任意角三角函数的定义

任意角三角函数的定义篇1

浙江金华第一中学孔小明

本文首先对三角函数定义的教学进行从整体到局部的分析，并在此基础上给出定义教学的主干问题设计.1．整体把握，使教学线索清晰，层次分明

三角函数是以函数为主线，刻画周期现象的数学模型.高中学习的三角函数是在初中学习锐角三角函数的基础上，通过用旋转的观点将角的概念推广到任意角，并使角与实数建立一一对应关系，然后结合坐标系和单位圆重新定义任意角的三角函数.因此，三角函数是函数的下位概念，同时又是锐角三角函数的上位概念，教学要以函数思想为指导，以坐标系和单位圆为定义工具，以初中锐角三角函数概念为认知的起点，促进任意角三角函数定义的有效生成.教科书在完成任意角三角函数定义基础上衍生出：(1)三角函数值在各个象限的符号；(2)单位圆中的三角函数线；(3)同角三角函数的基本关系；(4)三角函数的诱导公式；(5)三角函数的图象与性质等.可见，三角函数的定义在三角函数教学中可谓重中之重,是整个三角部分的奠基石,它贯穿于与三角有关的各部分内容并起着关键作用.本节课的学习目标是理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，经历从锐角三角函数定义过渡到任意角三角函数定义的推广过程,体验三角函数概念的产生、发展过程,领悟直角坐标系和单位圆的功能,丰富数形结合的经验.由于三角函数的定义内涵丰富、外延广泛等原因，同时，用单位圆上点的坐标表示的任意角三角函数定义,与学生初中学习的锐角三角函数定义有一定的距离,一个侧重几何的边与边的比值表示,一个侧重代数的坐标（比值）表示.与学生熟悉的一般函数定义也有距离,一般函数是实数到实数的对应,而三角函数首先是实数（弧度数）到点的坐标的对应,然后才是实数（弧度数）到实数（横坐标或纵坐标）的对应.学生理解该定义很难一步到位，需要分成若干个层次，逐步加深提高.促进学生理解定义的关键是让学生经历定义的形成过程,增强学习活动的体验,在教师的引导下独立思考、自主探究,完成定义的意义建构.教材中任意角三角函数定义的得出经历了以下四个循序渐进、不断深化的过程：（1）回忆用直角三角形边长的比产生的锐角三角函数的定义；（2）把锐角α放在直角坐标系中，用角的终边上点的坐标表示锐角α的三角函数；（3）由相似三角形的知识可知，三角函数值只与α的大小有关，与点在终边上的位置无关，因此可用单位圆上点的坐标表示锐角α的三角函数；（4）类比得出用单位圆定义任意角三角函数，并将它纳入到一般函数概念的范畴.教科书这样设计改变了以往纯学术形态的形式,一定程度上具有了教育形态的特征,体现了数学知识的产生、发展过程,反映了数学的“来龙去脉”,通过有效的铺垫,使之符合学生的认知规律,使从锐角三角函数到任意角三角函数过渡自然,有利于学生步步加深对三角函数定义本质的理解.因此,笔者认为,教学设计时无须“另起炉灶”,只要在此基础上,依据学生的认知特点,进行教学法的深加工即可.2．抓住关键，使教学精炼、简约而高效

由于教科书自身特点的限制,教科书还不能成为教师教学用的教学设计,根据教材的内容、要求以及编写意图,教师还需要一个再加工、再创造的过程.具体的,就是将教材中得出任意角三角函数定义经历的四个环节进一步教学化,使之符合学生的认知特点和规律,包括内容研究的必要性，坐标系、单位圆引入的自然性，以及用单位圆定义的可行性、合理性等.把它变成适合学生认知特点的具体的教育形态,使学生感受“数学是自然的、清楚的、水到渠成的”.当前,高中数学课标课程比大纲课程的内容有所增加，初中数学对高中数学支持减弱，新课程赋予数学教学更多的价值取向，要让课堂的所有环节都让学生有深度思考、自主探究并展示结果是不现实也是没必要的.事实上，学生在校以学习间接经验为主,学生的学习主要是“接受——建构”式的,因此,对教学起关键作用的内容，要留足时间让学生充分思考、交流与展示,其它内容教师可多讲授与引导，发挥先行组织者作用,使教与学达到平衡，让教学效益达到最大化.在引导学生回忆初中锐角三角函数定义之前,先解决“学习的必要性”问题,明确要研究的内容.教材将“三角函数”作为重要的基本初等函数,是周期现象的基本模型,教师可借助本章的章头语,完成课题的引入.由于初中的锐角三角函数定义不能推广到任意角的情形，从而引发学生认知冲突，激发学生进一步探究的欲望.用什么定义、怎样定义、这样定义是否合理等,成为继续研究的自然问题.之前,在任意角内容的学习中,学生已经有了在直角坐标系内讨论角的经验，但教学实践表明,学生仍不能自然想到引入坐标系工具,利用坐标来定义任意角三角函数.笔者认为，从帮助学生理解定义的实质，体会坐标思想与数形结合思想的角度，教师可利用适当的语言,引导学生重点解决“如何用坐标表示锐角三角函数”的关键问题.需要提及的是,陶老师的问题设计具有启示性：

现在，角的范围扩大了,由锐角扩展到了0°~360°内的角,又扩展到了任意角,并且在直角坐标系中,使得角的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合．在这样的环境中,你认为,对于任意角α，sinα怎样定义好呢？

上述问题提得“大气”，既能使学生的学习围绕关键问题展开，又突出正弦函数的概念分析.当然，若能依教材先作锐角情形的铺垫，教学更符合学生“最近发展区”，提高效率.这里，需要引导学生从函数的观点认识用坐标表示的锐角三角函数，有助于从函数的本质特征来认识三角函数.在第三个环节中，首先是如何自然引入单位圆的问题.用单位圆上点的坐标定义三角函数有许多优点，其中最主要的是使正弦函数、余弦函数从自变量（角的弧度数）到函数值（单位圆上点的横、纵坐标）之间的对应关系更清楚、简单，突出了三角函数的本质，有利于学生利用已有的函数概念来理解三角函数，其次是使三角函数反映的数形关系更直接，为后面讨论函数的性质奠定了基础.但单位圆的这些“优点”要在引入单位圆后才能逐步体会到.因此，引入单位圆的“理由”应该另辟蹊径，白老师在引导学生完成用角的终边上任意一点的坐标表示锐角三角函数之后，从求简的角度设置问题,不愧为“棋高一招”：

大家有没有办法让所得到的定义式变得更简单一点？

在学生得出时定义式最简单后,白老师引入单位圆,引导学生利用单位圆定义锐角三角函数.至此，学生就有了第四环节中用单位圆定义任意角三角函数的认知准备.由于“定义”是一种“规定”，因此，第四环节中，教师可类比用单位圆定义锐角三角函数情形，直接给出任意角三角函数定义，对学生而言，关键是理解这样“规定”的合理性，对定义合理性认知基础就是三角函数的“函数”本质——定义要符合一般函数的内涵（函数三要素）.3．精心设计问题，让课堂成为学生思维闪光的舞台基于上述认识，对定义部分的教学，给出如下先行组织者和主干问题设计.先行组织者1：周期现象是社会生活和科学实践中的基本现象，大到宇宙运动，小到粒子变化，这些现象的共同特点是具有周期性，另外，如潮汐现象、简谐振动、交流电等，也具有周期性，而“三角函数”正是刻画这些变化的基本函数模型.三角函数到底是一种怎样的函数？它具有哪些特别的性质？在解决具有周期性变化规律的问题中到底能发挥哪些作用？本课从研究第一个问题入手.意图：明确研究方向与内容.问题1：在初中，我们已经学习了锐角三角函数，它是怎样定义的？意图：从学生已有的数学经验出发，为用坐标定义三角函数作准备.问题2：现在，角的概念已经推广到了任意角，上述定义方法能推广到任意角吗？意图：引发学生的认知冲突，激发学生求知欲望.问题3：如何定义任意角的三角函数？意图：引导学生探索任意角三角函数的定义.先行组织者2：我们知道，直角坐标系是展示函数规律的载体，是构架“数形结合”的天然桥梁，上堂课我们把任意角放在平面直角坐标系内进行研究，借助坐标系，可以使角的讨论简化，也能有效地表现出角的终边位置“周而复始”的现象.坐标系也为我们从“数”的角度定义任意角三角函数提供有效载体.意图：引导学生借助坐标系来定义任意角三角函数.问题4：先考虑锐角的情形，如图1，在平面直角坐标系中，你能用点的坐标来表示锐角α的三角函数吗？

意图：引导学生用坐标表示锐角三角函数.问题5：各个比值与角之间有怎样的关系？比值是角的函数吗？

意图：扣准函数概念的内涵，把三角函数知识纳入函数知识结构，突出变量之间的依赖关系或对应关系，增强函数观念.先让学生想象思考，作出主观判断，再用几何画板动画演示，得出结论：三个比值分别是以锐角α为自变量、以比值为函数值的函数.问题6：既然可在终边上任取一点，那有没有办法让所得的对应关系变得更简单一点？意图：为引入单位圆进行铺垫.教师给出单位圆定义之后，可引导学生进一步明确：正弦、余弦、正切都是以锐角α为自变量、以单位圆上点的坐标（或比值）为函数值的函数.问题7：类比上述做法，设任意角α的终边与单位圆交点为P（x，y），定义正弦函数为，余弦函数为，正切函数为.你认为这样定义符合函数定义要求吗? 意图：给出任意角三角函数的定义,引导学生用函数三要素说明定义的合理性，明确任意角三角函数的对应法则、定义域、值域.引导学生思考定义的合理性，先让学生作出主观判断，再用几何画板动画演示，同时作好解释说明，得出结论：正弦、余弦、正切都是以任意角α为自变量、以单位圆上的坐标或坐标的比值（如果存在的话）为函数值的函数.接着给出任意角三角函数的定义域、值域.“任意角三角函数的概念”教学设计

陶维林（江苏南京师范大学附属中学，210003）

一．内容和内容解析

三角函数是一个重要的基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型．它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数中的图象分析和式子变形，三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来．它在物理学、天文学、测量学等学科中都有重要的应用，它是解决实际问题的重要工具，它是学习数学中其他学科的基础．

角的概念已经由锐角扩展到0°~360°内的角，再扩充到任意角，相应地，锐角三角函数概念也必须有所扩充．任意角三角函数概念的出现是角的概念扩充的必然结果．

比较锐角三角函数与任意角三角函数这两个概念，共同点是，它们都是“比值”，不同点是锐角三角函数是“线段长度的比值”，而任意角三角函数是直角坐标系中“坐标与长度的比值，或者是坐标的比值”．正是由于“比值”这一与在角的终边上所取点的位置无关的特点，因此，可以用角的终边与单位圆的交点的坐标（或坐标的比值）来表示任意角的三角函数，这是概念的核心．这样定义，不仅简化了任意角三角函数的表示，也为后续研究它的性质带来了方便．

从锐角三角函数到任意角三角函数类似于从自然数到整数扩充的过程，产生了“符号问题”．因此，学习任意角三角函数可以与锐角三角函数相类比，借助锐角三角函数的概念建立起任意角三角函数的概念．

任意角三角函数概念的重点是任意角的正弦、余弦、正切的定义．它们是本节，乃至本章的基本概念，是学习其他与三角函数有关内容的基础，具有根本的重要的作用．解决这一重点的关键，是学会用直角坐标系中，角的终边上的点的坐标来表示三角函数．因为正切函数并不独立，最主要的是正弦函数与余弦函数．

任意角三角函数自然具有函数的一切特征，有它的定义域，对应法则以及值域．任意角三角函数的定义域是实数集（或它的子集），这是因为，在建立弧度制以后，角的集合与实数集合间建立了一一对应关系，从这个意义上说，“角是实数”，三角函数是定义在实数集上的函数．各种不同的三角函数定义了不同的对应法则，因而可能有不同的定义域与值域．

任意角三角函数概念是核心概念，它是解决一切三角函数问题的基点．无论是研究三角函数在各象限中的符号、特殊角的三角函数值，还是同角三角函数间的关系，以及三角函数的性质，等等，都具有基本的重要的意义．

在建立任意角三角函数这个定义的过程中，学生可以感受到数与形结合，以及类比、运动、变化、对应等数学思想方法．二．目标和目标解析

本节课的目标是，理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义．

学生已经学习过锐角三角函数sinα，cosα，tanα，了解三角函数是直角三角形中边长的比值，这个比值仅与锐角的大小有关，是随着锐角取值的变化而变化的，其值是惟一确定的，等函数的要素．这是任意角三角函数概念的“生长点”．

理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）定义的关键是由锐角三角函数这个线段长度的比值扩展为点的坐标或坐标的比值．因此，对锐角三角函数理解得怎样，对理解任意角三角函数有决定意义，复习锐角三角函数，加深对锐角三角函数的理解是必要的．

要实现让学生“理解”任意角三角函数定义的教学目标，莫过于让学生参与任意角三角函数定义的过程．让学生感受到因角的概念的扩展，锐角三角函数概念扩展的必要性，任意角三角函数是锐角三角函数概念的自然延伸．反过来，既然锐角集合是任意角集合的子集，那么，锐角三角函数也应该是任意角三角函数的特殊情况，是一个包含关系．让学生参与定义，可以感受到这样定义的合理性，感受到这个定义是自然的．

三．教学问题诊断分析

从锐角三角函数到任意角三角函数的学习，从认知结构发展的角度来说，是属于“下、上位关系学习”，是一个从特殊到一般的过程，“先行组织者”是锐角三角函数的概念．教学策略上先复习包容性小、抽象概括程度低的锐角三角函数的概念，然后让学生“再创造”抽象程度高的上位概念（参与定义），并形成新的认知结构，让原有的锐角三角函数的概念类属于抽象程度更高的任意角三角函数的概念之中．

学生过去在直角三角形中研究过锐角三角函数，这对研究任意角三角函数在认识上会有一定的局限性，所以学生在用角的终边上的点的坐标来研究三角函数可能会有一定的困难．可以让学生在原有的对锐角三角函数的几何认识的基础上，尝试让学生建立用终边上的点的坐标定义任意角三角函数，或者尝试用终边上的点的坐标定义锐角三角函数，然后再定义任意角的三角函数．

教学的另一个难点是，任意角三角函数的定义域是实数集（或它的子集）．因为学生刚刚接触弧度制，未必能理解“把角的集合与实数集建立一一对应”到底是为了什么．可以在复习锐角三角函数时，把锐角说成区间（0，四．教学支持条件分析

利用几何画板软件，可以动态改变角的终边位置，从而改变角的终边上点的坐标大小的特点，便于学生认识任意角的位置的改变，所对应的三角函数值也改变的特点，感受函数的本质；感受终边相同的角具有相同的三角函数值；也便于观察各三角函数在各象限中符号的变化情况，加深对任意角三角函数概念的理解，增强教学效果．）内的角，以便分散这个难点．五．教学过程设计 1．理解锐角三角函数

要理解任意角三角函数首先要理解锐角三角函数．锐角三角函数是任意角三角函数的先行组织者．

问题1 任意画一个锐角α，借助三角板，找出sinα，cosα，tanα的近似值．

教师用几何画板任意画一个锐角．要求学生自己任意也画一个锐角，利用手中的三角板画直角三角形，度量角α的对边长、斜边长，计算比值．

意图：复习初中所学习过的锐角三角函数，加深对锐角三角函数概念的理解，它是学习任意角三角函数的基础．突出：

（1）与点的位置的选取无关；（2）是直角三角形中线段长度的比值．问题2 能否把某条线段画成单位长，有些三角函数值不用计算就可以得到？

意图：学生根据自己实际画图操作，以及计算比值的体验，会很快认为把斜边画成单位长比较方便，为后续任意角三角函数的“单位圆定义法”做铺垫．

问题3 锐角三角函数sinα作为一个函数，自变量以及与之对应的函数值分别是什么？

意图：以便与后面的任意角三角函数的自变量是角（的弧度，对应一个实数），对应的函数值是α的终边与单位圆交点的纵坐标比较．

锐角三角函数sinα作为一个函数，自变量是锐角．由于角的弧度值与实数可以一一对应，所以，α是（0，）上的实数．而与之对应的函数值sinα是线段长度的比值，是区间（0，1）上的实数．

问题4 你产生过这个疑问吗：“三角函数只有这三个？”

意图：这个问题具有元认知提示的特点，引导学生勤于思考，逐步学会发现问题、提出问题、研究问题．

三条边相互比，可以产生六个比．还有哪三个呢？再把已知的三个倒过来． 2．任意角三角函数定义的“再创造”

教师利用几何画板，把角α的顶点定义为原点，一边与x轴的正半轴重合，转动另一条边，表现任意角．

问题5 现在，角的范围扩大了．在直角坐标系中，使得角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合．在这样的环境下，你认为，对于任意角α，sinα，cosα，tanα怎样来定义好呢？

意图：可以打破知识结构的平衡，感受到学习新知识的必要性——角的范围扩大了，锐角三角函数也应该“与时俱进”，并不显得突然．把定义的主动权交给学生，引导学生参与定义过程，发展思维．

有两种可能的回答．

可能一：在α的终边上任意画一点P（x，y），|OP|＝r．

可能二：设角α的终边与单位圆的交点为P（x，y）．

不论出现可能一还是可能二，都再问：“都是这样的吗？”

引导学生议论，以确认两种定义方法的一致性、各自特点．再问“你赞成哪一种？”，统一认识，建立任意角三角函数的定义．（板书）

因为前面已经有引导，学生可能很快接受“可能二”． 3．任意角三角函数的认识（对定义的体验）

问题6（1）求下列三角函数值：

问题6（2）说出几个使得cosα＝1的α的值．意图：通过定义的简单应用，把握定义的内涵．

逐题给出，对于每一个答案，都要求学生说出“你是怎样得到的．”突出“画终边，找交点坐标，算比值（对正切函数）”的步骤．

问题6（3）指出下列函数值：

意图：角的终边位置决定了三角函数值的大小．终边位置相同的角同一三角函数值相等．于是有 sin（α＋2kπ）＝sinα，cos（α＋2kπ）＝cosα，tan（α＋2kπ）＝tanα．（其中k∈Z）问题6（4）

①确定下列三角函数的符号：

②θ在哪个象限？请说明理由．反过来呢？

③角α的哪些三角函数值在第二、三象限都是负数？为什么？ ④tanα在哪些象限中取正数？为什么？意图：认识三角函数在各象限中的符号．

问题7 做了这么多题，要反思．你是否发现了任意角三角函数的一些性质？还有些什么体会？意图：体验以后的概括，阶段小结．（1）抓住各三角函数的定义不放；（2）各象限中三角函数的符号特点，等．

教师板书学生获得的成果、感受． 4．任意角三角函数的定义域

问题8 α是任意角，作为函数的sinα，cosα，tanα，它们的定义域分别是什么？

意图：三角函数也是函数，自然应该关心它的定义域．

建立了角的弧度制，角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系，因此，sinα，cosα的定义域是R；tanα＝中，x≠0，于是tanα的定义域是

仍然紧扣定义，并引导以弧度制表示它的定义域． 5．练习

（1）确定下列三角函数值的符号，并借助计算器计算：

（2）求下列三角函数值：

6．小结

问题9 下课后，你走出教室，如果有人问你：“过去你就学习过锐角三角函数，今天又学习了任意角的三角函数，它们的差别在哪里呢？”你怎么回答他？

意图：通过问题小结．不追求面面俱到，突出锐角三角函数是三角形中，边长的比值，而任意角的三角函数是直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标，或者是坐标的比值．

若时间允许，再问：“还有其他收获吗？”比如，终边相同的角的同一三角函数相等；各象限三角函数的符号；任意角三角函数的定义域，等．六．目标检测设计

（1），写出α的终边与单位圆交点的横坐标，并写出tanα的值．

（2）求下列三角函数的值：

（3）角α的终边与单位圆的交点是Q，点Q的纵坐标是1/2，说出几个满足条件的角α．

（4）点P（3，－4）在角α终边上，说出sinα，cosα，tanα分别是多少？

（1）实际教学片段

上课始，教师用几何画板任意画一个锐角，提出问题1：“任意画一个锐角α，借助三角板，找出sinα，cosα，tanα的近似值．”然后走进学生中间，观察他们的学习行为．结果发现，有一部分同学画出角之后，一片茫然．教师又不愿意把结果告诉学生，提示同桌的两位同学可以商量一下，并提示，完成的同学请举手示意，以便教师了解情况，结果举手的人很少．之后，教师提问一位举手的学生，问：“你是怎么做的？”她要求上黑板，教师非常赞成．她在黑板上画出一个直角三角形，并不熟练地写出一个锐角的正弦是它的对边比斜边以及余弦、正切等三个三角函数．之后，教师又与学生讨论了问题2：能否把某条线段画成单位长，有些三角函数值不用计算就可以得到？学生比较一致认为把斜边长画成单位长比较好，为“单位圆定义法”做必要的铺垫．接着讨论问题3：锐角三角函数sinα作为一个函数，自变量以及与之对应的函数值分别是什么？在教师类比正方形的面积s＝a2的提示下，学生说出锐角三角函数中自变量以及与之对应的函数值分别是角、比值，最后讨论问题4：你产生过这个疑问吗：“三角函数只有这三个？”有学生举手，表示想过这个问题，应该是六个，另外三个可以把现有的三个倒一下得到．至此，时间已经过去20多分钟．

教师本以为，学生在初中既然学习过锐角三角函数，对给出的一个锐角，借助三角板构造直角三角形，找出它的正弦、余弦的近似值是很容易的事，而恰恰在这一点上，学生耗费了大量的时间，而教师又不想越俎代庖地告诉学生，这就严重影响了后续建立任意角三角函数的概念，并通过特殊角的求值体验、把握内涵的时间保证，造成体验不够，概括

过早，应用更少的现象．

（2）问题出在哪里

问题在教学设计不够合理，当中的“教学问题诊断分析”不够准确．没有准确把握学生的知识基础与认识能力，对学生在学习中可能出现的困难估计不足．尤其是，对学生关于锐角三角函数的理解估计过高．主要表现在两个方面，一是初中学习锐角三角函数是在直角三角形中进行的，并不要求给出一个锐角，两边是射线，求出它的三角函数值．二是并不要求把“锐角三角函数”作为函数来认识，比如关注它的自变量是角，对应的函数值是比值，更不关心它的定义域、值域以及对应法则这些函数的要素．只要求运用符号sinA，cosA，tanA的意义来进行有关的计算，等．现在，要求学生从函数角度建立任意角三角函数概念这就失去了概念的上位支持．

关于锐角三角函数，在《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中，是在“空间与图形”的“图形与变换”部分．标准指出：“通过实例认识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角．”以及“运用三角函数解决与直角三角形有关的简

单实际问题．”

笔者查阅了按照“课程标准”编写的几套初中教材，给出sinA的方式基本上一致，是：

如图（图略），在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA，即”（对cosA，tanA有类似的定义）并指出“锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函

数．”

以后的内容（包括解实际问题），都是有关三角函数值的计算，并不强调它们的函数特征．有的教材虽然指出“对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数．同样地，cosA，tanA也是A的函数．”作出了锐角三角函数是一种特殊的函数的提示，由于缺少必要的练习，作用并不大．应该说，这些都不违背“课程标准” 的要求．可见学生在初中学习过的函数有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数，锐角三角函数并不纳入“函

数”这个系统．

初中学习锐角三角函数有一个特定的载体，这就是直角三角形，因此，当他们面对任意画出的一个锐角，其两条边是射线，要求出这个角的三角函数的近似值这个新情境时，竟不知如何是好，手足无措，无计可施，也说明学生对锐角三角函数并不理解．这样看来，画出一个锐角，要求学生会取点、画垂线、度量、计算比值的要求是必要的．

有教师认为，不必复习锐角三角函数，直接提出问题“同学们已经学习过锐角三角函数，你认为应该怎样来定义任意角的三角函数？”这种“大撒手”的问题跨度太大，学生更难回答．原因是对锐角三角函数的“函数”特征认识不足、理解不到位，要让学生直接建立任意角的三角函数，又要突出“函数”这一特征，很困难．因此，为建立任意角的三角函数的概念，需要先复习初中锐角三角函数的概念，因为从锐角（三角函数）到任意角（三角函数）又是由下位到上位的学习．教材要求首先把直角三角形中边长的比值扩展到坐标或者坐标的比值，在直角坐标系中认识锐角三角函数，并引导学生从“函数”的角度认识它，也就是弄清自变量以及与之对应的函数分别是什么是必要的．

（3）对教学的反思

高中教师应该了解义务教育阶段的数学课程标准，了解初中教材，了解学生在初中学习过哪些内容，尤其是相应的教学目标是什么，关注学生的认知结构．应该做好初、高中的衔接工作，不仅注意知识的衔接，还要注意思想方法、能力要求等各方面的衔接，为学习高中的相关内容做好铺垫．以为已经学习过锐角三角函数，学生就能够把它理解为一种特殊的函数，是一个明显的例子．

教科书在节首提出的“思考”是：“我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗”其实，学生只知道锐角三角函数是直角三角形中边长的比值，并不完全知道“它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数”，这就需要通过复习，来帮助学生

补上这一点．

2．其他反思

（1）由于学生在复习阶段花了较多的时间，影响了新课的学习，用任意角三角函数概念解题的时间不多，体验不够，有教师提出“下课后练习不好做”，说明复习锐角三角函数没有必要．笔者认为，当“预设”与“生成”发生矛盾时，教师宁可选择“生成”．尊重学生的认知水平，尊重学生的认知心理过程，决不简单化，把结论直接告诉给学生，追求“结果”，追求“完成”教学任务．教师不能认为我已经把这个概念告诉你了，你就应该知道了．数学教学不是“告诉教学”，概念不能靠学生“复制”，对概念需要的是理解，需要学生用自己的体验建立起对概念的理解．什么是“教学任务”，不能仅限于知识要求，要注意学生的全面发展．比如，当学生不能正确选择在角的一边上取点，画垂线时，启示学生互相讨论、启发一下，借助于同伴的帮助解决问题．当学生不能说出“作为函数的锐角三角函数，自变量以及它的函数分别是什么”（属性）意义不清，不好回答时，教师降低难度，启发类比S＝a2中a表示边长，而S表示正方形的面积．突出线段长、面积，等等．

“任意角三角函数的概念”与作为第一节课的“任意角三角函数的概念”不是同一个概念．对“任意角三角函数的概念”的认识、理解不是一蹴而就的，不是一节课可以完成的任务，需要一个长期的过程．比如，把角度化成弧度到底是为了什么？即便化成弧度，又为什么省略不写呢？建立角的弧度与实数间的一一对应有什么必要呢？任意角三角函数的自变量明明白白是角，为什么偏要把它说成实数呢？刚刚接触任意角三角函数就要求理解这一切是十分困难的．随着学习的深入，尤其是三角函数的应用，学生才能慢慢消除这些疑问，逐渐理解它．比如，在三相交流电路中，某一相电路中的电流强度IA＝Imsin（ωt）（其中Im是电路中电流强度的峰值），三角函数是刻画现实世界中周期现象的基本数学模型；再比如，当学生接触到函数y＝sin（cosx）后，再来看三角函数的定义域，会认识到抽象后的任意角三角函数的自变量作为实数更具广泛性．

这一节课把教学的基本要求定位在，弄清任意角三角函数与锐角三角函数的区别，接受用坐标（或坐标的比值）表示三角函数就够了．如同在建立数轴之后，一个知道把向东2公里表示为2公里而向西2公里表示成－2公里，接受“路程也可以是负数”的学生，就已经开始接受有理数，逐渐成为中学生了．

还需要注意的是，应该通过什么方式让学生建立起用坐标（或比值）表示任意角三角函数，以及领会建立这个概念过程

中所蕴涵的数学思想方法．

（2）在求cosπ时，一个学生说出的结果是0.9985．教师追问“你是怎么算出来的？”他回答：“用计算器．”后来，笔者用计算器做了实验，发现他用计算器计算时，把计算器中的角度模式（Mode）设置成了角度制（Degree）．在这种模式下，计算cosπ可以得到0.9985（即计算的是cosπ°）．如果把角度模式设置成了弧度制（Radian），计算cosπ仍可以得到－1．这件事的出现给我以及所有听课教师引发诸多思考．第一，这位同学没有关注到这节课刚学习过的概念，运用新概念解决当前的问题，而是停留在“三角函数值是能够用计算器算出来的”这个认识水平上；第二，反映了计算器的过度使用，会形成对学具的依赖，影响学生思维能力的发展．学具的功能越全面越强大不一定是好事．比如，具有解方程（Solve）功能的计算器在初中使用可能会削弱解一元二次方程的学习；具有图象功能的计算器的过早使用可能会干扰函数的学习．因此，教师应该注意技术在教学中的“辅助”作用，适度使用教具，重视算理分析，重视算法的来源，重视思维能力的培养，而不是追求计算结果．

借班上课，对学生的不熟悉是教师的苦恼，加上教学进度等问题，学生的知识储备不足（在教学任意角三角函数概念之前仅上过一堂“任意角”的课），是教学并不理想的一个重要原因．教学过程是师生双边活动的过程，离不开师生之间的交流，生疏是交流的障碍之一，生疏更难以做到师生之间配合默契．另外，学生对教师的教学风格的适应或认可也有一个过程，比如教师希望学生积极发言而不仅是听讲，等等．

（3）讨论中，老师们提出了许多有价值的教学应该遵循的一般规律以及一些先进的教学理念，但是，要求一节课全面体现各种先进教学理念，去承担反映数学教学规律中太多的东西是不现实，也是不应该的．

任意角三角函数的定义篇2

一、两种定义法的具体内容

两种定义法的具体内容如下表所示:

二、单位圆定义法

两种定义法的差别在于是否借助单位圆。其中人教A版《必修4》采取了单位圆定义法, 教材大致内容如下:

(3) 引出定义。根据上述第 (2) 点特殊化, 同样的, 对于任意一个角α, 可以利用单位圆定义它的三角函数。

(4) 例题。对例题的求解教材都用了单位圆定义法求三角函数值。

根据后继的教学内容, 用单位圆上的点的坐标定义三角函数有许多优点:

1. 从“数”的角度认识任意角的三角函数。单位圆定义法实际上给出了两个对应关系, 即

实数α (弧度) 对应于点P的纵坐标y——正弦

实数α (弧度) 对应于点P的横坐标x——余弦

这使正弦函数、余弦函数从自变量 (角的弧度数) 到函数值 (单位圆上的点的横、纵坐标) 之间的对应关系更清楚、简单, 突出了三角函数的本质, 有利于学生利用已有的函数概念来理解三角函数。

2. 从“形”的角度认识任意角的三角函数。单位圆定义法使三角函数反映的数形关系更直接, 例如单位圆中的三角函数线与定义的联系, 实际上是用有向线段表示三角函数值, 如右图, 设P (x, y) 是任意角α与单位圆的交点, 则sinα=y, cosα=x, 而且MP=y, OM=x。用有向线段表示三角函数值这是三角函数与其他基本初等函数不同的地方。

3. 更有利于我们数形结合地讨论三角函数值符号的变化规律、同角三角函数的基本关系式、诱导公式、三角函数的性质等。

三、终边坐标法

新教材采用单位圆定义法固然有其道理, 但是终边坐标法也有其优势:

1. 终边坐标法使前后教学内容衔接自然, 更符合学生的认知规律。

在实际的教学过程中, 我们常常思考如何帮助学生根据现有的认知水平能更顺利、更自然地建立新的知识内容。因此, 数学课堂教学要考虑教学内容前后衔接自然显得尤为重要。

在初中, 锐角α三角函数是在直角三角形内进行定义, 其中显然, 在形式上它们分别是一个比值。终边坐标法延续了比值形式, 使前后内容在表现形式上保持连贯性, 衔接自然利落, 学生在情感上更容易接受, 有水到渠成的效果。而单位圆定义法给出的正、余弦定义由于r=1, 故在表现形式上不是一个比值, 这与学生已有的知识产生差距, 使学生难以迅速接受。

2. 终边坐标法比单位圆定义法更具一般性。

无论是初中的锐角三角函数还是现在的任意角三角函数, 只要角不变, 它的三角函数值就不变, 即比值不变, 而终边坐标法就能很好地表现出这个本质特征。终边坐标法可以选取角的终边上任意一点P, 而我们可以把点P看成是角的终边与任意一个以原点为圆心的圆的交点, 单位圆定义法的前提是规定点P必须是角的终边与以原点为圆心的单位圆的交点, 由此可以看出, 单位圆定义法是终边坐标法的一种特殊情况, 终边坐标法比单位圆定义法更具一般性。

3. 终边坐标法比单位圆定义法更有利于数学解题。

定义法是一种常见的数学解题方法, 人教A版《必修4》的§12.1任意角的三角函数一节的例1和例2用了定义法求三角函数值, 现取例2及教材的解题过程如下:

例2.已知角α的终边经过点P0 (-3, -4) , 求角α的正弦、余弦和正切值。

分析:如右图所示, 由△OMP∽△OM0P0, 可求出相应的三角函数值。

如右图, 设角α的终边与单位圆交于点P (x, y) , 分别过点P、P0作x轴的垂线MP、M0P0, 则

这是用了单位圆定义法求三角函数值, 下面再用终边坐标法求解, 以示比较。

通过比较用两种不同定义求解的过程, 显而易见, 终边坐标法的解题比单位圆定义法的更为简便利落, 优势明显。

四、结论

任意角三角函数的定义篇3

[关键词]HPM视角三角函数教学探究

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2016）110007

HPM是一种简称，它是数学史与数学教学关系国际研究小组的简称，该小组是在第二届国际数学教育大会上成立的.HPM主要是数学史对教学设计等内容进行深入的研究.一般情况下，我们所说的HPM视角下的数学教学就是从数学史与数学教育关系的角度对数学知识进行教学研究.把数学史应用到数学教学实践活动中，对提高数学教学质量具有十分重要的积极作用.但是怎样进行正确引入以及具体引入哪些内容，是一个复杂的系统性问题.对我国来说，在数学史与数学教学关系方面的研究比较少，因此在实际教学中有很多教师没有做好数学史对教学设计等内容进行深入的研究.因此本文从HPM视角对“任意角三角函数概念”进行深入研究，希望能够对数学史与数学课堂完美融合进行一定程度的探索，为进一步提高数学教学质量开辟新的途径.

一、HPM视角下高中“任意角三角函数概念”教学学情的分析

通常情况下，学生在开始学习任意三角函数的概念前，已经学习了弧度制.教师要在弧度制的教学过程中有目的、有意识地加入数学史的内容，这样可以使学生从自己的思想意识中明确为什么要将弧度制引入到数

学教学活动中，同时也能够帮助学生加深对单位圆的理

解[1].学

生在初中已掌握了锐角三角函数的相关含义，比如正弦和余弦以及正切等概念有了一定程度的了解.因此本文认为教师可以在弧度制的教学讲解过程中对锐角三角函数的概念进行复习和回顾，之所以这样做是因为从本质上来说，弧度制是一种度量方式，最早也是为了解决三角形边角关系的情况下产生的.为了充分提高教学的质量，在实际的教学过程中，教师应当先不要讲述三角函数的定义，而是要等到学生对任意三角函数的概念深入掌握后再将高中和初中的知识进行对比，这样可以帮助学生建立一个清晰完整的三角函数知识体系.

二、HPM视角下高中“任意角三角函数概念”教学情境设计

学生到了高中阶段，其生活经验和联想能力都得到了发展和提高.所以教师要从生活的现象入手，激发学生对任意角三角函数的学习兴趣[2].如引导学生对钟表指针的旋转以及自行车轮子的旋转进行观察，因为在这些运动中都存在着180°以上的角度，而且其运动的轨迹都和圆存在着十分直接的联系.因此从某种角度来说，三角函数也叫圆函数[3].在这种情况下，完全可以借助单位圆引入任意角三角函数的概念.

问题1：怎样从单位圆的角度出发去理解任意三角函数的定义？

如图1所示，我们完全可以假设α是一个任意的角，在此基础上进一步假设α的终边和单位圆相交于一个点M（x，y）.在这种情况下，首先y就是角α的正弦，即sinα=y；其次，x就是角α的余弦，即cosα=x；y/x就是角α的正切，即tanα=y/x.

问题二：点M（x，y）的坐标和任意三角函数的正负存在着什么样的内部联系？

此时，教师要利用这个问题导向，积极引领学生对三角函数的定义进行深入分析，利用该定义对三角函数符号和点M（x，y）的坐标关系进行分析，通常情况下，只要r的值是正数，那么横坐标和纵坐标的正负就可以直接决定三角函数值的符号.

问题三：在分析和学习三角函数的周期性时，怎么实现对单位圆这一工具的有效利用？

此时，对图1的单位圆进行深入的分析和实际的计算可以得出这样一个重要的结论，那就是每当角度转动了360°或者是360°的整数倍的时候，角的终边都能够回到原来的位置上.在这种情况下，三角函数在转动前后的同名函数值应该是相等的.因此，我们可以对这样一种现象进行深入的分析和有效的利用，从而能够通过有效的转换，变成求0到2π角的三角函数值.

三、HPM视角下高中“任意角三角函数概念”教学效果的问卷调查

为了对HPM视角下高中“任意角三角函数概念”教学效果进行深入的了解和掌握，本次研究做了充分的调查，并在某学校进行了课堂教学的实践.该学校的文理科比例是1∶4，从总体上来看，理科生对本节课的兴趣高于文科班.部分学生认为本次课堂的感觉比较好，比以前更加有趣，还有的学生认识到单位圆具有周期性和对称性，对用来研究三角函数具有很有效的帮助.总体来说，三角函数历史悠久，将几何知识、代数知识等融为一体，教师在教学的过程中应当注意各个知识之间的联系.

综上所述，三角函数是高中学习中非常重要的知识内容，从周期性的角度来说，三角函数是周期函数，同时三角函数也为解决其他问题提供十分重要的工具，与后续学习的很多内容有关联.HPM主要对数学史的教学设计等内容进行深入的研究.因此我们要进一步进行深入思考和研究，采取有效措施，加强HPM视角的数学教学研究，让学生了解数学的来龙去脉，这样既有利于提高学生学习数学的兴趣，又能够加深学生对数学知识的理解.

[ 参考文献 ]

[1]龚亮亮.“任意角的三角函数”教学设计[J].中国教育技术装备，2011（4）.

[2]曾荣.高中数学教材“推广型”内容的教学策略[J].教学与管理，2015（7）.

[3]陈汉裕.关于“任意角三角函数的定义”的教学[J].科技信息（科学教研），2007（7）.

《任意角的三角函数》教学反思篇4

通过任意角三角函数的定义，启发学生找到各个三角函数在每个象限的符号以及在坐标轴上的值。并用“一全正，二正弦，三余弦，四正切”这一句话来概括了各个象限的符号。

在例题的设置上，例1是已知一个角终边上一点的坐标，求这个角的三个三角函数值。通过这个例题的练习，让学生更好地巩固了任意三角函数的定义，会求任意一个角的三角函数。例2和例3的设置是让学生进一步熟记各个三角函数在每个象限的范围以及坐标轴上的值。例4是把几个三角函数组合在一起，形成一个新的函数，结合函数的表达形式求定义域，能够让学生反过来已知三角函数值的符号去判断角的大小。

任意角三角函数的定义篇5

题：4.3 任意角的三角函数

（二）1.三角函数在各象限内的符号规律：

记忆法则：

第一象限全为正,二正三切四余弦.2.诱导公式一（其中kZ）: 用弧度制可写成

sin>0cos<0tan<0cot<0sin<0cos<0tan>0cot>0 sin>0cos>0tan>0cot>0sin<0cos>0tan<0cot<0sin(k360)sinsin(2k)sin

cos(k360)cos cos(2k)cos tan(k360)tan

tan(2k)tan

讲解范例：

例1 确定下列三角函数值的符号

(1)cos250°（2）sin(4)（3）tan（－672°）(4)tan(11)3

例2 求下列三角函数的值(1)sin1480°10′

(2)cos911).

（3）tan(46

例3 求值：sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tan4950°．

cosxtanx|cotx|sinx

例5 求函数y的值域 |sinx|cosxtanxcotx

例6 设是第二象限的角，且|cos

2|cos2,求2的范围.课后作业

1.确定下列各式的符号

(1)sin100°·cos240°

(2)sin5+tan5

2..x取什么值时,sinxcosx有意义? tanx

3．若三角形的两内角，满足sincos0，则此三角形必为……（）

A锐角三角形

B钝角三角形

C直角三角形

D以上三种情况都可能

4．已知是第三象限角且cos

20，问

是第几象限角？ 215．已知1，则为第几象限角？

2

任意角三角函数的定义篇6

任意角是数学必修4第一章三角函数中第一节的第一课时.三角函数是基本初等函数, 是描述周期现象的重要数学模型.角的概念的推广正是这一思想的体现之一, 是初中相关知识的自然延续, 为进一步研究角的和、差、倍、半关系提供了条件, 也为今后学习解析几何、复数等相关知识提供有利的工具.因此学生正确的理解和掌握角的概念的推广十分重要.为此确定如下教学目标.

知识目标: (1) 推广角的概念, 理解并掌握正角、负角、零角的定义; (2) 理解任意角以及象限角的概念; (3) 掌握所有与角终边相同的角 (包括角) 的表示方法.

能力目标: (1) 提高学生的计算能力, 归纳概括能力和类比思维能力; (2) 通过画图和判断角的象限, 培养学生数形结合的思想方法.

德育情感目标: (1) 创设问题情景, 激发分析探求的学习态度, 强化参与意识; (2) 学会运用运动变化的观点认识事物.

怎样运用适当的教学策略, 引领学生实现上述综合性的教学目标呢?

一、第一轮教学设计

2000年, 笔者第一次上这一节课时, 采用的是典型的以知识为主线的课堂教学设计.遵循引入─知识建构─知识应用─归纳总结的思路.呈现的方式是:第一步, 画一条射线, 把它按顺、逆时针方向转直接给出正角、负角、零角的定义, 角的概念得以迅速推广;第二步, 直接把角放在平面直角坐标系研究, 给出象限角的定义;第三步, 以终边与30°角重合的角的表示给出终边相同的角的集合表示;第四步, 应用举例 (教师示范, 通过例题, 进一步理解任意角、象限角和终边相同的角) ;第五步, 变式训练 (用较多的时间通过练习, 掌握象限角的判断、终边相同的角的表示方法) ;第六步, 归纳小结 (角推广、象限角定义、与α终边相同的角的集合的表示) .整堂课简洁明了, 讲解清透.先按教师的预设将知识呈现得淋漓尽致, 接着示范, 紧跟着题组训练, 可以说也达到了学生掌握知识的目的.但纵观整节课, 这样的设计最大的缺陷是忽略了学生个体的主体作用.学生在课堂中仅是被动接受知识, 所有知识是直接灌输给学生的, 学生没有得到分析问题和解决问题的经验, 所学知识可以说是死的, 无法迁移, 对学生后继学习作用甚少, 学生不喜欢.

二、第二轮教学设计

2004年, 笔者第二次上这节课时, 采用的是典型的以问题探究为主线的课堂教学设计.遵循创设问题─分层设问─合作探究─动态生成─有效建构的思路.

第一步, 创设情景激发兴趣

问题1:你的手表慢了5分钟, 你是怎样将它校准的?假如你的手表快了1.25小时, 你应当如何将它校准?当时间校准以后, 分针转了多少度? (组织学生进行讨论, 教师取出一个钟表, 实际操作)

第二步, 分层设问, 合理探究

任意角的概念

问题2:过去我们是如何定义一个角的?角的范围是什么? (学生回答问题, 教师动态展示角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形)

问题3:举出不在0°~360°的角的实例, 并加以说明. (学生举例, 再说明所举例的角为什么不在0°~360°.教师提供教材中的几个例子, 让学生感受角的概念推广的必要性)

问题4:你认为刻画这些角的关键是什么? (组织学生讨论, 教师引导学生从旋转量、旋转方向这两个方面进行思考)

给出任意角的定义. (教师引导学生通过类比正数、负数和零, 定义角的正角、负角和零角的概念)

象限角的概念

问题5:如果把角放在直角坐标系中, 那么怎样放比较方便、合理? (先让学生以同一条射线为始边作出下列角:210°, -150°, -660) (学生画图探究, 讨论、交流, 不难给出合理的放法)

给出象限角的概念. (教师在总结分析合理放法的基础上, 给出象限角的概念, 并说明在同一坐标系下讨论角的好处.然后通过具体例子使学生直接感受象限角的概念)

问题6:锐角、钝角分别是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?第四象限角一定是负角吗?

问题7:作出下列各角, 并指出它们是第几象限角. (1) 420°; (2) -75°; (3) -32°; (4) -392°. (四个学生板演, 其余独立完成, 学生讲评)

终边相同的角表示

问题8:都有哪些角的终边与30°角的终边相同?

问题9:将角按上述方法放在直角坐标系中后, 给定一个角, 就有唯一的一条终边与之对应.反之, 对于直角坐标系内任意一条射线, 以它为终边的角是否唯一?如果不唯一, 那么终边相同的角有什么关系? (学生思考每组角的数量关系, 教师展示课件让学生利用计算机在旋转终边的过程中发现“终边相同”的角的关系, 并利用集合表示出来)

给出终边相同的角的集合表示. (学生尝试表示, 教师指导)

练习:教科书P5练习第1~2题. (学生口答, 教师通过提问的形式向学生传递答案)

第三步, 有效建构, 深化认识

问题10:在0°~360°范围内, 找出与-950°12′角终边相同的角, 并判定它是第几象限角. (教师分析、板书)

练习:1.写出与下列各角终边相同的角的集合S, 并把S中在-360°~720°间的角写出来:60°; (2) -21°; (3) 363°14′. (学生分小组讨论, 派代表发言)

2.学生自己编题, 互批, 有不明确的可邀请老师共同研究. (选部分实物投影展示)

问题11:写出终边在y轴上的角的集合. (学生自学, 教师指出这两个集合求并集的关键是把270°改写成90°+180°, 然后重新组合)

变式1:写出终边在x轴上的角的集合;变式2:终边在坐标轴上的角的集合.练习:写出终边在各象限的角的集合.

问题12:写出终边在直线y=x上的角的集合S, 并把S中适合范围[-360°, 720°) 的元素写出来. (师生共同完成, 注意k的正确取值是关键)

练习:写出终边在直线在y=-x上的角的集合S, 并把S中适合范围[-360°, 720°) 的元素写出来. (学生尝试独立完成练习, 教师巡视, 个别辅导, 学生回答结果, 教师给出评价)

变式:写出终边在四个象限的角平分线上的角的集合.

第四步, 归纳小结, 纳入系统

问题13: (1) 你知道角是如何推广的吗?

(2) 象限角是如何定义的呢?

(3) 你掌握了与角α终边相同的角的集合的表示方法吗? (学生回答, 讨论交流, 补充.教师归纳总结, 突出重点知识, 解决学生的疑惑点)

第五步, 任务后延, 自主研究

(1) 课外作业. (略)

整个设计, 以问题为中心, 以问题为主线, 所有的学习活动均以问题而展开, 做到以问题为起点, 问题解决为终点, 问题驱动、层层铺垫, 从特殊到一般启发学生获得新知识.从课堂开始结合实际生活中的例子, 由教材的“思考”出发, 引发学生的认知冲突, 激发学生的求知欲望, 让学生体会角的推广的必要性.让学生利用类比和数形结合的思想, 在动态的过程中体会“既要知道旋转量, 又要知道旋转方向”才能准确地刻画角的形成过程的道理.“终边相同的角之间的关系”的学习, 从特例出发, 使学生经历由具体数值到一般的k值的抽象过程, 学生易于接受.在知识动态生成阶段, 大胆让学生板书练习, 放手让学生去点评, 让学生从实践中提高能力, 让学生在合作中获得知识.最后的总结没有直接投影给学生, 而是将这个活动空间再次让给课堂主体, 全体讨论, 多人参与总结, 真正再次活跃了课堂气氛.学生在问题的引领下, 思考多、讨论多、合作多、质疑多, 在问题解决过程中获得解决问题的方式, 让学生高层次的思维能力和自主学习能力在学习过程中得到了真正的提高, 基本实现了综合性的教学目的.

课后反思, 这是三角函数章节的第一节课, 缺少了章节引言, 有点突兀;不在0°~360°的角的实例教师所提供教材中的几个例子还不够生动;还有角怎么想到要放在平面直角坐标系中研究没有说透;终边相同的角表示引入设计不够透彻, 太牵强;针对以上几个细节, 拟作进一步修改.

三、第三轮教学设计

笔者第三次上这节课.其设计与2004版大部分一样, 部分作了修改.下面是修改点:

问题1前增加了章节引入

(1) 有诗赞曰:东升西落照苍穹, 影短影长角不同.昼夜循环潮起伏, 冬春更替草枯荣 (背景是行星运动) . (让学生体验日常生活中普遍存在周而复始的现象, 因而很有研究的必要, 了解学科间的相互联系)

(2) (回答) 今天是星期三那么7k (k∈Z) 天后的那一天是星期几?7k (k∈Z) 天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几? (数学来源于生活也服务于生活.再次体验身边周而复始的现象)

引出三角函数这一描述周期现象的重要数学模型, 进而提出今天我们一起来探究的三角函数第一节之任意角.

问题1与问题2位置交换

问题3改为让学生观看视频:2008奥运会郭晶晶3米跳板. (动态, 结合具体的实例, 感受角的概念推广的必要性)

问题5前增加

学生观察思考.

教师:你发现了什么? (同一个角怎么去研究, 自然过度到新知)