相交线平行线（精选12篇）
对顶角：“对”是正对着，“顶”是角的顶点，放在一起就是角的顶点正对着的一组角是对顶角；
同位角:“同”的意思是分别在两条线的同一侧，同时在第三条线的同一侧，“位”指的是位置，放在一起就是位置相同（三条线的位置）的一组角；
内错角：“内”指的是两个角在两条线的内部，“错”指的是两个角被第三条线分错开，放在一起就是在两条线内部，同时在第三条线两侧的一组角；
同旁内角：“同旁”指的是在第三条线的同一侧，“内”指的是两个角在两条线的内部，放在一起就是在两条线内部，同时在第三条线同一侧的一组角；
二、学习习近平行线时要注意是在同一平面内；同一平面内的线的位置关
系有几种，都是什么？线和点的位置关系有几种，都是什么，在本章节中哪个定理性质涉及到了这一点？
如：
1、过任意一点可以做一条直线与已知直线平行是否正确？
关键词：图式教学,概念图,思维导图
数学人教版七年级下册《相交线与平行线》单元与七年级上册《几何图形初步》单元相比, 对学生的学习要求有较大的提高, 在内容呈现上既注重直观性, 又充分体现了认知过程, 给学生提供了探索、交流的空间。这一章的教学担负着一些技能的培养、能力的训练, 既有几何语言、图形方面的, 也有说理、推理方面的。这些内容, 都是进一步学习空间与图形知识的基础。所以在本章教学中, 笔者尝试采用图式教学模式, 即借助概念图、思维导图来帮助学生辨析知识点之间的关系。
一、借助概念图, 辨析概念之间的差异性……
概念图是某个主题的概念及其关系的图形化表示, 是用来组织知识的工具。它通常将某一主题的有关概念置于圆圈或方框之中, 然后用连线将相关的概念和命题连接, 连线上标明两个概念之间的意义关系。在本单元中, 可以借助于概念图以视觉化形式呈现两角关系概念之间的联系, 凸显知识结构的细微差别。
第一小节的主要内容是相交线所成的角──邻补角、对顶角。学生已经掌握了余角、补角的概念, 它们与新概念之间有怎样的联系呢?笔者设计了下图:
在图1中, 学生容易发现“邻补角”与“补角”的异同点, 能够识别命题“邻补角互补”与“互补的角是邻补角”孰真孰假。学生也可以感受到教材难度的渐进性, 从单纯的研究数量关系, 过渡到对两角之间“关系”的全面认识。在本节内容的教学中, 应重点强调邻补角、对顶角位置上的特征。设计一些易混淆的命题让学生辨析, 如“两个角互补且有公共顶点、公共边, 那么这两个角是邻补角”、“相等且有公共顶点的两个角是对顶角”等, 让学生熟悉对顶角、邻补角的共同特征, 为以后区别同位角等奠定了基础。
第三小节, 认识同位角、内错角、同旁内角, 笔者设计了区别五种角的关系的概念图 (见图2) 。
这幅概念图有两方面的优势:
1.“识别码”是分类的重要依据。
当相交的直线只有3条时, 学生容易辨认角的关系。但随着条数的增加, 图形逐渐变得复杂, 就会出现混淆或者找不全某种关系的角。
例如:如图3, △ABC中, 直线BD与边AC交于点D, 图中有同旁内角吗?如果有, 请找出所有的同旁内角。图中有同位角吗?
识别三线八角的“识别码”是截线, 图3中共有4条直线。在寻找同旁内角的时候, 可以把这4条直线分别当成截线, 然后找出截线同侧, 被截线之间的角, 即可不重不漏地找出所有的同旁内角。如果不强调两种“识别码”之间的区别, 学生在练习中, 容易把∠ABD、∠ABC看成同位角。他们会把直线AB看成截线, 把直线BD、BC看成被截线, 认为这两个角在截线同侧, 被截线同方向。通过图2, 学生就能发现“问题”, 这两个角居然具备对顶角、邻补角的“识别码”:公共端点!所以它们不是同位角。
2. 理解同位角、内错角、同旁内角只表示特殊的位置关系。
在学习命题时, 学生受“对顶角相等”定理的负迁移, 认为“同位角相等”“内错角相等”“同旁内角互补”都是真命题。通过图2的比较, 可以让学生对概念的理解更加深刻, 不被表征的相似所迷惑, 从内在逻辑关联性上理解知识。
二、构建思维导图, 直观呈现思维的开放性
思维导图是学生把要学习的主题用方框或圆圈围起, 以画图的形式来表达自己的思想。主题可以用关键词和图象来表示, 把中心主题作为起始节点, 放射状地画出多条射线, 每条射线的末端是和主题相关联的次级节点 (次主题) , 而每一个次级节点可以成为一个新的中心主题, 以相同的方式继续向外发散, 产生更多的思维节点。
本章教学的重点是垂线的概念与平行线的判定与性质。因为这些知识是“图形与几何”领域的基础知识, 是以后学习几何的基本工具。学好这部分重点内容的关键是要使学生理解与相交线、平行线有关的角的知识, 因为直线的位置关系是通过有关角的知识反映出来的。
在教学垂线的判定时, 笔者设计了开放式思维导图, 如图4。
学生总结出判断两直线相交得到的夹角为90°的方法各异, 有对顶角互补、邻补角相等、夹角所在的三角形另两个角和为90°等。学生在绘制思维导图的过程中, 会不断产生新的发现。这种发现激发了学生的探究能力和创造性, 变被动学习为主动学习。
在教学平行线的判定时, 为了循序渐进地提高学生的推理能力, 笔者尝试让学生自主构建思维导图, 将说理的过程视觉化、结构化。基于构建垂直判定思维导图的经验, 学生顺利地设计出自己的思维导图。
平行线的性质与判定:
平行线的判定知识点之间的关系:
如果说图6是学生对垂线的判定思维导图 (图4) 的简单模仿, 那么图7就是对知识点之间关系融会贯通后创造性的神来之笔。这种创造性体现在思维导图表现形式上的创新, 由树状发散结构转变为循环互生的关系链, 改变了图6单线思维的状态, 启发了学生的联想力和创造力。
三、整合教材, 明晰章节之间知识的延展性
教材是课堂教学的蓝本, 教师就是要将教材这个“原著”创编为教学“演出”的“剧本”, 对教材内容进行重新优化整合, 着眼于学生数学思维能力的提升, 是提高课堂教学质量的关键。数学人教版七年级下册教材所包含的内容依次为相交线与平行线、实数、平面直角坐标系等。笔者主张整合教材内容, 改变教学顺序:在相交线与平行线这个单元之后紧跟平面直角坐标系单元, 因为这两个单元在知识点之间有着密切的联系, 整合后使逻辑关系更清晰, 如图8。
教学顺序的调整, 可以使学生在学习平面直角坐标系单元新知识的同时, 对相交线与平行线单元的核心概念有更深刻的认识, 有利于渗透数形结合的思想。
图式教学, 可以用教师完全呈现的概念关系图, 也可以由学生自主构建思维导图。在分析与构建的过程中, 能将分散的数学知识点系统化, 抽象的数学原理形象化, 复杂的思维过程静态化, 提高学生的推理能力, 为实现由实验几何到论证几何的过渡打下基础。
参考文献
[1]井翠清.概念图教学法[J].现代阅读, 2011 (10) .
[2]傅锦国.巧用思维导图构建知识网络[J].科技创新与应用, 2013 (2) .
在同一平面内，任意画两条直线，只可能有相交和平行两种情况.
对于相交，同学们不仅要知道邻补角、对顶角，而且要知道“三线八角”；对于平行，同学们不仅要知道平行线的判定，而且要知道平行线的性质.
一、生活中的平行
在生活中，大量物品的设计中运用了平行，
你能说出它们的原理吗？你能通过自己的方法，利用生活中随处可见的材料“做”平行线吗？你能用平行解决生活中的小问题吗？
1.交通中的平行，
衣食住行，正常的生活运转中自然是少不了交通了，表1展示了交通中的平行.
人行横道指的是在车行道上用斑马线等标线或其他方法标示的、规定行人横穿车道的步行范围，斑马线是保证人们安全行走的必要交通标线，通常采用白色矩形平行排列的方式，如图1所示.这样的标线比较整齐，容易划定行人行走的安全区域，并且比较醒目，
如果不采用平行线的画法会怎么样呢？如果用相交线，那么，就会出现图2的样子，显得比较乱，也不能有效划定行人行走的安全区域.
随着生活水平的提高，越来越多的人掌握了驾驶车辆的技能，在倒车中也应用着平行，图3是一辆车倒人车库的简图，
试想一下，如果车在车库门口停到了合适的距离，但是车身没有与墙壁保持平行，会出现什么样的情况呢？就会出现图4的情况，在车缓慢进入车库时，车身会与墙壁相碰撞.
2.物品中的平行.
表2展示了物品中的平行.你能分析出它们在设计中是怎样应用平行的吗？
铝合金窗的上窗架和下窗架是平行的（如图5），这样是为了确保矩形玻璃能顺利地被推拉.
在潜望镜中，两个镜面是平行放置的，如图6所示.光线进入遇到镜面，然后反射到另一个镜面，进而再反射进入人眼，
由镜面反射可知，∠1与∠2相等，∠3与∠4相等.由于两个镜面是平行放置的，故∠2与∠3相等.于是，∠1=∠2=∠3=∠4，入射光线和反射到人眼的光线就是平行的，这样通过潜望镜所看见的物体形状不发生改变.
二、动手“做”平行线
利用身边的一些东西，我们可以轻松地“做”平行线.下面是A同学“做”平行线的过程，看你是否可以得到一些启发.
1.猜想.
怎样用最简单的方法，用最少的材料“做”平行线？
我们已经学过：同位角相等，两直线平行.据此能否在纸上折出平行线呢？
接下来要做的活动可以分解为：
①折出一个角.
②再折出另一个角，使其与已折出的角相等.
2.动手制作.
如表3中图7～图10所示.
你能试着像A同学一样折出相互平行的折痕吗？
其实，我们身边有很多东西（比如纸、量角器、直尺、三角板……），借助这些东西，我们可以“做”平行线，
反思整个过程，如果想要折出平行线，我们就要在头脑中思考这样的问题：
平行线具有什么样的特征？
应该利用什么东西来进行怎样的操作才能“做”平行线？
“做”平行线后，怎样证明所“做”的两条线是平行的？
看过A同学“做”平行线的整个过程，想必你也深受启发吧！
想一想，还有什么样的方法能够“做”平行线呢？
我们可以利用“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”（即“同位角相等，两直线平行”），也可以利用“内错角相等，两直线平行”或“同旁内角互补，两直线平行”等“做”平行线，
选定理论依据后，想一想利用什么东西“做”平行线，比如：纸、量角器、三角板……
1、互补与互余及其性质：同角或者等角的余角（补角相等）
2、邻补角 & 对顶角（性质）：对顶角相等
3、垂线与垂足：
过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直。
垂直于同一直线的两条直线平行。
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的长度。
4、同位角 & 内错角 & 同旁内角
5、平行及其判定（重点）
（1）平行线（同一平面内两条直线的位置关系）
(2)平行公理：
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
（3）判定方法：
1）同位角相等，两直线平行。
2)内错角相等，两直线平行。
3）同旁内角互补，两直线平行。
6、平行线的性质：(重点)
1）两直线平行，同位角相等。
2）两直线平行，内错角相等。
3）两直线平行，同旁内角互补。
7、命题与定理：
命题
命题由题设与结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。合唱常可以写成“如果„„那么„„”的形式。如果后接题设，那么后面接结论。
真命题 & 假命题
二、两组平行线的证明题【找出连接两组平行线的角】
1.已知：如图，CD平分∠ACB，AC∥DE，∠DCE=∠FEB，求证：EF平分∠DEB．
1、如图已知，AB∥CD.AF,CF分别是EAB、ECD的角平分线，F是两条角平分线的一、平行线之间的基本图 交点；求证：F
1B
2AEC.E F
C
D
B2、已知AB//CD，此时A、AEF、EFC和C的关系又如何？你能找出其中的规律吗？ E
D3、将题变为如下图：AB//CD此时A、AEF、EFD和D的关系又如何？你能找出其中的规律吗？
CD4、如图，AB//CD，那么A、C与AEC有什么关系？ E
C
D
E
C E B3、已知：如图
2-96,DE⊥AO于E,BO⊥AO,FC
⊥AB于C，∠1=∠2,求证：DO⊥AB.三、两组平行线构造平行四边形
1．已知：如图，AB是一条直线，∠C = ∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于G． 求证：AB∥CD ．
2、如图，E点为DF上的点，B为AC上的点，∠1=∠2，∠C=∠D，求证DF∥AC．
D
F
42A
(第22B 题)
C
五、寻找角之间的关系
1、如图2-97,已知：∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6.求证:AD∥BC.2、已知，如图，BCE、AFE是直线，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4。求证： AD∥BE。D
3．如图12，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1 +∠2 = 90°．求证：（1）AB∥CD；（2）∠2 +∠3 = 90°．
六、翻折
图10
3、如图，M、N、T和A、B、C分别在同一直线上，且∠1=∠3，∠P=∠T，求证：∠M=∠R。
四、证特殊角
1、AB∥CD，∠BAC的平分线和∠ACD的平分线交于点E，则∠AEC的度数是．
图7 图82、AB∥CD，直线EF与AB、CD分别相交于E、F两点，EP平分∠AEF，过点F作 PFEP垂足为P，若∠PEF＝30，则∠PFC＝_____．
3、如图，已知：DE∥AC，CD平分∠ACB，EF平分∠DEC，∠1与∠2互余，求证：DG∥EF.A1、如图，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和
为．
2、如图（1），已知矩形ABCD，将△BCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为C′，若
D
5.如图已知直线a∥b，AB平分∠MAD，AC平分∠NAD，DE⊥AC于E，求证：∠1=∠2．
ADC′=20°，则∠DBC=的度数为。
1题）
C
第16题
4、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝20°按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落
在边AB上的点C′处，则∠BDC=__________．
6.如图①是长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图②，再沿BF折叠成图③.（1）若∠DEF=20，则图③中∠CFE度数是多少？
（2）若∠DEF=α，把图③中∠CFE用α表示.图
D F C
(一判断题(每题2分,共10分
1.过线段外一点画线段的垂线,那么这条垂线一定是中垂线(2.如果两个角互为补角,那么它们的角平分线一定互相垂直……………………(3.两条直线不平行,同旁内角不互补………………………………………………(4.错误地判断一件事情的语句不叫命题……………………………………………（5.如图,AB∥CD,那么∠B+∠F+∠D=∠E+∠G…………………………（(二填空题(每小题2分,共18分
6.如图,当∠1=∠时,AB∥DC;当∠D+∠=180°时,AB∥DC;当∠B=∠时,AB∥CD.7.如图,AB∥CD,AD∥BC,∠B=60°,∠EDA=50°.则∠CDF=.8.如图,O是△ABC内一点,OD∥AB,OE∥BC,OF∥AC,∠B=45°,∠C=75°, 则∠DOE=,∠EOF=,∠FOD=.9.两个角的两边分别平行,其中一个角比另一个角的3倍少20°.则这两个角的度数分
别是.10.如图,AB∥EF∥CD,EG平分∠BEF,∠B+∠BED+∠D=192°, ∠B-∠D=24°,则∠GEF=.11.如图,AD∥BC,点O在AD上,BO、CO分别平分∠ABC、∠DCB,若 ∠A+∠D=m°.则∠BOC=______.12.有一条直的等宽纸带,按图(1折叠时,纸带重叠部分中的∠ =度.图(1 13.把命题“在同一平面内垂直于同一直线的两直线互相平行”写成“如果…那么…” 的形式是:如果______________,那么_____________.(三选择题(每小题3分,共21分
15.如图,已知直线AB与CD相交于点O,OE⊥CD.垂足为O,则图中∠AOE和 ∠DOB的关系是……………………………………………………………………((A同位角(B对顶角(C互为补角(D互为余角
16.如图,CD⊥AB,垂足为D,AC⊥BC,垂足为C.图中线段的长能表示点到直线(或线段距离的线段有…………………………………………………………((A1条(B3条(C5条(D7条
17.若AO⊥BO,垂足为O,∠AOC︰∠AOB=2︰9,则∠BOC的度数等于……((A20°(B70°(C110°(D70°或110°
18.下列命题中,真命题是……………………………………………………………((A同位角相等工(B同旁内角相等,两直线平行
(C同旁内角互补(D同一平面内,平行于同一直线的两直线平行 【
20.如图,AD∥EF∥BC,且EG∥AC.那么图中与∠1相等的角(不包括∠1的个 数是………………………………………………………………………………((A2(B4(C5(D6
21.某人从A点出发向北偏东60°方向速到B点,再从B点出发向南偏西15°方向速
到C点,则∠ABC等于……………………………………………………………((A75°(B105°(C45°(D135°
【
(四解答题(本题5分
22.根据命题“角平分线上的点到角的两边距离相等”,画出图形,并结合图形写出已知、求证(不证明.五、计算题(第23、24题,每题5分.第25、26题每题6分,共22分 23.如图,AB∥CD∥PN,∠ABC=50°,∠CPN=150°.求∠BCP的度数.24.如图,∠CAB=100°,∠ABF=110°,AC∥PD,BF∥PE,求∠DPE的度数.25.如图,DB∥FG∥EC,∠ABD=60°,∠ACE=36°,AP平分∠BAC.求∠P AG的度数.26.如图,AB∥CD,∠1=115°,∠2=140°,求∠3的度数.(五证明题(每题6分,共24分
1具体化世界, 感知直观的邻补角、对顶角的基本图形
具体化世界包括感知, 行为以及对感知和行为的反映, 也就是感知和行动的具体化世界.在这个世界中, 数学学习 的对象是 具体、形象和可见的.根据“学”的特点, 教学中, 教师要对教材进行再创造, 并结合学生的思维特点, 创设一定的“操作” (包括外在的活动操作与内在的智力操作, 如动手操作、归纳、演绎、讨论等) 活动情境, 让学生亲自参与“操作”, 在“操作”中体验, 为第二世界的数学抽象概括积累必需的感性经验.
对于“相交线”这节课, 笔者是这样教学的:上课开始, 老师创设问题情境让学生“操作”, 即
问题1如图1, 两堵墙围 成一个∠AOB, 现给你一个木头制作的大量角器, 但不能进入围墙, 你如何用这个量角器去测 量这个角 的大小?
用量角器测 量一个角的大小, 学生是熟悉的, 但这是一个实际问题, 不能进入围墙用量角器去测量∠AOB的大小, 只能在围墙外测量, 于是引发了学生的认知冲突, 学生自觉地尝试着去思考和解决这个问题.经过学生的思考与“操作”, 老师请有不同思考的同学在全班交流, 这样学生不同的想法就出来了:
如图2, 有的说, 反向延长射 线OB得到OC, 因为∠BOC是一平角, 所以只要 测量出∠AOC的度数, 就可知道∠AOB的度数;也有的说, 反向延长 射线OA得到OD, 同样, 只要测量出∠BOD的大小, 就可知道∠AOB的大小;还有的说, 分别反向延长射线OB得到OC, 反向延长射线OA得到OD, ∠COD的大小就 是∠AOB的大小.通过学生的“操作”, 相交线、邻补角、对顶角等概念的基本图形在学生的头脑中已初成雏形, 也为第二世界的学习作了很好的铺垫.
学生要构造自己理解的数学概念, 关键是一种思想上的飞跃, 即皮亚杰提出的“反省抽象”.为了形成反省, 必须将自己的实践性活动变为思考的对象, 而被反省的基础是“操作”过程, 缺少了“操作”, 反省无法落实;“操作”达不到一定数量, 过程的各种状态和性质在心理上不易引起注意.因此, 在具体化世界的教学中, 教师要让学生有“足够的操作”, 所谓“足够的操作”是指学生达到应有的或满足需要程度的“操作”, “足够的操作”的直接目的是现场积累学习新知识所必须的经验, 或是对自己已具有的相对模糊的经 验进行强化, 增强体验使之处于活跃状态, 从而为进一步的抽象概括活动提供对象和素材.
例如, 学生在探究如何测量∠AOB的大小过程中, 从不同的方向去思考和添作辅助线, 这样的“足够的操作”, 为真正理 解邻补角、对顶角等数学概念积累了感性经验, 也真是这样的“足够的操作”, 下面构建的邻补角、对顶角及“对顶角相等”等数学概念在认知结构中才会有所依托, 才会巩固.
2过程概念化世界, 体验邻补角、对顶角概念的形成过程
过程概念化世界, 也就是符号的过程概念化世界.在这个世界中, 数学学习对象具有符号过程性和概念性两面特征.韬尔认为, 同一个符号常常具有双重的意义, 既可以作为过程, 也可以作为概念, 例如, 符号“3+2”就可以同时看作为一个“加法”的过程与一个“和”的概念.在这个世界中, 学生通过对第一世界具体化数学的“操作”过程进行反省、抽象、概括等心智活动而得到数学对象.这个阶段是学生学习数学的关键, 也是学习过程中的难点, 需要教师采取合适的教学策略, 巧妙地帮助学生进行有效的抽象概括, 逐步提升学生抽象概括思维能力.
在“相交线”这节课的教学中, 学生通过第一世界对事物的感觉和“操作”, 已积累了抽象概括所必需的感性经验, 这时, 教师应及时地引导与催化学生进行尝试抽概括象.请看以下的教学片断:
师:通过刚才的作图, 你知道这个实际问题的数学模型?
生:两条相交直线.
师:对, 这个实际 问题的数学模型是两 条相交直线, 我们用字母分别表示这两条直线, 如图3, 这里形成的小于平角的角有∠1, ∠2, ∠3, ∠4.
如果将这些角两两组合, 那么你能得到几对角呢?
生:∠1和∠2, ∠2和∠3, ∠3和∠4, ∠4和∠1, ∠1和∠3, ∠2和∠4.
师:你能对得到的6对角进行 分类吗?你打算怎样去分类?
生:按互补和不互补分为2类, 即
第1类:∠1和∠2, ∠2和∠3, ∠3和∠4, ∠4和∠1;
第2类:∠1和∠3, ∠2和∠4.
师:从数量特征去分类, 很好.你能否从位置关系的特征对得到的6对角进行分类?你打算怎样去分类?
(学生思考, 无人回答)
师:这些角的边有怎样的位置关系?根据角的边的位置关系, 你能对得到的6对角进行分类吗?
生:前面同学说的第1类中的各对角它们都有一条公共边, 而第2类中的各对角它们没有一条公共边, 所以我认为按有公共边和无公共边也可分为2类, 即
第1类有公共边:∠1和∠2, ∠2和∠3, ∠3和∠4, ∠4和∠1;
第2类:∠1和∠3, ∠2和∠4.
师:好, 下面我们继续分别研究这两类角的特 征.如图4, 观察∠1和∠2的顶点和两边, 它们有怎样的位置关系?
生:∠1和∠2有一条公共边, 它们的另一边是互为反向延长线.
师:对.∠1和∠2有一条公共边OC, 它们的另一边是互为反向延长线, 具有这种关系的两个角, 互为邻补角.请指出图3中还有的互为邻补角.
生:∠2和∠3, ∠3和∠4, ∠4和∠1.
师:如图5, 请继续观察∠1和∠3的顶点与边, 它们有怎样的位置关系?
生:∠1和∠3有公共顶 点, ∠1的两边分别是∠3两边的反向延长线.
师:很好, ∠1和∠3有一个公共顶点O, 并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线, 具有这种关系的两个角, 互为对顶角.
至此, 学生获得互为邻补角、互为对顶角的本质属性, 实现过程与对象的耦合, 达到思维的浓缩, 能够将邻补角、对顶角作为一个整体、一个独立的对象来处理.
过程概念化世界的实质是学生对“操作”活动的反思, 经历思维的内化、压缩, 抽象概括出数学概念本质的过程.在这个阶段, 学生对自身经历的“操作”进行思考, 进行理性的抽象概括有时会遇到不少困难, 需要教师设计一些启发性探索性的问题, 引导学生回味“操作”过程, 让学生尝试抽象概括, 这里要注意的是, 教师设计的问题要有探索性来驱动学生的主动参与, 使学生从感性认识上升到理性认识.
例如, 教师通过设计:“通过刚才的作图, 你知道这个实际问题的数学模型?”“如果将这些角两两组合, 那么你能得到几对角?”“你能对得到的6对角进行分类吗?你打算怎样去分类?”“观察∠1和∠2的顶点和两边, 它们有怎样的位置关系?”等等一系列的提问, 驱动学生进行一系列持续反复的抽象、分类、抽象概括等, 经历复杂而丰富的认知过程, 进而获得邻补角、对顶角概念的丰富表象, 促进邻补角、对顶角概念的表征.相反, 如果在数学概念形成的教学中, 教师概念引入过于马虎, 一带而过匆匆讲完样例, 马上给概念下定义, 那么学生失去由“操作”到定义的中介环节-抽象概括, 则难以真正完成概念的抽象, 难以达到对概念的实质性理解, 无法形成相应的心理意义.
3形式化世界, 建立综合的心理图式
形式化世界, 是定义与证明的形式化世界, 包括“形式的”的概念、“定义的”性质、“逻辑的”的证明等.在这个世界中, 学生通过符号或符号的方法或技术来认识数学、表达数学的过程, 导致数学图式的构建.在教学中, 教师要注意设计正反例或让学生 自己举反例, 设计数学样例及其变式, 让学生自己构建概念域或概念系等等多样化的数学活动, 多方位丰富完善概念, 实现从“第二世界”到“第三世界”的跃进.
于是, 教师继续 让学生观 察图5, 思考∠1和∠3有什么关系?学生通过观察发现∠1=∠3, 然后让学生用量角器测量∠1和∠3的度数来验证得到的猜想, 最后让学生对猜想给予证明得到:对顶角相等.
接着, 是概念运用的环节, 我们知道, 概念只有在运用中才能得到真正的理解.而概念的运用有多级水平, 先是以具体辨别水平的运用.再转到思维水平上的运用.于是设计下面的例1、例2、例3, 即
例1下列各图中∠1, ∠2是邻补角吗?为什么?
例2下列各图中∠1, ∠2是对顶角吗?为什么?
例3如图6, 直线AB, CD相交, ∠1=40°, 求∠2, ∠3, ∠4的度数.
变式1若∠1=x°, 求∠2, ∠3, ∠4的度数.
变式2若∠2+ ∠4=50°, 则∠1=, ∠3= .
变式3若∠2是∠1的3倍, 求∠3的度数.
变式4平1面上两条直线相交, 有几对对顶角?几对邻补角?
2平面上三条直线交于一点, 有几对对顶角?几对邻补角?
3平面上n条直线交于一点, 有几对对顶角?几对邻补角?
最后用问题的形式引导学生小结, 即
问题:通过本节课的学习, 你学到了哪些数学知识?你是怎样学习的?学习过程中由知识所反映的数学思想方法有哪些?
在学生交流的基础上, 教师让学生自己用点线连结这些知识之间的关系得到:
事实上, 具体化世界、过程概念化世界和形式化世界可以看作是数学知识的三种状态, 而图式则是由这三知识构成的一种认知结构.图式是人脑中的知识单元、知识组块和知识系统, 包括核心概念与怎样和何时应用核心概念的知识之间的关系.一个数学概念的图式是由相应的活动、过程、对象以及与某些一般原理相联系的其他图式所形成的一种存在于个体头脑中的认知框架.构建数学概念图式, 学生可以得到简约的、结构化的知识, 不但便于记忆, 而且可以用于解决和这个概念有关的一切数学问题.数学概念教学的最终目标应是建构数学概念图式.图式的形成是一个复杂的过程, 不是一步到位的, 需要教师安排一定的学习活动以促进图式的形成.因此, 在数学概念形成的“三个世界”的教学中, 要让学生有“足够的操作”, 要通过问题促进学生的抽象概括, 还要注意概念的多层次运用, 其本质是让学生理解和掌握概念, 促进概念图式的形成和改进.最后让学生通过点线连结, 将本节课学到的核心知识和方法建立一个有组织的结构, 以综合的心理图式存储于学生的头脑之中.以后当遇到与邻补角、对顶角的有关概念时, 学生就会积极调动与之相关的图式.
参考文献
[1]鲍建生, 周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海:上海教育出版社, 2009:52-77.
1.下列说法中一定正确的是（）.
A.同位角相等 B.内错角相等
C.同旁内角互补 D.对顶角相等
2.平移图1中的图案，可以得到图2中的某一个图案，则这个图案是（）.
A.图2（1）
B.图2（2）
C.图2（3）
D.图2（4）
4.有下列命题：
（1）不相交的两条直线平行：
（2）垂直于同一条直线的两条直线平行：
（3）平行于同一条直线的两条直线平行.
其中正确的命题有（）
A.O个 B.1个 C.2个 D.3个
6.将一张正方形纸片按图5所示的方式对折三次，则产生的折痕与折痕之间的位置关系（）.
A.只有平行
B.只有垂直
C.既有平行又有垂直
D.既无平行又无垂直
二、填空题
9.命题“等角的补角相等”的题设是____，结论是______
10.如图8.线段CD是由线段AB经过平移得到的.若AB=2.25cm，则CD=_______
14.如图12，王老师在一块长为8m、宽为6m的长方形草坪中修建了小路①②③，其中小路①②任何地方水平方向的宽度均为1m，小路③任何地方竖直方向的宽度均为1m.则剩余部分草坪的面积为_______.
22.观察图20，寻找各个图形中的对顶角（不含平角）.
（1）图20 （1）中共有_______对对顶角，图20 （2）中共_______对对顶角，图20 （3）中共有_______对对顶角.
（2）研究图20中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？
（3）若有2015条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？
一、选择题
1．在同一平面内，如果两条直线不重合，那么它们()．(A)平行(B)相交(C)相交、垂直(D)平行或相交 2．如果两条平行线被第三条直线所截，那么其中一组同位角的角平分线()．(A)垂直(B)相交(C)平行(D)不能确定 3．已知：OA⊥OC，∠AOB∶∠AOC＝2∶3，则∠BOC的度数为()．(A)30°(B)60°(C)150°(D)30°或150° 4．如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝55°，则∠4的度数是()．
(A)110°
(B)115°(C)120°
(D)125°
5．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：
(1)∠1＝∠2；(2)∠3＝∠4；
(3)∠2＋∠4＝90°；(4)∠4＋∠5＝180° 其中正确的个数是(A)1(B)2(C)3(D)4 6．下列说法中，正确的是()．(A)不相交的两条直线是平行线．
(B)过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(C)从直线外一点作这条直线的垂线段叫做点到这条直线的距离．
(D)在同一平面内，一条直线与两条平行线中的一条垂直，则与另一条也垂直． 7．∠1和∠2是两条直线l1，l2被第三条直线l3所截的同旁内角，如果l1∥l2，那么必有()．(A)∠1＝∠2(B)∠1＋∠2＝90°(C)111290o 22(D)∠1是钝角，∠2是锐角
8．如下图，AB∥DE，那么∠BCD＝()．
1(A)∠2－∠1(B)∠1＋∠2(C)180°＋∠1－∠2(D)180°＋∠2－2∠1
9．如图，在下列条件中：①∠1＝∠2；②∠BAD＝∠BCD；③∠ABC＝∠ADC且∠3＝∠4；④∠BAD＋∠ABC＝180°，能判定AB∥CD的有()．
(A)3个
(B)2个(C)1个
(D)0个
10．在5×5的方格纸中，将图1中的图形N平移后的位置如图2中所示，那么正确的平移方法是()
图1 图2
(A)先向下移动1格，再向左移动1格(B)先向下移动1格，再向左移动2格(C)先向下移动2格，再向左移动1格(D)先向下移动2格，再向左移动2格
二、填空题
11．如图，已知直线AB、CD相交于O，OE⊥AB，∠1＝25°，则∠2＝______°，∠3＝______°，∠4＝______°.12．如图，已知直线AB、CD相交于O，如果∠AOC＝2x°，∠BOC＝(x＋y＋9)°，∠BOD＝(y＋4)°，则∠AOD的度数为______．
13．如图直线l1∥l2，AB⊥CD，∠1＝34°，那么∠2的度数是______．
14．如图，若AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，EP与∠EFD的平分线相交于点P，且∠EFD＝60°，EP⊥FP，则∠BEP＝______度．
15．王强从A处沿北偏东60°的方向到达B处，又从B处沿南偏西25°的方向到达C处，则王强两次行进路线的夹角为______度．
16．如图，在平面内，两条直线上l1、l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p、q分别是点M到直线l1、l2的距离，则称(p，q)为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是(2，1)的点共有______个，在图中画出这些点的位置的示意图．
17．把“同角的补角相等”改写成“如果„„，那么„„”的形式：
______________________________________________________________________.三、解答题：
18．已知：如图，CD是直线，E在直线CD上，∠1＝130°，∠A＝50°，求证：AB∥CD．
19．已知：如图，AE⊥BC于E，∠1＝∠2．求证：DC⊥BC．
20．已知：如图，CD⊥AB于D，DE∥BC，EF⊥AB于F，求证：∠FED＝∠BCD．
四、作图题：
21．已知：∠AOB．
求作：①画出∠AOB的平分线．
②在OC上截取OP＝4cm．
③过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F．
④用刻度尺量得PE＝______cm，PF＝______cm．(精确到1cm)． ⑤请问你发现了什么?
五、(选做题)问题探究：
22．已知：如图，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，EF经过点O且平行于BC，分别与AB、AC交于点E、F．
(1)若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数；
(2)若∠ABC＝，∠ACB＝，用、的代数式表示∠BOC的度数．
(3)在第(2)问的条件下，若∠ABC和∠ACB邻补角的平分线交于点O，其它条件不变，请画出相应图形，并用、的代数式表示∠BOC的度数．
测试题(二)
一、选择题
1．如图，AB∥CD，若∠2是∠1的4倍，则∠2的度数是()．
(A)144°
(B)135°(C)126°
(D)108°
2．如图，AB∥CD，EF⊥CD，若∠1＝50°，则∠2的度数是()．
(A)50°
(B)40°(C)60°
(D)30°
3．如图，直线l1、l2被l3所截得的同旁内角为、，要使l1∥l2，只要使()．(A)＋＝90°
(B)＝(C)0°＜≤90°，90°≤＜180°
(D)131360
4．下列命题中，结论不成立的是()．
(A)一个角的补角可能是锐角
(B)两条平行线上的任意一点到另一条平行线的距离是这两条平行线间的距离(C)平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(D)平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
5．如图，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝130°，则∠2等于()．
(A)25°(B)30°(C)35°(D)40° 6．如图，AB∥CD，FG⊥CD于N，∠EMB＝，则∠EFG等于()．
(A)180°－
(B)90°＋(C)180°＋
(D)270°－ 7．以下五个条件中，能得到互相垂直关系的有()． ①对顶角的平分线 ②邻补角的平分线
③平行线截得的一组同位角的平分线 ④平行线截得的一组内错角的平分线 ⑤平行线截得的一组同旁内角的平分线(A)1个(B)2个(C)3个
8．在下列四个图中，∠1与∠2是同位角的图是()．
(4)4个
图① 图② 图③ 图④(A)①、②(B)①、③(C)②、③(D)③、④
9．如图，AB∥CD，若EM平分∠BEF，FM平分∠EFD，EN平分∠AEF，则与∠BEM互余的角有()．
(A)6个(B)5个(C)4个(D)3个
10．把一张对边互相平行的纸条折成如图所示，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则下列结论正确的有()．
(1)∠C′EF＝32°
(2)∠AEC＝148°(3)∠BGE＝64°
(4)∠BFD＝116°(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个
二、填空题
11．如图，AB与CD相交于O点，若∠AOC＝47°，则∠BOD的余角＝______.6
(第11题)12．如图，AB∥CD，BC∥ED，则∠B＋∠D＝______．
(第12题)13．如图，DC∥EF∥AB，EH∥DB，则图中与∠AHE相等的角有__________________.(第13题)14．如图，BA⊥FC于A点，过A点作DE∥BC，若∠EAF＝125°，则∠B＝______.(第14题)
o15．若角与互补，且20,则较小角的余角为______度．
3三、作图
16．如图是某次跳远测验中某同学跳远记录示意图．这个同学的成绩应如何测量，请你画出示意图．
四、解答题
17．已知：如图，∠B＝∠C，AE∥BC，求证：AE平分∠CAD．
证明：
18．已知：如图，AB∥DE，CM平分∠BCE，CN⊥CM．求证：∠B＝2∠DCN．
19．已知：如图，∠FED＝∠AHD，∠HAQ＝15°，∠ACB＝70°，∠CAQ＝55．求证：BD∥GE∥AH．
20．已知：如图，AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，AF平分∠BAD，CE平分∠BCD．求证：AF∥EC．
21．已知：如图，CD⊥AB于D，DE∥BC，∠1＝∠2．求证：FG⊥AB．
22．已知：如图，AB∥CD，∠1＝∠B，∠2＝∠D．判断BE与DE的位置关系并说明理由．
23．已知：如图，△ABC．求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°．
五、探究题：夹在平行线间的折线问题
24．已知：如图，AC∥BD，折线AMB夹在两条平行线间．
图1 图2
(1)判断∠M，∠A，∠B的关系；
你说过，我们是永远的搭档，永远的好闺蜜，你给我们取了外号“橙子味夹心果子”，我们是一辈子的好朋友……
我们曾幻想过，一同考上海南大学，一同开个甜品店，业余时间你写小说，我画漫画，你说过你长大一定会言情天后的，你，还记得吗?
我们出生在同一天的`5月28日，小学时，有人说我们是姐妹，咱俩异口同声的说，我们是同学，但比姐妹亲。虽然同一天生，但你矮我半头，也比我胖，你笑笑说:“咱俩像棒棒糖，我是糖你是棒!”
我们俩同时抱来两只长得很像的小狗，你说你的叫玉米，我就说我的叫土豆，为了培养感情，我们经常把两只小狗带到一起玩。还给它俩做衣服，狗狗也因为咱俩成为了朋友!
六年级时，我有段时间脾气特爆，看谁都不顺眼，特别是班里好多女生，嘴太杂了，于是成为了敌人，后来，那群女生让全班女生不理我，那段时间，除了你，没人和我说话，因为和我玩，那群女生开始针对你，还威胁过来，但你还是站在我这边。我一直都认为，我们会是一辈子的朋友。
也许，当初我们就不应该上初中。自从上了初中以后，你奶奶为了方便你上学，你们全家搬走了，又因为我们不在同一所学校，而且因为学习，没有多少时间，我们也没见面了，你的联系方式也丢了，毕业一年后，我从你邻居那里找到了你的联系方式，当打通的时侯，我高兴的快疯了，我说我是郭馨心，你来一句:“闲着没事打我电话干嘛?你烦人不?”
你知道晴天霹雳的滋味吗?也许朋友也不是永恒的。后来，上初二后，小学同学聚了一次，好多同学都变了，我第一次小学毕业后见你，你见了我什么也没说，和别的同学叙旧，快结束了，你跑到我身边说:“再见。”然后又跑去和别人告别。难道，我们的友谊真的结束了吗?
为了考上海南大学，我努力学习，为了开个甜品店，我暑假去过蛋糕店当过一个月学徒，为了当漫画家，我学了几年的美术。初一下学期，到我们的生日，我给你买了一只很大的泰迪熊，还没送给你。土豆已经生过小狗了，叫大米，你的玉米呢?它还好吗?
1． 如图1，能判定EB∥AC的条件是（）．
A． ∠C＝∠ABE B． ∠A＝∠EBD
C． ∠C＝∠ABC D． ∠C＋∠CBE＝180°
2． 如图2，直线c与直线a、b相交，且a∥b．下列结论：①∠1＝∠2；②∠1＝∠3；③∠2＝∠3．其中正确的有（）．
A． 3个 B． 2个
C． 1个 D． 0个
3． 下列画图方式属于尺规作图的是（）．
A． 用量角器画出∠AOB的平分线
B． 画线段AB ＝ 2 cm
C． 已知∠α，作∠AOB，使∠AOB ＝ 2∠α
D． 用三角板过点D作AB的垂线
4． 下列数据：①一本数学读物有118页；②2050全世界人口将有90亿；③量得课桌长度为96．5 cm；④小亮一家有5口人；⑤估计某品牌企业今年的生产总值占当地经济总产值的30％．其中是近似数的有（）．
A． ①②⑤ B． ②③⑤ C． ②③④ D． ①②⑤
5． 如图3，若甲看乙在北偏东60°的方向上，则乙看甲所在的方向为（）．
A． 北偏西30°B． 南偏西30°
C． 南偏西60°D． 南偏东60°
6． 学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的一种方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图4①～图④）．
从图中可知，小敏画平行线的依据有（）．
①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；
③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．
A． ①② B． ②③ C． ③④ D． ①④
7． 纳米是一种长度单位，1 nm ＝ 10－9 m，已知某种植物细胞花粉的直径约为35 000 nm ，那么用科学记数法表示该种花粉的直径为（）．
A． 3．5 × 104 m B． 3．5 × 10－4 m C． 3．5 × 10－9 mD． 3．5 × 10－5 m
8． 如图5，已知AB∥EF，∠BAE的平分线交EF于点C，∠E＝64°，则∠ACE的度数为（）．
A． 54° B． 58° C． 60°D． 64°
9． 下列四个统计图中，用来表示不同品种的奶牛的平均产奶量最为合适的是（）．
二、填空题
10． 将一副三角板摆放成图6所示的图形，图中∠1 ＝ [ ]．
11． 如图7，直线AB、CD相交于O，∠EOB＝90°，∠AOD＝150°，则∠EOC＝[ ]．
12． 如图8，要使AB∥CD，须具备的条件是[ ]（写出一个即可）．
13 近似数3．5 × 10－3精确到[ ]位，有效数字为[ ]．
14． 如图9，直线a、b被直线c所截，如果∠1＝∠2，那么∠3与∠4的关系是[ ]．
15． 如图10，以下4个结论：①若∠1＝∠2，则AB∥CD；②若∠1 ＝ ∠2，则AD∥BC；③若∠3 ＝ ∠4，则AB∥CD；④若∠3 ＝ ∠4，则AD∥CB，其中正确的是[ ]（填序号）．
16． 2007年4月，全国铁路进行了第六次大提速，提速后的线路时速可达200 km．共改造约6 000 km的提速线路，总投资约296亿元人民币，那么，平均每千米提速线路的投资约[ ]亿元人民币．（用科学记数法，保留两个有效数字）
17． 如图11，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C＝[ ] ．
三、解答题
18． 已知一个角的余角等于这个角的补角的，求这个角的度数．
19． 如图12已知线段a、b、c，求作：线段m，使m＝a－b＋c．
20． 用四舍五入法，按括号里的要求对下列各数取近似值．
（1）45 615 657；（精确到万位）
（2）1．034；（精确到0．1）
（3）0．080 10．（保留3个有效数字）
21． （1）根据图13，填写下列空白．
①因为AC∥ED（已知），所以∠1＝[ ]．
②因为AB∥[ ]（已知），所以∠B＝∠3．
③因为AC∥ED（已知），所以∠A＝[ ]．
因为[ ]∥[ ]（已知），所以∠2＝∠BED．
所以∠A＝∠2．
（2）结合（1）中的已知条件，由∠1＋∠2＋∠3＝180°，可知∠A＋∠B＋∠C＝[ ]．
（3）如果过点A有一条直线DE∥BC，如图14，你能求出∠CAB＋∠B＋∠C的大小吗？写出你的计算过程．
22． 据《东亚经贸》报道，我国人口已达到13亿，请你根据图15的统计图回答下列问题：
（1）哪个阶段人口增加最快？
（2）按照统计图的规律，请你估计2010年我国人口总数．
（3）从近年人口增长的情况看，你还能获得哪些信息？
23． 如图16，∠1＋∠2＝180°，∠A＝∠D，AB与CD平行吗？说说你的理由．
24． 如图17，直线AC∥BD，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四部分．规定：线上各点不属于任何部分，当动点P落在某个部分时，连接PA、PB，构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°）
（1）当动点P落在第①部分时，试说明：∠APB＝∠PAC＋∠PBD．
（2）当动点P落在第②部分时，∠APB＝∠PAC＋∠PBD是否成立（直接回答成立或不成立）？
（3）当动点P落在第③部分时，请全面探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论，选择其中一种结论加以说明．
其一就是不知道怎么看图，简单的还好，稍稍复杂的图就茫然不知所措。或许在老师眼里，在熟练者那里，这完全不成为问题，但对于初学者来说，偏偏就是问题，从数字过渡到图像，尽管直观，但必须在理解题意的基础进行识图，并能去除干扰条件和因素，确实不容易。
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