几何证明与计算

几何证明与计算（推荐14篇）

几何证明与计算 篇1

A组题：

1、如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．

（1）求证：AB＝DF；

（2）若AD＝10，AB＝6，求tan∠EDF的值．

2、如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路.现新修一条路AC到公路l.小明测量出∠ACD=30º，∠ABD=45º，BC=50m.请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度（精确到0.1m；21.4141.732）.3、如图，分别以RtABC的直角边AC及斜边AB向外作等边ACD，等边ABE．已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连结DF．

⑴试说明AC＝EF；

⑵求证：四边形ADFE是平行四边形．

B组题：

1、如图1，在⊙O中，点C为劣弧AB的中点，连接AC并

延长至D，使CA=CD，连接DB并延长交⊙O于点E，连接AE.（1）求证：AE是⊙O的直径；

（2）如图2，连接CE，⊙O的半径为5，AC长为4，求阴影部分面

积之和.(保留与根号)

图1图

22、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，且∠A+∠CDB=90°，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E．

（1）求证：直线BD与⊙O相切；

（2）若AD：AE=4：5，BC=6，求⊙O的直径．

3、如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC。将△ACD沿对角线AC翻折后，点D恰好与边AB的中点M重合．

(1)点C是否在以AB为直径的圆上?请说明理由;

(2)当AB=4时，求此梯形的面积．

C组题：

1、如图，已知抛物线y=x24x3与x 轴交于两点A、B，其顶点为C．

(1)对于任意实数m，点M（m，-2）是否在该抛物线上?请说明理由；

(2)求证:△ABC是等腰直角三角形；

(3)已知点D在x轴上，那么在抛物线上是否存在点P，使得以B、C、D、P

为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明

理由．

2、如图，抛物线yx2bxc的顶点为D（﹣1，﹣4），与y轴交于点C

（0，﹣3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接AC，CD，AD，试证明△ACD为直角三角形；

几何证明与计算 篇2

关键词：几何计算,证明,提升,策略

几何计算与证明是初中数学教学的重点, 也是一个难点。老师花了不少的时间和精力教学, 学生花了不少的时间学习, 做了不少的题, 可一到考试时看到陌生的试题, 还是不知道怎么做。我在以前的教学中也花了不少时间, 可效果同样不明显。为此我进行了专门的思考:如何上好一堂几何课?怎样提高课堂效率?学生在什么样的条件下才会分析问题, 解决问题呢?在实践教学中我不断归纳总结, 形成了以下教学策略。

首先, 我对几何问题进行分类。几何问题分为两大类:计算问题与证明问题。而这两类问题主要包括了线段问题、角的问题、位置关系、面积与周长问题等。计算问题主要涉及到计算线段的长度、角的大小、图形的面积与周长。证明问题主要涉及到证明线段、角、面积相等、位置关系等。

几何题目很多, 如果我们不采取一定的策略, 那么学生就有做不完的试题, 当然也不可能做完所有的试题。但是如果我们引导得当, 学生做完具有代表意义的几种类型题目, 在归纳与总结之后完全可以举一反三。

在实践教学中, 教师要做的工作首先是让学生对问题进行识别:我们要解决的到底是一种什么类型的题目?

根据不同的题目让学生去联想转化、思路试解。我以前总是担心题目没有讲到而心中不踏实。如果学生面对没见过的试题会不会导致成绩不理想呢?在这种理念的支撑下, 总想什么试题都讲到。由于面铺得太宽太广, 学生累得够呛, 结果是学生哪一类试题都没掌握好。后来我调整了教学策略, 每一节课不讲太多的题目, 而是选择少而精具有代表性的题目, 让学生做一道题就是做一类型题, 并且每一节课对相关的知识都要有所提高, 教学效率就慢慢地提高了。

其次, 要让学生用科学的方法去学习几何。做几何题一般有以下几个步骤, 一是条件问题上图;二是问题联想转化;三是选择思路试解;四是梳理解答思路。

条件问题上图分为三个步骤, 首先是已知条件直接上图, 然后是根据已知条件转化上图, 最后是问题上图。这些步骤都很重要, 要求学生学会读题, 是分析问题的第一步。

问题联想转化是指根据问题联想已有的命题、定理, 寻找解决问题的方法。假设一道题目是证明两条线段相等, 就要引导学生去想, 有哪些方法可以计算或证明线段相等?引导学生从计算和证明的角度思考, 计算方法有等量代换、公共边加或减等。可以利用的证明方法就更多了:1) 中点的定义;2) 全等三角形的对应边相等;3) 等角对靠边;4) 正方形、菱形的四条边相等, 等边三角形的三边相等;5) 平行四边形的对边相等, 对角线互相平分;6) 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;7) 三线合一;8) 等腰梯形的对角线相等。当然学生不可能一开始学几何就能联想到那么多的方法, 但万事开头难, 只要在教学过程中学生能够去想就一定要引导学生去想, 经过老师的不断引导和学生的长期坚持, 这一类问题就会产生许多的方法, 学生解决问题的能力也一定会相应提高, 如果在考试中遇到此类问题就会有思考的方向, 做到忙而不乱。

选择思路试解是指问题联想转化中想到的方法而选择其中的一种进行试解, 不同的学生可能会有不同的方法, 这个时候要让学生学会倾听与分享, 大胆地说出自己的方法, 借鉴其他同学的方法, 灵活运用几何知识去解答问题。只要学生想用不同的方法去解决问题, 那么他们的分析问题、解决问题的能力也将大为提高。

梳理解答思路是指我们经过前面的学习, 知道了问题的解决方法之后还要对方案进行优化, 看哪种方案更好。因为有的方案可能是学生在瞎想瞎撞间偶然得到的, 就好比我们进了一间陌生的黑屋子, 胡乱摸索却将灯打开了。学生明确了解题思路后, 剩下的工作就是选择一种优化方案书写解题过程。

最后, 要注意培养学生良好的书写习惯。要求低年级学生学几何的时候便要开始养成。低年级的几何题目比较简单, 解题过程也不复杂。此时此刻, 老师在改作业时要特别注意学生的书写, 如果学生能写清楚, 以后再复杂的题目都可以分化成几个简单的步骤进行组合, 到高年级的时候也就不用担心学生的书写表达, 而侧重在对思维的培养。

通过几年的教学研究, 并结合师生的实践, 学生学习几何知识不再感到困难, 应用几何知识解决问题的能力大大提高, 学习数学的积极性日益高涨, 成绩也相应地提高得特别快。

参考文献

[1]闵卫国, 傅淳.教育心理学.昆明:云南人民出版社, 2004.

[2]皮发万, 陈善西.创新.重庆:重庆出版社, 2013.

几何证明与计算 篇3

平面几何是初中数学的基本内容之一，是培养学生逻辑推理能力和逻辑表达能力的主要学科。几何定义、定理较多，学生一时难于正确记忆；性质定理与判定定理容易混淆，“文字语言”与“几何语言”学生难于正确辨析。

关键词：理论几何与实验几何 推理论证 非智力因素 说理论证

一、适应初一学生的生理和心理的特点进行教学

初一学生正值从童年向青年的过渡期，生理和心理正发生着大的变化。《教育心理学》中都称之为易于向各个方面发展的“危机年龄”，有的专家称之为“危险期”。他们好奇、活泼、热情，对各方面都十分感兴趣。但是自控力、主动性、坚持性和独立性较差，感情很不稳定，波动性大，注意力不能长时间的集中，善于机械记忆和直觉思维，很易两极分化，教师一定要顺应其特点调整教学。

1.精心设计适当的教学过程，适应学生心理和生理的特点

根据初一学生注意力集中持续时间不长的特点，我每节课讲授的时间不超过20分钟，其余的时间让学生分组讨论交流，然后做练习。练习的形式要多样性，有时笔算，有时口述等。经常让不同层次的学生到黑板上做难易程度不同的题目，这样就让每一个学生都有不同表现的机会，获得心理的平衡。教师纠正时以正面鼓励为主，增强了学生学习的信心，培养学生学习几何的兴趣。

2.重视学生非智力因素开发，激发学习热情

学生学习动机、意志、情感乃至态度、毅力、理想等非智力因素对几何入门起着重大作用。我在开始上几何课时，对学生进行积极引导，简述学习几何的重要性，介绍一些中外著名的数学家所取得的伟大成就和他们为国家、社会所做的巨大贡献，讲一些和几何知识有关的小故事等增强学习几何的兴趣。针对学生感情不稳定的特点，需要耐心教育学生胜不骄，败不馁。维护他们的自尊心，鼓励进取，增强意志控制能力，增强克服困难的毅力。

3.选择适当的教学方法，让学生真正地成为学习的主人。

课堂教学是教师与学生之间双边活动，应该想法设法让学生主动地学习。教学方法要灵活，不同的内容应采取不同的方法。一般地如公式、定理等的教学多采用“发现法”来适应学生十分好奇的特点。在上概念课时采用“读读、讲讲、议议、练练”的教学方法，探究性问题常常采用合作学习的方式。运用启发式教学法，让学生真正地成为主体，让学生“动”起来。

二、注重理论几何与实验几何的衔接

1.要充分利用实验几何的教学方法和学习方法，引导学生由实验几何逐步向理论几何过渡

小学的“简单的形体知识”把初中平面几何的一些初步知识介绍过了，但没有给出证明，也不可能用说理的方法去讲解这些知识，而是根据小学生的认识事物的客观规律，大量地借助直观，依靠触觉和视觉的作用，画画、比比、拼拼，或借助于实物来获取新知识，不仅让学生容易接受，还增强了学生学习几何的趣味性。几何入门教学如果脱离了实验几何，学生会感觉到与小学所学知识脱节太大，对老师所传授的知识不易接受，学习起来十分枯燥，缺少趣味性，很快失去了学习几何的兴趣。因此，在几何入门的教学过程中，可以先沿用实验几何教法，让学生从感性上去认识新的事物，再引导学生去发现新事物具有哪些特征，然后根据这些特征从理论上重新去认识新事物。

2.引导和训练学生用几何理论去说理论证

实验几何使学生获得的知识没有系统化，对几何学中的逻辑推理掌握还不够，对几何教学和学生学习几何知识形成层层障碍。我们在几何入门教学中要注意理论几何与实验几何的衔接，逐步培养学生逻辑推理能力，防止学生以直观代替论证，运用生活的事例，尽可能的提出问题让学生思考，调动学生学习的积极性，启发学生细心观察周围事物，运用所学知识解释某些现象，说出其中的道理，从而培养学生说理（论证）的好习惯。

三、重视基本技能的训练

几何证明思路与方法 篇4

平面几何证明一般按以下三个思路来解决：

（1）．“顺藤摸瓜”法

该类问题特点：条件很充分且直观，一般属于A级难度的题目，直接求解即可。

（2）．“逆向思维”法

该类问题特点：一般已知条件较少。从正常思维难以入手，一般属于B或C级难度题目。该类问题从求证结论开始逆向推导，一步一步追溯到已知条件，从而进行求解。

（3）．“滇猴技穷”法

该类问题特点：题目很简明，表面上看不出条件和结论存在什么关系。也就是在自己苦思冥想，死了几百万脑细胞之后依然无解。该类问题属于你痛不欲生的C级难度的题目。

方法：①从已知条件入手，看能得到什么结果就写出什么结果，与结论相关的辅助线能作就作；

②再从结论入手，运用逆向思维，看能推导出什么结果就写什么结果；③合理联想，看看两次推导结果之中有没有关系紧密的，如果发现则以此为突破点解题；若发现不了，马上放弃，绝不浪费时间！

几何证明与计算 篇5

初中学生要学好几何，对能力的训练和培养十分重要，教师要循序渐进，不要急于求成。真正让学生把握知识的来龙去脉，让学生在主动获得知识的过程中，学会有关数学思想方法，形成良好思维习惯，从而为能力发展奠定基础。

1、识图能力先要由简到繁，再由繁到简，反复训练感知，提高识别抗干扰能力

2、几何语言能力应着手从以下三点培养：①定义、概念、定理的文字语言与图形和符号语言互转能力；②由图形抽象文字语言；③准确、简练的文字语言概括能力

几何证明与计算 篇6

09：坐标系与参数方程和几何证明选讲

坐标系与参数方程部分：

1．(2009广州一模文数)（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线sin截得的弦长为__.1．432被圆44

x1t,2.(2010广州二模文数)(坐标系与参数方程选做题)已知直线l的参数方程为(参数tR),y42t.

圆C的参数方程为x2cos2,(参数0,2),y2sin.则直线l被圆C所截得的弦长为.2.，3B的极坐标分别为3,3．(2010广州一模文数（）坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知两点A、4,，则△AOB（其中O为极点）的面积为．6

3．答案

34．(2011广州一模文数)（坐标系与参数方程选讲选做题）已知直线l的参数方程为：数），圆C的极坐标方程为，则直线l与圆C的位置关系为.4．相交

5、(2011广州二模文数)（坐标系与参数方程选做题）设点A的极坐标为2,．

成的角为x2t,（t为参y14t，直线l过点A且与极轴所6，则直线l的极坐标方程为． ．．．

341或cos1或sin3361cossin20 

5．sin

6．(2012广州一模文数)（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线l与曲线C的xt2,x1s,Cl参数方程分别为：（s为参数）和：（t为参数），2y1syt

若l与C相交于A、B两点，则AB． 6

7.(2012广州二模文数)（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若等边三角形ABC（顶点A,B,C按

顺时针方向排列）的顶点A,B的极坐标分别为2,





7

则顶点C的极坐标为。,2,6，6

7、.



2

32

说明：第1

4题答案可以是2k(kZ)

3

8．（2007广东文数）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线l的方程为sin3，则点2到直线l的距离为

8.．



π6

9.（2008广东文理数）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为



cos3,4cos(0,0)，则曲线C1 C2交点的极坐标为

cos3

9、【解析】我们通过联立解方程组,即两曲线的交点

为(0,0)解得2

4cos

6).610．（2009广东文科）（坐标系与参数方程选做题）若直线则常数k=.10、6【解析】将



x12t

（t为参数）与直线4xky1垂直，y23t

x12t37

3化为普通方程为yx,斜率k1,222y23t

434,由k1k21得k6;k2k

当k0时,直线4xky1的斜率k2当k0时,直线y

x与直线4x1不垂直.综上可知,k6.2

211．(2010广东文数)（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，）（0＜2）

中，曲线cossin1与sincos1的交点的极坐标为.11、(1,)

12、（2011•广东文理数）已知两曲线参数方程分别为（0≤θ＜π）和（t∈R），它们的交点坐标为（1，）．

（0≤θ＜π）的直角坐标方程为：

12、解答：

解：曲线参数方程

；曲线（t∈R）的普通方程为：；解方程组：得：

∴它们的交点坐标为（1，）．故答案为：（1，）．

13．(2012广东文数)（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中xoy中，曲线C1和曲线C2的2t

x1xcos2（为参数）

参数方程分别为（为参数，0）和，则曲线C1和曲线C2t

2y2tysin

2的交点坐标为．

13、参数方程极坐标：(1,2)(2,1)

几何证明选讲部分：

1.(2009广州一模文数)（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O（O为圆心）的切线，切点为A，PO交圆O于B,C两点，AC3,PAB30，则线段PB的长为1．

12.(2010广州二模文数)(几何证明选讲选做题)如图3, 半径为5的圆O的两条弦AD

和BC相交于点P, ODBC,P为AD的中点, BC6, 则弦AD的长度为.2.3．(2010广州一模文数)（几何证明选讲选做题）

O 图

4D

C

图

3如图5,AB是半圆

O的直径,点C在半圆上,CDAB，垂足为D，且AD5DB,设COD,则tan的值

为

.3．

4．(2011广州一模文数)（几何证明选讲选做题）如图3，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，MN与⊙O相切, 切点为A，MAB35, 则



N

D

4．12

55．(2011广州二模文数)（几何证明选讲选做题）在梯形ABCD中，

图3

ADBC，AD2，BC5，点E、F分别在AB、CD上，且EFAD，若

5．AE

3，则EF的长为 EB

46．(2012广州一模文数)（几何证明选讲选做题）如图3，圆O的半径为5cm，点P

CP1OP3cm，弦CD过点P，且，则

CD的长为cm．7

CD3

6．答案

7.(2012广州二模文数（）几何证明选讲选做题）如图4，AB是圆O的CD是圆O的切线，直径，延长AB至C，使BC2OB，切点为D，图3

AD

连接AD,BD，则的值为。

BD

7.8．（2007广东文数）（几何证明选讲选做题）如图4所示，圆O的直径AB6，C为圆周上一点，BC3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D，则DAC

C

图4

A图4

l

8.30

9.（2008广东文数）（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切点，切点为A，PA＝2.AC是圆O的直径，PC与圆O交于B点，PB＝1，则圆O的半径R=________.9【解析】依题意，我们知道PBAPAC,由相似三角形的性质我们有



PAPB

,即2RAB

PAAB2R

2PB2

110.（2009广东文科）(几何证明选讲选做题)如图3，点A、B、C是圆O上的点，且AB=4，ACB30，则圆O的面积等于.o

o

10【答案】16【解析】连结AO,OB,因为 ACB30,所以AOB60,AOB

为等边三角形,故圆O的半径rOAAB4,圆O的面积Sr16.o

11．(2010广东文数)（几何证明选讲选做题）如图3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD=11.答案

a，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF=.2a 212、（2011•广东文数）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=2．E，F分别为AD，BC上点，且EF=3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为 7：5 ．

12解答：解：∵E，F分别为AD，BC上点，且EF=3，EF∥AB，∴EF是梯形的中位线，设两个梯形的高是h，∴梯形ABFE的面积是，梯形EFCD的面积∴梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为=，13．(2012广东文数)（几何证明选讲选做题）

PBADBA，如图3，直线PB与圆O相切与点B，D是弦AC上的点，若ADmAC,n13、几何证明选做题：mn

图3

巧用“补形”法证明几何问题 篇7

研究如何利用“补形”方法证明几何命题。

有些几何问题, 只从图形本身探求证题理路较难或甚至找不到证题理路, 若能根据已知条件及证题的需要, 将原图形补成特殊的图形, 如正三角形、正方形、圆形或能产生特殊关系的图形等, 常能使问题的本质特征显现出来, 从而找到行之有效的解题理路, 这种证题方法称为“补形法”。

“补形法”不仅能大大地缩短从已知到未知的探求过程, 使证题方法简洁、明快, 而且还有助于逐步培养学生丰富的想象力, 促进学生创造性思维的发展。

问题1:在等腰Rt△ABC中, AB=AC, D是AC边的中点, 连接BD, 过A作BD的垂线交BC于E, 连接DE (如图1) 。求证:∠ADB=∠CDE。

方法:补充成正方形。

由于△ABC是等腰直角三角形, ∠A为直角, 可以以AB、AC为邻边把原△ABC补充成正方形ABFC。延长AE与FC交于H, 由AE⊥BD, 可证△ABD≌△CAH, 从而知∠ADB=∠CHA…… (1)

且H是FC的中点, 这样又推出CD=CH, 从而可证△ECD≌△ECH, 有∠CDE=∠CHA…… (2)

由 (1) 、 (2) 可知∠ADB=∠CDE

问题2: (如图2) 在直角梯形ABCD中, AB//CD, AB⊥BC, AB=BC=12, ∠DAH=45°, DH=10。求△DCH和△BKH的面积之和。

方法:补充成正方形。

由于ABCD为直角梯形, 且底AB和直角腰BC相等, 也有理由以AB、BC为邻边补充成正方形ABCP。做一个旋转变换:把△APD绕点A旋转-90°得到△ABQ, 可以证明△AHD≌△AHQ。

所以HQ=HD=10, 这样DC+CH=24-10=14。在Rt△DCH中, 设CH=x, CD=14-x, 应用勾股定理得x2+ (14-x) 2=102, 解得x1=6, x2=8。

当CH=6时, CD=8, HB=6, BK=8, 此时△CHD与△BHK面积和为48;

当CH=8时, CD=6, HB=4, BK=3, 此时△CHD与△BHK面积和为30。

问题3: (如图3) , △ABC为等边三角形, 延长AB到D, 延长AC到E, 使AD=CE, 连接BE、DE。求证:BE=DE。

方法:补充成正三角形。

由于△ABC是正三角形, 且AD=CE, 延长AB到F使DF=AC, 就有AE=AF, 由于∠A=60°, 所以△AEF为正三角形, 所以AE=EF。由于DF=AC=AB, ∠F=60°, 所以△ABE≌△FDE, 所以EB=ED。

问题4: (如图4) , 已知:BD、CE分别是△ABC的外角平分线, AD⊥BD于D, AE⊥CE于E。求证: (1) DE∥BC; (2) 2DE=AB+BC+CA。

方法:补充成能产生特殊关系的三角形。

由BD、CE分别是△ABC的外角平分线这个条件, 在画图时就要引辅助图线BF和CG, 又由AD⊥BD于D, AE⊥CE于E, 可知△ABF和△ACG均为等腰三角形。AB=BF, AC=CG, 且补全三角形AFG后, DE就是它的中位线, 所以 (1) 、 (2) 两结论一并证出。

问题5: (如图5) 已知:在四边形ABCD中, AB∥DC, AB=AC=AD=3, BC=2, 求对角线BD的长。

方法:补充成圆。

在四边形ABCD中, 由于AB=AC=AD=3这个条件, 允许我们以A为圆心O, 以3为半径把四边形ABCD补充成一圆, 这样B、C、D三点都在圆上 (如图5) 。EB为圆的直径, 连接ED, ∠BDE=90°, 又因为DC∥AB, 可知ED=CB=2, 利用勾股定理求出

摘要：“补形”法证明几何问题, 就是在探求证题理路时, 将原图形中隐含的特殊图形 (正方形、正三角形、圆形或能产生特殊关系的图形) 补充完整。恢复这些隐含的图形可以使问题的本质特征显现出来, 从而迅速找到证题的思路。

几个几何定理的纯几何证明 篇8

《中学数学杂志》(初中)2008年第2期刊载的“从一道美国数学竞赛题引出的一组几何定理及代数证法”一文(下称文[1])，由一道美国数学竞赛试题经探索、整合，得到了几个新颖有趣、耐人寻味的几何定理，阅后很受启发. 由于这几个几何定理的独特风格和丰富的内涵，颇显其思考性，而引人入胜. 缺感的是文[1]的代数证法冗长繁琐，不够简约，有失纯几何方法的风采、韵味，并非是“定理的证明用代数法解决更妙”(文[1]). 笔者经思索、探究，得到了文[1]中四个定理的浅显、简明、别致的纯几何证法，现介绍如下，供读者参考(为方便计，定理顺序同文[1]).

定理1 已知：如图1，在以AB为直径的半圆中，正方形CDEF内接于半圆，正方形CGHK内接于△BCF，且边CG在AB上，求证：AC=CG.

分析 由对称性，易知AC=BD.

由射影定理(或相交弦定理的推论)，得CF2=AC·BC.

又CF=CD，BC=CD+BD=CD+AC，得CD2=AC(CD+AC)，即AC2+CD·AC=CD2.①

由AC=BD，知AG=BG.故点G是半圆的圆心.

参考文献

[1] 曾恒忠，白方奎等. 从一道美国数学竞赛题引出的一组几何定理及代数证法[J].中学数学杂志(初中).2008，(2).

作者简介：令标，男，1962年11月生，中学高级教师，主要从事数学教学及解题研究，已在多家中学数学期刊发表文章数十篇.

初二几何证明2 篇9

教学目标

1、通过证明举例的学习和实践，懂得演绎推理的一般规则，初步掌握规范的表达格式；了解证明之前进行分析的基本思路;

2、能利用全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质来证明有关线段相等、角相等的简单问题;

3、了解添置辅助线的基本方法，会添置常见的辅助线；

4、了解文字语言、图形语言、符号语言三种数学语言形态.教学重点及难点

重点：分析基本思路，掌握规范的表达格式.难点：辅助线的添加.教学用具准备

黑板、粉笔、学生准备课堂练习本.教学流程设计

教学过程设计

1． 例题讲解

例题9 已知:如图,在△ABC与△A’B’C’中, AB=A’B’,BC= B’C’,CA=C’A’.求证: △ABC≌△A’B’C’.证明:设边BC最长.如图，把△ABC与△A’B’C’拼在一起，使边BC与B’C’重合，并使点A、A’在B’C’的两侧；再联结A’A.∵AB=A’B’,AC=A’C’(已知),∴∠1=∠2, ∠3=∠4(等边对等角).∴∠1+∠3=∠2+∠4(等式性质).即∠B’A’C’=∠BAC.在△ABC与△A’B’ C’中,AB=A’B’(已知)

∠B’A’C’=∠BAC(已证)

AC=A’C’(已知),∴△ABC≌△A’B’C’(S.A.S).【说明】本例是补证“边边边”定理，证明的思路是通过图形的运动把一些分散的元素集中在一个图形中，然后利用已有的“边角边”定理，证明两个三角形全等.这种利用图形的运动的方法，学生以前从未遇到，在后面的例题11中还会用到，要注意分析和引导.例题10 已知：如图17-14,四边形ABCD中,AB=DC, ∠B=∠C.求证: ∠A=∠D.证明:分别联结AC、DB(如图17-15).在△ABC与△DCB中,AB=DC(已知)

∠ABC=∠DCB(已证)

BC=CB(已知),∴△ABC≌△DCB(S.A.S)

得AC=DB(全等三角形的对应边相等).在△ABD与△DCA中,DB=AC(已知)

AB=DC(已知)

AD=DA(公共边),∴△ABD≌△DCA(S.S.S)

∴∠BAD=∠CDA(全等三角形的对应角相等).【说明】 本例是证明两个角相等，比较自然

地会想到利用三角形全等.但通过分析，发现需要

证两次三角形全等，有一定难度.对本例还介绍了

通过构造等腰三角形来进行证明的第二种方法.两种方法都需要添加辅助线构造三角形，第一种

方法的证明过程相对复杂些，但较第二种方法容

易想到．

怎样添置辅助线要在以后的学习中不断实践、探索、领悟，要重视图形的运动对添线的启示，而构造基本图形以及补全图形是常用的添线方法.2．反馈练习，巩固知识

(1)已知：如图，AC与BD相交于点O，且AC=BD，AD=BC.求证：OA=OB.（第1题）B D E C（第2题）

(2)已知：如图，点D、E在BC上，AB=AC，AD=AE.求证：BD=CE.3、课堂小结

你能讲一讲，证明角相等，一般可以采用什么方法吗？

4、布置作业

初一几何证明题 篇10

1.如图，AD∥BC，∠B=∠D，求证：AB∥CD。

A

B

D

C

2.如图CD⊥AB，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：∠AGD=∠ACB。

A

D

G

/

F

BEC

3.如图，已知∠1=∠2，∠C=∠CDO，求证：CD∥OP。

D

P

/

C

OB

4.如图∠1=∠2，求证：∠3=∠4。

A

/

B

C

D

5.已知∠A=∠E，FG∥DE，求证：∠CFG=∠B。

A

B

C F D

E

6.已知，如图，∠1=∠2，∠2+∠3=1800，求证：a∥b，c∥d。

cd

a

b

7.如图，AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA，求

A

证：EF平分∠BED。

D

F

B

E

C8、已知，如图，∠1=450，∠2=1450，∠3=450，∠4=1350，求证：l1∥l2，l3∥l5，l2∥l4。

l3

l11 l2

4l59、如图，∠A=2∠B，∠D=2∠C，求证：AB∥CD。

C

A

B10、如图，EF∥GH，AB、AD、CB、CD是∠EAC、∠FAC、∠GCA、∠HCA的平分线，求证：∠BAD=∠B=∠C=∠D。

A

E

F

B G

C

H11、已知，如图，B、E、C在同一直线上，∠A=∠DEC，∠D=∠BEA，∠A+∠D=900，求证：AE⊥DE，AB∥CD。

A

D

谈谈如何引导学生证明几何题 篇11

1.从题设和结论找思路

题目拿来，不要急于下手，仔细分析；从题设出发,看能推出什么结论；再看看结论：还需要什么条件，然后往中间凑，这种两头挤中间凑的方法是几何证明题的一种最常用的方法，也是一种很重要的方法。

如7．8节 切线的判定和性质(P91)

例1、已知：如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB．

求证：直线AB是⊙O的切线．

这题由已知条件OA=OB，就可以推出△OAB是等腰三角形，又由CA=CB，就可以推出OC是等腰△OAB的底边AB边上的高,而结论是要求证直线AB是⊙O的切线，也就是要求证OC上AB,这就立马想到添辅助线连结OC,同已知推出的结论相吻合，到达了求解的目的。

又如7．11节 弦切角(P108)

例2、已知：如图，⊙O和⊙O'都经过A、B两点，AC是OO'的切线，交⊙O于点C，AD是⊙O的切线，交⊙O'于点D．

求证：AB2=BC·BD

这题先从结论来考虑，要求证四条线段AB、BC、BD、AB成等积式，就是看这四条线段所在的△ABC和△DBA是否相似，而要证明两三角形相似，主要是从角度考虑。再来看已知条件,AC是⊙O'的切线，则由弦切角定理，可以得到∠2＝∠D．AD是⊙O的切线，可以推出∠1=∠C，而这四个角又刚好分别是那两个三角形的角，这样问题就得到了解决。

再如7·8节 切线的判定和性质(P93)

例2、如图,AB为⊙O的直径。C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．

求证：AC平分∠DAB．

这题要求证AC平分∠DAB,就是要求证∠1=∠2．而已知条件AD⊥DC，DC是切线C是切点，就想到DC垂直于过切点的半径，所以这题应该连结OC(同本节的例1综合在一起得到，在解有关圆的切线问题时，常常需要作出过切点的半径)，则可推出AD∥OC，．因此有∠2=∠3，而∠1=∠3，于是得出结论。

像这样的例子这一章还有不少，而且初一、初二的几何课本也有很多我在这儿就不一一赘述了．

2.从知识点找思路

如果上述的方法行不通，那我们就想一想：这个题目它考的是什么知识点?它是在哪一章节里出现的?那我们就从这一节的有关定理、定义入手。

比如P104如何去求证圆的外切四边形的两组对边的和相等这个题目好象不知从何下手，然而，这是7．10切线长定理这一小节的题，我们应该运用这一节的知识点，从切线长定理寻找突破口，于是不难得出AP=AL，BM=BL，CM=CN，DP=DN．再利用等式的性质，就得出了命题的结论．

再比如，P87习题7．2B组第5题

如图：⊙O和⊙O'都经过AB两点，过点B作直线交⊙O于点C，交⊙O于点D,G为圆外一点,GC交⊙O于点E,GD交⊙O'于点F．

求证：∠GEA+∠GFA=180°．

本题也是一样，要求证这两个角互补，那么这两个角是不是邻补角?是不是平行线的同旁内角?是不是圆内接四边形的两个对角?都不是，那怎么办?这个题是出在圆内接四边形这一节，而本节学了圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角这个定理。那么这两个角是不是圆内接四边形的外角?这个时候很多同学恍然大悟，纷纷抢着回答：“连结AB”则问题一目了然，∠GEA=∠ABC,∠GFA=∠ABD．于是得出结论。

还有7．4节圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(P72)

例1、如图：点O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于点A、B和C、D．

求证：AB=CD．

这题已经PO是∠EPF的平分线,就应该想到角平分线的性质定理：角半分线上的点到角两边的距离相等，而这题要求证的两条相等线段AB和CD又是⊙O的两条弦，结合这一节课所学的定理的推论马上就想到作出弦AB和CD的弦心距OM和ON，问题又解决了。

3.从辅助线寻找思路

我时常告诉学生，你们可以从一些辅助线寻找突破口。如：7．3节 垂直于弦的直径

在这一小节里，计算有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线。实际上，往往只须从圆心作一条与弦垂直的线段。作了这条辅助线后，那么这条弦的一半、以及弦的弦心距、还有过这条弦的端点的半径这三条线段就构成了一个直角三角形，再通过解直角三角形，得出我们所要求解的线段。如P61 例1、P65 例4、P67 习题7．1 A组第13题、第15题、第16题、以及B组第2、3、4题、P198 复习题七第1、2题等都可以通过三条特殊的线段，解直角三角形，得出我们所要求解的结论。在这里我就不再一一例举了。

以上三点是我在圆这一章的教学体会。笔者始终认为要想使学生学好数学，作为一个中学数学教师，应该从初一抓起，每一个例题都要给学生分析透彻，讲细、讲透，找一些精练的题目给学生做一做、练一练，让学生一步一个脚印，踏踏实实，把基础打扎实、打牢固，这样不至于到了初三，很多同学的几何学不下去。

中职数学立体几何的证明 篇12

关键词：立体几何,定理,命题,逻辑推理能力

数学具有逻辑严谨性的特点, 数学中的定理, 命题, 常以逻辑推理作保证, 要求言必有证。目前初中平面几何教学要求降低, 中职学生生源又受到“普高热”的冲击, 学生往往以较低成绩进入中职学校学习。这些客观原因使得中职学校的学生认知前提差, 思维能力较差。他们觉得立体几何的证明抽象, 严谨, 大部分学生不会进行具体的证明。立体几何题目繁多, 就其类型来讲, 一般有证明空间中等直线、平面的垂直与平行, 角的相等与不等, 线段的相等与不等。虽然证明题目千变万化, 但其规律和类型都是有限的, 因此要注意引导, 培养学生发现解题规律, 掌握学习方法和思维方法。

一、培养学生观察、分析定理, 命题的内容

在立体几何中当命题引出后, 要引导学生切实分清命题的条件和结论, 将文字叙述的命题改用数学语言来表示。例两平面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面, 那么这两个平面平行。可以用数学语言描述:已知平面α, β, 有两条相交直线a, b交于点P, 若a∥β, b∥β, 则α∥β。 (如图1)

将文字语言, 符号语言和图形语言配合使用, 有助于让学生读懂, 看懂题目, 理解题意。

二、培养学生对定理进行归纳总结, 使之系统化

“中等职业教育课程改革国家规划新教材”数学下册基础模块中涉及的主要定理是判定垂直与平行, 可按其逻辑关系进行纵向整理。如判定定理的构成遵循线线圯线面圯面面的原则, 逐步从简到繁;而性质定理的构成, 则遵循面面圯线面圯线线的原则。

不妨设直线为a, b, c, 平面为α, β。 (如图2)

只有将定理组成一个网络, 使知识系统化、条理化, 才能进一步深刻的掌握定理, 以便能熟练地应用定理为依据来证明立体几何题。

三、培养学生掌握定理, 命题的证明方法

给出一道立体几何题, 它的证明方法是多种多样的, 而掌握证明方法, 关键在于摸清它的解题思路, 当确定了正确的解题思路后, 才能给出证明的步骤。在证明定理, 命题时, 对推理的每一步都要写出确切的依据。

1.综合法

在证明中, 从已知条件出发到求证, 或者从已知到未知, 这种方法叫做综合法。

例:四棱锥S-ABCD中, AB∥CD, BC⊥CD, 侧面SAB为等边三角形, AB=BC=2, CD=SD=1, 证明:SD⊥平面SAB。 (如图3)

分析:证明SD⊥平面SAB关键是找到SD与平面SAB内两条相交直线都垂直。通过勾股定理, 可得到AB⊥DE, AB⊥SE, 命题可得证。

∴AB⊥平面BDE, ∴AB⊥SD。

∵SD与两条相交直线AB, SE都垂直, 故SD⊥平面SAB。

从分析中可以看出命题从已知条件出发, 根据相应的定义、定理、公式及法则等, 初步向欲证的结论推进, 从而导出命题的结论。

2.分析法

在证明中, 从求证追溯到已知, 或者是从未知到已知, 这种方法叫分析法。

例:数学下册基础模块第127页练习3, P是平行四边形ABCD外一点, O为AC和BD的交点, E是PC的中点, 求证:OE∥平面PAD。 (如图4)

分析:要证明OE∥平面PAD, 只要在平面PAD中找到一条直线与OE平行, 利用分析法, 可以将OE∥平面PAD看成已知条件, 根据线面平行的性质定理, 过OE的平面只要与平面PAD相交, 则OE与交线平行。题目中包含OE的平面PAC与平面PAD的交线为PA, 则只需证OE∥PA, 从而OE∥平面PAD。

证明:∵O为AC和BD的交点, ∴O是AC的中点。

又∵E是PC的中点, ∴OE∥PA。

分析法是从证题的结论出发推出所需条件为已知条件, 再予以证明, 这种方法只是一种解题思路, 解题时要把解题思路用倒叙的形式写出。

3.反证法

反证法是通过否定定理、命题的结论, 然后从这个假定中得出和已知条件相矛盾的结果来。在数学下册基础模块中, 证明两条直线是异面直线, 有关“惟一性”的命题, 直线在平面内, 直线与平面的位置关系等问题, 都可应用反证法。反证法包括归谬法与穷举法。

分析:应用反证法, 假设AB不在平面α, 则AB与a不相交, 根据异面直线判定定理, 知AB与a是异面直线。

在此例中, 使用归谬法, 是命题结论的否定方面只有一种可能性, 那么, 只要把这一种情况推翻, 就能肯定结论成立。

例:证明:两条平行线中一条与一个平面相交, 那么另一条也与这个平面相交。

已知:a∥b, a∩α=A, 证明:直线b与平面α相交。 (如图5)

在此例中, 使用穷举法, 这是因为命题的结论的否定方面不止一种情况, 那就必须把否定方面所有的可能情况一一驳倒, 才能肯定结论成立。

4.同一法

一个命题, 如果它的题设和结论所指的事物都是唯一的, 那么原命题和它的逆否命题中只要有一个成立, 另一个就一定成立, 这个原理叫做同一原理。对于符合同一原理的命题, 当直接证明有困难时, 可以改证与它等效的逆命题, 这种证明方法叫做同一法。同一法是立体几何证明题常用的一种方法。

例数学下册基础模块第127页练习3, P是平行四边形ABCD外一点, O为AC和BD的交点, E是PC的中点, 求证:OE∥平面PAD。 (如图6)

分析:由已知可得, 满足条件的E是唯一的, 若做出符合结论要求的OE′∥平面PAD。点E′也是唯一的。

那么根据图形的唯一性即可知E′就是E, 命题就可获证。

证明:设E′是PC上的点且OE′∥平面PAD,

∵OE'埭平面PAD, PA奂平面PAD。∴OE′∥PA。

∵O为AC和BD的交点, ∴O是AC的中点。

∴E′是PC的中点。∴E′与E重合。

故OE∥平面PAD。

在运用同一法时, 要注意把题设、题断分为若干单一的事项, 然后再将决定图形唯一性的条件和结论进行同质的交换。

5.向量法

向量同时具有形与数的特征, 是沟通代数与几何的桥梁, 数学下册基础模块第七单元平面向量的学习, 有助于中职学生进一步体会数学运算的意义, 有助于学生掌握处理立体几何问题的代数方法。

例数学下册基础模块第121页例1, 空间四边形ABCD, E, F, G, H分别是AB, BC, CD, DA的中点, 则:四边形E-FGH是平行四边形。 (如图7)

证明:连接BD, ∵EH是ΔABD的中位线

运用向量解决立体几何问题都是通过向量的代数运算来实现的。向量提供了一种通过代数运算解决立体几何的工具。向量的学习, 有助于学生掌握处理立体几何平行, 垂直, 线段相等等问题的代数方法。体会数形结合的思想。

立体几何的证明, 不同的思路往往会有不同的证法。若能掌握以上的几种证明方法, 解题时可采用比较简洁的方法, 就能快速的解题。立体几何的证明, 要注意证明格式的书写, 对于中职学生, 通常采用推进式的写法。可保证因果分明, 推理连贯。条理清晰, 培养中职学生的逻辑表达能力。

参考文献

[1]张景斌.中等职业教育课程改革国家规划新教材.数学下册[M].北京:语文出版社, 2009.

[2]杨文则.数学思想方法简介[M].昆明:云南大学出版社, 2002.

[3]杨礼远.浅谈初中几何命题的证明方法[J].初等数学思想方法选讲[M].黔东南民族师范高等专科学校学报, 2003, 第21卷 (第6期) , 106-108.

立体几何证明 篇13

Ⅰ.平行关系：

线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。

线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。

面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。

Ⅱ.垂直关系：

线线垂直：1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任一直线垂直。

线面垂直：1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角为直二面角。2.一个平面过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直。

四个判定定理：

①若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

②如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。

③如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。

④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

从平面拓展到空间的角相等或互补的判定定理：

空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

四个性质定理：

①一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。

②两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。

③垂直于同一平面的两条直线平行。

④两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

标准只要求对于四个性质定理用综合几何的方法加以证明。对于其余的定理，在选修2的“空间向量与立体几何”中利用向量的方法予以证明。

初中几何证明题 篇14

求证:BD+CE≥DE。

1.延长EM至F,使MF=EM,连BF.∵BM=CM,∠BMF=∠CME,∴△BFM≌△CEM(SAS),∴BF=CE，又DM⊥EM，MF=EM,∴DE=DF

而∠DBF=∠ABC+∠MBF=∠ABC+∠ACB<180°，∴BD+BF>DF，∴BD+CE>DE。

2.己知M是△ABC边BC上的中点，,D,E分别为AB,AC上的点，且DM⊥EM。

求证:BD+CE≥DE

如图

过点C作AB的平行线，交DM的延长线于点F;连接EF

因为CF//AB

所以，∠B=∠FCM

已知M为BC中点，所以BM=CM

又，∠BMD=∠CMF

所以，△BMD≌△CMF(ASA)

所以，BD=CF

那么，BD+CE=CF+CE……………………………………………(1)

且，DM=FM

而，EM⊥DM

所以，EM为线段DF的中垂线

所以，DE=EF

在△CEF中，很明显有CE+CF>EF………………………………(2)

所以，BD+CE>DE

当点D与点B重合，或者点E与点C重合时，仍然采用上述方法，可以得到BD+CE=DE

综上就有：BD+CE≥DE。

3.证明因为∠DME=90°，∠BMD<90°，过M作∠BMD=∠FMD，则∠CME=∠FME。

截取BF=BC/2=BM=CM。连结DF,EF。

易证△BMD≌△FMD，△CME≌△FME

所以BD=DF，CE=EF。

在△DFE中，DF+EF≥DE，即BD+CE≥DE。

当F点落在DE时取等号。

另证

延长EM到F使MF=ME，连结DF，BF。

∵MB=MC，∠BMF=∠CME，∴△MBF≌△MCE，∴BF=CE，DF=DE，在三角形BDF中，BD+BF≥DF，即BD+CE≥DE。

分析已知、求证与图形，探索证明的思路。

对于证明题，有三种思考方式：

(1)正向思维。对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出，这里就不详细讲述了。

(2)逆向思维。顾名思义，就是从相反的方向思考问题。运用逆向思维解题，能使学生从不同角度，不同方向思考问题，探索解题方法，从而拓宽学生的解题思路。这种方法是推荐学生一定要掌握的。在初中数学中，逆向思维是非常重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显，数学这门学科知识点很少，关键是怎样运用，对于初中几何证明题，最好用的方法就是用逆向思维法。如果你已经上初三了，几何学的不好，做题没有思路，那你一定要注意了：从现在开始，总结做题方法。同学们认真读完一道题的题干后，不知道从何入手，建议你从结论出发。例如：可以有这样的思考过程：要证明某两条边相等，那么结合图形可以看出，只要证出某两个三角形相等即可;要证三角形全等，结合所给的条件，看还缺少什么条件需要证明，证明这个条件又需要怎样做辅助线，这样思考下去……这样我们就找到了解题的思路，然后把过程正着写出来就可以了。这是非常好用的方法，同学们一定要试一试。