证明定积分不等式例题

证明定积分不等式例题（共7篇）

证明定积分不等式例题 篇1

我们把形如(为常数)

或的不等式称之为数列和型不等式，这类不等式常见于高中数学竞赛和高考压轴题中，由于证明难度较大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定积分的几何意证明，则可达到以简驭繁、以形助数的解题效果.下面举例说明供参考.一、(为常数)型

例1(2007年全国高中数学联赛江苏赛区第二试第二题)

已知正整数，求证

.分析这是一边为常数另一边与自然数有关的不等式，标准答案是用数学归纳法证明比这个不等式更强的不等式，这个不等式是怎么来的令人费解.若由所证式子联想到在用定积分求曲边梯形面积的过程中“分割求和”这一步，则可考虑用定积分的几何意义求解.证明构造函数

数图象可知，在区间并作图象如图1所示.因函数在上是凹函数，由函上的个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，图

1即，因为，所以.所以

.例2求证

.证明构造函数而函数

在，又，上是凹函数，由图象知，在区间上的个矩形的面积之和

小于曲边梯形的面积，图

2即，所以

.例3证明。

证明构造函数知，在区间

上，因，又其函数是凹函数，由图3可

个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，图

3即

.所以

.二、型

例4若，求证:.证明不等式链的左边是通项为前

项之和，中间的的数列的前项之和，右边通项为项之和.故只要证当的数列的时这三个数

可当作是某数列的前

列的通项不等式

成立即可.构造函数，因为，作的图象，由图4知，在区间

上曲边梯形的面积大小在以区间长度1为一边长，以左右端点对应的函数值为另一边长的两

个矩形面积之间，即，而，故不等式

成立，从而所证不等式成立.图

4例5（2010年高考湖北卷理科第21题）已知函数

处的切线方程为的图象在点

.（Ⅰ）用表示出（Ⅱ）若；

在内恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）证明:

.本题第三问不等式的证明是本大题也是本卷的压轴戏，具有综合性强、难度大、思维含金量高、区分度大等特点.这个不等式的证明既可用第二问的结论证明也可用定积分来证明.证明（Ⅲ）不等式

列的前项之和，我们也可把右边当作是通项为

左边是通项为的数列的前项之和，则当的数时，此式适合，故只要证当

时，即，也就是要证

.由此构造函数，并作其图象如图5所示.由图知，直角梯形的面积大于曲边梯形的面

积，即

.图5

而

证明定积分不等式例题 篇2

一、定积分

1. 定积分的定义

在闭区间[a, b]内任取n - 1 个分点:

它们把[a, b]分成n个小的闭区间 Δi= [xi -1, xi], i =1, 2, …, n这些分点或这些闭区间构成对区间[a, b]的一个分割, 记为T, 小区间 Δi的长度为 Δxi= xi- xi -1, 记, 称为分割T的细度, 小区间 Δi都有 Δxi≤‖T‖, i = 1, 2, …, n, 当 ‖T‖ 很小时各个Δxi也一定很小 ( 反之亦然) . 所以细度是衡量分割T把区间[a, b]分得细密的程度. 一旦T给定了, 则细度‖T‖ 也确定了, 但是有同一细度的分割却有无限多个.

在分割下所属的各个小区间上, 各任取一点 ξi∈Δi, i = 1, 2, …, n称为介点.

全体介点{ ξ1, ξ2, …, ξn} 构成一个属于T的介点集. 虽然当分割T取定后, 介点集还可以有无限多种取法, 但总有

设函数f ( x) 定义在区间[a, b]上, 对[a, b]上的一个分割T及属于它的介点集{ ξ1, ξ2, …, ξn} , 作和式, 称和式为f ( x) 在[a, b]上属于分割T的一个积分和, 也称为黎曼和.

定义:设f (x) 是定义在[a, b]上的一个函数, J是一个确定的常数.若对任给的正数ε, 总存在某一个正数σ, 使得[a, b]上的任何分割T, 只要它的细度‖T‖≤σ, 属于T的所有积分和∑f (T) 都满足|∑f (T) -J|<ε,

则称函数f ( x) 在区间[a, b]上可积. 数J称为f ( x) 在[a, b]上的定积分, 或黎曼积分, 记作:

其中f ( x) 称为被积函数, x称作积分变量, [a, b]称为积分区间, a, b分别称为这个定积分的下限和上限.

另外, 定积分还可以定义为以下形式:

设函数f ( x) 定义在[a, b]上, 任给[a, b]的一个分割T, 作积分和, 如果当‖T‖ → 0 时, 积分和∑f ( T) 存在极限J, 即

而且J与分割T无关, 也与介点集 ( ξ1, ξ2, …, ξn) 的取法无关, 则称f ( x) 在[a, b]上可积, J称为f ( x) 在[a, b]上的定积分 ( 黎曼积分) , 记作: J = ∫abf ( x) dx.

其中f ( x) 称为被积函数, x称作积分变量, [a, b]称为积分区间, a, b分别称为这个定积分的下限和上限.

注: 定积分作为积分和的极限, 它的值只与被积函数f ( x) 和积分区间[a, b]有关, 而与积分变量所用符号无关, 即

2. 定积分的几何意义

当函数f (x) ≥0时, 定积分表示以曲线y=f (x) , 直线x=a, x=b以及x轴为边的曲边梯形的面积A (如图1) :

当函数f ( x) ≤0 时, - f ( x) ≥0, 因而曲边为y =f ( x) 的曲边梯形的面积为:

一般情况下, 当函数f ( x) 在区间[a, b]上有正有负时 ( 如图2) :

定积分的几何意义为:介于x轴、函数f (x) 的图像及直线x=a, x=b之间的各部分面积的代数和.在x轴上方的面积取正号, 在x轴下方的面积取负号.

下面我们来剖析定积分概念的建立及其特征, 从前面定积分的定义可知, 为了求函数f ( x) 在区间[a, b]上的定积分, 一般分为如下四个步骤: ① 从要求的整体出发, 将整体“化整为零”; ② 在被分割开的每一个局部范围内“以直代曲”, 用初等代数、初等几何方法求出各个局部近似值; ③“积零为整”求出整体近似值; ④“无限求和”达到最终目的, 即求出整体的精确值.

从以上四个步骤可以看出: 定积分的概念的建立和求积分的过程是采取“由精确到近似, 再由近似到精确”的迂回曲折的手段和途径. 通过这种曲折的道路, 使得所求的整体由未知转化为已知, 实现了“直”与“曲”、“有限”与“无限”、“近似”与“精确”的矛盾转化. 利用这种矛盾转化的规律性, 解决了用初等代数、初等几何方法无法解决的问题, 创造了一种全新的数学方法. 下面我们就用这种数学方法来证明中学里面用初等代数、几何方法不易解决的不等式问题[1].

二、用定积分证明不等式

由于利用定积分的定义证明不等式, 过程往往比较复杂, 适合于抽像的积分形式的不等式的证明, 不太适合用于证明中学里面常见的不等式, 下面介绍一种较适用的方法, 即利用定积分的几何意义证明不等式.定积分的几何意义就是表示其曲边梯形的面积, 因此, 用定积分的几何意义来证明不等式, 其实就是比较不等式两边所对应的被积函数所围成的曲边梯形的面积的大小, 作为定积分的几何意义的一个应用, 我们首先来证明一个定理[2].

定理1 设f是闭区间[0, c]上严格递增的连续函数, 若f ( 0) = 0, a ∈[0, c]. b ∈[0, f (c) ]则∫0af (x) dx + ∫0bf-1 (x) dx ≥ ab. 其中f-1是f的反函数, 上式等号成立当且仅当b = f (a) .

证明 如图3 所示, 设曲边三角形OPa, ORb, Oa Db的面积分别为S1, S2, ab.

由图3 及平面图形面积的性质, 易知

当b ≠ f ( a) 时, 有S1+ S2> ab; 当b = f ( a) 时, 有S1+ S2= ab. 这就有S1+ S2≥ ab ( 其中等号成立当且仅当b = f ( a) . )

根据定积分的几何意义, 当f在[0, c]上严格递增且连续, 且f (0) = 0, a ∈[0, c], b ∈[0, f (c) ]时, 有

代入S1+ S2≥ ab, 即得

(其中等号成立当且仅当b=f (a) .)

上式也可写成:

这个定理证明完了, 它到底有何用处, 我们不妨举几个例子来看看.

例1 证明:设a≥0, b≥0.p, q均为正数, 若, 则不等式成立.

证明: 作辅助函数f (x) = xp -1 ( p > 1) 在[0, c] ( c为任意正数) 上连续, 严格递增, 其反函数为, 并且取充分大的c可以使a ∈ [0 , c], b ∈ [0 , f ( c) ]故由定理1 得,

又因为. 得. 代入 ( 1) 得

例2 证明ab≤alna-a+eb (a≥1, b>0) .

证明:作辅助函数f (x) =ln (1+x) (如图4) , 其反函数为x=ey-1, 于是由定理1得:

例1、例2 都是直接利用定理1 来证明不等式, 其实我们还可以根据定积分的几何意义, 直接比较面积的大小来证明不等式, 下面我们就本着这个思想来证明几个不等式[3].

例3已知0 < a < b, 求证: 2ab ( lnb - lna) < b2- a2.

证明: 作辅助函数 ( x > 0) . ( 如图5) f ( x) 为下凹函数. 由定积分的几何意义有:

即

所以2ab (lnb-lna) <b2-a2.

在此题中, 我们发现可以先对不等式进行变换得到可以直观的表示某种平面图形的面积的式子, 这也是利用定积分的几何意义证明不等式的一种技巧.

例4 证明 (n>1) .

证明: 作辅助函数f ( x) = xn, x ∈[0, 1], 当n > 1时, f ( x) 在[0, 1]内是上凹的, 将区间n等分 ( 如图6) , 由定积分的几何意义有:

小矩形的面积之和< 曲边梯形的面积< 小梯形的面积之和.

由左边不等式得,

由右边不等式得,

我们知道在中学证明涉及自然数“n”的不等式都是用数学归纳法来证明的, 在这里, 可以用定积分的几何意义简捷的证明这类不等式, 下面再看几个这种类型的不等式.

例5 ( n ≥ 2) .

证明: 作辅助函数 ( x > 0) 如图7.

由定积分的几何意义有,

例6 证明.

证明:作辅助函数, 如图8, 由定积分的几何意义得

例7 证明 (n∈N) .

证明:作辅助函数 (x>0) , 如图9, 由定积分的几何意义得,

所以原不等式成立.

结合放缩法等一些基本的不等式证明方法, 通过比较面积大小、分析被积函数图像的位置关系等途径, 利用定积分证明了一些不等式, 在证明中所用的不等式关系中, 经常用到的和式就是定积分近似计算时常用的矩形法和梯形法公式, 我们发现用定积分, 特别是定积分的几何意义, 在不等式的证明中是非常有用的, 这说明高等数学与初等数学之间有着密切的联系, 相信读过本文后, 将不会有“在大学里学了那么多知识, 但对中学数学教学似乎没有多大用处”的感觉了, 而且经过不断的探索, 定积分将会在更多类型不等式的证明中得到运用.

参考文献

[1]吕世虎, 等.从高等数学看中学数学[M].科学出版社, 1995.59.

[2]李元章, 等.数学分析的基本概念与方法[M].高等教育出版社, 1989.156.

有关定积分等式的证明 篇3

【关键词】定积分；等式；证明

定积分等式属于积分学重要内容，在学习和应用中，会碰到大量有关积分等式命题的证明。从积分等式命题的证明探求过程可以看出，它并非是一种纯粹的积分接替计算智能活动，证明往往具有较强的灵活性和技巧性。通常求证一道积分等式命题要用到多种技巧，而对同一个积分等式命题能用几种方法来证明的情形也较多。所以，有时很难确切对其证法进行分类。为了分析和解决这些问题，这里我们把导致问题获得解决的主要关键作为分类依据。常用的若干典型证法有换元法、辅助函数法、分部积分法等，常用的定理有连续函数在闭区间上的性质，积分性质及中值定理等。

利用二重积分证明不等式 篇4

b

af(x)dxg(x)dx(ba)f(x)g(x)dx aabb

证明 由于f(x),g(x)是[a,b]单调增加的函数,于是

(f(x)f(y))(g(x)g(y))0

(f(x)f(y))(g(x)g(y))dxdy0 …………….(1)D

其中 D为 axb,注意到 ayb.f(x)g(x)dxdyf(y)g(y)dxdy

DD

Df(x)g(y)dxdyf(y)g(x)dxdy D

由(1)可得

b

af(x)dxg(x)dxf(x)dxg(y)dyf(x)g(y)dxdyaaaD

bbbbbb f(x)g(x)dxdydyf(x)g(x)dx(ba)f(x)g(x)dx

证明定积分不等式例题 篇5

例5-2-7已知a，b，c∈R+，证明不等式：

当且仅当a=b=c时取等号。

解用综合法。因a＞0，b＞0，c＞0，故有

三式分边相加，得

当且仅当a=b=c时取等号。

例5-2-8设t＞0。证明：对任意自然数n，不等式 tn-nt+(n-1)≥0

都成立，并说明在什么条件下等号成立。

解当n=1时，不等式显然成立，且取等号。

当n≥2时，由幂分拆不等式，可得以下n-1个不等式： t2+1≥t+t，t3+1≥t2+t，„，tn-1+1≥tn-2+t，tn+1≥tn-1+t

以上各式当且仅当t=1时取等号。把它们分边相加，得

故对任意n∈N，不等式获证。等号成立的条件是n=1，或t=1。-1-

注①在以上不等中令t=1+x(x＞-1)，即得著名的贝努利不等式(1+x)n≥

1+nx

例5-2-9设a，b，c都是正数，证明不等式

当且仅当a=b=c时取等号。

分析本例有多种精彩证法。根据对称性，可从左边一项、两项入手，当然也可根据平均值不等式或幂分拆不等式从整体入手。

解[法一]从一项入手，适当配凑后由平均值不等式知

三式分边相加，即得

时，上式取等号。

[法二]从两入手，利用幂分拆不等式，有

同理有

三式分边相加，得

[法三]从整理入手，原不等式等价于

进一步证明参考习题5-2-7(1)解答。

[法四]由平均值不等式x2+(λy)2≥2λxy(x，y，∈R+)的变式

三式分边相加，得

所以

注从证法4我们看到，利用平均值不等式x2+(λy)2≥2λxy(x，式不等式，思路自然，简捷明快，颇具特色。

例5-2-10已知关于x的实系数方程x2+px+q=0有两个实数根α，β。证明：若|α|＜2，|β|＜2，则|q|＜4，且2|p|＞4+q。

解先证|q|＜4，由韦达定理知 |q|=|αβ|=|α|·|β|＜2×2=4 再证2|p|＞4+q。

欲证不等式即0≤2|α+β|＜4+αβ。故只须证 4(α+β)2＜(4+αβ)

2即4α+8αβ+4β2＜16+8αβ+α2β2 从而只须证

16-4α2-4β2+α2β2＞0

即(4-α2)(4-β2)＞0

由|α|＜2，|β|＜2，知α2＜4，β2＜4，故最后不等式成立，从而原不等式得证。

例5-2-11证明：若a，b，c是三角形的三边，则 3(ab+bc+ca)≤(a+b+c)2＜4(ab+bc+ca)当且仅当三角形为正三角形时，左边取等号。解左边不等式等价于

3(ab+bc+ca)≤a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)欲证此不等式成立，只须证 ab+bc+ca≤a2+b2+c2 即证

2(a2+b2+c2)-2(ab+bc+ca)≥0 左边配方即为

(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0

此不等式显然成立，当且仅当a=b=c，即三角形为正三角形时取等号。故左边不等式获证。

欲证右边不等式，仿上只须证 a2+b2+c2＜2(ab+bc+ca)从而只须证

(ab+ac-a2)+(ab+bc-b2)+(bc+ca-c2)＞0 即证

a(b+c-a)+b(a+c-b)+c(b+a-c)＞0

由于a，b，c是三角形的三边，此不等式显然成立，故右边不等式获证。综上所述，原不等式得证。

例5-2-12设f(x)=x2+px+q(p，q∈R)，证明：

(2)若|p|+|q|＜1，则f(x)=0的两个根的绝对值都小于1。解用反证法

但是，|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥f(1)-2f(2)+f(3)

=(1+p+q)-2×

(4+2p+q)+(9+3p+q)=2(ii)

(i)与(ii)矛盾，故假设不成立，即原命题成立。

(2)假设f(x)=0的两根x1，x2的绝对值不都小于1，不妨设|x1|≥1，那么由韦达定理，有

|p|=|-(x1+x2)|=|x1+x2|≥|x1|-|x2|≥1-|x2| |q|=|x1x2|=|x1|·|x2|≥|x2| 两式分边相加，得 |p|+|q|≥

1这与题设矛盾，故假设不成立，即原命题得证。

积分法证明不等式 篇6

定理1设函数 (x) 与g (x) 为定义在[a, b]上的两个可积函数, 若 (x) ≤g (x) , x∈[α, b], 则。例1证明不等式

例1证明不等式

分析:积分与微分是互逆运算, 积分本身具有单调性, 问题关键在于把不等式两边构造成积分的形式, 便用微积分基本公式, 再利用定理1便可以证明。

令在[a, b]上是可积函数, 由定理1有:

于是有成立, 得证。

二、利用积分中值定理证明不等式

定理2若函数 (x) 在[a, b]上可积, 且存在原函数, 则至少存在一点ζ∈[a, b]使得

例2证明不等式分析:此不等式若用平方法证明比较简单, 这里利用积分中值定理来进行证明:把不等式作差转换成积分中值定理的形式。

三、利用积分几何证明不等式

例3设α, b≥1时, 证明不等式

分析:此题可以与定积分的“以直代曲”的“近似代替”的思想联系起来, 加上积分的几何意义使得不等式的证明变得更加简单。

其实证明不等式也是一门艺术, 它具有自己独到丰富的技术手法。因此, 我们在证明不等式时要充分运用函数的思想和数形结合的思想;充分利用微分与积分的知识来证明不等式, 使一些复杂的不等式得到更加简洁的证明, 也使得一些不等式的证明方法多样化。因此在证明不等式时关键在于要抓住不等式的特点, 从而迅速有效地解决问题。

摘要：证明不等式不仅是初等数学的重要课题, 而且也是分析解决其他数学问题的基础。中学数学中证明不等式多用初等方法, 有时会使运算过程比较繁琐。如果利用定积分知识, 就可轻松地解决不等式中的证明问题。本文主要以例题形式充分利用积分的知识证明不等式。

关键词：不等式,积分,函数

参考文献

[1]华东师范大学数学系编.数学分析[M].高等教育出版社.1981

[2]吴传生主编.数学分析习题精解[M]中国科学技术大学出版社.2004

[3]人民教育出版社中学数学室.高中数学课程标准[M].人民教育出版社.2001

[4]人民教育出版社中学数学室.数学 (选修Ⅱ) [M].人民教育出版社.2001

[5]马宝珊等编.数学解题方法[M].黑龙江出版社.1983

证明定积分不等式例题 篇7

一、构造辅助函数的原则

辅助函数的构造是有一定规律的。当某些数学问题使用通常的方法按定势思维去考虑很难奏效时,可根据题设条件和结论的特征、性质展开联想,进而构造出解决问题的特殊模式,这就是构造辅助函数解题的一般思路。

二、构造辅助函数方法探讨

1. 仅告知被积函数连续的命题的证法

一般来说,这类命题的证明要做辅助函数(或者说用辅助函数法更简便)。

在定积分不等式中,辅助函数Φ(x)的构造方法是将定积分不等式中,积分上限(或下限)及相同字母换成x,移项使不等式一端为0,则另一端即为所设的辅助函数Φ(x)。

这类命题的证明思路:

(1)做辅助函数Φ(x);

(2)求Φ(x)的导数Φ'(x),并叛别Φ(x)的单调性;

(3)求Φ(x)在积分区间[a,b]的端点值Φ(a),Φ(b),其中必有一个值为“0”,由第2条思路可推出Φ(b)>Φ(a)(或Φ(b)<Φ(a)),从而得出命题的证明。

2. 已知被积函数f(x)一阶可导,又至少一个端点的函数值为0或f(b)=0)的命题的证法

(1)证题思路之一。①写出含这个端点的拉格朗日中值定理:f(x)=f(x)-f(a)=(x-a) f'(ζ),(f(a)=0)或f(x)=f(x)-f(b)=(x-b)f'(ζ),(f(b)=0)。②再根据题意进行不等式的放缩。③用定积分的比较定理、估值定理或函数的绝对值不等式等定积分性质作分析处理。

例1,设f(x)在[a,b]上可导,且

证明:由题设对任意的x∈[a,b],可知f(x)在[a,b]上满足拉氏微分中值定理,于是有:

由定积分比较定理,得出:

(2)证明思路之二。①写出如下等式:

②利用定积分比较定理、估值定理或绝对值不等式进行分析处理。

3. 已知被积函数f(x)二阶或二阶以上可导,且又知最高阶导数的符号的命题的证法

证明思路:直接写出f(x)的泰勒展开式(证明定积分等式是将辅助函数F(x)=f(t)dt展成泰勒公式),然后根据题意对展开式进行放缩。

三、结束语

辅助函数的构造在高等数学中一直占有重要地位,尤其是在微积分学中。辅助函数的构造是我们解决问题的重要工具,对它的研究从没有中断过,很多数学工作者对微积分学中辅助函数的构造做了很多研究,也取得了很多学术成果。本文从构造辅助函数的基本原则入手,总结了几种辅助函数的构造方法,同时也体现了构造辅助函数解决问题对培养学生创新思维的重要作用。

参考文献

[1]华东师范大学数学系编.数学分析(上册)[M].北京:高等教育出版社,2001.

[2]陈静,王来生,周志坚.浅析一元微积分学中的构造辅助函数方法[J].高等数学研究,2006(09):16-18.

[3]丁凯.微分中值定理在辅助函数构造中的应用初探[J].魅力中国,2010(10).

[4]同济大学应用数学系主编.高等数学(上册)[M].北京:高等教育出版社,2002.