高三数学解三角形教案

高三数学解三角形教案（通用8篇）

高三数学解三角形教案篇1

复习要求：

1.理解正弦定理，余弦定理。

2.能应用正弦定理，余弦定理解三角形。3.能解决一些与三角形有关的实际问题知识精讲：

正弦定理：余弦定理：定理变式：

三角形面积公式：解题注意点：

大边对大角，小边对小角；

判断三角形中角是是锐角，直角，钝角，尽量用余弦定理（0--间余弦值和角一一对应）。

“知三求三“，已知三角求三边除外。（1）三边：余弦定理（2）两边一夹角：余弦定理（3）两边一对角：正弦或余弦

（4）两角一边：先求第三角，再正弦定理求。题型精讲：

例一：已知在ABC中,sinA:sinB:sinC=2:6:(31),求ABC的最小内角。

解： a:b:c= sinA:sinB:sinC=2:6:(31)设a=2k, b=6k, c=(31)k a边最小，c为最小内角 cosA=6k231k24k226k231k=2A45

例二：已知在ABC中，A45,AB=6,BC=2，解此三角形。法一：（正弦定理）623sinC= sinCsin452AB>BCC45

当C60,B75,AC=31 当C120,B15,AC=31 法二：（余弦定理）

设AC=b,由余弦定理有4=b2(6)226bcos45

即b223b20，解得b=31, 由余弦定理得cosC=

C=60或120，B75或15。

12例三：在ABC中，若a2tanBb2tanA,试判断ABC的形状。分析：边化角，角化边解：（法一）a2tanBb2tanA

4R2sin2AtanB=sinBcosB Sin2A =sin2B Sin2A=sin2b0不符合三角形内角和定理 Sin2A=sin2B0

2A,2B(0,)

2A=2B或2A+2B=

即A=B或A+B=

ABC是等腰三角形或直角三角形

aa2c2b2a2sinAcosBa22R2ac2(法二)：由题设，有=2，得出222cosAsinBbbcabb2bc2R2化简得b2(a2c2b2)a2(b2c2a2)

a2c2a4b2c2b4

(a2b2)(a2b2c2)0

a2b2或a2b2c2

ABC是等腰三角形或直角三角形

巩固练习：

高三数学解三角形教案篇2

一、数形结合思想

由数想形, 以形助数的数形结合思想具有使问题直观呈现的优点, 有利于加深学生对知识的记忆和理解.在解三角函数题时, 我们可以借助图像, 用图像来引导性质, 通过图像分析, 直观形象且不易出错.

【例1】求

解析:可理解为点P (-cosx, -sinx) 与点C (3, 1) 连线的斜率.点P (-cosx, -sinx) 在单位圆上, 如右图所示.

二、转化与化归思想

转化与化归思想是指在解决问题时, 采用某种手段, 化复杂为简单、化陌生为熟悉、化特殊为一般的数学思想.

分析:该题要求cos (α+β) , 可先求出cosα, cosβ, sinα, sinβ.但如何求cosα, cosβ, sinα, sinβ呢?若将题干中的两式展开求cosα, cosβ, sinα, sinβ是不可取的, 也是不可行的.若考虑到 (α-β/2) - (α/2-β) =α/2+β/2, 即可求出cos (α/2+β/2) , 再利用二倍角公式即可求出cos (α+β) .

三、换元法

在解三角函数题时, 可借助三角公式把函数变形, 利用换元法构造一个新的函数, 然后根据新函数的结构特征, 采取相应的方法求解.

【例3】已知函数f (x) =cosxsin2x, 求函数f (x) 的最大值.

解:因为y=f (x) =cosxsin2x=2cos2xsinx=2 (1-sin2x) sinx=2 (sinx-sin3x) .

令t=sinx, 则y=g (t) =2 (t-t3) , -1≤t≤1.

由此知, y=g (t) 在时取得最大值, 最大值为故f (x) 的最大值为

高三数学解三角形教案篇3

一、数形结合思想

在解直角三角形时，应该通过画图来帮助分析解决问题，通过数形结合的思想加深对解直角三角形本质的理解.

例1 已知tanA=，求sinA的值.

【分析】此已知条件可转化为：已知在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，求∠A的正弦值.

解：如图1，若设AC=4k，BC=3k，那么必有AB=5k，所以sinA==.

二、方程思想

方程思想就是从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把已知量与未知量之间的数量关系转化为方程（组）模型，从而使问题得到解决的思维方法.

例2 如图2，已知∠C=90°，AB=26，∠CBD=45°，∠DAC=30°，求BC的长.

【分析】图形中有 Rt△DAC和Rt△DBC，但是没有一个直角三角形条件够用，原因是AB=26不属于任何一个直角三角形，可以通过设BC=x，则AC=x+26，让字母参与运算，最后列方程求解.

解：设BC=x，

∵∠CBD=45°，∠C=90°，∴BC=CD=x，

在Rt△DAC中，∠DAC=30°，AC=x+26，

tan30°=，3x=（x+26），

x=，x=13（+1），

∴BC=13（+1）.

三、转化思想

解直角三角形时，在某些问题的图形中你根本看不到直角三角形，这时需根据条件通过作辅助线构造直角三角形，将问题转化为直角三角形中的问题，然后利用直角三角形的相关知识解决问题.

例3 如图3所示，在四边形ABCD中，AB=8，BC=1，∠BAD=30°，∠ABC=60°，四边形ABCD的面积为5，求AD的长.

【分析】显然四边形ABCD中有特殊角∠DAB和∠CBA，且它们互余，延长AD、BC相交于点E，可得Rt△AEB.

解：延长AD、BC相交于点E，则∠E=180°-30°-60°=90°，

在Rt△ABE中，sin30°=，cos30°=，

由此可得BE=4，AE=4，CE=3.

S四边形ABCD=S△ABE-S△CED=×4×4-×3DE=5，

∴DE=2，AD=AE-DE=2.

例4 如图4所示，在△ABC中，∠B=60°，且∠B所对的边b=1，AB+BC=2，求AB的长.

【分析】欲求AB的长，但题目是斜三角形，且已知条件非常分散，所以若想用到角的条件，必须构造直角三角形，作BC上的高AD，把问题转化成解直角三角形.

解：作AD⊥BC于点D，设BD=x，在Rt△ABD和Rt△ACD中，

∵∠B=60°，

∴AB=2x，AD=x，

DC==，

∴AB+BC=2x+x+=3x+=2，解得：x=.

经检验是原方程的根，则AB=2x=1.

四、参数思想

例5 如图5，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是AC上的一点，且AD∶DC=1∶3，求tan∠DBC的值.

【分析】此题在条件中没有给出有关线段的长度，但已知比值，因此可根据已知条件中的比值1∶3引进参数假设有关线段的长度，进行求解.

解：作DE⊥BC于点D，并设AD=k，则DC=3k，AB=AC=4k.

∵∠A=90°，∴BC=AC=4k，又∠C=45°，

∴∠EDC=45°，DE=EC，

在Rt△DEC中，DE2+EC2=DC2，

设DE=x，则x2+x2=9k2，

x2=k2，x=k（负值舍去），

∴DE=EC=k，

∴BE=BC-EC=4k-k=k，

∴tan∠DBC===.

五、分类讨论思想

分类讨论思想就是针对数学对象的共性与差异性，将其分为不同种类. 要做到成功分类，要注意两点：一是要有分类意识，善于从问题的情景中抓住分类的对象；二是找出科学合理的分类标准，满足不重不漏的原则.

例6 在△ABC中，AB=2，AC=，∠B=30°，求∠BAC的度数.

【分析】原题没有给出图形，隐含了可能的条件，满足要求的三角形有两种情形，需要分类讨论.

解：过点A作AD⊥BC交BC（或延长线）于点D，

在Rt△ABD中，∠BAD=60°，

sin30°===，

所以AD=1，

在Rt△ACD中，

cos∠CAD==，

所以∠CAD=45°，

如图6，∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+45°=105°，

或如图7，∠BAC=∠BAD-∠CAD=60°-45°=15°.

六、建模的思想

解直角三角形在生产、生活中有着广泛地应用，这就要求我们能从实际问题出发去分析、构建直角三角形模型.

例7 如图8，天空中有一个静止的广告气球C，从地面A点测得C点的仰角为45°，从地面B点测得C点的仰角为60°. 已知AB=20 m，点C和直线AB在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度.（结果保留根号）

【分析】本题是测量问题，可通过作CD⊥AB构建直角三角形模型进行求解.

解：作CD⊥AB，垂足为D，设气球离地面的高度是 x m，

在Rt△ACD中，∠CAD=45°，

所以AD=CD=x，

在Rt△CBD中，∠CBD=60°，

所以tan60°=，所以BD=x，

因为AB=AD-BD，

所以20=x-x，

所以x=30+10，

所以气球离地面的高度是（30+10）m.

高三数学解三角形教案篇4

教学目的：

1会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；

2搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系；

3理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等； 4通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力 教学重点：实际问题向数学问题的转化及解斜三角形的方法教学难点：实际问题向数学问题转化思路的确定授课类型：新授课课时安排：1课时

教具：多媒体、实物投影仪教学方法：启发式

在教学中引导学生分析题意，分清已知与所求，根据题意画出示意图，并启发学生在解三角形时正确选用正、余弦定理教学过程：

一、复习引入： 1．正弦定理：abc2R sinAsinBsinC222b2c2a22．余弦定理：abc2bccosA,cosA

2bcc2a2b2 bca2cacosB,cosB2ca222a2b2c2 cab2abcosC，cosC

2ab2223．解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用，如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力下面，我们将举例来说明解斜三角形在实际中的一些应用

二、讲解范例：

例1 自动卸货汽车的车箱采用液压结构，设计时需要计顶杆BC的长度已知车箱的最大仰角为60°，油泵顶点B支点A之间的距离为1．95ｍ，AB与水平线之间的夹角为20′，AC长为1．40ｍ，计算BC的长(保留三个有效数字)分析：求油泵顶杆BC的长度也就是在△ABC内，求边长BC的问题，而根据已知条件，AC＝1．40ｍ，AB＝1．95 ｍ，∠BAC＝60°＋6°20′＝66°20′相当于已知△ABC的两边和它们的夹角，所以求解BC可根据余弦定理解：由余弦定理，得

BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA

第24章解直角三角形教案篇5

24.1 测

量

教学目标

1、在探索基础上掌握测量。

2、掌握利用相似三角形的知识教学重难点

重点：利用相似三角形的知识在直角三角形中，知道两边可以求第三边。难点：应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和。教学过程

当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道，操场旗杆有多高？你可能会想到利用相似三角形的知识来解决这个问题．

图24.1.1

如图25．1．1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳光下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以利用相似三角形的知识计算出旗杆的高度．

如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识．试一试

如图25．1．2所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1.5米．现在若按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度．你知道计算的方法吗？

图24.1.2

实际上，我们利用图25．1．2（1）中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系（即勾股定理），那么它的边与角又有什么关系？这就是本章要探究的内容．练习

1．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度．

2．请你与你的同学一起设计切实可行的方案，测量你们学校楼房的高度．习题25．1 1．如图，为测量某建筑的高度，在离该建筑底部30．0米处，目测其顶，视线与水平线的夹角为40°，目高1．5米．试利用相似三角形的知识，求出该建筑的高度．（精确到0．1米）

2．在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？ 3．如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高度．小结与作业: 利用相似三角形的知识在直角三角形中，知道两边可以求第三边作业:1.习题24.1；

2.练习册同步教后反思:

（第1题）（第3题）24.2直角三角形的性质

教学目标：

1.复习“直角三角形的两个锐角互余”定理和“勾股定理”。

2.掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用。

3.巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法。教学重点与难点：

重点：直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。

难点：直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。教学过程：

一、复习引入

（1）什么叫直角三角形？

（2）直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质?

①直角三角形的两个锐角互余。

②勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方。

二、新授：

如图24.2.1，画Rt△ABC,并画出斜边AB上的中线CD,量一量，看看CD与AB有什么关系？发现：CD恰好是 AB的一半。

下面让我们用演绎推理证明这一猜想。

提出命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明命题：（教师引导，学生讨论，共同完成证明过程）应用定理：

例1：已知：如图24.2.3，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=300。

求证：BC1AB

2∠A=30°，求BC，CD和DE的长

证明：（教师引导，学生讨论，共同完成证明过程）

推论：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。例2：已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD是∠BAC的平分线，E、F分别AB、AC的中点。求证：DE=DF 分析：可证两条线段分别是两直角三角形的斜边上的中线，再证两斜边相等即可证得。（上一题我们是两个直角三角形的一条较长直角边重合，现在我们将图形变化使斜边重合，我们可以得到哪些结论？）

A练习变式： DO1、已知：在△ABC中，BE、CD分别是边AC、AB上的高，F是BC的中点。E求证：FD=FE 练习引申：（1）若连接DE，能得出什么结论？ BFC（2）若O是DE的中点，则DO与DE存在什么结论吗？

上题两个直角三角形共用一条斜边，两个直角三角形位于斜边的同侧。如果共用一条斜边，两个直角三角形位于斜边的两侧我们又会有哪些结论？

D2、已知：∠ABC=∠ADC=90º，E是AC中点。你能得到什么结论？

三、小结：通过今天的学习有哪些收获？

E1.直角三角形的两个锐角互余。AC2.勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方。

B3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。4.30°角所对的直角边为斜边的一半。

四、作业：1.习题24.2

2.练习册同步

五、教学反思：

24.3锐角三角函数

24.3.1锐角三角函数（1）

教学目标

1.正弦、余弦、正切、余切的定义。

2.正弦、余弦、正切、余切的应用教学重难点

重点：正弦、余弦、正切、余切。

难点：正弦、余弦、正切、余切的应用。教学过程

一、复习引入：

在§25．1中，我们曾经使用两种方法求出操场旗杆的高度，其中都出现了两个相似的直角三角形，即

△ABC∽△A′B′C′．

1的比例，就一定有 500BCAC1，BCAC5001就是它们的相似比． 500BCBC当然也有． ACAC按我们已经知道，直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，直角∠C所对的边AB称为斜边，用c表示，另两条直角边分别为∠A的对边与邻边，用a、b表示（如图24.3.1）．

图24.3.1

前面的结论告诉我们，在Rt△ABC中，只要一个锐角的大小不变（如∠A＝34°），那么不管这个直角三角形大小如何，该锐角的对边与邻边的比值是一个固定的值．思考

一般情况下，在Rt△ABC中，当锐角A取其他固定值时，∠A的对边与邻边的比值还会是一个固定值吗？

图24.3.2

观察图24.3.2中的Rt△AB1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C3，易知 Rt△AB1C1∽Rt△_________∽Rt△________，所以B1C1＝_________＝____________． AC1可见，在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是唯一确定的．我们同样可以发现，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是唯一确定的．

二、新授

因此这几个比值都是锐角A的函数，记作sinA、cosA、tanA、cotA，即 sinA＝A的对边斜边，cosA＝A的邻边斜边，tanA＝A的对边A的邻边，cotA＝A的邻边A的对边．

分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A的三角函数．显然，锐角三角函数值都是正实数，并且 0＜sinA＜1，0＜cosA＜1．

根据三角函数的定义，我们还可得出

sin2Acos2A＝1，tanA·cotA＝1．

图24.3.3

例1 求出图24.3．3所示的Rt△ABC中∠A的四个三角函数值．解 ABBC2AC228917，sinA＝BCAB817，cosA＝AC15AB17，tanA＝BCAC815，cotA＝ACBC158．

练习:P107.1.2.3.三、小结: 正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A的三角函数

四、作业: 练习册同步

五、教后反思：

24.3.1锐角三角函数（2）

教学目标

1、探索直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系。

2、掌握30°、45°、60°等特殊角的三角函数值。

3、掌握三角函数定义式：sin A=

A的对边A的邻边，cos A=，斜边斜边tan A=A的对边A的邻边，cot A=

A的邻边A的对边教学重难点

重点：三角函数定义的理解。难点：掌握三角函数定义式。教学过程

一、探索

根据三角函数的定义，sin30°是一个常数．用刻度尺量出你所用的

含30°角的三角尺中，30°角所对的直角边与斜边的长，与同伴交流，看看常数sin30°是多少．通过计算，我们可以得出

sin30°＝对边1，斜边2图24.3.4

即斜边等于对边的2倍．因此我们可以得到：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．思考

上述结论还可通过逻辑推理得到．如图24.3．4，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，作∠BCD＝60°，点D位于斜边AB上，容易证明△BCD是正三角形，△DAC是等腰三角形，从而得出上述结论．

二、做一做

在Rt△ABC中，∠C＝90°，借助于你常用的两块三角尺，或直接通过计算，根据锐角三角函数定义，分别求出下列∠A的四个三角函数值：

（1）∠A＝30°；（2）∠A＝60°；（3）∠A＝45°．

为了便于记忆，我们把30°、45°、60°角的三角函数值列表如下：

α sinα cosα tanα cotα

30° 12

45°1 60°

三、练习求值： 2cos60°＋2sin30°＋4tan45°．

四、学习小结:记忆特殊角的函数值

五、布置作业

练习册同步

六、教后反思：

24.3.1锐角三角函数（3）

教学目标

1、进一步复习直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系。

2、进一步掌握30°、45°、60°等特殊角的三角函数值。

3、掌握三角函数定义式：sin A=

A的对边斜边，cos A=A的邻边斜边, tan A=A的对边AA的邻边，cot A= 的邻边A的对边

教学重难点

重点：三角函数定义的理解。难点：掌握三角函数定义式。教学过程

一、新授：例1

求出如图所示的Rt△DEC（∠E＝90°）中∠D的四个三角函数值． 7

（第2题）

sin30゜是一个常数.用刻度尺量出你所用的含30゜的三角尺中，30゜所对的直角边与斜边的长，sin30゜=对边1＝斜边2即斜边等于对边的2倍.因此我们还可以得到：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30゜，那么它所对的直角边等于斜边的一半.做一做

在Rt△ABC中，∠C＝90゜，借助于你常用的两块三角尺，根据锐角三角函数定义求出∠A的四个三角函数值：

（1）∠A＝30゜

（2）∠A＝60゜

（3）∠A＝45゜.为了便于记忆，我们把30゜、45゜、60゜的三角函数值列表如下.（请填出空白处的值）

二、课堂练习

1.如图，在Rt△MNP中，∠N＝90゜.∠P的对边是__________,∠P的邻边是_______________;

∠M的对边是__________,∠M的邻边是_______________;（第1题）

（第2题）

2.求出如图所示的Rt△DEC（∠E＝90゜）中∠D的四个三角函数值.3.设Rt△ABC中，∠C＝90゜，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，根据下列所给条件求 8

∠B的四个三角函数值.（1）a=3,b=4;

（2）a=6,c=10.4.求值：2cos60゜+2sin30゜+4tan45゜.三、小结: 记忆特殊角的函数值

四、作业：练习册同步

五、教后反思：

24.3.2.用计算器求锐角三角函数值

教学目标

学会计算器求任意角的三角函数值。教学重难点

重点：用计算器求任意角的三角函数值。难点：实际运用。教学过程

一、新授

拿出计算器，熟悉计算器的用法。

下面我们介绍如何利用计算器求已知锐角的三角函数值和三角函数值求对应的锐角.（1）求已知锐角的三角函数值.例

2、求sin63゜52′41″的值.（精确到0.0001）

解先用如下方法将角度单位状态设定为“度”：

显示

再按下列顺序依次按键：

显示结果为0.897 859 012.所以

sin63゜52′41″≈0.8979 例3 求cot70゜45′的值.（精确到0.0001）

解在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出），按下列顺序依次按键： 9

由

显示结果为0.349 215 633.所以

cot70゜45′≈0.3492.（2）由锐角三角函数值求锐角

例4 已知tan x=0.7410,求锐角x.（精确到1′）

解在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出），按下列顺序依次按键：

显示结果为36.538 445 77.再按键：

显示结果为36゜32′18.4.所以，x≈36゜32′.例5 已知cot x=0.1950,求锐角x.（精确到1′）分析根据tan x＝1，可以求出tan x的值，然后根据例4的方法就可以求出锐角x的值.cotx

二、课堂练习

1.使用计算器求下列三角函数值.（精确到0.0001）

sin24゜,cos51゜42′20″,tan70゜21′,cot70゜.2.已知锐角a的三角函数值，使用计算器求锐角a.（精确到1′）（1）sin a=0.2476;

（2）cos a=0.4174;（3）tan a=0.1890;

（4）cot a=1.3773.三、小结

不同计算器操作不同，按键定义也不一样。同一锐角的正切值与余切值互为倒数。

在生活中运用计算器一定要注意计算器说明书的保管与使用。方法归纳

在解决直角三角形的相关问题时，常常使用计算器帮助我们处理比较复杂的计算。

四、作业：1.习题24.3；

2.练习册同步。

五、教后反思：

24.4 解直角三角形(1)教学目标

1、巩固勾股定理，熟悉运用勾股定理。

2、学会运用三角函数解直角三角形。

3、掌握解直角三角形的几种情况。教学重难点

重点：使学生养成“先画图，再求解”的习惯。难点：运用三角函数解直角三角形。教学过程

我们已经掌握了直角三角形边角之间的各种关系，这些都是解决与直角三角形有关的实际问题的有效工具.例1 如图24.4.1所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？

解利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为

10224226

26＋10＝36（米）.所以，大树在折断之前高为36米.在例1中，我们还可以利用直角三角形的边角之间的关系求出另外两个锐角.像这样，在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.例2 如图，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40゜的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离.（精确到1米）

解在Rt△ABC中，因为

∠CAB＝90゜－∠DAC＝50゜，11

BC＝tan∠CAB, AB所以

BC＝AB•tan∠CAB

=2000×tan50゜≈2384(米).ABcos50，ACAB20003111(米)所以

AC＝cos50cos50又因为

答：敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和2384米.在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，边长保留四个有效数字，角度精确到1′.解直角三角形，只有下面两种情况：（1）已知两条边；

（2）已知一条边和一个锐角课堂练习

1.在电线杆离地面8米高的地方向地面拉一条长10米的缆绳，问这条缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地方？

2.海船以32.6海里/时的速度向正北方向航行，在A处看灯塔Q在海船的北偏东30゜处，半小时后航行到B处，发现此时灯塔Q与海船的距离最短，求灯塔Q到B处的距离.（画出图形后计算，精确到0.1海里）

学习小结：这节课你有什么收获？

布置作业1.习题24.4第1题；；

2.练习册同步教后反思：

24.2 解直角三角形(2)教学目标

1、巩固勾股定理，熟练运用勾股定理。

2、学会运用三角函数解直角三角形。

3、掌握解直角三角形的几种情况。

4、学习仰角与俯角。教学重难点：

重点：使学生养成“先画图，再求解”的习惯。

难点：运用三角函数解直角三角形。

教学过程

一、情境导入读一读

如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.图

二、合作探究

例3 如图4，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a＝22°，求电线杆AB的高．（精确到0.1米）

解

在Rt△BDE中，BE＝DE×tan a ＝AC×tan a ＝22.7×tan 22° ≈9.17，所以AB＝BE＋AE

＝BE＋CD

＝9.17＋1.20≈10.4（米）．

答：电线杆的高度约为10.4米．

三、课堂练习

1.如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC＝1200米，从飞机上看地面控制点B的俯角a＝16゜31′，求飞机A到控制点B的距离.（精确到1米）

（第2题）（第1题）

2.两座建筑AB及CD，其地面距离AC为50.4米，从AB的顶点B测得CD的顶部D的仰角β＝25゜，测得其底部C的俯角a＝50゜，求两座建筑物AB及CD的高.（精确到0.1米）

四、学习小结内容总结

仰角是视线方向在水平线上方，这时视线与水平线的夹角。俯角是视线方向在水平线下方，这时视线与水平线的夹角。

梯形通常分解成矩形和直角三角形（或分解成平行四边形与直角三角形）来处理。方法归纳

认真阅读题目，把实际问题去掉情境转化为数学中的几何问题。把四边形问题转化为特殊四边形（矩形或平行四边形）与三角形来解决。

五、布置作业 1.习题24.4第2，3题；

2.练习册同步

六、教后反思：

24.3 解直角三角形（3）

教学目标

1、巩固勾股定理，熟练运用勾股定理。

2、学会运用三角函数解直角三角形。

3、掌握解直角三角形的几种情况。

4、学习仰角与俯角。教学重难点

重点：使学生养成“先画图，再求解”的习惯。

难点：灵活的运用有关知识在实际问题情境下解直角三角形。教学过程

一、情境导入读一读

在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.如图5，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）.记作i,即i=坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，有

i＝

h.lh=tan a l显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.图5

二、课前热身

分组练习，互问互答，巩固勾股定理和锐角三角函数定义等内容，掌握仰角与俯角等概念。

三、合作探究

例4 如图6，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°．求路基下底的宽．（精确到

0.1米）

解作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．由题意可知

DE＝CF＝4.2（米），CD＝EF＝12.51（米）．

在Rt△ADE中，因为

i所以 DE4.2tan32 AEAEAE4.26.72(米)tan32

图6 在Rt△BCF中，同理可得

BF4.27.90(米)

tan28因此

AB＝AE＋EF＋BF

≈6.72＋12.51＋7.90≈27.13（米）．

答：路基下底的宽约为27.13米．

四、课堂练习

一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽6.2米，坝高23.5米，斜坡AB的坡度i1＝1∶3，斜坡CD的坡度i2=1∶2.5.求：（1）斜坡AB与坝底AD的长度；（精确到0.1米）（2）斜坡CD的坡角α.（精确到1°）

五、学习小结内容总结

坡角是斜坡与水平线的夹角；坡度是指斜坡上任意一点的高度与水平距离的比值。

坡角与坡度之间的关系是：i＝

h=tan a。l坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡。方法归纳

在涉及梯形问题时，常常首先把梯形分割成我们熟悉的三角形、平行四边形，再借助这些熟悉图形的性质与特征来加以研究。

六、布置作业：1.习题24.4第4题；

2.练习册

七、教后反思：

第24章

小结

教学目标：

1、了解本章的知识结构；

2、通过复习，进一步理解勾股定理及三角函数的意义。

3、通过复习，进一步掌握直角三角形的解法。

4、学会运用勾股定理和三角函数解决简单的实际问题。教学重难点：

重点：灵活运用解直角三角形知识解决问题。难点：选择恰当知识解决具体问题。教学过程

一、情境导入

通过本章的学习，你学到了哪些知识？你有哪些收获？

二、课前热身

同学们交流、讨论、概括出本章所学的主要内容。

三、合作探究知识结构

概括

1.了解勾股定理的历史，经历勾股定理的探索过程； 2.理解并掌握直角三角形中边角之间的关系；

3.能应用直角三角形的边角关系解决有关实际问题．

四、课堂练习

1.求下列阴影部分的面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆

（第1题）

2.如图，以Rt△ABC的三边向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．（第2题）

3.已知直角三角形两条直角边分别为6、8，求斜边上中线的长． 4.求下列各式的值．

（1）2cos 30°＋cot 60°－2tan 45°;（2）sin2 45°＋cos2 60°;（3）sin230cos230tan260cot260.5.求下列各直角三角形中字母的值．

（第5题）

6.小明放一个线长为125米的风筝，他的风筝线与水平地面构成39°角．他的风筝有多高？（精确到1米）

7.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，直角边AC是直角边BC的2倍，求∠B的四个三角函数

值．

8.如图，在直角坐标平面中，P是第一象限的点，其坐标是（3，y），且OP与x轴的正半轴的夹角a的正切值是（1）y的值；

4，求：

3（2）角a的正弦值．

（第8题）

9.如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角a和坝底宽AD．（i＝CE∶ED，单位米，结果保留根号）

（第9题）（第10题）

10.如图，两建筑物的水平距离BC为24米，从点A测得点D的俯角a＝30°，测得点C的俯角b＝60°，求AB和CD两座建筑物的高．（结果保留根号）

五、学习小结

本节课主要复习了两个部分的内容：一部分是本章的知识结构；另一部分是直角三角形中勾股定理及锐角三角函数定义。

方法归纳：在测量时，要以构造直角三角形在实际生活中应用的实例，至少一个。

六、布置作业：

1.复习题1--17题；

2.练习册同步

初中数学解直角三角形测试题篇6

http:// 教学资源，完全免费，天天更新！

初中数学解直角三角形测试题

一.选择题：（每小题2分，共20分）

1.在△EFG中，∠G=90°，EG=6，EF=10，则cotE=（）A.4353 2.在△ABC中，∠A=105°，∠B=45°，tanC的值是（）

A.3 B.4 C.3 D.512 B.33 C.1 D.2，tan2

3.在△ABC中，若cosAB3，则这个三角形一定是（）

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形

4.如图18，在△EFG中，∠EFG=90°，FH⊥EG，下面等式中，错误的是（）

A.sinGEF B.sinGEH

EG C.sinGGH D.sinGFGEFFH

FG 5.sin65°与cos26°之间的关系为（）

A.sin65°cos26°

C.sin65°=cos26° D.sin65°+cos26°=1 6.已知30°<α<60°，下列各式正确的是（）

A.B.C.D.7.在△ABC中，∠C=90°，sinA25，则sinB的值是（）

A.B.C.D.8.若平行四边形相邻两边的长分别为10和15，它们的夹角为60°，则平行四边形的面积是（）米2

A.150 B.C.9 D.7 9.如图19，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i= 2∶3，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是（）

A.7米 B.9米 C.12米 D.15米

10.如图20，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（）

A.1sin B.1cos C.sin D.1 二.填空题：（每小题2分，共10分）

11.已知0°<α<90°，当α=__________时，sin时，12.若。，则锐角α=__________。

12，当α=__________试题宝典

http:// 试题、教案、课件、论文，免费提供！试题宝典

http:// 教学资源，完全免费，天天更新！

13.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA35，abc36，则a=__________，b=__________，c=__________，cotA=__________。

14.若一个等腰三角形的两边长分别为2cm和6cm，则底边上的高为__________cm，底角的余弦值为__________。

15.酒店在装修时，在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯宽2米，其侧面如图21所示，则购买地毯至少需要__________元。三.解答题：（16、17每小题5分，其余每小题6分共70分）

16.计算(1tan60sin60)(1cot30cos30)

17.如图22，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AD=AB，求tanD。

18.已知直角三角形中两条直角边的差是7cm，斜边的长是13cm，求较小锐角α的各三角函数值。

19.如图23，ABCD为正方形，E为BC上一点，将正方形折叠，使A点与E点重合，折痕为MN，若tanAEN1,DCCE10。（1）求△ANE的面积；（2）求sin∠ENB的值。

20.已知在△ABC中，AB23，AC=2，BC边上的高AD3。（1）求BC的长；（2）若有一个正方形的一边在AB上，另外两个顶点分别在AC和BC上，求正方形的面积。

试题宝典

http:// 试题、教案、课件、论文，免费提供！试题宝典

http:// 教学资源，完全免费，天天更新！

21.已知，△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC，AB=5，AC=3，求AD的长。

22.如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，DE⊥AB于E，∠ADC=45°，若DE∶AE=1∶5，BE=3，求△ABD的面积。

23.已知ABC中，AD为中线，BAD60,AB10,BC43，求AC的长。

24.在△ABC中，∠A＝1200，AB＝12，AC＝6。求sinB＋sinC的值。

试题宝典

http:// 试题、教案、课件、论文，免费提供！试题宝典

http:// 教学资源，完全免费，天天更新！

25.四边形ABCD中，BC⊥CD，∠BCA＝60，∠CDA＝135，BC10,SABC403。求AD边的长。

26．湖面上有一塔高15米，在塔顶A测得一气球的仰角为40，又测得气球在水中像的俯角为60，求气球高出水面的高度（精确到0.1米）。

27、由于过度采伐森林和破坏植被，使我国许多地区遭受沙尖暴侵袭。近日A市气象局测得沙尘暴中心在A市正西300公里的B处以107海里/时的速度向南偏东60的BF方向移动，距沙尘暴中心200公里的范围是受沙尘暴影响的区域。

（1）通过计算说明A市是否受到本次沙尘暴的影响？

（2）若A市受沙尘暴影响，求A市受沙尘暴影响的时间有多长？

试题宝典

http:// 试题、教案、课件、论文，免费提供！

0

0试题宝典

http:// 教学资源，完全免费，天天更新！

试题答案一.选择题：

1.A 2.B 3.A 4.C 5.B 6.C 7.D 8.B 9.D 10.A 提示：10.如图24所示，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F，依题意，有AE=AF=1，可证得∠ABE=∠ADF=α。

所以可证得△ABE≌△ADF，得AB=AD，则四边形ABCD是菱形。

在Rt△ADF中，所以

二.填空题：

11.30°，30°；12.60°；13.a=9，b=12，c=15，14.15.504。

提示：13.设a=3t，c=5t，则b=4t，由a+b+c=36，得t=3。

所以a=9，b=12，c=15。

。

14.等腰三角形的腰只能是6，底边为2，腰不能为2，否则不满足三角形两边之和大于第三边，作底边上的高，利用勾股定理求高。

15.利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为5.8米，2.6米，则地毯的长度为2.6+5.8=8.4米，地毯的面积为8.4×2=16.8平方米，则买地毯至少需要16.8×30=504元。

三.解答题：

16.17.；

；

18.19.分析：根据条件可知MN是AE的垂直平分线，则AN=NE。所以∠AEN可以是Rt△EGN的一个锐角，或是Rt△GAN的一个锐角，或是Rt△EBA的一个锐角。

试题宝典

http:// 试题、教案、课件、论文，免费提供！试题宝典

http:// 教学资源，完全免费，天天更新！

解：∵

∵DC+CE=10，∴3a+2a=10，∴a=2。

∴BE=2，AB=6，CE=4。

又。

20.根据条件显然有两种情况，如图25。

（1）在图25（1）中，可求CD=1，∠CAD=30°，∠B=30°，∠C=60°，BC=4，所以△ABC是直角三角形。

在图25（2）中，可求CD=1，∠CAD=30°，∠B=30°，∠BAD=60°，BC=AC=2，△ABC是等腰三角形，AC平分∠BAD。

（2）在图26（1）中，设正方形边长为x，∵。

在图26（2）中，设正方形边长为x。，解得

解得

21.解法一：过B作CA延长线的垂线，交于E试题宝典

http:// 试题、教案、课件、论文，免费提供！试题宝典

http:// 教学资源，完全免费，天天更新！

点，过D作DF⊥AC于F。

∴DF∥BE ∴△FDC∽△EBC

∵AD平分∠BAC

∵∠BAC=120°

∴∠EAB=180°－∠BAC=60°

在Rt△ABE中，在Rt△ADF中，∵∠DAC=60°

解法二：如图11，过C作CE⊥AD于D，过B作BF⊥AD交AD的延长线于F。

∵AD平分∠BAC，∠BAC=120°

∴∠BAD=∠CAD=60°。

在Rt△AEC中，在Rt△ABF中，∵CE∥BF ∴△BDF∽△CDE。

试题宝典

http:// 试题、教案、课件、论文，免费提供！试题宝典

http:// 教学资源，完全免费，天天更新！

∵EF=1

分析：题目中有120°角及它的角平分线，所以有两个60°这个特殊角，要求60°角的一条夹边AD的长，可以构造等边三角形，得到与AD相等的线段。

解法三：如图12，过点D作DE∥AB交AC于E。

则∠ADE=∠BAD=∠DAC=60°

∴△ADE是等边三角形。

∴AD=DE=AE 设AD=x ∵△ABC∽△EDC

解法四：如图13，过B作AC的平行线交AD的延长线于E。

∵AD平分∠BAC，∠BAC=120°

∴∠BAD=∠DAC=∠E=60°。

∴△ADE是等边三角形

∴AE=AB=BE=5 ∵AC∥BE ∴△CAD∽△BED

小结：解三角形时，有些图形虽然不是直角三角形，但可以添加适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形，从而可以运用解直角三角形的有关知识去解决这些图形中求边角的问题。另外，在考虑这些组合图形时，要根据题目中的条件和要求来确定边与边，角与角是相加还是相减。22.解：在△AED中，∵DE⊥AB于E，又∵DE∶AE=1∶5，∴设DE=x，则AE=5x。

试题宝典

http:// 试题、教案、课件、论文，免费提供！试题宝典

http:// 教学资源，完全免费，天天更新！

在△ADC中，∵∠C=90°，∠ADC=45°，∴∠DAC=45°，在Rt△BED和Rt△BCA中，∵∠B是公共角，∠BED=∠BCA=90°，∴△BED∽△BCA。

∴AB=AE+BE=10+3=13。

23.解：

试题宝典

http:// 试题、教案、课件、论文，免费提供！试题宝典

http:// 教学资源，完全免费，天天更新！

24提示：过C点作CE⊥BA交BA的延长线于E，过点B作BD⊥CA交 CA的延长线于D。

SinB＋sinC＝211421732114

25.提示：作AF⊥AC于F，作AE⊥CD交CD的延长线于E。可求AC＝16，AD＝8 2。

试题宝典

高三数学解三角形教案篇7

【知识与技能】

本节主要探索的是运用解直角三角形的知识去解决某些简单的基本问题.【过程与方法】

1.用解三角形的有关知识去解决简单的基本问题的过程.2.选择合适的边角关系式，使运算简便.努力培养学生数形结合，把基本问题转化为数学问题并用数学方法去分析、解决问题的能力.【情感态度】

通过解决问题，激发学生学数学的兴趣，使全体学生积极参与，并体验成功的喜悦.【教学重点】

引导学生根据题意找出正确的直角三角形，并找到恰当的求解关系式，把基本问题转化为解直角三角形的问题来解决.【教学难点】

使学生学会将有关简单的问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系.一、知识回顾

1.解直角三角形的意义：在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做直角三角形

2.直角三角形中诸元素之间的关系：

222（1）三边之间的关系：a+6=c(勾股定理）（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；（3）边角之间的关系：sinA把∠A换成∠B同样适用.aba，cosA，tanA.ccb

二、思考探究，获取新知

我们已经掌握了运用直角三角形的边角关系解直角三角形，那么请思考：对于简单的基本问题，我们能否用解直角三角形的方法去解决呢？

如图，河宽AB(假设河的两岸平行），在C点测得∠ACB = 30°，D点测得∠ADB=60°，又CD=60m，则河宽AB为多少米？（结果保留根号）

【分析】先根据三角形外角的性质求出∠CAD的度数，判断出△ACD的形状，再由锐角三角函数的定义即可求出AB的值.【教学说明】本题考查的是解直角三角形的应用，涉及到三角形外角的性质、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值.三、典例精析，掌握新知

例1 如图，为了测量河两岸A、两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC =m，∠ACB = α那么AB等于（）

A.m sinα B.n cosα C.m tanα D.m /tanα

【分析】本题易因记错∠α的正切或运算关系掌握不好而选错.答案 C 例2 如图，小明在公园里放风筝，拿风筝线的手B离地面高度AB为1.5米，风筝飞到C处时的线长BC为30米，这时测得

∠CBD=60°，求此时风筝离地面的高度.（结果精确到0.1米，31.73)

【分析】在Rt △BCD中，由BC =30米，∠CBD=60°，利用正弦可求得CD，又DE=AB，从而风筝离地面的高度CE=CD+DE.【教学说明】解答本题的关键是利用解直角三角形来求CD的长，利用矩形的性质求DE的长.四、运用新知、深化理解

1.课外活动小组测量学校旗杆的高度，如图，当太阳光线与地面成 30°角时，测得旗杆AB在地面上影长BC长为24米，则旗杆AB的高约是多少？

2.如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径A河底线，弦 CD水位线，CD//AB，且CD=24m.OE丄CD于点E.已测得水面距最高处有8m 已测得sinDOE12.13

（1）求半径OD;（2）根据需要，睡眠要以每小时0.5m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？【教学说明】可让学生自主探究，也可小组内讨论.教师巡视，发现问题给予指导.【答案】1.解：∵太阳光线与地面成30°角，旗杆AB在地面上的影长BC为24米，∴旗杆AB的高度约是：AB24tan308（.3m）2..分析：解决此题的关键是求出OE的值.由垂径定理易求出DE的长，Rt△OED中，根据DE的长以及∠EOD的正弦值，可求出半径OD的长，再由勾股定理即可求出OE的值.OE的长除以水面下降的速度，即可求出将水排干所需要的时间.五、师生互动、课堂小结

1.解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构造直角三角形.（作某边上的高是常用的辅助线）