椭圆及其标准方程教案

椭圆及其标准方程教案（精选11篇）

椭圆及其标准方程教案 篇1

教学目标:

(一)知识目标：掌握椭圆的定义及其标准方程，能正确推导椭圆的标准方程，会由标准方程求出椭圆的交点和焦距；

(二)能力目标：通过对椭圆概念的引入和标准方程的推导，培养学生分析、探索的能力，增强学生运用代数法解决几何问题的能力；

(三)情感目标：激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索,敢于创新的精神。

教学重点:椭圆的定义和椭圆的标准方程的推导。教学难点:椭圆标准方程的推导。

教学方法:探究式教学法（教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时,能够掌握方法、提升能力。）

教具准备:自制教具(圆柱体、细绳)。

教学过程:(一)启发诱导，推陈出新

1、复习旧知识：拉直一根细线，一端固定，作一个圆，由此回忆圆的定义（到一点的距离等于定长的点的轨迹），圆的标准方程；

2、提出新问题：到两点的距离等于定长的点是什么轨迹呢？ 尝试作图；

3、创设情境，引出课题：“椭圆及其标准方程”。(二)小组合作，形成概念

下面请同学们思考下面的问题：

1、在作图时,视笔尖为动点，线的两个固定的端点为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件？其轨迹如何？

2、改变两端点之间的距离,使其与绳长相等,画出的图形还是椭圆吗？

3、当绳长小于两图钉之间的距离时,还能画出图形吗？

学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的探究过程，得出这样三个结论：椭圆、线段、不存在。

归纳出椭圆的定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于定长(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

(三)椭圆标准方程的推导

1、建立适当坐标系（让学生根据自己的经验来确定）

原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；主要应使曲线对于坐标轴具有较多的对称性。

2、标准方程推导过程如下：

①建立直角坐标系：以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建

立如图所示的坐标系；

②确定点的坐标：设F1F22c，则F1c，0，F2c，0，设Px，y是椭圆上的任意一点；

③设定长为2a，由条件PF1PF22a得

xc2y2xc2y22a；

x2y2④化简：得到椭圆方程为221。

ab（通过学生自己动手推导方程是学生构建知识的一个过程。）

3、归纳方程特点，巩固上述知识。

4、延伸：①焦点在y轴上：F10，c，F20，c

y2x2②方程：221

ab③a，b，c的关系：b2a2c2，ab0，ac0

(四)例题讲解

例1：平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点距离的和是10的动点的轨迹方程。

解：这个轨迹是椭圆，两个定点是焦点，用F1、F2表示。

取过点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴。2a10，2c8

a5，c4，b2a2c252429，即b3

x2y2x2y2这个椭圆的标准方程是221，即1

25953（例1是巩固椭圆的定义及标准方程）

x2y2x2y21与椭圆c2:1的焦点。

例2：分别求椭圆c1:433解：43

椭圆c1的焦点在x轴上，椭圆c2的焦点在y 轴上

a24，b23，ca2b21

1，椭圆c1的两个焦点分别是0和1，0 0，是1和0，1。

椭圆c2的两个焦点分别（例2会由椭圆的标准方程求出椭圆的焦点坐标和焦距）

(五)课堂练习

课本P61 A 1(2)(3)2(3)(4)(五)课堂小结

1、椭圆定义

2、焦点分别在x轴和y轴上的椭圆的标准方程（结合图形，表述焦点坐标，焦距，系数的关系等）

3、考虑一下将椭圆平移到坐标轴任意位置时的坐标，留给同学们课后思考

椭圆及其标准方程教案 篇2

1．椭圆及其标准方程的教材地位及学习价值

圆锥曲线是平面解析几何的重要组成部分，在高中数学选修2-1中，圆锥曲线被安排在第二章中，以“圆锥曲线与方程”的标题出现，其包含曲线与方程、椭圆、双曲线、抛物线四部分内容．“椭圆及其标准方程”具有承前启后的重要作用:首先，“椭圆及其标准方程”中标准方程的推导需借助“曲线与方程”中的知识，是对上一节知识的有效巩固;其次，椭圆位于三种曲线之首，对这三种曲线而言，研究的问题基本一致、研究方法相似，若能够掌握好研究椭圆的基本方法，学习其余两种曲线时就会得心应手．故掌握好椭圆及其标准方程对学生学习具有极大的促进作用．

2．椭圆及其标准方程的教学状况及学生的掌握情况

椭圆及其标准方程如此重要，对于学生的学习及教师的教学均是一种挑战．因而，迫切需要科学合理的教学设计，将知识有效地教授给学生，使其养成良好的数学品质．

圆锥曲线在高考中所占分值较大，这给教师、学生带来了较大的压力．在时间紧任务重的情况下，多数的教师没能很好的利用教材及辅导资料，不进行增减直接照搬资料，常常忽视学生的主体地位，没能充分调动学生积极性，缺少探究学习知识的过程．

例如:教授椭圆及其标准方程时，多数教师按照教材编排，在一个课时内对其进行讲解，导致课堂内容过多，讲解时间增加，学生只能被强迫着将知识装入脑子中，靠死记硬背掌握知识，造成概念理解不到位，进而难以处理相应的问题．因此，本文教学设计中将其分两个课时进行教授．

二、设计依据

1．新课程下的教学要求

通过研读《普通高中数学课程标准(实验)》针对圆锥曲线教学内容的要求后，归纳出以下几点关于椭圆及其标准方程的教学要求:

(1)借助丰富的实例，让学生从探究中抽象出椭圆的定义，并体会其在现实中的实际应用;

(2)椭圆标准方程的推导中，首先从典型的几何特征入手，选取合适的坐标系，其次利用轨迹问题的本质(抓住不变量)，创建适当的方程．

(3)明确用代数研究几何的方法，渗透数形结合的思想．

2．教学方法

对于椭圆的标准方程来说，它没有明确的教学类型分类，可以说是椭圆定义的一种应用，也可以说是一种命题，还可以说是一种求解标准方程的数学题，没有较为明确的教学设计依据，但可以汲取著名教育家曹一鸣编写的《数学教学论》一书中的经典教学方法，完成教学设计．

三、教学设计

1．椭圆定义的教学设计

(1)情景引入

用一个不垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，当截面与圆锥的轴夹角不同时，可得到不同的截口曲线，分别是圆、椭圆、抛物线、双曲线通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线(多媒体展示图片便于直观理解)．

为什么截口曲线会出现不同情形?学习圆锥曲线定义之后依次进行解答(设置问题，激发学生的好奇心)．

设计意图:采用总分的教学手段:先提出圆锥曲线再引入椭圆，便于学生总体感知，且由熟悉场景引人新课，易于接受，引起兴趣，激发求知欲．

(2)新课教授

之前就已接触过圆，现研究第二种圆锥曲线———椭圆．

生活中处处可发现椭圆的影子:圆柱形水杯倾斜时水面的边界，阳光下圆球的影子，地球绕太阳运行时的轨道等(展示图片，数学来源于生活)．

问题1:观察以上曲线，它们和圆有那些相识之处———似乎圆被“压扁”后就得到了椭圆．

问题2:那么可否借助圆从“到定点距离等于定长”的角度来定义椭圆?

设计意图:将椭圆与圆作类比，借助定点、定长得出椭圆定义顺理成章，培养学生敏锐的观察及类比能力．

师生活动:取一段长为2a的细绳，将两端点分别固定在图板同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆，如果把细绳的两端拉开一段距离，画出的轨迹又是什么———椭圆．

设计意图:以圆为基础，学生在教师的带领下，通过自己观察、猜想、动手检验得到椭圆的定义，由教师灌输式转变为学生自主探究式，加深对椭圆定义的理解，极大的提高了课堂学习效率．

问题1:画出椭圆的过程中哪些量不发生变化(即椭圆上的点有何特征)———在笔尖移动过程中，细绳的长度不变，即笔尖到两定点的距离和为常数(设计问题，让学生从动中找静，培养其对事物的敏感度)．

得出椭圆定义:平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．记为2c(给出椭圆准确定义，将文字语言转化成为符号语言)．

若设M为椭圆上的任意一点，则|MF1|+|MF2|=2a.

问题2:将学生分成小组再次作图并讨论:如果细绳的长度小于或等于两定点的距离，作出的图形又怎么样

通过实践得到当且仅当2a>2c时才可作出椭圆．

设计意图:改变以往教师直接告知学生:2a>2c为椭圆定义中的关键，使学生分组操作，对比讨论，自我总结得出结论(加深对概念的理解，避免遗漏定义中的注意事项，注重数学的严谨性)．

(3)概念巩固

现在解决课堂开始的问题:用一个与圆锥轴线夹角为锐角的平面去截圆锥，得到的截线是椭圆．

用教具模拟平面去截圆锥(使用教具直观展示便于理解，可激发学生的动手能力)在圆锥内放大小不同的两个球，使其分别相切于圆锥的侧面、截面，切点为E,F，现在截口曲线上任取一点A，过点A做圆锥的母线，使其分别与两个球相切于B,C，那么，据椭圆定义，只需求证A与E,F的距离之和为常数即可，为此，需回忆球的切线长定理:过球外一点做球的两条切线，切线长相等．

由图1，不难发现AE与AC为小球的两条切线，AF,AB为大球的两条切线，因而AE=AC,AF=AB，于是AE+AF=AB+AC=BC.

这样，就得到截口曲线上任意一点A到两定点E,F的距离之和为常数，即满足椭圆定义，故截线为椭圆．

设计意图:学习椭圆的概念之后，解决教师们常常忽视的截线是椭圆的问题，既要让学生知其然又要知其所以然(培养学生善于发现问题，并且利用已学知识解决问题的能力)

2．椭圆标准方程的教学设计

(1)复习引入

回顾求轨迹方程的一般步骤:建系设点→抓住不变量→创建方程→化简

例如求圆方程的步骤，即:求到定点的距离等于常数的点的集合

设计意图:知识具有连贯性，课前及时回顾，有助于提前进入课堂;

以圆为例，有两处妙用:(1)用具体的例子帮助识储备不足的学生，回顾求动点轨迹的方法;(2)圆作为圆锥曲线的一种，与椭圆联系紧密，可以类比圆的对称性，利用椭圆的对称性，建立坐标，避免了无规则地乱建系．

(2)新课教授

类比圆的方程求法，可否求出椭圆的标准方程(明确要解决的问题、可利用的知识，培养学生严密的解题思维)

椭圆定义:平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆(着重强调2a>|F1F2|不可或缺)．

类比圆，据椭圆的对称性，可能出现两种建系方法:

(1)以经过椭圆焦点F1,F2的直线为x轴，以线段F1,F2的垂直平分线为y轴．

(2)x轴、y轴互换，即以经过椭圆焦点F1,F2的直线为轴，以线段F1,F2的垂直平分线为x轴．

自主探究:将学生分成两组就两种不同的坐标系，求出对应的椭圆标准方程．

利用多媒体给出第一种建立坐标系的详细过程(方便学生自行校对)．

设M(x,y)是椭圆上任意一点，焦距2c(c>0)，则焦点F1,F2的坐标分别是(-c,0),(c,0)，由定义，得M与F1,F2的距离之和为2a，即|MF1|+|MF2|=2a.

化简此方程(教师提点化简过程中的两次平方和方程两边同除以某个式子，最终化解为分式，利用函数的思想求解曲线方程，深化几何与函数的联系)．

将左边的一个根式移到右侧，得

两边平方，得

两边再平方，得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).

方程两边同除

由椭圆的定义可知2a>2c，即a>c，故a2-c2>0.

方程较为复杂，故常令b2=a-c2．(及时说明为何要引出b值不会显得唐突)

最终可得(列出比较内容，更加直观、深刻)

焦点位置x轴，标准方程

焦点位置y轴，标准方程

寻找标准方程与坐标轴之间的联系发现:焦点位于哪个轴上，哪个的分母大．

由a,b,c之间的关系b2=ac2，可在中找出对应的线段(结合图形给出a,b,c的几何意义，符合学生的认知过程，便于理解)

其中a为长半轴、b为短半轴、c为焦半径，

设计意图:转变教师直接板演求解标准方程的过程，两种不同的建系方式渗透分类讨论的思想，合理地安排学生分组讨论，由被动听讲转为主动参与，增强了主体意识，在此过程中教师巡视给予帮助，发挥其指导、帮助、促进作用

四、设计反思

这次教学设计中很好地贯穿了新课程教学理念，但是也出现了一定的不足，第一:由于教学经验有限，一些数学教育理论和专业知识，不能完美应用于教学设计中;第二在教学设计中针对学生的心理情况的设计比较少．

希望借鉴本设计者据实际情况进行合理的修改．

参考文献

[1]徐忠才.高中数学课程中圆锥曲线的教学研究[D].甘肃:西北师范大学,2005.

[2]曹一鸣.数学教学论[M].北京:北京师范大学出版社,2010(8):85-175.

[3]教育部.普通高中数学课程标准(实验)[M].北京:人民教育出版社,2007(2).

《椭圆及其标准方程》教学设计 篇3

一、教学背景分析

本节课是继学习圆以后运用“曲线与方程”思想解决二次曲线问题的又一实例，从知识上说，本节课是对坐标法研究几何问题的又一次实际运用，同时也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上说，它为进一步研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础，因此本节课起到了承上启下的重要作用。

二、教学目标

1.知识与技能：使学生掌握椭圆的定义，标准方程的推导和标准方程。

2.过程与方法：通过求轨迹方程的方法，借助于坐标法，培养学生用代数方法研究几何问题的能力，同时培养学生的数形转化的能力。

3.情感、态度与价值观：通过椭圆定义和标准方程的学习，培养学生的观察能力和探索能力，启发学生在研究问题时，抓住问题的本质，体会运动变化、对立统一的思想。

三、教学重点与难点

1.重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程

2.难点：椭圆标准方程的推导

四、教学方法

1.用模型结合多媒体课件演示椭圆形成过程，加深对概念的理解

2.利用观察、分析、归纳、概括、自主探究、合作交流的方法推导标准方程，利用问题探究式教学启发学生思考，激发学生学习的积极性。

五、教学过程

1.新课引入

师：（1）大家学习了如何求轨迹方程，需要分成哪几个步骤？

生：思考回答

师：（2）圆这种轨迹是怎样形成的？

生：圆是在平面内到一个定点的距离等于定长的点的轨迹

师：（3）那到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹是什么呢？

生：小组内拿出准备好的细绳，分别演示距离之和等于和大于两定点之间距离的情况。分析总结出椭圆的限制条件。若 > ，则点P的轨迹是椭圆，若 = ，则点P的轨迹是线段 。

2.新课讲解

师：（4）根据大家的演示，你能否求出椭圆的方程？怎样建立坐标系比较恰当？奇数组把焦点建在x轴上，偶数组建在y轴上。

生：组内合作交流，根据求轨迹方程的步骤列出方程。

师：（5）如何将方程化简？什么方法可以把根号去掉？

生：移项平方或分子有理化（老师指导化简过程）

师：（6）令 ，可以将方程化简为？

生： （x轴）， （y轴）

师：（7）关于椭圆的标准方程，我们应该注意哪些内容？

生：a，b，c的含义以及它们之间的关系焦点的位置决定了方程的形式，需要观察分母的大小。

师：下面我们来看一下这节课的主要题型

例1：定义的应用

（1）方程 可以化简为？

（2）椭圆的方程是 ， 为焦点，点P在椭圆上，则

的周长为？

过 的直线与椭圆交于A.B两点，则 的周长为？

生：小组内讨论交流3分钟

例2：根据下列条件，求椭圆的标准方程

（1） ，焦点在x轴上

（2） ，焦点在y轴上

（3）两个焦点的坐标分别为（-3，0）（3，0），椭圆上一点P与两焦点的距离的和是8

（4）两个焦点的坐标分别为（0，-4）（0，4），并且椭圆经过（ ）

（5）已知A（-5，0） B（5，0）， 的周长为26，求 的顶点C的轨迹方程

生：10分钟做题时间

例3：求下列方程表示的椭圆的焦点坐标

（1）

（2）

（3）

生：上黑板演示

例4：含參数的方程问题

（1）若方程 表示椭圆，求k的取值范围

（2）若方程 表示焦点在x轴上的椭圆，求k的取值范围

师：你还能想出怎样的问法？

生：表示焦点在y轴上的椭圆，表示圆

师：好，同学们对椭圆理解得很好，通过这节课你的不断探索，都学会了哪些知识？

生：我们知道哪样的轨迹才是椭圆，推导了椭圆的标准方程，而且还学会了如何去求方程，以及焦点坐标。

师：很好，椭圆是一种很美的图形，课下仔细观察，想一想它都有哪些性质？

五、教学反思

椭圆及其标准方程教案 篇4

◆ 知识与技能目标

理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法．

◆ 过程与方法目标（1）预习与引入过程

当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的母线平行时，截口曲线是椭圆，再观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么把圆、椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；第二、你能举出现实生活中圆锥曲线的例子．当学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起探究P41页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子一条（约10cm长，两端各结一个套），教师准备无弹性细绳子一条（约60cm，一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）．当套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是椭圆．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？〖板书〗2．1．1椭圆及其标准方程．

（2）新课讲授过程

（i）由上述探究过程容易得到椭圆的定义．

〖板书〗把平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）．其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距．即当动点设为M时，椭圆即为点集PM|MF1MF22a．

（ii）椭圆标准方程的推导过程 提问：已知图形，建立直角坐标系的一般性要求是什么？第一、充分利用图形的对称性；第二、注意图形的特殊性和一般性关系．

无理方程的化简过程是教学的难点，注意无理方程的两次移项、平方整理．

设参量b的意义：第一、便于写出椭圆的标准方程；第二、a,b,c的关系有明显的几何意义．

y2x2 类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的椭圆的标准方程221ab0．

ab（iii）例题讲解与引申

例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是2,0，2,0，并且经过点标准方程．

分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c．引导学生用其他方法来解．

53,，求它的22x2y253另解：设椭圆的标准方程为221ab0，因点,在椭圆上，ab2292512a102则4a． 4ba2b24b6例2 如图，在圆x2y24上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？

分析：点P在圆x2y24上运动，由点P移动引起点M的运动，则称点M是点P的伴随点，因点M为线段PD的中点，则点M的坐标可由点P来表示，从而能求点M的轨迹方程．

x2y21上动点，求线段AP中点M的轨迹方引申：设定点A6,2，P是椭圆

259程．

解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设Mx,y，Px1,y1；②（点与伴随点的关

x12x6系）∵M为线段AP的中点，∴；③（代入已知轨迹求出伴随轨迹），∵

y2y21x3y1x12y121M1，∴点的轨迹方程为；④伴随轨迹表示的范围．

2592594例3如图，设A，B的坐标分别为5,0，5,0．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为224，求点M的轨迹方程． 9分析：若设点Mx,y，则直线AM，BM的斜率就可以用含x,y的式子表示，由于直线AM，BM的斜率之积是的关系式，即得到点M的轨迹方程．

解法剖析：设点Mx,y，则kAM4，因此，可以求出x,y之间9yx5，x5yx5； x5yy4，化简即可得点M的轨迹方程． 代入点M的集合有x5x59kBM

引申：如图，设△ABC的两个顶点Aa,0，Ba,0，顶点C在移动，且kACkBCk，且k0，试求动点C的轨迹方程． 引申目的有两点：①让学生明白题目涉及问题的一般情形；②当k值在变化时，线段AB的角色也是从椭圆的长轴→圆的直径→椭圆的短轴．

◆ 情感、态度与价值观目标

通过作图展示与操作，必须让学生认同：圆、椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线，是因它们都是平面与圆锥曲面相截而得其名；必须让学生认同与体会：椭圆的定义及特殊情形当常数等于两定点间距离时，轨迹是线段；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，及引入参量ba2c2的意义，培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美；让学生认同与领悟：例1使用定义解题是首选的，但也可以用其他方法来解，培养学生从定义的角度思考问题的好习惯；例2是典型的用代入法求动点的伴随点的轨迹，培养学生的辩证思维方法，会用分析、联系的观点解决问题；通过例3培养学生的对问题引申、分段讨论的思维品质．

◆能力目标

（1）想象与归纳能力：能根据课程的内容能想象日常生活中哪些是椭圆、双曲线和抛物线的实际例子，能用数学符号或自然语言的描述椭圆的定义，能正确且直观地绘作图形，反过来根据图形能用数学术语和数学符号表示．

（2）思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考，培养学生的数形结合的思想方法；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．

（3）实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．

（4）数学活动能力：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力．（5）创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径．

椭圆及其标准方程教案 篇5

感受数学，爱上数学，爱学数学

高二年级数学组

张婧

11月5日对《椭圆及其标准方程》进行教学，上完这节课后我认真地进行了反思，具体内容如下： 一．教学设计

新课标指出：数学不仅要考虑数学自身的特点，更要遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生的已有生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力，情感态度价值观等过方面得到进步和发展。本着这个原则我进行了教学设计。

1、新知引入：

（1）说明椭圆在天文学和实际生产生活实践中的广泛应用，指出研究椭圆的重要性和必要性，从而导入本节课的主题。

（2）手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的 两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆。

问题引领（1）轨迹上的点是怎么来的？

（2）在这个运动过程中，什么是不变的？

2、进入新课：（1）通过学生手工操作演示椭圆的形成，引导学生探究椭圆的形成过程，使学生认识到椭圆轨迹上的动点与两个定点距离之和不变。

（2）观察图形，提示学生归纳总结出椭圆的定义。（3）根据定义小组合作推导椭圆标准方程。（4）讲解例题，巩固基本知识，提高自身素质。

二、成功之处

1、教学方法上：结合本节课的具体内容，和16班学生的具体情况确立启发探究式教学，体现了认知心理学的基本理论。

2.学习的主体上：课堂尽力不“一言堂”，设计问题引领学生参与，顺着学生思维发展规律，给学生的主动参与提供时间和空间，让不同程度的学生勇于发表自己的各种观点（无论对错），基本做到：凡是学生能够自己观察的、讲的（口头表达）、思考探究的、动手操作的，都尽量让学生自己去做，这样可以调动学生学习积极性，拉近师生距离，提高知识的可接受度，让学生体会到他们是学习的主体。进而完成知识的转化，变书本的知识为自己的知识。

3.学生参与度上：课堂教学真正面向全体学生，让每个学生都享受到发展的权利。在我的启发鼓励下，让学生充分参与进来，进行交流讨论，共同进步。

4、“三维”课程目标的实现上：既关注掌握知识技能的过程与方法，又关注在这过程中学生情感态度价值观形成的情况。

5、学法指导上：采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究的讲解讨论相结合，促进学生说、想、做，注重“引、思、探、练”的结合，鼓励学生发现问题，大胆分析问题和解决问题，进行主动探究学习，形成师生互动的教学氛围。

三、不足之处

1．本节课课堂容量偏大，从而导致学生在课堂上的思考的时间不够，课堂时间比较紧张。因此今后要合理地安排每一节课的课堂容量，给学生更多的思考时间和空间，提高课堂的效果。

2．过高估计学生的能力，小组合作推导椭圆标准方程时没能达到预期效果，计划是互教互学，共同进步，并从中体会解决问题的成就感，从而增进学生的合作意识和团队精神，但是因为班上只有一小部分同学基础比较扎实，大部分同学的计算能力不过关，只有一个小组完成较好，其他均半路夭折。课后，我认为如果能将小组合作问题提前让学生预习，学生在课下就进行研究，并找到自己解决不了的地方，课上小组解决，教师指导，应该会有好的效果。

椭圆标准方程教学设计 篇6

类比的思想学：新旧知识的类比。

引入：自然界处处存在着椭圆，我们如何用自己的双手精确的画出椭圆呢？

回忆圆的画法：一个钉子，一根绳子，钉子固定，绳子的一端系于钉子上，抓住绳子的另一端，固定绳子的长度，绕钉子旋转一圈就得到圆。

下面我们介绍椭圆的画法：找两个钉子和一根绳子，把两个钉子固定，两个钉子的距离小于绳子的长度，把绳子的两端分别系在两个钉子上，绷紧绳子旋转一周就得到椭圆。（以上是画法上的对比）

回忆圆的定义：平面上到顶点的距离等于定长的点的集合。

（根据刚才椭圆的画法及类比圆的定义，归纳得出椭圆的定义。）椭圆的定义：平面上到两个定点F1,F2的距离之和为定值（大于F1F2）的点的集合。

（以上是定义上的对比）

怎样推导椭圆的标准方程呢？（类比圆的标准方程的推导步骤）求动点方程的一般步骤：坐标法

（1）建立适当的直角坐标系，用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件P(M)；（3）用坐标表示P(M)，列数方程；（4）化方程为最简形式。

椭圆及其标准方程教案 篇7

数学教学的长期实践经验表明:数学教学质量的提高依赖于对“双基”教学 (即基础知识和基本技能教学) 的加强, 而“双基”教学的核心又是数学概念的教学。

数学概念教学中普遍存在以下问题:教学信息单向传递, 教师没有充分认识概念教学的重要性, 教学手段较为匮乏, 教学结构不严谨, 概念的内涵没有充分理解和外延没有充分挖掘, 加上高中数学概念本身较为抽象、乏味, 对于学生的认知规律来说, 复杂和枯燥往往会造成学生学习热情不高、能动性不强, 因此, 直接影响了课堂教学的有效性, 学生被动的学习产生了对概念理解不透彻, 概念的表象不清晰等后果, 学生在运用概念进行判断、选择及推理应用时出错率很高, 直接影响了数学成绩的提高。因此, 深刻感觉到概念教学研究的必要性和重要性。

以《椭圆及其标准方程》这课为例, 和教师同仁们一起交流、学习、探讨。

本堂课的教法学法设计是探究式教学方法, 以教师为主导, 通过设置情境、问题诱导来发挥学生的主体作用, 其路线可以为:直观观察→动手操作→探究讨论→归纳抽象→总结规律。而且采用多媒体辅助教学与运用自制教具相结合的设计方案, 实现多媒体快捷、形象、大容量的优势与自制教具直观、实用的优势的结合。

设置情境, 问题诱导:2005年10月12日上午9时, “神舟六号”载人飞船顺利升空, 实现多人多天飞行, 标志着我国航天事业又上了一个新台阶, 请问:“神舟六号”载人飞船的运行轨道是什么?这问题通过多媒体呈现出来, 引起学生的高度关注, 并且学生们积极地在探讨、议论, 学生会得出:直线、圆、或是椭圆。我就顺藤摸瓜地说道:“神舟六号在进入太空后, 先以远地点347公里、近地点200公里的椭圆轨道运行, 后经过变轨调整为距地343公里的圆形轨道。”从而引入正题, 得出椭圆的概念及定义。

用两枚图钉把细绳的两端固定在白纸的两点上, 用铅笔尖把绳子拉紧, 使笔尖在纸上慢慢移动, 画出图形, 其轨迹如何?学生们就按照老师的要求很认真地开始画图。经过五分钟, 每个小组都有了自己的图形, 有:1.线段;2.圆;3.椭圆;经过分析总结, 最后我在黑板上演示了椭圆的画法, 给学生一个正确的导向。

通过探究得出结论:

1.|MF1|+|MF2|>|F1F2|, 画出图像是椭圆;

2.|MF1|+|MF2|=|F1F2|, 画出图像是线段;

3.|MF1|+|MF2|<|F1F2|, 图像不存在。

从而归纳出椭圆的定义:平面内与两定点F1、F2的距离之和等于常数 (大于|F1F2|) 的点的轨迹叫椭圆;定点F1、F2叫做椭圆的焦点, 两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

并且分类

中心在原点, 焦点在x轴上的椭圆标准方程:

中心在原点, 焦点在y轴上的椭圆标准方程:

一、巩固知识加强记忆

例1.已知椭圆的焦距等于8, 椭圆上一点到两焦点的距离的和等于10, 求椭圆的标准方程;

解:由题意可知

二、变式演练加深理解

1.如果x2+ky2=1方程表示焦点在y轴上的椭圆, 那么实数k的取值范围是 (D) 。

2.椭圆的焦距是2, 则实数m的值是 (C) 。

3.已知F1、F2是椭圆的两个焦点, 过F1的直线与椭圆交于A、B两点, 则△ABF2的周长为 (D) 。

三、反思总结提高素质

定义:平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数 (大于|F1F2|) 的点的轨迹叫做椭圆。

标准方程:

焦点位置的判定:椭圆的两种标准方程中, 总是a>b>0。所以哪个项的分母大, 焦点就在那个轴上;反过来, 焦点在哪个轴上, 相应的那个项的分母就越大。

椭圆标准方程的求法:一定焦点位置;二设椭圆方程;三求a、b的值。

《椭圆的标准方程的求法》说课稿 篇8

在第七章中，学生已学过利用坐标法求简单曲线的方程和利用方程去研究曲线的性质.在本章的学习中，对椭圆、双曲线、抛物线的研究都按照定义、方程、几何性质等几项来讨论，最后再将三者有机的柔和起来，其中椭圆为学习圆锥曲线的重点。从应用来看，圆锥曲线在生活、科学技术中有着广泛的应用。

针对上述分析，结合高中数学课程标准和教材，同时考虑到高二学生的认知规律，特制定如下教学目标、教学重点和难点。

⑴ 教学目标

① 知识型目标：

1.求椭圆的标准方程.

2.求符合条件的点的轨迹方程.

② 能力型目标：

1.掌握椭圆标准方程的特征量a、b的确定.方法

2.掌握点的轨迹条件满足某曲线的定义时，用定义法求其标准方程.

③ 德育型目标：

学会从具体问题中寻求关系建立数学模型.

⑵ 教学重点、难点

求椭圆的标准方程是教学重点;定义法的应用是教学难点。

㈡ 说教法和学法

⑴ 教学方法

为更好的把握教学内容的整体性和联系性，在教学中以讨论、探索为核心构建课堂教学，培养学生应用数学的意识，提出有适度有启发的问题，引导学生积极探索、反思，切实改进学生的学习方法。

⑵ 学法指导

① 引导学生探索问题，帮助他们排除障碍，形成解题的通性通法。

② 使学生通过交流、探索、说过程培养学生分析问题和语言表达能力。

㈢ 说教学过程

本节课我设计了六个环节，具体如下：

⑴ 把握基础知识，突出分类与整合的思想

试题 1填空

1. 椭圆的定义是--------------------------------------------------------------------

数学语言是--------------------------------------------------------------------

2. 焦点在x轴上的椭圆的标准方程是-----------------------------------------------------------

3. 焦点在y轴上的椭圆的标准方程是-----------------------------------------------------------

4. 椭圆的三个特征量是--------------------------，它们之间的关系是--------------------------

通过直接提问，相互补充，完善规范知识的准确性;

设计意图：再现基础知识，体会分类与整合。

⑵ 共同探索，发现规律

试题 2 求适合下列条件的椭圆的标准方程.

⑴两焦点的坐标分别为(-4 ,0) ,(4 ,0) .椭圆上的P到两焦点的距离和等于10.

⑵两焦点的坐标分别为A(0 ，-2)，B(0 ，2).并且椭圆过P(-3/2,5/2).

通过学生交流探索，让学生学会分析与解决问题，学会转化问题和应用方程组思想。

教师行为：将已有的知识更加明朗化;通过学生讨论与反思，体会椭圆标准方程的常规求法，便于掌握本节的重点，突破难点。

练习1：教材P96的.练习3 写出是适合下列条件的椭圆的标准方程

1.(口算) a=4 , b=1 ,焦点在x轴上。

2. (口算) a=4 , b=√￣15,焦点在y轴上。

3. a+b=10,c=2√￣5

目 的：巩固规律，运用分类与整合的思想。

变 式：一个椭圆过M , N 两点,求该椭圆的标准方程.

反复引导得到统一形式

目 的：明确当焦点位置不明时，不仅可用分类整合的思想还可用统一形式，从而巧用方程组思想.

⑶ 明确目的，训练方法

试题 3 已知B、C是两定点，|BC|=6，且△ABC的周长为16，求定点A的轨迹方程.

引导学生分析发现A所满足的条件及说明的问题，并体会建立坐标系的目的为的是求椭圆的标准方程。

教师行为：规范解题步骤，明确用定义法求标准方程的要领，培养学生应用数学语言的能力。

设计意图：增强学生解题过程的规范化和解题的通性通法.

⑷ 巩固练习，强化应用

平面内两定点A、B的距离为8，一个动点M到A、B的距离的.和等于10.建立适当的坐标系，写出动点M的轨迹方程。

这样设计练习符合学生的认知规律，由浅入深，以便提高学生的思维层次;分两组练习，然后交流、互评，使所学知识得到巩固和加深。

⑸ 归纳小结，巩固新知

归纳小结是巩固新知不可缺少的环节之一，这个环节对培养学生的归纳概括能力、自我获取知识的能力是十分重要的。本节课我采用让学生谈学习收获的方式对所学进行归纳，重点放在用定义法求椭圆的标准方程上。

⑹ 布置作业，提高升华

椭圆及其标准方程教案 篇9

设计人：赵军伟

审定：数学备课组

【学习目标】

1.理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题； 2.理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；

【学习重点】理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义；

【学习难点】会用双曲线的定义解决实际问题.【复习旧知识】 1.把平面内与两个定点，的距离之和等于＿＿＿（大于）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）．其中这两个定点叫做＿＿＿＿＿，两定点间的距离叫做＿＿＿＿＿＿．即当动点设为时，椭圆即为点集

．平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做＿＿＿定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的＿＿＿，定直线l叫做抛物线的＿＿＿.3.抛物线的＿＿＿在一次项对应的轴上，其数值是一次项系数的＿＿倍，准线方程与焦点坐标相反；反之可以逆推。

【学习过程】

一、由教材探究过程容易得到双曲线的定义．

把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola）．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为M时，双曲线即为点集PMMF1MF22a．

二、双曲线标准方程的推导过程

思考：已知椭圆的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类比求椭圆标准方程的方法自己建立直角坐标系．

无理方程的化简过程仍是教学的难点，让学生实际掌握无理方程的两次移项、平方整理的数学活动过程．

类比椭圆：设参量b的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、a,b,c的关系有明显的几何意义．

y2x2 类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的双曲线的标准方程221a0,b0．

ba推导过程：

【应用举例】

P到F1，F2距例1 已知双曲线两个焦点分别为F15,0，F25,0，双曲线上一点离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．

例2 已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．

探究：如图，设A，B的坐标分别为5,0，5,0．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为4，求点M的轨迹方程，并与§2．1．例3比较，有什么发现？ 9探究方法：若设点Mx,y，则直线AM，BM的斜率就可以用含x,y的式子表示，由于直线AM，BM的斜率之积是轨迹方程．

【巩固练习】

23.下列动圆的圆心M的轨迹方程：① 与⊙C：x2y2内切，且过点A2,0；

24，因此，可以求出x,y之间的关系式，即得到点M的9

22② 与⊙C1：xy11和⊙C2：xy14都外切；③ 与⊙C1：

22x32y29外切，且与⊙C2：x3y21内切．

2解题剖析：这表面上看是圆与圆相切的问题，实际上是双曲线的定义问题．具体解：设动圆M的半径为r．

【学习反思】

《双曲线及其标准方程》说课稿 篇10

2、推导焦点在x轴和y轴上的双曲线的标准方程

学生分成两大组，一组推导焦点在x轴上的双曲线的标准方程，另一组推导焦点在y轴上的双曲线的标准方程，最后交换结论。

3、比较两种标准方程。

两点说明：①关系：②如何判断焦点的位置：看前的系数的正负，哪一项为正，则在相应的轴上。（口诀：焦点看正负！）

1、在比较如何化简方程简单后，我选择放手让学生化简，让学生体验化简方程的艰辛，经受锻炼，尝试成功，提高学生参与教学过程的积极性。

2、在得到双曲线的标准方程之后，我和学生共同总结推导双曲线标准方程的步骤，其目的是进一步强化求曲线方程的一般步骤，同时也让学生享受成功的喜悦。

3、体现类比推理的思想．培养学生归纳总结和类比推理的能力．

4、在推导过程中我令，一是为了美化方程，使方程具有对称性，二是为后面几何性质的学习做铺垫。

例题解析

例1的.教学是为了让学生清楚：求双曲线的焦点坐标（或者是方程当中的），必须要把方程化为标准方程。

通过例2让学生明白，求双曲线的标准方程主要是确定两个要素：一是双曲线的位置，由焦点来决定；二是双曲线的形状，由来决定。

例3是双曲线的实际应用，关键是利用双曲线的定义来解题，要注意焦点的位置。

课堂小结

为了让学生建构自己的知识体系，我让学生自己概括所学的内容。我认为这样既能培养了学生的概括能力，又能营造民主和谐的师生关系。

在线测试

通过学校的网络平台，让学生及时巩固基础知识，同时也可以了解全班同学的答题情况。教师进行点评。

及时了解学生的掌握情况。

作业布置

上交：人教版高中数学选修2--1

人教版圆的标准方程教案 篇11

教学目标(一)知识目标

1.掌握圆的标准方程：根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径； 2.理解并掌握切线方程的探求过程和方法。(二)能力目标

1．进一步培养学生用坐标法研究几何问题的能力；

2.通过教学，使学生学习运用观察、类比、联想、猜测、证明等合情推理方法，提高学生运算能力、逻辑思维能力.(三)情感目标

充分调动学生学习数学的热情，激发学生自主探究问题的兴趣，同时培养学生勇于探索、坚忍不拔的意志品质。教学重、难点(一)教学重点

圆的标准方程的理解、掌握。(二)教学难点

圆的标准方程的应用。教学过程

Ⅰ.复习提问、引入课题

师：前面我们学习了曲线和方程的关系及求曲线方程的方法。请同学 1

们考虑：如何求适合某种条件的点的轨迹？

生：①建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点M的坐标为(x，y)；②写出适合某种条件p的点M的集合P＝｛M ︳p（M）｝；③用坐标表示条件，列出方程f(x,y)=0；④化简方程f(x,y)=0为最简形式。⑤证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点（一般省略）。［多媒体演示］

师：这就是建系、设点、列式、化简四步曲。用这四步曲我们可以求适合某种条件的任何曲线方程，今天我们来看圆这种曲线的方程。［给出标题］

师：前面我们曾证明过圆心在原点，半径为5的圆的方程：x2+y2=52 即x2+y2=25.若半径发生变化，圆的方程又是怎样的？能否写出圆心在原点，半径为r的圆的方程？ 生：x2+y2=r2.师：你是怎样得到的？（引导启发）圆上的点满足什么条件？ 生：圆上的任一点到圆心的距离等于半径。即，亦即 x2+y2=r2.师：x2+y2=r2 表示的圆的位置比较特殊：圆心在原点，半径为r.有时圆心不在原点，若此圆的圆心移至C（a,b）点（如图），方程又是怎样的？

生：此圆是到点C(a,b)的距离等于半径r的点的集合，由两点间的距离公式得

即：（x-a）2+(y-b)2= r2

Ⅱ.讲授新课、尝试练习

师：方程（x-a）2+(y-b)2= r2 叫做圆的标准方程.特别：当圆心在原点，半径为r时，圆的标准方程为：x2+y2=r2.师：圆的标准方程由哪些量决定？ 生：由圆心坐标（a,b）及半径r决定。

师：很好！实际上圆心和半径分别决定圆的位置和大小。由此可见，要确定圆的方程，只需确定a、b、r这三个独立变量即可。

1、写出下列各圆的标准方程：［多媒体演示］

① 圆心在原点，半径是3

：________________________ ② 圆心在点C（3，4），半径是 ：______________________ ③ 经过点P（5，1），圆心在点C（8，－3）：_______________________

2、变式题［多媒体演示］

① 求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程。

答案：(x-1)2 +(y-3)2 = ② 已知圆的方程是(x-a)2 +y2 = a2 ,写出圆心坐标和半径。

答案： C（a,0）, r=|a| Ⅲ.例题分析、巩固应用

师:下面我们通过例题来看看圆的标准方程的应用.［例1］已知圆的方程是 x2+y2=17，求经过圆上一点P（，）的切线的方程。

师：你打算怎样求过P点的切线方程？

生：要求经过一点的直线方程，可利用直线的点斜式来求。

师： 斜率怎样求？ 生：。。。

师：已知条件有哪些？能利用吗？不妨结合图形来看看（如图）生：切线与过切点的半径垂直，故斜率互为负倒数

半径OP的斜率 K1＝，所以切线的斜率 K＝－ ＝－ 所以所求切线方程：y-= －(x-)即： x+ y=17

(教师板书)师：对照圆的方程x2+y2=17和经过点P（，）的切线方程 x+ y=17，你能作出怎样的猜想？ 生：。。。

师：由x2+y2=17怎样写出切线方程 x+ y=17,与已知点P（，）有何关系？

（若看不出来，再看一例）

［例1/］

圆的方程是x2+y2=13，求过此圆上一点（2，3）的切线方程。

答案：2x+3y=13 即：2x+3y－13＝0 师：发现规律了吗？（学生纷纷举手回答）

生：分别用切点的横坐标和纵坐标代替圆方程中的一个x和一个y，便得到了切线方程。

师：若将已知条件中圆半径改为r，点改为圆上任一点（xo,yo）,则结论将会发生怎样的变化？大胆地猜一猜！生：xox+yoy=r2.师：这个猜想对不对？若对，可否给出证明？ 生：。。。

［例2］已知圆的方程是 x2+y2=r2，求经过圆上一点P（xo,yo）的切线的方程。

解：如图(上一页)，因为切线与过切点的半径垂直，故半径OP的斜率与切线的斜率互为负倒数

∵半径OP的斜率 K1＝，∴切线的斜率 K＝－ ＝－ ∴所求切线方程：y-yo= －(x-xo)即：xox+yoy=xo2+yo亦即：xox+yoy=r2.(教师板书)

当点P在坐标轴上时，可以验证上面方程同样适用。

归纳总结：圆的方程可看成 x.x+y.y=r2,将其中一个x、y用切点的坐标xo、yo 替换，可得到切线方程

［例3］右图为某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB＝20M，拱高OP＝4M，在建造时每隔4M需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度。（精确到0.01M）

引导学生分析，共同完成解答。

师生分析：①建系； ②设圆的标准方程（待定系数）；③求系数（求出圆的标准方程）；④利用方程求A2P2的长度。

解：以AB所在直线为X轴，O为坐标原点，建立如图所示的坐标系。则圆心在Y轴上，设为

（0，b）,半径为r，那么圆的方程是

x2+(y-b)2=r2.∵P(0,4),B(10,0)都在圆上，于是得到方程组：

解得：b=-10.5 ,r2=14.52

∴圆的方程为 x2+(y＋10.5)2=14.52.将P2的横坐标x=-2代入圆的标准方程 且取y>0 得：y=

≈14.36-10.5=3.86(M)答：支柱A2P2的长度约为3.86M。Ⅳ.课堂练习、课时小结 课本Ｐ77练习2，3 师：通过本节学习，要求大家掌握圆的标准方程，理解并掌握切线方程的探求过程和方法，能运用圆的方程解决实际问题.Ⅴ.问题延伸、课后作业

(一)若P（xo,yo）在圆（x-a）2+(y-b)2= r2上时，試求过P点的圆的切线方程。