全等三角形的判定定理

全等三角形的判定定理（精选12篇）

全等三角形的判定定理 篇1

二、

全等三角形。 教学内容：探索三角形全等的判定（ASA，AAS），以及利用全等三角形证明。 学情分析：学生已经学习全等三角形的概念以及掌握了运用SSS与SAS来证明

教学目标： 三、

1、知识与技能：理解“角边角”、“角角边”判定三角形全等的方法；

2、过程与方法：经历探索“角边角”、“角角边“判定三角形全等的过程，能运用已学三角形判定方法解决实际问题；

3、情感态度与价值观：培养良好的集合推理意识，发张数学思维，感悟全等三角形的应用价值。

四、教学重、难点：

重点：掌握三角形全等的判定方法――“ASA”、“AAS”

难点：三角形全等判定“ASA”、“AAS”定理的应用。

五、

六、教学用具：电脑课件，三角板，纸片 教学过程：

（一） 创设情境

老师不小心将一个三角形玻璃打碎为两块，想要去商店配一块跟原来一样的三角形玻璃，要带两块去呢还是带一块就行了呢？如果带一块的话，要带那一块呢？

（引导学生思考，第一块不只能画一个三角形，第二块根据两边延伸只能确定一个三角形，所以只需要带第二块）

问：那我们从第二块玻璃可以得到关于三角形的什么信息呢？

学生答：两个角和一条边。

（此时教师应该强调是边是两个角的夹边）

师;那老师是不是可以不带然和一块玻璃，通过测量这两个角和它们的夹边就可以呢？我们根据这些信息买来的新三角形玻璃和原来的是不是就完全一样呢?也就是说，能不能通过“角边角“来判定两个三角形是否全等呢？

（二） 探究新知：

1、师：你们能画出两个内角分别是60°和45°它们的.夹边长是4cm的三角形吗？画完之后剪下来跟同桌比较一下，看有什么样的特点。（同时用几何画板演示）

2、师：这样我们就得到了证明三角形全等的另外一个判定定理，即“有两个角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等”，要注意的是这条边必须是两个角所夹的边，同时要注意这三个元素一定要是对应相等的。

3、给出两个全等三角形规范证明过程；

书写格式：

证明：

在△ABC和△DEF中 （指明范围）

因为 ∠A=∠D

全等三角形的判定定理 篇2

一、已知两角对应相等

思路1找已知两角的夹边对应相等,利用“ASA”说明.

思路2找其中一角的对边相等,利用“AAS”说明.

例1如图1,点D、E分别在线段AB,AC上,BE,CD相交于点O,且∠B = ∠C,要使△ABE≌△ACD,需添加一个条件是_______ ( 只要写一个条件) .

分析: 本题的关键是抓住题 中的∠B =∠C,以及∠A = ∠A这一隐含条件,再去根据两个思路寻找需添加的条件. 如: AB = AC( ASA) ,或AE = AD( AAS) ,或EB = DC( ASA) ,均可说明△ABE≌△ACD.

解: 添加AB = AC或AE = AD或EB = DC中的一个即可.

二、已知两边对应相等

思路1找已知两边的夹角对应相等,利用“SAS”说明.

思路2找第三边对应相等,利用“SSS”说明.

例2如图2,A、E、B、D在同一直线上,AB = DE,AC = DF,要使△ABC≌△DEF,需添加的一个条件是 ______,并说明理由.

分析: 本题的突破口是题中已经具备的两个条件,即AB = DE,AC = DF,这时只缺夹角对应相等 ( ∠A = ∠D) 或第三边对应相等( BC = EF) .

简解: 当填∠A = ∠D时,可根据“SAS”说明△ABC≌△DEF.

当填BC = EF时,可根据“SSS”说明△ABC≌△DEF.

三、已知一边和一角对应相等

1. 若已知的一边是已知角的对边,则找任一组角对应相等,利用“AAS”说明.

例3如图3,点B在AE上,∠C = ∠D,要使△ABC≌△ABD,可补充的一个条件是:______ ( 写一个即可) .

分析: 要使△ABC≌△ABD,看上去只具备∠C = ∠D一个条件,实质上还有一隐含条件AB = AB,可根据“AAS”补充∠CAB = ∠DAB或AE平分∠CAD或∠CBA = ∠DBA等. 因此本题的关键是寻找到隐含条件AB = AB.

解: 补充∠CAB = ∠DAB、AE平分∠CAD、∠CBA = ∠DBA中的任一个即可.

2. 若已知的一边与已知的一角相邻.

思路1找这个角的另一邻边对应相等,利用“SAS”说明.

思路2找这条边的另一邻角对应相等,利用“ASA”说明.

思路3找这条边所对的角对应相等,利用“AAS”说明.

例4如图4,已知AB⊥CF,DE⊥CF,垂足分别为B,E,AB = DE. 请添加一个适当条件______ ,使△ABC≌△DEF, 并说明理由.

分析: 本题的着眼点是要使△ABC≌△DEF,已经具备的条件是∠ABC = ∠DEF = 90°,AB = DE,需再添加一个角或一条边.

简解: 当填BC = EF( 或BF = CE) 时,可根据“SAS”说明△ABC≌△DEF;

当填∠A = ∠D时,可根据“ASA”说明△ABC≌△DEF;

当填∠C = ∠F,可根据“AAS”说明△ABC≌△DEF;

当填AC = DF,可根据“HL”说明△ABC≌△DEF.

求简思维：判定全等三角形的启示 篇3

在平面上取定不在同一直线上的三个点的位置，以它们为顶点，一定能画出三角形，并且只能画出一个三角形.这说明一个三角形的形状和大小可以由三个顶点的相对位置唯一确定.因此，要考虑两个三角形是否全等，只要考虑它们各自顶点之间相对位置是否相同.要描述顶点之间的相对位置，必然涉及顶点之间的距离和方向，这就启发人们借助三角形的边和角寻找三角形全等的判定条件.

苏科版八年级数学教材的1.3节（第13页）就从“尺规作图”出发带领同学们作图、归纳出一些具有决定意义的元素，比如“边角边”（SAS）、“角边角”（ASA）和“边边边”（SSS）这三个最基本的三角形全等判定条件.说它们是“最基本的”，是因为其他判定条件可以由它们推导出来.比如，结合三角形内角和定理容易说明“角角边（AAS）”也是真命题，也可以作为判定依据.下面我们把常见的判定两个三角形全等的思路整理如下，启发同学们思考.

情形（一） 已知一边及与其相邻的一个内角对应相等

判断三角形全等的公理中边和角相邻的有SAS、ASA、AAS，所以可以从三个方面进行考虑：

小结一下，全等三角形是沟通线段、角相等的重要工具，然而人们不愿意反复确认6个元素的对应相等，想“偷懒”的求简思维促使我们归纳出几个基本的判定方法，这里体现的“求简思维”“经济化”也是数学的重要特点，值得同学们体会.

全等三角形的判定教学反思 篇4

店垭中心学校

李祖莲

本节课探索三角形全等的判定方法二，是后面几种判定方法的基础，也是本章的重点也是难点。备课时发现本节课的难点就是处理从确定一个三角形到得到三角形全等的判定方法这个环节，让学生动手操作和学生相互交流验证很好地解决了问题，圆满地完成本节课的教学任务。

反思整个过程，我觉得做得较为成功的有以下几个方面：

1、教学设计整体化，内容生活化。在课题的引入方面，让学生动手做、裁剪三角形。既提问复习了全等三角形的定义、性质、判定一，又很好的过度到确定一个三角形需要哪些条件的问题上来。把知识不知不觉地体现出来，学得自然新鲜。数学学习来源于生活实际，学生带着悬念学得轻松有趣。

2、把课堂充分地让给了学生。我和学生做了些课前交流，临上课前我先对他们提了四个要求：认真听讲，积极思考，大胆尝试，踊跃发言，加分激励。其实，这是一个调动学生积极性，同时也是激励彼此的过程。在上课过程中，我尽量不做过多的讲解，通过引导让学生发现问题并通过动手操作、交流讨论来解决问题。

3、在难点的突破上取得了成功。上这堂课前，我一直担心学生在得出三角形全等的判定方法上出现理解困难。课堂上我通过让学生动手制作两个三角形形状和大小完全相同，即三角形都全等，最后同学们都不约而同地得出了三角形全等的判定方法二。

但也有几处是值得思考和在以后教学中应该改进的地方：

1、在课堂上优等生急着演示、发言，后进生却成了观众和听众。如何做到面向全体，人人学有所得，也值得我来探讨。

2、课堂学生的操作应努力做到学生自发生成的，而不是老师说“你们比较下三角形的形状和大小”，应换为自发地比较更好。

3、教学细节需进一步改进，教学时应多关注学生，在学习新知后，虽然大部分的学生都掌握了，但有少数后进生仍然是不理解。

三角形全等的判定教案(二) 篇5

（二）教学目标

1．三角形全等的“边角边”的条件．

2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、•归纳获得数学结论的过程．

3．能运用“SＡS”证明简单的三角形全等问题．

教学重点

三角形全等的条件．

教学难点

寻求三角形全等的条件．

教学过程

一、复习提问

1．怎样的两个三角形是全等三角形？

2．全等三角形的性质？

3．三角形全等的判定Ⅰ的内容是什么？

二、导入新课

1．三角形全等的判定

（二）(1)我们已经知道三条边对应相等的两个三角形全等，那么除此之外还有没有其它方法可以判定两个三角形全等？我们来看下面的问题：

如图2，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，△ABO和△CDO是否能完全重合呢？

不难看出，这两个三角形有三对元素是相等的：

AO＝CO，∠AOB＝∠COD，BO＝DO．

如果把△OAB绕着O点顺时针方向旋转，因为OA＝OC，所以可以使OA与OC重合；又因为∠AOB ＝∠COD，OB＝OD，所以点B与点D重合．这样△ABO与△CDO就完全重合．

从上面的例子可以引起我们猜想：如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等．

2．上述猜想是否正确呢？不妨作如下的实验：

画一个△A＇B＇C＇，使A＇B＇= AB，A＇C＇= AC，∠A＇=∠A

①画∠DAE＝∠A；

②在射线A＇D上截取 A＇B＇= AB，在射线A＇E上截取A＇C＇= AC；

③连结B＇C＇．

把画好的△A＇B＇C＇剪下后可以发现它能与ΔABC完全重合，这样我们就有：

3．边角边公理．

有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS”)

三、随堂练习

1．填空：

(1)如图3，已知AD∥BC，AD＝CB，要用边角边公理证明△ABC≌△CDA，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD＝CB(已知)，二是___________；还需要一个条件_____________(这个条件可以证得吗？)．

(2)如图4，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，要用边角边公理证明△ABD≌ACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：_________________________(这个条件可以证得吗？)．

2、已知：AB＝AC、AD＝AE、∠1＝∠2(图4)．求证：△ABD≌△ACE．

四、探究：

学生讨论，教师归纳

可通过画图来回答这个问题，如图，图中ΔABD与ΔABC满足两边及其中一边的对角对应相等，但显然这两个三角形不全等

这说明有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等

五、小 结：

1．根据边角边公理判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三个条件．

全等三角形的判定定理 篇6

三角形的初步知识

1.5三角形全等的判定

第2课时

用两边夹角关系判定三角形全等

1.掌握三角形全等（SAS）的判定方法。

2.理解线段的中垂线概念，掌握线段的中垂线性质。

3.会运用三角形全等的判定方法、线段的中垂线性质，解决两条线段相等、两个角相等的问题.两个三角形全等（SAS）的判定条件.线段的中垂线性质的应用.教室的钢窗，开窗时，随着∠ABC的大小改变，开窗的大小也随之改变。由于∠ABC的大小在改变，问：△ABC的的形状能固定吗？

1.画三角形

让我们动手做一做：用量角器和刻度尺画△ABC，使AB=4Cm,BC=6Cm，∠ABC=60⁰。要求学生把图画在透明纸上。

2.合作交流，得出结论

教师在巡视中，有五分之四以上学生画好后，要求学生将你画好的三角

形和其它同学画的三角形，重叠上去，它们能互相重合吗？使学生有感性认识，再由全等形的概念知：得到书本P.23的结论。

例1：例题讲解，P.23例3

分析:

在△AOB和△COD中:

已有哪些已知条件?OA=OC，OB=OD。根据三角形的判定方法，还需要什么条件？

∠AOB=∠COD或AB=DC，选哪一个好？∠AOB=∠COD。

而AB=DC，在两个三角形不全等的情况下，根据已有的条件，AB=DC吗？不可能。

教师板书解题过程，学生填写（）的理由。

通过本节课的学习，谈谈你的收获。

1.我们已学习了

三角形全等的两个判定方法：SSS、SAS。

2.线段的中垂线

概念及性

质。

全等三角形的判定定理 篇7

大家好！我说课的内容是新人教版八年级上册第十二章第二节《全等三角形的判定》，下面我从教材分析、教学目标、重点难点、教法学法、教学过程等几个方面对本节课进行分析说明。

一、教材分析：

《全等三角形的判定》是八年级上册的内容，本节是三角形全等判定的第一课，主要讲的是如何利用“边边边”的条件证明两个三角形全等。

本节课的内容是在学习了全等三角形的概念、全等三角形的性质后展开的，是证明两个三角形全等的重要方法之一。它不仅是学习后面知识的基础，而且也是证明线段相等、角相等的重要依据，学生只有很好的掌握了全等三角形的判定方法，并且能灵活地运用它，才能为以后学习《四边形》、《圆》等知识打下良好的基础。

二、教学目标： 【知识与技能】

掌握“边边边”条件的内容，并能初步应用“边边边”条件判定两个三角形全 等，会作一个角等于已知角。【过程与方法】

使学生经历探索三角形全等的过程，体验用操作、归纳得出数学结论的过程。【情感、态度与价值观】

通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探索的良好品质以及发现问题的能力。

三、教学重难点：

教学重点：“边边边”条件。

教学难点：探索三角形全等的条件。

四、教法、学法分析：（1）教法分析

„„边边边‟‟是一个公理，因此在探究三角形全等条件的新课阶段以启发谈话法为主，通过提出问题，引导学生探讨问题和解决问题，始终让学生参与整个问题的“发生”和“解决”过程，让学生真正的去实践探索，从而掌握知识培养学生探索问题的能力，激发学生的求知欲。

（2）学法分析

在整个的教学过程中注重学生自主活动，合作交流，让学生的学习在探究的过程中进行，使他们在自主探究的过程中理解和掌握三角形全等的条件，同时注意精选习题，做多种形式的练习，在教学中力争把学生思维展开，注重培养学生的思维能力。

五、教学过程

关于本节课的教学过程我设计了如下六个环节：

1、复习引入

2、新课讲解

3、例题训练

4、反馈练习

5、课堂小结

6、布置作业。

(一)复习引入

让学生回忆上一节所讲的全等三角形的定义及其性质，从而得出结论：全等三角形的对应边相等，对应角相等。反之，这六个元素分别相等，这样的两个三角形一定全等。

【回忆旧知识，为探索三角形的全等条件做准备】

(二).讲授新课（首先提出问题）

1、两个三角形全等是不是一定要六个条件呢？若满足这六个条件中的一个、两个或三个条件它们是否全等呢？

组织学生进行讨论交流，经过学生逐步分析，各种情况逐渐明朗，汇总归纳，对学生的良好表现进行鼓励。【使学生产生浓厚的兴趣，激发他们的探究欲望】

然后引导学生按条件画三角形（只满足六个条件中的一个或两个），通过画一画，剪一剪，比一比的方式得出结论：两个三角形若满足六个条件中的一个或两个条件是不能保证两个三角形一定全等的。

（接着提出问题）

2、两个三角形若满足这六个条件中的三个条件能保证它们全等吗？满足三个条件有几种情形呢？

由学生分组讨论、交流，最后教师总结，得出可分为四种情况，即三边对应相等、三角对应相等、两边一角对应相等、两角一边对应相等。告诉学生这一节先探究两个三角形满足三角相等和三条边相等时，两个三角形是否全等？当三组角对应相等时两个三角形全等么?学生会很容易举出例子说明两个三角形不一定全等。（插视频）

3、那么，当三边对应相等时两个三角形全等么？

对于此问题我是这样引导学生探究的，先任意画一个△ABC，再画△A‟B‟C‟，使A‟B‟=AB，B‟C‟=BC，C‟A‟=CA（在画图中，教师可以先让学生试着画图，再让学生发现存在的问题，最后给出正确的画法）把画好的三角形剪下，进行对比，比较它们全等吗？（幻灯片）

通过比较得出结论：三边分别相等的两个三角形全等。强调简写方法：“边边边”或 “SSS”

【学生通过动手操作，自主探索、交流，获得新知，增强了动手能力，同时也渗透了分类的思想】

(三)例题训练：

讲解例1时首先要给学生指出证题的思路“要证明△ABD≌△ACD可以看这两个三角形的三条边是否对应相等，而由已知条件可知AB=AC，图中又有公共边AD=AD，关键是第三对边BD、CD是否相等，由D是BC中点可知BD=CD，从而找全三个条件。然后教师给出规范的证明格式。并且通过此题给学生总结证明三角形全等的书写步骤。

例2是做一个角等于已知角，先引导学生交流画法，教师参与学生的活动，并适时给与指导，不断地调动学生的学习积极性。鼓励学生交流解决问题的方法。

明确做一个角等于已知角的依据是利用SSS构造全等三角形。

(四)反馈练习：

为了检测学生对本节课的内容掌握情况，我设计了反馈练习，学生独立完成，教师评析，对其中出现的问题及时纠正。

(五)课堂小结：

回顾反思本节课对知识的研究探索过程，小结方法及结论，提炼数学思想，掌握数学规律。

进一步明确：三边分别相等的两个三角形全等。

(六)布置作业

全等三角形的判定定理 篇8

（二）林东第六中学初二数学备课组

教学目标

1．三角形全等的“边角边”的条件．

2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、•归纳获得数学结论的过程．

3．掌握三角形全等的“SAS”条件，了解三角形的稳定性． 4．能运用“SAS”证明简单的三角形全等问题． 教学重点

三角形全等的条件． 教学难点

寻求三角形全等的条件． 教学过程

一、创设情境，复习提问

1．怎样的两个三角形是全等三角形？ 2．全等三角形的性质？

3．指出图中各对全等三角形的对应边和对应角，并说明通过怎样的变换能使它们完全重合：

图(1)中：△ABD≌△ACE，AB与AC是对应边； 图(2)中：△ABC≌△AED，AD与AC是对应边． ４．三角形全等的判定Ⅰ的内容是什么？

二、导入新课

1．三角形全等的判定

（二）(1)全等三角形具有“对应边相等、对应角相等”的性质．那么，怎样才能判定两个三角形全等呢？也就是说，具备什么条件的两个三角形能全等？是否需要已知“三条边相等和三个角对应相等”？现在我们用图形变换的方法研究下面的问题：

如图2，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，△ABO和△CDO是否能完全重合呢？

不难看出，这两个三角形有三对元素是相等的： AO＝CO，∠AOB＝ ∠COD，BO＝DO．

如果把△OAB绕着O点顺时针方向旋转，因为OA＝OC，所以可以使OA与OC重合；又因为∠AOB ＝∠COD，OB＝OD，所以点B与点D重合．这样△ABO与△CDO就完全重合．

(此外，还可以图1(1)中的△ACE绕着点A逆时针方向旋转∠CAB的度数，也将与△ABD重合．图1(2)中的△ABC绕着点A旋转，使AB与AE重合，再把△ADE沿着AE(AB)翻折180°．两个三角形也可重合)由此，我们得到启发：判定两个三角形全等，不需要三条边对应相等和三个角对应相等．而且，从上面的例子可以引起我们猜想：如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等． 2．上述猜想是否正确呢？不妨按上述条件画图并作如下的实验：(1)读句画图： ①画∠DAE＝45°，②在AD、AE上分别取 B、C，使 AB＝3.1cm，AC＝2.8cm． ③连结BC，得△ABC．④按上述画法再画一个△A＇B＇C＇．

(2)把△A＇B＇C＇剪下来放到△ABC上，观察△A＇B＇C＇与△ABC是否能够完全重合？ 3．边角边公理．

有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS”)

三、例题与练习1．填空：

(1)如图3，已知AD∥BC，AD＝CB，要用边角边公理证明△ABC≌△CDA，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD＝CB(已知)，二是___________；还需要一个条件_____________(这个条件可以证得吗？)．

(2)如图4，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，要用边角边公理证明△ABD≌ACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：_________________________(这个条件可以证得吗？)．

2、例1 已知：

AD∥BC，AD＝ CB(图3)．

求证：△ADC≌△CBA．

问题：如果把图3中的△ADC沿着CA方向平移到△ADF的位置(如图5)，那么要证明△ADF≌ △CEB，除了AD∥BC、AD＝CB的条件外，还需要一个什么条件(AF＝ CE或AE ＝CF)？怎样证明呢？

例

2已知：AB＝AC、AD＝AE、∠1＝∠2(图4)．求证：△ABD≌△ACE．

四、小

结：

1．根据边角边公理判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三个条件．

2．找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件(包括给出图形中的隐含条件，如公共边、公共角等)，并要善于运用学过的定义、公理、定理．

五、作

业：

全等三角形的判定定理 篇9

一、教学目的和要求

熟练掌握角边角公理，能正确找出公理的条件，从而证明两个三角形全等，进而由三角形全等还可以得出对应边相等和对应角相等。利用三角形全等解决证明边相等或角相等的问题。

二、教学重点和难点

重点：对于证明两个三角形全等条件的正确运用，可以由两角和夹边对应相等的条件证明三角形全等，在图形较复杂的情况下，对应关系应当找对，同时对角角边公理应加以重视。

难点：例题难度加强了，使学生能够经过几步推理逐渐找到解题最佳途径。证明两次全等，运用不同判定公理时，要思路清楚。

二、教学过程

(一)复习、引入

提问：

1.我们已经学习了角边角公理，“角、边、角”的含义是什么？

（两个三角形的两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等）。

2.已知两个三角形有两个角相等，能否推出第三个角也对应相等？为什么？由此可以得到哪个判定公理？

（第三个角也应相等，因为三角形内角和等于180，由此可以得到角角边公理）。

3.两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个三角形全等吗？为什么？

（全等，由AAS公理可得出）

4.两个直角三角形中，有一条直角边和它的对角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？

（全等，由AAS公理可得出）

5.两个直角三角形中，有一条直角边和与它相邻的锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？

（全等，由AAS公理可得出）

(二)新课

刚才同学们能很快运用ASA和AAS公理证明三角形全等，但是有些题目的条件比较隐蔽，需经过分析方能找到解题的思路，这类题目能锻炼同学们的思维能力，请特别注意，下面我们看几个例题：

例1 已知：如图67，1＝2，AD＝AE

求证：OB＝OC

A D 1 2 E O B C

分析：这题与书中例1图相同，但改变了已知条件，难度有所增加，所求线段OB和OC分别在BOD和COE中，但直接证这两个三角形全等，条件不够，需要从另两个三角形全等中创造条件。根据已知条件，可证明ABE  ACD。

证明：

在ABE和ACD中 AA(公共角)

AEAD(已知)

21(已知)图67

ABE  ACD（ASA）

AB＝AC（全等三角形对应边相等）

B＝C（全等三角形对应边相等）

又∵AD＝AE（已知）

BDCE

1＝2

BDO＝CEO

在BOD和COE中 BDO＝CEO(已证)

BDCE(已证)

BC(已证)

BOD  COE（ASA）

OB＝OC（全等三角形对应边相等）

例2 已知：如图68，1＝2，3＝4

求证：ADC＝BCD。

D C 3 4 1 2 A B 图68

分析：所要求证相等的两个角分别在两个三角形中，即ACD和BDC中，欲让此两三角形全等有已知3＝4，这时可有两种思路：若用边角边公理，则应找到AD＝BC，AC＝BD，若用角边角公理则应证出AC＝BD，ACD＝BDC，经过分析，用第一种思路较好。

证明：∵1＝2，3＝4

1＋3＝2＋4

即BAD＝ABC

在ABD和BAC中 21(已知)

ABBA(公共边)

BADABC(已证)

ABD  BAC(ASA)

AD＝BC，BD＝AC（全等三角形对应边相等）

在ADC和BCD中 ADBC(已知)

34(已证)

ACBD(已证)

ADC  BCD(SAS)

ADC＝BCD（全等三角形对应角相等）

例3 已知：如图69，AB//CD，AB＝CD，AD、CB交于O点。

求证：OE＝OF。

C E D O A E B 图69

分析：此题可以开发学生一题多解的思维，即COD与BOA全等既可以用“AAS”，又可以用“ASA”，进一步再证OCF  OBE即可。

证明：∵AB//CD（已知）

C＝B，D＝A（两直线平行内错角相等）

在OCD和OBA中 CB(已证)

CDBA(已知)

DA(已证)

OCD  OBA（ASA）

此时可提问学生：还有没有其他办法证这两个三角形全等？

OC＝OB（全等三角形对应边相等）

在OCF和OBE中

CB(已证)

OCOB(已证)

FOCEOB(对顶角相等)

OCF  OBE（ASA）

OF＝OE（全等三角形对应边相等）

例4 已知：如图70，在ABC中，ADBC于D，CFAB于F，AD与CF相交于G，且CG＝AB。

求证：BCA的度数。

A F G B D C 图70

分析：图形比较复杂，图中三角形较多，正确分析已知条件后可知应当证明AB和CG所在的三角形，即ABD和CGD全等，然后可知对应边AD＝DC，则ADC为等腰直角三角形，BCA＝45。

证明：∵ADBC，CFAB

B＋BAD＝B＋DCG＝90（直角三角形两个锐角互余）

BAD＝DCG

在BAD和GCD中

BADDCG(已证)

ADBCDG(垂直定义)

ABCG(已知)

BAD  GCD(AAS)

AD＝CD（全等三角形对应边相等）

∵RtADC中

BCA＝45(三)巩固练习

1.已知：如图71，1＝2，C＝D

求证：AC＝AD。

D A 1 B 2 C 图71

2.已知：如图72，点B、F、C、E同在一条直线上，FB＝CE，AF＝DC，AFB＝DCE。

求证：AB＝DE；AC＝DF。

A B F C E D 图72

(四)小结

1.三角形全等公理2与推论有同等重要的地位，应牢记。只要两个三角形有两个角和一条边对应相等，就可以证出全等三角形，但对应关系应当找对，不能一个三角形是AAS，而另一个三角形是ASA。

2.在求边相等或角相等的题目中，应首先观察所要求证相等的边或角在哪两个三角形中，若直接用三角形全等，条件不够，则应当考虑先证其他三角形全等，得出所需的条件，因而可以解决问题，也就是要证两次全等的类型题目。

(五)作业

1.已知：如图73，ABC中，N是AB中点，BCMN是平行四边形

求证：AP＝PC。

A N P M B C 图73

2.已知：如图74，ABC中，BDAC，CEAB

垂足分别是D、E。ABC＝ACB，BD和CE相交于O。

求证：OD＝OE。

A E D B C 图74

3.已知：如图75，点E、F在BC上，BE＝CF。

AB＝DC，B＝C，AF和DE相交成60角，且AF、DE相交于O点，求：DFE和AFE的度数。

A D O B E F C 图75

答案及揭示

巩固练习

1.证明：在ABD和ABC中 12(已知)

ABAB(公共边)

DC(已知)

ABD  ABC（ASA）

AC＝AD（全等三角形对应边相等）

2.证明：在ABF和DEC中 FBCE(已知)

AFBDCE(已知)

AFDC(已知)

ABF  DEC（SAS）

ABDE（全等三角形对应边相等）

B＝E（全等三角形对应角相等）

BF＋FC＝EC＋FC（等量加等量和相等）

在ABC和CEF中

ABDE(已证)

BE(已证)

BCFE(已证)

ABC  DEF（SAS）

AC＝DF（全等三角形对应边相等）

作业：

1.证明：∵N是AB中点

AN＝BN（中点定义）

∵BCMN是平行四边形

BN＝CM＝AN

∵AB//MC（平行四边形对边平行）

ANP＝M（两直线平行内错角相等）

在ANP和CMP中

ANPM(已证)

ANCM(已证)

APNCPM(对顶角相等)

ANP  CMP（AAS）

AP＝PC（全等三角形对应边相等）

2.证明：∵BDAC，CEAB（已知）

BEC＝CDB（直角定义）

在BCD和CBE中 BECCDB(已证)

ABCACB(已知)

BCBC(公共边)

BCD  CBE（AAS）

BE＝CD（全等三角形对应边相等）

在OBE和OCD中

BEOCDO(已证)

EOBDOC(对顶角相等)

BECD(已证)

OBE  OCD（AAS）

OD＝OE（全等三角形对应边相等）

3.解：∵BE＝CF（已知）

BE＋EF＝FC＋EF（等量加等量和相等）

即BF=CE

在ABF＝DCE中 ABDC(已知)

BC(已知)

BFCE(已证)

ABF  DCF（SAS）AFEDEC（全等三角形对应边相等）

全等三角形的判定定理 篇10

根据《课标》要求，针对八年级学生的认知结构和心理特征，以及他们的学习基础，本节教学设计以问题为主线，活动为载体，在不破损学科知识的科学性、系统性的前提下，对教科书相关内容进行了适当整编重组形成具有一定层次的问题序列，并通过“我回顾，我思考”“我探索，我发现”“我掌握，我应用”“我收获，我总结”“我实践，我提高”这五项活动既暗示本节教学思路，又体现“我学习我做主”。

具体体现如下：

一是在复习回顾，引入新课环节做的很实在，不做花架子。如图，在RtABc中，∠B=90°和RtDEF中，∠E=90°，要使ABcDEF，还需要添加哪些条件？你的依据是什么？

此题属于开放性试题，旨在通过此次的解决来复习回顾三角形全等的判定方法，说明所有判定方法都适合直角三角形全等的判定，同时，激发探究欲望，明确探究方向，引入课题。在具体处理的过程中，学生根据已有经验添加条件后，教师适时引导总结属于添加的是：“两条直角边分别相等”、“一锐角和一直角边别相等”，还是“一锐角和斜边分别相等”，至此，教师适时抛出问题：既然直角三角形是特殊的三角形，那它有没有特殊的判定方法就是这节课要探讨的课题，显得的水到渠成。

二是在诱导尝试，探索发现环节。通过学生独立画图、裁剪、比较、总结、归纳的过程，体会判定两个直角三角形全等的简便方法——“斜边、直角边”的形成过程。在这一流程中，学生画图操作处理的很不到位。一方面，在读题并简单分析已知条件后，学生便开始动手画图，居多的学生画出了所要的三角形，但是，上黑板的学生只画了一部分，待另一学生起来回答又出现错误（利用角边角画）时，教师发现了问题所在是没有审清题意，这时又回头看题后，起来回答作图的学生接连出了错误，教师便直接给出答案，代替学生回答。这一处理，显得很是急躁，急于得出结果。另一方面，体现出教师教学机智不灵活，就是担心上不完而急于推进。事实上，追求高效的同时，有时候让课堂慢下来特别重要。

三是在变式练习的处理过程中，发现变式题的设置有重复现象，备课需要再细致。

相似三角形的判定定理 篇11

(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 (简叙为两角对应相等两三角形相似).

(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似 (简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似.) (3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似 (简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似.)

(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等(或三个角分别对应相等)，则有两个三角形相似

相似三角形的判定定理及练习 篇12

(一)相似三角形

1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形. 2、相似三角形对应边的比叫做相似比.

3、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似. 强调：

①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE;

②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理.它不但本身有着广泛的

应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”; ③有了预备定理后，在解题时不但要想到 “见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”.

(二)相似三角形的判定

1、相似三角形的判定：

判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。 例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE.

例2、如图，E、F分别是△ABC的边BC上的点，DE∥AB,DF∥AC , 求证：△ABC∽△DEF.

B

E

F

D

A

判定定理2：如果三角形的两组对应边的.比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似. 例1、△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD?AB，那么△ACD与△ABC相似吗?说说你的理由.

例2、如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形。 (1)当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB? (2)当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数。

判定定理3：如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

简单说成：三边对应成比例，两三角形相似.

强调：

①有平行线时，用预备定理;

②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理1或判定定理2;

③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3.但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等.

2、直角三角形相似的判定：

斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似.

例1、已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点.求证：△ADQ∽△QCP.

例2、如图,AB⊥BD,CD⊥BD,P为BD上一动点,AB=60 cm,CD=40 cm,BD=140 cm,当P点在BD上由B点向D点运动时,PB的长满足什么条件,可以使图中的两个三角形相似?请说明理由

.

例3、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，

EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。

求证：(1)△AME∽△NMD (2)ND2=NC〃NB

强调：

①由于直角三角形有一个角为直角，因此，在判定两个直角三角形相似时，只需再找一对对应角相等，用判定定理1，或两条直角边对应成比例，用判定定理2，一般不用判定定理3判定两个直角三角形相似;

②如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为“母子相似三角形”，其应用较为广泛.(直角三角形被斜边上的高分成的两个直三角形的与原三角形相似)

③如图，可简单记为：在Rt△ABC中，CD⊥AB，则△ABC∽△CBD∽△ACD. ④补充射影定理。

(1) 如图：称为“平行线型”的相似三角形

B

C

E

(2)如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形。

A

E

1

B

DC

B

A

4

D

E

DC

A

B

C

A

EDE

(3)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。

B

C

二、例题分析

1、下列说法不正确的是( )

A、两对应角相等的三角形是相似三角形; B、两对应边成比例的三角形是相似三角形; C、三边对应成比例的三角形是相似三角形; D、以上有两个说法是正确。 A 2、如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形有( )

D A、2对 B、3对 C、4对 D、5对 E

3、如图，若P为△ABC的边AB上一点(AB>AC)，则下列条件不一定能保证△

ACP的有( ) A、∠ACP=∠B B、∠APC=∠ACB C

、AC?AP D、PC?AC

ABACBCAB

C

4、如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论：①BC=2DE;②△ADE∽△ABC;ADAB

?③;其中正确的有 ( ) AEAC

A、3个 B、2个 C、1个 D、5、如图AD⊥AB于D，CE⊥AB于E交AB于F 6、小明的身高是1.6m，他的影长为2m，同一时刻教学楼的影长为24m，则教学楼的高是

;

7、已知AD为Rt△ABC斜边BC上的高，且AB=15cm，BD=9cm，则AD= ，CD= 。

8、如图四，在平行四边形ABCD中，AB = 4cm ,AD = 7cm , ∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF = _________cm

9、已知:如图,ΔABC中,AD=DB,∠1=∠2.求证:ΔABC∽ΔEAD.

C

10、已知，如图，D为△ABC内一点，连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=

∠BAD

求证：△DBE∽△ABC

11、已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BCD A

D

CB

12、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形?请证明你的结论。

A

D

E13、如图10，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、

CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N. 求证：(1)AE?CG;(2)AN?DN?CN?MN. 14、已知如图，∠A=90°，D是AB上任意一点，BE⊥BC，∠BCE=∠DCA，EF⊥AB， 求证：AD=BF

B

F

C

15、有一块三角形的土地，它的底边BC=100米，高AH=80米。某单位要沿着地边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC上。若大楼的宽是40米(即DE=40米)，求这个矩形的面积。

△BBCEECABCD中，?BAD?32和H°，分别以BC、CD为边向外作△DCFF

，使BE?BCDF，DC?EBC，?CDF??.延长AB交边EC于点H，点H在E、C两点之间，连结AE、AF. (1)求证：△ABE≌△FDA.