等差数列专题课（通用9篇）
【方法总结1】
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．
(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．
【方法总结2】
1.一般地，运用等差数列的性质，可以化繁为简、优化解题过程．但要注意性质运用的条件，如m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)，需要当序号之和相等、项数相同时才成立．
2.将性质mnpqamanapaq与前n项和公式Sn
题过程．
3.等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.(6)若n为偶数，则S偶－S奇ndn为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)． 2n(a1an)结合在一起，采用整体思想，简化解
2【方法总结3】
1.公差不为0的等差数列，求其前n项和的最值，一是把Sn转化成n的二次函数求最值；二是由an≥0或an≤0找到使等差数列的前n项和取得最小值或最大值的项数n，代入前n项和公式求最值．求等差数列前n项和的最值，2.常用的方法：
(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；
(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；
(3)利用等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值． 与其他知识点结合则以解答题为主.【规律总结】
一个推导：利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，①Sn＝an＋an－1＋…＋a1，②①＋②得：Sn
n(a1an)
.2
两个技巧：已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元．
(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．
四种方法：等差数列的判断方法
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数；(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立；(3)通项公式法：验证an＝pn＋q；(4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn.注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．
热点一 等差数列基本量的计算
1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）】设Sn为等差数列an的前n项和，S84a3,a72，则a9=（）
（A）6（B）4（C）2（D）2
2,【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】 在等差数列an中,已知a3a810,则3a5a7 _____.3．（2012年高考辽宁文）在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=（）A．12
B．16
C．20
D．24
4．（2012年高考北京文）已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1,Sa3,则 22
a2________;Sn=________.5.（2012年高考重庆理）在等差数列{an}中,a21,a45,则{an}的前5项和S5=（）A．7B．15C．20D．25
6．（2012年高考福建理）等差数列an中,a1a510,a47,则数列an的公差为
A．1
B．2C．3
D．4
（）
27．（2012年高考广东理）已知递增的等差数列an满足a11,a3a24,则an______________.8.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】
2等差数列{an}的前n项和为Sn.已知S3a2，且S1,S2,S4成等比数列，求{an}的通项公式.9.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）文科】已知等差数列an的公差d=1，前n项和为Sn(I)若1,a1,a3成等比数列，求a1；
10．（2012年高考（山东文））已知等差数列{an}的前5项和为105,且a202a5.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)对任意mN*,将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm.求数列{bm}的前m项和Sm.
(II)若S5a1a9，求a1的取值范围。
热点二 等差数列性质的综合应用
11.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文】在等差数列an中，若a1a2a3a430，则
a2a3．
12．（2012年高考辽宁理）在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11=（）
A．58
B．88
C．143
D．176
13．（2012年高考江西理）设数列an,bn都是等差数列,若a1b17,a3b321,则a5b5__________ 14．（2012年高考四川文）设函数f(x)(x3)x1,{an}是公差不为0的等差数列,f(a1)f(a2)f(a7)14,则a1a2a7（）
A．0 B．7 C．14 D．21
15.（2012年高考大纲理）已知等差数列an的前n项和为Sn,a55,S515,则数列（）A．
1
的前100项和为
anan1
B．
101
C．
100
D．
16．（2012年高考山东理）在等差数列an中,a3a4a584,a973.(Ⅰ)求数列an的通项公式;
(Ⅱ)对任意mN*,将数列an中落入区间(9,9)内的项的个数记为bm,求数列bm 的前m项和Sm.m
2m
17.【2013年高考新课标Ⅱ数学（文）卷】已知等差数列｛an｝的公差不为零，a1=25，且a1，a11，a13成等比数列.（Ⅰ）求an的通项公式；（Ⅱ）求a1+a4+a7+…+a3n-2.热点三 等差数列的定义与应用
18.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科】下面是关于公差d0的等差数列an的四个命题：
p2:数列nan是递增数列； p1:数列an是递增数列；
a
p4:数列an3nd是递增数列； p3:数列n是递增数列；
n
其中的真命题为（）
（A）p1,p2（B）p3,p4（C）p2,p3（D）p1,p4 19．（2012年高考四川理）设函数f(x)2xcosx,{an}是公差为
f(a1)f(a2)f(a5)5,则[f(a3)]a1a3（）
的等差数列, 8
A．0
B．
16
C．
D．
132
16
20．（2012年高考浙江理）设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和,则下列命题错误的是（）．．A．若d<0,则数列{S n}有最大项B．若数列{S n}有最大项,则d<0
C．若数列{S n}是递增数列,则对任意的nN*,均有S n>0D．若对任意的nN*,均有S n>0,则数列{S n}是递增数列
《孙子·谋攻》上有“知彼知己者, 百战不殆”. 故仔细分析“学生”与“高考”是必不可少的功课.
“学生”: 经第一轮复习的知识点梳理, 对等差、等比数列的定义、通项、前n项和公式, 以及函数、不等式等基本知识点已全面掌握, 对于数形结合、分类讨论等基本数学思想有一定的了解, 欠缺的是综合应用能力.
“高考”: ( 1) 研究高考真题.
在公差为d的等差数列{ an} 中, 已知a1= 10, 且a1, 2a2+ 2, 5a3成等比数列.
(1) 求d, an; (2) 若d<0, 求|a1| + |a2| + |a3| + … + |an|.
数列通项公式是数列的核心内容之一, 通过通项可判断数列的类型、研究项的变化规律与趋势、前n项和. 故求数列的通项是解决问题的突破口. 基本思路是“转化”, 常见方法有“变形和构造”. 分析近几年高考, “客观题突出‘小、巧、活’的特点……主观题将它嵌入函数、不等式、解析几何之中, 并渗透函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想, 综合考查学生的数学素养”.
( 2) 研究《考试说明》. 对数列考试内容的阐述有两点值得我们关注: 一是掌握等差、等比数列的通项公式和前n项和公式; 二是能在具体的问题情境中识别等差与等比关系, 并能用相关知识解决相应问题.
基于以上分析, 我设计教学目标: ( 1) 让学生能“见多识广”, 吃透各种类型的求数列通项问题, 掌握“渔”之对策. ( 2) 能透过“现象”看“本质”, 分析题中以数列问题为载体的其他综合应用, 领悟“渔识”. 具体内容分为: 掌握“渔”和领悟“渔识”.
第一部分: 掌握“渔”. 展示求数列通项公式的六大类型及对策.
类型1: 知数列的某几项. 对策: 观察 +归纳.
类型2: 知数列的类型. 对策: 找首项和公差 ( 公比) .
类型3: an + 1- an= f ( n) . 对策: 累加 ( 叠加) 法. ( 当n≥2时, an- an - 1= f ( n - 1) , an - 1- an - 2= f ( n - 2) , …, a2- a1=f ( 1) . 将以上 ( n - 1) 个等式累加:
类型4对策: 累乘 ( 叠乘) 法. ( 当n≥2时, , 故
类型5: 已知Sn. 对策: Sn- Sn - 1.
类型6: an= f ( an - 1) . 根据f ( an - 1) 的不同, 又分成四类.6 - 1: an + 1= pan+ q ( p, q为常数, pq ( p - 1) ≠0) . 对策:迭代法、待定系数法.
例1已知数列{ an} 中, a1= 2, an= 2an - 1- 1 ( n≥2) , 求数列{ an} 的通项公式.
例2已知数列{ an} 中, , 求数列{ an} 的通项公式.
例3已知数列{ an} 中, a1= 1, an + 1=1/n·an2 ( a >0) , 求数列{ an} 的通项公式.
第二部分: 领悟“渔识”. 我认为, “悟”这个动词, 是获得“渔识”的关键所在, 主体是学生, 故方法之一: 设计“一题多解”, 可以拓宽学生的视野, 敦促其深入理解题目的内涵.
例4在等差数列{ an} 中, 已知S100= 10, S10= 100, 求S110. ( 解得: S110= - 110)
解法1直接代公式求解得首项、公差.
解法2前n项和是关于n的二次函数, 设Sn= an2+bn, 用待定系数法求a, b.
解法3由性质: Sk, S2k- Sk, S3k- S2k, …组成公差为k2d的等差数列, 构造新等差数列.
解法4由性质: 若m, n, k成等差数列, 则Sm/m, Sn/n, Sk/k也成等差数列, 构造新等差数列.
方法之二: 设计综合题, 帮助学生“领悟”数列与其他知识、思想方法综合运用.
例5 ( 与周期性质) 已知数列{ an} 中, a1= 1, an + 1= ( -1) n ( an+ 1) , 则S2014=_______.
例6 ( 与函数单调性) 已知公差不为0的等差数列{ an} 中各项均为正数, 满足2S2= a2 ( a2+ 1) , a1, a2, a4成等比数列. ( 1) 求等差数列{ an} 的通项公式; ( 2) 设 (bn=2Sn+ 13) /an, 求数列{ an} 中的最小项.
例7 ( 与不等式“放缩法”) 已知数列{ an} 中 ( 1) 求数列 { an} 的通项公式; ( 2) 若求证:
“悟”是一个内化的过程和行为, 依赖授“渔”时教师的引导, 主导“悟”的完全在于学生, 在初期需花费较多时间, 但教师必须要“舍”得下这个血本, 俗话说“磨刀不误砍柴工”, 教师逐步引导学生去“体悟”题中隐藏的内在联系, “解决”一环套一环的问题, 使学生获得属于自己的独有的“渔识”, 在未来遇到同类问题, 就会“事半功倍”.
教师要把握好“授人以渔, 助其领悟渔识”的度, 即在课堂上把握讲什么、怎么讲的度. 教师面对的学生在改变, 故应顺应学生本身能力, 由浅入深、由近及远地展开知识; 教师面对的课程在改变, 新课程赋予每一块知识点很多新的使命, 单独应用的时代已远去, 故应在扎实学生单一知识点的基础上, 顺应时代的变迁, 提升知识点间综合运用; 教师面对的高考也在改变, 难题早已远离了“偏”, 故应有意识引导学生利用“通性通法”来解决问题, 提高效率, 真正做到给学生减负.
我仅以自己的课堂为例阐述了我对“授人以渔, 助其领悟渔识”的理解与实施, 借此抛砖引玉, 与志同道合者共勉之.
摘要：教学的三重境界, 即“授人以鱼、授人以渔、悟其渔识”.进入高考专题复习课, 教师更应在“渔”和“渔识”上动脑筋.基于对“学生”“高考”的分析, 设计“数列”专题复习课的教学目标: (1) 让学生“见多识广”, 吃透各种类型的求数列通项问题, 掌握“渔”之对策. (2) 能透过“现象”看“本质”, 分析清题中以数列问题为载体的其他综合应用, 领悟“渔识”.“悟”是一个内化的过程, 依赖授“渔”时教师的引导.如何把握好“授人以渔, 助其领悟渔识”的度, 应顺应学生的本身能力、时代的变迁, 真正做到给学生减负.
关键词：授人以渔,领悟渔识
参考文献
[1]张春杰.授人以鱼, 授人以渔, 但更要悟其渔识——评刘亚平老师《课例:“余弦定理”的教学》[J].中学数学教学参考, 2013 (10) .
[2]袁竞成.等差数列、等比数列及其综合应用[J].中学数学教学参考, 2014 (1-2) .
1.设等差数列[an]的前[n]项和为[Sn]，若[S3=9]，[S6=36]，则[a7+a8+a9=]（ ）
A.63 B.45 C.36 D.27
2. 等差数列[an]中，[an≠0，]若[m>1]，且[S2m-1][=38]， [am-1+am+1-a2m=0]，则[m]的值为（ ）
A. 38 B. 20 C. 10 D. 9
3.设等比数列[an]的前[n]项和为[Sn]，若[8a2+a5=0]，则下列式子中数值不能确定的是（ ）
A. [a5a3] B. [S5S3]
C. [an+1an] D. [Sn+1Sn]
4. 已知等比数列[an]满足：[a1+a2+a3+a4+a5=3]，[a21+a22+a23+a24+a25=12]，则[a1-a2+a3-a4+a5]的值是（ ）
A.9 B.[14] C.2 D.4
5. 数列[an]的通项公式为[an=n2+（k-1）n+k]，且数列[an]是递增数列，则实数[k]的取值范围为（ ）
A.[k≥1] B.[k≥-1]
C.[k>-2] D.[k>-1]
6.某人从2013年起，每年1月1日到银行新存入[a]元（一年定期），若年利率为[r]保持不变，每年到期存款（本息和）自动转为新的一年定期，到2017年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数为（单位为元）（ ）
A. [a（1+r）5] B. [ar[（1+r）5-（1+r）]]
C. [a（1+r）6] D. [ar[（1+r）6-（1+r）]]
7.已知数列[an]的前[n]项和为[Sn=32n2-1232n]，则[a1+a2+…+a30]等于（ ）
A.445 B.765
C.1080 D.3105
8.在学习等差数列这一节时，可以这样得到等差数列的通项公式：设等差数列[an]的首项为[a1]，公差为[d]，根据等差数列的定义，可以得到[a2-a1=d]，[a3-a2=d]，…，[an-an-1=d]，将以上[n-1]个式子相加，即可得到[an=a1+（n-1）d].“斐波那契”数列是数学史上一个著名数列，在斐波那契数列[an]中，[a1=1]，[a2=1]，[an+2=an+1+an]（[n∈N*]），令[a2015=m]，根据上述方法可得斐波那契数列[an]的前2013项的和是（ ）
A.[2013m] B.[m-1]
C.[m-2] D.[m+1]
9. 若不等式[（-1）na<2+（-1）n+1n]对任意正整数[n]恒成立，则实数[a]的取值范围是（ ）
A.[（-2，32）] B.[ [-2，32）]
C. [[-3，32]] D. [（-3，32）]
10.如果有穷数列[a1，a2，…，an（n∈N*）]，满足条件：[a1=an，a2=an-1，…，an=a1，]即[ai=an-i+1（i=][1，2，…，n）]，我们称其为“对称数列”.例如：数列[1，2，3，4，3，2，1]就是“对称数列”. 已知数列[bn]是项数为不超过[2m（m>1，m∈N*）]的“对称数列”，并使得[1，2，22，…，2m-1]依次为该数列中前连续的[m]项，则数列[bn]的前[2013]项和[S2013]可以是①[22013-1]；②[2（22013-1）]；③[3?2m-1-22m-2014-1]；④[2m+1-22m-2013]-1. 其中正确命题的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题（每小题4分，共16分）
11. 已知等差数列[an]，[bn]的前[n]项和分别为[Sn]，[Tn]满足[SnTn=3n+12n+3，n∈N*]，则[2a2+a6+a142b1+b5+b17]= .
12.设数列[an]的前[n]项和为[Sn]，[a1=2]，[an+1=2Sn+1]（[n∈N*]），则数列[an]的通项公式是 .
13.用分期付款方式购买家用电器一件，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，全部欠款付清后，买这件家电实际付款 元.
14.设[an]是公比为[q]的等比数列，其前[n]项的和为[Sn]，前[n]项的积为[Tn]，并且满足：[0
三、解答题（15、16题各10分，17、18题各12分，共44分）
15.为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会，计划用1600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第[x]层楼房每平方米的建筑费用为（[kx+800]）元（其中[k]为常数）.经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1270元（每平方米平均综合费用=[购地费用+所有建筑费用所有建筑面积]）.
（1）求[k]的值；
（2）问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？
16. 已知[Sn]为数列[an]的前[n]项和，且[Sn=2an+n2-3n-2（n∈N*）].
（1）求证：数列[{an-2n}]为等比数列；
（2）设[bn=an?cosnπ]，求数列[bn]的前[n]项和[Pn].
17. 设数列[an]的前[n]项和为[Sn]，且[Sn=n2-4n+4].
（1）求数列[an]的通项公式；
（2）设[bn=an2n]，数列[bn]的前[n]项和为[Tn]，求证：[14≤Tn<1].
18. 设数列[an]是公差为[d]的等差数列，其前[n]项和为[Sn].
（1）已知[a1=1]，[d=2]，
①求当[n∈][N*]时，[Sn+64n]的最小值；
②当[n∈][N*]时，求证：[2S1S3+3S2S4+…+][n+1SnSn+2<516].
（2）是否存在实数[a1]，使得对任意正整数[n]，关于[m]的不等式[am≥n]的最小正整数解为[3n-2]？若存在，则求[a1]的取值范围；若不存在，则说明理由.
本专题由数列和数学归纳法两部分主要内容组成，它融代数、三角、几何于一体，性质多、技巧性强、方法灵活、应用广泛、综合能力要求高．等差、等比数列的运算和性质是本专题复习的重点，以等差、等比数列为载体的代数推理问题，数列的实际应用问题及数学归纳法的应用是难点，它们都是高考命题的热点；方程观点、等价转换、消元法、待定系数法是贯穿于本专题的重要数学思想和方法；运算能力、逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力是复习好本专题的基本要求．
1．关于等差、等比数列
（1）等差、等比数列的判定：①利用定义判定；②ａｎ＋ａｎ＋２＝2ａｎ＋１
ａｎａｎ＋２＝ａｎ＋1（ａｎ≠0）
２２｛ａｎ｝是等差数列，｛ａｎ｝｛ａｎ｝是等差数｛ａｎ｝是等比数列；③ａｎ＝ａｎ＋ｂ（ａ，ｂ为常数）是等差数列，Ｓｎ＝ａｎ＋ｂｎ（ａ，ｂ为常数，Ｓｎ是数列｛ａｎ｝的前ｎ项和）
列．
（2）等差、等比数列性质的应用：注意脚码、奇偶项的特点等．
（3）数列是定义域为自然数集（或自然数集的子集）的函数，即ａｎ＝ｆ（ｎ）（ｎ∈Ｎ）．因此我们可运用函数的思想方法去研究处理数列问题．如等差数列当公差ｄ≠0时的通项公式为ｎ的一次函数，前ｎ项和为ｎ的二次函数，有关前ｎ项和的最大、最小问题可运用二次函数的性质来解决．
2．关于一般数列
（1）已知数列的前n项和，求通项公式，这类问题常利用
Ｓ１（ｎ＝1），ａｎ＝ Ｓｎ－Ｓｎ－１（ｎ≥2）求解．
（2）用递推公式给出来的数列，常利用“归纳—猜想—证明”的方法求解．
3．关于数列的求和
（1）公式法：①等差、等比数列的前n项和公式；②自然数的方幂和公式．
（2）错位相减法．
（3）倒序相加法．
（4）裂（拆）项法．
4．关于数学归纳法
（1）数学归纳法的原理．
（2）数学归纳法的应用：①证明与自然数有关的恒等式；②用数学归纳法证明不等式；③用数学归纳法证明整除性问题．
<教师备案>
．已知数列的递推公式，求取其通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具体的题目，它的求解方法是灵活多变的，构造的技巧性也很强，但是此类题目也有很强的规律性，存在着解决问题的通法，本讲就高中数学中常见的几类题型从解决通法上做一总结，方便于学生学习，不涉及具体某一题目的独特解法与技巧．
．教师在上课时需要注意：
⑴
确保学生基础知识的熟练，如基本的等差和等比数列的通项．
⑵
明确数列可以产生衍生数列，如：等等，而这些数列中的“”也会随着的项号的变化而变化．这点可以在后面第一次讲到用辅助数列的时候提到，但一定要举一些例子让学生体会．
⑶
教师要清晰的了解在高中阶段从递推关系求通项的核心思想就是通过代数变形将递推式转化为等差数列或等比数列的递推式．
⑷
高中阶段除了将递推数列转化为等差或等比数列进行求通项外，还有一小部分递推数列是周期数列．比如，就是周期数列．
考点1：
叠加法
知识点睛
由数列的递推公式求通项公式的方法有：（以下）
方法1．叠加法：若数列递推公式为，则通项．
<教师备案>我们知道等差数列可以通过叠加法求通项公式，对于数列有形如的递推式，且的和是可求的，我们可以用同样的方法来求，将递推式变形为，……
将各式相加，得
．
经典精讲
【铺垫】已知数列满足，求．
【解析】
．
【例1】
⑴已知数列满足，且求．
⑵已知数列满足且（），求．
⑶已知数列满足求．
⑷在数列中，，则（）
A．
B．
C．
D．
【解析】
⑴
．
⑵
．
⑶
．
⑷
A；
【点评】
在运用叠加法时，要特别注意项数，计算时项数容易出错．正确写出要累加的首项和末项很重要．
考点2：
叠乘法
知识点睛
由数列的递推公式求通项公式的方法有：（以下）
方法2．叠乘法：若数列递推公式为，则通项．
<教师备案>我们知道叠乘法可以求等比数列的通项，对于数列有形如“”的递推式，且的积是可求的时候，我们可以用同样的方法来求，将递推式变形成，……
将各式相乘，得．
经典精讲
【铺垫】已知数列中，求．
【解析】
．
【例2】
⑴已知数列中，，则数列的通项公式为（）
A．
B．
C．
D．
⑵已知数列中，求数列的通项公式．
⑶已知数列中，，求．
【解析】
⑴
B．
⑵
．
⑶
．
考点3：
构造法
知识点睛
由数列的递推公式求通项公式的方法有：（以下）
方法3．构造法：
⑴
若数列递推公式为，可以设成立，解得，即是等比数列．
⑵
（其中，且，是关于的多项式函数），可设，其中为与的次数相等的多项式函数，各项的系数都待定，通过比较与的各项系数确定待定系数，即为等比数列；
⑶，其中且，，．
①若，则，即为等差数列；
②若，则可以设；
也可两边同时除以或：得或．
<教师备案>
构造法的主要思想是通过观察递推公式的形式，进行合适的代数恒等变换，构造出我们比较熟悉的等差、等比数列，或者类似等差数列（叠加）、类似等比数列（叠乘）．它主要处理递推形式给出的数列，一阶递推主要有两种：⑴；⑵．
这两种递推形式的处理方式如下：
⑴，；
与等比数列的递推公式作对比，发现多一个常数，故考虑构造一个等比数列，于是令，解得，从而得到的表达式，解得的表达式；
例3⑴就是这种形式．
⑵，①当时，即，且数列可以求和时，就是“叠加法”的情形，即；
②当时，ⅰ．是等差数列，故也可以像一样分解：
令，可解得的值，于是成等比数列，可得到的通项公式．
例3⑵就是这种形式．
ⅱ．当成等比数列时，即，若，两边同除以，则，得到数列是一个等差数列；
若，则用待定系数法：设；
也可两边同时除以或：得或，前边的递推式中可以用叠加法求得通项公式，后面的递推式中，可以用（ⅰ）中的待定系数法得到一个等差数列．
例3⑶就是这种形式．
经典精讲
【例3】
⑴在数列中，当时，有，求．
⑵在数列中，，．求．
【追问】如果递推关系中出现了更为复杂的函数，那么该如何进行配凑？
如：在数列中，．求．
⑶已知数列满足，求．
【解析】
⑴
．
⑵
．
【追问】
．
⑶
．
【挑战十分钟】⑴
在数列中，求的通项公式．
⑵
在数列中，求的通项公式．
⑶
在数列中，求的通项公式．
【解析】
⑴
．
⑵
．
⑶
．
【例4】
数列中，求数列的通项公式．
【解析】
．
【点评】本题和例3的区别在于，例3可以说完全是按部就班的套公式，本题需要先代数变形，变成可以去套公式的形式，不过两道例题的整体思想仍然是将递推式左右两边变化出形式类似的代数式，换元后形成（类似）等差或（类似）等比数列．
考点4：
倒数法
知识点睛
由数列的递推公式求通项公式的方法有：（以下）
方法4．倒数法：若数列递推公式为，两边式子取倒数，然后转化为方法3的情形．
<教师备案>
除了一阶递推形式可以用构造法得到一个等差数列或等比数列，或是可以用叠加法或叠乘法处理的数列之外，高中数学中还常常会遇到递推形式为的分式递推数列．这样的数列形式与我们以前的一次分式函数非常相似，对于这样的递推形式，取倒数后分子上就没有了，实现了“变量分离”，得到的形式，于是数列满足的递推式就可以通过叠加法（）或构造法（）去求通项了．
经典精讲
【例5】
⑴已知数列满足，则_________．
⑵已知在数列中，求数列的通项公式．
【解析】
⑴；
⑵
5.2
两种形式的处理
考点5：
前项和与通项
知识点睛
1．已知求，直接用公式：
2．已知与的关系有两种处理方式：
⑴
把题目中的用替换，转化为关于的递推关系，从而得到的通项公式，再转为的通项公式．
⑵
分别写出和的表达式，两式相减转化为关于的递推关系．
注意：使用得到的通项是在这个前提下成立的，所以要注意验证的情况．
<教师备案>由与的关系式求通项是高中阶段的重点，前面的讲次也有涉及到，在本讲我们结合前面求通项的方法进行一个简单的总结．例6是只有一种方法比较可行的，例7则是两种方法都可以．
经典精讲
【铺垫】已知在数列中，求数列的通项公式．
【解析】
．
【例6】
已知数列中，且对于任意正整数有，求通项．
【解析】
．
【点评】此题即属于将用替换，进而转化为关于的递推关系，从而得到的通项公式，再转为的通项公式．如果用和的表达式相减的话则很难求出通项．
【例7】
设是正数组成的数列，其前项和为，并且对于所有的自然数，与的等差中项等于与的等比中项，求数列的通项公式．
【解析】
．
【备选】（2010朝阳二模理20）
已知是递增数列，其前项和为，且．
⑴
求数列的通项；
⑵
是否存在，使得成立？若存在，写出一组符合条件的的值；若不存在，请说明理由．
【解析】
⑴．
⑵
满足条件的正整数不存在，证明如下：
假设存在，使得．
则．
整理，得
………①
显然，左边为整数，所以①式不成立．
故满足条件的正整数不存在．
<教师备案>
若数列的递推公式的一般形式为，这时的通项公式也可以求出．
分两种情况：
①当时，有．
是以为首项，为公比的等比数列．
②当时，存在，满足，与比较系数得，．
可见是二次方程的两个根，通过解此方程求，的值，再进一步推导的表达式．这种方法又称特征根法．
下面的竞赛题就用到了这样的方法，高中对这样的二阶递推式不作要求，这道题仅供学有余力的同学选做．
（2009年全国高中数学联合竞赛一试）
已知，是实数，方程有两个实根，数列
满足，⑴
求数列的通项公式（用，表示）；
⑵
若，求的前项和．
【解析】
⑴
由韦达定理知，又，所以，整理得
令，则．所以是公比为的等比数列．
数列的首项为：．
所以，即．
所以．
①当时，，变为．整理得，．
所以，数列成公差为的等差数列，其首项为．
所以．
于是数列的通项公式为；
②当时，．
整理得，．
所以，数列成公比为的等比数列，其首项为．所以．
于是数列的通项公式为．
⑵
若，则，此时．
由⑴的结果得，数列的通项公式为，所以，的前项和为，以上两式相减整理得，所以．
<教师备案>
此题老师可以再提及斐波那契数列，它的递推公式为，也是一个二阶递推式，可以用特征根法求得通项公式．
实战演练
【演练1】已知数列中，则_______．
【解析】
．
【演练2】在数列中，．则_______．
【解析】
．
【演练3】在数列中，．求的通项公式．
【解析】
．
【演练4】⑴
已知数列满足，求．
⑵
数列中，求．
【解析】
⑴
．
⑵
．
【演练5】已知数列满足：，又，求．
【解析】
．
【演练6】在数列中，为其前项和，且成等差数列，求的通项公式．
【解析】．
大千世界
（2012年北京高中数学联赛一试）
已知数列的各项均为非零实数，且对于任意的正整数，都有如下关系成立：
问是否存在满足条件的无穷数列，使得?若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式，若不存在则说明理由．
【解析】当时，∵
①
∴
②
①②有：
③
因各项均非零，所以③式两边约掉，有：
④
∴
⑤
④⑤有：
∴或
【摘要】本文以应用C语言循环结构解决等差数列求和问题作为微课主要内容，阐述了对微课设计进行的研究与探索。
【关键词】C语言；循环结构；微课
当今，信息化高速发展，数字技术正在影响和改变着我们生活中的各个领域，其中也包括教学模式的改变。微课作为数字时代的一种新型课程表现形式，以其主题明确、短小精悍、交互效果好等优点，在各个学科的教学中正被积极地推广和应用。在我院的C语言课程教学中，微课设计被应用于很多较难理解的知识点讲解中，经过实践发现教学效果良好。本文以应用C语言循环结构解决等差数列求和问题作为微课主要内容，对微课设计进行研究与探索。
一、微课的介绍
1.微课的定义。
微课是以视频为主要载体，记录教师在课堂内外教育教学过程中围绕某个知识点（重点难点疑点）或技能点的教学环节开展的精彩教与学活动全过程，具有目标明确、针对性强和教学时间短的特点。
2.微课的组成。
（1）围绕某个知识点或技能点的教学视频和微课设计脚本；
（2）微课教学相关的教学设计方案和教学课件；
（3）微课相关素材、练习题、测试题、教学反思等辅助性教学资源。
3.微课的主要特点。
（1）教学时间较短：时长一般为8―10分钟。
（2）教学内容较少：主要是突出课堂教学中某个知识点，内容十分精简。
（3）资源容量较小：学生可以在线观看视频学习，也可查看相应教学资料。
（4）主题突出：一个微课就只包含一个主题任务，内容明确。
（5）自主学习为主：学生可以使用微课完成自主的、一对一的学习。
二、应用C语言循环结构解决等差数列求和问题微课设计
1.微课名称：应用C语言循环结构解决等差数列求和问题。
2.所属专业：软件技术专业。
3.所属年级：高职一年级。
4.所属课程：C语言。
5.知识点。
（1）掌握while循环语句的格式和执行过程；
（2）学会分析循环结构程序的设计思路；
（3）熟练应用while循环语句来编写程序。
6.技能点：能够通过while循环语句编写程序来解决实际问题。
7.教学类型：讲授型。
8.设计思路。
（1）微课设计目标：通过微课交代出课程的基本知识点（包括理论部分与实践部分）、课程的整个教学环节以及所实现的具体任务。
（2）教学情境设计：在现实生活中，我们会遇到很多需要重复操作的事情。比如，在数学课中曾经接触过的等差数列求和问题。因为等差数列中的数据都是有规律的，而且加法的计算也是重复的，所以完全可以用循环程序来帮助我们完成这个看似复杂的计算。
（3）微课基本思路：在微课设计中，通过教学情境的引入，向学生交代本次课的主要内容是用循环结构程序来解决等差数列求和问题，学生首先聆听教师讲解有关循环结构的相关知识点，教师做好相关的技术指导，之后教师将学生带入到具体任务的实现过程中，包括本次课中主要学习的while循环结构的特点、语法格式、流程图和执行过程，再根据等差数列的特点分析出用程序解决该问题的设计思路和所需变量，然后结合while循环的语法格式将循环语句书写出来。在具体编程设计工作之前要将整个程序的流程分析清楚，再动手写出具体程序，这样才能避免问题的产生，还能够培养学生良好的程序设计书写习惯。学生在分组完成具体任务后要进行讨论，能够总结出while循环应用于实际问题中的设计思路和分析方法，之后能够举一反三合理解决其它问题。本次课程结束前，要求各项目组对项目成果进行演示和阐述，并进行评分。最后总结归纳本次课的主要内容。
9.教学过程。
（1）片头（20秒以内）
通过画面展示“微课”名称、“微课”所支持的课程名称、“微课”教学内容简介、“微课”主讲教师简介。可以添加适当的背景音乐。
（2）正文（8分钟）
①画面1：通过课件展示教学情境，引入具体研究任务。（30秒）
具体展示内容：各位同学，在现实生活中，我们会遇到很多需要重复操作的事情。比如，在数学课中曾经接触过的等差数列求和问题。因为等差数列中的数据都是有规律的，而且加法的计算也是重复的，所以完全可以用循环程序来帮助我们完成这个看似复杂的计算。
②画面2：讲解循环结构的特点、while循环的语法格式和执行过程。（220秒）
具体技术指导内容：学生首先聆听教师讲解有关循环结构的相关知识点，教师做好相关的技术指导，之后教师将学生带入到具体任务的实现过程中，包括本次课中主要学习的while循环结构的特点、语法格式、流程图和执行过程。
③画面3：分析等差数列求和问题中所使用的变量、设计流程，并进行程序编写。（300秒）
具体操练内容：向学生交代本次课的主要内容是用循环结构程序来解决等差数列求和问题，再根据等差数列的特点分析出用程序解决该问题的设计思路和所需变量，然后结合while循环的语法格式将循环语句书写出来。在具体编程设计工作之前要将整个程序的流程分析清楚，再动手写出具体程序，这样才能避免问题的产生，还能够培养学生良好的程序设计书写习惯。
（3）小结（20秒）
通过画面展示总结本微课重点。
（4）片尾（10秒）
通过画面展示“微课”制作者信息、相关“微课”信息、“微课”应用信息和必要的内容注解。
三、结语
本微课在C语言教学中已经应用，并取得了较好的教学效果，学生通过微课的学习对C语言循环结构的理解更加深刻了。张一春教授认为，对于老师而言，最关键的是要从学生的角度去制作微课，而不是在教师的角度去制作，要体现以学生为本的教学思想。因此，在今后的微课设计中，我们还要不断地探索，真正使微课成为学生自主学习的重要资源。
参考文献：
一、课堂教学尝试的设计
1、课堂教学内容介绍。
本次课堂教学内容是“等差数列与等比数列的应用”, 具体教学内容包含四个例题, 如下:
例1某林场计划2001年造林5公顷, 以后每年比上一年多造3公顷, 问20年后林场共造林多少公顷?
2、课堂教学尝试的具体思路。
本次课堂教学“以学生为主, 教师为辅”为根本原则, 师生互换角色。具体就是将本次课堂教学内容按例题划分成四个部分, 然后选取四位学生, 让每位学生完成一道例题的课堂教学任务, 教师在每一位学生完成教学任务后给以补充、完善、拓展, 由师生共同完成本次教学任务。
3、课堂教学尝试的具体步骤
(1) 任务安排。提前将教学内容安排给学生, 让学生有足够的时间对自己的教学内容进行学习、探索, 并做好教学的准备。
(2) 教学实施。教师:同学们, 前面我们学习了等差数列与等比数列的基本知识, 这些知识在实际生活中的用途很广泛, 今天我们就来看看等差数列与等比数列的应用 (教师将课题板书在黑板上) , 本次课由同学们代老师完成教学任务, 下面从例1开始 (教师将例1板书在黑板上) , 并将学生甲请上讲台。
例1某林场计划2001年造林5公顷, 以后每年比上一年多造3公顷, 问20年后林场共造林多少公顷?
学生甲:请大家跟我读题 (读完后学生甲开始分析并板书)
分析 2001年造林5公顷
2002年造林8公顷
2003年造林11公顷……
从分析知道, 每年造林公顷数成等差数列{an}
就这样, 学生基本将例1讲授完。
教师 (走上讲台) :对学生甲进行肯定和鼓励并接着问:
同学们, 对例1你还有补充吗?
教师根据学生的反馈进行补充, 完善, 并结合本例加强环境绿化意识教育。
二、课堂教学模式分析
1、教学内容选取分析。
笔者之所以选取“等差数列与等比数列”的应用作为这种师生互换角色的教学模式的教学内容, 是因为在此前的教学中, 学生已经学习过等差数列与等比数列的基本知识, 就算学生对教学内容的分析不够透彻, 因为有基础知识作为铺垫, 再加上教师的补充, 我想学生也容易理解并接受。此种教学模式内容的选取十分重要, 即要让站上讲台的学生有信心, 同时也要让其他同学易于接受。教学内容的选取可以是习题课, 可以是知识点讲授后的某个例题, 也可以是一些难度不大的练习等等。
2、教学安排分析。
这种教学模式的实现提前安排是必须的, 要事先将教学内容安排给学生, 目的在于要让站上讲台的学生有足够的时间去自主获取知识、去查阅资料、将知识点完全弄懂, 要知其然, 更要知其所以然。当然, 在学生进行教学准备的过程中, 教师必须要对其进行知识点、教学技巧、教学管理等方面的指导, 并加以鼓励, 增强其自信心。这些工作是保证学生能够顺利完成教学内容的前提条件。
3、教学实施过程分析。
在教学的实施过程中, 学生的教学肯定存在这样或那样的问题, 这都是正常的。但不管如何, 只要在教师的引导或指导下, 学生能大致讲完教学内容, 教师要给予肯定和鼓励。教师在教学的实施过程中更能发现学生存在的问题, 不足等, 更利于对学生进行指导。总之, 通过这样的教学, 学生能感受教学的辛苦, 更能理解老师;老师更能了解到学生的综合素质, 师生在这样的教学中共同成长, 共同进步。
4、培养学生的综合能力。
通过这样的教学尝试, 可以培养学生积极、主动、认真的学习态度和自主学习能力、分析问题与解决问题的能力、语言组织表达能力, 管理等能力, 使学生的综合能力得到提高。
三、结束语
教学有法而无定法, 在教学中, 教师要不断学习, 不断摸索, 最大限度地调动学生参与教学的积极性、主动性, 不断培养学生对数学知识的浓厚兴趣。只有教师与学生共同努力, 才会取得良好的教学效果。
参考文献
1.选题
等差数列选自江苏教育出版社中职高一数学第二册，第6章《数列》的第二节内容。是高中数学的重要内容之一，它的地位作用可从三方面来看。
第一，从知识特点来看，等差数列有着广泛的应用。如堆放物品总数的计算会用到等差数列知识，储蓄的有关计算也会用到等差数列的一些知识。
第二，从教材体系来看，等差数列起着承前启后的作用：一方面，初中数学的许多内容在解决等差数列的问题中得到了充分运用，同时等差数列与前面学习的函数等知识有密切联系；另一方面，学习等差数列又为进一步学习等比数列做好了准备。
第三，从能力培养来看，等差数列是培养学生数学能力的良好题材，例如公式推导应用过程中渗透的类比、归纳、数形结合和方程等思想方法。
2.设计
该微课分为六个部分。
第一部分，课题导入。在一段动感音乐背景下，以动画为载体，展示出该节微课的课题、教材、出版社和适用学生年级。在动画和音乐中，迅速吸引学生的注意力，提醒学生做好学习准备。
第二部分，旧知复习。复习等差数列的文字定义和数学表达式定义，强调公差d，复习等差数列通项公式的两种形式，并提出巧妙记法，复习等差数列下标和相等的性质，并进行简单的证明。教师组织学生进行定义、通项公式、性质的复习，为该节课等差数列求和公式的推导探究和运用做好准备。
第三部分，探究新知。 探究学习等差数列求和的三种求法为简单直接型、瞎琢磨型、数形结合型。三种方法，由浅入深，由形象到抽象，推进合理，且不失幽默，一气呵成，将该课推向高潮，培养了学生的分析问题、解决问题的能力。
第四部分，例题评析。使用两个公式，两种方法解决求数列前10项和的例题，通过例题的评析，巩固提高了学生对两个求和公式的理解。
第五部分，课堂小结。复习本课学习的等差数列求和的两个公式，再次加强学生对公式的记忆。
第六部分，结束微课。在一段舒缓的音乐中，结束本节微课，愉悦学生心情，缓解学习的疲劳。
二、等差数列求和微课的应用方案
1.准备工作
任教班级学生群体基本能达到每人一部智能手机。学校已经实现了校园无线网络全覆盖。图书馆电子阅览室提供大量可供学生使用的电脑。班级已经建立了QQ群、微信群。教师利用空余时间已将数列这一章各节内容录制成微课。笔者任教的两个中职高一班级，专业相同，入学基础相当，一个班级使用微课教学，另一个班级使用传统的教学模式，一同完成数列这一章的学习任务。
2.应用步骤
教师将录制的微课上传至班级QQ群，布置学生预习任务。学生自学通过QQ群下载的微课，借助班级QQ群、微信群等学习交流平台，及时将自学中的疑惑与同学和老师交流，并完成课前导学案。
在课堂教学中，教师首先对学生课前的微课自学效果进行提问检查。教师对学生理解困难的问题进行重点讲评点拨，通过共同探讨，完成对新授知识的学习。课后教师将该课相应的练习题微课上传，让学生下载自学，进一步巩固该节知识点。
三、等差数列求和微课的应用优缺点及改进策略
1.优点
等差数列求和微课能更好地提高学生学习的效率。针对中职学生数学基础薄弱的情况，微课可以在课前预习，重点、难点解析，课后复习等多方面来帮助学生进一步理解知识的重难点。微课视频可以重复使用，反复观看。学生在课堂上听不懂的问题，可以在课外利用微课进行反复的观摩理解。通过微课视频，学生可以自定学习进度。
2.缺点
微课带来的翻转课堂需要学生课前课后观看和学习微课。这对学生提出了更高的学习自觉性要求。如果学生自觉性不足，经常偷懒，就会影响后续的课堂讨论和应用。
3.改进策略
加强学生微课学习方法的指导和对学生学习自觉性的培养。在微课的制作中，遵循宜小不宜大、时间宜短不宜长、讲解宜精不宜粗、形式宜新不宜老、互动宜多不宜少的基本原则。
四、小结
作为现阶段中职数学教学的一种优质补充方式，微课带给我们的改变是明显的。每一位中职数学教学的相关工作者都不能忽视这些改变，而要以积极的态度对待它们。
李世萍 汤敬鹏（兰州市第五十七中学 730070）
数学课程标准指出：数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。如果在数学教学中渗透数学文化，让学生接受它的熏陶，体会它的丰富价值，这对于激发学生的数学兴趣和求知欲，培养乐观向上的精神状态、思考解决问题的积极性和主动性及创新精神和实践能力都有积极的作用。更重要的是，通过在数学教学中渗透数学文化可以对学生健全的人格形成产生良好影响。有数学研究者认为“数学文化是数学教学的催化剂和润滑剂，它能使数学教学充满人文气息和情趣，使学生对数学教学充满兴趣和乐趣，将枯燥乏味的数学教学变得生动活泼”。因此，正如张奠宙先生所提出的，“数学文化必须走向课堂”，使学生受到数学文化的熏陶，品味数学文化的魅力。基于这样的观点，笔者尝试从数学文化的视角对人教版高中《数学》（必修）第一册第三章《数列》第一节数列（第二课时）进行教学设计，并进行了课堂教学。
本节课要求学生了解递推公式是给出数列的一种方法并能根据递推公式写出数列的前几项。本节教材中教学内容少，仅一道例题及四道练习题，如何使课堂教学内容更丰富、更饱满是教学设计的关键。在课前对例题的分析后，笔者发现例题具有丰富的数学文化内涵，值得进行深入的发掘，因此本节课以例题为切入点，通过充分挖掘其中蕴含的数学文化内涵，以丰富课堂教学内容，同时拓宽学生的视野。
本节课的复习引入，概念呈现环节都按教材内容进行常规教学设计，本节教学设计的重点是对例一的处理。现进行简单的实录如下。
一、课堂教学实录：
教师呈现例题：已知数列{an}的第一项是1，以后每一项的各项由公式an=1+
1an1给出，写出这个数列的前五项。
学生解答之后，教师要求学生再计算后续几项，并提出问题：观察上述数列{an}的各项有什么特点？即当n逐渐增大时，an的近似值是什么？请学生用计算器计算。
学生用计算器计算后发现，当n逐渐增大时，an的近似值为1.618，结合初中所学，学生知道这个近似值是黄金分割数。
学生在获得这个结论后非常惊奇，急于知道这是为什么，于是教师顺势引导学生进行探讨，教师提出下列问题引导学生思考：①当n足够大时，根据计算的结果，每一项和它的前一项的近似值应该有什么关系？②而根据递推公式，它们之间又有何关系？③综合利用这两个关系，我们可以形成什么样的关系式？学生思考讨论后得到以下解释：
12解：设当n逐渐增大时，an的近似值是x，则x=1+，即x-x-1=0
x15151
5、x2=（舍），其中≈1.618是黄金分割数，22211得到这个解释之后，教师又引导学生进行如下的操作：a2=1+=1+，1a1解得：x1=
a3=1+1111=1+，a4=1+=1+，„„，由于当n逐渐增大时，an的近似11a2a3111111值为15，于是学生得到了黄金分割数的无穷连分数表达式，即 21512111111...由无穷个1居然能够表示一个无理数，这引起了学生的极大的兴趣，一些学生积极思考后提出：黄金分割数的倒数是黄金分割比写成无穷连分数：512111111...51≈0.618，它比黄金分割数小1，因此它也可2，它的近似分数应该是例题中各数的倒数，即
11235813„，，，，123581321学生获得了这些在书本中没有的知识，异常兴奋，不由得互相议论起来，教师看到学生的热情如此高涨，觉得应该趁热打铁，于是趁势又提出新的问题：上面分数的分子1，1，2，3，5，8，13，„组成一个新的数列，你能写出这个数列的递推公式吗？
学生踊跃回答后，教师按学生回答板书此数列的递推公式：a1=a2=1，an=an-1+a=-2(n≥3)，之后教师又给出以下例题：
例
2、一般而言，兔子在出生两个月后就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都不死，那么半年以后可以繁殖多少兔子？一年后呢？
学生再一次积极讨论起来，但得到了好几种不同的答案，彼此争论不下，这时教师在多媒体上演示了如下树状图：
学生在教师引导下，发现正确结果正是上一个问题中数列的各项，教师结合这个例题向学生介绍，这就是数学史中著名的“斐波那契数列”，之后教师给出其通项公式：an115n15n)()]，学生惊喜地发现，这个通项公式中正藏有黄金分割数与225[(黄金分割比，学生不由惊叹道，这两个数列可真有“亲戚”关系啊！
教师接着利用多媒体演示自然现象的“斐波那契数列”： 具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部，带小花的大向日葵的管状小花排列成两组交错的斐波那契螺旋，并且顺时针和逆时针螺旋的条数恰是斐波那契数列中相邻的两项，其中顺时针的螺旋有34条，逆时针的螺旋有55条。蒲公英和松塔也是以斐波那契螺旋排列种子或鳞片的。
另外还有很多，如蜘蛛网、水流的旋涡、蜗牛壳的螺纹以及星系内星球的分布等也是按照斐波那契螺旋排列的。
看到在习以为常的自然现象中竟有如此精妙的数学原理，这让学生叹为观止。这时教师提出建议，有兴趣的同学可以上网查阅相关的资料，找出更多的在自然现象中所隐藏的斐波那契数列。
二、教学反思
米哈伊·奇凯岑特米哈伊（Mihaly Csikszentmihalyi）指出，当活动满足以下条件时，我们就会产生心流（flow）体验：①目标明确；②反馈及时；③既不会很难，也不是很容易——能够充分发挥一个人的能力；④任务有趣。奇凯岑特米哈伊指出人类快乐的状态，是专注地融入某件自己喜欢做的事，全力以赴，尽情发挥，完全忘记其他所有不相关事物的存在，这时内心会感到很自然，很轻松，他把这种体验称作“心流”。本节课的教学设计就是力图使学生能够产生这样一种心流体验。如果我们不对教学内容进行开发，原有的内容太过简单，不具有挑战性，不能激起学生（特别是优等生）的学习热情，而如果象有些教师那样，在此处举出大量由递推公式求通项公式这样高考类型的题目，又会超出学生的学习能力，同样不会激起学生的学习动机，而象本教学设计那样借助数学文化进行的探究，正好处在一种中间的水平，而且学习的任务十分有趣，因此它会使学生产生心流体验，教学的结果也证明了这一点。教学过程中学生能够积极思考，学习热情高涨，本节课结束后，学生们经常会提到斐波那契数列。这说明，本节课确实给同学们留下了很深的印象，其中重要的原因就是由于教学中数学文化的渗透。由此可见，在数学教学中渗透数学文化，确实能激发学生的学习兴趣，最大限度地提高教学效果，提高学生的数学素质。这堂课的教学也让笔者认识到，作为一名青年数学教师，应该提高个人的数学素养。在平时的数学教学中，找出合适的题材，通过教学设计，巧妙的让数学文化走进课堂，从而使学生在学习数学的过程中真正受到数学文化的感染。
参考文献：
⑴
雷会荣，数学文化与数学教学，科学咨询，2008年第12期，92~93页； ⑵
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