二次函数知识点总结

二次函数知识点总结（精选6篇）

二次函数知识点总结篇1

1、等式：用等号把两个值相等的量或式子连接起来得到的式子称为等式。

2、方程：含有未知数的等式叫做方程。

注意：

(1)等式中必须含有等号，故不含等号的式子就不是等式;

(2)方程必须是等式，并且含有未知数，两个条件须同时具备;

(3)方程中可以含有几个未知数。

例题1、下列式子中，哪些是等式?哪些是方程?

(1)−1+7=6

(2)x+7=6

(3) x+7

(4)x+7=7−x

(5)4+7=7十4

(6)y3=1

(7)4x+y=7

方程中的项、系数、次数等概念

1、项：在方程中，被“+”、“-”，号隔开的每一部分(包括这部分前面的“十”、“-”号在内)称为一项。

2、未知数的系数：在一项中，写在未知数前面的数字或表示已知数的字母叫做未知数的系数。

3、项的次数：在一项中，所有未知数的指数和称为这一项的次数。

4、常数项：不含未知数的项，称为常数项。

列方程的方法

1、列方程：为了求得未知数，在未知数和已知数之间建立一种等量关系，就是列方程。

2、列方程可分两步进行：第一步先根据题设条件设未知数;第二步要找到未知数和已知数之间的等量关系，从而得到方程。

例题2、根据条件列方程：

(1)某数的平方与它的4倍互为相反数

(2)某数的相反数与8的差等于这个数的倒数

(3)购买一本书，打八折比打九折少花2元钱，求这本书的原价

例题3、根据下列条件列出方程：

(1)a与6两数和的平方等于1

(2)a与6两数平方的和等于1

方程的解

方程的解和解方程

方程的解：使方程的左右两边相等的未知数的值叫做方程的解

解方程：求方程的解的过程叫做解方程

注意：

(1)方程的解一定能使方程左右两边的值相等;

(2)方程的解和解方程是两个不同的概念，它们一个是求得的结果，一个是变形的过程，要区别开，方程的解中的“解”是名词，解方程概念中“解”是一个动词。

方程的解

一元一次方程的概念

1、概念：在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的方程叫一元一次方程。如：x+7=7−x

2、一元一次方程的最简形式：ax=b(a≠0)

3、一元一次方程的标准形式: ax+b=0(a≠0)

注意：理解一元一次方程的概念应把握：

(1)是一个方程;

(2)只含有一个未知数;

(3)未知数的次数是1;

(4)化简后未知数的系数不能为0;

(5)分母不能含有未知数。

等式基本性质

1：等式两边同时加上(或减去)同一个数或同一个代数式，所得结果仍是等式。

2：等式两边同时乘以同一个数(或除以同一个不为零的数)，所得结果仍是等式。

注意：

(1)运用等式基本性质1时，一定要注意等式两边同时加上<或减去)同一个数或同一个代数式，才能保证所得结果仍是等式，这里要特别注意“同时”和“同一个”;

(2)运用等式基本性质2时，除了要注意等式两边同时乘以(或除以)同一个数，才能保证所得结果仍是等式以外，还必须注意，等式两边不能都除以O，因为0不能作除数或分母;

(3)等式还有其他的一些性质，在解方程中也时常会用到，它们是：对称性：如果a=b，那么b=a.即等式的左、右两边交换位置，所得结果仍是等式。

传递性：如果a=b，且b=c，那么a=c。这条性质也叫做等量代换。

利用等式的基本性质解一元一次方程

1、求方程的解的过程叫做解方程

2、具体步骤如下：

(1)利用等式的性质解一元一次方程，一般是先利用等式性质1，然后再利用等式性质2，将ax=−b变形为x=−ba即可。

(2)移项法则：方程中的任何一项，都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项，这个法则称为移项法则，移项的根据是等式的基本性质1。

注意：

(1)移项时，不要忘记对移动的项变号，如从3+4x=7得到4x= 7+3，是错误的;

(2)没移项时，不要误以为有移项，如从−5=x，得到x= 5，这样的错误其原因在于对运用用等式的性质与移项的区别没有分清;

(3)去括号的方法：括号外的因数是正数，去括号后各项的符号不变，括号外的因数是负数，去括号后各项符号应变号;

高一函数知识点总结篇2

(2)f(x)、g(x)分别是定义域D1、D2上的奇函数，那么在D1∩D2上，f(x)+g(x)是奇函数，f(x)·g(x)是偶函数，类似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”;

(3)奇偶函数的复合函数的奇偶性通常是偶函数;

(4)奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数。

3、有关奇偶性的几个性质及结论

(1)一个函数为奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数为偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称.

(2)如要函数的定义域关于原点对称且函数值恒为零，那么它既是奇函数又是偶函数.

(3)若奇函数f(x)在x=0处有意义，则f(0)=0成立.

(4)若f(x)是具有奇偶性的区间单调函数，则奇(偶)函数在正负对称区间上的单调性是相同(反)的。

(5)若f(x)的定义域关于原点对称，则F(x)=f(x)+f(-x)是偶函数，G(x)=f(x)-f(-x)是奇函数.

(6)奇偶性的推广

函数y=f(x)对定义域内的任一x都有f(a+x)=f(a-x)，则y=f(x)的图象关于直线x=a对称，即y=f(a+x)为偶函数.函数y=f(x)对定义域内的任-x都有f(a+x)=-f(a-x)，则y=f(x)的图象关于点(a，0)成中心对称图形，即y=f(a+x)为奇函数.

(五)、函数的单调性

1、单调函数

对于函数f(x)定义在某区间[a，b]上任意两点x1，x2，当x1>x2时，都有不等式f(x1)>(或<)f(x2)成立，称f(x)在[a，b]上单调递增(或递减);增函数或减函数统称为单调函数.

对于函数单调性的定义的理解，要注意以下三点：

(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念.一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性.

(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1，x2具有任意性，不能用特殊值代替.

(3)单调区间是定义域的子集，讨论单调性必须在定义域范围内.

(4)注意定义的两种等价形式：

设x1、x2∈[a，b]，那么：

①在[a、b]上是增函数;

在[a、b]上是减函数.

②在[a、b]上是增函数.

在[a、b]上是减函数.

需要指出的是：①的几何意义是：增(减)函数图象上任意两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))连线的斜率都大于(或小于)零.

(5)由于定义都是充要性命题，因此由f(x)是增(减)函数，且(或x1>x2)，这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”.

5、复合函数y=f[g(x)]的单调性

若u=g(x)在区间[a，b]上的单调性，与y=f(u)在[g(a)，g(b)](或g(b)，g(a))上的单调性相同，则复合函数y=f[g(x)]在[a，b]上单调递增;否则，单调递减.简称“同增、异减”.

在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知函数的单调性。因此，掌握并熟记一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，将大大缩短我们的判断过程.

6、证明函数的单调性的方法

(1)依定义进行证明.其步骤为：①任取x1、x2∈M且x1(或<)f(x2);③根据定义，得出结论.

(2)设函数y=f(x)在某区间内可导.

如果f′(x)>0，则f(x)为增函数;如果f′(x)<0，则f(x)为减函数.

(六)、函数的图象

函数的图象是函数的直观体现，应加强对作图、识图、用图能力的培养，培养用数形结合的思想方法解决问题的意识.

求作图象的函数表达式

与f(x)的关系

由f(x)的图象需经过的变换

y=f(x)±b(b>0)

沿y轴向平移b个单位

y=f(x±a)(a>0)

沿x轴向平移a个单位

y=-f(x)

作关于x轴的对称图形

y=f(|x|)

右不动、左右关于y轴对称

y=|f(x)|

上不动、下沿x轴翻折

y=f-1(x)

作关于直线y=x的对称图形

y=f(ax)(a>0)

横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

y=af(x)

纵坐标伸长到原来的|a|倍，横坐标不变

y=f(-x)

作关于y轴对称的图形

【例】定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)，且f(0)≠0.

①求证：f(0)=1;

②求证：y=f(x)是偶函数;

③若存在常数c，使求证对任意x∈R，有f(x+c)=-f(x)成立;试问函数f(x)是不是周期函数，如果是，找出它的一个周期;如果不是，请说明理由.

思路分析：我们把没有给出解析式的函数称之为抽象函数，解决这类问题一般采用赋值法.

解答：①令x=y=0，则有2f(0)=2f2(0)，因为f(0)≠0，所以f(0)=1.

②令x=0，则有f(x)+f(-y)=2f(0)·f(y)=2f(y)，所以f(-y)=f(y)，这说明f(x)为偶函数.

③分别用(c>0)替换x、y，有f(x+c)+f(x)=

所以，所以f(x+c)=-f(x).

两边应用中的结论，得f(x+2c)=-f(x+c)=-[-f(x)]=f(x)，

C语言函数知识点总结篇3

本章重点：

本章难点：

//函数相关内容：

*语法：包括定义，声明，调用，*语义

语句包括：表达式语句，空语句，控制语句，复合语句，函数调形参与实参的意义、作用与区别；参数的两种传递方式；对递归函数调用过程的理解；全局变量和局部变量的作用。函数的定义和调用；函数间的数据传递方式；嵌套调用和递归调用；变量的作用域和存储类别；模块化程序设计方法。用语句

函数：*函数首部：包括返回值类型，函数名，形参

*函数体

*函数调用的过程：*开辟空间（形参，函数的局部变量）

1.函数其实就是一段可以重复调用的、功能相对独立完整的程序段。

2.主函数可以调用其他函数，其他函数也可以互相调用。

3.一个C程序必须有一个且只能有一个main函数，无论main函数位于程序的什么位置，运行时都是从main函数开始执行的。

4.函数不能嵌套定义，也就是说一个函数不能从属于另一个函数。函数之

*把实参送给形参

*执行函数

*释放空间

间可以互相调用，但是任何函数不能调用main函数，main函数是被操作系

统调用的。

5.函数的分类：

（1）从用户角度看：库函数、用户自定义的函数（2）从形式：无参函数、有参函数

6.函数定义即函数的实现，是对所要完成功能的操作进行描述的过程，包

括函数命名和返回值类型声明、形式参数的类型说明、变量说明和一系

列操作语句等。

函数和变量一样，必须“先定义，后使用”

7.函数定义应包括以下内容：

函数的名字、返回值的类型。函数参数的类型和名字，无参函数不需要

指定。指定函数的功能

8.在函数体中，声明部分是对函数内部所用到的变量的类型说明，并对要

调用的函数进行声明。

9。定义有参函数的一般形式为: 类型标识符函数名（形式参数表列）｛

声明部分;

｝语句；

10.在C语言中，可以用以下几种方式调用函数(1)函数表达式

函数作为表达式中的一项出现在表达式中，以函数返回值参与表达式

的运算。这时要求函数是有返回值的。

例如：y=sin(x);(2)函数语句

函数调用的一般形式加上分号即构成函数语句。

例如：printf(“%d”,a);

这种方式通常只要求函数完成一定的操作，不要求函数带回值。(3)函数实参

这种方式是函数作为另一个函数调用的实际参数出现，也就是把该函

数的返回值作为实参进行数据传送，所以要求该函数必须是有返回值

的。

例如：printf(“%d”,max(a,b));

11.实参:可以是常量、变量和表达式。

12.只有在发生函数调用时，才给形参分配单元，并且赋值，一旦函数调

用结束后，形参所占的内存单元又被释放掉。

13.在调用函数过程中发生的实参与形参间的数据传递是“值传递”，只

能由实参向形参传递数据，是单向传递，不能由形参传给实参。

14.声明的作用是把函数的返回值类型、函数名、函数参数的个数和类型

等信息通知编译系统，以便在遇到函数调用时，编译系统能识别该函

数并检查调用是否合法

15.函数的声明方法：

(1)只说明函数的类型，这称为简单声明。int min();(2)不仅说明函数的类型还要说明参数的个数和类型，这称为原型声明。

int min(int x,int y);

16.数组名作函数参数时,形参数组和实参数组为同一数组，共同拥有一段

内存空间。

17.数组元素不能用作形参，因为形参是在函数调用时临时分配内存存储

单元的，不能为一个数组元素单独分配存储单元。

18.变量的有效范围（作用域）

19.局部变量也称为内部变量，是在函数内或函数的复合语句内定义说明的。

20.全局变量也称为外部变量，它是在函数外部定义的变量，位置在所有

函数前、各个函数之间或所有函数后。

*其作用域是从定义变量的位置开始到本源文件结束。

*设置全局变量的作用是可以增加各个函数之间的数据传输渠道。21.变量的完整说明为：

存储类型数据类型变量名表列；例如： auto int x,y;

22.C语言变量的存储方式可以分为动态存储方式和静态存储方式。

23.动态存储方式：(1)自动变量(auto变量)(2)寄存器变量（register变量）(3)形式参数

24.静态存储方式：

(1)静态局部变量（static局部变量）

其语法格式为：

static 类型标识符变量名;

例如：static int f;

(2)全局变量(全局变量赋初值也是在编译时完成的，且仅执行一次赋初值的操作。)

不能用extern来初始化外部变量。

(3)静态外部变量

25.一般为了叙述方便，把建立存储空间的变量声明称定义，而把不需要

建立存储空间的声明称为声明

26.在函数中出现的对变量的声明(除了用extern声明的以外)都是定义。

例如：extern int x=25;

//错误

高中数学函数周期知识点总结篇4

1、f(x+a)=f(x)，则y=f(x)是以T=a为周期的周期函数;

2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。

3、若函数f(x+a)=f(x-a)，则是以T=2a为周期的周期函数

4、y=f(x)满足f(x+a)=1/f(x) (a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。

5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= -1/f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。

6、f(x+a)={1-f(x)}/{1+f(x)}，则是以T=2a为周期的周期函数。

7、f(x+a)={1-f(x)}/{1+f(x)}，则是以T=4a为周期的周期函数。

8、若函数y=f(x)满足f(x+a)={1-f(x)}/{1+f(x)}(x∈R，a>0),则f(x)为周期函数且4a是它的一个周期。

9、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2(b-a)是它的一个周期。

10、函数y=f(x)x∈R的图象关于两点A(a,y)、B(b,y),a

11、函数y=f(x)(x∈R)的图象关于A(a,y)和直线x=b(a

12、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且2a的绝对值是它的一个周期。

13、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且4a的绝对值是它的一个周期。

14、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数,6a是它的一个周期。

15、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x∈R，T≠0),则f(T/2)=0。

函数单调性知识点

一、单调性的证明方法：定义法及导数法

1、定义法：利用定义证明函数单调性的一般步骤是：①任取x1、x2∈D，且x1

②作差f(x1)-f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等);

③依据差式的符号确定其增减性。

2、导数法：

设函数y=f(x)在某区间D内可导。如果f′(x)>0，则f(x)在区间D内为增函数;如果f′(x)<0，则f(x)在区间D内为减函数。

补充

a.若使得f′(x)=0的x的值只有有限个，则如果f ′(x)≥0，则f(x)在区间D内为增函数;如果f′(x) ≤0，则f(x)在区间D内为减函数。

b.单调性的判断方法：定义法及导数法、图象法、复合函数的单调性(同增异减)、用已知函数的单调性等。

二、单调性的有关结论

1、若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)+g(x)仍为增(减)函数。

2、互为反函数的两个函数有相同的单调性。

3、y=f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数;若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数，简称”同增异减”。

4、奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同;偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反。

函数奇偶性知识点

一、简单性质：

1、图象的对称性质：

一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称;

2、设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇×奇=偶，偶+偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇

3、任意一个定义域关于原点对称的函数f(x)均可写成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)和的形式

4、奇偶函数图象的对称性

(1)若y=f(a+x)是偶函数，则f(a+x)=f(a-x)?f(2a-x)=f(x)?f(x)的图象关于直线x=a对称;(2)若y=f(b+x)是偶函数，则f(b-x)=-f(b+x)?f(2a-x)=-f(x)?f(x)的图象关于点(b,0)中心对称

5、一些重要类型的奇偶函数

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高中数学知识点总结及公式

1.集合的有关概念。

1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素

注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。

②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互异性(若a?A，b?A，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。

③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件

2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法

3)集合的分类：有限集，无限集，空集。

4)常用数集：N，Z，Q，R，N

2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

1)子集：若对x∈A都有x∈B，则A B(或A B);

2)真子集：A B且存在x0∈B但x0 A;记为A B(或，且 )

3)交集：A∩B={x| x∈A且x∈B}

4)并集：A∪B={x| x∈A或x∈B}

5)补集：CUA={x| x A但x∈U}

注意：①? A，若A≠?，则? A ;

②若，，则 ;

③若且，则A=B(等集)

3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：(1) 与、?的区别;(2) 与的区别;(3) 与的区别。

4.有关子集的几个等价关系

①A∩B=A A B;②A∪B=B A B;③A B C uA C uB;

④A∩CuB = 空集 CuA B;⑤CuA∪B=I A B。

5.交、并集运算的性质

①A∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪? =A，A∪B=B∪A;

③Cu (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB;

6.有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。

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如何提升高考数学成绩

1.认真听讲，课后及时做题巩固。数学必须听老师讲课，老师的每一堂课，都必须认真听，不能做其他，也不能自学，老师的讲课肯定比你自己自学强太多，很容易启发你的数学思维，效率很高，因此，无论是老师讲教材还是讲题，都要认真听，搞懂每一个老师要求你必须会的题和知识点。课后，必须及时做相应的题巩固，多做多练。因为，很多课堂上和教材上的题感觉都明白了，很简单，但实际上，你做对应的习题册的题感觉是很不同的，还会发现很多疑问和错误，只有通过习题册一系列做题后，你才能真正称得上是掌握了这个知识点。

2.学习要有计划。数学题型很多，集中做题，任何人都坚持不下去，因此，我们要日积跬步，小步快跑，依靠时间去解决大量的做题任务，每年365天，实际上时间很多，但是必须要求我们每一天都要坚持做一些题，这样，长期积累，做题量是很巨大的，成绩成长自然也会巨大，因此，我们要给自己的没一个月，每一周，每一天都规定一定的做题任务，按照计划，每天、每周完成一个任务，打一个勾。(自己找个小笔记本，用作学习计划本，每个学科都应该有计划，汇总到这个本子上)

3.重视月考等综合考试。考试要好好考，千万不要照抄，否则对自己的学习很不好，就算所有人都抄，自己也不要抄，一定要依靠考试检查自己的真实水平。每次考试都是修正自己的复习计划和学习薄弱环节的契机。寻找到薄弱环节后，重点加强做题量，优势环节的题，则可依据实际情况，今后少做或者不做。

初中数学一次函数知识点总结篇5

函数性质：

1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k.即：y=kx+b（k，b为常数，k≠0），∵当x增加m，k（x+m)+b=y+km,km/m=k。

2.当x=0时，b为函数在y轴上的点,坐标为(0，b)。

3当b=0时(即 y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。

4.在两个一次函数表达式中：

当两一次函数表达式中的k相同，b也相同时，两一次函数图像重合；

当两一次函数表达式中的k相同，b不相同时，两一次函数图像平行；

当两一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交；

当两一次函数表达式中的k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。

若两个变量x,y间的关系式可以表示成Y=KX+b(k,b为常数，k不等于0）则称y是x的一次函数

图像性质

1．作法与图形：通过如下3个步骤：

（1）列表.（2）描点；[一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。

一般的y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点画直线即可。

正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0,0）和（1，k）两点。

（3）连线，可以作出一次函数的图象——一条直线。因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图象与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0，0与b）.2．性质：

（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。

（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。

3．函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。

4．k，b与函数图像所在象限：

y=kx时（即b等于0，y与x成正比例)：

当k>0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大；

当k<0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小。

y=kx+b时：

当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、三象限；

当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过第一、三、四象限；

当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、四象限；

当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过第二、三、四象限；

当b>0时，直线必通过第一、二象限；

当b<0时，直线必通过第三、四象限。

特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。

这时，当k>0时，直线只通过第一、三象限，不会通过第二、四象限。当k<0时，直线只通过第二、四象限，不会通过第一、三象限。

4、特殊位置关系：

当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等

当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1））

③点斜式 y-y1=k(x-x1)（k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）

④两点式(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)（已知直线上（x1,y1）与（x2,y3）两点）

⑤截距式（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）⑥实用型（由实际问题来做）

公式

1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)

2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2

3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2

4.求任意线段的长：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2（注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和）

5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式

两个一次函数 y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 两式任一式得到y=y0 则(x0,y0)即为 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 交点坐标

6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2]

7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（X-x1）/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2)(其中分母为0，则分子为0)

x y

+，+（正，正）在第一象限，-（负，负）在第三象限

+，-（正，负）在第四象限

8.若两条直线y1=k1x+b1∥y2=k2x+b2，那么k1=k2，b1≠b2

9.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2，那么k1×k2=-1

10.y=k（x-n）+b就是向右平移n个单位

中考要求

1．经历函数、一次函数等概念的抽象概括过程，体会函数及变量思想，进一步发展抽象思维能力；经历一次函

数的图象及其性质的探索过程，在合作与交流活动中发展合作意识和能力．

2．经历利用一次函数及其图象解决实际问题的过程，发展数学应用能力；经历函数图象信息的识别与应用过程，发展形象思维能力．

3．初步理解一次函数的概念；理解一次函数及其图象的有关性质；初步体会方程和函数的关系．

4．能根据所给信息确定一次函数表达式；会作一次函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题.中考热点

一次函数知识是每年中考的重点知识，是每卷必考的主要内容．本知识点主要考查一次函数的图象、性质及应用，这些知识能考查考生综合能力、解决实际问题的能力．因此，一次函数的实际应用是中考的热点，和几何、方程所组成的综合题是中考的热点问题.中考命题趋势及复习对策

一次函数是数学中重要内容之一，题量约占全部试题的5％～10％，分值约占总分的5％～10％，题型既有低档的填空题和选择题，又有中档的解答题，更有大量的综合题，近几年中考试卷中还出现了设计新颖、贴近生活、反映时代特征的阅读理解题、开放探索题、函数应用题，这部分试题包括了初中代数的所有数学思想和方法，全面地考查计算能力，逻辑思维能力、空间想象能力和创造能力．

针对中考命题趋势，在复习时应先理解一次函数概念．掌握其性质和图象，而且还要注重一次函数实际应用的练习．

复习要点

一次函数的图象和性质

正比例函数的图象和性质

考点讲析

1．一次函数的意义及其图象和性质

⑴．一次函数：若两个变量x、y间的关系式可以表示成y=kx＋b(k、b为常数，k ≠0）的形式，则称y是x的一

次函数(x是自变量,y是因变量〕特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数．

⑵．一次函数的图象：一次函数y=kx+b的图象是经过点(0，b),(－，0）的一条直线，正比例函数y=kx的图

象是经过原点(0，0）的一条直线，如下表所示．

⑶．一次函数的性质：y=kx＋b(k、b为常数，k ≠0）当k ＞0时，y的值随x的值增大而增大；当k＜0时，y的值随x值的增大而减小．

⑷．直线y=kx＋b(k、b为常数，k ≠0）时在坐标平面内的位置与k在的关系．

①

②

③

④直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）；

2．一次函数表达式的求法

⑴．待定系数法：先设出式子中的未知系数，再根据条件列议程或议程组求出未知系数，从而写出这个式子的方法，叫做待定系数法，其中的未知系数也称为待定系数。

⑵．用待定系数法求出函数表壳式的一般步骤：⑴写出函数表达式的一般形式；⑵把已知条件(自变量与函数的对应值)公共秩序函数表达式中，得到关于待定系数的议程或议程组；⑶解方程(组)求出待定系数的值，从而写出函数的表达式。

二次函数知识点总结篇6

第一单元（结构与设计）知识点

一、结构的涵义：

1、结构的概念：

结构是指事物的各个组成部分之间的有序搭配和排列，结构多种多样且决定着事物存在的性质及功能。自然界形形色色的结构给了人们无限的创造灵感和启示（例苍耳子、飞机、导弹跟踪系统等）。

2、结构的分类：

根据物体的结构形态，通常将结构分为实体结构、框架结构和壳体结构三种基本类型。

实体结构是指结构体本身是实心的结构。它的受力特点是，外力分布在整个体积中，如实心墙、大坝等；框架结构是指结构体由细长的构件组成的结构。其特点是，支撑空间而不充满空间，如铁架塔、建筑用脚手架，厂房的框架等；

壳体结构是指层状的结构。它的受力特点是，外力分散作用在结构体的表面上，如摩托车手的头盔、飞机的外壳、贝壳等。

生活中很多物体的结构是由两种或两种以上的基本结构类型组合而成，称为组合结构，如埃菲尔铁塔等。

二、结构的分析：

1、承受应力：

从力学角度来说，结构是指可承受一定力的架构形态，它可以抵抗能引起形状和大小改变的力。当一个结构受到外力作用时，内部各质点之间的相互作用会发生改变，产生一种抵抗的力，称为内力。应力是构件的单位横截面上所产生的内力，当应力达到某一极限（容许应力）时，结构就会遭到破坏。用公式表示为Ơ=F/S，其中F是内力，S是受力面积，Ơ是应力。

构件的受力形式多种多样，基本受力形式有拉力、压力、剪切力、扭转力和弯曲力，很多情况下，构件可能同时受到几种不同形式的力的作用。（结构的受力分析）

2、结构的稳定性：

结构的稳定性是结构在负载的作用下维持其原有平衡状态的能力。它是结构的重要性质之一。影响结构稳定性的因素有多种，主要有重心位置的高低、结构与地面接触所形成的支撑面积的大小和结构的形状、材料等。对于一个结构而言，如果重心所在点的垂线落在结构底面的范围内，就是稳定的，不会出现倾倒。

3、结构的强度：

结构的强度是指结构具有的抵抗被外力破坏的能力。结构的强度与结构的形状、使用的材料、构件之间的连接方式等因素有密切的关系。三角形是框架中最基本的形状之一，它结实、稳定，所用材料最少。

结构构件的连接通常有两类：铰连接和刚连接。铰连接是指被连接的构件在连接处不能相对移动，但可相对转动。如门与门框的连接；刚连接是指被连接的构件在连接处既不能相对移动，也不能相对转动，具体有榫接、胶接、焊接等，如固定铁床架的连接。

三、结构的设计：

结构设计应以一种或几种功能的实现为基本目标，应满足设计规范，满足使用者的基本需要。结构设计应考虑的主要因素有：功能、符合使用者对设计对象的稳定性和强度要求，安全因素，公众和使用者的审美需求，使用者的个性化需要，对设计对象的成本控制要求和一定的使用寿命等。对于任何结构的设计安全是至关重要的因素。步骤：确定结构设计方案———绘制简单结构设计草图———做出模型或原型

四、结构的欣赏：

优秀的结构设计不仅表现在结构的实用功能上，也表现在形式上，特别是功能与形式的统一上。古今中外许多能工巧匠把结构的功能与形式恰当地结合起来，形成了一些经典的结构。赏析结构设计作品，可从技术与文化两个角度进行。

技术角度：使用功能、稳固耐用、造型设计的创意和表现力、材料合理性、工艺精湛程度等。文化角度：文化寓意与传达，美学原则，反映时代、民族、习俗方面特征，个性特征等。第二单元（流程与设计）知识点

一、流程的涵义：

1、流程的概念：

流程是一项活动或一系列连续有规律的事项或行为进行的程序。任何流程都反映了一定的时序，体现出一定的环节。

⑴ 环节：活动或事件在其发展的过程中，依据某种特征或方式，可将该过程分解为若干个小过程，称这些小过程为环节。如：切种、布种、掩种环节，冲片和印片环节等。

（2）时序：过程的经历中，各环节按照一定的时间顺序先后出现、完成。这种时间顺序关系，称为时序。如：先切种→ 再布种→后掩种。

2、流程的表达（流程图）：

依据流程的性质及人们的表达习惯，流程图有文字表达、表格表达、图示表达、模型表达、动画演示、方框图、示意图、程序等。

二、流程的分析：

1、生活与流程：

科学合理的流程，可以指导我们正确地做事，提高工作和学习的效率，是我们的生活变得有序、合理，为我们的安全提供保障（例洗衣、煮饭与烧菜的流程安排，碘盐和味精佐料的加放流程，青霉素注射流程等）。

2、生产与流程：

运用科学合理的流程可以有效地组织生产、提高生产效率、保证产品质量、保证安全生产、保护环境等。流程中工序的作业方式——串行和并行。上一道工序完成之后才能进入下一道工序——串行。几项工作同时进行——并行。

3、简单流程图的识读：

识读流程图的要点： ⑴找流程的环节，明确每个环节的功能和作用； ⑵弄清流程中时序的体现与特征； ⑶流程是技术的核心概念之一。不同的流程，产生的效益往往不同，“理解流程就是质量”、“流程就是效益”等。

三、流程的设计：

1、流程设计的基本要求：

⑴提高效率。⑵提高质量。⑶保证安全。⑷节省资源。⑸提高管理水平。⑹提高经济效益。⑺其他，如注意环保、方便操作等。

2、流程设计中的基本因素：

研究内在属性与规律，就是流程设计应该考虑的基本因素。

生产活动中的流程设计的基本因素主要有材料、工艺、设备、人员、资金和环境等。不同行业的流程设计中考虑的基本因素各有差异。

3、流程设计的步骤：

第一步：首先要明确设计的目的和任务，明确流程所应遵循的内在变化规律。第二步：要分析现有材料、设备、资金、人员、工艺和环境等因素。第三步：列出流程涉及的主要事项，并进行初步的排列。第四步：分析各事项（步骤）之间的先后顺序，合理地安排流程的时序和环节。第五步：选择一个合适的表达方式画出流程图，对于有严格时间的时序，要标注时间。注意：流程设计的基本要素是环节和时序。

4、学画流程设计的框图：

画流程设计框图的一般方法：⑴根据对事物的内在属性和规律的分析，以及有关的考虑，将流程的全过程，按每个阶段的功能、作用的不同，分解为若干小过程——环节，并用方框表示环节。⑵按照每个小过程应该经历的时间顺序，将各环节依次排开，并用箭头线连接起来。

四、流程的优化：

1、流程的优化及目的：

在设计和实施流程的过程中，经常需要进行不断的修改和完善，这种对流程修改的过程，叫做流程的优化。目的：提高工作效率、降低成本、降低劳动强度、节约能耗、减少环境污染、保证安全生产等。

2、流程优化的内容：

一般流程优化的主要内容有：工期优化、工艺优化、成本优化、技术优化、质量优化等。

对一个流程的优化，可以是整体的全面优化，也可以是对某一个指标进行优化。经常会有这样的情况发生：某一个指标得到了优化，而使另外的指标下降了。比如，技术优化，可能使成本提高。成本优化了，也可能使质量下降。因此，在进行流程优化时，要综合平衡，以取得整体优化的成效。

3、流程优化的条件：

⑴内部条件：对流程内在机理和规律的深入了解。比如对洗涤原理的了解，就会在流程中安排两次漂洗； ⑵外部条件：设备和工艺水平的提高或完善，以及人员技术水平的提高。比如，只有在具备锻压设备时，才可能将法兰盘的加工改为少量切削加工。

第三单元（系统与设计）知识点

一、系统的涵义：

1、系统的概念：

由相互联系、相互作用、相互依赖和相互制约的若干要素或部分组成的具有特定功能的有机整体，称为系统。

构成系统，必须具备三个条件：第一，至少要有两个或者两个以上的要素（部分）才能组成系统；第二，要素（部分）之间相互联系、相互作用，按照一定方式形成一个整体；第三，这个整体具有的功能是各个要素（部分）的功能中所没有的。

2、系统的组成、类型：

系统是普遍存在的，也是多种多样的。根据需要，可以对系统进行不同的分类。如，可把系统分为自然系统和人造系统，自然系统是自然形成的系统（如生态系统），人造系统是由人工制造加工而成的系统（如计算机系统和机械传动系统）；也可把系统分为实体系统和抽象系统，实体系统是实物形态的（如生物系统、机械系统），抽象系统是非实物形态的（如哲学系统）。

3、系统的基本特性：

系统的基本特性主要有整体性（全局、集合）、相关性（匹配、关联）、目的性（功能）、动态性（更新）和环境适应性（自适应）等，这些特性都体现了一定的思想与方法。（结合课本相关案例，学会运用系统的基本特性，分析身边的系统）。

二、系统的分析：

1、系统分析及其目的：

系统分析是指为了发挥系统的功能，实现系统的目标，运用科学的方法对系统加以周详的考察、分析、比较、试验，并在此基础上拟订一套有效的处理步骤和程序，或对原有的系统提出改进方案的过程。目的：寻求解决问题的最佳决策。

2、系统分析的一般步骤：

明确问题，设立目标——收集资料，制定方案——分析计算，评价比较——检验核实，作出决策。

（结合田忌赛马案例）

3、系统分析的主要原则：

系统分析应遵循整体性原则（丁谓修复皇宫）、科学性原则（三三进九不如二五一十）和综合性原则（孝襄高速公路）。

三、系统的优化：

1、系统优化的目的：

系统的优化是指在给定的条件（或约束条件）下，根据系统的优化目标，采取一定的手段和方法，使系统的目标值达到最大化（或最小化）。

最小的成本——最大的利润；最短的工期——更多的工程量；最少的能耗——更多的产品；单位面积土地——更高的农业产量。（案例：农业间作套种，家具利润问题等）

优化目标；目标函数；约束条件（不能人为调节）；影响因素（可以人为调节）。

2、系统优化的方法：

数学模型——最优解；科学估算、试验——满意解。结合案例，分析系统优化的实现。

四、系统的设计：

1、系统设计的目的、方法与过程：

系统设计是对各种各样的系统进行调查分析、筹划研究、评价实施、运行改善等，直到完成一个能协调工作的实际系统的过程。

系统设计要考虑其目的与要求（以系统的整体功能的最优为目的）、系统各部分之间的相互联系与相互作用、对系统设计方案进行优化（整体优化，统筹兼顾）等问题。

2、系统设计的一般步骤：

系统设计的步骤包括：将系统分解为若干子系统；确定各子系统的目标、功能及其相互关系；对子系统进行技术设计和评价，对系统进行总体技术设计和评价等。

3、简单系统的设计：

了解系统设计应解决的主要问题和基本的设计过程，写出系统设计或系统优化设计的书面方案，包括必要的设计草图以及量化数据。（案例：手电筒照明供电部分的设计）。

第四单元控制与设计

一、控制的手段与应用 1.控制的手段 ⑴控制的含义：案例分析：大禹治水P96 人们按照自己的意愿或目的，通过一定的手段，使事物向期望的目标发展，这就是控制。理解任何控制现象，都要明确控制的对象是什么，控制要达到什么目的和采取什么控制手段。

例如：人力三轮车转弯过程中的方向控制问题，其控制的对象就是人力三轮车，控制的目的是为了改变三轮车行驶的方向，控制的手段是骑车人通过双手转动车把，改变前轮的方向并带动后轮。

⑵控制的手段：控制的实现需要通过一定的手段。

从控制过程中人工干预的情形来分，控制有人工控制和自动控制。人工控制是在人的直接干预和全程干预下进行的。人工控制又称手动控制。

自动控制是指在无人直接参与的情况下，使事物的变化准确地按照期望的方向进行。按执行部件的不同，控制可分为机械控制、气动控制、液压控制、电子控制等。

有时，控制手段又可以综合的。案例分析：从手摇扇到空调器P98 2.控制的应用

控制应用到生活中，提高了人们的生活质量，人类能够在一定程度上按照自己的意愿改变周围的环境，使之满足人们的需要。

生产中往往需要对温度、湿度、压力、速度及加工动作等进行控制，控制在生产中得到了极为广泛的应用。控制在军事、国防等领域也有着广泛的应用。阅读：控制论

二、控制系统的工作过程与方式 1.控制系统

案例分析：自行车行驶的速度控制的实现

案例分析：电风扇的风速控制的实现

任何一种控制的实现，都要通过若干个环节，这些环节构成一个系统，我们称之为控制系统。一般的控制过程都有一个输入和一个输出，控制系统的输入输出之间有一定的对应关系。

控制系统一般分为开环控制系统和闭环控制系统。2.开环控制系统

控制系统的输出量不对系统的控制产生任何影响，这种控制系统为开环控制系统。

开环控制系统在日常生活中用途很广。如十字路口的红绿灯定时控制系统、楼宇的防盗报警控制系统、火灾自动报警系统、公园的音乐喷泉自动控制系统等。

案例分析：自动门的控制系统

在控制系统中，为了分析的方便，常采用方框来表示系统的环节，用单向信号线来表示系统信号传递的方向，这种图称为控制系统的方框图，它表示了系统的各个环节在系统中的位置、功能和相互之间的关系。对于开环控制系统，通常可以用下面的方框图来描述：

输入量即控制系统的给定量，如游泳池进水的设定时间；输出量（被控量）即控制系统所要控制的量，也是控制系统的输出信号，如游泳池的水位；被控对象即控制系统中所要求的装置或生产过程，如游泳池；执行器即直接对被控对象进行控制的装置或元件，如进水阀门；控制器即对输入信号进行处理并发出控制命令的装置或元件，如控制电路；控制量即执行器的输出信号，如流过阀门的水量。案例分析：水泵抽水控制系统 3.闭环控制系统

系统的输出量返回到输入端并对控制过程产生影响的控制系统称为闭环控制系统。简单闭环控制系统的方框图如下：

检测装置测量出被控量并返回到系统的输入端；是比较器，它将给定量与所检测的被控量进行比较，求出偏差值；控制器将这一偏差值进行运算处理，并向执行器下达控制指令；执行器根据指令对被控对象进行控制，从而使被控量稳定在一定范围内。

与开环控制系统相比，闭环控制系统多了一个由检测装置组成的环节。

三、闭环控制系统的干扰与反馈 1.干扰因素

在控制系统中，除输入量（给定值）以外，引起被控量变化的各种因素称为干扰因素。有的干扰因素是环境造成的，如影响自行车行驶速度的变化的自然风等；有的干扰因素是人为原因所致，如影响飞机导航信号的手机信号等。

在控制系统中，干扰因素可能有一个，也可能有若干个。如战士在大风大雨中进行射击练习，风和雨都是子弹命中准确度的干扰因素。控制系统在工作中必须克服干扰，使被控量稳定。

案例分析：电视机

有些情况可以利用干扰因素实现某种目的。如在军事演习中，红方利用一定频率的电磁波对蓝方的信息指挥系统进行干扰，使之不能正常工作。

2.反馈

（1）什么是反馈

控制系统中，将输出量通过适当的检测装置返回到输入并与输入量进行比较的过程，就是反馈。案例分析：投篮

利用反馈来分析和处理被控制对象，通过系统的书出来调整系统的行为，使系统沿着预期的目标运用的方法，称为反馈方法。如普通电水壶将水加热至沸腾时，需要人工关闭电源，而自动电水壶具有挡水沸腾时自动切断电源的功能，终究是运用反馈方法实现自动控制的结果。

(2)闭环控制系统的工作过程

从反馈来看，闭环控制系统就是指在系统的输出端与输入端之间存在反馈问题，输出量对控制过程产生影响的控制系统。闭环控制系统的核心是通过反馈来减少被控制量（输出量）的偏差。

一个闭环控制系统，能够克服外界干扰，使被控量控制在给定值附近。案例分析：供水水箱的水位自动控制系统案例分析：加热炉的温度自动控制系统（3）闭环控制系统与开环控制系统的比较

开环控制系统一般结构简单，适用于控制精度要求不高而系统本身的元件又比较稳定的场合。

闭环控制系统设计比较麻烦，结构相对复杂，构成控制系统的成本较高。闭环控制系统是自动控制中广泛采用的一种方式，用于要求高精度和高可靠性的场合。

3.功能模拟方法：以功能和行为的相似性为基础，用“模型”模拟“原型”的功能和行为的方法，就是功能模拟法。

阅读：功能模拟方法的提出

思考：功能模拟方法对技术有何意义？

4.黑箱方法：把将要研究的系统作为黑箱，通过对系统输入与输出关系的研究，进而推断出系统内部结构及其功能的方法，就是黑箱方法。黑箱方法提供了一种不必打开黑箱就可以研究其内部结构和功能的方法。例如，通过输入图像、电或声音信号，观测、分析脑电波的输出反应，研究人脑对视觉或听觉信息的传递、变换和处理功能，得知人脑内部结构的细节，就是黑箱方法的运用。

四、控制系统的设计与实施 1.控制系统设计的一般思路

设计好一个控制系统，应该明确这个系统要达到的目的是什么，所要控制的对象是什么，被控制对象有哪些重要的特性，被控量和控制量分别是什么，外界的主要干扰因素有哪些，选择怎样的设计方案既能达到目的，又能经济、易于实现，如何选择设备和元件，等等。

设计一个控制系统，是选择开环控制还是闭环控制，应根据对控制精度的要求以及条件的可行性而定。能达到控制目的，采用易于实现的控制方式，降低控制成本、减少对环境的负面影响等，是我们进行控制系统设计必须考虑的基本问题。

控制系统的设计方案，还包括画出必要的设计图纸（控制电路设计或系统结构设计）和实施图纸、撰写说明书等。

（1）开环控制系统的设计

开环控制系统的设计相对比较简单，在明确设计要求，明确被控对象、被控量和控制量后，即可考虑具体控制系统的方案。例如：普通电风扇控制系统的设计，被控对象是电风扇，被控量是电风扇输出的风速，控制量是电机的转速；若是具有定时功能的电风扇控制系统的设计，则需在开关环节加一个定时器。

案例分析：电吹风控制系统的设计

设计要求：电吹风能根据不同的挡位（如冷风挡档、热风挡）输出不同种类的风。

设计分析：电吹风控制系统的被控对象是电吹风装置，被控量是风的速度和温度，控制量是电机的电压，干扰因素是房间温度、电源电压的波动等。

电吹风的控制工作过程：电吹风是要将其内部电热丝的热量通过一个小电风扇扩散出去。方案构思：选择开环控制系统实现电吹风的控制要求。

设定风的档位就设定了电机的电压和电热丝的阻值，接通电源后，电机带动一个小风扇转动，产生的风通过电吹风的电热丝，输出的就是与设定的风种相对应的风。

确定了电吹风控制系统的设计方案后，画出必要的电气线路图，选择适当型号的元件和配件，进行组装、调试。