四边形（精选19篇）
电话：0574---87034615
奥数教研组
教学特色：启迪思维
开发潜能
点拔方法
直线提分
例1 四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面积是7平方厘米。三角形CDH的面积是多少平方厘米？
练习题
1、图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，求阴影部分的面积。
2、下图中两个完全一样的三角形重叠在一起，求阴影部分的面积。（单位：厘米）
3、下图中，甲三角形的面积比乙三角形的面积大多少平方厘米？
宁波市龙文教育
电话：0574---87034615
奥数教研组
教学特色：启迪思维
开发潜能
点拔方法
直线提分
◆GET READY for the Lesson
VIDEO GAMES The general shape of a videogame controller is shown.
1. Describe the angles inside the four-sided figure.
2. Which sides of the figure appear to be parallel?
3. Which sides appear to be congruent?
A quadrilateral is a closed figure with four sidesand four angles. Quadrilaterals are named based ontheir sides and angles. The diagram shows how quadri-laterals are related. Notice how it goes from the most general to the most specific.
The name that best describes a quadrilateral is the one that is most specific.
· If a quadrilateral has all the properties of a parallelogram and a rhombus, then the best description ofthe quadrilateral is a rhombus.
证明：连接AC、BD， 如图1.在△ABC中，∵点E、F是中点，∴EF∥AC，EF=AC，同理，GH∥AC，GH=AC，∴EF∥HG，EF=HG. ∴四边形EFGH是平行四边形.要四边形EFGH是菱形，只需其邻边EF=FG.
在△BCD中，∵点F、G是中点，∴FG=BD. 又∵EF=AC，所以要EF=FG，只要AC=BD即可.所以，当凹四边形满足对角线相等时，中点四边形是菱形.
探究二：当中点四边形EFGH是正方形时，凹四边形ABCD应该满足什么条件？
证明：连接AC、BD，延长AC交FG于点M、交BD于点N，如图2.
当对角线满足垂直且相等时，四边形EFGH是正方形.
由探究一可知，当对角线AC=BD时，中点四边形一定是菱形. ∵△CBD中，点G、F是中点，∴GF∥BD，又∵AC⊥BD，∴AM⊥FG，∵△ACD中，点G、H是中点，∴GH∥AC，又AM⊥FG，∴HG⊥FG，∴中点四边形EFGH是正方形.
所以，当凹四边形满足对角线垂直且相等时，中点四边形是正方形.
探究3：凹四边形的中点四边形的面积是原四边形面积的一半.
证明：连接AC，取AC中点O，连接OE、OH、EC，如图3. 在△ABC中，∵点E、O是中点，∴EO
=BC=CF，同理，OH
=CG，EH=FG，∴△OEH≌△CFG，从而，四边形EFGH的面积转化为四边形EFCO和HGCO的面积之和.
∵△AEO和△ECO等底同高，∴△AEO和△ECO面积相等，同理，△BEF和△CEF面积相等. 又EO=FC，EF=CO，EC=EC. 得△OEC≌△FCE. ∴四边形EFCO的面积是△ABC的面积的一半.
同理，四边形HGCO的面积是△ADC的面积的一半.
∴四边形EFGH的面积是凹四边形ABCD的面积的一半.
1、如图： DE是△ABC的中位线，F是BC边的中点，连接EF,求证：四边形AFED是平行四边形.证法一：（利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明）
证法三：（利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明）
证法四：（利用两组对角分别相等的四边形是平行四边形证明）
证法五：（利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明，自己添加对角线）
复习目标：
1、使学生进一步认识四边形的特征，会在方格纸上画长方形、正方形和平行四边形。
2、使学生进一步知道周长的含义，会计算长方形、正方形等图形的周长。
3、通过多种活动，使学生逐步形成空间观念和估算意识，感受数学与生活的联系。
复习过程：
一、复习导入
1、先量一量，再计算下面各图形的周长。
2、谈话导入，板书课题。
二、探究体验
1、完成p47页第2题。
（1）指名说一说题意：怎么才能知道奖状能不能放进镜框？就是要知道它们的什么？
（2）你准备怎样计算？小组讨论。
（3）组织全班汇报交流。
2、完成p48页第4题。
（1）学生分组在钉子板上围一围。
（2）分组展示，看看哪个组围的种类多。
（3）在方格纸上画一画。
3、完成p48页第6题。
（1）同桌讨论：怎样比较这两个图形的周长？哪个图形的周长长？
（2）组织汇报交流：两个图形的周长一样长。
三、实践应用
1、独立完成p47页第3题。
2、找自己喜欢的物品，先估一估，再算一算它们的周长，并记录在p48页表格中。
四、全课总结
1、通过今天的复习，你有什么新的收获？
圆内接四边形四边长依次为5, 10, 11, 14, 则这个四边形的面积是多少?
分析这个四边形的内角是特殊角吗?观察数据发现:
52+142=221, 102+112=221, 猜想其中一个内角为90°.让我们先看下面的问题:
1.如图1, △ABC是锐角三角形, 三边分别为a, b, c, 则a2+b2与c2的大小关系是什么?
分析利用余弦定理, 此问题易解决, 但初中学生知识有限, 因此采用如下方法.
解以AB为直径作圆, 过点C作CD⊥AB, 垂足为D, 交圆于点E, 连接AE, BE.
∵AB为直径,
∴∠BEA=90°,
∴BE2+AE2=AB2.
∵BC>BE, AC>AE,
∴BC2+AC2>AB2,
即a2+b2>c2.
2.如图2, △ABC中, ∠C为钝角, 三边分别为a, b, c, 则a2+b2与c2的大小关系是什么?
解以AB为直径作圆, 过点C作CD⊥AB, 垂足为D, 交圆于点E, 连接AE, BE.
∵AB为直径,
∴∠BEA=90°,
∴BE2+AE2=AB2.
∵BC
∴BC2+AC2
即a2+b2
问题一如图3, 圆内接四边形四条边长依次为a, b, c, d, 若a2+b2=c2+d2, 证明:
(1) ∠A=∠C=90°.
(2)
证明 (1) 连接BD.
若∠A≠90°, 不妨设∠A<90°,
则∠C>90°.
由探索可知,
在锐角三角形ABD中, a2+b2>BD2,
在钝角三角形BCD中, c2+d2
因此a2+b2>BD2>c2+d2.
这与a2+b2=c2+d2矛盾.
∴假设不成立.
因此∠A=∠C=90°.
(2) ∵∠A=90°,
用此方法学生提出的问题可这样解决:
如果问题一中的条件“a2+b2=c2+d2”取消, 即下面的问题二我们又该如何解决?
问题二如图4, 圆内接四边形四边长依次为a, b, c, d, 探索S四边形ABCD的面积.
解延长BA, CD交于点E, 设AB=e, BD=f.
∵∠ADE=∠B, ∠E=∠E,
∴△EAD∽△ECB,
原问题可以这样解决:
小结圆内接四边形四条边长依次为a, b, c, d.
1.若a2+b2=c2+d2, 则
A.4B.12C.24D.28
2．如图1，?荀ABCD的对角线交于点O，且AB＝5，△OCD的周长为23，则?荀ABCD的两条对角线的和是（ ）
A.18B.28C.36D.46
3如图2，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（ ）
A.14B.15C.16D.17
■
4.如图3，?荀ABCD中，对角形AC、BD相交于点O，添加一个条件，能使?荀ABCD成为菱形。你添加的条件是＿＿＿＿＿＿（不再添加辅助线和字母）。
■
5.如图4，在■ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD延长线于点F，则△EDF与△BCF的周长之比是（ ）
A．1∶2B．1∶3C．1∶4D．1∶5
6.如图5，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，AB与CD交于点O。若AC=1，BD=2，CD=4，则AB=_______。
7.如图6，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AB =5，AO=4，求BD的长。
■
8.如图7，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，连接AF、CE。
（1）求证：△BEC≌△DFA。
（2）求证：四边形AECF是平行四边形。
■
9.如图8，矩形ABCD中，点P是线段AD上的一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q。
（1）求证：OP＝OQ；
（2）若AD＝8 cm，AB＝6 cm，P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动（不与点D重合）。设点P运动时间为t s，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形。
参考答案
1.B。解析因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB＝CD，BC＝DA，又因为?荀ABCD的周长为32，所以AB+BC＝■×32＝16，因为AB＝4，所以BC＝12。
2.C。解析在?荀ABCD中，CD＝AB＝5，AC＝2OC，BD＝2OD，而△OCD的周长为23，所以OC+OD+CD＝23，即OC+OD＝18，所以AC+BD＝2OC+2OD＝36。
3.C。解析因为四边形ABCD为菱形，AB＝4，所以AB＝BC＝CD＝AD＝4，
因为∠ABC＝60°，所以△ABC为等边三角形，所以AB＝BC＝AC＝4，
所以正方形ACEF的周长＝4×4＝16。
4.答案不唯一。如AB＝AD，或AB＝BC，或BC＝CD，或∠ABD＝∠ADB，或∠BAC＝∠BCA，或∠CBD＝∠CDB，或AC⊥BD等。
5.A。解析因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD=BC，AD∥BC，所以△EDF∽△BCF。
所以△EDF与△BCF的周长之比为■，
因为E是AD边上的中点，所以AD=2DE，因为AD=BC，所以BC=2DE。
所以△EDF与△BCF的周长之比为1∶2。
6.5。解析过点B作BE∥CD，交AC的延长线于点E，
因为AC⊥CD，BD⊥CD，所以AC∥BD，∠D=90°。
所以平行四边形BDCE是矩形。
所以CE=BD=2，BE=CD=4，∠E=90°。则AE=AC+CE=1+2=3。
所以在Rt△ABE中，AB=■=■=5。
7.6。解析因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，且BO = DO。
在Rt△AOB中，因为AB=5，AO=4，
则由勾股定理可求得BO=3，所以BD=6。
8.证明：（1）因为四边形ABCD是矩形，所以∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，AB＝CD，
又因为E、F分别是边AB、CD的中点， 所以BE＝■AB，DF■＝CD。
所以BE＝DF，所以△BEC≌△DFA（SAS）。
（2）因为四边形ABCD是矩形，所以AE∥CF，AB＝CD。
又因为E、F分别是边AB、CD的中点，所以AE＝■AB，CF＝■CD，所以AE＝CF。
又因为AE∥CF，所以四边形AECF是平行四边形。
9.（1）证明：因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC， 所以∠PDO＝∠QBO，又OB＝OD，∠POD＝∠QOB，所以△POD≌△QOB，所以OP＝OQ。
山家湾子小学 王彩华
《认识四边形》一课是一节概念课，同时这又是一节操作性很强的课，学生通过操作能进一步理解、巩固概念。这一教学内容教材安排了两个例题：例1是借助于涂颜色的活动，让学生从众多的图形区分出四边形，并感悟到四边形有四条直的边和四个角。例2让学生通过观察、量一量、折一折、比一比等数学活动把四边形进行分类，对不同的四边形各自的特性有所了解。
在这节课中，我做得比较好的地方有：
1、关注生活经验，提供生活中常见的四边形。学生生活的世界和所接触的事物大都和数学中的“空间与图形”有关，生活经验是发展学生空间观念的宝贵资源。学生在生活中已经接触过很多图形，对四边形也不陌生。
小组合作的优点之一就是学生之间能互相启发，从不同的角度来解决问题。在认识了四边形后，我安排的教学环节是给每个四人小组一些四边形，让他们将图形分分类。在这里，学生的思维被充分的展开了，出现了许多情况，有根据角分的、有根据边分的、还有根据对边是否相等来分的。
《四边形的认识》教学反思
《四边形的认识》是人教版三年级上册第七单元的第一课时，是一节可视性和操作性很强的课。本节课我通过图形王国主题图创设情景导入，充分调动学生的学习兴趣，为下一环节的探究活动做准备。图形初步认识中关于图形的特征、性质，对于小学生来讲，比较抽象。因此在感知四边形时，让学生通过观察、比较，抽象出四边形的共同特点。导孩子寻找教室里四边形和观察生活中的四边形，让学生凭自己已有的知识和经验直观认识四边形，感受数学在生活中的应用。动手操作、合作交流、自主探究是学习数学的重要方式。因此，在突破本节课的难点“长方形和正方形的特征”时，我选择了让学生在动手操作中探索。在学生认真观察长方形、正方形的基础上，先大胆猜测它们会有什么特征，再为学生提供丰富的操作材料，通过小组合作、全班交流、归纳总结出长正方形的特征，经历了一个完整的学习活动过程，实现本课的教学目标，突破教学重难点---学生能自主发现、总结长方形和正方形的特征。小组合作学习培养学生合作意识，交流、展示小组的学习成果，分享他人的经验，培养学生的数学思维和语言表达能力，使学生获得成功的体验，增强学习数学的自信心。
课堂是一门有遗憾的艺术，无论设计多么精心，但孩子们是灵动的，课堂更是流动的。上完课我自己也不难发现问题的所在，例如在课堂时间的安排与把握方面比较欠缺，在认识四边形特征环节太繁琐，浪费了太多时间，导致画长方形与正方形没有完成。课堂氛围不活跃，太沉闷，对学生的评价语太单一，没有激起学生的学习激情。
一、丢解现象
例1 平行四边形的一个内角的角平分线分对边为3和4两部分，求平行四边形的周长。
错解：如图1，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC。则∠2=∠3。
因为∠1=∠2，
所以∠1=∠3。则AB=BE=3。
所以四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=3+7+3+7=20。
错解分析：只知道两部分分别是3和4，但不知道哪一部分为3，哪一部分为4，所以要进行分类讨论。
正解：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD∥BC，∠2=∠3。
又因为∠1=∠2，
所以∠1=∠3。则AB=BE。
当AB=BE=3时，平行四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+DA
=3+7+3+7=20；
当AB=BE=4时，平行四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+DA
=4+7+4+7=22。
二、混淆现象
例2 如图2所示，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于O，且△AOB是边长为6的等边三角形，求平行四边形ABCD的面积。
错解：因为OA=6，所以AC=12。
因为AB=6,所以BC===6。
则S四边形ABCD =AB×BC=6×6=36。
错解分析：没有证明平行四边形ABCD是矩形，就应用了矩形的性质，对矩形、平行四边形的性质混淆不清。
正解：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以OA=AC，OB=BD。
又因为△AOB是等边三角形，所以AB=OA=OB=6。
即有AC=BD=12。
所以平行四边形ABCD是矩形且∠ABC=90°。
在Rt△ABC中，BC====6。
所以S四边形ABCD =AB×BC=6×6=36。
三、误判现象
例3 下列结论中，正确的是（）。
A.有一组邻角相等的梯形是等腰梯形
B.有一组对边平行、另一组对边相等的四边形是等腰梯形
C.有一组对角互补的梯形是等腰梯形
D.有两组角分别相等的四边形是等腰梯形
错解：B。
错解分析：等腰梯形是一组对边平行、另一组对边相等但不平行的四边形，故B是不正确的。在判定一个四边形是等腰梯形时，首先要判定它是梯形，再看是否有一组对边相等。
如图1, 设四边形ABCD中, AB=a, BC=b, CD=c, DA=d, 四边形的面积为S,
则S=△ABC的面积+△ADC的面积
把 (1) 式和 (2) 式两边分别平方后相加得:
由于a, b, c, d都是定值, 所以从 (3) 式立即看出, 当cos (∠B+∠D) =-1, 即∠B+∠D=180°时, 4S2有最大值, 从而S有最大值.
这就是说, 各边长度不变的情况下, 当四边形为圆内接四边形时, 其面积最大.
徐敬
教学过程：
一．感知四边形的特征 1.找四边形
仔细观察，你发现了哪些图形？在小组中互相说一说。（课件出示图）2.揭示课题 3.给四边形涂色
把你认为是四边形的图形，涂上自己喜欢的颜色 4.讨论四边形的特征
观察这些四边形，他们有什么特点呢？请先独立思考，然后把你的想法与小组同学说一说。
（四边形有四条直的边，有四个角）
说一说涂色的几个图形为什么是四边形，而另外几个为什么不是呢？ 师：同学们说的都很好，也就是说要判断一个图形是不是四边形，就要看他有没有具备四边形的特征 板书（四边形的特征）
师：下面同桌之间说一说四边形的特征，再分别指一指这些四边形的边和角
4.寻找生活中的四边形
二．分类，加深对四边形的理解
虽然都是四边形，可他们还是有些不同的，你能给他们分一分吗？好，开始吧！分好的同学可以在小组内说一说你的想法。
师：好，下面老师要加大难度，回答的同学不仅要说出分类结果，还要说清楚你的分类标准，会不会！三．进一步认识长方形和正方形
刚才大家在分类的时候，很多同学将两个长方形和一个正方形分在一起，说明他们是很特殊的，他们到底特殊在哪里了？我们可以用三角板去量量你们手中长方形、正方形的每一个角。你们发现了什么？
四、巩固应用，内化提高
师：同学们，你们认识四边形了吗？那老师可要考考你们了。1.填空题。2.判断题。
3.走迷宫：小猴有一个难题想让咱们同学帮他解决，他想穿过迷宫吃到桃，可是啊，经过的每一步必须是四边形，你能帮小猴子吃到这个桃吗？ 四．总结
1多边形
1.1多边形
延长多边形的任意一条边,如果这个多边形的其他各边都在这些延长所得的直线的同旁,我们把这样的多边形叫做凸多边形
在多变形中,连结不相邻两个定点的线段叫做多边形的对角线
1.2多变形的内角和
多变形的内角和定理n边形的内角和等于(n-2)*180
多边形的外角和定理任意多边形的外角和等于360
2平行四边形
2.1平行四边形的定义和性质
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
平行四边形性质定理1平行四边形的对边相等
平行四边形性质定理2平行四边形的对角相等
定理夹在两条平行线间的平行线段相等
同时垂直于两条平行线的直线叫做这两条平行线的公垂线,公垂线夹在平行线间的线段叫做公垂线段,两条平行线间公垂线短的长叫做这两条平行线间的距离
推论平行线间的距离处处相等
平行四边形性质定理3平行四边形对角线互相平分
2.2平行四边形的判定
平行四边形判定定理1两组对边分别相等的四边形是平行四边形
平行四边形判定定理2两组对角分别向等的四边形是平行四边形
平行四边形判定定理3对角线互相评分的四边形是平行四边形
平行四边形判定定理4一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
23特殊的平行四边形
一个角是直角的平行四边形叫做矩形
矩形性质定理1矩形的四个角都是直角
矩形性质定理2矩形的对角线相等
矩形的判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形
举行的判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形
菱形的性质定理1菱形的四条边都相等
菱形的性质定理2菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角
菱形的判定定理1四边都相等的四边形是菱形
菱形的判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形
正方形性质定理1正方形的四个角都是直角,四条边都相等
正方形性质定理2正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角
2.4中心对称
定理1成中心对称的两个图形,对称点连线都过对称中心,并且被对称中心平分
定理2中心对称的两个图形是全等形
定理平行四边形是中心对称形,它的对称中心是两条对角线的交点
3梯形
3.1梯形
我们把一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形
梯形中,平行的两边叫做梯形的底,较短的底称为上底,较长的底称为下底,不平行的两边叫做梯形的腰
3.2等腰梯形与直角梯形
我们把两腰相等的`梯形叫做等腰梯形,把有一个角是直角的梯形叫做直角梯形
等腰梯形性质定理1等腰梯形在同一底上的两个角相等
等腰梯形性质定理2等腰梯形的两条对角线相等
等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
3.3四边形的分类
3.4平行线等分线段定理
平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等
推论1经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰
推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边
3.5三角形的中位线
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半
三角形三条中线的交点叫做三角形的重心
3.6梯形的中位线
连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线
一、多边形的有关概念和性质
1. 多边形的定义
在平面内,由不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
2. 多边形的性质:
(1) 多边形的内角和定理:n边形的内角和等于(n-2)·180°;
(2) 推论:多边形的外角和是360°;
(3) 对角线条数公式:n边形的对角线有条;
(4) 正多边形定义:各边相等,各角也相等的多边形是正多边形.
二、四边形的有关概念和性质
1. 四边形的定义:
同一平面内,由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形.
2. 四边形的性质:
(1) 定理:四边形的内角和是360°;
(2) 推论:四边形的外角和是360°.
三、例题分析
例1若一个正多边形的内角和是其外角和的3倍,则这个多边形的边数是______.
【解析】设正多边形边数为n,由题意得:(n-2)·180°=360°×3,解得n=8,∴这个多边形的边数是八边.
【小结】部分同学因未能记住多边形内角和公式,导致无法求解. 突破方法:利用图形推导,理解记忆多边形内角和公式.
例2一个多边形从一个顶点共引出三条对角线,此多边形一定是().
A. 四边形B. 五边形
C. 六边形D. 三角形
【解析】n边形的对角线从一个顶点共引(n-3)条对角线. 根据题意列式为n-3= 3,∴n=6. 故选C.
【小结】利用对角线计算公式有时候会联系到一元二次方程的相关知识.
例3一个同学在进行多边形内角和计算时,求得的内角和为1 125°,当发现错了之后,重新检查,发现少算了一个内角. 这个少算的内角是______度,他求的是______边形的内角和.
【解析】一个多边形的内角和能被180°整除,本题内角和1 125°除以180°后有余数,则少算的内角应和这个余数互补.
设多边形边数为n,少算的内角度数为x°,
由题意得:(n-2)·180°=1 125°+x°,
∵n为整数,0°<x<180°,∴符合条件的x只有135°,解得n=9. 应填135、九.
一､条件开放型
例1 (2008年·黄石)如图1所示,AD∥BC,要使四边形ABCD为平行四边形,需要添加的条件是__________.
解析:这道题考查学生对平行四边形判定方法的掌握.已知AD∥BC,只要AD=BC或AB∥CD即可,这又可以推出∠B+∠C=180°或∠A+∠D=180°或∠A=∠C或∠B=∠D.答案不唯一,写出一个即可.
温馨提示:给出问题的结论,让解题者分析出使结论成立的条件,这样的问题是条件开放型问题.它要求解题者善于从问题的结论出发,逆向追索,多方向寻找.使结论成立的条件往往不唯一.要注意结合有关的判定方法去分析.
二､结论开放型
例2 (2008年·黄冈) 如图2,在ABCD中,AE=CF,BD与EF交于点H.由图形可以得到许多结论,如AB=CD,∠A=∠C,△ADB≌△CBD,S梯形AEFB = S梯形CFED. 请你再写出三个结论:①_____________,②____________,③________.
解析:若直接由平行四边形的性质去分析,则有AB∥CD,AD∥BC,AD=BC,∠ABC=∠ADC等.
若需要写出由两步以上推理所得出的结论,则有BF=DE,EH=FH等.
温馨提示:给出问题的条件,探索相应的结论,结论往往呈现多样性.解题者应充分利用条件,大胆进行猜想.必要时,可以动手测量.
三､条件组合型
例3 (2008年·徐州)已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O,给出下列四个论断:
①OA=OC;②AB=CD;③∠BAD=∠DCB;④AD∥BC.
请你从中选择两个论断作为条件,以“四边形ABCD为平行四边形”作为结论,完成下列各题:
(1)构造一个真命题,画图并给出证明;
(2)构造一个假命题,举例加以说明.
解析:(1)首先把所有的条件,以两个为一组进行组合,共有6种组合形式,然后利用平行四边形的判定方法进行判定.其中能得到四边形ABCD为平行四边形的有:
组合一:①､④→四边形ABCD为平行四边形;
组合二:③､④→四边形ABCD为平行四边形.
①､②组合,①､③组合,②､③组合,②､④组合都不能得到“四边形ABCD为平行四边形”.
(2)假命题较多,例如“①､②为条件时,四边形ABCD为平行四边形”.
请同学们自己写出证明过程.
温馨提示:本题是综合探究型试题,答案不唯一.论断共有6种组合方式.有的是真命题,有的是假命题,解题时要认真分析.假命题往往是与所谓的“SSA”联系在一起的.
四､猜想数量关系型
例4 (2008年·白银)图3是一个等腰梯形.由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出图4所示的一个菱形.对于图3中的等腰梯形,请写出它的内角之间或腰与底边长度之间的一个正确结论:___________.
解析:我们从内角的角度去考虑可知(由图4知三个较大内角的和为360°):它的四个内角的度数分别为60°､60°､120°､120°;从腰的角度去考虑:它的腰长等于上底长;从两底边的角度去考虑:它的上底等于下底的一半.
温馨提示:拼图问题,往往可从拼接点着眼,分析出角之间的关系.
五､实际操作型
例5 (2008年·常州)如图5,这是一张等腰梯形纸片,它的上底长为2,下底长为4,腰长为2.这样的纸片共有5张.如果用其中的n(n=2,3,4,5)张来拼成较大的等腰梯形,你能拼出哪几种不同的等腰梯形?分别画出它们的示意图,并写出它们的周长.
解析:由题意可知,梯形的四个角分别为60°､120°､60°和120°,所以拼法有四种情况:
方法一:如图6,3个梯形,它的周长为22;
方法二:如图7,4个梯形,它的周长为20;
方法三:如图8,5个梯形,它的周长为22;
方法四:如图9,5个梯形,它的周长为34.
温馨提示:解这类拼图题,如果有条件的话,可以动手操作一下,以发现各种可能的情况.
在教学周长的意思时我参考了一位老师的教法，先让学生理解什么是物体表面的一圈，是从哪里开始，还是从哪里结束的，这一圈是不多不少的，多了不是，少了也不是，离开了物体表面外面的边的也不是。一圈也叫一周，这一周的长度就叫周长，这样讲学生理解起来是容易很多。
在第一次试教完时，有些老师在评课时指出，按这样的上下去学生会有点固定得太死，没有充分动起来，包括动手和动脑，这就要回到原点，重新出发再想一想，其实教材只有一页纸，内容就是两个图和一句话，封闭图形一周的长度是它的周长。第一幅图就让学生知道上面的图形是封闭图形，这些封闭图形一周的长度是它们的周长。第二幅图是让学生动脑动手想一想怎么才能知道上面图形的周长，规则的图形直接用尺来量，不规则的图形先用绳子围，再用尺来量出它的周长。针对这里我特意设计了给两个信封给每一个小组，让学生小组合作，一个信封里面装着是图形，一个信封里面装着是工具，让他们想办法用这些工具量一量这图形的周长，在量的过程中让学生知道，一部分可以直接用尺来量，钟和树叶这些不规则图形要先用绳子围，再用尺来量出它的周长。但在上定教课时，由于我讲不够清楚，所以所以在我巡视时发现有一个小组的同学量了信封外面这张表上面的图形，而不是量信封里面图形的周长，在我指导下才改过来。因此应该在学生活动之前，要把注意的事项全部要讲清楚讲明白。
学完周长之后就应用周长来为我们服务，也就是量腰围买裤子，第一次试教时发现这把量身尺有两面，一面是用厘米作单位，一面是用寸做单位，有个别学生读错了。这里也是一个在活动之前，没有把注意的事项全部要讲清楚讲明白。这个问题已经出现过两次，看来这是我个人比较大的缺点之一，下次上课一定要好好改一下才行。
在实际应用的这一个环节我自己觉得设计得比较好，让学生运用刚学完的周长知识为自己选裤子，还有周长在实际生活当中的运用，学生听得津津有味，利用地球绕太阳一周的动画来结束这一节课，也让学生知道周长这一知识是客观存在的，不是人创造发明的，在自然当中有很多这样的知识和规律等着你细心的发现，学生对这部分内容很喜欢。
在设计上要有多种预案，大担假设细心求证。原来的设计是这样的：利用汉语知识的特性和学生原有的语文知识，直接导入问学生周长的“周”字是什么意思?“长”字是什么意思?周长合起来是什么意思?这样导入又直接又快，当时我问“周”安是什么意思时，学生就回答了“周围”，“一个星期7天”等意思上，没有回答到点子上来，方法虽简单但行不通不通。后来才改过先认识一圈就是一周，再说一周的长度就是它的周长。
教学目标：
1.发现并了解四边形的内角和是360度，能运用四边形内角和是360度这一规律解决实际问题。
2.经历量、算、剪、割、拼等操作活动过程，培养学生探究推理能力，渗透分类验证的思考方法。
3.体验数学知识之间的联系，利用转化思想探究多边形的内角和。
教学重点：了解四边形的`内角和是360度，并能运用这一规律解决实际问题。
教学难点:探索发现四边形内角和是360度，培养学生探究推理能力。
教学资源：多煤体课件，四边形、三角板，量角器，剪刀。
教学活动：
一、创设情境，导入新课。
1.(课件出示三角形)这是一个三角形，三角形的内角和是多少度?
2.把这个三角形沿直线分成两个图形，分别是什么图形?四边形的内角和是多少度呢?这节课我们研究四边形的内角和。板书课题：四边形的内角和
二、合件交流，操作发现。
1.四边形分为那几类?(课件出示长方形、正方形、平行四边形、梯形、不规则的四边形)长方形的内角和是多少度?你是怎么想的?(长方形的四个角都是直角，用90度乘4得360度，所以长方形的内角和是360度)。正方形呢?(正方形的四个角都是直角，用90度乘4得360度，所以正方形的内角和也是360度。)
2.组织学生小组合作：
那用什么办法求出其他四边形的内角和呢?请同学们以小组单位，想办法求出四边形的内角和。(学生活动，老师巡视指导。)
3.组织学生汇报交流：
①那个组说一说你们组的方法?(汇报时请你说清楚你们研究的是什么图形，用的是什么方法。)生：我们用量角器量出四个角的度数，加起来刚好是360度)②(学生汇报展台展示)生：我们把四个角剪下来，拼在一起拼成了一个周角，周角是360度，所以四边形的内角和是360度。③(学生汇报展台展示)生：我们是把四边形分成了两个三角形，三角形的内角和是180度，所以四边形的内角和是180度乘2得360度。
4.现在我们能确定四边形的内角和是360度了吗?为什么?(刚才有的同学用量一量、计算的方法，有的用剪拼的方法，还有的同学把四边形转化成两个三角形的方法，共同证明了所有的四边形的内角和都是360度)。这些方法你喜欢那一种?为什么?(把四边形分成2个三角形，就变成了我们以前学过的知识，借助三角形的内角和得出四边形的内角和是360度。)
三、实践应用，拓展延伸。
1.课件出示五边形、六边形等，还能用这种方法求出内角和吗?试试看。
2.你有什么发现?(多边形的内角和=180o×(边数-2)。
四、反思总结，自我建构。
这节课你有什么收获?
在命题的证明过程中, 把不属于某一概念外延的事物误认为属于这一概念, 从而误认为该事物具有此概念的某些属性, 得出错误的证明.这就犯了偷换概念的错误, 也违反了同一律.学生往往在由题目给出的已知条件中, 依据条件判断四边形属于什么图形时出现概念不清这种错误.如:
如图1, 四边形ABCD的对角线AC, BD互相垂直, 则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是 (%)
错误分析:由题意知, 四边形中对角线, 要证明它是菱形必须先证明它是平行四边形, 因此只需要从所给选项中找出能判定四边形是平行四边形的条件即可.但是有些同学对菱形的概念不清, 不理解菱形就是特殊的平行四边形而选择了错误的选项.
教学对策:教师对学生判断时出现的概念不清现象, 必须高度重视, 在教学中采取相应的防范措施.首先教师在讲授定理、公理时不但要讲清内容与应用, 还要讲清每一个定理公式的证明, 以及在概念中所用的重要论据, 并将其与前面所学的知识尽可能地联系起来, 这样有助于学生更全面地掌握和运用概念.当然, 教师在讲授平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念时, 要注意三角形与四边形的联系, 并区分它们之间的不同之处.其次, 要使学生从思想上重视这个问题, 教学中教师要引导学生注意从整体上掌握所学知识的逻辑体系, 注意各个定理、公式的先后顺序, 熟悉每一个定理、公式等真命题的证明依据.最后, 一旦发现学生发生概念不清的错误, 教师就要抓紧不放, 分析概念不清的原因, 通过多次反复讲解使学生能逐步判断自己的论证是否正确, 同时也了解概念不清这一错误的实质.
二、丢解现象
对于一些没有给出图形的几何问题, 学生往往凭自己的想象或习惯匆忙画图求解, 忽视了分类讨论, 得出不完整的答案, 发生丢解现象.学生在条件比较模糊, 或者几何题没有给出图形时, 容易发生丢解现象.如:
平行四边形一个内角的角平分线分对边为3和4两部分, 求平行四边形的周长.
错解:如图2, ∵四边形ABCD是平行四边形, BE=3,
∴AD//BC, 则∠2=∠3.
又∵AE平分∠BAD,
∴∠2=∠1, ∠1=∠3.则AB=BE=3.
∴四边形的周长=AB+BC+CD+AD=3+7+3+7=20.
错误分析:虽然题目中说明分对边为3和4, 但未明确说明哪一部分为3, 哪一部分为4, 没有进行分类讨论, 只得出一种答案, 出现丢解现象.
教学对策:对丢解现象, 教师要高度重视, 采取相应的防范措施.首先, 当审题后感觉条件比较模糊, 或者几何题没有给出图形时, 就要引起注意, 很可能此题的答案是不唯一的.其次, 要使学生从思想上重视这个问题, 教学中教师要引导学生注意从整体上掌握所学知识的逻辑体系, 注意分类讨论的情况, 熟悉每种情况出现的可能性.最后, 一旦发现学生发生丢解现象, 教师要抓紧不放, 通过多次反复讲解, 讲解丢解现象的原因, 加强学生对关键词与数量关系的把握, 从中获取尽可能多的信息.
三、混淆现象
对于一些题目给出的条件, 由于它们的图形相似, 概念条件相混, 学生就错把这个图形当做另外一个图形, 这种情况所引起的错误就是混淆现象.学生在判断平行四边形是否是矩形、菱形或正方形时, 梯形是直角梯形还是等腰梯形时容易发生此类错误.如:
如图3所示, 在平行四边形ABCD中, AC, BD相交于O, 且△AOB是边长为6的等边三角形, 求平行四边形ABCD的面积.
错解:∵四边形ABCD是平行四边形, OA=6,
∴AC=12.
又∵△AOB是等边三角形, AB=OA=6,
错解分析:没有证明平行四边形ABCD是矩形, 就应用了矩形的性质, 对矩形和平行四边形的性质混淆不清.
教学对策:教师对学生解答时出现的混淆现象, 必须高度重视.首先在讲授特殊的四边形时, 不但要把它们的性质讲清, 还要讲清每一个特殊四边形的判定依据, 以及这些特殊四边形所具有的重要论据, 并把前面所学的四边形性质尽可能地区分开, 使学生更全面地掌握和运用特殊四边形的性质.其次, 要使学生从思想上重视这个问题, 教学中教师要引导学生注意从整体上掌握所学知识的逻辑体系, 注意各个定理、公式的先后顺序, 熟悉每一个定理、公式等真命题的证明依据.最后, 一旦发现学生发生混淆现象, 教师就要抓紧不放, 讲解混淆现象的原因, 通过多次反复讲解使学生能逐步判别自己的论证是否正确, 同时也了解了混淆现象的实质.
四、虚假论据
有些学生在几何学习中对有关的概念、定理没有真正地理解掌握或者只是一知半解, 因此常常任意地推广引申定理, 得出有利于论题成立的假判断作为论证的根据而造成的错误, 可以归结为犯了虚假论据的错误, 违反了逻辑上的充足理由律.学生往往在证明题时运用到基本的概念会出现此类错误.如:
如图4, 四边形ABCD中, E是AB中点, F是CD中点.求证:该四边形是平行四边形.
错解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD.
又∵E、F分别是AB、CD的中点,
在△ADF和△EBC中,
∠B=∠D, AD=BC, DF=BE,
∴△ADF艿△EBC, 即AF=CE.
又AE//FC, ∴四边形AECF是平行四边形.
错解分析:错误是以“一组对边平行, 另一组对边相等的四边形是平行四边形”为论据.事实上, 由于“一组对边平行, 另一组对边相等的四边形”不一定是平行四边形, 例如等腰梯形.利用假命题推出结论, 犯了虚假论据的错误.
教学对策:针对学生虚假论据的错误, 教师必须采取相应的防范措施.首先, 教师在讲授定理、公理时不但要讲清内容与应用, 还要讲清每一个定理公式的证明, 以及在概念中所用的重要论据, 并尽可能地联系前面所学的知识, 有助于学生更全面地掌握和运用概念.其次, 教师应该向学生强调每一步结论的得出论据是什么, 使学生重视这个问题的解题步骤, 并注意各个定理、公式的先后顺序, 熟悉每一个定理、公式等真命题的证明依据.最后, 发现学生出现类似虚假论据的错误, 教师要抓紧不放, 讲解概念不清的原因, 通过多次反复讲解使学生能逐步判断自己的论证是否正确.
五、循环论证
论据的规则有两条, 第一条要求论据必须真实, 第二条要求论据的真实性不能依赖论题的真实性, 违反了第二条规则, 即犯了论据的真实性依赖论题的真实性的逻辑错误, 叫做循环论证.学生在先入为主地把结论当成论据时, 容易出现循环论证.如:
已知:四边形ABCD中, ∠A=∠C, ∠B=∠D, 求证:四边形ABCD是平行四边形.
错解:连接AC, 如图5,
在四边形ABCD中, ∵AD//BC, ∴∠1=∠2.
在△ABC和△ACD中,
∵∠B=∠D, ∠2=∠1, AC=AC,
∴△ABC艿△ACD.
∴AB=CD, AD=BC.
∴四边形是平行四边形 (两组对边分别相等的四边形是平行四边形) .
错解分析:题目的思路是正确的, 但是在证明△ABC艿△ACD时, 利用AD//BC证明了∠1=∠2, 而AD//BC则是因为四边形ABCD是平行四边形, 题目要证明的就是四边形ABCD是平行四边形, 这就犯了循环论证的错误.
教学对策:教师针对学生证明时出现的循环论证错误, 必须高度重视, 在教学中应采取相应的防范措施.首先, 教师在讲授定理、公理时, 为了让学生更全面地掌握和运用定理、公式, 不但要弄清内容与应用, 还要弄清每一个定理公式的证明, 以及在证明中所用的重要论据, 并与前面所学的知识尽可能地联系起来.其次, 要使学生从思想上重视这个问题。教学中教师要引导学生注意从整体上掌握所学知识的逻辑体系, 注意各个公式、定理的先后顺序, 熟悉每一个公式、定理等真命题的证明依据, 要求他们不仅要掌握定理、公式的内容, 而且在证明时认真审查所引用的每一个依据与欲证明命题的关系, 这样就可以避免发生类似上例的循环论证的错误.最后, 一旦发现学生发生循环论证的错误, 教师就要抓紧不放, 讲解循环论证错误的原因, 通过多次反复讲解使学生能逐步判断自己的论证是否正确, 同时也了解循环论证错误的实质.
参考文献
[1]董海荣.四边形问题常见错误剖析[J].初中生之友, 2011, 17:20-21.
[2]吴雪英, 孙朝仁.中考答题中常见错误类型及其解决策略[J].初中生世界, 2011, Z3:3.
关键词：四边形课本例题教学；创新思维；学习能力；新问题；基本图形
以往的课本例题教学模式就是教师讲述解题过程，学生接受方法进行解题，如果答案正确就算大功告成，只关注学习结果，这种教学方式严重制约了学生创新思维的发展，不利于培养学生的数学学习能力。新课程理念下的课堂教学鼓励学生观察，发现，培养创新思维，提高数学学习能力。那么如何体现以学生为主体的教学，特别是如何进行更有效的课本例题教学是我们需要重新探讨的重要课题。下面就笔者在四边形课本例题教学实践中积累的一些案例谈几点认识：
一、创设新问题，挖掘例题本身的思考价值
学生的創新想法往往来自于对某个问题的兴趣和好奇心，而兴趣和好奇心又往往来自教师创设的新问题。有时条件和结论的变换，会给题目产生新的思考价值，从而激发学生主动探究。
案例（一）：例题：梯形ABCD中，AD//BC，E为AB的中点，AD+BC=DC。求证：DE⊥EC，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD。
分析：思路1：由E为AB中点，想到梯形的中位线，于是取DC的中点F，可知中位线长是DC的一半，再利用梯形的中位线平行两底，从角的对等关系中获得结论；思路2：可以通过构造等腰三角形来解决，由E为AB的中点，想到延长DE交CB的延长线于点G，证△BGE≌△ADE，得到BG=AD，EG=ED，∠G=∠ADE，推出△CDG是等腰三角形，再利用等腰三角形的性质得出结论。
思路1是通过联想梯形中位线形成的，直接引向梯形中位线定理的运用；思路2是通过中点联想到梯形中常见添加辅助线的方法形成的，直接引向全等三角形和等腰三角形的性质的运用。例题中的条件和结论联系密切，教师对本题还可以进行以下新问题研究：（1）将题中的条件“AD+BC=DC”与结论“DE⊥EC”互换；（2）将题中的条件“AD+BC=DC”与结论“DE平分∠ADC，CE平分∠BCD”互换；（3）将题中条件“E为AB的中点”与结论“DE⊥EC”互换；（4）可将基本图形置于直角坐标系中如右图所示，可以求点的坐标或面积等。
案例反思：新问题给本题增添了活力，通过对问题条件和结论的思考有利于建立条件和结论的内在联系，快速寻找到解题思路，学生的思维也活跃起来，随着学生思维活动的展开，一些有思考价值的问题不断的呈现出来，给学生提供了一个展示自我的舞台。
二、利用图形运动的变式训练，挖掘例题中基本图形的丰富内涵
在例题讲解中，教师从图形的运动变化中引导学生进行探索，从而把握数学问题的本质，揭示图形变化中不变的特性，这应是培养学生创新思维的主要途径。在四边形例题教学中，笔者尝试通过对一些典型例题中图形的运动变化来挖掘基本图形的丰富内涵。
案例（二）：例题：△ABC中，BC=8，AD是BC上的高，AD=12，E、F分别在AB、AC上，且EF∥BC，以EF为一边作△ABC的内接矩形EFGH，设EF=x，矩形EFGH的面积为y。求y与x之间的函数关系式，并求x的定义域。
分析：先让学生读题两遍，找出已知条件，弄清题设之间的关系。学生思考后得出解答：∵EF∥BC得△AEF∽△ABC
∵AD⊥BC 得AK⊥EF
∴ = 设EH=a，则KD=a，AK=12-a
∴ = ，a=12- ∴y=x（12- ）
即y=- +12x（0师：在上面的问题中，运用了哪些知识点·你是如何想到的·题中的条件如果改为E、F分别在AB、AC上滑动（不与B、C重合），还可以提出什么问题·请同学们和老师一起来探索一下。
几何画板展示线段EF的运动过程并呈现下列几幅图让学生思考。
学生展开了热烈的讨论，课堂气氛顿时活跃起来，每个同学都在积极思考可以提出什么问题。不管学生提出什么问题，教师都要给予鼓励和评价。下面给出几个同学的回答。
学生A：上面的解法中用到了矩形的性质，相似三角形的性质，矩形面积的计算。我发现EF在运动的过程中有不变的量，不管EF运动到什么位置始终有三对三角形相似，请大家找出来。
学生B：我觉得可以这样问：EF在什么位置时，此矩形的邻边之比是1∶2。
学生C：EF在什么位置时，矩形EFGH是正方形。
学生D：EF在什么位置时，矩形EFGH的面积最大·最大值是多少。
……
师：以上几个同学提出的问题非常好，同学们的思路很开阔，思维非常活跃，我们一起来解决一下。
将全班同学分成四个小组，每个小组完成一个问题。同学们积极探索，在探索的过程中又爆发出思维的火花，发现了新的问题。一学生回答：学生B提出的问题也可以改为：EF在什么位置时，此矩形的邻边之比是1∶3或其他比值。
案例反思：对上面例题，如果学生在获得正确答案后就终止思考，那么解题活动就有可能停留在经验水平上。如果是碰到曾经解过的题，学生就会运用已有的解题经验快速做出答案。如果题目稍有变化就解答不出来，是因为学生的思维受到一定程度的制约。教师在本题教学中，通过对例题图形的运动变式训练充分挖掘了基本图形的丰富内涵，学生潜在的创新思维得到了激发。
三、利用多途径解题模式，发挥例题的复习功能
【四边形】推荐阅读：
初二学期下册知识点归纳：四边形07-18
四边的解释及造句07-07
多边形面积教学反思06-01
平行四边形性质证明题06-23
多边形面积单元反思07-05
求平行四边形的面积07-08
《平行四边形和梯形》教学设计05-25
《平行四边形的面积》的听课心得06-14
数学《平行四边形的面积》说课稿06-28
