放缩法证明数列不等式经典例题

放缩法证明数列不等式经典例题（精选6篇）

放缩法证明数列不等式经典例题 篇1

主要放缩技能： 1.11111112 nn1n(n1)nn(n1)n1n

1144112()

22n4n1(2n1)(2n1)2n12n1n24

2. 2)

 







 4.2n2n2n1115.n (21)2(2n1)(2n2)(2n1)(2n11)2n112n16.n22(n1)n11 n(n1)2n1n(n1)2n1n2n(n1)2n1

x2xn*c(nN)例1.设函数y的最小值为，最大值为，且abnnn2x1

（1）求cn；（2）证明：

例2.证明：161

例3.已知正项数列an的前n项的和为sn，且an

2（1）求证：数列sn是等差数列； 11117 444c14c2c3cn417 12sn，nN*； an

（2）解关于数列n的不等式：an1(sn1sn)4n8

（3）记bn2sn,Tn331111Tn

，证明：1 2b1b2b3bn

例4.已知数列an满足：n2anan1； 是公差为1的等差数列，且an1nn

（1）求an；（2

2 例5.在数列an中，已知a12,an1an2anan1；

（1）求an；（2）证明：a1(a11)a2(a21)a3(a31)an(an1)3

2n1an例6.数列an满足：a12,an1； n(n)an22

5112n

（1）设bn，求bn；（2）记cn，求证：c1c2c3cn 162n(n1)an1an

例7.已知正项数列an的前n项的和为sn满足：sn1,6sn(an1)(an2)；

（1）求an；

（2）设数列bn满足an(2n1)1,并记Tnb1b2b3bn，b

求证：3Tn1log2n

(a3)（函数的单调性，贝努力不等式，构造，数学归纳法）

例8.已知正项数列an满足：a11,nan1(n1)an1，anan1

记b1a1,bnn[a1

（1）求an；

（2）证明：(1

放缩法证明数列不等式经典例题 篇2

一、要点归纳

(1) 放缩法:是指若直接证明不等式A

(2) 放缩法证明不等式的理论依据主要有: (1) 不等式的传递性; (2) 等量加不等量为不等量; (3) 同分子异分母 (或同分母异分子) 的两个分式大小的比较。

(3) 常用的放缩法技巧有: (1) 舍掉 (或加进) 一些项; (2) 在分式中放大或缩小分子或分母; (3) 应用均值不等式进行放缩。

(4) 放缩法的实质是非等价转化, 放缩法没有一定的准则和程序, 放缩目的性很强, 需按题意适当放缩, 即通过放缩将复杂的一边化简, 凑出另一边的形式。

二、特别提示

(1) 利用放缩法证明不等式, 要根据不等式两端的特点及已知条件, 谨慎地采取措施, 进行恰当地放缩。

(2) 放缩法是一种证题技巧, 要想用好该方法证题, 必须有明确的目标, 目标可以从要证明的结论中考查, 即要认真分析结论的特点, 由结论的特征挖掘解题规律。

三、放缩法常见题型

1. 舍弃或添加一些项进行放缩

例1设n≥4, n∈N*, 试证2n-1>n2-n+2)

证:当n-1≥3时

点评:本题的证明采用二项式展开式进行放缩比较简单, 当然, 也可以采用数学归纳法进行证明。

2. 用基本不等式, 均值不等式进行放缩

所以, 原不等式成立

点评:本题的证明方法是采用进行缩小, 使作差后的两项联系起来, 提取公因式后为整体处理铺平道路。

3. 为了裂项而采用一些熟悉的关系式进行放缩

点评: (1) 证明本题的常规方法是——数学归纳法相比, 从证题长度来说, 这种放缩效果几乎称得上一蹴而就, 尤其是其中对分母的有理化, 在把和变为差的同时使分式化为整式, 堪称“数学魔术”。 (2) 常用的放缩公式有:

4. 分式放缩

例4设当ai∈R+ (i=1, 2, …, n)

点评:本题的证明采用将分母式子的平方改成两项的积, 然后舍去一些项后, 再将整个分式拆成两项之差, 最后将其内项相抵消, 从而得到结论正确。

5. 用不等式进行放缩

例5设f (x) =x2+ax+b, 试证:|f (1) |, |f (2) |, |f (3) |, 中至少有一个不小于

证明:记M为, |f (1) |, |f (2) |, |f (3) |中的最大者, 则有:

即|f (1) |, |f (2) |, |f (3) |中至少有一个不小于

点评:本题用“|a+b|≤|a|+|b|”进行缩小, 从而比较容易地证得目标, 这比传统的反证法简捷得多。

6. 用三角形中的边长关系进行放缩

例6设a, b, c是三角形ABC的三边, 求证:a2+b2+c2<2 (ab+bc+ca)

证明:右边= (ab+bc) + (ab+ca) + (bc+ac) =b (a+c) +a (b+c) +c (a+b) >b.b+a.a+c.c=左边

所以a2+b2+c2<2 (ab+bc+ca)

巧用“放缩法”证数列不等式 篇3

一、利用数列通项放缩

例1 已知数列[an]的前[n]项和为[Sn]，且满足[an=1(2n+1)2]，求证：[Sn<14].

分析 我们首先想到的是如下的放缩方式

而[12>14]，这样的放缩以失败告终，失败的原因是分母缩得太小. 下面要控制放缩量，以达到预期的目的，于是有下列放缩方法：

[an=1(2n+1)2<1(2n+1)2n=12n-12n-1,∴Sn=a1+a2+⋯+an<12-13+14-15+⋯+12n-12n+1,]

到此已意识到又一次失败，因为放缩的分式无法裂项求和. 进一步调控 ，尝试可得：

例2 数列{[an]}满足：[an+1=anan+2,]求证：[a1a2+a2a3+⋯+anan+1<37].

分析 由递推关系式易求出[an=][12n-1,不等式左边为数列{anan+1}的前n项的和，]不等式左边为数列[{anan+1}]的前[n]项的和，其通项为[anan+1=1(2n-1)(2n+1-1)]，观察其结构特点，可考虑将其放缩到等比数列或放缩至能裂项相消求和的形式.

法一

而数列[{122n-1}]是等比数列，其前[n]项的和垂手可得.

于是[a1a2+a2a3+⋯+anan+1<23×(1-14n)<23，]

而[23>37,]意识到放得太大,可将前面的若干项保持不变，从某一项开始放大，通过调控尝试得到成功,方法如下：

[n=1,2]时，不等式显然成立.

法二 直接将通项裂开，即：

[anan+1=1(2n-1)(2n+1-1)=12n×(12n-1-12n+1-1)],

但此时裂项后无法相消，于是进一步放缩如下：

[n≥3时，anan+1≤123×(12n-1-12n+1-1)，此时，a1a2+a2a3+⋯+anan+1≤13+121+123×(17-115+115-131+⋯+12n-1-12n+1-1)<821+18×17<37，]

[n=1,2时，不等式显然成立．]

二、利用递推关系式放缩

有些题目，不易求出数列的通项，此时可根据相邻两项的递推关系式，借助迭代的手段，将通项放缩至求和的程度.

例3 数列[xn]满足[xn+1=xn+4xn+1,x1=1,][设an=xn-2]，数列[an]前[n]项的和为[Sn]，求证：[Sn<2].

分析 此题若正面求[an]，对[an]进行放缩，难度较大，我们可避开这个难点，通过[xn]与[xn-1]间的关系，容易得到[an]与[an-1]间的关系，采用迭代的方法，最终达到将通项[an]放缩成等比数列的效果.

解 [xn-2]=[xn-1+4xn-1+1-2]

三、构造辅助数列后放缩

例3 数列[an]各项均为正数，[Sn]为其前[n]项的和，且[an=n-n-1(n∈N*)].

求证：[12S1+13S2+⋯+1(n+1)Sn<2(1-1Sn+1)].

分析 此不等式的两边都是关于[n]的代数式，左边很明显是数列[1(n+1)Sn]的前[n]项的和，右边也可看作是某个数列前[n]项的和，我们可以构造出这个数列.只要能比较出这两个数列通项的大小，它们对应的前[n]项的和的大小也就清楚了.

解 易求出[Sn=n,则1(n+1)Sn=1(n+1)n],

令数列[bn前n项的和为Tn,]

即原不等式成立.

通过构造辅助数列来解决不等式的证明问题时，通常要注意该不等式两边都是关于[n]的代数式,并且两边均可看成某个数列前[n]项的和.

放缩法证明数列不等式经典例题 篇4

教学目标：学会利用放缩法证明数列相关的不等式问题 教学重点：数列的构造及求和 教学难点：放缩法的应用

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 例1求

k1n

24k

2

1的值例2.求证:1

2



1(2n1)





12(2n1)

(n2)

例3求证:1

4116

136



14n





14n

例4求证：1

4



1n



n

例5已知an4n2n,Tn

a1a2an,求证:T1T2T3Tn

.直接放缩

1、放大或缩小“因式”：

例1.设数列an的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an5Sn1成立，记bn（I）求数列bn的通项公式；

（II）记cnb2nb2n1(nN*)，设数列cn的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都有Tn

例2.已知数列an满足a11,an12an1nN（Ⅰ）求数列an的通项公式；（Ⅲ）证明：

例3.设数列{an}满足a12,an1an

4an1an

*

(nN)。

32；

1a2



1a3



1an

1

nN3



1an

(n1,2,).证明an

2n1对一切正整数n成立

例4.已知数列an满足a1

4，an

an1

(1)an12

n

（n2,nN）。

（Ⅰ）求数列an的通项公式；（Ⅲ）设cnansin

anN． 例5.数列xn由下列条件确定：x1a0，xn11xn,

2

xn

(2n1)，数列cn的前n项和Tn，求证：对nN,Tn

47。

（I）证明：对n2总有xn

圆锥曲线：

a

；(II)证明：对n2总有xnxn1

1.已知将圆xy8上的每一点的纵坐标压缩到原来的22

12,对应的横坐标不变,得到曲线C；设M(2,1)，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m≠0),直线l与曲线C交于A、B两个不同点.(1)求曲线C的方程；(2)求m的取值范围.2.设椭圆C1：

xa

2

yb

1(ab0)，抛物线C2：xbyb.(1)若C2经过C1的两个焦点，求C1的离心率；(2)

设A(0,b),Q

54又M、N为C1与C2不在y轴上的两个交点，若AMN的垂心为B(0,b)，3

4且Qb)，MN的重心在C2上，求椭圆C1和抛物线C2的方程

3.已知椭圆C的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y

（1）求椭圆C的方程；

x

2

（2）设A、B为椭圆上的两个动点，OAOB0，过原点O作直线AB的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程．

4.设双曲线C：

21（a＞0，b＞0）的离心率为e，若准线l与两条渐近线相交于P、Q两点，F为右焦点，2ab

△FPQ为等边三角形．

（1）求双曲线C的离心率e的值；

x

y

（2）若双曲线C被直线y＝ax＋b截得的弦长为

bea

2求双曲线c的方程．

课后作业： 1.求证：

2.已知数列{a}的前n项和S满足Sn2an(1),n1.n

n

1



3

1n



4n

（Ⅰ）写出数列{a}的前3项a1,a2,a3（Ⅱ）求数列{an}的通项公式

n

3.已知a为正实数，n为自然数，抛物线yx线在y轴上的截距，用a和n表示f(n)；

圆锥曲线作业： 1.已知椭圆

C1:

xa

a

n

与x轴正半轴相交于点A，设f(n)为该抛物线在点A处的切



yb

1(a＞b＞0)

与双曲线

C1:x

y

1

有公共的焦点，C1的一条渐近线与以

C1的长轴为直径的圆相

交于A,B两点，若

A．

a

C1

恰好将线段AB三等分，则（）

B．a13

132

C．

b

D．b2

=4:3:2，则曲线r的离心率等

2.设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足于()

1或3

PF1:F1F2:PF2

A．22B．3或2C．2

或

2D．3

或

3.若点O和点F(2,0)分别是双曲线的取值范围为()

xa



y1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则OPFP

A.)

B.[3)C.[-

74,)D.[

74,)

4.已知双曲线E的中心为原点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(12,15),F(3,0)是E的焦点，则E的方程式为()(A)

x



y

61(B)

x



y

1(C)

x



y

1(D)

x



y

1

5.点A(x0,y0)在双曲线

x



y

1的右支上，若点A到右焦点的距离等于2x0，则x0

6.已知点A、B的坐标分别是(1,0)，(1,0).直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积为－2.(Ⅰ)求动点M的轨迹方程;

浅谈用放缩法证明不等式 篇5

目录

引言„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（2）1.放缩法的常用技巧„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（3）

1.1 增减放缩法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（3）1.2 公式放缩法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（5）1.3 利用函数的性质„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（6）1.4 综合法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（9）1.5 数列不等式的证明„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（11）2.放缩法要放缩得恰到好处„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（12）

2.1 调整放缩量的大小„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（12）2.2 限制放缩的项和次数„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（13）2.3 将不等式的一边分组进行放缩„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（14）总结„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（16）致谢„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（17）参考文献„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（18）

浅谈用放缩法证明不等式 2 浅谈用放缩法证明不等式

学生： 指导老师：

淮南师范学院数学与计算科学系

摘要：本文介绍了放缩法的基本概念, 在此基础上总结出增减放缩法、公式放缩法、利用函数的性质放缩和综合法等用放缩法证明不等式的常用技巧,以及数列不等式证明中放缩法的应用,并进而从三个方面阐述使用放缩法过程中如何使放缩适当的问题.这对证明不等式很有帮助。关键词：不等式;放缩法;技巧;适当

Proving the Inequity by Amplification and Minification

Student： Guide teacher：

Huainan Normal University Department of Mathematics

Abstract: This paper introduces the fundamental conception of the amplification and minification method.And on the basis of this, it sums up some commonly used skills: increasing or reducing some terms, using important inequality formula, using function properties, synthesis method, and the amplification method to demonstrate the sequence inequality.In addition, it describes how to make it appropriate in proving the inequality by the amplification and minification method from three aspects.They do much help to demonstrating inequality.Key words: inequality;amplification and minification;skill;appropriate

引 言

在证明不等式的过程中,我们的基本解题思路就是将不等式的一边通过若干次适当的恒等变形或不等变形(放大或缩小),根据等式的传递性①和不等式的传递性②逐步转化出另外一边.与等式的证明相比较,不等式的证明最大特色就是在变形过程中它有“不等的”变形,即对原式进行了“放大”或“缩小”.而这种对不等式进行不等变形,从而使不等式按同一方向变换,达到证明目的的特有技巧我们称之为放缩法.因其技巧性强,方法灵活多变,同学们一直较难掌握.想要很好的在不等式证明中运用放缩法,应当注意以下两点：掌握放缩法的一些常用策略和技巧；放缩法要放缩得恰到好处,才能达到证题的目的.本文着重就这两点举例加以说明.淮南师范学院2012届本科毕业论文 3 放缩法的常用技巧

1.1 增减放缩法

1.1.1 增加（减去）不等式中的一些正（负）项

在不等式的证明中常常用增加（减去）一些正(负)项,从而使不等式一边的各项之和变大(小),从而达到证明的目的.例1 设a,b,c都是正数,abbcca1,求证：abc3.证明：abc2a2b2c22ab2bc2ca

12ab2bcca3abbcca

223abbcca3

33abc3,当且仅当abc时取等号.1.1.2 增大（减小）不等式一边的所有项

将不等式一边的各项都增大或减小,从而达到放缩的目的.例2[1](02年全国卷理科第21题)设数列an满足an1an2nan1,且ann2n1,2,3,,求证：

11a111a211a311an12

证明：由an1an2nan1,得：an1anann1, ann2,an12an1,1an121an0, 11an111121an11,于是有：

1a211a311a421a111，12221a21111a111a1, 21a3123，浅谈用放缩法证明不等式 4 „„, 11an1112n121an111a1，111a111a211a31an111112n12221a1111n2121111a1132

1.1.3 增大（减小）不等式一边的部分项

在不等式的证明中,有时候增大或减小不等式一边的所有项会造成放缩过度,因此,在考虑这些问题时要根据题目的具体情况进行部分项的放缩.例3 求证证明：1221321421n2n22nnN，,n2.1n21nn121nn1121n1n11 122133,1314,,n121n11n.把以上（n-2）个不等式相加,得 1221321421n12121nn22n

1221321n2142n22n1n121n2

n22n故原不等式成立.1.1.4 增大（减小）分子或分母的值

增大或减小不等式一边分数中分子或分母的值,从而达到放缩目的.淮南师范学院2012届本科毕业论文 5 例4 求证9112512n12114nN.*证明：12k12191252k121114k(k1)111k1, 4kk12n12 1111111 4223nn11111,4n14

19125114.

即

1.2 公式放缩法

2n12即利用已有的大家熟悉的不等式来进行放缩,这里我们主要利用的是均值不等式1以及abamam,a,b,mR,ab,下面分别举例说明.1.2.1 均值不等式

例5 若nN,n1,求证：n!*2n12n1.62n证明：12nn22212nn1622，而1222n2 故n1222nn 即n!216nn1n2

n12n1

nn12n16 .例6 已知:Sn1223nn1

n均值不等式： a1a2ana1a2ann,aiRi1,2,n.浅谈用放缩法证明不等式 6 求证:证明:nnn12Snn122.nnnn1nn12 Sn1223nn1

 32522n12 nn12n122 又Sn1223nn1

12n 1.2.2 abamam,a,b,mR,abnn12



a1ab1bc1c.例7[4] 若正数a,b,c满足abc,求证：证明：abc,abc0;

c1ccabc1cabca

1abb1aba1ab1b，即原不等式成立.1.3 利用函数的性质

主要指利用函数的单调性和有界性来进行放缩.1.3.1 利用特殊函数的单调性

这里的特殊函数主要指一些已知单调性的函数,如指数函数和对数函数等.例8 求证：log23log34.证明：我们先给出常规解法；

log23log34lg3lg2lg4lg32lg3lg2lg4lg2lg322，lg2lg4lg8lg92lg2lg4lg3，222 淮南师范学院2012届本科毕业论文 7 log23log340,log23log34.另外,还有更简便的方法.log23log827log816log916log34.1.3.2 利用特殊函数的有界性

这里的特殊函数主要指一些大家熟知有界性的函数,如|sinx|1,|cosx|1,x20等.例9[5] 已知,为整数,并且,求证：

1sin21sin2sin222.证明： 0,0,，sin0,sin0,coscos1，1sin241sin22sinsin24coscos

1cossin22.(当且仅当时取等号).1.3.3 利用一般函数的性质

利用一般函数的单调性和有界性进行放缩.例10 求证a3时,证明：令fn1n11n11n21n213n113n12a5,nN.N，n1fn1fn213n213n33n41n1

3n13n23n40.fn1fn，fn是增函数,其最小值为f1,fnminf1

1213141312，浅谈用放缩法证明不等式 8 故对一切自然数,fn13121；

再由a3,知2a51,比较得： 当a3时，1n11n2xxa213n12a5,nN.例11 设定义在R上的函数fx的充要条件是a1.,求证：对任意的x,yR,|fxfy|1证明：利用求导数、均值不等式或判别式法均可求得：

fxmax12a,fxmin12a.根据fxmax1a12a,fxmin12a，得fxfy1a, ，即|fxfy|max 故对x,yR，1a|fxfy|1|fxfy|max1

1a1a1.例12 已知an1n1tn2t1,t[,2],Tn是an的前n2n项和

2求证:Tn2n2.证明:令ft1n1tn,则: 2tnn11n1 t2t ft令ft0,得t1.淮南师范学院2012届本科毕业论文 9 1 当2t1时, ft0；当1t2时, ft0;

12从而可知ft在[,1]上递减,在[1,2]上递增,故：

ftmaxmaxf,f22n2112n

ft2n即an2n12n12n ,n1,2,2n11112nTn2222222n11 211

22nn11n 21

22n1 22122n1

2 2n2n

1.4 综合法

对于比较复杂的不等式证明,有时需要综合以上两种放缩手法进行不止一次的放缩.例13(1985年高考题)证明：nn1n2[7]

nn12n1223nn1n122,nN

nn12 1223nn112n 而nn1nn12 ①

122232nn12 1223nn1

浅谈用放缩法证明不等式 10  32522n121232522n12 ②

12n1n122n122.在①中运用了增减放缩法,②运用了公式放缩法和增减放缩法.例14 数列an满足a11且an111n1 an2nnn21(Ⅰ)用数学归纳法证明an2n2；(Ⅱ)已知不等式ln1xx对x0成立.证明：(Ⅰ)用数学归纳法证明,略；(Ⅱ)用递推公式及(Ⅰ)的结论有 an11111a1an,n1 n2n2nnn2nn21 两边取对数并利用已知不等式得： lnan1ln11nn1nn1nn2221lnann212n

lnan

n lnan1lnan12,n1

上式从1到n1求和可得： lnan1lnan1121231nn11212212n1

11112231n12n111n11221n1n12

112

证明过程中分别运用了增减放缩法和利用特殊函数性质的放缩法.淮南师范学院2012届本科毕业论文 11 1.5 数列不等式的证明

在数列不等式的证明中,我们大量采用放缩法,在这里我们把它单独提出来说明.而这里的数列主要指“叠加”模型的数列不等式,可以利用放缩法对叠加的数列进行化简,从而达到证明的目的.这里“叠加”模型指的是形如：a1a2anfn,这里的也可以是、或.例15 已知n2,nN,证明

1221321n2n1n

证明：12211213211112；

1213

23；

„„ 1n21nn11n11n；

各式相加,得：

1221321n211nn1n*

例16 若Sn112131n,nN

求证：2n11Sn2n

证明：1k2k1kk2k2kkk12kk1

 又2kk12k1k

 当k1,2,3,,n1,n时, 221 232 „„

1112210

221



浅谈用放缩法证明不等式 12 2nn1 2n1n1n11n22n1n2

nn1

 将上式相加,得到：2n11Sn2n.在数列不等式的放缩中,放缩的主要目的是使不等式裂项相消,也可以组成等差、等比数列,利用公式求和,或者运用根式有理化后的放缩,探索n项相加的递推式,然后逐项相消.放缩法要放缩得恰到好处

2.1 调整放缩量的大小

放缩量的大小,即放缩的“精确度”,直接影响到是否能达到欲证明的目标.放大多少,缩小多少,把握“度”的火候,要因题适宜.例17 已知Sn1(Ⅰ)Sn12131n,求证：

n；

(Ⅱ)Sn2n11；(Ⅲ)Sn2n.证明：(Ⅰ)Sn11n12131n

1n 1n1nnn；

(Ⅱ)是(Ⅰ)的加强不等式,为此需调整放缩幅度, 1k22k22kk1k1

12k,k1,2,3,,n

 Sn1131n

淮南师范学院2012届本科毕业论文 13

22212322n1n

n11.(Ⅲ)改变放缩方向,故 1k22k22kk1

kk1,k1,2,3,,n

 Sn12212131n2

10212nn1

n.1n!2；(Ⅱ)

11!12!1n!74,nN.例18 求证(Ⅰ)1!112!证明：(Ⅰ)1n!1nn1n22112n112221

n3 12!21n1 左边1 212212312n1

(Ⅱ)是(Ⅰ)的加强不等式,将放缩间距调整小些,得到：

1n!1nn1n221123n2133321

n14 13!12 则左边123717 n2412342!1233123n2

2.2 限制放缩的项和次数

若对不等式中的每一项都进行放缩,很可能造成放得过大或缩得太小,若限制放缩

浅谈用放缩法证明不等式 14 的项,保留一些特定项不变,可以通过这样来调整放缩的“度”,逼近欲证明的目标,这与第一部分的1.1.3也是相通的.例19 求证1121221n261361nn3,nN.*证明：这是一个常见问题的改编题,我们先给出一般算法： 1121221n21121121n1231n1n

2 由21n61361n ,显然放得过大,要减少放大的项；

先试试减少一项： 1121221n21121221231341n1n

1  由 112111111142334n1n1n

74

741n61361n.再试试减少两项：

1121221n21221321341n1n

61361n

如此可得出,放缩时减少两项可以得到欲证目标.2.3 将不等式的一边分组进行放缩

把不等式的一边进行分组,将有关联的项放在一起进行放缩,不仅可以减少放缩的项,还可以有效地控制放缩的“度”,减少误差,并且更有方向性,尽量避免放缩的盲目性和随意性.例20 已知数列的通项公式是

an32

nn(Ⅰ)求证：当k为奇数时,1ak1ak143k1；

淮南师范学院2012届本科毕业论文 15(Ⅱ)求证：1a11a21an12nN.*证明：(Ⅰ)略

(Ⅱ)当n为偶数时, 1a11a21an11aa214321111 aaaa4n3n16  4344343n

1111n2321an11a2

当n为奇数时,因为1a11a21an1a10,则：

1an1an1

 11 a1a24321111aaa4an13n43n1434436

1213141111n12321210

例21 求证5证明：由于121312141215121610

21； 17141414141441；

„„ „„

1210129121912101111921； 99992222291 由1,将上面的不等式两边相加,得到：

12121312141210

10

又由于

；

浅谈用放缩法证明不等式 16 3114161417141814182181218；

1818412 51；

„„ „„

12191229121011 101010222291 将上面的不等式两边相加,得到：

12131412121012102912；

5131；

1210 于是,综上得到5

410.总 结

综上可知,放缩法的技巧千变万化,灵活多样.而事实上,放缩法贯穿于整个不等式的证明过程中,不等式证明的每一步几乎都与“放”与“缩”密切相关.在证明的过程中要注意几点：

(1)在放缩过程中不等号的方向必须一致；

(2)运算时要注意总结规律,有些不等式用特定的放缩方法可以使计算简便,而有些不等式可以用很多种方法解决；

(3)不等式的放缩法在不等式的证明中应用广泛,但是遇到具体题目时不能生搬硬套,必须根据实际情况考虑是用什么方法.另外,用放缩法证明不等式关键就是“度”的把握,如果放得过大或太小就会导致解题失败,而如果放缩不适当要学会调整,一些实用的技巧可以帮助我们把握放缩中的“度”,而具体怎样放缩才适度,需要我们在解题过程中去体会.放缩法有着高度的灵活性和极强的技巧性,放缩方法更是多种多样,要能恰到好处的想到具体解题中的放缩方法,需要积累一定的不等式知识,同时要求我们具有相当的数学思维能力和一定的解题智慧.淮南师范学院2012届本科毕业论文 17 致谢

感谢我的导师，她在我的论文写作过程中倾注了大量心血，从选题开始到开题报告，从写作提纲到一遍遍的指出稿中的具体问题，每一个工作她都做得那么的细致认真，她的严谨的态度和工作风深深的感动着每一个了解她的人。我还要感谢我的许多同学，他们在我的论文写作中给予了大量的支持和帮助，同学都对我的论文格式和内同的修改给予了大量的帮助，在此我也深深的感谢他们，同时我还要感谢在我大学学习期间给我极大关心和支持的各位老师同学还有朋友，感谢你们！感谢老师！

参考文献：

放缩法证明数列不等式经典例题 篇6

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如：

⑵将分子或分母放大（或缩小）a21a；n(n1)n

n(n1)n(n1)⑶利用基本不等式，如：lg3lg5(lg3lg52)lglglg4；

201n01⑷二项式放缩:2n(11)nCn,2nCnCnCnCnn1,22nC0C1C2nn22nn(n1)(n2)nnn2

(5)利用常用结论：

Ⅰ.的放缩

Ⅱ.1的放缩(1)：

k2111（程度大）2k(k1)kk(k1)

11111（程度小）()k1(k1)(k1)2k1k12Ⅲ.1 的放缩(2)：122kk

411（程度更小）Ⅳ.1的放缩(3)：

1222()k4k12k12k1k2

Ⅴ.分式放缩还可利用真（假）分数的性质:bbm(ba0,m0)和bbm(ab0,m0)

aamaam

记忆口诀“小者小,大者大”。解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之亦然.Ⅵ.构造函数法 构造单调函数实现放缩。例：f(x)x(x0)，从而实现利用函数单调性质的放缩：1x

f(ab)f(ab)。

一． 先求和再放缩

例1.an

1,前n项和为Sn，求证：sn1 n(n1)

例2.an(), 前n项和为Sn，求证：sn

13n1 2/ 6

二． 先放缩再求和

（一）放缩后裂项相消

例3．数列n，（二）放缩后转化为等比数列。{a}an(1)n11s2nn，其前n项和为sn，求证：2

2{b}b1,bb(n2)bn3 n1n1n例4.满足：

bnn

11111Tn...Tn3b13b23b33bn，求证：2（2）（1）用数学归纳法证明：

三、裂项放缩

例5.(1)求k1n24k21n的值;(2)求证:15.2k1k

3例6.(1)求证:1112235171(n2)

262(2n1)(2n1)

(2)求证:111111 2416364n24n

(3)求证：2(n11)11112(n11)

2n

例7.求证:6n111512(n1)(2n1)49n3

例8.已知an4n2n,Tn

2na1a2an,求证:TTTT3.123n

2四、分式放缩

姐妹不等式:bbm(ba0,m0)和bbm(ab0,m0)

aamaam

记忆口诀”小者小,大者大”

解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之亦然.例9.姐妹不等式:(11)(11)(11)(11)n1和

352n

111111也可以表示成为(1)(1)(1)(1)2462n2n1

2n1和135(2n1)2462n2n12462n135(2n1)

111例10.证明:(11)(1)(1)(1)3n1.473n

2五、均值不等式放缩

例11.设Sn23n(n1).求证n(n1)S2n(n1)

2.2

例12.已知函数f(x)

求证：f(1)11，a>0,b>0,若4，且f(x)在[0，1]上的最大值为，f(1)bx21a2

512n1f(2)f(n)n1.2六、二项式放缩

01n012n(11)nCn,2nCnCnCnCnn1, 22nC0C1C2nn22nn(n1)(n2)nnn

2例13.设n1,nN，求证(2)n38.(n1)(n2)

例14.an23n ,试证明：.n1111≤ 4n2a1a2an

4七、部分放缩(尾式放缩)

例15.求证: 1

1313211

32n11

47例16.设an1111,a2.求证：an2.ana2a

3八、函数放缩

例17.求证：ln2ln3ln4ln33n5n6(nN*).n23436n

2例18.求证:2,ln2ln3lnn2nn1(n2)23n2(n1)

例19.求证:111ln(n1)111 23n12n

九、借助数列递推关系例20.若a11,an1ann1,求证:1a1 112(n11)a2an

例21.求证:113135135(2n1)2242462462nn2

1十、分类放缩例22.求证:111231n