高中数学概率公式

高中数学概率公式（精选7篇）

高中数学概率公式 篇1

7月中旬开始胡乱看书，高数、线代、概论每天轮着看，看了两个多星期，一头雾水！每天闷在家里扛不住了！

和一个学姐聊天，她告诉我，复习数学的时候不能一起复习，应该分开看：高数---线性代数---概率论！我尝试了一下，还真有用！自己把书上的知识点总结了一下，现在复习效果很好！

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高中数学概率公式 篇2

对于大学的非数学专业学生而言, 现代数学的教育, 不能仅仅认为是学习各专业所要掌握的一些数学知识。 中外大量的教育事实充分表明了成功的数学教育是一种人的理性思维和严密的逻辑思维的培育, 是对潜在能动性与创造思维的开发, 其重要性不是其他知识的学习所能比及的。 因此, 高校老师在传授知识的同时更重要的是要培养学生的数学思维。

概率论与数理统计作为理工科院校的一门数学课程, 承担着传递重要数学方法和重要思维的重担, 对学生综合素质的提升有重要作用。 本文通过概率论中的三个常用公式, 阐述在概率论与数理统计教学过程中一些数学思维的培养。

1 对立事件公式及正难则反

1.1 对立事件公式

对立事件的概率公式是概率计算的一个重要公式, 主要描述了一个事件的概率与其对立事件的概率的关系。 即:

这个公式所表达的意思是:当我们所求的事件A的概率难以计算, 而其对立事件的概率相对简单易求, 则我们可以通过先求对立事件A的概率, 再通过其与事件A的概率关系求出事件的概率。 这就体现了, 数学思维中的多角度考虑问题, 进而找到一个解决问题的途径。 多角度考虑问题的简单情形就是从两个角度考虑问题, 从中能找到一个简单有效的解决问题的方法。 当我们从正面解决问题相对困难时, 可以换个角度, 从反面考查问题, 从而寻找到解决问题的途径。

1.2 正难则反的思维

人们在解决问题时, 一般总是习惯于正向考虑问题, 即由已知条件按照习惯的思维途径从正面进行思考。 往往有时候一些问题从正面解决时会相对比较麻烦, 甚至难于解决, 这种情况下, 不妨换个角度从另外一个方面分析问题, 寻找解决问题的途径。 在有的时候从问题的另一个角度寻找问题的方案时, 会有一种" 蓦然回首, 那人却在, 灯火阑珊处。 " 的感觉。 在教学中, 我们应当注重这种思维能力的培养, 为以后学生能更好的工作和服务社会打好基础。

2 全概率公式及化整为零

2.1 全概率公式

全概率公式是概率论中最基本和最重要的公式之一, 通过化整为零的思想大大降低了思考问题的难度, 进而解决复杂问题。

定理[1]:设随机试验E的样本空间为WW, B1, B2, …Bn为E的一组事件, 且满足

则对于E的任一事件A, 则有

全概率公式基本思想是:借助样本空间的一种划分把一个复杂事件分解成若干个互不相容的事件的和事件, 然后利用概率的加法公式求解一个复杂事件的概率。

2.2 化整为零的思维

全概率公式真正体现了数学的中" 整体→部分→整体" 思维形式[2], 所以在教学中应当让学生理解这个重要化整为零的思维方法, 以助于解决复杂的问题。 化整为零的主要做法是把一个复杂的现象分解成若干个简单现象的组合, 然后通过对每个简单现象的分析研究达到对复杂现象的全面认识。 这种思维方法对学生以后解决工作中的问题有很大帮助, 所以在讲解全概率公式时, 应当向学生灌输这种化整为零思维的培养。 当在工作中遇到一个复杂的问题时, 可以把这个复杂问题分解成若干个易于解决的子问题, 一旦这些子问题解决好, 整个复杂问题就可能成功的解决。 这种思维的形成, 对学生思考解决问题的能力有很大的提升, 所以在学习全概率公式时, 就注重这种化整为零思维的培养。

3 中心极限定理及精确与近似

3.1 中心极限定理

中心极限定理是概率论与数理统计中一个重要的定理, 在理论研究和数值近似计算中发挥着重要作用。 中心极限定理是为了解决为什么许多随机变量的分布可以用正态分布近似, 而为了回答这一问题, 首先将问题转化为许多随机变量可以表示为大量独立随机变量和, 其次为了使独立随机变量和的极限分布有意义, 对其进行标准化, 最终只需讨论标准化变量的极限分布为标准正态分布, 从而独立随机变量和的极限分布为正态分布。

在求解一些独立的随机变量的和在某个区间的概率时, 如果借助于卷积公式先求和的分布, 再利用分布求概率, 理论上是可行的, 但有些随机变量的和的分布是难以求出的。 中心极限定理所描述的另外一个思想就是: 利用和的精确分布求概率的精确值行不通, 就退一步, 通过简单的处理求解精确值的一个近似。

3.2 精确与近似思维

在求解一些具体问题时, 能获得其精确解是最理想的结果, 但实际上, 有些问题的精确解是难以得到。 此时, 我们可以退一步, 能求出精确解的一个良好近似也是一个很好的解决问题的方法。 中心极限定理就提供了一个很好的实例, 所以在教学中, 应当借助于中心极限定理的讲解, 向学生讲述良好近似解的作用, 以助于学生以后解决实际问题时得不到精确解。 可以寻找精确解的近似进而达到解决问题。

结束语

在高等教育的数学课程的教学中, 数学思维的培养是教学过程的一个重要任务。许多数学思维的形成将有助于学生学会全面考虑问题、分析问题和解决问题, 并且在以后的工作中对提高工作效率有重要的指导作用。尤其在被标记为大数据时代的今天, 学生在学习数学理论和方法时, 一定要形成一些重要的数学思维, 这样才能在新时代的竞争中占据优势, 才能为社会的发展做出更大的贡献。所以, 高等学校中数学课程的教育, 在介绍基本理论和基本方法时, 应当注重一些重要数学思维的培养。

参考文献

[1]张薇等.概率论与数理统计[M].北京:科学出版社, 2010.

关于高中数学概率论探究 篇3

纵观数学发展的历史，数学这门科学曾出现三次重大的飞跃.第一次是从算数到代数的过度，第二次是常量数学到变量数学的过度，第三次就是从确定数学到随机数学的过度。从哲学的角度讲，世界是变化的，世界唯一不变的本质就是无时无刻在变化。现实世界的随机本质使得各个领域从确定性理论转向随机理论成为自然；而随机数学就是研究事物变化的最主要的数学工具。概率论是随机数学中最基础的部分，使我们高中学生所必修的一门基础课.但我们已经习惯了用确定思维方式去学习数学，在学习概率论时时常会感觉到基本概念抽象难以理解，思维难以发散展开。这些都使得我们对这门课望而生畏，甚至有放弃的念头。我认为在概率论的学习过程中建立学习随机数学的思维方法就十分重要。作为高三生，在学习过程中有一些心得在这里想跟大家探讨。

一、了解数学的发展历史，概率论产生的时代背景

这不仅是了解一点点知识，而是从应用的角度，生活的角度宏观的了解这门学科的实用意义 ，也是思维中建立数学模型的一个基础。比如说概率论中最重要的分布——正态分布，就是在18 世纪，为解决天文观测误差而提出的.在17到18 世纪，由于观测仪器不完善以及经验缺乏等原因，天文观测误差很大，是天文学发展的重要问题，科学家投入了大量的研究。1733年，由德国的数学家和天文学家德莫弗（DeMoivre）首次提出正态分布概念，德国数学家高斯（Gauss）率先将正态分布应用于天文学研究，他指出正态分布可以很好地“ 拟合” 误差分布，故正态分布又叫高斯分布。时至今日，正态分布公认为最重要的一种概率分布，也是应用最广泛的一种连续型分布。我们知道概率论中，古典概型要求样本空间有限，而几何概型恰好可以消除这一条件，这两种概型我们不难理解。但是继而出现的概率公理化定义，我们总认为抽象、难以理解。尤其是概率公理化定义里出现的σ 代数这一概念：设Ω 为样本空间，若Ω 的一些子集所组成的集合？ 满足下列条件：（1）Ω∈？ ；（2）若A∈ ？ ，则A∈ ？ ；（3）若∈ n A ？ ，n =1， 2，？？，则∈∞=nnA ∪1？ ，则我们称 ？ 为Ω 的一个σ 代数。我们怎样才能更好的理解这一概念呢？很多同学相比之下更适合形象思维，于是我们引入几何概型的一点历史，帮助理解为什么要建立概率的公理化定义，为什么需要σ 代数。几何概型计算方法是19 世纪末新发展起来的，是在古典概型基础上进一步的发展，是等可能事件的概念，从有限向无限的延伸。1899 年，法国学者贝特朗提出了所谓“ 贝特朗悖论” ，矛头直指几何概率概念本身.这个悖论是：给定一个半径为1 的圆，随机取它的一条弦，问：

弦长不小于3 的概率为多大？对于这个问题，我们假定端点在圆周上均匀分布，结果概率等于1/3；假定弦的中点在直径上均匀分布，得出概率为1/2；假定弦的中点在圆内均匀分布，随之概率又等于1/4。同一个问题，竟有3 种不同的答案，原因在于取弦时采用了不同的等可能性假定！这3 种答案针对的是3 种完全不同的随机试验，于各自的随机试验而言，都是正确的.因此在使用“ 随机” 、“ 等可能”、“ 均匀分布” 等条件概念时，应明确其含义，这又因试验而不同而不同.也就是说我们在假定端点在圆周上均匀分布时，就不能考虑弦的中点在直径上均匀分布或弦的中点在圆内均匀分布所对应的事件。换言之，我们在假定端点在圆周上均匀分布时，只把端点在圆周上均匀分布所对应的元素看成为事件。

二、广泛运用案例学习法

案例与一般例题不同，它有产生问题的实际背景，并能够为我们所理解。我们通过案例引导到实际问题中去，通过分析和讨论，提出解决问题的途径和方法。我们可以从直观性、趣味性和易于理解的角度把概率论基础知识加以认知。条件概率一节时有一个有趣的案例——“ 玛丽莲问题” ：十多年前，美国的“ 玛利亚幸运抢答”

了这样一道题在电台公布：三扇门的背后，我们分别定义为1号、2号、3号，分别藏了两只羊与一辆小汽车，如果你猜对了藏汽车的门，汽车就归你所有。如果你第一个选择了1 号门，然后主持人打开了剩余两扇门其中的一个，这扇门背后是只羊，你看到了，接着问你是否应该重新选择，以增大猜对汽车的概率？

这个问题与类似于当前电视上一些娱乐竞猜节目，我们很容易积产生兴趣。讨论的结果是这个问题的答案与主持人是否知道所有门背后的东西相关，这样就可以很自然的理解条件概率。在这样热烈的气氛里学习新的概念，一方面使得我们积极性高涨，另一方面让我们认识到所学的概率论知识与我们的日常生活息息相关。因此在学习概率论基础知识时，关注有关经典的案例，会帮助我们理解。例如看电影《赌神》时，我们分析扑克牌出现三A的概率或者同花顺的概率；再比如我们看世界杯时分析某支球队的夺冠概率等。

高中数学公式口诀(二) 篇4

五、《复数》

虚数单位i一出，数集扩大到复数。一个复数一对数，横纵坐标实虚部。对应复平面上点，原点与它连成箭。箭杆与X轴正向，所成便是辐角度。箭杆的长即是模，常将数形来结合。代数几何三角式，相互转化试一试。代数运算的实质，有i多项式运算。i的正整数次慕，四个数值周期现。一些重要的结论，熟记巧用得结果。虚实互化本领大，复数相等来转化。利用方程思想解，注意整体代换术。几何运算图上看，加法平行四边形，减法三角法则判；乘法除法的运算，逆向顺向做旋转，伸缩全年模长短。三角形式的运算，须将辐角和模辨。利用棣莫弗公式，乘方开方极方便。辐角运算很奇特，和差是由积商得。四条性质离不得，相等和模与共轭，两个不会为实数，比较大小要不得。复数实数很密切，须注意本质区别。

六、《排列、组合、二项式定理》

加法乘法两原理，贯穿始终的法则。与序无关是组合，要求有序是排列。两个公式两性质，两种思想和方法。归纳出排列组合，应用问题须转化。排列组合在一起，先选后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考虑。不重不漏多思考，捆绑插空是技巧。排列组合恒等式，定义证明建模试。关于二项式定理，中国杨辉三角形。两条性质两公式，函数赋值变换式。

七、《立体几何》

点线面三位一体，柱锥台球为代表。距离都从点出发，角度皆为线线成。垂直平行是重点，证明须弄清概念。线线线面和面面、三对之间循环现。方程思想整体求，化归意识动割补。计算之前须证明，画好移出的图形。立体几何辅助线，常用垂线和平面。射影概念很重要，对于解题最关键。异面直线二面角，体积射影公式活。公理性质三垂线，解决问题一大片。

八、《平面解析几何》

高中数学立体几何证明公式 篇5

线面平行→线线平行 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

线面平行→面面平行 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

面面平行→线线平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

线线垂直→线面垂直 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

线面垂直→线线平行 如果连条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

线面垂直→面面垂直 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

线面垂直→线线垂直 线面垂直定义：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α。

面面垂直→线面垂直 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

谈概率中常用的加法公式 篇6

(一) 概率事件的一般加法公式

对任意的两个事件A1、A2, 有P (A1∪A2) =P (A1) +P (A2) -P (A1A2) 。推广到任意有限个事件, 设A1、A2、…、An是n个随机事件, 则有, 这个公式称为概率的一般加法公式。

(二) 互斥事件的加法公式

根据概率的有限可加性:若AiAj=Φ (1≤i

(三) 两个公式的关系与特点

大家很容易就够能看得出来, 互斥事件的加法公式是一般加法公式的特例。

求“事件A1、A2、…、An中至少有一个发生”的概率时, 上述两个求事件概率的加法公式各有其独特的作用。而当事件A1、A2、…、An不互斥时, 一般加法公式的求解过程较繁。我们还应该认识到一般加法公式具有通用性, 在一些特殊的情况下去使用又显得恰到好处。

二、巧妙使用一般加法公式

一般加法公式具有鲜明的程式化特点, 能够很快地寻找到清晰的解题思路。下面列举运用一般加法公式的两个例子。

例1:一部五卷的古代诗词文集, 按任意次序摆放在书架上。求自左至右, 第一卷不在第一位置且第二、三卷也都不在其位的概率。

解:设A1、A2、A3分别表示第一、二、三卷在其相应位置上, 于是对偶原则=1-P (A1∪A2∪A3)

关键即求:

例2:在平面上画上有间隔为d的等距平行线, 向平面任意投掷一个边长为a、b、c (均小于d) 的三角形, 求三角形的两边与平行线相交的概率。 (可以认为“三角形的任一边与平行线重合”的概率为零, “三角形的任一顶点在平行线上”的概率也为零) 。

解:A={三角形的两边与平行线相交}, 设Aa、Ab、Ac表示边a、b、c与平行线相交, 由于事件A等价于Aa、至少有一发生, 即A=Aa∪Ab∪Ac, 又因为Aa、Ab、Ac不互斥, 所以P (A) =P (Aa∪Ab∪Ac)

由于上述两道题目采用了一般加法公式, 所以很快找到解题思路并快速解决了问题。大家对例1采用古典概型方法, 对例2采用几何概率方法, 就会发现求解过程比较复杂, 思路也不如上述解法清晰。

大家平时用古典概型方法解题无从下手时, 还可从一般加法公式的解题过程得到启示。这就足以见到使用一般加法公式解题, 能够把一些复杂的题目变得容易起来。

纵观这两例求解过程都首先进行事件独立性分析, 说明分析事件独立性在解题过程中起着重要作用。

三、事件独立性分析是求解的前提

例3:若每个人的呼吸道中带有感冒病毒的概率是0.002, 而且各人是否带感冒病毒是独立的。求在有1500人的广场内带有感冒病毒的概率。

解:A={剧场中有感冒病毒}

Ai={第i人带感冒病毒}, i=1, 2, …, 1500

这种解题方法是比较笨拙的, 下面介绍一种巧妙的解题方法。

此题使用一般加法公式之所以受挫, 追根溯源是因为n大且不便于利用级数求解, 更主要的是A1、…、An不互斥且独立。

这时, 另有简便公式: (下面称为P的简便公式) 对此题, 它比一般加法公式更适用于求。

一般加法公式求解要先分析事件的独立性, 这一关键点却往往被一些人所忽略了。大多数的教材都会把独立性安排在一般加法公式之前, 所以A1、…、An不独立要选用一般加法公式求就不言自明了。

由例3可知, 求要先分析事件的独立性, 只有符合条件才能套用一般加法公式。下面一例, 将说明:当不满足使用的简便公式的独立性要求时, 以选用一般加法公式为宜。

四、结语

当事件A1、…、An不互斥且求至少一个事件发生的概率时, 应该首先进行事件A1、…、An独立性的分析。若事件A1、…、An独立, 一般总是用简单公式 (这时, 如选用一般加法公式, 即使能够求解出结果, 求解过程也会比较繁的) ;若事件A1、…、An不独立, 则必须选用一般加法公式。

本文强调使用一般加法公式应该首先分析事件独立性, 以使一般加法公式用得恰当、用得恰到好处。本文目的是减少犯“不区别事件独立与否”或“误判事件独立性”的错误, 还有不该用一般加法公式时决不应舍去巧妙求解方法而去套用公式。

参考文献

[1]赵国石, 刘丁酉.概率论与数理统计[M].上海财经大学出版社, 2007.

[2]盛骤, 谢式千.概率论与数理统计[M].高等教育出版社, 2001.

[3]郭同德.概率论[M].黄河水利出版社, 2006.

高中数学概率公式 篇7

关键词：决策树模型；专家调查法；概率公式；案例研究

一、案例介绍

A公司要投资生产一种新产品，经理在决策前通过专家调查法预测到生产该产品后的市场前景及相应盈利数据，见表1。接下来，经理面临两个重要的决策问题：一是有没有必要再做一次市场调查，以进一步弄清楚市场情况究竟如何？二是公司到底应不应该生产该产品？

注：表中第二列数据的含义分别是：1——市场前景好，2——市场前景中，3——市场前景差。

表2 过去2年的月度市场调查结果与市场需求状况的事后比较数据

注：第二列、第三列数据的含义：1——市场前景好，2——市场前景中，3——市场前景差。

公司经理知道，要做市场调查的话，需要调查费30000元，而且调查结果是否准确还不知道。但经理拥有过去2年的月度市场调查结果与市场需求状况的事后比较数据，如表2所示，这种历史经验数据或许会有所帮助。

二、研究方法和工具

通过对案例进行分析，我们知道这是一个在不确定环境条件下的管理决策，是一个典型的二级决策问题，求解的常用方法是构造决策树模型。我们可以从数据分析的角度求得构造决策树所需的概率，并充分利用计算机软件的功能（Microsoft Excel的透视表功能及其加载宏TREEPLAN工具）实现概率分析的计算、决策树模型的绘制，求得案例问题的决策结果。其中，问题的难点一个是决策树的制作，一个是决策过程中涉及的不确定性结果的概率分布确定。

三、寻求构造决策树的概率分布

表1中，我们利用描述统计可以得到新产品的市场前景及盈利的频率分布，这种频率分布通常可以近似地认为主观概率用于决策。利用Excel的数据透视表功能很容易实现该操作，见表3，表3给出了预测的新产品市场前景好、中、差的概率分布及其相应的盈利状况。

从表2的历史数据中，我们利用Excel的数据透视表功能很容易得到如表4所示的概率分布数据。

该概率分布为在实际市场状况为好、中、差的条件下，调查结果为好、中、差的条件概率。而我们构造决策树需要的概率分布是在调查结果为好、中、差的条件下，未来市场状况为好、中、差的条件概率，以及在调查结果已知的条件下进行生产后的市场状态分布。

调查结果为好、中、差的条件下，未来市场状况为好、中、差的条件概率及其生产后的市场状态分布的计算利用表3、表4的数据和三个概率公式（1）-（3）是很容易实现的，计算结果见表5，表中阴影部分即为所求。

四、利用Microsoft Excel第三方加载宏TREEPLAN工具制作决策树

文献《数据、模型与决策》（弗雷德里克·S·希利尔等著、任建标译）提供了制作决策树的方法，即利用Microsoft Excel第三方加载宏TREEPLAN工具来制作决策树。如图1（操作步骤从略）。

至此，该问题的决策结果是：进行市场调查，如果调查结果为市场前景好或中，则进行生产，若为差就不进行生产。

参考文献：