空间向量求空间角.教案

空间向量求空间角.教案

空间向量求空间角.教案 篇1

教学知能目标：1．理解空间向量求解空间角的一般方法；

2．能用空间向量解决空间角问题。

教学情感目标：培养学生探究新知的精神，培养学生数形结合的能力，化归的能力。教学重点：理解空间向量求解空间角的一般方法，并能利用空间向量解决空间角问题。教学难点：线面角，面面角的化归。

一、复习引入： ．在三棱锥PABC中，PAAB,ABAC,ACPA，则面ABC的法向量是什么？面PBC PAPBPC2，的法向量又怎么求？ ．空间向量的数量积运算公式是什么？

二、新课探究：

四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是的边长为1的正方形，侧棱垂直底面，AB1,AA14,E,F,G分

A1D1C1PACBZ别是CC1,AC,BB1的中点。

问题1：求异面直线B1F,D1E所成角的余弦值.探究：如何用空间向量求异面直线所成的角？

AB1EGDFBCY设l1与l2是两异面直线，a,b分别为l1、l2的方向向量，它们所成角为，l1、l2所成的角为，则θ与相等或

Xab互补，则coscos

ab

αab

问题2：求直线AC与平面AGF所成角的余弦值； 1

探究：如何用空间向量求直线与平面所成的角？

如图，设l为平面的斜线，lA，a,为l的方

Ban向向量，n为平面的法向量，它们所成角为θ，l与

平面所成的角为，则sincosanan

问题3：求二面角AAG1F的平面角的余弦值。

探究：如何用空间向量求二面角？

平面与相交于直线l，平面的法向量为n1，平面的法向量为n2，n1,n2 = ，则二面角l为或.设二面角的大小为，则coscosn1nn

21n2

φαACαn1An2φβlOB

三、巩固提高：

已知四棱锥SABCD的底面ABCD是边长为（1）当时SA2a时，求异面直线a的正方形，（2）当SA2a时AB和SC所成角的余弦值；求直线BD和平面SCD所成角的余弦值；（3）

ZSSA的值为多少时，二面角BSCD的大AB小为120? 当

四、小结：

ADYBXCab1．求异面直线所成的角时，一定要注意(0,90]，从而有coscos

ab2．求直线与平面所成的角时，一定要注意它和a,n之间的关系，从而有ansincos

an3．求二面角时一定要注意它和m,n之间的关系，从而有

mncoscos，同时还要观察图形确定二面角的范围。

mn

空间向量求空间角.教案 篇2

【教学目标】(1)会求平面的法向量;(2)掌握用法向量求线面角、二面角大小的方法;(3)体会用向量方法解立几题的特点和优越性;(4)培养学生观察、发现问题和归纳整理知识的能力,以及培养学生对数学合理探求的好奇心和求知欲。

【教学重难点】利用法向量求空间角。

【 教学方法 】 启发 、 探究 、 归纳 。

【教学过程】

一、以练牵引,发现法向量

上课铃响后,我就在屏幕上亮出了如下例题:

例:如图1,棱长为1的正方体ABCD- A1B1C1D1中,M为侧面DCC1D1的中心, E、F分别为A1D1和BC的中点。(1) 求证: MA⊥平面B1EDF;(2)求AD与平面B1EDF所成的角;(3)求二面角E-DF-A的大小。由于前面刚学习过空间向量的基本知识,我直接问同学们:

T:第(1)问该如何证明?

S :( 齐呼 )用向量证明!

T:大家通过上一堂课的学习,看来已经喜欢上了向量这种解题工具。当然,喜欢它那是要有理由的,请一位同学来说说他的理由。

S:因为利用向量处理垂直问题非常简单,只需证明数量积为零即可。

我又让该同学上台演示第(1)小题,其解答过程如下:

巡视教室,证明均较为一致,接着我就顺水推舟进行小结:

T:利用向量在处理垂直问题时较为简单,而且利用量在求两异直线所成角时也很有用。那么,它能否处理一些与角有关的问题呢,比如线面角?带着这一疑问,请大家思考第二问,让我们一起将欣喜进行到底。教室里一片笑声,片刻,安静如寂。

两分钟过后,我观察到同学们神色凝重,连几位成绩较好的同学也觉麻烦,我发现很多同学注重了线面角的定义,而恰好A点在面的射影不好找,我想时机成熟,提示如下:

T:大家如果直接找线比较困难的话,何不进行一下转化,所谓不通则变就是这个道理!想想能否考虑用第一小题这条垂线的功能。

经提示,课堂立刻活跃了许多,甚至已有不少同学叫出了⊥MA ⊥为平面B1FDE的法向量。

二、乘胜追击,利用法向量

过了一会儿,我叫了一位同学对第(2)问进行板演,如下:

因为平面B 1 FDE的法向量为

T:大家认为上面的解法是否正确?这种解法是否具有一般性?

S :恰好正确,因为这里的 θ 为两向量的夹角,具有方向性,如果选择的法向量是的话,此时 θ 为钝角,则不成立 。

T:你能否再说明得具体点,简洁些? 什么时候成立,什么时候不成立,请到前面来说。

让我惊喜的是这位同学直接在黑板上画了一个模型如图2,其余的同学都点头称是 。

T:而斜线与平面所成的角是锐角,怎样处理这两种情况呢?

S :加绝对值!

T :很好,即,线面角为

T :从这一小题发现,利用法向量确实能解决线面角问题,那么利用它能否解决第( 3 )小题的二面角问题呢?并希望大家能像刚才那位同学一样,先把问题模型化 、 间捷化 。

两分钟后,有同学自告奋勇上台,画出模型如图3 :其中为平面 α , β 的法向量 。∴ 二面角大小为

T:(点拨提示)对照第(2)小题,大家是否对上面结论需要修改?

S :( 众喊 )加绝对值!

T:请仔细思考!

教室里安静了许多,1分钟后慢慢地有同学举手回答。

S:不一定要加绝对值,考虑到向量夹角的方向性,二面角大小有可能为也有可能就是),也即二面角大小有可能就是 θ ,也有可能与 θ 互补 。

T:那么两者能否合起来?

教室内一片安静,过了两分钟。

T:(见时机成熟)既然合起来有困难,那为何一定要合?分开也是一种美,但关键是我们怎么来选定角呢?比例第(3)小题的二面角大小。

S:(众)锐角,一看就知道是锐角。

T:同学们,这就是方法!一般我们可以从图形中可直接观察出所求二面角大小是锐角还是钝角,然后再与向量二夹角联系起来, 进行取舍,我们一起来做一下:

( 3 )平面的法向量为,平面ADF

T:同学们,现在我有个问题:假如我们的眼睛不好确认这角是锐角还是钝角那又该怎么办?请大家课后去思考。

T:回顾前面的三个小题,大家可以发现,向量确实是一个好东西,是一个值得我们去喜欢的东西,尤其是法向量,我们再来看一题。

三、学以致用,喜欢法向量

T:下面一题是前几天我们刚练习过的,当初我们是用:“作— 证—求”这一常规办法,现在请大家想一想能否利用法向量来解呢?

例,如图4,在斜边为AB的Rt△ABC中, PA⊥面ABC,AN⊥PC于N,AM⊥PB于M,且AP=AB=1,求:面AMN与面ABC所成二面角的大小。

两分钟后,就有学生激动地举手发言:

S :分别为平面AMN与平面ABC的法向量,其夹角为45°,所以二面角大小也为45°

S:(后排的同学竟大声叫)爽!法向量真爽!

四、归根结底,会求法向量

T:利用法向量来解题确实有用,但我们应清醒地认识到,上面两题中的法向量是现成的或是容易发现的,假如法向量在题目中没有直接告知大家,那又该怎么办呢?显然,我们首先就应该会求法向量,而且它也应该是可求的,否则我们也只能望梅止渴,请看下面一题:

例:如图5,已知三点A(2,3,3),B(3,5,2),C(4,6,0),求平面ABC的法向量。

T :两个方程三个未知数,怎样求呢?

S :根据再列一个方程 。

T:请大家试试看。

S:方程组与刚才一样,其中两个方程相同。

T :那这又是怎么回事呢,又该怎么办呢?

S :噢!线面垂直的定义!实际上只要令z=1 ,得x=3 , y=-1即找一个法向量

T:很好,事实上,平面的法向量很多,我们只要求出一个即可。 以上就是法向量的求法,真让我们舒了一口气。到此为止,大家应该真正体会到了法向量的价值,它使立体几何问题代数化、程序化,也让我们真正体会到了学习的价值所在,好个法向量!

T:课后请大家再思考能否利用法向量求点到面的距离,我们也期待着它一定可以!同学们的脸上洋溢着收获知识的笑容。

【课后点评】

在整个教案的设计过程中进行了巧妙的构思,始终围绕着法向量展开,符合学生的认知规律,以“发现法向量利用法向量

用向量法求空间角 篇3

求异面直线所成的角 [ 图1]

例1 如图1，在正方体[ABCD-A1B1C1D1]中，[M]，[N]分别是棱[CD]，[CC1]的中点，则异面直线[A1M]与[DN]所成的角的大小是 .

分析 法一，采用基向量法，选择三个两两垂直的向量为基底，分别表示出两条异面直线的方向向量，再求其夹角.法二，建立空间直角坐标系，转化为向量与向量的夹角问题.

[ 图2] 法一 如图2，取[CN]的中点[K]，连接[MK]，[A1K]，则[MK]为[△CDN]的中位线，所以[MK∥DN].

所以[∠A1MK]为异面直线[A1M]与[DN]所成的角.连接[A1C1]，[AM].设正方体棱长为[4]，则

[A1K=（42）2+32=41]，

[MK=12DN=1242+22=5]，

[A1M=42+42+22=6]，

所以[A1M2+MK2=A1K2]，所以[∠A1MK=90°].

[ 图3] 法二 以[D]为原点，[DA]，[DC]，[DD1]所在直线为坐标轴建立如图3空间直角坐标系，

设[AB=1]，则[D（0，0，0）]，[N（0，1，12），][M（0，12，0）]，[A1（1，0，1）]，

[∴DN=（0，1，12）]，[MA1=（1，-12，1）].

所以[DN?MA1=0×1+1×（-12）+12×1=0]，

所以[DN⊥MA1]，

所以[A1M]与[DN]所成的角的大小是[90°].

答案 [90°]

点拨 求异面直线所成的角可利用利用空间向量表示直线的方向向量，转化为向量所成的角. 两异面直线所成角的范围是[θ∈（0，π2]]，两向量的夹角[α]的范围是[[0，π]]. 当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角.

求直线与平面所成的角

例2 已知某几何体的直观图和三视图如图4所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形.

（1）证明：BN⊥平面C1B1N；

（2）设直线C1N与CNB1所成的角为[θ]，求[cosθ]的值.

[4] [4] [4] [8][侧视图][正视图][俯视图]

图4

分析 （1）先由题意判断出该几何体的直观图，再利用线面垂直的判定定理即可；（2）先 [ 图5]利用等体积法可求[C1]到面[CB1N]的距离.

解 （1）证明：由题意知，该几何体的正视图其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，

则[BA]，[BB1]，[BC]两两垂直.

以[BA]，[BB1]，[BC]分别为[x]，[y]，[z]轴建立空间直角坐标系，如图5.

则[N（4，4，0）]，[B1（0，8，0）]，[C1（0，8，4）]，[C（0，0，4）].

[∵BN?NB1=0，BN?B1C1=0]，

[∴BN⊥NB1，且BN⊥B1C1].

[又∵B1N?B1C1=B1]，

[∴BN⊥面C1B1N.]

（2）设[n=（x0，y0，z0）]为平面[CNB1]的一个法向量，

则[n?CN=0，n?NB1=0，]即[x0+y0-z0=0，x0-y0=0.]

令[x0=1]，则[n=（1，1，2）].

又[C1N=（4，-4，-4）]，

则[sinθ=|cos|=23]，从而[cosθ=73].

点拨 要注意“直线与平面所成的角”与“直线的方向向量与平面的法向量所成角”之间的关系，通常求斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角.

求二面角的大小 [ 图6]

例3 在三棱柱[ABC-A1B1C1]中，已知[AB=AC=AA1][=5，][BC=][4，][A1]在底面[ABC]的射影是线段[BC]的中点[O].

（1）证明：在侧棱[AA1]上存在一点[E]，使得[OE]⊥平面[BB1C1C]，并求出[AE]的长；

（2）求二面角[A1-B1C-C1]的余弦值.

分析 （1）连接[AO]，在[△AOA1]中，作[OE⊥AA1]于点[E]，则[E]为所求.可以证出[OE⊥BB1]，[BC⊥OE]而得以证明. 在[RT△AOA1]中，利用直角三角形射影定理得出[EO]. （2）分别以[OA，OB，OA1]所在直线为[x，y，z]轴，建立空间直角坐标系，求出平面[A1B1C]的法向量是[n=（x，y，z）]，利用[OE，n]夹角求平面[A1B1C]与平面BB1C1C夹角的余弦值.

解 （1）证明：连接[AO]，再[ΔAOA1]中，作[OE⊥AA1]于点[E].

因为[AA1//BB1]，所以[OE⊥BB1].

因为[A1O⊥平面ABC]，所以[BC⊥平面AA1O].

所以[BC⊥OE]，所以[OE⊥平面BB1C1C].

又[AO=AB2-BO2=1，AA1=5，]

[∴AE=AO2AA1=55].

（2）如图7，分别以[OA，OB，][OA1]所在直线为[x，y，z]轴，建立空间直角坐标系，

则[A（1，0，0）]，[B（0，2，0），][C（0，-2，0），][A1（0，0，2）].

[ 图7] 由[AE=15AA1]得，点[E]的坐标是[（45，0，25）]，

由（1）知平面[B1CC1]的一个法向量为[OE=（45，0，25）]，设平面[A1B1C]的法向量是[n=（x，y，z）]，

由[n?AB=0，n?A1C=0，]得[x-2y=0，y+z=0.]可取[n=（2，1，-1）]，

所以[cos=OE?nOE?n=3010].

点拨 求二面角的方法有两种：（1）利用向量的加法及数量积公式求出与两半平面的棱垂直的向量的夹角，从而确定二面角的大小；（2）根据几何体的特征建立空间直角坐标系，先求二面角两个半平面的法向量，再求法向量的夹角，从而确定二面角的大小.

数学空间向量 篇4

1.空间向量的基本概念

由于我们所讲的向量可以自由移动，是自由向量，因此对于一个向量、两个向量都是共面的，他们的基本概念与平面向量完全一样。包括：向量的定义、向量的表示方法、向量的模、零向量、单位向量、向量的平行与共线、相等向量与相反向量等等

2.空间向量的加法、减法与数乘运算

两个空间向量的加法、减法与数乘运算法则及其运算律都与平面向量的知识相同。但空间不共面的三个向量的和应该满足“平行六面体”法则。

即：平行六面体ABCD-A＇B＇C＇D

＇中，3.空间向量的数量积

空间两个向量的数量积与平面两个向量的数量积的概念及法则都是一致的。

定义

：

性质与运算律：

①

4.空间向量中的基本定理

共线向量定理：对于

作用：证明直线与直线平行。

推论：P、A、B

三点共线的充要条件：

实数。

作用：证明三点共线。

共面向量定理（平面向量的基本定理）：两个向量的充要条件是存在实数对x、y

使

作用：证明直线与平面平行。

推论：P、A、B、C四点共面的充要条件：

x、y、z为实数，且x+y+z=1。

作用：证明四点共面。

空间向量的基本定理：如果三个向量

不共面，那么对于空间任意向量，存在一，其中O为任意一点。不共线，向量共面，其中O为任意一点，t为任意空间向

量;

②;

③;

④;

⑤的夹角（起点重合），规

定。

个唯一的有序实数组x、y、z

使做空间的一组基底。

作用：空间向量坐标表示的理论依据。

二.空间向量的坐标运算

1.空间直角坐标系。、、叫做基向量，叫

我们在平面直角坐标系的基础上增加一个与平面垂直的方向，构成右手直角坐标系，即：伸出右手使拇指、食指、中指两两垂直，拇指、食指、中指分别指向x、y、z轴的正方向，空间任意一点可用一组有序实数确定，即：A（x，y，z）。

2.向量的直角坐标运算

．

二、空间向量的加减与数乘运算

（1）空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与

平面向量的运算一样：

（2）、空间向量的加、减与数乘运算律：

=（指向被减向量），加法交换律：

加法结合律：

数乘分配律：

注：空间向量加法的运算律要注意以下几点：

⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向

量，即：

⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即：

⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．

因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．

三、共线向量与共面向量

1、共线向量定理：对空间任意两个向量

（1）推论：

如图所示，如果l为经过已知点A

且平行于已知向量 的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式

量)．直线l上的点和实数t是一一对应关系.（2）空间直线的向量参数方程：

在l

上取 则（其中 是直线l的方向向,存在唯一实数 ；因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；

特别地，当

点）

时，得线段AB中点坐标公式：（其中P是AB中

2、共面向量定理：如果两个向

量, 使

.不共线，则向

量 与向

量 共

面

推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使；

进而对空间任一定点O，有

实数对(x,y)是唯一的，①式叫做平面MAB的向量表达式.四、空间向量基本定理、若

其中

2、将上述唯一分解定理换成以任一点O为起点：O、A、B、C不共面，则对空间任意一点P，存在唯一的三个有序实数x,y,z∈R，使

五、两个空间向量的数量积、向量

2、向量的数量积的性质：

(1)

(2)

(3)

性质(2)可证明线线垂直；

性质(3)可用来求线段长.3、向量的数量积满足如下运算律：

（1）

（2）

（3）（交换律）（分配律）。为单位向量)的数量积：

空间向量求空间角.教案 篇5

例1.已知A、B、C三点不共线，对平面外一点O，在下列条件下，点P是否一定与A、B、C共面？

（1）；（2）

例2.若点M在平面ABC内，点O为空间中的任意一点，

OMxOA1

1OBOC,则x的值为3

3多少 笔记：

任务2空间向量基本定 理

例3已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且M分

成定比2，N分PD成定比1，求满足的实数x、y、z的值。

任务3 利用空间向量证明平行、垂直问题

例4.如图，在四棱锥

P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F。（1）证明：PA//平面EDB；（2）证明：PB

⊥平面EFD；

笔记：

【堂中精练】

1．设





O,P,A,B为空间任意四个点，若OPmOAnOB,且mn1,则（）

A.P在直线AB上B.P,A,B三点不共线C.P有可能在直线AB上D.以上都不对

2．若点M在平面ABC内，点O为空间中的任意一点，1OMxOAOB1

OC,则x3

3的值为（）

A.1B.0C.3D.13



3．设A,B,C,D为空间不共面的四点，且满足ABAC0,ABAD0,ACAD0,则BCD是

（）A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形

4．若a,b均为单位向量，且a,b60,则|a3b

|（）

B

CD.4点睛：点共面问题，可转化为向量共面问题，要证明P、A、B、C四点共面，只

要

能

证

明，或

对空间任一点O，有

或

即可，以上结论是判定空间四点共面的一个充要条件，共面向量定理实际上

也是三个非零向量所在直线共面的必要条件。

点睛：结合图形，从向量

出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都

用、、表示出来，即

可求出x、y、z的值

点睛：证明线面平行的方

法：

①证 明直线的方向向量与平面的法向量垂直；

②证明能够在平面内找到一个向量与已 知直

线的方向向量共线

【反馈测评】

1.在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M,N,P,Q,R,S分别为AB,BC,CC1,C1D1,D1A1,A1A的中点，则MNPQ化简的结果为（）A.0B.RSC.SRD.NQ











10已知A(1,1,2),B(5,6,2),C(1,3,1),则ABC中AC边上的高BD是

2．在以下命题中，不正确的命题个数是（）①对于空间中任意

的四点A,B,C,D恒有AB

BCCD0D；A②

|a|

b||a|b|共线；③若ab

a与b共线，则a与b所在直线平行；④对空间中任意的一点O和不共线的三点



A,B,C,若OPxOAyOBzOC（x,y,zR)，则P,A,B,C四点共面。A.1B.2C.3D.43．若点G为ABC的重心，点O是空间中任意一点，则下列结论中（）是正确的。





A.GAGBGC0

B.OG1OA1OB1OCOAOBO



22

2C.OG

C D.OG3OA3OB3O C4．下列命题正确的是（）A.若

11OPOAOB,则

P,A,B

三点共线2

3B.若{a,b,c}为一个基底，则{ab,bc,ca}也为一个基底

C.|(ab)c||a||b||c|



D.ABC为直角三角形的充要条件是ABAC0

5.已知向量a(1,2,3),b(1,1,1),则向量a在向量b方向上的射影向量的模为

6.已知两点A(1,2,3),B(2,1,1),则直线AB与平面xOz的交点坐标为

7.如图，在矩形ABCD中，AB1,BCa,PA平面AC，且PA1,若在BC边上存在两个

点Q,使得PQQD,则正实数a的取值范围是8如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以ABC为直角的等腰三角形，AC2a,BB13a,D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE平面B1DE，则AE 9.设A,B,C,D为空间不共面的四点，且满足

ABAC0,ABAD0,ACAD0,则BCD是何三角形

11.若a,b均为单位向量，且a,b60,则|a3b| 多少

12.如图所示，边长为a的正方形ABC是D和正方形ABEF相交于AB,E

BD,AE上的动点，且ANDM,试用向量解决：（1）证明：

求|MN|的最小值。

答案

例1.(1)P

与A、B、C共面。(2)P与A、B、C三点不共面

例2.1/3 例3

例4.连接AC，AC交BD于G，连接EG。

依题意得。∵底面ABCD是正方形。∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为，∴则

【堂中精练】5.A6.D7.C8.C 【反馈测评】1.C.2.A3.A4.B.5.6.C(,0,).7.a(2,).8.AEa或2a。

9.锐角三角形

12.(1)

由

C|a3b|(a3b)13913.题意，设

BBD



MEA

E

x(x0

N

则1),BMxBDx(BABC),ENxEAx(BABE),MNBNBMBEENBM



.B(ExB)A(BEx)B(A1xB)BCExBC

MN//面EBC，MN面EBC，MN//面EBC。

(2)|MN|maxasin



空间向量求空间角.教案 篇6

一、直线的方向向量及其应用

1、直线的方向向量

直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量平行（或共线）的向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．

2、直线方向向量的应用

利用直线的方向向量，可以确定空间中的直线和平面．

（1）若有直线l, 点A是直线l上一点，向量a是l的方向向量，在直线l

上取ABa，则对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得APtAB，这

样，点A和向量a不仅可以确定l的位置，还可具体表示出l上的任意点．

（2）空间中平面α的位置可以由α上两条相交直线确定，若设这两条直线

交于点O,它们的方向向量分别是a和b，P为平面α上任意一点，由平面向量基

本定理可知，存在有序实数对（x，y），使得OPxayb，这样，点O与方向

向量a、b不仅可以确定平面α的位置，还可以具体表示出α上的任意点．

1．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()

A．(1,2,3)B．(1,3,2)

C．(2,1,3)D．(3,2,1)

2.从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长AB＝34，则B点的坐标为()

A．(－9，－7,7)B．(18,17，－17)

C．(9,7，－7)D．(－14，－19,31)

二、平面的法向量

1、所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量也有无数个，它们是共线向量．



2、在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点

A的平面是唯一确定的．

三、直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用



1、若两直线l1、l2的方向向量分别是u1、u2，则有l1// l2u1//u2，l1⊥l2u1

⊥u2．



2、若两平面α、β的法向量分别是v1、v2，则有α//βv1//v2，α⊥βv1

⊥v2．

若直线l的方向向量是u，平面的法向量是v，则有l//αu⊥v，l⊥α

u//v

b分别是直线l1、l2的方向向量，根据下列条件判断l1与l2的位置关系。1.设a、



（1）a=（2，3，－1），b=（－6，－9，3）；（2）a=（5，0，2），b=（0，4，0）；（3）a=（－2，1，4），b=（6，3，3）











四、平面法向量的求法

若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：



1、设出平面的法向量为n(x,y,z)．



2、找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a(a1,b1,c1),b(a2,b2,c2)

na0nb0

3、根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组

4、解方程组，取其中一个解，即得法向量

v分别是平面α、β的法向量，根据下列条件判断α、β的位置关系： 1.设u、





（1）u=（1，－1，2），v=（3，2，





2）；

（2）u=（0，3，0），v=（0，－5，0）；（3）u=（2，－3，4），v=（4，－2，1）。





2.已知点A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，5），求平面ABC的一个单位法向量。



3.若直线l的方向向量是a=（1，2，2），平面α的法向量是n=（－1，3，0），试求直线l与平面α所成角的余弦值。

4．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α的一个法向量的是()

A．(0，－3,1)B．(2,0,1)

C．(－2，－3,1)D．(－2,3，－1)

5．已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为()

A．(1，－1,1)B．(2，－1,1)C．(－2,1,1)D．(－1,1，－1)

五、用向量方法证明空间中的平行关系和垂直关系

（一）用向量方法证明空间中的平行关系

空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行．

1、线线平行

设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，且a2b2c2≠0，则

l∥m⇔⇔_⇔_______.1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC的中点，点Q为平面ABCD内



一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足MQ＝λMN的实数λ的值有()

A．0个C．2个

B．1个 D．3个

2、线面平行

设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则

l∥α⇔⇔_______⇔1

1．已知直线l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为1，2，2，且l∥α，

则m＝________.2．已知线段AB的两端点的坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则与线段AB平行的坐标平面是()

A．xOyB．xOz

C．yOzD．xOy或yOz

3．如图所示，在空间图形P—ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，CD∥AB，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，且PB＝4PM，∠PBC＝30°，求证：CM∥平面PAD

.4.如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝AC＝a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．

5.如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点，（I）求证：AC⊥BC1；（II）求证：AC 1//平面CDB1；

3、面面平行(3)面面平行 设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔

abc⇔__⇔________a＝bc(a2b2c2≠0)_______.22

21．如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M、P、Q分别为棱AB、CD、BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则 ①A1M∥D1P； ②A1M∥B1Q；

③A1M∥面DCC1D1；

④A1M∥面D1PQB1.以上结论中正确的是________．(填写正确的序号)

2.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点。

用向量法求空间的角和距离 篇7

一、夹角问题

(1) 求A1D与AM所成角的大小。

(2) 求直线AD与平面ANM所成角的大小。

(3) 求平面ANM与平面ABCD所成角的大小。

解:如图, 建立空间直角坐标系, 则A (0, 0, 0) , D (0, 8, 0) , A1 (0, 0, 4) ,

二、距离问题

1、点面间的距离:

2、异面直线间的距离:

如图, 设AB为异面直线a, b的公垂线,

例2:如图直三棱柱ABC-A1B1C1中, 底面是等腰三角形, ∠ACB﹦90°, 侧棱AA1=2, D, E分别是CC1与A1B的中点, 点E在平面ABD上的射影是⊿ABD的重心G。

(1) 求A1B与平面ABD所成角的大小;

(2) 求异面直线A1B与AD的距离d1;

(3) 求点A1到平面AED的距离d2。

评析:利用向量解决有关夹角和距离问题, 实现了几何问题代数化, 体现了数形结合思想, 淡化了传统立体几何中从“形”到“形”的逻辑推理方法, 解题思路清晰, 解题方法简捷;同时, 空间向量为求夹角和距离提供了通法, 有很强的规律性, 实用性和优越性。

摘要：向量引入中学, 沟通了几何与代数之间的联系, 拓宽了中学数学问题解决的思维空间, 空间向量在研究空间角、空间距离等问题具有独到之处, 它可以使几何问题中的逻辑推理转化为向量的代数运算, 使问题的解决显得更简洁和清晰。

空间向量求空间角.教案 篇8

幼儿在《调颜色》这一活动中，表现非常感兴趣，知道了红、黄蓝三种颜色中，红、黄混合会变出橙色；红、蓝混合会变出紫色；黄、蓝混合会变出绿色。在整个活动中幼儿专心致志，认真调色，从而得出了更美的颜色。但考虑到进一步发展幼儿对颜色混合会产生哪些变化的好奇，我想在今天的《创意空间》里，让幼儿通过自己操作，用混合后的颜色去涂画。要求三个幼儿一小组，这样幼儿能把作品完成得更完美。同时也体现了中班幼儿的一个相互协作、友爱的精神。

二、区角名称：创意空间

三、区角活动目标：

1.进一步感知颜色混合后的变化，对色彩变化感兴趣。2.乐于参与“操作活动”在活动中发挥想象力。3.体验同伴合作的快乐。

四、区角设计说明：

1.我们在墙壁上用了红、黄、蓝三种颜色的呼啦圈拼搭在一起，另外用了红黄蓝三色的皱纹纸拼成的瓣子式的长带子围成了三个爱心形也拼搭在一起，这四种形状意在体现相亲相爱。在呼啦圈和爱心组合的图形里面分别呈现了五颜六色的剪纸、贴纸，这样能让幼儿熟悉折纸的基本方法和步骤，同时让幼儿动手剪出漂亮的图案，既培养了幼儿的动手动脑能力，又培养了他们对艺术的兴趣，从而感受艺术的美。

2.我们用了红黄蓝三色拼成瓣子的带子围成了四个小正方形，呈现在墙壁上，里面分别贴上幼儿的绘画、手工作品。这一块可以激励幼儿大胆绘画，画出好的作品给大家看，时也增强了幼儿的集体荣誉感。

3.地面上摆放了三张桌子及几张小椅子，这是供幼儿作画时用的，幼儿可以在这里大胆想象，尽情地完成作品。

五、材料的投放说明： 调色盘3个（一组一个），红黄蓝水彩颜料各一瓶，红黄蓝颜色卡片各两张，画笔6-9枝，三杯水（供调色用），图画纸（每个幼儿两张）

六、游戏规则： 幼儿合作操作实验

1.要求每组三个幼儿，互相配合、互相帮助完成作品。2.作画过程中一定要注意水彩不能乱涂。

七、入区活动标志设计说明：

这个区是美工区，我把它命名为“创意空间”。活动标志是由红、黄、蓝三原色三个圆圈交叉组成的，同时也呈现出混合后的橙色、绿色、紫色等，红、黄、蓝三原色代表色彩的世界、艺术的世界、充满抽象和创意的世界，这个标志同时也和本次的区角游戏相呼应。

八、游戏指导：指导过程： 1.提问引入游戏活动。

（1）小朋友告诉老师做什么是你最快乐的？

（2）出示红、黄、蓝三色引导幼儿认识三原色。师念儿歌《颜色好朋友》，一边念一边利用颜色操作，呈现色彩的变化。

2.教师通过提问，提醒幼儿了解色彩的变化。

（1）什么颜色和什么颜色是好朋友，手拉手，会变出什么颜色可以用来画西瓜？（2）什么颜色和什么颜色是好朋友，手拉手，会变出什么颜色可以用来画葡萄？（3）什么颜色和什么颜色是好朋友，手拉手，会变出什么颜色可以用来画橘子。（4）提问：绿色、橙色、紫色除了画这些东西外，还能画什么？ 3.幼儿尝试颜色变变变的游戏。教师：要求幼儿两两合作，体验涂色的乐趣，体验同伴合作的快乐。

4.展示幼儿作品，进行评价。5.活动延伸。