福州大学线性代数（精选11篇）
2014考研数学复习的时间越来越短了，如何能够在短时间内把知识点复习好，需要系统的安排复习计划和复习时间，当然针对考研数学来讲，线性代数也是一门重点，如何在短时间内做最后一次复习，需要从一些知识点考察题型来分析，下面是思远福大考研网分享的线性代数每年每种知识点对应的考察题型。
第一章 行列式
【考点关键词】重点是行列式的计算，主要有数值型和抽象型两类行列式的计算。
历年考查情况：2006、2008、2010、2012年的真题中均有抽象行列式的计算问题，而且均是以填空题的形式出现的，个别的还出现在了大题的第一问中。
第二章 矩阵
【考点关键词】重点在矩阵的秩、逆、伴随、初等变换以及初等矩阵、分块矩阵。
历年考查情况：这一章概念和运算较多，考点也较多，而且考点以填空和选择为主，当然也会结合其他章节的知识考大题。2006、2009、2011、2012年均考了一个小题是有关初等变换与矩阵乘法之间的关系，2010年考了一个小题关于矩阵的秩，2008年考了一道抽象矩阵求逆的问题。
第三章 向量
【考点关键词】可以分为三个重点，第一个是向量组的线性表示，第二个是向量组的线性相关性，第三个是向量组的秩及极大线性无关组。
历年考查情况：这一章无论是大题还是小题都特别容易出考题，2006年以来每年都有一道考题，不是向量组的线性表示就是向量组的线性相关性的判断，2010年还考了一道向量组秩的问题。
第四章 线性方程组
【考点关键词】有三个重点。第一个是线性方程组解的判定问题，第二个是解的性质问题，第三个是解的结构问题。
历年考查情况：2006年以来只有2011年没有出大题，其他几年的考题均是含参方程的求解或者是解的判定问题。
第五章 矩阵的特征值与特征向量
【考点关键词】分三个重点。第一个是特征值与特征向量的定义、性质以及求法。第二个为矩阵的相似对角化问题，第三是实对称矩阵的性质以及正交相似对角化的问题。
历年考查情况：实对称矩阵的性质与正交相似对角化问题可以说每年必考，2012年、2011年、2010年2009年都考了。
第六章 二次型
【考点关键词】有两个重点。第一个是化二次型为标准形，同学们必须掌握两种方法，第一个是配方法，第二个是正交变换法;第二个重点是正定二次型的判定。
阅读材料是教材的编者在课文以外设计编排的一个“板块”, 是教材正文内容的补充和延伸。数学阅读材料一般包括:数学概念的来源、数学史、数学家的故事、数学在现代生活中以及科学技术中的广泛应用、有关数学知识的拓展、计算机等教育技术的使用说明、趣味性的或具有挑战性的问题、拓展相关定理的证明方法等。
阅读材料设置的目的在于为学生提供丰富的具有思想性、实践性、挑战性的数学选学材料, 在丰富教材内容的基础上, 拓展师生的教学活动空间。
阅读材料具有如下的教育功能:
(一) 人文性。
数学知识具有严密的逻辑性, 思维严谨性, 和科学的抽象性, 数学概念和规律定理等, 不利于学生学习原动力的释放。阅读材料在注重数学知识的科学严谨性的同时, 加入数学史实、探究, 信息化技术等知识, 使得数学知识极具人文性。
(二) 拓展性。
阅读材料是对教材内容的补充和延伸, 但不是简答的重复。
(三) 工具性。
传统数学教学注重知识的传播, 教材内容也很少涉及信息技术的具体应用。随着科学技术的发展, 数学信息技术对数学理论理解、数学直观化、数学科学发展的作用愈发重要。
二、阅读材料在国内的教育实施现状
国内在中国的教育理念中, 数学被当作一种技艺, 一种用于处理数量问题的技能方法, 而数学阅读长期未受数学教育者注意。我国对数学阅读材料的研究起步较晚, 重视度较弱。随着数学教育理念的转变, 新课程的改革, 数学阅读越来越成为关注的热点。自2012年的课改以来, 高中数学教材的“阅读材料”分为“阅读与思考”、“探究与发现”和“信息技术应用”三个板块。初中数学教材则分为“阅读与思考”、“观察与猜想”、“实验与探究”、“信息技术应用”四个部分。但大学数学的阅读材料却始终没有进行相应的改革和重视。
三、阅读材料在课堂教学中的意义
(一) 提高学生的学习兴趣。
阅读材料的趣味性强, 能引起学生的注意, 激发学生阅读学习的欲望。阅读材料中有具探索性的问题, 也有一些融合科学性、知识性、教育性和趣味性为一体的拓展的数学内容, 是激发学生学习数学兴趣的良好载体。阅读材料中的数学史类内容, 有传播数学文化、展示数学知识发展和再现数学家的数学探索历程的作用。
(二) 巩固所学知识, 拓宽新知。
阅读材料是对教材正文内容的补充, 在一定程度上深化教材重难点知识, 并作延伸。数学很多知识点往往比较抽象, 难以理解。
(三) 渗透数学思想方法, 提高数学思维能力。
数学思想方法是数学思维的工具, 同时也是形成数学能力的必要条件。培养和发展学生的数学思维能力是培养数学能力、发展智力的主要途径。阅读材料可以是数学思想方法的载体, 因为材料中蕴含着丰富的数学思想方法。将蕴含数学思想方法的阅读材料结合在数学的教学过程中, 可以逐渐培养学生对相关的数学思想方法的理解和运用。
(四) 渗透数学文化知识, 进行德育熏陶。
阅读材料中的数学史类别蕴含着丰富的哲理, 是对学生进行德育熏陶的良好素材。数学教学设计中应充分挖掘其中德育部分, 有效合理地结合课堂, 采用恰当方式进行渗透教育。
(五) 阅读材料对评价教学质量的价值。
阅读材料是教材中的内容, 具备公平性, 学生比较熟悉。用阅读材料为背景命题能较好地避免素材的生疏差异造成的测试偏差。再者, 依据阅读材料生成的试题能减少导致“死记硬背”的负面影响。
结语
综上所述, 大学数学课堂的阅读材料也应重视起来并进行相应的改革, 进而激发学生的学习兴趣, 提高学生的数学思维能力, 更好地推动和提升教学效果。
摘要：课堂教学是教育实施的主要阵地, 而数学阅读材料在课堂教学中的教育功能及重要作用已越来越显著, 为了取得良好的教学效果, 大学的数学课堂也应加入阅读材料。本文就阅读材料进入大学课堂的必要性展开了讨论。
关键词：阅读材料,大学数学课堂,必要性
参考文献
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关键词：素质；教学；大学生
《线性代数》是多数高校理工科各专业广泛必修的课程，主要内容包括：行列式、矩阵、线性方程组、矩阵特征值、二次型、线性空间和线性变换等知识，根据对各高校的调查信息来看，总体可得出如下的分析结论：
一、教材选择方面
多数高校工科各专业广泛使用的同济大学数学教研室编《线性代数》（第四版），经过多年教学实践的检验及四次认真修订，在内容、结构、应用等各方面都更加成熟和完善，形成自己独特的系统和风格。其特点是：以工科类本科线性代数课程的教学基本要求为本，在重要概念引进时尽量做到简明、自然和浅显。教材淡化了定理的推导，强调了方法的训练，简明扼要，赢得了多数教师和学生的喜爱，使用范围比较广泛。科学出版社出版的陈维新编著的《线性代数简明教程》可以说是目前内容最多的一本线性代数教材。除了通常国内教材中的行列式、线性方程组、矩阵、向量空间、矩阵相似与特征值特征向量、二次型等外，还以附录形式介绍了一元多项式的一些概念、线性方程组理论在几何中的一些应用、分块矩阵的初等变换、最小二乘法、线性空间和欧氏空间简介等内容。另外还有一些高校根据自身的实际情况适当选择教材，不管怎样，从反馈的信息来看，所讲授的内容大体一致，出入不是很大。
就目前而言，不论选择何种教材，案例都很少。线性代数课程主要讨论线性问题，主要是线性方程组的解法。虽然许多问题的求解都可归结为线性方程组求解，但以具体实例作为授课内容的案例组织课堂教学并非易事。究其原因，由线性方程组研究解的情况容易，而借助特定的方程组难以还原生活中的具体实例。教学过程缺乏实际案例，课堂教学容易陷入基本概念、性质、定理的教学模式，难以从建模角度培养学生分析问题和解决问题的数学能力，课堂氛围易显枯燥和乏味，难以调动学员线性代数课程学习的积极性。
二、课时安排
课时一般分配为30～40学时，在这一时间内完成线性代数课程的详细讲解几乎是不可能的。为提高教学效率，即使教学实施期间严格区分了重点内容和难点内容，仍因教学时间的严重不足，导致线性代数课程的讲授无法深入进行，教学测试结果普遍反映出学员对线性空间的理解较为肤浅，知识掌握仅停留应用简单的方法进行相关计算，缺少完整的理论体系和求解线性问题的实际能力。
（一）讲授方式
有些选用多媒体教学，而有些仍使用黑板书写。随着计算机逐步进入课堂，线性代数课程的某些基本概念，同样可以借助多媒体教学深入讲解。多媒体教学改善线性代数以及其他数学课程的教学效果是有目共睹的，但是绝不能完全代替板书推导，尤其是线性代数这类以计算为基础的数学学科。
（二）考核方式
为了提高《线性代数》课程教学质量，加强学生的数学应用能力及计算机使用能力，多数学校在《线性代数》课程的教学内容和考核方式上进行改革试点。在教学内容上，除基本教学内容外，在考核方式上，分为传统型考试和改革试点型考试。选择传统型考试以卷面分（满分100分）为笔试成绩与平时成绩按7：3得总评成绩，选试点型考试以卷面分（满分100分）为笔试成绩与平时成绩按6：4得总评成绩，更多注重平时学习的积累和掌握。在教学运行过程中，各位主讲教师都制定好了各自的教学进程表，并严格按进程表执行，所有主讲线性代数课程的教师都能以身作则，为人师表，教书育人；并做到认真备课，讲究授课方法，注重启发式教学，调动学生的积极性，培养学生能力，增强学生自我学习解题的能力，培养提高学生的素质。
在上述实际的基础上，我们可得到如下启示：应该学习现代数学观和现代数学教育观，变静态的数学观为现代动态的数学观，也就是应把数学看成是人类的一种创造性活动；同时，应当坚持数学教育主要是教会学生“数学的思维”的数学教育观。教材建设不仅应当考虑数学的知识性、科学性和应用性，还应考虑对学生的启发性，以及如何引起学生的“好奇心”，也即教材应具有的趣味性和探索性。对现有的线性代数教材，我们不仅要看到其理论的严谨和知识的完整以及教材的规范性，还应看到其缺少“启发性成分”“数学建模”的训练功能及人文教育功能等等，注意发挥教材的优点，扬长补短。线性代数课程的基本概念是理解线性空间理论的基础，忽视基本概念教学法的研究和使用，将直接影响学生对基本概念的深入理解，无法从更深层面理解线性代数课程作为工具课的特性。引导学生从“学数学”到“做数学”的转变，当然老师是起到“指引”的作用，学生要想真正掌握这门知识，并促使其素质的提高，需要学生在课后做大量的练习才可能掌握这门课程。
参考文献：
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作者简介：袁功林，男，（1976-4），河南商丘人，汉族，博士、副教授，主要从事优化理论与方法和非线性方程组的研究，在广西大学数学与信息科学学院任教
一．掌握主要计算方法
1．矩阵的基本运算
加、减、数乘、乘、幂、转置
2．矩阵的初等行变换化阶梯形矩阵
3．矩阵的秩
4．可逆矩阵
可逆性与逆矩阵
5．特殊矩阵
对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵
6．线性表出
7．线性相关性
线性无关与线性相关
8．向量组的秩与极大无关组
9．线性方程组
解的判别、求解、消元法、基础解系
10．向量空间，子空间
判别、零空间、列空间
11．基、维数与坐标
判断、过渡矩阵、坐标变换公式
12．欧氏空间
正交化、单位化、正交矩阵
13．行列式
方阵的行列式
14．特征值与特征向量
15．对角化
一般矩阵的对角化与实对称矩阵的对角化
16．化简二次型
17．判别定性
二．理解基本概念
1．矩阵
矩阵的相抵，矩阵的秩，可逆矩阵，初等矩阵
2．向量
线性组合，线性表出，线性相关与线性无关，向量组的秩，极大无关组，向量组的等价
3．线性方程组
一般解，特解，非零解，基础解系
4．向量空间
向量空间，子空间，基，维数，坐标，过渡矩
阵，内积，正交向量，单位向量，标准正交基，正交矩阵
5．行列式
余子式与代数余子式，按一行(列)展开，伴随矩阵，子式(主子式，顺序主子式)
6．特征值与特征向量
特征值与特征向量，特征值的代数重数与几何
重数，矩阵的相似，可对角化
7．二次型
二次型的矩阵，二次型的秩，可逆线性替换，矩阵的合同，二次型的标准形、规范形，实二次型与实对称矩阵的定性
三．掌握重要结论
定理1.2.3，定理1.3.2，定理1.3.5，定理1.3.7，定理1.3.8，定理1.4.1，定理1.4.2，定理1.5.2
定理2.1.1，定理2.1.2，定理2.1.3推论，定理2.2.2，定理2.2.3，定理2.2.4，定理2.2.5，定理2.3.1，定理2.3.2，定理2.4.1，定理2.4.2
定理3.2.2，定理3.2.3，定理3.3.6，定理3.4.2
定理4.4.1，定理4.4.2，例4.4.7，定理4.5.1，定理4.5.4，定理4.5.5，定理4.5.7
式5.1.1，定理5.2.1，定理5.2.2，定理5.2.5，定理5.3.2，定理5.3.4
历年考研真题试卷
福州大学2007年招收硕士研究生入学考试试卷
考试科目高等代数科目编号818
注意：作图题答案可直接做在试卷上。所有的作图题均应保留精确的作图线条。试卷必须与答卷一起交。答题时不必抄原题，但必须写清所答题目顺序号。
一、简答题（每小题3分，满分30分）
1、计算行列式，其中，但(思远福大考研网)。
2、在线性空间中，求向量组的一个极大线性无关组。
3、已知3阶矩阵满足，求的所有特征值，这里表示单位矩阵。
4、在线性空间中，已知向量共面，求。
5、设是线性空间中的线性变换，满足
求在基下的矩阵(思远福大考研网)。
6、设，若被整除，求。
7、设矩阵，其中线性无关，向量，求方程组的通解；
8、设，它们相似吗？
9、求矩阵的最小多项式和若当标准型。
10、讨论二次型何时正定(思远福大考研网)。
二、解答题（第11-18题，每题15分满分120分）
11、（1）设是正定实对称矩阵，则对任一正整数，存在正定实对称矩阵，使；
（2）设是满秩实矩阵，则存在正定实对称矩阵和正交矩阵，使。
12、设是数域，（表示元素在的矩阵全体），且，对于的子空间，,，证明：。
13、设为有理数域，是上的线性空间，是的线性变换，设，且，，证明：（1）线性无关；
（2）线性无关(思远福大考研网)。
14、设是数域上矩阵关于矩阵加法和数乘作成的线性空间，定义变换。（1）证明是上的的对合线性变换，即满足（恒等变换）的线性变换；（2）求的特征值和特征向量；
15、求多项式在有理数域上的分解式。
16、设，求一个正交矩阵，使成对角矩阵。
17、设向量分别属于方阵的不同特征值的特征向量(思远福大考研网)，证明向量组线性无关。
18、设是有限维欧式空间的一个正交变换，且其中是一个正整数且，是的恒等变换，令，证明：
课程编号：836课程名称：高等代数（含解析几何）
一、考试的总体要求
要求考生比较系统地理解高等代数的基本概念和基本理论，掌握代数的基本方法，要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力、综合运用所学的知识分析和解决问题的能力。
二、考试的内容及比例
1．多项式：数域，二元多项式、整除、最大公因式、互素、不可约多项式、因式分解定理、重因式、多项式、函数、复系数与实系数多项式的因式分解，有理系数多项式，多元多项式。
2．行列式：排列，n阶行列式的定义，n阶行列式的性质及计算，行列式展开（按一行(一列)展开，拉普拉斯定理）克莱姆法则。
3．矩阵：矩阵的概念，矩阵的运算，逆矩阵、矩阵乘积的行列式、分块矩阵、初等矩阵、初等变换，分块矩阵和初等变换及其应用，矩阵的秩。
4．线性方程组：n维向量空间，n维向量的线性相关性，向量组的极大线性无关组，向量组的秩和线性方程组的解法、有解的判别原理、解的结构。
5．二次型：二次型及其矩阵表示，二次型的标准型、唯一性、化二次型为标准型，正定二次型。
6．线性空间：集合、映射、线性空间的定义与性质。基、维数与坐标、基变换与坐标变换，线性子空间，子空间的交与和，直和，线性空间的同构。
7．线性变换的定义及其运算，线性变交换的矩阵，特征值与特征向量，对角矩阵，线性变换的值域与核、不变子空间。
8．λ-矩阵：λ-矩阵的概念，λ的矩阵在初等变换下的标准型，行列式因子，不变因子，及初等因子，矩阵相似的条件，矩阵的若当标准型及理论推导。
9．欧几里德空间：欧几里德空间的定义与基本性质，标准正交基，欧氏空间的同构和正交变换，子空间及其正交系，正交补，对称矩阵的标准形。向量到子空间的距离，最小二乘法，酉空间。
各部分占10%左右。
三、考试的题型及比例
1．填空题15%。2．计算题40%。3．证明题45%。
四、考试形式及时间
自然界中存在无数的无序、非平衡和随机的非线性系统。自然界面对的更多的是非线性问题。而我们的大学物理教学介绍的几乎全是线性问题, 即使遇到非线性问题, 不是回避就是把它线性化, 这是大学物理教学的一个缺点。我们在大学物理教学中引入混沌、复杂网络及自组织临界理论和分形等非线性物理知识, 通过介绍理论和在课堂上用多媒体演示, 使大学一年级的学生很容易理解非线性物理的知识, 对物理规律的认识更加深入和全面, 并取得了良好的教学效果。
二、混沌
非线性动力学中提出的混沌理论已经成为目前非线性科学研究中的热点问题。无数的无序、非平衡和随机的非线性系统存在于自然界中。美国的著名气象学家Lorenz建立了一个仿真的气象模型。Lorenz的气象模型对初始条件的微小不同是非常敏感的, 他把此种现象称之为“蝴蝶效应”。也就是说:在巴西热带雨林的蝴蝶扇动翅膀, 有可能在美国德克萨斯州产生一场龙卷风。这个效应告诉我们初始条件非常重要。
我们尝试在大学物理课堂教学上用多媒体演示各种典型混沌系统的吸引子和功率谱, 运用MATLAB编程展示系统如何进入混沌, 还有混沌对初值的敏感性, 许多非线性动力学系统都是通过倍周期分岔从规则运动进人混沌运动的, 系统如果处于混沌运动状态, 那么它以后的运动状态将敏感依赖初值, 并且具有不可预测性。我们通过这些多媒体演示, 使大学一年级学生很容易理解非线性混沌的知识, 并取得了较好的教学效果, 对大学本科学生的物理教学具有指导意义。
三、复杂网络和自组织临界理论
(一) 复杂网络
自然界和人类社会中存在的大量复杂系统都可通过各种网络来描述。至于用什么样的网络拓扑结构才能对实际系统进行准确的描述, 人们研究此问题经历了三个时期:规则网络、随机网络和复杂网络。最初科学家们认为真实系统各因素间的关系可用一些规则结构表示, 如欧几里德网格。后来数学家们构想, 两个节点之间连边与否不再具有确定性, 而是由概率确定, 此网络称为随机网络。近十几年来科学家研究得出结论:很多实际网络既不是随机网络, 也不是规则网络, 而是具有与随机网络和规则网络都不同性质的网络, 称之为复杂网络。这些工作发表在国际顶级期刊Nature和Science上, 对复杂网络的研究标志着第三个时期的网络研究的来临。
Watts.D.J等经过研究发现, 复杂网络具有无标度特性和小世界效应, 这是复杂网络与随机网络和规则网络都不同的统计特征。描述网络的基本参数有两个:网络的平均距离和网络的簇系数。在网络中, 连接两个节点最短路径所包含的边的数目称为它们间的距离, 网络的平均距离就是把所有节点对的距离求平均。规则网络和随机网络是两个极端。只需要在规则网络上稍作随机改动就可以同时具备大的簇系数和小的平均距离两个性质。物理学家把大的簇系数和小的平均距离两个特征统称为小世界效应。
我们尝试在大学物理课堂教学上用多媒体演示了复杂网络和规则网络、随机网络的不同之处, 通过这些演示, 可以使大学一年级的本科生对复杂网络和规则网络、随机网络有简单的了解, 并取得了不错的教学效果, 也对网络的认知更加全面。
(二) 自组织临界理论
社会生活和自然界中存在着众多的“标度不变”行为。很多不规则复杂的分形结构存在于自然界中, 例如山峦、海岸线、云雾等, 它们的基本特征共同之处都是同时具有标度不变性和自相似性。在生物学、地震学、社会学、经济学和语言学里, 我们也总是能找到某一个量N (S) 来表示为另一个量S的幂次:N (S) ∞S-τ, 即这个量的概率分布在双对数图上基本是一条直线, 它表明对其而言无特征尺度, 各种大小的量均可出现。Bak P等人提出自组织临界理论来解释此现象, 他们用原胞自动机模型 (现在被称为“沙堆模型”) 来阐述自组织临界理论, 其雪崩大小概率分布服从幂指规律, 表明雪崩事件是高度关联的。
复杂网络可广泛用来描述自然与社会领域的众多现象, 网络是包含大量个体及个体之间相互作用的系统, “节点”代表系统的组成元素, “边”说明元素之间的关系。物理学家研究发现很多真实网络的度分布也呈现无标度特性。复杂网络的无标度特性表明它与自组织临界性存在着极其密切的关系。Arcangelis L De等以沙堆模型为背景研究了二维小世界网络的自组织临界性, 对于任意的重连概率, 系统均展示自组织临界行为。网络拓扑结构是否会影响沙堆模型中的雪崩动力学是物理学家争论的一个焦点, 周涛等对无标度网络上自组织临界沙堆模型的研究表明, 沙堆模型的雪崩动力学性质对复杂网络特殊的拓扑结构非常敏感。潘贵军等研究了复杂网络上定向沙堆模型的自组织临界行为, 发现网络的方向性显著影响了复杂网络上的动力学行为。孙凡等还研究了复杂网络上地震模型的自组织临界行为, 发现不同的不均匀性、倒塌规则和驱动机制一定会影响系统的临界行为, 改变模型的普适类。这些工作对复杂系统研究都具有积极的意义。
我们尝试在大学物理课堂教学上用计算机编程演示了自组织临界沙堆模型, 通过这些演示, 可以使大学一年级的学生对自组织临界理论有简单的了解。通过这些多媒体演示, 使大学一年级学生很容易理解自组织临界理论的一些基本概念和基本观点, 并取得了较好的教学效果。
四、分形
分形理论是非线性物理的一个重要分支。分形 (Fractal) 概念是由Mandclbrot BB在Science上发表的一篇论文中提出的。目前分形理论已经应用于很多领域, 如数学、材料学、生物学、地理学和计算机科学等。
(一) 谢尔宾斯基“地毯”
谢尔宾斯基“地毯”是一种规则分形, 此分型的形成方法是取一正方形, 将它等分为九个正方形, 我们去掉中间的正方形, 随后把留下来的八个正方形彼此再均分成为更微小的九个正方形, 然后我们再去掉彼此中央的正方形。我们按照这个规则一直分至无穷小, 它的极限图就构成了谢尔宾斯基“地毯”。这个极限图形的面积是接近零的, 但是小正方形的数量接近无穷打, 作为小正方形边的线段总长度趋于无穷大。它的图形则具有严格的无标度性和自相似性, 图形的空间维数处于1和2之间。
(二) 科契雪花曲线
“科契雪花”曲线的构造规则是, 以一个正三角形作为源多边形, 即为初始元。将正三角形的每一条边三等分, 舍去中间的1/3, 而改变成夹角为60°的两端等长的折线。从该三角形一条边出发进行演变的过程:首先将正三角形的一条边的直线部分按生成元来变形, 形成折线, 照这样不断继续下去, 一直到无穷, 它的极限图形就形成了科契曲线的一部分。再将该部分曲线顺、逆时针各旋转300°, 拼接组合, 即形成科契曲线。因为它的形状很像雪花, 所以我们称之为“科契雪花”曲线。
我们在课堂上介绍了两种基本规则分形图形谢尔宾斯基“地毯”和“科契雪花”曲线的形成过程, 计算了它们各自的分维值, 并用MATLAB程序进行了模拟绘制。我们通过多媒体演示, 使大学一年级的学生很容易掌握分形的知识, 并取得了很好的教学效果。
五、结语
在大学物理课堂上引入混沌、复杂网络及自组织临界理论和分形等非线性物理知识, 通过介绍混沌、复杂的网络及自组织临界理论和分形的基本理论, 以及在课堂上用多媒体演示混沌吸引子、复杂网络和自组织临界沙堆模型、分形图形的形成过程, 使大学一年级的学生对非线性物理的知识有一个简单的了解, 可使大学一年级学生对物理规律的认识更加深入和全面, 并取得了不错的教学效果。
参考文献
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关键词：常系数线性递推数列组;线性代数;通项公式
在实际生活中经常会出现各种各样的递推关系，有些递推关系可以用迭代或者其他的方法和技巧求解，有一类重要的递推关系则需要用一种系统的方法明确地求解。在这类递推关系中，数列的某项由它前项的线性组合来表示。
一、定义和定理
定义2：设A是数域K上的n级矩阵，如果Kn中有非零列向量α，使得Aα=λ0α，且λ0∈K
则称λ0是A的一个特征值，称α是A的属于特征值λ0的一个特征向量。|λI-A|称为矩阵特征多项式。
定理1：数域K上n级矩阵A可对角化的充要条件是：A中有n个线性无关的特征向量，α1，α2，…，αn，此时令P=（α1，α2，…，αn），则P-1AP=diag{λ1，λ2，…，λn}。
二、常系数线性递推数列组的解法步骤
通过迭代可以把方程组（1）An+1=A·An=A2·An-1=…An·A1。
第一步：利用定理1判断矩阵是否可以对角化。
第二步：若矩阵A可以对角化，则An=（P·diag{λ1，λ2，…，λn}·P-1）n=P·diag{λ1n，λ2n，…，λnn}·P-1，将其代入An+1=An·A1得方程组（1）的解。
若矩阵不可以对角化，则方程组（1）有无穷个解。
三、应用举例
例1递推数列组xn+1=xn+2ynyn+1=4xn+3yn（其中x1=4，y1=11）的通项公式。
解：特征方程f（λ）=|λI-A|=λ-1 -2-4 λ-3=0，特征根为λ1=5，λ2=-1。对于λ1=5对应的特征向量α1=12，对于λ2=-1对应的特征向量α2=1-1。则A中有2个线性无关的特征向量：α1，α2，因此可对角化。令P=1 12 -1，则：xn+1yn+1=An+1=An·A1
=1 12 -1·5n 00 （-1）n·1 12 -1 ·411=5n+1+（-1）n+12.5n+1-（-1）n+1。
解：特征方程f（λ）=|λE-A|=λ-1 2 4 2 λ-4 2 4 2 λ-1=0，特征根为λ1=5（二重），λ2=-4。
对于λ1=5对应的特征向量α1=1-20，α2=10-1，对于λ2=-4对应的特征向量α3=212。则A中有3个线性无关的特征向量：α1，α2，α3，因此A可对角化。令P= 1 1 2-2 0 10 -1 2，则xn+1yn+1zn+1=An+1=An·A1= 1 1 2-2 0 10 -1 2·5n 0 00 5n 00 0 （-4）n· 1 1 2-2 0 10 -1 2-1
参考文献：
[1]邱维声.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2004.
[2]同济大学应用数学系.线性代数[M].北京：高等教育出版社，2006.
[3]宋立温.用特征根法求常系数线性递推数列的通项[J].山东电子学报，2007（2）：67-68.
一、填空（每题2分，共20分）1.N(n12…(n-1))=。
2.设D为一个三阶行列式，第三列元素分别为-2，3，1，其余子式分别为9，6，24，则D=。
3.关于线性方程组的克莱姆法则成立的条件是
，结论是。
4.n阶矩阵A可逆的充要条件是，设A*为A的伴随矩阵，则A-1=。
5.若n阶矩阵满足A2-2A-4I=0,则A-1=。
112212343312344=，46.=。7.设向量组1,2,3线性相关，则向量组1,1,2,2,3,3一定线性。
A1A*A8.设A三阶矩阵，若=3，则= ,=。
9.n阶可逆矩阵A的列向量组为1,2,n，则r(1,2,n)=。10.非齐次线性方程组AmnX=b有解的充要条件是。
二、单项选择题（10分，每题2分）
k12k10的充要条件是（）1．2。
（a）k1（b）k3（c）k1,且k3（d）k1,或k3 2.A,B,C为n阶方阵，则下列各式正确的是（）(a)AB=BA(b)AB=0,则A=0或B=0(c)（A+B）（A-B）=A2-B2 d)AC=BC且C可逆,则A=B 3.设A为n阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）
A10A0,(a)(b)(c)r(A)=n(d)A的行向量组线性相关 4.设矩阵A=(aij)mn，AX=0仅有零解的充要条件是（）(a)A的行向量组线性无关(b)A的行向量组线性相关(c)A的列向量组线性无关(d)A的列向量组线性相关
5.向量组 1,2,s的秩为r,则下述说法不正确的是（）(a)1,2,s中至少有一个r个向量的部分组线性无关
(b)1,2,s中任何r个向量的线性无关部分组与1,2,s可互相线性表示
(c)1,2,s中r个向量的部分组皆线性无关(d)1,2,s中r+1个向量的部分组皆线性相关
三、判断题（正确的划√，错误的划х，共10分，每题2分）1．5级排列41253是一个奇排列。（）
2．A为任意的mn矩阵, 则ATA, AAT都是对称矩阵。（）
3．1,2,s线性无关，则其中的任意一个部分组都线性无关。（）
0004．行列式1001001001000=-1（）
5．若两个向量组可互相线性表示，则它们的秩相等。（）
四、计算n阶行列式（12分）
xaaaxaaaxaaaaaaaaaax
223110121(13分)注：A不可逆，修改为 2．解矩阵方程AX=A+X,其中A=232110122
3．求向量组1(2,4,2),2(1,1,0),3(2,3,1)，4(3,5,2)的极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。（10分）4．用消元法解下列方程组。（15分）
x1x2x3x41x1x2x3x401xx2x2x12342
五、证明题（从下列三题中任选两道, 每题5分，共10分）
1．设向量组1,2,3线性无关，证明1,12,123也线性无关。（5分）
2．已知向量组,,线性无关，而向量组,,,线性相关，试证明：（1）向量一定可由向量组,,线性表示；（2）表示法是唯一的。（5分）
3． A,B是同阶对称矩阵，证明：AB为对称矩阵的充要条件是A与B可交换。（5分）
线性代数试题(一)答案
一．(1).n(n1)(2).–12 2xjDJD(3).线性方程组的系数行列式D0；方程组有唯一解且
1231*1A(A2I)A0A4(4).；(5).(6).30，41(7).相关(8).3, 9(9).n(10).234468691281216
rAbrA
二．(1)C(2)D(3)D(4)C(5)C 三．(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√ 四.n1[x(n1)a](xa)(1).321X40(2).31230412
(3).极大线性无关组为1,2
312;412(4)全部解为： 12
11TT,0c11,1,0,0c20,0,1,1,0,22(c1 ,c2为任意常数)五．略
线性代数试题及答案
说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵。表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错癣多选或未选均无分。
1.设3阶方阵A的行列式为2，则()
TA.-1 B.C.D.1
2.设 则方程 的根的个数为()A.0 B.1 C.2 D.3
3.设A为n阶方阵，将A的第1列与第2列交换得到方阵B，若 则必有()A.B.C.D.4.设A,B是任意的n阶方阵，下列命题中正确的是()A.B.C.D.5.设 其中 则矩阵A的秩为()A.0 B.1 C.2 D.3
6.设6阶方阵A的秩为4，则A的伴随矩阵A*的秩为()A.0 B.2 C.3 D.4
7.设向量α=(1，-2，3)与β=(2，k，6)正交，则数k为()
A.-10 B.-4 C.3 D.10
8.已知线性方程组 无解，则数a=()A.B.0 C.D.1
9.设3阶方阵A的特征多项式为 则()
A.-18 B.-6 C.6 D.18
10.若3阶实对称矩阵 是正定矩阵，则A的3个特征值可能为()
A.-1，-2，-3 B.-1，-2，3
C.-1，2，3 D.1，2，3
二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11.设行列式 其第3行各元素的代数余子式之和为__转载自百分网http://，请保留此标记________.12.设 则 __________.13.设A是4×3矩阵且 则 __________.14.向量组(1，2),(2，3)(3，4)的秩为__________.15.设线性无关的向量组α1，α2，…，αr可由向量组β1，β2，…,βs线性表示，则r与s的关系为__________.16.设方程组 有非零解，且数 则 __________.17.设4元线性方程组 的三个解α1，α2，α3，已知 则方程组的通解是__________.18.设3阶方阵A的秩为2，且 则A的全部特征值为__________.19.设矩阵 有一个特征值 对应的特征向量为 则数a=__________.20.设实二次型 已知A的特征值为-1，1，2，则该二次型的规范形为__________.三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)
21.设矩阵 其中 均为3维列向量，且 求
22.解矩阵方程
23.设向量组α1=(1，1，1，3)T，α2=(-1，-3，5，1)T，α3=(3，2，-1，p+2)T，α4=(3，2，-1，p+2)T问p为何值时，该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大无关组.24.设3元线性方程组 ，(1)确定当λ取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解?
(2)当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示).25.已知2阶方阵A的特征值为 及 方阵
(1)求B的特征值;
(2)求B的行列式.26.用配方法化二次型 为标准形，并写出所作的可逆线性变换.四、证明题(本题6分)27.设A是3阶反对称矩阵，证明|A|=0.线性代数B期末试题
一、判断题(正确填T，错误填F。每小题2分，共10分)1． A是n阶方阵，R，则有AA。（）
111AB0(AB)BA。（）2． A，B是同阶方阵，且，则3．如果A与B等价，则A的行向量组与B的行向量组等价。()4．若A,B均为n阶方阵，则当AB时，A,B一定不相似。()1,2,3,4线性相关，则1,2,3也线性相关。（）5．n维向量组
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．下列矩阵中，（）不是初等矩阵。
001100100100010000020012100(B)010(C)001(D)001（A）2．设向量组1,2,3线性无关，则下列向量组中线性无关的是（）。
（A）12,23,31（B）1,2,31（C）1,2,2132（D）2,3,223
12(A2E)（）AA5E03．设A为n阶方阵，且。则
11(AE)(AE)(A)AE(B)EA(C)3(D)3
4．设A为mn矩阵，则有（）。
（A）若mn，则Axb有无穷多解；
（B）若mn，则Ax0有非零解，且基础解系含有nm个线性无关解向量；（C）若A有n阶子式不为零，则Axb有唯一解；（D）若A有n阶子式不为零，则Ax0仅有零解。
5．若n阶矩阵A，B有共同的特征值，且各有n个线性无关的特征向量，则（）
（A）A与B相似（B）AB，但|A-B|=0（C）A=B
（D）A与B不一定相似，但|A|=|B|
三、填空题（每小题4分，共20分）
012n10。1．n*A13AA2．A为3阶矩阵，且满足3,则=______。
1021112423421570是线性（填相关或3．向量组，，无关）的，它的一个极大线性无关组是。
4． 已知1,2,3是四元方程组Axb的三个解，其中A的秩R(A)=3，14241233444，，则方程组Axb的通解为。
231A1a1503，且秩(A)=2，则a=
。5．设
四、计算下列各题（每小题9分，共45分）。
121A342122，求矩阵B。1．已知A+B=AB，且
Tn2.设(1,1,1,1),(1,1,1,1)，而A，求A。
3.已知方程组 有无穷多解，求a以及方程组的通解。
4.求一个正交变换将二次型化成标准型
222f(x1,x2,x3)x12x22x34x1x24x1x38x2x3
5． A，B为4阶方阵，AB+2B=0，矩阵B的秩为2且|E+A|=|2E-A|=0。（1）求矩阵A的特征值；（2）A是否可相似对角化？为什么？；（3）求|A+3E|。
五．证明题（每题5分，共10分）。
1．若A是对称矩阵，B是反对称矩阵，ABBA是否为对称矩阵？证明你的结论。
----------应化11 王阳（2110904024）
时间真快，一转眼看似漫长的大一就这样在不知不觉中接近尾声。纵观一年大学的学习和生活，特别是在线代的学习过程中，实在是感慨颇多。在此，我就从老师教学和自身学习方面，谈谈自己的一点体会。
老师在教学中，也应该以一些具体的实例入手来教学，如果脱离了实际应用，只是讲抽象的概念和式子，是很难明白的，并且有实例的对照，可以加深记忆理论知识。然后要注重易混淆概念的区别，必要时应该拿出来单独讲讲，比如矩阵和行列式的区别，矩阵只是为了计算线性方程而列的一个数据单而已，并无实际意义。而行列式和矩阵有本质的区别，行列式是一个具体的数值，并且行列式的行数和列数必须是相等的。其实老师在教学过程中，应该学会轻松一点，我不希望看到老师在讲台上讲得满头大汗，而学生坐在下面听得云里雾里的场面，这就需要老师能够精选一些内容讲解，不需要都讲，而其他相关的内容让学生自己通过举一反三就得到就可以了。老师可以自己选一些经典的例子来讲，而不一定要讲书上的例子。然后对于例子中的计算，老师就可以不用算了，多叫学生动动手，增加我们的积极性，并且这样也更能发现问题。再就是线性代数的课时少，这是一个客观存在的原因，所以更要精讲。而不需全部包揽。当然，若果能通过改革，增加课时是最好不过了。这也算一点小小的建议吧。
再者，在自身学习过程中，我想说明的是，大学里的学习是不能靠其他任何人的，只能靠自己，老师只是起到一个引导作用。所以教材是我们最重要的学习资源，如果没有书本，就是天才也不可能学好。总体看来，我们使用的课本题型简单易懂，非常适合初学者学习。但它也有许多的不足之处，就个人在看这本教材时，觉得它举得实例太少了，并且例子不太全面，本来线性代数是一门比较抽象的学科，加上计算量大，学时少，所以要学好它，就只有靠自己在课余时间多加练习，慢慢领悟那些概念性的东西。然后对于教材内容的侧重点，我觉得应该放在线性方程组这一块，因为它是其他问题的引出点，不管是矩阵，行列式，还是矩阵的秩和向量空间，都是为线性方程组服务的。我们对向量组的线性相关性的讨论，还有对矩阵的秩，向量组的秩的计算，都是为了了解线性方程组的解的情况。在线性方程组的求解过程中，我们运用了矩阵的行变换来求基础解系，当然这就相当于求极大无关组。还有对线性相关和线性无关的讨论，这也关系到线性方程组的解。所以在改革中，应该拿线性方程组为应用的实例，来一步一步的解剖概念和定理。当然一些好的、典型的解题方法，也应该用具体的例子来讲解，这是一本教材必须具备的。
当然在学习过程中，我们应该具备能够整体把握老师所讲重点的能力，注意各个章节的联系。数学中的概念往往不是孤立的，理解概念间的联系既能促进新概念的引入，也有助于接近已学过概念的本质及整个概念体系的建立。如矩阵的秩与向量组的秩的联系：矩阵的秩等于它的行向量组的秩，也等于它的列向量组的秩；矩阵行(列)满秩，与向量组的线性相关和线性无关也有一定的联系。知识体系是一环扣一环，环环相连的。前面的知识是后面学习的基础，如用初等变换求矩阵的秩熟练与否，直接影响求向量组的秩及极大无关组，进一步影响到求由向量组生成的向量空间的基与维数；又如求解线性方程组的通解熟练与否，会影响到后面特征向量的求解，以及利用正交变换将二次型化为标准型等。因此，学习线性代数，一定要坚持温故而知新的学习方法，及时复习巩固，为此，老师课前的知识回顾以及学生提前预习是十分必要的。对于后来学的，应该多翻翻书看看前面是怎么说的，往往前面学习的内容是为后面做铺垫的，所以在学了后面的知识后，再看前面的知识，会对前面的知识有一个新的认识，会更好的加深对它的理解和记忆。这一点上老师您做的很好。
然后对于书上花了很大的篇幅写的matlab实验，我觉得这是好事，但是在教学中老师是不会教我们的，因为课时有限，这是情理当中的，但是作为学生，我觉得应该好好地利用书上的资源，单靠做练习的笔头功夫是难以解决实际问题的。
关键词： 线性代数；高等代数；对角矩阵；二次型；标准型
【中图分类号】 O153
Algebra Ideal as Main Line- Dealing with them by the Comparable and Compatible Way in the Process of Teaching of Linear Algebra and Advanced Algebra
（Science college， Civil Aviation University of China， Tianjin 300300， P. R. China）
Abstract： In this paper， we principally discuss the relation of knowledge about Linear Algebra and Advanced Algebra. Dealing with them by the comparable and compatible way in the process of teaching of Linear Algebra and Advanced Algebra， and make student realize and comprehend them better， furthermore learn them better.
Key words： Linear Algebra； Advanced Algebra； Diagonal matrix； Quadratic form； Standard form
資助项目：2014中国民航大学教育教学改革研究课题（项目编号：CAUC-ETRN-2014-54）资助。
1.引言
理工科学生从大一下学期开始一学期的线性代数的学习，数学专业（包括信息与计算科学专业）的学生从大一上或下学期开始为期一年的高等代数的学习。线性代数内容相对高等代数来说简单一些，但一些结论通常不给出证明，而在高等代数中往往会找到相关结论的定理的证明，如果在线性代数课堂适当引入这些证明，学生会有新鲜感和深度感，从而更加认可老师的知识储备，进而更喜欢听老师所讲的内容；高等代数比线性代数多了不少内容，除了多项式之外，还多了 矩阵，欧几里得空间等章节，内容相对线性代数来说要复杂一些，学生会觉得抽象而且无从下手，如果能从线性代数的角度，抓住主要的脉络及代数思想，给学生理清头绪，会让学生觉得轻松很多，从而增加学习高等代数的兴趣。在线性代数和高等代数课程实际教学中，抓住代数思想这根主线，进行二者相通、兼容方面的探索与实践是非常必要和有意义的。
2. 以代数思想为主线-线性代数和高等代数课程教学的相通与兼容
线性代数与高等代数有非常密切的联系，只是线性代数是理工科的公共基础课，而高等代数是数学专业的专业课。本文接下来主要从二次型化标准型方面讨论线性代数和高等代数在教学中相通兼容之处。
2.1二次型化标准型
二次型化标准型，线性代数和高等代数相通的地方就是都涉及了对称阵的对角化问题。在高等代数中，二次型化标准型主要有如下三种方法，设所研究的二次型有如下形式：
（1）配方法：用配方法化二次型为标准型的关键是消去交叉项，分如下两种情形处理：
情形1：如果 ，则集中二次型中含 的所有交叉项，然后与 配方，并作非退化线性替换
对 重复上述方法直到化二次型 为标准型为止。
情形2：如果二次型 不含平方项，即 ，但含某一个 ，则可先作非退化线性替换
把 化为一个含平方项 的二次型，再用情形1的方法化为标准型。
（2）初等变换法：
用非退化线性替换 化二次型 为标准型，相当于对对称阵 找一个可逆矩阵 ，使 为对角阵。由于可逆矩阵 可以写成若干初等矩阵 的乘积，即 ，从而有 ，
。根据初等变换的有关性质（用初等矩阵左（右）乘矩阵 相当于对 作一次初等行（列）变换），由上式可得到用初等变换法化二次型为标准型的步骤如下：
第一步 写出二次型 的矩阵 ，并构造 矩阵 ；
第二步 对矩阵 进行初等行变换和同样的初等列变换，把 化为对角阵 ，并对 施行与 同样的初等列变换化为矩阵 ，此时 ；
第三步 写出非退化线性替换 ，化二次型 。这个方法的示意图如下
（3）正交变换法：
写出二次型 的矩阵 ，求矩阵 的特征值 及相应的特征矢量 ，把特征矢量正交化单位化得 ，把正交化单位化后的特征矢量作为列矢量组成正交矩阵 ，做正交变换 ，则有二次型化为标准型
。
在线性代数中提及了配方法和正交变换法，着重考察正交变换法，对于初等变换法没有涉及，因此在线性代数实际的教学中，可适当引进初等变换法，比起正交变换法，学生更熟悉，简单且易于把握。最后还要从几何的角度告诉学生，正交变换的好处是保持矢量的长度不变，更直观的是，在三维几何空间中，当 时，对应的是坐标轴的旋转变换，进而可把二次曲面的方程化简成标准型，从标准型我们就能判别它是何种曲面了。像这样，在线性代数教学中渗透高等代数和几何的知识，使之相互影响，能更好的激发学生学习线性代数的兴趣和探索代数系统奥秘的动力。
3. 总结
总之，线性代数和高等代数这两门课程在内容上有诸多的相通之处，如果在实际教学中能抓住“代数思想”这根“线”，很好地把二者相结合，相辅相成，必定会对这两门课的教学效果和教学质量起到积极的促进作用。
参考文献
[1] 北京大学数学系几何与高等代数教研室代数小组编. 高等代数（第三.版）[M]. 北京，高等教育出版社，2003
[2] 工程数学-线性代数. 同济大学数学系（第五版）[M]. 北京，高等教育出版社，2007
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