数形如何巧结合

数形如何巧结合（精选12篇）

数形如何巧结合 篇1

论文摘要：数形结合是一补重要的教学思想方法。在小学教学中，它主要表现在把抽象的数量关系，转化为适当的几何图形，从图开的直观特征发现数量之间存在的联系，以达到化难来易、化繁为简、化隐为显的目的，使问题简捷地得以解决。通常是将数量关系转化为线段图，这是基本的、自然的手段。对于某些题，如线段图不能清晰地显示其数量关系，则可以通过对线段图的分析、改造、设计、构造出能清晰显示其数量关系的几何图形。本文通过两个具体的例子揭示了分析、改造的方法。

论文关键词：数形结合、线段图、几何图形

论文正文：数形结合是小学数学中常用的、重要的一种数学思想方法。数形结合思想的实质即通过数形之间的相互转化，把抽象的`数量关系，通过理想化抽象的方法，转化为适当的几何图形，从图形的结构直观地发现数量之间存在的内在联系，解决数量关系的数学问题，这是其一。其二，或者把关于几何图形的问题，用数量或方程等表示，从它们的结构研究几何图形的性质与特征。

在小学数学中，用得最多的是前者，而且在应用题的分析求解中，通常是将数量关系转化成线段图。然而，这并不是唯一的方式。实际上，在不同的问题中，可将数量关系转化为不同的图形。其中有一个原则：能把数量关系最清晰、最直接地显示出来的图形，是我们最佳的选择。

例1 一色糖果平均分给三个小朋友，如果每人吃掉4块，那么三人剩下的糖块数之和恰好是原糖果数的1/3，原糖果有多少块?

分析与解：如用线段图表示数量关系，则如下图所示，其中带斜线的线段表示每人吃掉的糖块数：

由于题目给出的是三人剩下的糖块数之和，与原糖果数的关系，在以上线段图中，三人剩下的糖块数是三条未带斜线且各自分离的线段，较难发现

数形如何巧结合 篇2

一、数形结合在代数问题中的应用

代数问题通常比较抽象, 有些试题若不灵活处理, 稍做转换, 会使解题过程非常复杂。数形结合思想方法的运用能将部分抽象的代数试题转化为几何试题, 从而克服了代数方法求解的复杂性, 将试题变得清晰化、具体化、简单化。

例1:对于任意的实数x1, x2, min{x1, x2}表示x1, x12中较小的那个数, 若f (x) =2-x2, g (x) =x, 则min{f (x) , g (x) }的最大值是______。

分析与解:不妨设h (x) =min{f (x) , g (x) }, 当2-x2>x, 即-2

二、数形结合在函数中的应用

在高中数学中涉及函数的试题非常多, 如二次函数、指数函数、对数函数及求函数的单调区间、利用函数图象确定方程解的个数等等。数形结合思想在函数中的运用主要体现在从“形”的角度反映变量之间的变化规律, 图的直观性有助于题意的理解、性质的讨论、思路的探求和结果的验证。因此, 如何让数与形在学生的头脑中密切结合起来是教师教学的关键所在。

例2:若函数f (x) =ax-x-a (a>0, 且a≠0) 有两个零点, 则实数a的取值范围是______。

分析与解:求解此类问题的一般思路是:因此题考查的是函数零点与对应方程的根的关系, 所以需利用数形结合方法, 分两类情况分别讨论!可令f (x) =0得ax=x+a在同一坐标系中分别作出函数y=ax, y=x+a在01两种情况下的图象 (见图2、3) , 问题便可迎刃而解, 直观明了, 可知答案即为a>1。

思路扩展:当方程两端对应的函数类型不同时, 解题思路通常有三种, 一是解方程的方法, 方程稍微复杂一点会不适用;二是零点存在定理, 通过取特殊点来确定图象的大概位置;三是用途较广泛的数形结合法, 可将原本抽象空洞的函数问题直观化, 使思路豁然明晰。

三、数形结合在值域问题中的应用

数形结合作为一种数学解题思路, 有两方面的含义:一方面对“形”的问题引入坐标系或寻找其数量关系式, 用“数”的分析加以解决 (如例2) ;另一方面对于数量间的关系问题, 分析其几何意义, 借助形的直观来解, 如值域类的问题 (见例3) 。

例3:如果实数x, y满足等式 (x-2) 2+y2=3, 那么的最大值是什么?

评析:数形结合思维方法的运用使本题不易表示出的代数表达式转化为求圆的切线斜率, 此时再来对值域进行求解, 就非常简单了。

四、数形结合在证明题中的应用

例4:A, B为平面上的两定点, C为平面上位于直线AB同侧的一个动点, 分别以AC、BC为边, 在△ABC外侧做正方形CADF、CBEG, 求证:无论C点取在直线AB同侧的任何位置, DE的中点M的位置不变。

分析与解:由于D、E随着C的变化而变化, 但M为定点, 故用几何方法不易说清变换思维角度, 如以C点坐标为参量, 证得M点坐标不随其变化而变化即可获证。

证明:以AB中点为坐标原点 (如图5) , 直线AB为实轴, 建立复平面。

评析:此题唯有以数量形, 以形辅数, 数形结合, 才能深刻、精确又形象直观地解出试题。

由此可见, 数形结合, 就是根据数与形之间的对应关系。通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想, 实现数形结合, 常常被用于代数式、函数、值域问题、数轴、复数等与图象的对应关系, 并尽量使所给的式子或方程具有明显的几何意义。这样才能将抽象思维转化为形象思维, 避免复杂的计算与推理, 从而大大简化解题过程。

所以, 无论是填空题、选择题还是解答证明题, 要让学生心中时时装有与“数”相对应的“形”, 做到“数”与“形”之间的灵活转换, 实现见图知数、看数有图。只有真正掌握了这种数形结合的思维方式, 才能找到最佳的解题思路, 提高解题能力, 从而增强学生的数学素养, 为赢得高考胜利打下坚实的基础。

摘要：要想学好数学, 思维方法至关重要, 它是对数学规律的理性认识。数形结合就是利用数与形之间的对应关系, 通过数与形的相互转化来解决数学问题。数形结合思维方法被广泛应用于代数、函数方程、值域问题、不等式证明等不同试题中, 通过数与形的相互辅助, 将试题化繁为简、由难变易。

数形结合巧解题 篇3

例1文具店､书店､服装店依次坐落在一条东西走向的大街上,文具店在书店的西边30m处,服装店在书店的东边80m处,小明从书店出来沿街先向西走了20m,接着又向东走了100m,则小明此时的位置在().

A. 文具店处 B. 书店东100m处

C. 服装店处D. 文具店东100m处

把这条东西走向的大街看成数轴,把书店看成原点,以正东方向为正方向,1个单位长度代表1m,画出数轴,如图1所示,则文具店的位置可表示为-30,服装店的位置可表示为+80.由于小明从书店先向西走了20m,接着又向东走了100m,故小明的位置在数轴上可用+80来表示,所以小明此时的位置在服装店处.故选C.

例2蜗牛从点O开始沿东西方向的直线爬行,规定向东爬行的路程为正,向西爬行的路程为负,爬过的各段路程(单位: cm)依次为+5,-2,-7,+3,+1.

(1)蜗牛最后是否回到了出发点?

(2)在爬行过程中,若每爬1cm奖励一粒芝麻,则蜗牛一共可得到多少粒芝麻?

(1) 把这条直线看成一条数轴,点O为原点,向东为正方向,1个单位长度代表1cm,把蜗牛看成点P,则蜗牛的爬行可看成是点P在数轴上移动.蜗牛爬行的过程就是点P先从原点O向右移动5个单位长度到达点A,再向左移2个单位长度到达点B, 再向左移7个单位长度到达点C,又向右移3个单位长度到达点D,最后向右移1个单位长度回到出发点O,如图2.

(2) 蜗牛爬行的总路程为| +5|+| -2| +| -7| +| +3| +| +1|=5 +2 +7 +3 +1=18(cm).故它可以得到18粒芝麻.

数形结合热点题解析 篇4

数形结合热点题解析

数形结合是一种重要的数学思想.近几年各地中考题中涌现出一类热点题目,这类题都要求学生在相对陌生的情形下应用数形结合思想来解答.因此,在某种程度上,这类题也考查了学生的创新意识、创新能力.

作 者：叶新和 作者单位：江苏省泰州市许庄三星北路44号,225324刊 名：中学教与学英文刊名：TEACHING AND LEARNING IN SECONDARY SCHOOL年，卷(期)：“”(1)分类号：关键词：

数形结合论文参考文献 篇5

[1]于宏坤.浅谈数形结合思想方法在解题中的应用[J].佳木斯教育学院学报，2012(01).[2]黄刚.初中数形结合思想教学过程探讨[J].曲靖师专学报(Z3).[3]肖鸣.浅谈初中数学中数形结合思想的教学[J].厦门教育学院学报，(02).[4]李延奎.数形结合思想在解题中的应用[J].山东教育(27).[5]钱建良，张菁.例说数形结合思想的`应用[J].中学生数学2014(09).[6]胡明星.等价转换一目了然数形结合思想复习指导与能力提升[J].中学理科，(01).

初中数学复习数形结合谈数轴 篇6

一、阅读与思考

数学是研究数和形的学科，在数学里数和形是有密切联系的。我们常用代数的方法来处理几何问题；反过来，也借助于几何图形来处理代数问题，寻找解题思路，这种数与形之间的相互作用叫数形结合，是一种重要的数学思想。

运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力工具，主要体现在以下几个方面：

1、利用数轴能形象地表示有理数；

2、利用数轴能直观地解释相反数；

3、利用数轴比较有理数的大小；

4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。

二、知识点反馈

1、利用数轴能形象地表示有理数；

例1：已知有理数在数轴上原点的右方，有理数在原点的左方，那么（）

A．

B．

C．

D．

拓广训练：

1、如图为数轴上的两点表示的有理数，在中，负数的个数有（）

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

A．1

B．2

C．3

D．43、把满足中的整数表示在数轴上，并用不等号连接。

2、利用数轴能直观地解释相反数；

例2：如果数轴上点A到原点的距离为3，点B到原点的距离为5，那么A、B两点的距离为。

拓广训练：

1、在数轴上表示数的点到原点的距离为3，则

2、已知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3，那么所有满足条件的点B与原点O的距离之和等于

。（北京市“迎春杯”竞赛题）

3、利用数轴比较有理数的大小；

例3：已知且，那么有理数的大小关系是

。（用“”号连接）（北京市“迎春杯”竞赛题）

拓广训练：

1、若且，比较的大小，并用“”号连接。

例4：已知比较与4的大小

拓广训练：

1、已知，试讨论与3的大小

2、已知两数，如果比大，试判断与的大小

4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。

例5：

有理数在数轴上的位置如图所示，式子化简结果为（）

A．

B．

C．

D．

拓广训练：

1、有理数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为。

2、已知，在数轴上给出关于的四种情况如图所示，则成立的是。

①

②

③

④

3、已知有理数在数轴上的对应的位置如下图：则化简后的结果是（）

（湖北省初中数学竞赛选拨赛试题）

A．

B．

C．

D．

三、培优训练

1、已知是有理数，且，那以的值是（）

A．

B．

C．或

D．或

0

A

B

C2、（07乐山）如图，数轴上一动点向左移动2个单位长度到达点，再向右移动5个单位长度到达点．若点表示的数为1，则点表示的数为（）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

3、如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D对应的数分别是整数且，那么数轴的原点应是（）

A．A点

B．B点

C．C点

D．D点

4、数所对应的点A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，那么与的大小关系是（）

A．

B．

C．

D．不确定的5、不相等的有理数在数轴上对应点分别为A，B，C，若，那么点B（）

A．在A、C点右边

B．在A、C点左边

C．在A、C点之间

D．以上均有可能

6、设，则下面四个结论中正确的是（）（全国初中数学联赛题）

A．没有最小值

B．只一个使取最小值

C．有限个（不止一个）使取最小值

D．有无穷多个使取最小值

7、在数轴上，点A，B分别表示和，则线段AB的中点所表示的数是。

8、若，则使成立的的取值范围是。

9、是有理数，则的最小值是。

10、已知为有理数，在数轴上的位置如图所示：

且求的值。

11、（南京市中考题）(1)阅读下面材料：

点A、B在数轴上分别表示实数，A、B两点这间的距离表示为，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，；当A、B两点都不在原点时，①如图2，点A、B都在原点的右边；

②如图3，点A、B都在原点的左边；

③如图4，点A、B在原点的两边。

综上，数轴上A、B两点之间的距离。

（2）回答下列问题：

①数轴上表示2和5两点之间的距离是，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是；

②数轴上表示和-1的两点A和B之间的距离是，如果，那么为；

③当代数式取最小值时，相应的的取值范围是；

数形结合巧解妙证不等式 篇7

“数形结合”解 (证) 不等式就是根据不等式的特点, 以数想形, 提炼其蕴含的几何特征, 用几何图形的直观性, 具体、生动、和谐地将数与形相结合, 依据形的性质和关系, 以“形”解 (证) 其数”.“数形结合法”是解 (证) 不等式的一个重要方法, 不仅直观易发现解题途径, 而且能避免复杂的计算与推理, 大大简化解题过程, 提高解题速度, 收到事半功倍的效果.

一、借助数轴, 巧解不等式

形如|x-a|±|x-b|>m (或<m)

(a、b、m为常数) 的绝对值不等式, 利用实数绝对值的几何意义求解较简便.

例1 解不等式|2x+1|+|2x-3|<6.

解:原不等式可化为

$|x+\frac{1}{2}|+|x-\frac{3}{2}|<3.$

原不等式的几何意义是数轴上的点x到点$-\frac{1}{2}$与到点$\frac{3}{2}$的距离和小于3.从图1中可以看出点-1与点2之间的点到点$-\frac{1}{2}$与到点$\frac{3}{2}$的距离和小于3.

故原不等式的解集为 (-1, 2) .

二、借助两函数图像位置关系, 巧解不等式

将原不等式适当变形, 优化不等式结构, 再将不等式两边分别看作两个函数, 考察两个函数的图像, 以形助数, 能避免繁冗的计算和讨论, 展现出以简驭繁的思路.

例2 解不等式$\sqrt{x+3}+|x|>2.$

解:原不等式可化为$2-|x|<\sqrt{x+3},$

如图2, 在同一直角坐标系中作函数

y=2-|x|及函数$y=\sqrt{x+3}$的图像.

由

$\{\begin{array}{l}-2\le x<0\\ 2+x=\sqrt{x+3}\end{array}$

, 得$x=\frac{-3+\sqrt{5}}{2};$

由

$\{\begin{array}{l}0\le x<2\\ 2-x=\sqrt{x+3}\end{array}$

, 得$x=\frac{5-\sqrt{21}}{2}.$

结合图像可得原不等式的解集为

$[-3,\frac{-3+\sqrt{5}}{2}){\displaystyle \cup (}\frac{5-\sqrt{21}}{2},+\infty ].$

评注:这种方法要注意思维监控, 确保两个函数的图像都易作.

例3 若不等式$\sqrt{2x+1}<x+a$的解集为 (m, +∞) , 求m的最小值.

解:在同一直角坐标系中作函数

$y=\sqrt{2x+1}$与y=x+a的图像.

如图3, 设l2与$y=\sqrt{2x+1}$交于

A (x1, y1) 、B (x2, y2) (x1<x2) .

当直线y=x+a在l1位置时, 原不等式的解集为$[-\frac{1}{2},+\infty ).$

当直线y=x+a在l2位置时, 原不等式的解集为$[-\frac{1}{2},x{}_1){\displaystyle \cup (}x{}_2,+\infty ).$

结合图像知, 当直线y=x+a在l3位置时, 即 过点$(-\frac{1}{2},0)$时, m取最小值.

将$(-\frac{1}{2}‚0)$代入y=x+a, 得$a=\frac{1}{2}.$

由$\sqrt{2x+1}=x+\frac{1}{2},$

解得$x{}_1=-\frac{1}{2},x{}_2=\frac{3}{2}.$

故m的最小值为$\frac{3}{2}.$

评注:“动”是绝对的, “静”是相对的, 这是自然规律, 也是一种重要的数学思想.在本题的求解过程中, 要考虑函数图像可能发生的变化情况, 数形结合, 以静制动.

三、借助二次方程实根分布, 巧解不等式

若已知实系数一元二次方程实根的分布范围, 则可根据“判别式, 对称轴、区间端点值”确定相应二次函数的某些性质.因此利用二次方程实根分布范围处理不等式, 可使其解法简捷巧妙.

例4 设A={x|1<x<3}, 又设B是关于x的不等式组

$\{\begin{array}{l}x{}^2-2x+a\le 0\\ x{}^2-2bx+5\le 0\end{array}\begin{array}{l}①\\ ②\end{array}$

的解集, 且A⊆B, 试确定a, b的取值范围.

解:记f (x) =x2-2x+a, B1为不等式①的解集;

记g (x) =x2-2bx+5, B2为不等式②的解集.

则B=B1∩B2, 又因为A⊆B,

所以A⊆B1且A⊆B2, 如图4,

所以

$\{\begin{array}{l}f(1)\le 0\\ f(3)\le 0\end{array}$

且

$\{\begin{array}{l}g(1)\le 0\\ g(3)\le 0\end{array},$

即

$\{\begin{array}{l}-1+a\le 0\\ 3+a\le 0\end{array}$

, 且

$\{\begin{array}{l}6-2b\le 0\\ 14-6b\le 0\end{array},$

解得a≤-3且b≥3.

评注:这种解法新颖、别致, 避开了对参数a、b的一场大规模讨论.

四、借助曲线示意图, 巧解不等式

构造辅助函数, 利用零点将定义域分段, 分别考查各区间上函数值的取值符号, 用具体的求值验证代替抽象的逻辑推理, 这种方法又称之为“穿针引线法”, 可操作性强, 不失为一种有效手段.

例5 解不等式$\sqrt{x+1}-\sqrt{3-x}\ge x-1.$

解:构造函数$f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{3-x}-x+1$, 其定义域为[-1, 3].

令f (x) =0, 解得x=-1, 1, 3.

取$x=0\in [-1,1],f(0)=2-\sqrt{3}>0.$

取$x=2\in (1,3],f(2)=\sqrt{3}-2<0.$

曲线示意图如图5.

结合图形可得原不等式的解集为

[-1, 1]∪{3}.

五、借助线性规划, 巧解不等式

通过“双换元”将原不等式转化为混合组, 在可行域内根据几何意义先求出辅元的范围, 使原不等式得到巧妙解决, 这种方法简单直观, 具有创新性.

例6 解不等式$\sqrt{3-x}-\sqrt{x+1}>\frac{1}{2}.$

解:令$\sqrt{3-x}=u,\sqrt{x+1}=v$, 则

$\{\begin{array}{l}u-v>\frac{1}{2}\\ u{}^2+v{}^2=4\\ u,v\ge 0\end{array}.$

联立u2+v2=4 (u、v≥0) 与$u-v=\frac{1}{2},$

解得$u=\frac{1+\sqrt{31}}{4},v=\frac{-1+\sqrt{31}}{4}.$

根据约束条件画出可行域, 如图6, 则可行域为圆在第一象限内的弧$\stackrel{⌢}{AB}$ (含点A (2, 0) , 不含点$B(\frac{1+\sqrt{31}}{4}‚\frac{-1+\sqrt{31}}{4})).$

由$\frac{1+\sqrt{31}}{4}<u\le 2,$

解得$-1\le x<1-\frac{\sqrt{31}}{8}.$

六、借助圆锥曲线求解, 巧解不等式

有些不等式, 有解析几何背景, 通过仔细观察整体结构特征, 联想两点间的距离公式、斜率公式、定比分点公式、圆锥曲线定义等, 化数为形, 直接而简明地获解.

例7 解不等式

$\sqrt{x{}^2+4x+8}+\sqrt{x{}^2-4x+8}\le 6.$

解:原不等式可化为$\sqrt{(x-2){}^2+2{}^2}+\sqrt{(x+2){}^2+2{}^2}\le 6$, 令y2=22, 得到一个平面区域$\frac{x{}^2}{9}+\frac{y{}^2}{5}\le 1$, 如图7.

在$\frac{x{}^2}{9}+\frac{y{}^2}{5}=1$中, 令y2=22, 得A、B的横坐标分别为$-\frac{3}{5}\sqrt{5}$、$\frac{3}{5}\sqrt{5}.$

结合图形可得原不等式的解集为

$\{x|-\frac{3}{5}\sqrt{5}\le x\le \frac{3}{5}\sqrt{5}\}.$

七、借助函数凹凸性, 妙证不等式

借助于凹凸函数的几何特征, 直观地导出一个几何不等式, 然后利用 所得不等式使问题得到解决.

例8 已知a、b∈R+, n∈N*, 求证:$\frac{a{}^n+b{}^n}{2}\ge (\frac{a+b}{2}){}^n.$

证明:如图8, 作函数f (x) =xn (x>0, n∈N*) 的图像, 设曲线上有两点A (a, an) , B (b, bn) , G为AB的中点, 过G作MN⊥x轴于N, 交曲线于M.因为函数f (x) 为下凸函数, 所以GN≥MN.又$G(\frac{a+b}{2},\frac{a{}^n+b{}^n}{2}),{\rm M}(\frac{a+b}{2},(\frac{a+b}{2}){}^n)$, 故$\frac{a{}^n+b{}^n}{2}\ge (\frac{a+b}{2}){}^n.$

例9 已知a、b、c∈R+, 求证:

$\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\le \frac{3(a+b+c)}{3+a+b+c}.$

证明:如图9, 作函数$f(x)=\frac{x}{1+x}(x>0)$的图像, 设曲线上有三点A (a, f (a) ) , B (b, f (b) ) , C (c, f (c) ) , G为△ABC的重心, 过G作MN⊥x轴于N, 交曲线于M.因为函数f (x) 为上凸函数, 所以GN≤MN.又

$\begin{array}{l}G(\frac{a+b+c}{3},\frac{f(a)+f(b)+f(c)}{3}),\\ {\rm M}(\frac{a+b+c}{3},f(\frac{a+b+c}{3})),\end{array}$

所以$\frac{f(a)+f(b)+f(c)}{3}\le f(\frac{a+b+c}{3}).$

即$\frac{1}{3}(\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c})\le \frac{\frac{a+b+c}{3}}{1+\frac{a+b+c}{3}}$, 故$\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\le \frac{3(a+b+c)}{3+a+b+c}.$

八、借助面积关系, 妙证不等式

有些不等式问题, 如果仅以代数法去考虑, 则比较复杂, 若由不等式的结构, 联想到几何图形的面积公式, 利用面积关系去解决就会由难变易, 由繁变简.

例10 已知a、b、c∈ (0, 1) , 求证: (1-a) b+ (1-b) c+ (1-c) a<1.

证明:如图10, 作边长为1的正△ABC, 分别在各边上取点D、E、F, 使AD=c, BE=a, CF=b, 则DB=1-c, EC=1-a, FA=1-b.

因为S△EFC+S△ADF+S△BDE<S△ABC,

即$\frac{1}{2}(1-a)b\sin C+\frac{1}{2}(1-b)c\sin A+\frac{1}{2}(1-c)a\sin B<\frac{1}{2}\cdot 1{}^2\cdot \sin 60°.$

因为A=B=C=60°,

所以 (1-a) b+ (1-b) c+ (1-c) a<1.

九、借助立体几何, 妙证不等式

有些不等式, 有立体几何背景, 如a、b、c、d都是正实数, 且a2+b2+c2=d2, 我们就可以联想到长方体对角线长的公式, 构造三条棱长分别为a、b、c的长方体, 进而利用长方体的某些几何关系, 发现解题途径.

例11 已知a、b、c、d都是正实数, 且a2+b2+c2=1, 求证:$\sqrt{1-a{}^2}+\sqrt{1-b{}^2}+\sqrt{1-c{}^2}>3-(a+b+c).$

证明:根据条件a2+b2+c2=1, 可将要证不等式转化为$\sqrt{b{}^2+c{}^2}+\sqrt{c{}^2+a{}^2}+\sqrt{a{}^2+b{}^2}>3-(a+b+c).$

构造如图11所示长方体, 其中A1A=a, A1B1=b, A1D1=c.

则$AC{}_1=\sqrt{a{}^2+b{}^2+c{}^2}=1.$

在△AB1C1中, AB1+B1C1>AC1, 所以$\sqrt{a{}^2+b{}^2}+c>1.$

同理得$\sqrt{a{}^2+c{}^2}+b>1,\sqrt{b{}^2+c{}^2}+a>1.$

相加得$\sqrt{b{}^2+c{}^2}+\sqrt{c{}^2+a{}^2}+\sqrt{a{}^2+b{}^2}>3-(a+b+c).$

故原不等式得证.

用数形结合解 (证) 不等式的途径还有很多, 这里不再一一列举.

如果在平时的学习中以熟练技能、方法为目标, 加强这方面的训练, 做到“胸中有图, 见数想图”, 则不仅能开拓自己的思维视野, 丰富自己的想象, 更能培养思维的灵活性与独创性.

数形如何巧结合 篇8

一、巧用教材，养成用数形结合分析问题的意识

我们初中教材很多章节都涉及到了数形结合的思想，这就要求我们教师在进行新课教学时，就要有目的的介绍相关思想，让学生逐步领略数形结合思想的奥妙所在，把握渗透的契机。如数与数轴，一对有序实数与平面直角坐标系，一元一次不等式的解集与一次函数的图象，二元一次方程组的解与一次函数图象之间的关系等，都是渗透数形结合思想的很好机会。

如：直线是由无数个点组成的集合，实数包括正实数、零、負实数也有无数个，因为它们的这个共性所以用直线上无数个点来表示实数，这时就把一条直线规定了原点、正方向和单位长度，把这条直线就叫做数轴。建立了数与直线上的点的结合。即：数轴上的每个点都表示一个实数，每个实数都能在数轴上找到表示它的点，建立了实数与数轴上的点的一一对应关系，由此让学生理解了相反数、绝对值的几何意义。建立数轴后及时引导学生利用数轴来进行有理数的比较大小，学生通过观察、分析、归纳总结得出结论：通常规定右边为正方向时，在数轴上的两个数，右边的总大于左边的，正数大于零，零大于负数。让学生理解数形结合思想在解决问题中的应用。为下面进一步学习数形结合思想奠定基础。在初中代数列方程解应用题教学中，很多例题都采用了图示法进行分析，在教学过程中要充分利用图形的直观性和具体性，引导学生从图形上发现数量关系，找出解决问题的突破口，学生掌握了数形结合这一思想要比掌握一个公式或一种具体方法更有价值，对解决问题更具有指导意义。

又如，计算：1+3=？1+3+5=？1+3+5+7=？1+3+5+7+9=？并根据计算结果，探索规律。在这道题的教学中，首先应让学生思考：从上面这些算式中你能发现什么？让学生经历观察（每个算式和结果的特点）、比较（不同算式之间的异同），归纳（可能具有的规律）、提出猜想的过程。在探索过程中鼓励学生进行相互合作交流，提供如下的帮助：列出一个点阵，用图形的直观来帮助学生进行猜想。这就是典型的把数量关系问题转化到图形中来完成的题型，充分体现了数形结合思想。

此外，数学教学中，我们正是借助数形结合的载体——数轴，学习研究了数与点的对应关系，相反数、绝对值的定义，有理数大小比较的法则等，利用数形结合思想大大减少了引进这些概念的难度。数形结合思想的渗透不能简单的通过解题来实现和灌输，应该落实在课堂教学的学习探索过程中，我在讲“相反数”这节课时，首先提出问题：“在上体育课时，体育李老师请小明和小强分别站在李老师的左右两边（三人在同一条直线上），并与李老师相距1米。你能说出小明、小强与李老师的位置关系有什么相同点和不同点吗？如果李老师所站的位置是数轴的原点，你能把小明、小强所站的位置用数轴上的点A、B表示出来吗？它们在数轴上的位置有什么关系？”

让学生动手实践，在数轴上分别确定表示这些数的点。 观察并思考：这些点在位置上有怎样的特征。引导学生归纳总结，形成相反数的概念，在此基础上继续提出问题：若两个数互为相反数，从“数、形”的角度看，它们有什么相同点和不同点呢？学生思考得到：从“数”的角度看：若两个数互为相反数，则只有符号不同。教师强调：只有、两个、互为。从“形”的角度看：相同点是它们到原点的距离相等；不同点是两个点分别在数轴原点的两侧。之后，进一步引导学生观察数轴，是否所有的相反数都成对出现？有特殊的吗？学生通过讨论得出：除0以外，相反数是成对出现的。本节课借助数轴，帮助学生理解相反数的概念，进一步渗透数形结合的思想。教学中，从学生身边的生活实例入手，先从互为相反数的两数在数轴上的特征，即它们分别位于原点的两旁，且与原点距离相等的实例出发，让学生带着问题观察数轴上的点，鼓励学生用自己的语言说出猜想，揭示这两数的几何形象。充分利用计算机课件的直观性帮助学生验证猜想，增强对相反数概念的感性认识，充分利用数轴帮助思考，把一个抽象的相反数的概念，化为直观的几何形象。在这种情况下给出互为相反数的定义：只有符号不同的两个数称互为相反数。特别地规定：0的相反数是0。学生从“数”和“形”两个方面认识相反数概念的本质特征，体会数形结合的思想，显得自然亲切，水到渠成，同时也让学生在数形结合的思想方法的引领下感受到了成功，初步领略和尝试了它的功用，是一个非常好的渗透背景。

二、学习数形结合思想，增强解决问题的灵活性，提高分析问题、解决问题的能力

在教学中渗透数形结合思想时，应让学生了解，所谓数形结合就是找准数与形的契合点，根据对象的属性，将数与形巧妙地结合起来，有效地相互转化，就成为解决问题的关键所在。

在初中学习函数知识的时候，更是借助于函数的图象来探讨函数的知识，这是数形结合思想的最生动的应用。如一次函数的性质及简单应用，渗透数形结合的思想，培养学生思维的灵活性、发散性，体验解题策略的多样性。

如下面几道小题：

① 在一次函数y=3－5x的图象中，y随x的增大而______；

② 在一次函数y=(a2+1) x－4的图象中，y随x的增大而______；

③ 在一次函数y=(m－2)x+1的图象中，y随x的增大而减小，则m；_________；

④在一次函数y=（k＋3）x－2的图象中，y随x的增大而减小，请你写出一个满足上述条件的k值_________；

⑤在一次函数y=kx＋b中，如果它的图象不经过第一象限，那么k______，b_______。

第①题是一次函数性质的直接应用，目的是使学生熟悉一次函数的性质；

第②题需要先确定a2+1﹥0后，再直接应用一次函数的性质解决问题，目的是使学生逐步理解一次函数性质；

第③题是一次函数性质的逆向应用，目的是使学生从不同的角度理解一次函数的性质；

第④题，它是一次函数性质的开放应用，目的是使学生深入、透彻理解一次函数的性质；

第⑤题是“由形想数”，培养学生数形结合的思想。

推行素质教育，培养面向新世纪的合格人才，使学生具有创新意识，在创造中学会学习，教育应更多的关注学生的学习方法和策略。数学家乔治.波利亚所说：“完善的思想方法犹如北极星，许多人通过它而找到正确的道路”。只有掌握了数学思想，才能真正把握数学本质，有效的获取数学知识和解决数学问题，从而提高他们独立获取知识的能力。而数形结合思想是众多数学思想中最重要也是最基本的思想之一，我们更应该把他渗透到数学的每一节课中，让我们的学生插上数学思想的翅膀在数学领域中畅游吧，让他们独立去体会学习数学的快乐。

数形结合在小学教学中的应用范文 篇9

数学思想有许多，数形结合思想就是其中一种重要的思想。“数”和“形”是紧密联系的。我们在研究“数”的时候，往往要借助于“形”，在探讨“形”的性质时，又往往离不开“数”。

新课标的修订，从原来的“双基”拓展到“四基”，即增加了基本思想、基本活动经验。知识和技能是数学的“双基”，而数学思想方法则是数学的灵魂。以数与形相结合的原则进行教学，这就要求我们切实掌握数形结合的思想方法，以数形相结合的观点钻研教材，努力挖掘教材中可以进行数形结合思想方法渗透的各种因素,都要考虑如何结合具体内容进行数形结合思想方法渗透。小学数学中虽然不像初中数学那样,将数形结合的思想系统化, 但作为学习数学的启蒙和基础阶段，数形结合的思想已经渐渐渗透其中，为更好的学习数与代数、空间与图形两方面的知识做铺垫，同时也在培养抽象思维，解决实际问题方面起了较大的作用。

一、运用图形，建立表象，理解本质

在低年级教学中学生都是从直观、形象的图形开始入门学习数学。从人类发展史来看，具体的事物是出现在抽象的文字、符号之前的，人类一开始用小石子、贝壳、木棍、骨头记事，慢慢的发展成为用形象的符号记事，最后才有了数字。这个过程和小学生学习数学的阶段和过程有着很大的相似之处。一年级的小学生学习数学，也是从具体的物体开始认数，很多知识都是从具体形象逐步向抽象逻辑思维过渡，但这时的逻辑思维是初步的，且在很大程度上仍具有具体形象性。

如小学应用题中常常涉及到“求一个数的几倍是多少”，学生最难理解的是“倍”的概念，如何把“倍”的数学概念深入浅出地教授给学生，使他们能对“倍”有自己的理解，并内化称自己的东西？我认为用图形演示的方法是最简单又最有效的方法。就利用书上的主题图。在第一行排出3根一组的红色小棒，再在第二行排出3根一组的绿色的小棒，第二行一共排4组绿色小棒。结合演示，让学生观察比较第一行和第二行小棒的数量特征，通过教师启发，学生小组合作讨论和交流，使学生清晰地认识到：绿色小棒与红色小木棒比较，红色小棒是1个3根，绿色小棒是4个3根；把一个3根当作一份，则红色小棒是1份，而绿色小棒就有4份。用数学语言：绿色小棒与红色小棒比，把红色小棒当作1倍，绿色小棒的根数就是红色小棒的4倍。这样，从演示图形中让学生看到从“个数”到“份数”，再引出倍数，很快就触及了概念的本质。

这方面的例子很多，如低年级开始学习认数、学习加减法、乘除法，到中年级的分数的初步认识、高年级的认识负数等都是以具体的事物或图形为依据，学生根据已有的生活经验，在具体的表象中抽象出数，算理等等。

在小学中高年级的教学中，我们要注重运用直观图形，巧妙地把数和形结合起来，把抽象的数学概念直观化，帮助学生形成概念。

例如：如，教学“体积”概念。教师可以借助形象物体设问，引导学生分析比较。首先观察物体，初步感知。让学生观察一块橡皮和铅笔盒，提问：哪个大，哪个小？又出示一个魔方和一个骰子，提问：那个大，那个小？通过观察物体，让学生对物体的大小有个感性认识。接着在一个盛有半杯水的玻璃杯里慢慢加入一块石头，学生可以观察到，随着石头的投入，杯中的水位不断上升。问：玻璃杯里的水位为什么会上升？学生从这一具体事例中获得了物体占有空间的表象。在教师的引导下，对“为什么玻璃杯里的水位会随着石头放入而升高”这一问题进行深入讨论，通过讨论交流学生能够很自然地领悟“物体所占空间的大小叫体积”

这一概念。为了进一步使概念在应用中得到巩固，继续在盛满水的玻璃杯里放石子，学生观察到水溢了出来，教师启发学生：从观察到的现象中你们发现了什么问题？学生思考后提出：杯里溢出的水的多少与放进去的石子有什么关系？经过讨论得出：从杯里溢出水的体积等于石子的体积。至此，学生不仅认识了概念，而且能够应用概念。

在利用实物创设问题情境时，教师要特别注意数与形的有机结合，以问题引导学生观察，不仅要用诱导性问题，更要用一些启发性问题，激疑性问题，让学生在观察中发现问题，自己提出问题和解决问题。教师除了提供充分的形象感性材料让学生形成鲜明的表象外，还必须在此基础上，引导学生分析和比较，及时抽象出概念的本质属性，使学生在主动参与中完成概念的建构。

二、画出图形，表达数量，揭示本质 小学生由于生活经历少，常常不能借生活经验把实际问题转化为数学问题，从而来理解数学概念。因此教师要根据教学内容的实际情况，引导学生利用直尺、三角板和圆规等作图工具画出已学过的图形，通过动手作图，帮助学生建立表象，从画图体验中领悟概念。通过作图观察、比较分析，可以发展学生的空间观念，培养学生分析、综合、抽象、概括的能力。例如，在教学“学校六月份用水210吨，比五月份节约了。五月份用水多少吨？”这一例题时，笔者没有急着和学生一起画线段图，而是让学生在认真读题和初步思考后汇报算式并说明列式的理由。这样做的目的有：一，注重学生的直觉思维，学生的直觉思维是学生真实水平的体现，根据学生的回答教师可以随时调整教学方案；二，在没有教师的任何提示下，学生的汇报与交流是学生逻辑思维水平发展的重要手段；三，当学生交流出现矛盾时，迫使学生产生验证的需要。当学生有需要时，教师就要及时引导学生画线，当线段图完成的时候，学生的争论也就戛然而止了。因为有了线段图的合理支撑，学生对210÷ 这一算式已坚信不疑了。可见，通过画线段图即数形结合的方法能有效将题目中抽象的数量关系直观形象地表示出来，从而降低解题难度。而根据学生的实际情况适当采取先数后形的策略，可以使学生的学习主动性大大增强，同时使学生的逻辑思维能力不断得到锻炼。

三、数形结合，为建立函数思想打好基础。

在实际教学中，数和形往往是紧密结合在一起，相互并存的。因此，在实际教学中教师要把数和形结合起来考察，根据问题的具体情形，把图形的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，使数与形相得益彰。

用形的直观来分析数据中的关系,体现了数形结合思想方法的优点,在数学整个发展过程中,人们也总是利用数形结合或数形的转化来研究数学问题，可见数形结合思想的重要性。

初中数学教学中的数形结合法 篇10

覃斗中学徐慧贤

数学课程标准总体目标明确提出：“让学生获得未来社会生活和进一步发展所必须的重要数学知识，以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”。数学知识本身那固然重要，但是对于学生的后续的学习，生活和工作长期起作用，并使其终身受益的是数学思想方法。初中数学常用的数学思想思想方法有：化归思想方法，分类思想方法，数形结合的思想方法，函数思想方法，方程思想方法，模型思想方法，统计思想方法，用字母代替数学的思想方法，运动变换思想方法等。

初中数学的两个分支——代数和几何，代数是研究“数”的，几何是研究”形“的。但是研究代数要借助于“形”，研究几何要借助于“数”，几何图形的形象直观，便于理解，代数方法的一般性，解题过程的机械化，可操作性强，便于把握，因此数形结合思想是数学中重要的思想方法。数学家华罗庚说的好“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离”。

数学史中的数形结合：“中国的儒家传统文化和教育统一贯重“一”或整体的价值”,这种注重“一以贯之”的整体性和直觉性的思维模式，是“数形结合”思想产生的本源。《九章算术》中所给出的各种筹算运演规则，如开方术、方程术、割圆术、阳马术、盈不足术等，从命名上就可以发现这些“程序”性法则（类似于算法）的直观性。现代数学各分支“交叉渗透，学科整合”，无不体现着数形结合长盛不衰的魅力。早在数学萌芽时期，人们在度量长度、面积和体积的过程中，就把数和形联系起来了。我国宋元时期，系统地引进了几何问题代数化的方法，用代数式描述某些几何特征，把图形之间的几何关系表达成代数式之间的代数关系。17世纪上半叶，法国数学家笛卡儿以坐标为桥梁，在点与数对之间、曲线与方程之间建立起来对应关系，用代数方法研究几何问题，从而创立了解析几何学。后来，几何学中许多长期不能解决的问题，例如立方倍积、三等分任意角、化圆为方等问题，最终也借助于代数方法得到了完满的解决。即使在近代和现代数学的研究中，几何问题的代数化也是一条重要的方法原则，有着广泛的应用。沟通数与形的内在联系，不仅使几何学获得了代数化的有力工具，也使许多代数学和数学分析的课题具有了明显的直观性，在数学解题中，运用数形结合思想，就是根据问题的具体情形，或者把图形性质问题转化成数量关系来研究，后者把数量关系问题转化成图形性质来研究，以便以数助形或以形助数，使问题简单化、抽象问题具体化。

数形结合的具体应用：

函数数形结合的应用

1、图形信息的获取，建立适当的代数模型。不少函数问题以图形的形式出现，图形中包含丰富的代数知识，仔细观察图形、图像、把握图形的特点、找出图形中的信息是解决问题的关键所在。

例1：某校部分住校生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水 2升，他们先同时打开两个放水笼头，后来因故障关闭一个放水笼头。假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y（升）与接水时间x（分）的函数图像如图。

请结合图像，回答下列问题：

（1）根据图中信息，请你写出一个结论；

（2）问前15位同学接水结束共需要几分钟？

（3）小敏说：“今天我们寝室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3分钟。”你说可能吗？请说明理由。

分析：此类题型为图像信息问题，所有的信息由图像反映，图形是折线，分为两段，代数模型为：两个不同的一次函数。根据图形可得到点的坐标（0，96），（2，80），（4，72）。代表的意义为：到2分钟，锅炉内原有水96升，接水2分钟后，锅炉内的余水量为80升，接水4分钟，锅炉内的余水量为72升；2分钟前的水流量为每分钟8升等。利用待定系数法的代数方法求出函数解析式，利用代数的精确性说理解题。

解：（1）略

（2）当0≤x≤2时，y=-8x+96（0≤x≤2），当x＞2时，y=-4x+88（x>2）

∵前15位同学接完水时余水量为96-15×2=66（升），∴66=-4x+88，x=5.5

答：前15位同学接完水需5.5分钟。

（3）若小敏他们是一开始接水的，则接水时间为8×2÷8=2（分），即8位同学接完水，只需要2分钟，与接水时间恰好3分钟不符。

若小敏他们是在若干位同学接完水后开始接水的，设8位同学从t分钟开始接水，当0＜t≤2则8（2-t）+4[3-（2-t）]=8×2，16-8t+4+4t=16，∴t=1（分），∴（2-t）+[3-（2-t）]=3（分），符合。

当t＞2时，则8×2÷4=4（分）

即8位同学接完水，需7分钟，与接水时间恰好3分钟不符。

所以小敏说法是可能的，即从1分钟开始8位同学连续接完水恰好用了3分钟。

聚焦数形寻突破建立模型巧解题 篇11

（2015·江苏常州）如图1，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是________.

二、 解法探究

本题以圆为载体，隐含角平分线、等腰三角形等基本图形.根据已知条件易得AC平分∠BAD，BC=DC，∠BCD=120°等结论.要求AC的长，很多同学感到束手无策，其主要原因在于无法应用已知条件实现角度、线段之间的相互转化.

1. 巧借几何直观，联想已有模型

【思路突破】根据“点C为弧BD的中点”可知：AC平分∠BAD，且BC=DC.由此可以联想到：点C到AB、AD两边的距离相等，进而想到过点C分别向AB、AD边作垂线，构造全等三角形和直角三角形解决问题.

【解题过程】如图2，过点C分别向AB、AD边作垂线，垂足分别为P、Q.

【模型建构】通过以上的探究，我们可以进一步提炼关于角平分线的一个几何模型，即以角平分线上的一点为圆心画圆与角的两边相交于四点的几何模型.如图3，AP平分∠MAN，C为AP上的一点，以C为圆心画⊙C，分别交AM于点B、D，交AN于点E、F.连接CB、CD、CE、CF，过点C分别向AM、AN边作垂线，垂足分别为G、H.由此可得：△ACG≌△ACH，△CBG≌△CDG≌△CEH≌△CFH，△ACB≌△ACE，△ACD≌△ACF. 上述的全等三角形你能证明吗？由此你能得到哪些结论呢？

2. 抓住数量关系，建构几何模型

【思路突破】根据“点C为弧BD的中点”可知BC=DC，由此想到：连接BD，形成等腰三角形BCD.又由“四边形ABCD是⊙O的内接四边形”得到∠BCD=120°，从而可得到△BCD的三边之比为1∶1∶.于是产生建立⊙O的内接四边形ABCD的四条边以及两条对角线之间的数量关系的想法.

【解题过程】如图4，连接BD交AC于点E.∵点C为弧BD的中点，∴弧BC=弧DC，

【模型建构】根据以上探究发现，圆内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.这个结论能否推广到任意的圆内接四边形呢？如图6，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB·CD+BC·AD=AC·BD还成立吗？受到上述探究的启发，我们尝试借助三角形相似来解决.在AC上取一点E，使∠EDC=∠ADB.

由①+②得AB·CD+BC·AD=BD·CE+BD·AE=BD·（CE+AE）=AC·BD.从而说明在一般情况下“圆内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积”也是成立的.事实上，这个结论就是数学上著名的托勒密定理.

数形如何巧结合 篇12

高中教材重点在于知识传授,但是没有明确地指出其中的数学内涵思想,学生的能力有限,所以,学生想要掌握具体的学习内涵,需要有教师的帮助.有些知识虽然通过自己的理解、记忆、联系就可以得到提升,但是数学思想的领悟不可能在瞬间就完成,这种意识需要一点一点地积累.教师要通过自身的教育实践,加强对概念、推理等知识的渗透,使抽象的数学语言可以直观地体现在学生的脑海中,让学生的脑海里抽象与形象相结合.所以,为了更好地提升教育质量,需要培养学生的数形结合思想.

1. 提升学生的学习兴趣

在教学的过程中,教师首先要注重利用数学本身的美感,引发学生的学习兴趣,让抽象的数与直观的形象相连接,提升学生在学习上的兴趣.例如在讲圆锥曲线、指数函数等数学图像时,让学生感受图像所带来的美,通过从网上找的图片,让学生臣服于数学的这种精彩之中.在数形结合的基础之上,教师要加强对学生思维的引导.

2. 培养学生的数形结合思想

数形结合不仅是一种直观的教育方法,同样也是学生在学习的过程中,可以运用到的解题思路,所以,将数形结合中的解题思想、思维能力,向学生归纳和总结,让学生可以将不认识的,具有一定复杂性的问题,转化成他们所熟知的套路.在解题、寻找答案的过程中,我们要做到的就是对逆向思维的利用,创造新的形象,树立新的思想理论,利用数形结合,实现对日常数学问题的归纳.

二、利用数形结合的教学策略

1. 革新教育方式

在利用数形结合的思路帮助学生解题时,教师要革新自身的教育观念,改变以往的教育方式,灵活运用数形结合思维.根据新课标的要求,数形结合这一套理论,不仅要帮助学生完成做题任务,同时也要展现它在教育上的深刻意义,进一步挖掘它的使用价值.在数形结合的教育上,只注重结果而不重视过程,这种教育方法是不得当的.只有将拆分的过程告诉学生,才能够使得教育更具有生命力,数形结合的思想才可以为今后的教育实现基础的奠定.而这一切的实现,都需要教师教育观点的革新.

高中数学,讲究“自主探索、理论实践结合”等学习方法,这种思维模式就要求学生对以往的学习惯性革新,充分利用数形结合的解题方法解题之时,也要实现自我探索的突破点.如果只是停留在听老师的课堂内容之上,那么这样就容易犯“眼高手低”的毛病.最终还是学不好的.最好的教学,就是在遵循基本理论的基础之上,实现自主提问,自主研究.这是当下教师需要鼓励学生完成的内容.

2. 实现对典型例题错误分析

教师经常会利用数形结合的方式对一些典型题目进行分析,尤其是针对那些比较烦琐的问题,教师可以鼓励学生先用自己的办法试着去解题,在讲题的过程中,教师利用数形结合的方法引导学生去思考,等到讲题结束之后,可以请学生比较这些解题方法的优缺点.最终实现对相关问题的总结与归纳.对学生的数学技能培养,要全面地掌握数学教学的思想内涵,倡导学生自主发现,自主学习,实现对学习的举一反三.

本题主要考查函数的基本知识,利用函数的单调性解不等式以及借助数形结合思想解决问题的能力.如图,在同一坐标系中,做出函数y=f(x)的图像和直线y=1,它们相交于(-1,1)和(1,1)两点.由f(x)>1,得x<-1或x>1.所以答案选择D.

这就是一道典型地利用数形结合来解题的问题,诸如此类的题目还有很多,可以说,数形结合的解题思路可以运用在数学问题的方方面面,教师要充分抓住数形结合的教育特点,为学生开辟数形结合的思考模式,以鼓励他们在解题时可以通过数形结合,游刃有余地处理相应问题.

结语

高中生学习并学会运用数形结合思想具有非常重要的意义.教师作为课堂的主导者,在课堂上,要实现对学生学习的引导,并积极与学生合作.现代的数学教学再沿用传统的教学方式,单纯地讲授知识,还需要在日常教学中,渗透教学思想.思想是使人找到正确方法的有效途径,要想帮助学生全面地理解、掌握知识,就需要把握数学的灵魂思想,从本质上帮助学生实现全面发展.

摘要：人们将学习数学的知识、方法归于数学思想,数学思想支配着数学实践活动.数形结合思想,无论是教学还是解题,都具有一定的实践意义.本文主要介绍了培养学生数形结合的思想策略,并进一步分析了利用数形结合的数学策略.

关键词：数学思想,实践活动,数形结合,思想策略

参考文献

[1]杨新建.应用现代教育技术在数学概念教学中培养数形结合思想提高学生数学素质[J].成都教育学院学报,2001(03):69-71.

[2]盛军.数形结合方法在高中数学教学中的应用评价[J].赤子(上中旬),2015(15):280.