不等式的证明——比较法、综合法、分析法

不等式的证明——比较法、综合法、分析法（精选11篇）

不等式的证明——比较法、综合法、分析法 篇1

（一）比较法证明不等式

amamam1,求证:1.已知a,b,m,nR,且bnbn bn

2.a,b,m,nR

3.ab,求证：abmnbmn1a2abab1b2mnnm 21a20,求证:()21b2()a

3322ab0ababab4.已知，求证：

（二）综合法证明不等式

a,b,cR1.设,3332222222(abc)abacbabccacb6abc.求证:

a,b,cR2.已知,且abc1,求证: 1119(1)abc

12418(2)abc

1b)(1c)(3)(1a)(8abc111(1)(1)(1)8(4)abc

（三）分析法证明不等式

1.证明：3222722x3y3已知x0，y0xy2.ab0abab 3.设,求证:

4.若a,b,c三数均大于1,且ab=10,求证:logaclogbc4lgc

41ab.5.已知a0,b0,ab,且abab，求证：33322

6.实数a,b,c满足a>b>c,且a+b+c=0,求证:

a,bR,2cab,求证: 7.已知bac3a.2

不等式的证明——比较法、综合法、分析法 篇2

一、裂项相消法

裂项相消法是解决数列求和的一种重要方法, 就是将数列中的每项都裂成几项的差, 然后在求和中使之能部分项相互抵消, 简化结果的表达形式, 从而达到求和的目的.往往在求和后对和式进行适当变形, 或放大或缩小, 从而证明所求证的不等式.此类方法主要针对通项为分式形式, 且分母为乘积的形式的数列问题.

(1) 判断数列{an+1}是否为等比数列, 并证明你的结论;

∴an+1+1=2 (an+1) .

∴数列{an+1}是以a1+1=2为首项, 以2为公比的等比数列.

则an+1=2n, ∴an=2n-1 (n∈N*) .

(2) 由an=2n-1及bn+1=log2 (an+1) +bn得bn+1=bn+n,

二、放缩法

在证明不等式时, 有时我们要把不等式的一边适当地放大 (或缩小) 以利化简, 并使它与不等式关系更为明显, 从而得到不等式成立, 这种方法称为放缩法, 它是证明不等式的常用方法.

三、导数法

导数法可以证明函数的单调性以及函数中的不等式, 特别是一些复合函数中的问题, 当然数列作为一种特殊的函数, 一定可以应用导数法来证明部分不等式.但是应注意的是, 数列不可以求导, 应先构造其对应的函数, 先说明对应函数的单调性, 然后说明数列的单调性, 从而证明数列问题.

(3) 解由 (1) 得an=n, (n∈N*) .因为an+1= (cn) n+1, (n∈N*) ,

易得c1c3>c4>…猜想n≥2时, {cn}是递减数列.

∵当x≥3时, lnx>1, 则1-lnx<0, 即f' (x) <0,

∴在[3, +∞) 内f (x) 为单调递减函数.

∴n≥2时, {lncn}是递减数列.即{cn}是递减数列.

点评本题虽然看起来不是不等式的证明, 但其实质是证明从第二项起每一项都比前一项大, 即不等式cn+1>cn (n≥2) .本题的关键在于由特殊几项大胆猜想出结论后, 构造对应的函数, 并应用导数法求构造函数的单调性, 然后应用单调性说明结论成立.

四、数学归纳法

数学归纳法主要用来证明与正实数有关的问题, 适用范围比较窄, 但是数列是定义在正整数集上的特殊的函数, 所以数学归纳法可以很好地解决有关数列中的不等关系, 特别是证明对于正整数恒成立的问题更能显示其优越性.

证明用数学归纳法:

即n=k+1时, 命题成立.

由 (1) (2) 可知, 对一切正整数n∈N*,

不等式的证明——比较法、综合法、分析法 篇3

例1．设a,b,c∈R+，求证：2（ababc

3ab)3().23

例2．求证：a2b2b2c2c2a2(abc).例3．若a,b,c均为大于1的数，且ab=10，求证：logac+logbc≥4lgc.111100

例4．若正数a,b,c满足a+b+c=1，求证：(a)2(b)2(c)2.abc3

【基础训练】

1．若实数x,y满足xy>0且x2y=2，则xy+x2的最小值是（）A．3B．2C．1D．不存在 2．若0

（A．

12B．a2+b2C．2abD．a

3．已知a、b∈R+，则下列不等式不一定成立的是

（A．a+b+122B．(ab)(11ab)

42C．

a2bab

ab

D．

2ab

ab

ab 4．下列四个命题中，不正确的是

（A．若0

2则cos(1+a)

B．若0

1a

1a2a

C．若实数x,y满足y=x2则log2(2x+2y)的最小值是7

8D．若a、b∈R则a2+b

2+ab+1>a+b

5．ab+bc+ac=3则a+b+c的最小值是___________________.6．+7与1的大小关系是____________________.【备用题】 n

2SaR,i1,2,...n)，求证：SSSnk1k(akSa....1Sa2San

n1【拓展练习】

1．a

（A．a

b

1B．|a|>－b

C．11ab

D．b2>a2

2．a,b∈R+，M=a2b22,Aab2,Gab,H

111，则M、A、G、H间的大小关系是（ab2

A．M≥A≥G≥HB．M≥H≥A≥GC．A≥G≥M≥HD．A≥G≥H≥M 3．0

B．a+b

C．2ab

D．2ab

4．622与的大小关系是________________.））））））

5．a+b+c=1,a,b,c∈R+，则abc与1的大小关系是______________.27

6．a>b>0，求证：a2b22abb2a

7．x>0，求证：2x1

3x12(x1)

3x4

比较法证明不等式 篇4

(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体;②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段;③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。

(2)商值比较法的理论依据是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。其一般步骤为：①作商：将左右两端作商;②变形：化简商式到最简形式;③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。

2.综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。其逻辑关系为：AB1B2B3…BnB，即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。

a>b>0,求证：a^ab^b>(ab)^a+b/

2因a^a*b^b=(ab)^ab,又ab>a+b/2

故a^a*b^b>(ab)^a+b/2

已知:a,b,c属于(-2,2).求证：ab+bc+ca>-4.用极限法取2或-2，结果大于等于-4，因属于(-2，2)不包含2和-2就不等于-4，结果就只能大于-

4下面这个方法算不算“比较法”啊?

作差M=ab+bc+ca-(-4)=ab+bc+ca+4

构造函数M=f(c)=(a+b)c+ab+4

这是关于c的一次函数(或常函数)，在cOM坐标系内，其图象是直线，而f(-2)=-2(a+b)+ab+4=(a-2)(b-2)>0(因为a<2,b<2)

f(2)=2(a+b)+ab+4=(a+2)(b+2)>0(因为a>-2,b>-2)

所以函数f(c)在c∈(-2,2)上总有f(c)>0

即M>0

即ab+bc+ca+4>0

所以ab+bc+ca>-4

设x,y∈R,求证x^2+4y^2+2≥2x+4y

(x-1)²≥0

(2y-1)²≥0

x²-2x+1≥0

4y²-4x+1≥0

x²-2x+1+4y²-4x+1≥0

x²+4y²+2≥2x+4x

除了比较法还有：

求出中间函数的值域：

y=(x^2-1)/(x^2+1)

=1-2/(x^2+1)

x为R，y=2/(x^2+1)在x=0有最小值是2，没有最大值，趋于无穷校

所以有：

-1<=y=1-2/(x^2+1)<

1原题得到证明

比较法：

①作差比较，要点是：作差——变形——判断。

这种比较法是普遍适用的，是无条件的。

根据a-b>0a>b，欲证a>b只需证a-b>0;

②作商比较，要点是：作商——变形——判断。

这种比较法是有条件的，这个条件就是“除式”的符号一定。

当b>0时，a>b>1。

比较法是证明不等式的基本方法，也是最重要的方法，有时根据题设可转化为等价问题的比较(如幂、方根等)

不等式的证明(分析法) 篇5

1、设a0,b0,P

ab

2,Qab，则P与Q的大小关系是（）A、PQB、PQC、PQD、PQ2、已知xlg(a

21a),ylga2

1a),则x与y的大小关系是（）A、x>yB、x

3、若ab1,Pgalgb,Q

1a2(lgalgb),Rlg(b

2)，则（）A、R

4、已知a

2,b,c5，则a,b,c从小到大的顺序是。

5、求证：log

323

26、已知a0，求证：aa3a1a

27、已知xr.0,a0,求证:11axar8、已知x0,y0，求证：(1x)(1y)1xy9、已知ab0，求证：abab

bab10、若a1,b1,求证：1ab

ab



111、已知a,b,c都为正数，求证：lgab2lgbc2lgca

2lgalgblgc

)(

212、设12(1,2,1,2均为正数，且121，求证:(1122)12)1241

213、已知a

2b2

1，x2

y2

1,求证：axby1。（用比较法，综合法，分析法，三角换元

法证明）

14、设a,b为直角三角形的两直角边的长，c为斜边的长，m,n为任意系数，求证：

axby

1manbm

2n

2c

参考答案

不等式的证明——比较法、综合法、分析法 篇6

耿杰

（安徽师范大学

数学与应用数学专业

0707046）

摘要：本文主要应用数学分析中的单调性，微分中值定理，Taylor公式，凸函数的定义，极值，极限以及积分等的相关知识来证明不等式，同时也通过应用一些著名的不等式证明不等式。通过以上方法的应用使我们对不等式证明的相关知识有更加深刻系统的理解，从而为数学中许多其他内容的学习提供了一个重要工具。

关键词：数学分析

不等式

证明

方法

The mathematical analysis of several methods to testify

inequality

Gengjie（Anhui normal university mathematics and applied mathematics

professional 0707046）

Abstract: In this paper, Monotonicity, differential mid-value theorem, Taylor formula, convex function is defined, extremum, limit and integral related knowledge to testify inequality,also through the application of some famous inequation inequality.Through the above application of this method to make the inequation relevant knowledge more profound understanding of the system，thus for mathematics in many other content of study provides an important tool.Key words：Mathematical analysis

Inequation

Method

1.引言

不等式是数学分析的基本内容之一，它是研究许多数学分支的重要工具。在数学领域中占有重要的地位，也是各个时期的数学教材的重要组成部分，在各种考试和竞赛中都有举足轻重的地位。不等式的证明变化大，技巧性强，方法也较多。通过不等式的证明，不仅可以检验基本的数学知识的掌握程度，而且也是衡量数学水平的一个重要标志。因此，掌握一些基本的证明不等式的方法是十分重要也是十分必要的。下面将对不等式的证明方法进行总结。

2.利用单调性证明不等式

利用函数的单调性证明不等式是一种较为重要的方法，同时又是一种行之有效的方法。

要点：若f(x)0（或f(x)0），则当x1x2时，有f(x1)f(x1)f(x2)）。反之，若f(x)0（或f(x)0），则当x1x2f(x1)f(x2)（或f(x1)f(x2)）。由此便可获得不等式。

f(x2)（或

时，有

ab例2.1 证明：

证明：记f(x)1aba1ab1b

11xx1x，则f(x)1(1x)20，所以f(x)在定义域内单调递增函数。又由于abab1abab可知

ab1aba1abb1aba1ab1b

例2.2 设bae，证明：ab分析：要证abbaba

lnaalnbb，只需证blnaalnb,也即证，则f(x)1lnxx2

证明：记f(x)即f(x)xlnxxlnx，所以当xe时，f(x)0；

lnaalnbb在时是单调减函xe数。又由于bae，所以ba，即证ab。

3.利用微分中值定理证明不等式

用微分中值定理来证明不等式要熟记各个中值定理的应用条件，将原不等式通过变形找到一个辅助函数使其满足中值定理条件，证明的关键是处理好点，分析函数或其导数在该点的性质即可证明得到结论。

要点：如果函数f(x)在区间a,b上连续，在开区间a,b内可导，那么在a,b内至少存在一点，使得f(x)(1)当f(a)0，在a,b内f(x)0f(b)f(a)babaf(a)f()(xa)。由此可得0时，有f(x)x(a,b]).(2)在上述条件下，有有f(a)f(),其中ab。因此，若f(x)单调递减，f(b)f(a)f(b)。以上原理在证明不等式时经常采用。

例3.1 设0x1,x2，平，p,q是正整数，pq1，证明：psinx1qsinx2sin(px1qx2)。

证明：当x1x2时，不等式两边都等于sin设x1x2，为确定起见，设x1x2x1，因而等号成立。，记x3px1qx2，由于pq1，故x3x1q(x2x1)x1。同理x3x2。

将原不等式改写为psinx1qsinx2(pq)sinx3，即q(sinx2sinx3)p(sinx3sinx1)。令f(x)qsinx,g(x)psinx，则f(x)qcosx,g(x)pcosx。根据积分中值定理：

q(sinx2sinx3)qcos1(x2x3)qcos1(xpx1qx2)=pq(x2x1)cos1;

p(sinx3sinx1)pcos2(x3x1)pcos2(px1qx2x1)=pq(x2x1)cos2。其中0x12x31x2cos1cos2。所以原不等式得证。，因而

4.利用Taylor公式证明不等式

依据f(x)的情形，使其按照Taylor公式展开，然后根据已知条件来进行证明不等式。

要点：若f(x)在a,b上有连续n阶导数，则f(a)f(n1)(a)0,f（n）(x)0(当x(a,b)时)。则f(x)f(n)()n!(xa)0(当x(a,b]时)。利用此原理，可以对一些不等式n进行证明。

例4.1 证明：

tanxxxsinx,x(0,2)，证明：原式等价于f(x)sin2xtanxx0，因为f(0)f(0)02f(x)sinx(5secx1)bsin3xsecx0，所以f(x)sinxtanxx0

42(当x(0,2)时)。故tanxxxsinx,x(0,2)。

5.利用凸（或凹）函数的定义来证明不等式

利用函数的凸凹性来对不等式进行证明的方法首要是找到辅助函数f(x)，利用辅助函数f(x)在区间a,b上的二阶导数来判定f(x)的凸凹性，然后根据凸函数或凹函数的性质来进行这证明。

要点：若f(x)0，则函数f(x)为凸函数即x1,x2a,b,(0,1)，有f(x1(1)x2)f(x1)(1)f(x2)。

若f(x)0，则函数f(x)为凹函数即x1,x2a,b,(0,1)，有f(x1(1)x2)f(x1)(1)f(x2)。

例5.1 证明：xlnxylny(xy)lnxy2,(x0,y0,xy)1t0，所以

证明：令f(t)tlnt(t0),f(t)lnt1,f(t)1xy)也即 是严格凸函数。于是[f(x)f(y)]f(f(t)tlnt在（0，）221xyxyxy[f(x)f(y)]ln即xlnxylny(xy)ln故得证。2222类似的我们也可证明：

ee2xyxye2,(xy)

6.用求极值的方法证明不等式

用求极值的方法来证明不等式最重要的也很就是构造相关函数，然后判断该函数的极值，这是证明不等式的一个最基本的方法。

要点：要证明f(x)g(x)，只需求函数F(x)也就是证明minF(x)0。

f(x)g(x)的极值，例6.1 设n为自然数，试证：

证明：原始可转化为1(1t2et(1tn)nt2ne(当tn时)t。

tn)ett2n。所以只需证明

f(t)n2tn[1(1ttntn))e]0(tn)，ntn1f(t)te[(1tn)n1(1)(1tn)]=

ntn[2e(1ttn)n1故我们用]。表示方程

2e(10的根。则极值的可疑点为t0,t,及tn。但[1(1f(0)0,f()2nn)e]=

n2n[12(1n)](1n)2n22(n1)0，f(n)n10,f().由此f(t)min所以问题f(t)f(0)0(tn时)。即得证。

类似的我们也可证明：设aln21为任意常数，试证：x2ax1e(当x0时)2x

7.利用单调极限证明不等式

利用单调极限来证明不等式主要的是求函数在某一点的极限值，然后根据单调函数的性质来进行判断。

要点：若xb时，f(x)在定义域上是单调增函数（或严格单调增函数），且xb0时f(x)A,则f(x)A(当xb)（或f(x)。A(当xb)）反之，对于递减或严格递减的函数，也有类似的的结论。利用该原理可以来证明一些不等式，从而使证明过程简洁易懂。

例7.1 证明：x0,tx时，et(1tx)0。

x

证明：当t0或tx时不等式显然成立。故只需证明t0,tx,t0的情况。为此，我们只需证明当x时，f(x)(1事实上：

（1）当t0,t0,tx时，[lnf(x)][ln(1tx)]x[xln(1xtn)ext即可。

tx)]x=ln(xt)lnxtxt（应用Lagrange公）式）=

tttxttxttxt

（0

当0tx时，0xtx.当t0时，0xxt.

tx)xt（2）

f(x)(1tnxxlim(1tx)lim[(1xx]tet.所以当x时，)et。故原不等式即得证。

8.利用被积函数的不等式证明不等式

利用定积分定义来证明一些不等式是一种十分有效的手段，可以将原来较为复杂的证明转化为较为简洁易懂的证明。下面将利用积分的相关性质来证明不等式。

要点：若f(x)g(x)(或f(x)g(x))，则有baf(x)dxbag(x)dx(或f(x)dxa1bbag(x)dx),(x(a,b))。

1例8.1 证明：0cosx1x2dx1sinx1xcosx1xsinx1x222dx0

证明：令tarcsinx，则

0dx20cos(sint)dt

令tarccosx，则 01dx20sin(cost)dt要证的不等式转化为02cos(sint)dt20sin(cost)dt。所以我们只需证 cos(sint)sin(cost)

(当t(0,2)时)。由已知(0,2)上sinxx,cosx严格递减。所以有sin(cost)costcos(sint)。即证原不等式1cosx1x20dx1sinx1x20dx。

9.在不等式两端取变限积分证明新的不等式

利用在不等式两端取变限积分来证明不等式，此种方法要求较高，技巧性太强，难度较大。但对于一些不易证明的不等式应用此种方法则较为简便。

要点：若f(x)g(x)(或f(x)g(x))，则有baf(x)dxbag(x)dx(或f(x)dxabbag(x)dx),(x(a,b))。

例9.1 证明：x0时，xx36sinxxx36x5120。)。在此式两端同证明：已知cosx1(x0,只有x2n时等号才成立xx时取0,x上的积分，得sin1cosxx2

（x0）。再次取0,x上的积分，得

x32

（x0）。即可得到xxxx36sinx

（x0）。然后继续取0,x上的积分，得sinx36x5120。移项即可得所要证明的不等式：

x6sinxxx36x5120。

10.利用著名的不等式证明其他不等式

利用著名的不等式证明其他不等式要求我们应熟悉掌握数学分析中的一些常用的不等式，掌握了这些不等式我们可以利用他们来直接对其他一些难度较大不等式进行证明。此种方法对学生要求较高，难度也较大，技巧性更强。

要点：Cauchy不等式：设ai,bi为任意实数（i1,,n）则n(aibi)i12ab，其中当且仅当a,b成比例时等号才成立。22iiiinni1i1 Schwarz不等式：若f(x),g(x)在（a,b）上可积，则(f(x)g(x)dx)ab2baf(x)dxg(x)dxa2b2。若f(x),g(x)在（a,b）上连续，其中等号当且仅当存在常数,使得f(x)g(x)时成立（,不同时为零）。

Holder不等式：设a1,a2,,an及b1,b2,,bn是两个正整数序列，1p1q1，则当p1时，有(ai)(bi)ppqqi1i1n1n1ab当p0时，不等号

iii1n反向。其中当且仅当aip和biq成比例时取等号。

平均不等式：对任意n个实数ai0n(i1,2,,n)恒有ana1a2ana1a2ann。其中当且仅当a1a2b时等号成立。为任意实数，例10.1 已知f(x)0，在[a,b]上连续，a求证：(abf(x)dx1,kf(x)coskxdx)(f(x)sinkxdx)1。

22ab证明：所要证明的式子的左端第一项应用 Schwarz不等式

(f(x)coskx)[ab2baf(x)(2f(x)coskx)dx]2

（1）

同理可得 babaf(x)dxf(x)coskxdxa2bbaf(x)coskxdx2(f(x)sinkxdx)baf(x)sinkxdxb2

（2）

2b2a（1）+（2）得：(af(x)coskxdx)(f(x)sinkxdx)1。即得证。

总结

不等式是数学分析中的一个重点也是一个难点，也能为其他数学分支的学习提供一个重要工具。不等式的证明是数学领域的重要内容，也是学习中的一个难点。不等式作为一个系统，其内容较为复杂，其的证明方法也较多，以上只是简要介绍了不等式证明的几种常用方法，并用例题作一讲解，意在抛砖引玉。

参考文献:

不等式的证明方法 篇7

步骤一：首先把不等式转化关于某变量x的函数，并且求出x的定义域。步骤二：证明该变量x的函数在其定义域的单调关系。

步骤三：由步骤二可得出该不等式的极小值或极大值，进而求出最小值或最大值。

步骤四：利用最小值或最大值证该不等式是正确。

②利用求等比数列和的方法证明不等式成立。

③利用列式分解法来证明不等式成立（经常用于数列不等式）。

Ⅰ利用分子分母的列式分解法分解。类型应是分子是常数，分母是可由两个因子式的二元一次方程并且该两个因子式相减可得一个常数。通常类型如下：c/a(x+b1)(x+b2)= c/a * 1/(b2-b1)* [1/(x+b1)-1/(x+b2)] Ⅱ利用根号和列式分解法来证明不等式的成立。

Ⅲ利用对数的性质来进行因式分解。例如ln[n/(n+1)] = ln(n)-ln(n+1);④利用假说演绎法来证明不等式的成立。

步骤如下（假设有5分，一般都可拿3分）：

步骤一：假设该不等式成立。

步骤二：当n = 1 时，该不等式成立。（1分或2分）

步骤三：当n = k+1 时，把他代入左边的参数，再跟与 n = k的不

等式转换。从而验证当n = k+1 时，该不等式也成立。（3分或4分）

步骤四：综上所述，该不等式成立。（0分或1分）

⑤利用放缩法来证明不等式成立。下面有几种常见的关于放缩法的几种类型。Ⅰ利用已有的列式分解法的知识进行放缩。

Ⅱ利用上述已知的条件进行放缩。

基本不等式的证明 教案 篇8

斜桥中学肖剑

一、教材分析

不等式是高中的重点也是难点,而本节内容又是该章的重中之重，是《考试说明》中八个C级考点之一。基本不等式的证明方法（比较法、分析法、综合法）为我们证明不等关系提供了主要的方法及应用。用基本不等式求函数最值也是高考的一个热点。

二、教学目标

1.知识目标：⑴知道算术平均数和几何平均数的概念

⑵探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式的基本思想方法；

⑶能利用基本不等式证明简单的不等关系。

2.情感目标：通过不等式基本性质的探究过程，培养学生合作交流的思维品质，渗透不等式

中的数学美，激发学生学习兴趣，陶冶学生的数学情操。

3.能力目标:⑴通过对基本不等式证明的理解，体会三种证明方法，能准确用三种证明中简

单的方法证明其它不等式问题。

⑵体会类比的数学思想方法，培养其观察、分析问题的能力和总结概括的能力

三、教学重、难点

以学生探索发现定理来得出重点，以学生小组讨论，教师点拨来突破难点。

四、教学方法

以学生自主探究为住，教师归纳总结，采用启发式教学。

五、教学过程

1、创设情境、导入新课

利用多媒体显示下面不等式，由学生完成比较大小。

34294

423

322222、问题探究、讲授新课

提出问题：能否发现什么规律？

通过比较，学生不难得出，两数和的一半大于两数积的算术平方根。从而得出数学表达式abab。从而得出本节课的第一个重点：基本不等式的定理。这样由学生自主探索、2发现新知，可让他们体会获得成功的愉悦感。在这里，如果学生漏掉a和b是正数，可对他们进行修正，并可扩充到a0，b0。同时讲明取“＝”当且仅当的含义，接着可向学生讲

解算术平均数和几何平均数的概念。

得出这个定理后，下面我可利用多媒体生动地向学生展示该不等式的几何证明即不等式的几何意义同时强调取等号时的位置，这样可提高他们学习数学的兴趣。展示完后，我便可提问，刚才我们是从图中直观地看出这个不等式是正确的，但我们数学是需要严谨的逻辑证明，同学们可用哪些方法去证明呢？这便是本节课的第二个重点，也是难点。在此，可鼓励学生发挥集体的力量，一人不行两人，两人不行四人，大家一起探讨，这样以学生为主体，使他们全都参与到课堂中去，使课堂达到高潮。在学生的讨论过程中，我也深入到学生中去，并做适当的点拨。

通过学生的讨论，学生不难得出用作差的方法证明该不等式，对此，我对他们进行鼓励、肯定，竖立他们学习数学的自信心。同时向他们讲明作差比较是我们高中阶段证明不等式的重要方法之一。最后我用多媒体展示书写过程，帮他们再次强化该方法的书写步骤。对于分析法，我估计学生可能会想到思路，会说出大致的证明过程，但对该方法的理解还是很模糊的，在这里，我首先向他们介绍这就是分析法，是我们证明不等式的另一个重要方法，接着讲解该方法，即从结论出发，推到已知结论或恒等式或公理，最后由我在黑板上完成书写，帮他们学会规范的书写，即“要证，只要证”的形式

要证abab

2只要证2abab

只要证0ab2ab

只要证0ab 2

因为最后一个不等式成立，所以ab ab成立，当且仅当ab，即ab时取“” 2

对于综合法，在证明这道题时，如果学生没有先想到，就把本方法在最后的方法中讲，因为综合法在本题中不易想到从哪个式子开始证明，但有了比较法和分析法后，学生自然能想到从哪个式子开始证明，同时讲清综合法的特点，即由条件，推倒结论。

讲完三种证明方法后，留一定时间给学生，让他们自己去感悟一下三种方法的特点及书写过程，加深他们的印象。

b2a2

最后，我以巩固本节课所学知识为目的，让学生比较:与ab的大小(其中ab

a,bR)，在这里，我认为比较两个变量的大小，可引导学生利用我们上课一开始比较具体数大小的方法，代几个具体的数去比较。这种方法在我们以后做填空题中比较大小是一种捷径。而本题的证明可利用我们今天课上所讲的三种方法，我打算让两位学生在黑板板演，以检验他们掌握情况与书写格式是否合理。如时间还有剩余，可由学生完成例一，帮他们巩固基本不等式定理。

例一1．设a,b为正数，证明下列不等式成立：

ba12（2）a2 aba

162．已知函数yx，x(2,)，求此函数的最小值。x2（1）

六、回顾反思：

本节课的最后，由学生思考今天所学到了哪些知识，这些知识可解决哪些问题？

七、板书设计

基本不等式

一、定理

abab（a0，b0）

2二、证明方法

⑴作差法

⑵分析法

⑶综合法

三、探索 ab比较2a2b2的大小 2

如何证明

不等式证明的若干方法 篇9

摘要:无论是在初等数学还是在高等数学中，不等式证明都是其中一块非常重要的内容.本文主要总结了高等数学中不等式的几种证明方法,高等数学中不等式证明的常用方法有利用函数的单调性、Cauchy不等式、中值定理、泰勒公式、Jensen不等式、定积分的性质、放大或缩小被积函数及变积分上下限证明不等式等.通过辅以例题对这些方法进行详细的分析，给出其适用范围、具体步骤及限制条件.其中利用函数的单调性和利用中值定理法是基础的方法，其它几种方法需要要重点掌握，并可在证明中灵活运用.关键词：不等式 积分 中值定理

Some Methods about Inequality Proof

Abstract : The proving of the inequality is a very important content, whether in elementary mathematics or in higher mathematics.This paper mainly summarizes several methods of proving the inequality in higher mathematics.In higher mathematics inequality is usually proved by applying the Monotony of a Function, Cauchy Inequality, Mean Value Theorem, Taylor Formula, Jensen Inequality, Properties of Definite Integral, to zoom in or out the integrand, variable upper limit or lower limit and so on.These methods are analyzed in detail through examples, and give its range of application, concrete steps and restricted conditions.Among these methods, the Monotony of a Function and Mean Value Theorem are foundation methods and the others should be mastered conscientiously or are flexible application in the verification.keywords : inequality integral Mean Value Theorem

数学世界中的量有相等关系，也有不等关系.一般与比较量有关的问题,都要用到不等式的知识.不等式问题不仅在数学领域有广泛的应用,而且在解决最优控制、最优化、经济等各种实际问题中也有广泛应用.它是研究和学习现代科学和技术的一个重要工具.由此可见,不等式问题的重要性, 而不等式证明又是不等式问题的精髓,由于不等式的形式各不相同，所以证明没有固定的步骤可依，方法灵活，技巧多样，因此不等式证明是数学中的难点之一.证明不等式的方法有很多,在初等数学中主要有综合法、分析法、比较法、反证法、数学归纳法、换元法等常用方法,但高等数学中的不等式证明又比初等数学中的不等式证明更为复杂,以上几种方法就很难解决高等数学

中复杂的不等式问题.[1]本文结合课本所学内容及平时积累的资料总结了几种高等数学中不等式证明的常用方法.1.利用函数的单调性

利用函数单调性证明不等式的步骤:(1)构造辅助函数f(x).(2)判断单调性:求f(x),并验证f(x)在指定区间上的增减性.(3)求出区间端点的函数值或极限值,比较后判断不等式.例1 证明不等式 e.e 证明

要证 ee,只需证明eln,即只要证明

令f(x)lnx1lnx(xe),则 f(x)0.(xe)xx2lneln.e因为 f(x)在e,上单调递减，又因为 e, 所以 f(e)f(),即lneln，得证.e 一般利用函数的单调性证明不等式需根据题目条件构造函数，此函数求导后可以很容易判断其在指定区间上的单调性，进而利用函数单调性证明不等式.[2] 2．利用Cauchy(柯西)不等式

柯西不等式在不等式理论中占有重要地位,这个不等式结构对称和谐,应用广泛,巧妙灵活的运用它,可以使有些比较困难的问题迎刃而解,它的推论有多种形式,在定积分中Schwarz不等式就是其中的一个推论.2.1 柯西不等式(aibi)a2i1i1nn2ibi1n2i也可写作

abi1niiab2ii1i1nn2i.2.2 积分的形式 当被积函数f(x),g(x)在区间a,b上连续,则有

bbb2 f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)2dx.aaa2例2 已知f(x)0,在a,b上连续,f(x)dx2,k为任意实数,求证:

ab(f(x)sinkxdx)2(f(x)coskxdx)24.aabb 2

证明 由柯西不等式知,(f(x)sinkx)2[(f(x)f(x)sinkx)dx]2

aabb f(x)dxf(x)sin2kxdx

aabb 2f(x)sin2kxdx.ab同理(f(x)coskxdx)22f(x)cos2kxdx, aabb所以(f(x)sinkxdx)2(f(x)coskxdx)24.aabb此种方法一般用于要证明的不等式中的某些式子经过变形后可以直接套用柯西不等式,这就需要对不等式认真观察和对柯西不等式的灵活应用.3.利用中值定理

3.1 微分中值定理(主要讲利用拉格朗日中值定理)微分中值定理是微分学中最重要的理论部分,它包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等.拉格朗日中值定理建立了函数值与导数之间的定量关系,[3]拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊形式,罗尔定理又是拉格朗日中值定理的特殊形式.而且拉格朗日公式有几种等价形式,在用拉格朗日中值定理证明不等式时要选择恰当的形式.3.1.1拉格朗日中值定理: 若函数f(x)满足如下条件：(1)在闭区间a,b上连续；(2)在开区间a,b内可导；

则在a,b内至少存在一点，使得f()3.1.2拉格朗日公式几种等价形式:(1)f(b)f(a)f()(ba), ab;(2)f(b)f(a)fa(ba)(ba), 01;(3)f(ah)f(a)f(ah)h, 01.3.1.3用拉格朗日中值定理证明不等式的一般步骤:

f(b)f(a).ba 3

(1)由题意作出a,b上的函数f(x),验证其满足条件.(2)再运用微分中值定理公式或其等价形式.(3)根据题目需要进行适当的放缩.[3] 例3 设0ab，证明不等式

babbaln.baa 证明 显然等式当且仅当ab0时成立.下证

当0ab时,有

babbaln.baa 作辅助函数f(x)lnx，则f(x)在a,b上满足拉格朗日中值定理，故a,b，使lnblna1.①

ba由于0ab, 所以 111.② ab1lnblna1, bbaababbaln所以.baa由①②得

3.2 积分中值定理 3.2.1 积分第一中值定理

定理3.2.1 若f在a,b上连续,则至少存在一点a,b,使得

f(x)dxf()(ba).ab积分第一中值定理的条件简单,只需f(x)在a,b上连续即可.但此定理却非常重要,它是联系定积分与其积分函数的桥梁.其中的灵活性和任意性就是证明不等式的关键所在.例4 设f(x)为0,1上的非负单调非增连续函数(即当xy时,f(x)f(y)),证明对于01，有不等式

0f(x)dxf(x)dx 成立.证明

由题意及积分中值定理有

f(x)dxf()()f()(), 

 所以 101f(x)dxf()f(x)dx.(1)f(x)dxf(x)dx.0(1)f(x)dx0f(x)dx. 因为 0

1所以 11,  0f(x)dxf(x)dx.3.2.2 积分第二中值定理

定理3.2.2 设函数f(x)在a,b上可积.(i)若函数g(x)在a,b上是减函数，且g(x)0，则存在a,b，使得 f(x)g(x)dxg(a)f(x)dx;

aab(ii)若函数g(x)在a,b上是增函数，且g(x)0，则存在a,b，使得 f(x)g(x)dxg(b)f(x)dx.abb推论 设函数f在a,b上可积,若g为单调函数,则存在a,b,使得baf(x)g(x)dxg(a)f(x)dxg(b)f(x)dx.ab在积分第二中值定理中,用推论证明不等式运用比较广泛,推论中对g(x)的限制比定理中对g(x)的限制条件更为宽松,它解决的题目范围也会扩大.例5 设f(x)为a,b上的连续递增函数,则成立不等式

b xf(x)dxaabbf(x)dx.a2ba证明

要证不等式成立，只需证明 (xab)f(x)dx0.2 由于f(x)单调递增，利用积分第二中值定理，则存在a,b，使

bababab)f(x)dxf(a)(x)dxf(b)(x)dx aa222bbabab)dxf(b)f(a)(x)dx =f(a)(xa22 b(xb22ab =f(b)f(a)(b)

22 =f(b)f(a) 得证.利用中值定理证明不等式要满足定理的条件,通过构造、变换找到符合的条件，再一步步解决所要证明的不等式.微分中值定理中用的比较多的是拉格朗日中值定理,而积分中值定理中它的推论用得比较频繁.[3]

b(a)0.24．利用泰勒公式

泰勒定理 若函数f在a,b上存在直至n阶的连续导函数,在a,b内存在(n1)阶导函数，则对任意给定的x,x0a,b，至少存在一点a,b，使得

f(x0)f(n)(x0)2f(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)n2!n!

f(n1)()(xx0)n1.(n1)!泰勒公式是拉格朗日中值定理的推广,当n=0时,即是拉格朗日中值定理,所以用 泰勒公式证明不等式的步骤类似于利用拉格朗日中值定理证明不等式的步骤,只不过泰勒公式适用于n阶导数的问题.[3]

例6 若f(x)在0,1上二次可微,且f(0)f(1),f(x)1.证明 f(x)证明

设x0,1,由泰勒公式知

1.2 6

1f(1)(0x)2，01x1.① 21 f(1)f(x)f(x)(1x)f(2)(1x)2, 0x21.② f(0)f(x)f(x)(0x) 由①-②得: 1 f(x)[f(1)x2f(2)(1x)2] 所以 f(x)[f(1)x2f(2)(1x)2] [x2(1x)2] [x(1x)]2 .2 得证.在要证明的不等式中含有二阶或二阶以上的导数时一般可利用泰勒公式,特别在以下四种情况下利用泰勒公式证明不等式更为简便:①已知某点的函数值②已知某点的导函数值③已知函数某阶导数的符号④已知函数某阶导数有界.泰勒公式的应用要灵活、巧妙、合理.5．利用Jensen(詹森)不等式

定理5.1 若f为a,b上的凸函数，则对任意xia,b，i0(i1,2,,n), i1,有 f(ixi)if(xi).i1i1i1nnn詹森不等式与函数的凹凸性有关，凹凸函数的性质为构建不等式和证明不等式提供了空间和依据.例7 证明不等式 abc(abc)证明 设f(x)xlnx,x0.由f(x)的一阶和二阶导数f(x)lnx1,f(x)1 可知, xabcabc3,其中a,b,c均为正数.f(x)xlnx在x0时为严格凸函数,依詹森不等式有 f(abc1)(f(a)f(b)f(c))，33 7

abcabc1ln(alnablnbclnc)，333abcalnablnbclnc

(abc)ln3abcabc)aabbcc.即(3abc又因为 3abc

3所以

所以(abc)abc3aabbcc，不等式得证.使用詹森不等式一般要先构造满足条件的函数，即在某区间上是凸函数，接着找到合适的i，使i1.要求有良好的思维能力,善于观察、分析.i1n6．利用定积分的性质

性质1 设f为a,b上的可积函数,若f(x)0, xa,b,则

f(x)dx0.ab 推论 若f与g为a,b上的两个可积函数，且f(x)g(x)，xa,b，则有f(x)dxg(x)dx.aabb性质2 若f在a,b上可积,则f在a,b上也可积,且 baf(x)dxf(x)dx.ab利用定积分的性质证明不等式的过程中,要学会利用微分和积分的互逆,运用积分自身的单调性,把问题的关键放在不等式两边构造的积分形式当中,再运用定积分的性质证明不等式.例8 设f(x)在0,1上连续,且f(x)0.证明 lnf(x)dxlnf(x)dx.0011证明 记Af(x)dx, 01 因为 f(x)0 所以 A0.lnf(x)f(x)f(x)ln[1(1)]1.AAA 两端积分 lnf(x)dxlnAdx0011f(x)dx10.0A10 因为 lnf(x)dxlnAdxlnAlnf(x)dx.0011 所以 lnf(x)dxlnf(x)dx.0011例9 设a0,函数f(x)在0,a上连续可微，证明: f(0)a1af(x)dx0f(x)dx.a0证明 因为f(x)连续，由积分中值定理知，0,a，使得f(x)dxf()a.0a 又因为 f()f(0)f(x)dx，0 所以 f(0)f()f(x)dxf()00f(x)dx

a1a f(x)dxf(x)dx

0a0 a1af(x)dxf(x)dx.得证 00a证明定积分形式不等式常用定积分的性质,有时也与积分中值定理结合.7．利用放大或缩小被积函数及变积分上下限证明不等式

放大或缩小被积函数要注意放缩的尺度,根据被积函数的特点以及要证明的不等式进行放缩.当不等式中的被积函数连续时,可以把积分上限或下限作为一个变量,构造一个变上限或下限的积分函数,再证明不等式.例10 设g(x)为随机变量X取值的集合上的非负不减函数，且E(g(x))存在，证明：对任意的0，有P(X)证明 记p(x)为X的密度函数,则 P(X)E(g(X)).g()p(x)dxg(x)p(x)dx g()g(x)E(g(X))p(x)dx.得证

g()g()上题是放大或缩小被积函数法在概率论问题中的应用,结合了概率中的有关期望的知识.概率论的发展是建立在微积分的基础之上,微积分的方法和理论渗透到概率

论中的各个方面.微积分是基础,在某些方面概率论和微积分有很大联系.高等数学中的一些方法可以运用到概率论中,反之,概率论中的一些知识也可以很容易解决高等数学中的一些问题.上述总结了高等数学中证明不等式的几种方法,其中函数的单调性及中值定理比较简单,其他几种方法需要认真掌握.有些不等式的证明可以直接套用公式,有些比较复杂,运用的方法灵活多变.不过,利用中值定理与泰勒公式证明不等式的问题比较常见.高等数学中不等式问题有很多,证明不等式的方法也有很多,这里只是简单总结了几种比较常用的方法,而这些方法也只是解决了高等数学中的一部分不等式问题.随着后继课程的出现如在泛函分析、复变函数、常微分方程中也会出现新的不等式问题,那么不等式证明的方法可能会有进一步的更新,这就要求大家平时思维要广阔,善于分析解决问题,培养良好的思维习惯.对于不等式的证明要细心观察,找到最合适的方法并及时总结.参考文献

绝对值不等式的证明 篇10

知识与技能：

1.理解绝对值的三角不等式，2．应用绝对值的三角不等式．

过程方法与能力：

培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；提高分析问题、解决问题的能力.情感态度与价值观：

让学生通过对具体事例的观察、归纳中找出规律，得出结论，培养学生解决应用问题的能力和严谨的学习态度。

教学重点：理解绝对值的三角不等式

应用绝对值的三角不等式．

教学难点：应用绝对值的三角不等式．

教学过程：

一、引入：

证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：

（1）abab（2）abab

a

bab（3）abab（4）(b0)

请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？ 实际上，性质abab和a

ba

b(b0)可以从正负数和零的乘法、除法法则直

接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明abab对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。

现在请同学们讨论一个问题：设a为实数，a和a哪个大？ 显然aa，当且仅当a0时等号成立（即在a0时，等号成立。在a0时，等号不成立）。同样，aa.当且仅当a0时，等号成立。含有绝对值的不等式的证明中，常常利用aa、aa及绝对值的和的性质。

定理（绝对值三角形不等式）如果a,b

是实数，则

ab≤ab≤ab

注：当a、b为复数或向量时结论也成立.特别注意等号成立的条件.定理推广：

a1a2an≤a1a2an

当且仅当都a1，a2，，an非正或都非负时取等号.探究：利用不等式的图形解不等式1.x1x11;2．x2y1..3．利用绝对值的几何意义，解决问题：要使不等式x4x3

二、典型例题：

例

1、证明（1）abab，（2）abab。

证明（1）如果ab0,那么abab.所以ababab.如果ab0,那么ab(ab).所以aba(b)(ab)ab

（2）根据（1）的结果，有abbabb，就是，abba。所以，abab。

例

2、证明 ababab。例

3、证明 abacbc。思考：如何利用数轴给出例3的几何解释？

（设A，B，C为数轴上的3个点，分别表示数a，b，c，则线段ABACCB.当且仅当C在A，B之间时，等号成立。这就是上面的例3。特别的，取c＝0（即C为原点），就得到例2的后半部分。）

探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式abab的几何解释？

含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例2和例3的结果来证明。例

4、已知 xa

c

2,yb

c2，求证(xy)(ab)c.证明(xy)(ab)(xa)(yb)xayb（1）

xa

c2,yb

c2c2，c2

c（2）

∴xayb

由（1），（2）得：(xy)(ab)c 例

5、已知x证明x

a4a4,y

a6a6

.求证：2x3ya。

a2,3ya2a2a

2,y，∴2x，a。

由例1及上式，2x3y2x3y

注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。

三、小结：

借助图形的直观性来研究不等式的问题，是学习不等式的一个重要方法，特别是利用绝对值和绝对值不等式的几何意义来解不等式或者证明不等式，往往能使问题变得直观明了，帮助我们迅速而准确地寻找到问题的答案。关键是在遇到相关问题时，能否准确地把握不等式的图形，从而有效地解决问题。

四、练习：

1、已知Aa

2、已知xa

c2c

4,Bb,yb

c2c6

.求证：(AB)(ab)c。

.求证：2x3y2a3bc。

五、作业： 1．求证

ab1ab



a1a



b1b

ab1ab

.2．已知a1,b1.求证：1.3．若,为任意实数，c为正数，求证：(1c)(1

1c)

.（



2

2，而c2



1c



c

2

1c

）

4.a、b、c均为实数,ab,bc,ac,5.已知函数f(x)ax2bxc,当0≤x≤1时,f(x)≤1 求证:abc≤17 作业：导学大课堂练习

课后反思：绝对值不等式的证明

求证:≤

ab2cbc2aca2b

abbcca

构造函数证明不等式的方法探究 篇11

构造函数证明不等式的方法探究

作者：赵久勇 常国庆

来源：《新高考·高三数学》2013年第06期