平行四边形的应用证明

平行四边形的应用证明

平行四边形的应用证明 篇1

1.如图，□ABCD中，AE、CF分别与直线DB 相交于E和F,且AE//CF, 求证：CE//AF.C

A

2..如图，□ABCD中，BM垂直AC于M,DN垂直AC于N, 求证：四边形BMDN是平行四边形。

C

A

3.如图，□ABCD中，点M、N是对角线AC上的点，且AM=CN,DE=BF,求证：四边形MFNE是平行四边形。

E

C

A

4.如图，AB、CD相交于点O,AC//DB,AO=BO,E、F分别为OC、OD的中点，连接AF、BE,求证：AF//BE.A

C

D

5.在四边形ABCD中，AB//CD,对角线AC、BD交于点O，EF过O交AB于E，交CD于F，且OE=OF，求证，ABCD是平行四边形。

D

B

6.如图，过□ABCD对角线的交点O作直线EF交AD、BC分别于E、F，又G、H分别为OB、OD的中点，求证：四边形EHFG为平行四边形。

AE

D

B

7.如图，在□ABCD中，E、F、G、H分别是四条边上的点，且满足BE=DF,CG=AH,连接EF、GH。求证：EF与GH互相平分。

AF

DB

E

8.如图，以△ABC的三条边为边向BC的同一侧作等边△ABP、等边△ACQ，等边△BCR，求证：四边形PAQR为平行四边形。

P

Q

9.如图所示，平行四边形ABCD中，BC=2AB，AF=AB=BE，且点E、F在直线AB上，求EOF的度数．C

F

A B

平行四边形的应用证明 篇2

1 中点用于平行问题的证明

在立体几何的平行证明问题中若出现了中点的已知条件，这时我们应特别留意这一条件，因为它往往是解决本题的关键.在立体几何中若能利用好中点，平行问题的证明将会变得更具特征性，其遵循的原理即为若知一中点，即想办法找出另一个中点，那常常应注意能否应用三角形中位线、梯形中线等来证明线线平行，使之能利用中位线性质，从而得到两直线平行或平行四边形，进而可以证明线面平行的问题，从而达到证明线面的平行关系.

例1如图1，已知S是△ABC所在平面外一点，O是边AC的中点，点P是SA的中点，求证：SC∥平面BOP.

分析要证SC∥平面BOP，根据线面平行的判定定理，应证线线平行，即要证SC平行平面BOP内的一条直线.

证明因为P为AS中点，O为AS中点，所以PO为△ASC的中位线，所以PO∥SC，即SC∥PO.又SC平面BOP，PO平面BOP，所以SC∥平面BOP.

例2如图2，PA⊥平面AC，四边形ABCD是矩形，E，F分别是AB，PD的中点，求证：AF∥平面PCE.

分析要证明AF∥平面PCE，根据线面平行的判定定理，应证线线平行，即在平面PCE内找一条直线与AF平行.

证明取PC中点K，连结EK，FK.因为F为PD中点，在△PCD中，KF是△PCD的中位线，所以KF∥CD，KF=CD.

又E为AB中点，四边形ABCD是矩形，所以AE∥CD，AE=CD，所以KF瓛AE，四边形AEKF为平行四边形，AF∥EK.

又AF平面PCE，EK⊂平面PCE，所以AF∥平面PCE.

本例条件中已经告知E，F分别为AB，PD中点这一重要信息，这一重要信息如何用上呢?由于AB，PD为两条异面直线，不能直接将现有中点连接构成三角形中位线，所以需另觅中点，当再添加PC的中点K，就会使所求证的问题出现了例1中的应用三角形中位线的情况.在△PCD中即可应用中位线定理得到KF∥CD且KF=CD这一重要桥梁信息，进而可证得四边形AEKF为平行四边形，由平行四边形的性质可得到线线平行的结论.

例3如图3，在底面是菱形的四棱锥P-ABCE中，点E是PD的中点，求证：PB∥平面EAC.

分析要证明线面平行，很自然就会想着证明线线平行，而题中已知条件有点E是PD中点，若能出现第二个中点，即可以转化为前例中三角形中位线的问题，所证问题即可迎刃而解.

证明如图3，连结BD交AC于点O，连结EO.因为四边形ABCD为菱形，所以O为PD中点.又E是PD的中点，在△DPB中，EO是△DPB的中位线，所以EO∥PB.

又EO平面EAC，PB平面EAC，所以PB∥平面EAC.

本例通过连结BD交AC于点O，巧妙地构造出第二个中点，结合条件中的E是PD的中点，这就出现了三角形中两边中点问题，利用三角形中位线定理就可轻松地把问题解决.

2 中点用于垂直问题的证明

在立体几何的有关垂直问题的证明中，常见的是以证明线线垂直，线面垂直和面面垂直的题型为主，究其规律，该类垂直问题常由线线垂直证得线面垂直，由线面垂直进而证得面面垂直，这证明思路源于证明垂直问题的判定定理和垂直的定义.当题目中给出中点或在一个三角形中有两边相等时，利用好中点往往是解题的关键.

例4如图4，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外的一点，P在平面ABC内的射影为BF的中点O，求证：PA⊥BF.

分析PA，BF为两条异面直线，要证明线线垂直，不能直接证得，唯有通过线面垂直证得线线垂直.即证明PA垂直BF所在的平面或证明BF垂直PA所在的平面来实现.

证明连结AO.因为AF=AB，O为BF的中点，所以AO⊥BF即BF⊥AO.

又O为P在平面ABC内的射影，所以PO⊥BF，即BF⊥PO.

又AO∩PO=O, AO, PO⊂平面PAO, 所以BF⊥平面PAO.

又PA⊂平面PAO，所以BF⊥PA，即PA⊥BF.

上例通过证明BF⊥平面PAO，进而证明了PA⊥BF，而这一证明过程中用了O为BF的中点，且AF与AB相等这一重要条件，而当连结AO时，由等腰三角形底边上的中线也为底边上的高这一结论可知有BF⊥AO，即得到了线线垂直.从而得到了证明本题的关键.

例5如图5，在三棱锥P-ABC中，AB=AC, PB=PC, 求证:PA⊥BC.

分析要证明PA⊥BC，即证明线线垂直，可证明PA垂直BC所在的平面或证明BC垂直PA所在的平面，本题有AB=AC，PB=PC两个等腰三角形，若能用好等腰三角形三线合一的性质便可使求证的问题得到解决.

证明取BC中点O，连结AO，PO.

因为AB=AC，PB=PC，O为BC中点，所以BC⊥AO，BC⊥PO.

又AO∩PO=O, AO, PO平面PAO, 所以BC⊥平面PAO.而PA平面PAO, 所以BC⊥PA, 即PA⊥BC.

本例关键是取BC的中点，由等腰三角形底边上的中点引出线线垂直，进而证得了线面垂直.

例6如图6，三棱锥P-ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC，求证：AB⊥BC.

分析本题要证明的AB⊥BC是同一个平面内的两条直线，结合题中所给出的条件，想通过证明线面垂直来证明，这显然是走不通的，但它有条件PA=PB=PC，即它的突破点依旧是中点问题，这缘于有等腰三角形的出现.

证明如图6，取AC中点O，连结PO，BO.因为PA=PC，所以PO⊥AC.

又侧面PAC⊥底面ABC，PO⊥底面ABC，所以OB为PB在底面ABC的射影.

又PA=PB=PC，所以OA=OB=OC，即OB=AC.所以AC为直角三角形ABC的斜边，所以AB⊥BC.

要证明线线垂直，当两直线为共面直线，又无法用线面垂直进行证明时，应积极寻求其他的垂直证明依据，而出现有等腰三角形时，关注这个三角形底边上的中点常会使求证问题得到突破.

例7如图7，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E，F分别为CD，PB的中点，求证：EF⊥平面PAB.

分析欲证线面垂直，应证线线垂直，即证EF⊥平面PAB内的两条相交线.

证明如图7，取PA中点O，连结DO，FO.因为AD=PD，所以OD⊥PA.

又底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.

又PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AB，即AB⊥PD.

又PD∩AD=D，PD，AD平面PAD，所以AB⊥平面PAD.

又OD⊂平面PAD，所以AB⊥OD，即OD⊥AB.

又AB∩PA=A，AB，PA⊂平面PAB，所以OD⊥平面PAB.

又E，F分别为CD，PB的中点，所以ED

所以四边形EFOD为平行四边形，所以EF∥OD，所以EF⊥平面PAB.

本题是一道比较抽象的线面垂直证明题，从题中已知条件是无法直接证明EF⊥平面PAB，证明的突破口出现在等腰三角形PDA与已知条件中的E，F分别为CD，PB的中点的这两个条件上，总之还是由中点问题进行求证的突破，从而使求证得以证明.由此可见中点问题在立体几何证明问题应用中的重要性.

由于知识的不断深化，立体几何的证明问题将会有越来越多的变式题，但不论其如何变化，我们都可以通过对已知条件进行整理，最后回归到我们所常见的、基本的题型进行寻求解答.

参考文献

[1]王申怀.高中数学必修2 (A版) [M].北京:人民教育出版社, 2008.

[2]王林全.中学数学思想方法概论[M].广州:暨南大学出版社, 2003.

[3]陈德崇.中学数学教学论[M].广州:广东高等教育出版社, 1995.

[4]王金贵.怎样解题[M].北京:北京教育出版社, 2005.

[5]李玉琪.简明数学方法论[M].北京:科学技术文献出版社, 1994.

“三法”证明线面平行 篇3

一、由线线平行证明线面平行

证明线面平行最基本的方法是根据线面平行的判定定理，即证平面外的直线与平面内的一条直线平行.此种方法的关键是找到平面内的一条直线与此直线平行，即证线线平行，经常应用到的结论有：（1）三角形的中位线平行于第三边；（2）同旁内角互补、同位角相等、内错角相等的两直线平行；（3）垂直于同一直线的两条直线平行；（4）平行四边形的对边相等且平行；（5）如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.

点评：本题中要证BE∥面PAD，可考虑在平面PAD中寻找一条直线与BE平行，根据条件中的线段关系考虑构造平行四边形解决.

二、由面面平行证明线面平行

在证明线面平行时，若根据判断定理不容易证明，可考虑通过证明面面平行，达到证明线面平行的目的.

点评：要证明BM∥平面AEF，在平面AEF中不容易找到一条直线与BM平行，但根据条件易证明PM∥平面AEF，PB∥平面AEF.从而得到面面平行，根据面面平行的性质，易得线面平行.

三、法向量法

由平面的法向量可知，如果直线与平面的法向量垂直，且直线在平面外，则直线与平面平行，当题目中的条件有利于建立直角坐标系，且用以上两种方法不易证明时，可考虑建立直角坐标系，利用法向量求解.

所以PQ∥平面BMN.

点评：本题具备了建立直角坐标系的条件，且点的坐标易求，故考虑利用法向量证明线面平行，应注意最后必须写明PQ平面BMN.

（责任编辑钟伟芳）endprint

平行关系是几何中一种常见的位置关系，其包括线线平行、线面平行及面面平行三种类型.其中线面平行是三种平行关系中最为常见的一种，是高中数学的必修内容，它既与线线平行相关，又与面面平行有一定的联系，是三种平行关系中极为重要的一种.在2013年的高考中，有一半的试卷涉及线面平行的证明，下面以题为例研究线面平行的证明方法，寻找此类题的解题规律.

一、由线线平行证明线面平行

证明线面平行最基本的方法是根据线面平行的判定定理，即证平面外的直线与平面内的一条直线平行.此种方法的关键是找到平面内的一条直线与此直线平行，即证线线平行，经常应用到的结论有：（1）三角形的中位线平行于第三边；（2）同旁内角互补、同位角相等、内错角相等的两直线平行；（3）垂直于同一直线的两条直线平行；（4）平行四边形的对边相等且平行；（5）如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.

点评：本题中要证BE∥面PAD，可考虑在平面PAD中寻找一条直线与BE平行，根据条件中的线段关系考虑构造平行四边形解决.

二、由面面平行证明线面平行

在证明线面平行时，若根据判断定理不容易证明，可考虑通过证明面面平行，达到证明线面平行的目的.

点评：要证明BM∥平面AEF，在平面AEF中不容易找到一条直线与BM平行，但根据条件易证明PM∥平面AEF，PB∥平面AEF.从而得到面面平行，根据面面平行的性质，易得线面平行.

三、法向量法

由平面的法向量可知，如果直线与平面的法向量垂直，且直线在平面外，则直线与平面平行，当题目中的条件有利于建立直角坐标系，且用以上两种方法不易证明时，可考虑建立直角坐标系，利用法向量求解.

所以PQ∥平面BMN.

点评：本题具备了建立直角坐标系的条件，且点的坐标易求，故考虑利用法向量证明线面平行，应注意最后必须写明PQ平面BMN.

（责任编辑钟伟芳）endprint

平行关系是几何中一种常见的位置关系，其包括线线平行、线面平行及面面平行三种类型.其中线面平行是三种平行关系中最为常见的一种，是高中数学的必修内容，它既与线线平行相关，又与面面平行有一定的联系，是三种平行关系中极为重要的一种.在2013年的高考中，有一半的试卷涉及线面平行的证明，下面以题为例研究线面平行的证明方法，寻找此类题的解题规律.

一、由线线平行证明线面平行

证明线面平行最基本的方法是根据线面平行的判定定理，即证平面外的直线与平面内的一条直线平行.此种方法的关键是找到平面内的一条直线与此直线平行，即证线线平行，经常应用到的结论有：（1）三角形的中位线平行于第三边；（2）同旁内角互补、同位角相等、内错角相等的两直线平行；（3）垂直于同一直线的两条直线平行；（4）平行四边形的对边相等且平行；（5）如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.

点评：本题中要证BE∥面PAD，可考虑在平面PAD中寻找一条直线与BE平行，根据条件中的线段关系考虑构造平行四边形解决.

二、由面面平行证明线面平行

在证明线面平行时，若根据判断定理不容易证明，可考虑通过证明面面平行，达到证明线面平行的目的.

点评：要证明BM∥平面AEF，在平面AEF中不容易找到一条直线与BM平行，但根据条件易证明PM∥平面AEF，PB∥平面AEF.从而得到面面平行，根据面面平行的性质，易得线面平行.

三、法向量法

由平面的法向量可知，如果直线与平面的法向量垂直，且直线在平面外，则直线与平面平行，当题目中的条件有利于建立直角坐标系，且用以上两种方法不易证明时，可考虑建立直角坐标系，利用法向量求解.

所以PQ∥平面BMN.

点评：本题具备了建立直角坐标系的条件，且点的坐标易求，故考虑利用法向量证明线面平行，应注意最后必须写明PQ平面BMN.

证明平行四边形 篇4

（三）平行四边形导纲

一、引入：

平行四边形的定义：

A

平行四边形定义的应用：B⑴∵AB∥CD，AD∥BC

∴四边形ABCD是⑵∵四边形ABCD是平行四边形 ∴

二、自主探究：

证明：平行四边形的对边相等，对角相等。已知： □ABCD（如图）

求证:AB=CD,BC=DA;∠B=∠D,∠BAD=∠DCB 证明：∵四边形ABCD是平行四边形

∴

D

AB

D

三、性质应用：.在□ABCD中，已知∠A =32。，求其余三个角的度数 解：∵四边形ABCD是平行四边形∴

D

2.已知在□ ABCD中AB=6cm,BC=4cm,求□ ABCD 的周长。解：∵四边形ABCD是平行四边形∴

3.连结AC，已知□ABCD的周长等于20 cm，AC=7 cm，求△ABC的周长。

C

B

A

四、小组合作探究：

证明：平行四边形的对角线互相平分

五．总结性质：

A D

D

B

C

六、巩固练习：

1.已知O是□ ABCD的对角线交点，AC=10cm，BD=18cm，AD=•12cm，则△BOC•的周长是_______

2.如图所示，平行四边形ABCD的对角线相交于O点，且AB≠BC，过O点作OE⊥AC，交BC于E，如果△ABE的周长为b，则平行四边形ABCD的周长是（）。

A.b B.1.5bC.2bD.3b

AD

BEC

七、学以致用：

证明:夹在两条平行线间的平行线段相等。

八、巩固练习：

1、已知：如图平行四边形ABCD，E,F是直线BD上的两点，且∠E= ∠F。求证：AE=CFC2、已知：如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O,过点O的直线与AD,BC分别相交

于点E,F.D 求证:OE=OF.B

F

九、自我检测：

1.在□ABCD中，∠A= 50 ，则∠°

2.如果□ABCD中，∠A+∠C=240°，则∠°

3.如果□ABCD的周长为28cm，且AB：BC=2∶5，那么，cm，cm，．

3、已知:如图,AC,BD是□ABCD的两条对角线,且AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,求证:AE=CF.B

十、能力提高：

4、已知:在□ABCD中,点E,F在对角线AC上,且AF=CE.D

线段BE与DF之间有什么关系?请证明你的结论.A

证明三平行四边形 篇5

（三）3.1平行四边形（2）

课型：新授课

教学目标：

1．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力。

2．能运用综合法证明平行四边形的判定定理。

3．感悟在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法。

教学重点：掌握证明平行四边形的方法。

教学难点：运用综合法证明问题的思路。

教法及学法指导：本科采取讲练结合的方法，在教学中主要以学生进行探索、猜测、合作、交流、质疑等基本的数学方法去发现问题、提出问题、解决问题的基本策略。充分显示以学生为主，教师为主导的思想。

课前准备

教具：教材、尺规、课件

学具：教材、尺规、练习

教学过程：

一、复习回顾

师：上节课我们学习了平行四边形的性质和梯形的相关性质，谁能来说一下平行四边形的相关性质？

生：平行四边形的性质

定理1:平行四边形的对边平行.(由定义得)

定理2:平行四边形的对边相等.定理3:平行四边形的对角相等.定理4:平行四边形的对角线互相平分.师：那同学们还记不记得平行四边形的判定呢？

生：平行四边形的判定有4条两组对边分别平行的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

师：很好。那有没有同学能够从命题的角度指出到这四条判定的相同和不同之处？

生：这4个命题是平行四边形性质的逆命题。

生：他们都是真命题。

生：我们特别关注第一条，它是平行四边形的定义，既是平行四边形的判定，又

包含着平行四边形的性质，这是它与其它3条不同的地方。

师：大家刚才的发言都非常好，我补充一点第一条的特殊性决定了它是不需要证

明的。其它三条的正确性是需要我们证明的。

生：原来数学这么严密、只会用是不行的，还必须知道为什么。师：很好的体会，今天我们就来解决这个问题。

师：下面请同学们充分发挥你自己的聪明才智和团队的力量，去寻找解决问题的策略，或者找到解决问题路上的“坎儿”。

【设计意图】充分调动学生的积极性，使他们能够在自己已经构建的知识结构基础上，提出符合其个人认知层次的问题，从而为本节课找到了较为符合学生已有的知识建构良好的切入点。二 合作探究

师：我们知道任何一个命题都由“条件”“结论”两部分构成，比如下面这个命

题：

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 条件和结论分别是什么？ 生：“一组对边平行且相等”是它的条件，而“四边形是平行四边形”就是结 师：虽然能够找到“条件和要解决的问题”但是它不象我们以前解决过的问题有

图形。没有图形对我们解决问题有影响吗？

生：那一组平行且相等的边没有标记，会导致我们没有办法写

过程，就算我们根据题意自己构造了下面这个四边形，哪一组

对边是命题里说的那一组？你知道吗？难道能随便选择一组对边就可以？

师：看来上一组同学的问题（找不到已知条件）已经解决了。对于这一小组同学的问题那些同学可以发表一下自己的见解？ 生：我们也不确定．．．．．．

师：那好，每一组同学分成两部分，一部分选择ＡＢ，ＣＤ为“平行且相等的对

边”另一组同学选择ＢＣ，ＤＡ为“平行且相等的对边”看看我们能不能完成对

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 这个命题的证明。

生：我们选择“ＡＢ，ＣＤ为“平行且相等的对边””

这样命题就变成了

已知：“四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ//ＣＤ且ＡＢ＝ＣＤ，求证：四边形ＡＢＣＤ是平行四边形”（在老师的帮助下写已知，求证和证明）证明：连接ＢＤ

∵ＡＢ//CD

∴ ∠ ABD=∠CDB

又∵ＡＢ＝ＣＤ，ＢＤ＝ＢＤ∴△ＡＤＢ≌△ＣＢＤ∴∠ＡＤＢ＝∠ＣＢＤ∴ＣＢ//ＡＤ

∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形。

生：老师他们的这个题目连接ＡＣ也可以用同样的方法证明。

师：很好，我们不仅解决了这个问题，同学们的思路也很开阔，能从不同的角度

对这个问题加以验证。那选择“选择ＢＣ，ＤＡ为“平行且相等的对边””的同学得到结论了吗？

生：我们选择“ＢＣ，ＤＡ为“平行且相等的对边”” 这样命题

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形就变成了

已知：“四边形ＡＢＣＤ中，ＢＣ//ＤＡ且ＢＣ＝ＤＡ

求证：四边形ＡＢＣＤ是平行四边形”（学生模仿上面的自己写找一个同学到黑

板上板书证明）证明：连接ＢＤ∵ＢＣ//ＤＡ∴ ∠ ＣBD＝∠ＡDB

又∵ＢＣ＝ＤＡ，ＢＤ＝ＢＤ∴△ＣＤＢ≌△ＡＢＤ∴∠ＡＢＤ＝∠ＣＤＢ

∴ＡＢ//ＣＤ

∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形。

我们也可以连接ＡＣ再证明。

三 精讲点拨 师：我们一块来看一下黑板上的同学做的对不对？大家有没有发现这两道证明题都是通过做什么来完成的？ 生：辅助线

师：很好，做完辅助线会构造三角形然后你会想到什么？ 生：证明三角形全等。师：大家太棒了。下面我们大家自主来完成这一个判别方法的证明做完后同位之间互相检查。

两组对边分别相等的四边形是平行四边形已知：四边形ＡＢＣＤ中ＡＢ＝ＣＤ，ＢＣ＝ＡＤ求证：四边形ＡＢＣＤ是平行四边形证明：连接ＢＤ

∵ＡＢ＝ＣＤ，ＢＣ＝ＡＤ又∵ＢＤ＝ＢＤ∴△ＡＤＢ≌△ＣＢＤ∴∠ＡＢＤ＝∠ＣＤＢ∠ＡＤＢ＝∠ＣＢＤ∴ＡＢ//ＣＤ，ＢＣ//ＡＤ∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形。

同理我们也可以连接ＡＣ来证明。

师：这位同学对于基本的证明命题的思路已经掌握得比较好。那还有没有不同的思路？

生：老师我们也可以连接ＡＣ来证明

师：当然可以，大家在观察一下这个证明与证明一组对边平行且相等的四边形是

平行四边形思路有什么相似之处么？

生：只要将刚才的思路稍加改动就可以得到另外一种思路

师：我们已经证明了两个定理，根据大家掌握的方法快速把两条对角线互相平分的四边形是平行四边形这个定理在练习本上证明一下

【设计意图】将已证明的定理可以拿来使用来证明其他命题.由于前面对于证明的完成度较高，内容讲授较为丰富，所以对最后一条判定定理，教师在黑板给出

图例，学生口述完成即可.四 应用提高，深化体会

师：下面我们来处理一些具体问题 已知:如图

求证:四边形MNOP是平行四边形生１展示其证明过程： 证明:

(x-3）—（x—5）=4x=8 MN=5=PO PM=3=ON

∴四边形MNOP是平行四边形.师：还有不同的思路吗？ 生２展示其证明过程： 证明：

(x-3）2—（x—5）2=42 x=8 PM=11-8=3 PM2+MO2=PO2 PMO=90 PM//ON 且ON=8-5=

3四边形MNOP是平行四边形.分析证明过程：

我们还可以在得知ｘ＝８以后，证明△ＭＰＯ≌△ＯＮＭ，从而得到内错角

相等，利用两组对边分别平行得证。

【设计意图】这是课本做一做的一道题目，本题综合运用勾股定理、方程、平行四边形的判定定理进行计算推理.在做本题的过程中可以鼓励完成速度较快和完成度较高的同学尝试用多种做法.五 课堂小结：

师：刚才大家的分析都非常好。下面我们总结一下本节课

生：学习了证明平行四边形的判定定理同时也学会了应用 师：那么大家一块来检测一下自己 六 达标检测

（1）不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A.AB＝CD，AD＝BCB.AB＝CD，AB∥CDC.AB＝CD，AD∥BCD.AB∥CD，AD∥BC

（2）如图5，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两点，要使四边形AECF是平行四边形，则应添加的条件是.（添加一个条件即可）

D

图6

图

（3）已知：如图6，在平行四边形ABCD中，BF＝DE.求证：四边形AFCE是平行四边形.七 课堂作业

基础作业：P88，习题3.2：12

八 板书设计

九 教学反思:

平行四边形证明题练习 篇6

1、如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC，BF⊥AC，DE=BF，且∠ADB=∠DBC.求证：四边形ABCD是平行四边形.2、如图2，E、F、G、H

分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.HD

CFB3、如图，□ABCD中，点E、F分别在CD、AB上，DF∥BE，EF交BD于点O，求证EO=FO.4、如图，在□ABCD中，点E是AD的中点，BE的延长线与CD的延长线交于点F.（1）求证：△ABE≌△DFE；

平行四边形的应用证明 篇7

1. 教学内容。北师大版《义务教育教育教科书·数学》八年级上册第七章平行线的证明第2节定义与命题第一课时。

2. 内容解读。本节课是在学习了为什么要证明的基础上进行的, 学生在感受到了生活中证明的必要性后就要学习证明的方法和依据, 而定义就是证明的基本依据, 而且通过定义和命题能体会到许多的判断“可以证明”, 也为下一步的“怎样证明”做好铺垫。同时, 本节课是一节概念性的课, 是下一步进行规范证明的起点, 为培养学生的观察能力、逻辑思维能力、归纳演绎能力和创新应用能力打下基础。

3. 教学目标。

(1) 从具体实例中, 探索出定义, 并了解定义在现实生活中的重要性。

(2) 从具体实例中, 了解命题的概念和结构特征, 并会区分真、假命题。

(3) 通过从具体举例中提炼数学概念, 体会数学与实际生活的联系, 感受数学来源于生活, 并服务于生活。

4.教学重点。

命题的概念。

5.教学难点。

命题的结构特征及真假命题的判断。

6.教学过程。

(1) 创设情境、引入新课。

教师 :大家好, 很高兴能有机会和大家一起参加本次活动, 作为东道主, 希望同学们能用良好的表现, 向全省各地的专家、老师展示我们的风采, 有没有信心?

学生 :有。 (声音不是太响亮)

教师 :看来同学们还是有点紧张。没关系, 下面我们先来放松一下 : (课件展示幻灯片2——赵本山的小品 :“昨天、今天、明天”的视频内容) (约1分钟)

设计意图 :通过小品中的“包袱”让学生放松心情的同时又能直观感受对名称、术语不同认识所产生的差异, 激发学生的学习兴趣, 唤起他们的好奇心与求知欲 ;同时还可以体现定义对于生活的重要性。

(学生观看视频, 并有笑声。)

教师 :大家感觉到好笑的原因是什么?秋波是那样解释的吗?

学生 :秋波不是这样解释的。

学生 :不是, 解释是错误的。

教师 :我们的艺术家通过对“秋波”的一个完全不同的认识达到了逗大家笑的目的。其实生活中这样是事情非常多, 对同一名称、术语不同的认识就可能产生误会、笑话, 有时也对我们的交流产生障碍, 而要避免这样的问题, 就需要我们对同一名称、术语有相同的认识, 那你能说一下怎样认识下面的术语吗? (课件展示幻灯片3)

(学生口答内容, 并互相补充。)

(教师在学生回答的同时展示正确的解释。)

设计意图 :在小品的基础上对常见名称、术语进行准确的解释, 为引入“定义”做了充足的铺垫。

点评 :本环节通过创设轻松诙谐的小品这一特定情境, 引出“秋波”一词, 一方面缓解了刚开始时紧张的课堂气氛, 另一方面, 利用“秋波”这一熟悉的名词, 给出另类的解释, 让学生既觉得可笑, 又有所期待, 为下面“定义”的引出作下铺垫。

(2) 自主交流、合作探究。

【合作探究一】定义的概念 :

教师 :同学们说的不错, 那大家想一下, 我们在描述名称或术语的含义时, 最重要的是什么?

(学生思考并给出不同的回答。)

教师 :下面我们来举个例子, 现在请我们班“聪明”的同学站起来。

教师 : (稍等一会发现没有同学站起) 看来同学们都很谦虚, 没关系, 你不好意思夸自己聪明, 那你能告诉我其他同学谁聪明吗?

学生 :还是没有答案。

教师 :怎么还没答案呢?

学生 :不好说。

教师 :为什么?

学生 :不好确定。

教师 :看来我们同学找到原因了, 我们不好确定哪些同学是“聪明”人的原因是 :我们不知道聪明的标准。实际上我们有时做不到是因为我们对它的描述不准确、不清晰。因此我们对名称、术语的描述要清晰准确。 (课件展示幻灯片4) 同时板书课题——7.2定义。

设计意图 :通过对“聪明”的定义让学生体会下定义时清晰、准确的必要性, 更好理解定义的概念和要求。

教师 :我们举几个例子来看一下。 (课件动画展示)

试一试 :

教师 :你能说一说学过哪些定义? (课件展示幻灯片5)

(学生分小组举例回答。)

教师 :我给大家两个定义。 (动画展示线段、三角形及其定义) 你还能再举几个例子吗?

(学生思考并回答, 没有主动举手的) 。

教师 :看来学的越多, 越不好想, 那就由我来给大家举几个例子, 请同学们来说一说它们的定义。

学生 :……

教师 :原来我们不知不觉中学了这么多的定义, 对于这么多的定义你到底掌握的怎么样呢? 我们来考察一下。 (课件展示幻灯片6)

(学生结合所学知识给出答案并相互完善, 同时利用动画效果逐个展示相关的定义。)

设计意图 :在例题的基础上理解定义, 同时通过学生的合作探究进一步体会、理解定义, 让学生充分地参与到知识的探究过程中, 真正地让学生成为知识探究、生成过程中的主体。

想一想 :

教师 :看来同学们对定义的认识比较深刻, 我们学习了这么多的定义, 那么请大家思考一下 :我们学习定义有什么意义呢?

(学生先思考, 然后小组交流。)

(教师根据学生的回答, 及时引导学生总结定义的意义。)

师生总结学习定义的必要性 :

(1) 定义是严密的表述, 可以规范我们对事或物的认识。

(2) 定义是证明的重要依据。比如依据“垂直”的定义, 可以得出两条直线所成的角90°, 反过来如果两条直线相交构成的角中有90°的角, 我们就可以判定这两条直线互相垂直。

设计意图 :通过对学习定义的必要性这一问题的提出和分析进行探究, 让学生在已有的直接经验和间接经验的基础上认识学习的意义, 培养学生归纳总结的能力。

点评 :教师巧设“聪明”一词, 充分调动学生参与的积极性, 同时也切实体会下“定义”时清晰、准确的必要性, 自然得出什么是“定义”, 接着教师示范典型的“定义”样式, 鼓励学生回顾已学过的一些定义, 加深对“定义”的理解, 最后师生共同总结学习“定义”的意义, 教师的语言幽默, 学生主动参与的积极性高涨。

【合作探究二】命题的概念 :

教师 :当然, 生活的需要判断的事非常多, 我们也经常会做出判断, 比如…… (课件展示幻灯片7)

教师 :这三句话对两条线段的长短做出了判定吗?

学生 :做出了判定。

教师 :好, 下面我们再来看几个句子。 (课件展示幻灯片8)

(学生小组内讨论并回答。)

教师 :学生回答后课件展示结果并与学生总结给出命题的定义 :一般地, 对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。 (动画展示同时板书课题——7.2定义与命题)

教师 :我们发现 : (1) (3) (6) (7) 都做出了判断, 它们都是命题, 而 (2) (4) (5) 没有做出判断, 所以它们不是命题。

设计意图 :从学生对命题的认识的实际情况和例题出发, 引导学生通过思考、探索交流获得数学的基础知识和基本活动经验促使学生主动地、富有个性地学习, 不断提高发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力。

教师 :我们知道了命题的定义, 下面我们就来检验一下, 看看同学们是不是真的理解了。 (课件展示幻灯片9)

(学生回答并总结分析。)

教师 :同学们的判断都非常准确, 那么你认为判断一个句子是不是命题的关键是什么?

学生 :看是否做出了判断。

(教师在学生回答的同时展示 :“特别关注——是不是命题的关键是 :是否做出了判断。”)

设计意图 :本环节中通过练习, 强化学生对知识的理解, 同时培养学生对知识的应用意识。对是不是命题的关键的思考, 调动学生参与教学的同时, 深化对知识的理解, 同时又培养了学生的归纳总结的能力。

教师 :我们找到了判断是不是命题的关键, 就抓住了命题的本质, 不过作为命题来讲, 既然我们要对一件事或物要做出判断, 那么肯定要在一定的条件下进行, 而且还要得到一个结论。 (通过语速的快慢和停顿, 引导学生说出“条件”和“结论”。) 比如 :两直线平行, 同位角相等。 (动画展示) 引导学生分析命题的结构特征。

教师 :通过分析我们很清晰地看到, 每个命题都有条件和结论两部分构成, 那就请同学们参照上面的特征说出下列命题的条件和结论。 (课件展示幻灯片11)

(学生小组内讨论、分析并给出答案。)

(教师在学生解答的过程中利用动画效果逐步分析 :“对顶角相等”这一命题的条件和结论。同时将“对顶角相等”转化为“如果……那么……”的形式。) (课件展示幻灯片12)

教师 :对顶角相等判断的结果是什么?

学生 :相等。 (动画展示)

教师 :谁相等?

学生 :角相等。 (动画展示)

教师 :几个角? 一个?

学生 :两个角。 (动画展示)

教师 :两个什么角?

学生 :对顶角。 (动画展示)

教师 :句子的转化感觉有点别扭, 怎么办?

学生 :可以补充完整。 (动画展示)

教师 :很好, 我们补充完整将这句话改写为 :如果两个角是对顶角, 那么这两个角相等。 (动画展示)

教师 :你能找到这个命题的条件和结论吗?

学生 : (口答) 条件是 :两个角是对顶角, 结论是 :这两个角相等。

注意 :在上述的过程中, 师生问答的过程中, 利用动画效果逐步展示清晰体现命题结构的分析过程。

设计意图 :在对命题有一定理解的基础上, 利用课件的动画效果直观的分析、展示命题的结构特征。同时通过问题作为引导, 注重启发学生积极思考, 从而调动学生的思维活动, 让学生参与到知识的生成过程中, 在学会结论的同时, 清晰地感受学习的过程, 让学生成为学习过程的主体。

教师 :你能用这种方法将第 (4) 个命题转化成“如果……那么……”的形式吗?

(学生动手写成转化的结果, 并分析命题的结构特征。同时教师课件动画效果展示分析过程。)

教师 :这样分析后同学们能不能清晰地理解命题的结构特征呢?

学生 :能。

教师 :将命题改写成什么样的结果可以清晰体现命题的条件和结论。

学生 :写成“如果……那么……。

教师 :这样行不行呢? 我们来验证一下。 (课件展示幻灯片13)

(学生思考、交流并回答。)

教师 :看来同学们对命题的结构特征掌握的非常好准确, 只要你能将其写成“如果……那么……”的形式, 就能准确地找到对应的条件和结论。

设计意图 :练习的设置让对命题的结构特征有更好地认识, 在理解的基础上, 学会应用知识进行分析和解决问题, 强化了学生应用意识的培养。

点评 :教师没有直接给出“命题”的定义, 而是通过引导学生观察和判断一系列问题, 直观感知有些语句“作出了判断”, 而有些语句“没有作出判断”, 从而得出了“命题”的定义。接着教师抓住命题需要“作出判断”, 从而自然引出“判断需要条件”, “判断后定能得出一结论”, 让学生对“条件”、“结论”的认识水到渠成。最后, 通过层层递进的设问, 让学生在答疑的同时体会了寻找“条件、结论”的方法, 这样的师生互动紧张而又激情四射。

【合作探究三】真、假命题的概念 :

教师 :我们找到了条件和结论, 那么同学们考虑一下, 基于条件得到的结论是不是正确呢?

学生 :不一定。 (思考后交流、回答)

教师 :也就是说, 我们做出的判断可能是正确的, 也可能是错误的。你能结合这4个命题说一下吗?

注意 :引导学生分析错误的判断, 并用举反例的方法说明命题是错误的。同时结合命题 (2) 、 (4) 强调列举的反例要做到 :符合命题的条件, 但是得到的结论与命题不相同。

设计意图 :在巩固命题结构特征的基础上, 发现命题中的判断有正确的, 有错误的, 从而为下面的“真、假命题”做好铺垫。

教师 :据此可知, 一个命题有正确和不正确的之分。 (课件展示幻灯片14)

教师 :提出问题 :怎样判断命题的真假?

学生 :思考并讨论。

学生 :可以举一个反例来证明。 (动画展示)

教师 :我们总结的方法对不对呢? 下面就让我们来试一试。 (课件展示幻灯片15)

(学生思考后回答问题并说明理由。)

(教师在学生回答的同时动画展示答案, 同时强调可以通过举反例的方法说明一个命题是错误的是假命题。)

设计意图 :练习的设置使得学生学习知识的环节趋于完整, 掌握知识的同时, 强调对知识的灵活运用。

点评 :既然是人为判断, 就难免有错误, 自然引出命题的真与假, “真的”不言而喻, “假的”可以借助“举反例”来证明。

(3) 归纳总结、拓展升华。

教师 :学完了真假命题, 我们这节课的内容也就学完了, 请同学们思考一下本节课我们都学习了哪些内容, 快速地总结一下, 并与同学们分享你的收获。 (课件展示幻灯片16)

(学生总结学过的内容并交流、展示。)

(教师在学生展示后, 适当地总结并通过动画展示。1.定义 ;2.命题 ;3.真、假命题。)

教师 :我们除了掌握知识之外我们还要知道我们学习的作用和意义 :

定义让我们对事、物有相同的认识, 减少误解, 方便交流。因此, 下定义让我们的世界规范、和谐。

通过命题可以不断地由已知的条件推导、探究未知的结论。因此, 提命题让我们的社会发展、进步。

设计意图 :教师鼓励学生结合本节课的学习畅所欲言地谈论自己的感受和收获, 对知识形成较好的归纳, 使之系统化, 进一步培养学生总结归纳的能力与合作互助的意识。

点评 :归纳简洁明了, 与时俱进。

(4) 当堂检测, 评价反馈。

教师 :我们的学习有这么重要的作用, 那么就要求同学们准确地掌握所学的知识, 并且能灵活地运用, 你能不能做到呢? 我们来检测一下。 (课件依次展示幻灯片17~21)

1.请给下列图形命名, 并给出名称的定义 :

2.下列语句中, 哪些是命题, 哪些不是命题?

(1) 1+2≠3

(2) 三角形的三条高交于一点 ;

(3) 在ΔABC中, 若AB>AC, 则∠C>∠B吗?

(4) 两点之间线段最短。

3.下列命题中真命题的是 ( )

(A) 从“1、2、3、4、5、6”六个数中任选一个数, 是偶数的概率为0.4

(B) 若a与b互为相反数, 则a+b=0

(C) 绝对值等于它本身的数是正数

(D) 任何一个角都比它的补角小

4.下图表示某地的一个灌溉系统。如果C地水流被污染, 那么_________的水流也被污

根据上图, 你还能说出其他的命题吗?

设计意图 :针对本节课的重点, 有目的地设计习题, 以检测教学目标达成情况、纠正错误、熟练知识, 发现与弥补遗漏 ;同时可以让学生全面了解自己的学习过程, 感受自己的成长和进步, 同时促进学生对学习及时进行反思, 为教师全面了解学生的学习状况, 改进教学, 实施因材施教提供重要依据。

能力提升 :在数学运算中, 除了加、减、乘、除等运算外, 还可以定义新的运算。如定义一种“星”运算, “*”是它的运算符号, 其运算法则是 :a*b= (a+b) × (ab) 于是 :

5*3= (5+3) × (5-3) =16

3*5= (3+5) × (3-5) =16

5*3*3=16*3=247

按以上定义, 填空 :2*3=_ ;2*3*5=_ 。

2.对于同一平面内的三条直线a、b、c, 给出下列六个论断 :

(1) a∥b; (2) b∥c; (3) a⊥b;

(4) a∥c; (5) a⊥c ; (6) b⊥c.

以其中两个论断为条件, 一个论断为结论, 组成一个真命题 (至少写出3个) 。

设计意图 :在基础性检测练习的基础上设置这两个题目, 检验学生灵活应用知识的同时培养学生的应用意识和创新意识。挖掘学生的潜能, 让学生做到真正的学习, 而不是简单的模仿。

点评 :以典型习题检测本节课学生是否达标, 既巩固了新知, 又对学生作出了适时的评价, 满足不同层次的学生发展的需求, 问题中再现“问题”, 便于学生查缺补漏。

(5) 布置作业, 落实基础。

课本 :167页, 第2题, 第3题。

(6) 板书设计 :

7. 教学设计说明。

本节课通过情境引入、问题驱动的方法组织教学, 不断地通过问题引导学生的思维活动, 同时突出学生的“探索”, 将观察、思考等活动贯穿于教学活动的始终, 在教学过程中立足让学生自己去探索、分析归纳、合作交流。同时本节课借助多媒体演示, 加强了教学的直观性, 丰富学生的想象力, 提高了学生主动参与的意识。

二、教后反思

本节课通过生活中的“笑话”作为切入点引入定义, 并强调定义要准确这一原则, 然后不断地在学生已有的知识经验的基础上, 通过问题作为引导, 启发学生的思维, 让学生通过不断地解决问题的过程探索新的知识, 从而促进学生不断的获得新的发展。

在教学的过程中利用小组内的交流展示活动, 充分调动学生的积极性和主动性, 增强了学生参与数学活动的意识, 又培养了学生观察、分析问题并进行总结归纳的能力。

三、课例点评

本节课的设计充分考虑本阶段学生数学学习的特点, 利用实际问题作为切入点, 不断地在学生已有的知识经验的基础上进行分析、探究, 符合学生的认知规律和心理特征, 有利于激发学生的学习兴趣, 引导学生的数学思考, 同时, 利用实际问题的解决体现学习数学的根本目的:服务生活。

总评 :本节课以学生的认知水平和已有的生活经验为基础, 以学生感兴趣的“小品”为突破口, 激发了学生的好奇心, 接着巧设“聪明”一词, 让“定义”必须“准确、清晰”引起大家共鸣。整节课通过质疑、解疑过程, 最大限度地给予学生自主探索的时间和空间, 通过生生合作、师生合作, 充分调动其积极性, 凡是学生能自己探索得出的, 决不替代, 凡是学生能独立思考的, 决不暗示。鼓励学生大胆阐述自己的观点, 努力创设一个民主、平等、和谐的课堂氛围。

摘要：以生活中的现象作为切入点, 引导学生通过对问题情境的思考和分析引入“定义”, 同时感受学习“定义”的必要性, 然后不断地以问题作为驱动, 在已有的知识经验的基础上, 引导学生逐渐地深入思考问题, 进而体会命题的特征并能准确分析真假命题。让学生在探究的过程中学会分析、推理并在总结的基础上形成自己的知识体系, 进而创新、运用。

关键词：定义,命题,结构特征,真假命题,自主探究,应用,创新

参考文献

[1]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准 (2011年版) [S].北京:北京师范大学出版社, 2012.

[2]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.义务教育数学课程标准 (2011年版) 解读[S].北京:北京师范大学出版社, 2012.

平行线在生活中的应用 篇8

1.平行不也给我们带来美感吗？

例1中国的花样滑冰黄金组合申雪、赵宏博，以他们优美整齐的动作征服了世界上许多的观众.当他们倾斜着身体，保持身体平行时，申雪的身体所在的直线和溜冰场地面的夹角与赵宏博的身体所在的直线和溜冰场地面的夹角的关系是，原因是.

解析：夹角是相等的，原因是:两直线平行，同位角相等.在日常生活中，若我们能多用数学眼光去观察，会发现数学无处不在，它处处给人带来美感.

2.木工师傅这样做对吗？

例2如图1，木工师傅用角尺画出工件边缘的两条垂线，就认为在工件上找出两条线a、b是平行的.你认为他这样做有道理吗？

解析：由木工师傅的做法可知：∠1=∠2=90°.又∠1、∠2可看做直线a、b被直线n所截得的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”可知a∥b.因此，木工师傅的做法是正确的.

3.该拐多大的弯合适呢？

例3一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向和原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（）.

A.先向左拐30°，再向右拐30°

B.先向右拐50°，再向左拐130°

C.先向右拐50°，再向右拐130°

D.先向左拐50°，再向左拐130°

解析：汽车两次拐弯后行驶的方向与原来的方向相同，就是说最后行驶的方向与开始行驶的方向是“平行且同向的”.按题意，将四个选项画图如图2.

根据平行线判定的条件，只有A符合“平行且同向”，故选A.

4.潜望镜的光学原理是怎样的.

例4如图3，潜望镜中的两个镜子是互相平行放置的，光线经过镜子反射时，∠1=∠2，∠3=∠4，请解释为什么进入潜望镜的光线与离开潜望镜的光线是平行的.

解析：因为两个镜子是互相平行放置的，所以∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）.又因为∠1=∠2，∠3=∠4，所以180°-（∠１+∠2）=180°-（∠3+∠4），即∠5=∠6，因此进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的（内错角相等，两直线平行）.

5.这路该如何修呢？

例5如图4，在甲、乙两地之间要修一条公路，从甲地测得公路的走向是北偏东55°（∠α=55°）.如果甲、乙两地同时开工，那么在乙地公路按∠β是多少度施工，才能使公路准确接通？

解析：因为甲、乙两地朝北方向是平行的，所以根据两直线平行，同旁内角互补，可知：∠β=180°-∠α=125°.

线线平行的证明 篇9

一。定义：同在一个平面内，不相交的两条直线平行。

二。利用几何图形：三角形中中位线、边成比例，平行四边形等

三。公理四，平行于同一条直线的两条直线。

四。线面平行的性质

五。面面平行的性质。

一例1.设平面α、β、γ，α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，且a//b.求证：a∥b∥c.二例2.如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，E，F分别是PA，BD上的点且PE∶EABF∶FD，求证：EF//平面PBC．

答案：证明：连结AF并延长交

于．连结，BFMFPEBFPEMF，又由已知，∴． FDFAEAFDEAFA

由平面几何知识可得EF//PM，又EFPBC，PM平面PBC，∴EF//平面PBC

． ∵AD//BC，∴

E，F分别是棱BC，C1D1的中点，求二。例3.如图，在正方体ABCDA1BC11D1中，证：EF//平面BB1D1D．

答案：证明：如图，取D1B1的中点O，连接OF，OB，11∵OF平行且等于B1C1，BE平行且等于B1C1，2

2∴OF平行且等于BE，则OFEB为平行四边形，∴EF//BO．

∵EF平面BB1D1D，BO平面BB1D1D，∴EF//平面BB1D1D．

三、四第1题.已知a，m，b，且m//，求证：a//b． 答案：证明：

m



m//m//aa//b．

a同理m//b

第9题.如图，在正方体ABCDA1BC11D1中，试作出过AC且与直线D1B平行的截面，并说明理由．

答案：解：如图，连接DB交AC于点O，取D1D的中点M，连接MA，MC，则截面MAC即为所求作的截面．

∵MO为△D1DB的中位线，∴D1B//MO．

∵D1B平面MAC，MO平面MAC，∴D1B//平面MAC，则截面MAC为过AC且与直线D1B平行的截面．

第20题.如图，在四棱锥PABCD中，ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点．

求证：MN//平面PAD．

答案：证明：如图，取CD的中点E，连接NE，ME ∵M，N分别是AB，PC的中点，∴NE//PD，ME//AD，可证明NE//平面PAD，ME//平面PAD． 又NEMEE，∴平面MNE//平面PAD，又MN平面MNE，∴MN//平面PAD．

第7题.如图，已知P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M为PB的中点，求证：PD//平面MAC．

答案：证明：连接AC、BD交点为O，连接MO，则MO为△BDP的中位线，∴PD//MO．

∵PD平面MAC，MO平面MAC，∴PD//