的基础上设置这两个题目, 检验学生灵活应用知识的同时培养学生的应用意识和创新意识。挖掘学生的潜能, 让学生做到真正的学习, 而不是简单的模仿。

点评 :以典型习题检测本节课学生是否达标, 既巩固了新知, 又对学生作出了适时的评价, 满足不同层次的学生发展的需求, 问题中再现“问题”, 便于学生查缺补漏。

(5) 布置作业, 落实基础。

课本 :167页, 第2题, 第3题。

(6) 板书设计 :

7. 教学设计说明。

本节课通过情境引入、问题驱动的方法组织教学, 不断地通过问题引导学生的思维活动, 同时突出学生的“探索”, 将观察、思考等活动贯穿于教学活动的始终, 在教学过程中立足让学生自己去探索、分析归纳、合作交流。同时本节课借助多媒体演示, 加强了教学的直观性, 丰富学生的想象力, 提高了学生主动参与的意识。

二、教后反思

本节课通过生活中的“笑话”作为切入点引入定义, 并强调定义要准确这一原则, 然后不断地在学生已有的知识经验的基础上, 通过问题作为引导, 启发学生的思维, 让学生通过不断地解决问题的过程探索新的知识, 从而促进学生不断的获得新的发展。

在教学的过程中利用小组内的交流展示活动, 充分调动学生的积极性和主动性, 增强了学生参与数学活动的意识, 又培养了学生观察、分析问题并进行总结归纳的能力。

三、课例点评

本节课的设计充分考虑本阶段学生数学学习的特点, 利用实际问题作为切入点, 不断地在学生已有的知识经验的基础上进行分析、探究, 符合学生的认知规律和心理特征, 有利于激发学生的学习兴趣, 引导学生的数学思考, 同时, 利用实际问题的解决体现学习数学的根本目的:服务生活。

总评 :本节课以学生的认知水平和已有的生活经验为基础, 以学生感兴趣的“小品”为突破口, 激发了学生的好奇心, 接着巧设“聪明”一词, 让“定义”必须“准确、清晰”引起大家共鸣。整节课通过质疑、解疑过程, 最大限度地给予学生自主探索的时间和空间, 通过生生合作、师生合作, 充分调动其积极性, 凡是学生能自己探索得出的, 决不替代, 凡是学生能独立思考的, 决不暗示。鼓励学生大胆阐述自己的观点, 努力创设一个民主、平等、和谐的课堂氛围。

摘要：以生活中的现象作为切入点, 引导学生通过对问题情境的思考和分析引入“定义”, 同时感受学习“定义”的必要性, 然后不断地以问题作为驱动, 在已有的知识经验的基础上, 引导学生逐渐地深入思考问题, 进而体会命题的特征并能准确分析真假命题。让学生在探究的过程中学会分析、推理并在总结的基础上形成自己的知识体系, 进而创新、运用。

关键词：定义,命题,结构特征,真假命题,自主探究,应用,创新

参考文献

[1]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准 (2011年版) [S].北京:北京师范大学出版社, 2012.

[2]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.义务教育数学课程标准 (2011年版) 解读[S].北京:北京师范大学出版社, 2012.

构成数学命题八个条件的浅析 篇3

一、充分条件

已知命题“若有条件A，则有结论B。”，如果“由AB。”为真命题，那么称已知命题的条件A是结论B成立的充分条件。

要证明已知命题的条件A是结论B成立的充分条件，只要进行由AB的论证即可。

例：已知命题“若两个角是同位角，则这两个角相等。”，求证该命题的条件是结论成立的充分条件。

证明：∵由“同位的两个角”这一条件，可以推出（）“这两个角相等”的结论，∴已知命题的条件是结论成立的充分条件。

必须注意的是，充分条件不是唯一的。

二、非充分条件

已知命题“若有条件A，则有结论B”。如果由条件A推不出结论B（由AB，说明原命题是假命题）成立，则称已知命题的条件A是结论B成立的非充分条件（即条件A不是结论B成立的充分条件）。

例：已知命题“若两个加数都是偶数，则它们的和是奇数。”，求证该命题的条件是结论成立的非充分条件。

证明：∵由条件“两个加数都是偶数”推不出（）结论“它们的和是奇数”成立，∴原命题的条件是结论成立的非充分条件。

三、必要条件

由于一个命题与它的逆否命题同真同假，因此构成命题的必要条件定义通常采取以下两种形式：

定义1。已知命题“若有条件A，则有结论B。”，如果“没有条件A，就推不出结论B（A无B）成立”为真命题，那么称已知命题的条件A是结论B成立的必要条件。

因为命题“没有条件A，就推不出结论B（无AB）成立”与命题“由结论B条件A”同真同假，所以对“必要条件”还可以进行如下定义。

定义2。已知命题“若有条件A，则有结论B。”，如果“由结论B条件A（即结论B是条件A成立的充分条件）”，那么称已知命题的条件A是结论B成立的必要条件。

根据上述两种定义，判断已知命题的条件A是结论B成立的必要条件，可采取如下两种办法：

（一）根据必要条件定义1，只要断定没有条件A就没有结论B即可。

（二）根据必要条件定义2，由结论B 条件A，论证结论B是条件A成立的充分条件。由于用这种办法证明简便易行，所以常被人们所采用。具体说来，要证明“条件A是结论B成立的必要条件”只要证明“结论B是条件A成立的充分条件”即可。同理可知，要证明条件A是结论B成立的充分条件，只要证明结论B是条件A成立的必要条件就行了。

例：已知命题“若两个三角形的三条边对应相等，则这两个三角形全等。”求证该命题的条件是结论成立的必要条件。

证明1：∵没有“两个三角形的三条边对应相等”这一条件，就推不出（）“两个三角形全等”成立的结论。∴该命题的条件是结论成立的必要条件。

证明2：∵由“两个三角形全等”推出（）“三边对应相等”，即已知命题的结论是条件的充分条件，∴已知命题的条件是结论成立的必要条件。

四、非必要条件

已知命题“若有条件A，则有结论B。”，如果“没有条件A，也可能推出结论B”是真命题（等价于真命题“由结论B条件A”），则称已知命题的条件A是结论B成立的非必要条件（即条件A不是结论B成立的必要条件）。

例：已知命题“若两个加数都是奇数，则它们的和是偶数。”，求证该命题的条件是结论成立的非必要条件。

证明1：∵没有该命题的条件“两个加数都是奇数”，也可能推出（）“它们的和是偶数”成立的结论，例如两个偶数的和便是偶数，∴已知命题的条件是结论成立的非必要条件。

证明2：∵由该命题的结论“两个数的和是偶数” 推不出（）条件“这两个加数都是奇数”是真命题（和是偶数的两个数可能是偶数），∴已知命题的条件是结论成立的非必要条件。

五、充分非必要条件

已知命题“若有条件A，则有结论B。”，如果“由AB”是真命题（充分性），且“无A可能 B。”也是真命题（非必要性），那么称已知命题的条件A是结论B成立的充分非必要条件。

定义中的“由AB”是说，条件A是B成立的充分条件。“无A可能B”是说，条件A是结论B成立的非必要条件。

一般而言，要判断条件A是结论B成立的充分非必要条件，依据充分不必要条件的定义，从两个方面着手即可。

例：已知命题“若两个角是对顶角，则这两个角相等。”，求证该命题的条件是结论成立的充分非必要条件。

证明：∵由“两个角是对顶角”能推出（）“这两个角相等”，∴充分性成立；又∵由“没有两个角是对顶角”，即由“非对顶角的两个角（如等腰三角形的两个底角）”也可能推出（）“这两个角相等”，∴非必要性成立。综上所述，已知命题的条件是结论成立的充分非必要条件。

六、必要非充分条件

已知命题“若有条件A，则有结论B。”，如果“没有条件A，就没有结论B（无AB）。”是真命题（必要性成立），且“由条件A推不出结论B （由AB）。”也是真命题（非充分性成立，说明原命题是假命题），那么称已知命题的条件A是结论B成立的必要非充分条件。

定义中的“没有条件A，就没有结论B”是说，A是B成立的必要条件。“由A推不出B”是说A是B成立的非充分条件。

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根据定义，判断条件A是结论B成立的必要非充分条件要从两方面着手：一是判断条件A是结论B成立的必要条件；二是判断条件A是结论B成立的非充分条件。

例：已知命题“一组对边平行的四边形是平行四边形。”，求证该命题的条件是结论成立的必要非充分条件。

证明：∵没有该命题的条件“一组对边平行的四边形”，就推不出（）“该四边形是平行四边形”成立的结论，∴必要性成立。又∵由“一组对边平行的四边形”这一条件推不出（）“该四边形是平行四边形（如梯形）”成立的结论，∴非充分性成立。综上所述，已知命题的条件是结论成立的必要非充分条件。

七、充分必要条件

已知命题“若有条件A，则有结论B。”，如果“由AB。”是真命题；且“由BA。”也是真命题，那么称已知命题的条件A是结论B成立的充分必要条件。

定义中的“由AB”是说，条件A是结论B成立的充分条件；“由BA”是说，结论B是条件A成立的充分条件，亦即条件A是结论B成立的必要条件。

由充分必要条件的定义不难看出：对于一个真命题而言，如果一个命题的条件A是结论B成立的充分必要条件，那么这个命题的结论B也是条件A成立的充分必要条件。也就是说条件A 与结论B互

为充要条件，可记为“AB”。

例：已知命题“如果（b≠0，d≠0），那么ad=bc。”求证“（b≠0，d≠0）”是“ad=bc”的充分必要条件。

证明：∵由（b≠0，d≠0）能推出（）ad=bc，∴充分性成立；又∵由ad=bc （b≠0，d≠0） 能推出（），∴必要性成立。因此，“（b≠0，d≠0）”是“ad=bc”的充分必要条件。

如果一个定理的条件是结论成立的充分必要条件的话，那么它可以作为下定义的性质给与该定理的结论相同的概念下定义。

例如：由于“一个三角形的三条边相等”和“一个三角形的三个角相等”都是“这个三角形是等边三角形”的充分必要条件，因此等边三角形的定义方法有两种：一是“三条边相等的三角形是等边三角形”，二是“三个角相等的三角形是等边三角形”。由此可知，一个概念可以有不同的定义，但它们都是等价的。

八、非充分必要条件（简称为非充要条件）

已知命题“若有条件A，则有结论B。”，如果“由条件A推不出结论B（由AB）。”是真命题（非充分性，说明已知命题是假命题），且“无条件A，可能推出结论B（无A可能B）。”也是真命题（非必要性），那么称原命题的条件A是结论B成立的非充分必要条件。

定义中的“由条件A推不出结论B”是说，条件A是结论B成立的非充分条件；“无A可能”是说，条件A是结论B成立的非必要条件。

例1：已知命题“对角线互相垂直平分的四边形是矩形。”，求证该命题的条件是结论成立的非充分必要条件。

证明：∵由条件 “对角线互相垂直平分的四边形”推不出（）结论“矩形”成立，如菱形不是矩形，∴条件是结论成立的非充分条件（非充分性成立）。又∵由没有条件“对角线互相垂直平分的四边形”也可能推出（）该四边形是 “矩形”的结论，∴条件是结论成立的非必要条件（非必要性成立）。因此，已知命题的条件是结论成立的非充分必要条件。

值得注重的是，以数学命题条件的名称中是否含有“非充分”三字划分，数学命题的八个条件可以分成两类：含有“非充分”三字的一类中包括非充分条件、必要非充分条件和非充分必要条件，它们各自的命题都是假命题；不含有“非充分”三字的另一类中包括充分条件、必要条件、非必要条件、充分非必要条件和充分必要条件，它们各自的命题都是真命题。

八年级数学命题的证明 篇4

1、指出下列命题的题设和结论:

(1)如果两个数互为相反数,这两个数的商为-1;

(2)两直线平行,同旁内角互补;

(3)同旁内角互补,两直线平行;

(4)等式两边乘同一个数,结果仍是等式;

(5)绝对值相等的两个数相等.(6)如果AB⊥CD，垂足是O，那么∠AOC＝90°

2、把下列命题改写成“如果……那么……”的形式:

（1）互补的两个角不可能都是锐角：。

（2）垂直于同一条直线的两条直线平行：。

（3）对顶角相等：。

3、判断下列命题是否正确:

(1)同位角相等

(2)如果两个角是邻补角,这两个角互补;

(3)如果两个角互补,这两个角是邻补角.五、自我检测：

1、判断下列语句是不是命题

（1）延长线段AB（）

（2）两条直线相交，只有一交点（）

（3）画线段AB的中点（）

（4）若|x|=2，则x=2（）

（5）角平分线是一条射线（）

2、选择题

（1）下列语句不是命题的是（）

A、两点之间，线段最短B、不平行的两条直线有一个交点

C、x与y的和等于0吗？D、对顶角不相等。

（2）下列命题中真命题是（）

A、两个锐角之和为钝角B、两个锐角之和为锐角

C、钝角大于它的补角D、锐角小于它的余角

（3）命题：①对顶角相等；②垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等。其中假命题有（）

A、1个B、2个C、3个D、4个

3、分别指出下列各命题的题设和结论。

（1）如果a∥b，b∥c，那么a∥c

（2）同旁内角互补，两直线平行。

4、分别把下列命题写成“如果……，那么……”的形式。

（1）两点确定一条直线；

（2）等角的补角相等；

八年级数学下册三角形证明知识点 篇5

1.性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.2.判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）．

3.推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（即“三线合一”）． 4.等边三角形的性质及判定定理

性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：(1)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；

(2)三个角都相等的三角形是等边三角形.第二节.直角三角形 1.勾股定理及其逆定理

定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．

逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 2.含30°的直角三角形的边的性质

定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对应的直角边等于斜边的一半.3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

要点诠释：勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”．

4.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。第三节.线段的垂直平分线

1.线段垂直平分线的性质及判定

性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.三角形三边的垂直平分线的性质

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.该点就是三角形的外心。以此外心为圆心，可以将三角形的三个顶点组成一个圆。3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线：

分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN就是线段AB的垂直平分线。第四节.角平分线

1.角平分线的性质及判定定理

性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；

判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.2.三角形三条角平分线的性质定理

性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.这个点叫内心 通用篇

1.真命题与假命题

真命题：真命题就是正确的命题，即如果命题的条件成立，那么结论一定成立。假命题：条件和结果相矛盾的命题是假命题，命题与逆命题

命题包括已知和结论两部分；逆命题是将原命题的已知和结论交换；

在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题。其中一个命题称为另一个命题的逆命题。一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。这两个定理称为互逆定理。

2、证明命题的一般步骤:(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);(2)根据题意,画出图形;(3)结合图形,用数学语言写出“已知”和“求证”;

八年级数学命题的证明 篇6

(时间：60分钟，满分：100分)

一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分)

1．下列语句中，是命题的为()．

A．延长线段AB到CB．垂线段最短

C．过点O作直线a∥bD．锐角都相等吗

2．下列命题中是真命题的为()．

A．两锐角之和为钝角B．两锐角之和为锐角

C．钝角大于它的补角D．锐角大于它的余角

3．“两条直线相交，有且只有一个交点”的题设是()．

A．两条直线B．交点

C．两条直线相交D．只有一个交点

4．如果∠A和∠B的两边分别平行，那么∠A和∠B的关系是()．

A．相等B．互余或互补

C．互补D．相等或互补

5．若三角形的一个外角等于与它不相邻的一个内角的4倍，等于与它相邻的内角的2倍，则三角形各角的度数为()．

A．45°，45°，90°B．30°，60°，90°

C．25°，25°，130°D．36°，72°，72°

6．如图所示，AB⊥EF，CD⊥EF，∠1＝∠F＝30°，则与∠FCD相等的角有()．

A．1个B．2个D．4个

7．下列四个命题中，真命题有()．

(1)两条直线被第三条直线所截，内错角相等．

(2)如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2.(3)一个角的余角一定小于这个角的补角．

(4)如果∠1和∠3互余，∠2与∠3的余角互补，那么∠1和∠2互补．

A．1个B．2个C．3个D．4个

8．如图所示，∠B＝∠C，则∠ADC与∠AEB的大小关系是()．

C．3个

A．∠ADC＞∠AEBB．∠ADC＝∠AEB

C．∠ADC＜∠AEBD．大小关系不能确定

9．如图所示，AD平分∠CAE，∠B＝30°，∠CAD＝65°，则∠ACD＝()．

A．50°B．65°C．80°D．95°

10．如图所示，已知AB∥CD，AD和BC相交于点O，若∠A＝42°，∠C＝58°，则∠AOB的度数为()．

A．45°B．60°C．80°D．90°

二、填空题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)11．如图所示，∠1＝∠2，∠3＝80°，那么∠4＝

__________.12．如图所示，∠ABC＝36°40′，DE∥BC，DF⊥AB于点F，则∠D＝

__________.13．如图所示，AB∥CD，∠1＝115°，∠3＝140°，则∠2＝

__________.14．如果一个三角形三个内角的比是1∶2∶3，那么这个三角形是__________三角形． 15．一个三角形的三个外角的度数比为2∶3∶4，则与此对应的三个内角的比为__________．

16.如图所示，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠A＝65°，则∠BFC＝

__________.17．“同角的余角相等”的题设是__________，结论是__________． 18．如图所示，AB∥EF∥CD，且∠B＝∠1，∠D＝∠2，则∠BED的度数为__________．

19．如果一个等腰三角形底边上的高等于底边的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于__________．

20．过△ABC的顶点C作AB的垂线，如果该垂线将∠ACB分为40°和20°的两个角，那么∠A，∠B中较大的角的度数是__________．

三、解答题(本大题共5小题，共30分)

21．(5分)如图所示，已知∠1＝∠2，AE∥BC，求证：△ABC是等腰三角形．

22．(5分)如图所示，已知直线BF∥DE，∠1＝∠2，求证：GF∥BC

.23．(6分)如图所示，已知直线AB∥CD，FH平分∠EFD，FG⊥FH，∠AEF＝62°，求∠GFC的度数．

24．(6分)如图所示，已知直线AB∥CD，∠AEP＝∠CFQ，求证：∠EPM＝∠FQM

.25．(8分)在△ABC中，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，且∠ABC＝60°，∠BEC＝75°，求∠DAC的度数．

参考答案

1答案：B 点拨：表判断的语句为命题． 2答案：C 3答案：C

4答案：D 点拨：角的两边分别平行，这两角相等或互补． 5答案：B 点拨：设与它相邻的内角为x°，则这个外角为2x°，于是x＋2x＝180°，从而得x＝60.因为2×60°＝120°，120°÷4＝30°，180°－60°－30°＝90°，所以该三角形的三内角分别为30°，60°，90°.6答案：B

7答案：C 点拨：(1)错误，没有指出两直线平行．

8答案：B 点拨：利用外角等于与它不相邻两内角之和易得． 9答案：C 点拨：∵AD平分∠CAE，∴∠EAD＝∠CAD＝65° ∴∠EAC＝130°.∴∠BAC＝50°.∴∠ACD＝∠BAC＋∠B＝80°.10答案：C 点拨：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C＝58°.∴∠AOB＝180°－42°－58°＝80°.11答案：80° 点拨：∵∠1＝∠2，∴直线l1∥l2.∴∠4＝∠3＝80°.12答案：53°20′ 点拨：∠D＝90°－∠DAF＝90°－∠B＝90°－36°40′＝53°20′.13答案：75° 点拨：因为∠AEC＝360°－∠1－∠3＝360°－115°－140°＝105°，所以∠2＝75°.14答案：直角 点拨：最大内角为180°×

＝90°.6

23＝80°，360°×＝120°，99

15答案：5∶3∶1 点拨：三个外角的度数分别为360°×360°×

＝160°，故三个内角分别为100°，60°，20°，其比为5∶3∶1.9

16答案：122.5°

17答案：两个角是同一个角的余角 这两个角相等 18答案：90° 点拨：由题意知∠1＋∠2＝

180A180C1

＋＝180°－(∠A＋∠222

C)，又∠A＋∠C＝180°，∴∠1＋∠2＝90°.∴∠BED＝180°－90°＝90°

19答案：90° 20答案：70°

21证明：∵AE∥BC，(已知)

∴∠2＝∠C，(两直线平行，内错角相等)∠1＝∠B.(两直线平行，同位角相等)∵∠1＝∠2，(已知)∴∠B＝∠C.(等量代换)

∴AB＝AC，△ABC是等腰三角形．(等角对等边)22证明：∵BF∥DE，(已知)

∴∠2＝∠FBC.(两直线平行，同位角相等)∵∠2＝∠1，(已知)

∴∠FBC＝∠1.(等量代换)

∴GF∥BC.(内错角相等，两直线平行)

23解：∵AB∥CD，∴∠AEF＝∠EFD＝62°，∠CFE＝180°－∠AEF＝118°.又FH平分∠EFD，∴∠EFH＝31°.又GF⊥FH，∴∠EFG＝90°－31°＝59°.∴∠GFC＝∠CFE－∠EFG＝59°.24证明：∵AB∥CD，(已知)

∴∠AEF＝∠CFM.(两直线平行，同位角相等)又∵∠PEA＝∠QFC，(已知)

∴∠AEF＋∠PEA＝∠CFM＋∠QFC，(等式性质)即∠PEF＝∠QFM.∴PE∥QF.(同位角相等，两直线平行)

八年级数学命题的证明 篇7

这个单元的学习可以分为三个模块，包括定义与命题，证明，反例与证明.

一、定义与证明

在定义与命题这一块中，主要是学习了一些概念，包括定义的含义，命题的含义，了解命题的结构，理解真命题、假命题、公理和定义的概念.在学习这些概念的过程中，判断一个命题的真假是这一块学习中的重点.通过对真假命题的判断，培养学生树立科学严谨的学习方法.

正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题.在判断命题的真假的时候不能凭感觉，而是要找到真切的依据才能进行判断.如，一个图形经过旋转变化，像和原图形全等.要判断这个命题是真命题还是假命题，首先我们要把这个命题转换成条件和结论的形式，“如果图形B是由图形A经过旋转得到的，那么这两个图形全等”.然后再对这个结论进行证明.我们知道，图形的旋转只会改变图形的位置，而不会改变图形的形状及大小，全等只看两个图象的对应边和对应角是否相等，而不受位置的影响.因此，这个命题是正确的.

在这里，一个看似简单的真假命题的判断也体现着数学的思维方法.首先我们是把一个定义转化成了数学问题，就是转化成了一个由已知条件和结论组成的命题，然后才判断这个命题的真假.这充分体现了数学知识解决问题的一般程序和方法.也体现了数学对培养学生的理性思维和逻辑能力方面的要求.

二、证明

在第二个模块中，主要是学习了证明的含义，体验、理解证明的必要性，了解证明的表达格式，会按规定格式证明简单命题，探索并理解三角形内角和定理的几何证明，让学生体验从实验几何向推理几何的过渡，归纳和掌握证明的两种思考方法，包括正向和逆向的思维方法.特别是逆向的思维方式，这部分内容的一个难点.

证明的含义，教师借助多媒体设备向学生演示课内节前图:比较线段AB和线段CD的长度.通过简单的观察，并尝试用数学的方法加以验证，体会验证的必要性和重要性.在新课的学习中，可以参考教科书中的一组直线a、b、c、d、是否不平行 (互相相交) ，让学生先观察、再猜想结论，最后动手验证.在学生的活动结束后，教师引入证明，并通过一个例子来让学生体会证明的初步格式.教师再小结归纳出证明的含义.证明的含义所体现出来的也正用数学解决问题的方式.数学问题的解决离不开各种理论依据，就像教科书上所给出的图形一样，视觉会造成误差，看到的不一定就是真切实在的，而用数学的方法证明出来的结论肯定是可信的.学习这些知识，可以改变一些看问题只看表面的不良习惯和处事风格，对一个人的全面发展也是非常有意义的.

对于证明的含义和表述的格式，在数学当中也有严格的规定.如证明命题“如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且方向相同，那么这两个角相等”是真命题.首先要根据题设画出图形，用几何语言描述题中的已知条件、以及要证明的结论 (求证) .证明过程的具体表述 (略) .这一块的内容学习中注重几何命题的表述格式: (1) 按题意画出图形; (2) 分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论; (3) 在“证明”中写出推理过程.

这个证明的格式和过程的学习要求学生即使有了正确的推理和结论，也要用正确的书写格式把证明过程写出来.过程的书写反映出来的是一个解决问题的过程，正确的数学有助于帮助学生理清思路，用有条理的内容来表述解决问题的整个过程.

在分析和思考问题的过程中，逆向思维数学学习中是一种比较特别的且重要的思维方法.用逆向思维去分析和解决问题有时候比正向思维更方便快捷.但这种思维的方法与正常的思维习惯不一样，学生可能不太容易接受.因此，在学习这部分内容的时候，教师用一些比较典型的例子来讲解和说明，这样才能让学生更好地理解和接受.学生在学习和接受这种数学思维的时候，对生活中的很多观念也可能有不同的理解和感受.逆向思维是为学习反证法打基础，逆向思维同时也体现了解决问题的方法不是唯一的.只要逻辑正确，依据合理，同样可以从不同的角度，用不同的方法来解决问题.数学学习中常见的一题多解就是这样的一种发散思维的体现.因此，学习数学是培养学生发散思维的有效途径.

三、反例与证明

这一块学习的主要是反例的意义和作用，并掌握在简单情况下利用反例证明一个命题是错误的.我们对真命题的证明，掌握了一定的方法和技能，那么如何来说明一个命题是假命题呢?如果要证明或判断一个命题是假命题，那么我们只要举出一个符合题设而不符合结论的例子就可以了.

如，判断以下列命题的真假: (1) 素数是奇数. (2) 黄皮肤、黑头发的人是中国人. (3) 在不同顶点上有两个外角是钝角的三角形是锐角三角形.要证明这几个命题也并不是很困难，但如果可以从另一方面来思考，用“反例”的方法来证明，那将会比用正常的方法证明容易很多.如果要证明或判断一个命题是假命题，那么我们只要举出一个符合题设而不符合结论的例子就可以了.这称为举“反例”，这体现了事物的两面性和用辩证的观点来看问题.

如，判断命题“两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等”的真假，并给出证明.分析:这是一个假命题，要证明它是一个假命题，关键是看如何构造反例.本题可以从以下两方面考虑，图1三角形ABC中，AB=AC，在底边BC延长线上取点D，连DA，这样在△ADB和△ADC中，AD=AD，∠D=∠D, AB=AC，显然观察图形可知△ADB与△ADC不全等，或者，在BC上任取一点E (E不是中点) ，则在△ABE和△ACE中，AB=AC，∠B=∠C, AE=AE，显然它们不全等.能举反例说明一个命题是假命题，反例不在于多，只要能找到一个说明即可.

反例与证明的学习可以让学生学会从对立的角度去思考问题.这同时也体现了数学思维的发散性和多维性，不同的角度看问题，解决问题的方法可以是不一样的，但无论用什么样的方法，体现的数学思维是一样的，就是用多角度发散的思维去思考问题，再用严密的逻辑去分析和证明.

总之，学习命题与证明这个单元的内容，很好地体现了数学在解决问题方面的独特思维和方法.教师在教学的过程汇总，除了要让学生掌握书本上的知识点外，还要注重发展学生的数学思维和加强学生用数学的知识和思维来解决问题的能力.这不仅是新课标对教学的要求，还是素质教育对人才的要求.

参考文献

[1]游仕伟, 新课程理念下初中数学思维能力的培养, 课程教育研究, 2012:17.

[2]付少平, 初中数学教学中对学生思维能力培养的研究, 现代教育科学中学教师, 2012.11.

[3]王旭, 浅谈初中数学创新思维的教学策略, 科技视界, 2012:26.