等差数列数列练习题

等差数列数列练习题（精选14篇）

等差数列数列练习题 篇1

班级：＿＿姓名：＿＿＿＿

1．已知等差数列{an}中，a5＋a9－a7＝10，记Sn＝a1＋a2＋…＋an，则S13的值为()A．130B．260C．156D．168

2．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d等于()

A．1B.5

C．2D．3

3．设Sa55S9

n是等差数列{an}的前n项和，若a＝9，则S()

A．1B．－1C．2D.1

4．设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和，若S10＝S11，则a1等于()A.18B.20C.22D.24

5．已知{an}是等差数列，a1＝－9，S3＝S7，那么使其前n项和Sn最小的n是()A．4B．5C．6D．7

6.在等差数列{aaa1

n}中，若4＋a6＋a8＋10＋a12＝120，则a9－3

11的值为()

A．14B．15C．16D．17

7．等差数列{an}的前n项和满足S20＝S40，下列结论中正确的是()

A．S30是Sn中的最大值B．S30是Sn中的最小值C．S30＝0D．S60＝0

8．已知两个等差数列{aAn7n＋45an

n}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且B＝＋3，则使得bnnn

整数的正整数n的个数是()A．2B．3C．4D．5 9．已知等差数列{an}中，a2＝6，a5＝15，若bn＝a3n，则数列{bn}的前9项和等于________． 10.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝__15______.11.等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为

SSn

n，则数列

n的前

10项和

为________.12.若一个等差数列的前5项之和为34，最后5项之和为146，且所有项的和为360，求这个数列的项数为________.13.已知数列{an}是等差数列．(1)若Sn＝20，S2n＝38，求S3n；(2)若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数．

14.已知数列a的前n项和为SS

nn，点n,nn1

（nN）均在函数y3x2的图像上，求数列{an}的通项公式。

15.(1)在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列{an}的通项公式是an＝4n－25，求数列{|an|}的前n项和。

16.在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)．

(1)证明数列{1

a是等差数列；(2)求数列{an}的通项。

等差数列数列练习题 篇2

等差数列{xn}的前10项的和S10=100, 前100项的和S100=10, 求S110。

有道是“说起来容易, 做起来难”, 能正确求出x1, d的同学寥寥无几, 好像是走进死胡同了, 其实不解方程组, 也能“柳暗花明又一春”! (这是兴趣小组的同学共同摸索出来的)

【法三】设等差数列{xn}的前n项的和为Sn=an2+bn, 则

法四毫无疑问是法二的类比产物。比较一下, 就可以发现, 数学的知识面越广, 解题思维越灵活, 视野自然也越开阔……

其实等差数列的性质非常多, 如果用得恰到好处, 自然会让人耳目一新。

众所周知, 二次函数或二次方程的计算量远远大于一次的, 解答此题能否像孙悟空一样也变出个花样来呢?

这个命题不仅可以一题多解, 而且其推广命题用得也非常广泛:

推广命题:若m≠n时, 等差数列{xn}的前m项的和Sm=n, 前n项的和Sn=m, 则Sm+n=-m-n。

其证明方法也是“八仙过海, 各显神通”。这里用法四的方法, 水到渠成地证一下:

但学生往往把等差数列中的另一个命题与上述推广命题混淆。

干扰命题的证明非常容易, 在此略过。笔者想强调的是, 区分这两个命题的最佳方法是用特殊值法, 进行辨别:

等差数列数列练习题 篇3

关键词：递推关系；构造法；等差数列；等比数列

求数列通项公式是高考主要考查的题型之一. 对于等差或等比数列的通项有现成的公式，而对于一个普通的数列，如何求其通项，教材中并没有给出具体的方法. 下面以一道课本习题就通项公式的求解进行拓展探究.

题目 （新课标人教版必修5第54页练习）已知数列{an}，a1=1，an+1=，求a5.

递推关系是数列相邻两项之间的关系，即由a1=1可求得a2=，由a2可求a3=，……，以此类推可求得a5=. 若将题目改为求an，又如何求解？

变式1：已知数列{an}，a1=1，an+1=，求an.

对于给出递推关系求数列的通项公式问题，我们常用的策略就是构造法，即将一个普通的数列构造为特殊的等差或等比数列，进而求出通项公式.

点评：本题的难点是已知递推关系式中的较难处理，可构建新数列{bn}，令bn=，这样就巧妙地去掉了根式，便于化简变形.

综上，由递推关系求数列通项既是高考对数列考查的重点也是难点，难就难在类型多，技巧性强. 处理递推数列问题的基本思想就是对递推式进行变换，通过变换把递推数列问题转化为特殊的数列，即等差数列或者等比数列. 等差数列、等比数列是数列中的最基本也是最重要的形式，必须熟练掌握.

奥数等差数列练习题 篇4

1.一个剧场设置了22排座位，第一排有36个座位，往后每排都比前一排多2个座位，这个剧场共有多少个座位？

2.自1开始，每隔两个数写一个数来，得到数列：1,4,7,10,13，….，求出这个数列前100项只和？

3.影剧院有座位若干排，第一排有25个座位，以后每排比前一排多3个座位。最后一排有94个座位。问这个影剧院共有多少个座位？

4.小张看一本故事书，第一天看了25页，以后每天比前一天多看的页数相同，第25天看了97页刚好看完。问：这本书共有多少页？

5.已知数列：2,5,3,3,7，2,5,3,3,7，2,5,3,3,7，….，这个数列的第30项是哪个数字？到第25项止，这些数的和是多少？

植树问题

1.在一段公路的一旁栽95棵树，两头都栽，每两棵树之间相距5米，这段公路长多少米？

2.有三根木料，打算把每根锯成3段，每锯开一处，需要3分钟，全部锯完需多少时间？

小学五年级奥数等差数列练习题 篇5

1、有一个数列:2,6,10,14,…,106,这个数列共有多少项?。

2、有一个数列:5,8,11,…,92,95,98,这个数列共有多少项?

3、求1,5,9,13,…,这个等差数列的第3O项。

4、求等差数列2,5,8,11,…的第100项。

5、计算1+2+3+4+…+53+54+55的和。

6、计算5+10+15+20+⋯ +190+195+200的和。

7计算(1+3+5+7+…+2003)-(2+4+6+8+…+2002)

等差数列数列练习题 篇6

如是递推关系x1，x2是an1panqan1(n2)的特征方程x=px+q的两个根，那么(1)当nnnx1≠x2时，anx1；(2)当x1=x2时，an(.n)x1。其中α，β是由初始值确定x22的常数。

1．等差数列{an}共有2n+1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为_________.2．已知a、b、c成等比数列，如果a、x、b和b、y、c都成等差数列，则

ac=__________.xy3．等比数列{an}的首项a1=-1，前n项和为Sn，若A．

S1031，则limSn等于()S532n22 B. C．2 D．-2 331(n1)nnn1，求sn。4．已知数列{an}满足an5．已知数到{an}满足a11.1(n2)，求数列{an}的通项公式。，anan12n126．已知数列{an}满足nan1(n1)an2，且a1=2，求数列{an}的通项公式。7．数列{an}满足nan12sn，sn是数列{an}的前n项和，且a1=1，求(1)数列{an}的通项公式。(2)令bn4an1，求数列{bn}的前n项和Tn。2a2ann2268．数列{an}中，设an>0，a1=1且anan13，求数列{an}的通项公式。

9．已知数列{an}满足nan1(n2)ann，且a1=1，求数列{an}的通项公式。10.已知数列{an}中，a141341,a2，an1anan1(n2)，求an。3933211.已知数列{an}中：a1=0，an15an24an1，求an。

xyza1212.假设x，y，z都是实数，a≥0且满足222xy2a2负数，也都不能大于

(1)(2)试求证x，y，z都不是2a.313.解方程：x2x1x27x53x2 14.己知函数f(x)16x7，数列{an}，{bn}满足：a10,b10,anf(an1)，4x41 bnf(bn1)(nN*,n2)

(I)求a1的取值范围，使得对nN*，都有an+1>an；(2)若a1=3，b1=4,求证：对nN*都有0bnan

18n1.2

参考答案

1.a11=29 2.2 3.B 1n1)nnn11(n1)nnn1(14.解： an2n2(2(n1)nn1)nn(n1)nnn1nn1s(1n

n11111111n115．分析：n2,aa(1 aa()nn111222222kk2n1(k1)1k1k1111111。)()()1223nn1n11152n152n1。n=1时，也满足。 )annn142n(n1)42n(n1)anaa221nnb6．分析：na 令 由bb(b2)(n1)ann1n1nn1nn1nnn(n1)(n1)12可得b。故a。22(1)4nb4n2nnnnn

na2s2s2a7．分析： 即an1(n1)a2a(n1)ann1nnnnn23na从而a ann11n12n1(2)bnn1an n4an122anan24(n1)11 T bbbn12nn2(n2)2n2(n2)211111111152n26n5(22)(22) [2]122222241324(n1)(n2)n(n2)2(n1)(n2)268．分析：a。令b 则有 2logaloga63log3n13nn3annan12n12n2(2)从而 故。b2(2)2bb6b2(b2)a3nn1nn1nn2

n2an1。(1)(n2)ana9．分析：nan1nn1n令

n1n21n11h(n)1n2(n)h(n1)h(1)，取h(1)得h(n) hn12(n1)nh(n1)nn1n3aa1n1nh(n1)(n1)ah(n)a由(1)得h n1n(n1)(n2)(n1)(n1)(n1)n an1令b且bnb1b1n1n(n)22 abn(n1)nnnk1n1111n1 1n1(k2)(k1)22n

411110.分析:a 令，则 aaaa(aa)baabaan1nn1n1nnn1121nn1n3339n11111311n11n1，从而。bb()()naaaan1n1nn11n1nk139323323k13

211.分析：显然数列从第二项起为正项，且aa10 a4ann1nn242222(1)a5aa1a5a24a1a10aaa1n1n24nn1nnn1n1nn2222(2)(1)-(2)得a a10aaa1a10a(aa)0nnn.1n1n1n1nn1n12整理得a 特征方程是：x 10x1010aa(n2)n1nn1n解得x(526)(526)n 526或x526 所以an1222由于a1=0，a2=1，所以，(526)(526)0(526)(526)1从而α+β=-1 1515 解得：，

2462462651515n所以a()(526)()(526)n n246246

azazazaz12．证明：由(1)得xy2,则x，y成等差数列。设x d,yd222222222代入(2)得3z2az4d00za 同理可得0xa，0ya。

333

13.解：显然x2x1，3x23x222,x7x5成等差数列，所以可设xx1d(1)22222x7x5d2(3x2)2(3x2)d(2)(1)-(2)得

解得：d=1或x所以x221将d=1代入(1)得x或x(226)是增根舍去，3352是原方程的根。34

9116x716(x1)914．(1)解： 4f(x)4x14x44(x1)a1aa9a991912n1n2 ().(4)(4)nnaan1n2(a1)(a1)4(4an114an14nn1a1)(a1)(a1)nn1n2aa9n121 ()2224(a1)(a1)(a1)(a1)(a1)nn1n221919*∵当x>0时，f(x)440 又a1>0, ∴an>0(n∈N)

4x14要使对，都有anN*n1an，只须a2>a1，即

16a217 a12a70a11144a14解得0a17。216an77an，解得0an，又a1=3则

24an4(2)证明：当a1=3时，由(1)知an1an，即3an7.27  b(nN*)ba0(nN*)n4nn2aa9b9ban1b911n1n1n1n1 n1bnan()8a1)(b1)471b14(4an1n1n1n1(31)(1)2baba111n(nN*)n22n21n1888

《等差数列》说课稿 篇7

数列向来是中职教材中代数部分的重要内容之一, 它不仅有着广泛的实际应用, 而且起着承前启后的作用, 一方面, 数列作为一种特殊的函数, 与函数思想密不可分, 另一方面, 学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上, 对数列知识的进一步深入和拓广, 同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。

二、学情分析

对于大部分中职生而言, 数学基础比较薄弱, 学习自信心不足, 一部分学生是在被动学习, 缺少学习兴趣。针对学生这一特点, 我在授课时尽量由实际问题出发, 提高学生的学习兴趣, 并注重引导、启发, 研究和探讨以符合学生的心理发展特点, 从而促进思维能力和演绎推理能力的进一步发展。

三、教法分析

针对中职生的特殊思维特点和心理特征, 本节课我采用启发式、讨论式, 以及讲练结合的教学方法, 通过问题激发学生求知欲, 使学生主动参与数学实践活动, 以独立思考和相互交流的形式, 在教师的指导下发现、分析和解决问题。

四、学法分析

我在引导分析时, 留出学生的思考空间, 让学生去联想、探索, 同时鼓励学生大胆质疑, 围绕问题各抒己见, 把思路方法和需要解决的问题弄清。

五、目标分析

根据布卢姆提出的认知、能力和情感三大教育目标, 结合教学大纲的要求和学生的实际认知水平, 我确定了本次课的教学目标。

(一) 认知目标

理解并掌握等差数列的概念;了解等差数列的通项公式的推导过程及思想;初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。

(二) 能力目标

培养学生观察、分析、归纳、推理的能力;在领会函数与数列关系的前提下, 把研究函数的方法迁移来研究数列, 培养学生的知识、方法迁移能力;通过阶梯性练习, 提高学生分析问题和解决问题的能力。

(三) 情感目标

通过对等差数列的研究, 培养学生主动探索、勇于发现的求知精神;养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。

六、教学程序

本节课的教学过程我分为以下六个教学环节。

(一) 复习引入

练习1.从函数观点看, 数列可看作是定义域为______对应的一列函数值, 从而数列的通项公式也就是相应函数的______。 (N+, 解析式)

通过练习1复习上节内容, 为本节课用函数思想研究数列问题做准备。

引例1:小明目前会100个单词, 他打算从今天起不再背单词了, 结果不知不觉地每天忘掉2个单词, 那么在今后的5天内他的单词量逐日依次递减为:100, 98, 96, 94, 92。

引例2:小芳只会5个单词, 她决定从今天起每天背记10个单词, 那么在今后的5天内她的单词量逐日依次递增为:5, 15, 25, 35, 45。

我通过引例1和引例2引出两个具体的等差数列, 使学生初步认识等差数列的特征, 为后面的概念学习建立基础, 为学习新知识创设问题情境, 激发学生的求知欲。由学生观察两个数列特点, 归纳总结出等差数列的概念, 这样既对问题进行了总结, 又培养了学生由具体到抽象、由特殊到一般的认知能力。

(二) 新课探究

1. 由引入自然地给出等差数列的概念。

如果一个数列, 从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一个常数, 这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差, 通常用字母d来表示。强调:

①“从第二项起”满足条件;

②公差d一定是由后项减前项所得;

③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数 (强调“同一个常数”) 。

在理解概念的基础上, 我引导学生将等差数列的文字语言转化为数学语言, 归纳出数学表达式:an+1-an=d (n≥1) 。

同时为了配合概念的理解, 我找了5组数列, 由学生判断是否为等差数列, 是等差数列的求出公差:

其中第一个数列公差d<0, 第二个数列公差d>0, 第三个数列公差d=0, 由此强调:公差可以是正数、负数, 也可以是0。

2. 第二个重点部分为等差数列的通项公式。

在归纳等差数列通项公式中, 我采用讨论式的教学方法。给出等差数列{an}的首项a1, 公差d, 由学生研究分组讨论a4的表达式。通过观察、总结a4的表达式再引导学生猜想a40的表达式, 进而归纳an的通项公式。

若一等差数列{an}的首项是a1, 公差是d, 则据其定义可得:

猜想:a40=a1+39d。

进而归纳出等差数列的通项公式:

此时我指出:这种求通项公式的办法叫不完全归纳法。整个导出过程由学生完成, 通过互相讨论的方式既培养了学生的协作意识又化解了教学难点。

接着举例说明:若一个等差数列{an}的首项是1, 公差是2, 得出这个数列的通项公式是:an=1+2 (n-1) , 即an=2n-1, 以此来巩固等差数列通项公式的运用。同时要求画出该数列图像, 由此说明等差数列是关于正整数n的一次函数, 其图像是均匀排开的无穷多个孤立点。用函数的思想来研究数列, 使数列的性质显现得更加清楚。通过这个具体的题目和图像, 学生能更直观地掌握数列与函数的关系。

(三) 应用举例

这一环节是使学生通过例题和练习, 增强对通项公式含义的理解和对通项公式的运用, 提高解决实际问题的能力。通过例1和例2向学生表明:要用运动变化的观点看等差数列通项公式中的a1, d, n, an这4个量之间的关系。当其中的部分量已知时, 可根据该公式求出另一部分量。

例1: (1) 求等差数列8, 5, 2, …的第20项, 第30项, 第40项。

(2) -401是不是等差数列-5, -9, -13, …的项?如果是, 是第几项?

在第一问中我添加了计算第30项和第40项以加强巩固等差数列通项公式;第二问实际上是求正整数解的问题, 而关键是求出数列的通项公式an。

例2:在等差数列{an}中, 已知a5=10, a12=31, 求首项a1与公差d。

在前面例1的基础上将例2当作练习作为对通项公式的巩固。

例3:是一个实际建模问题:建造房屋时要设计楼梯, 已知某大楼第2层的楼底离地面的高度为3米, 第3层离地面5.8米, 若楼梯设计为等高的16级台阶, 问每级台阶高为多少米?

这道题我采用启发式和讨论式相结合的教学方法, 启发学生注意每级台阶“等高”, 使学生想到每级台阶离地面的高度构成等差数列, 引导学生将该实际问题转化为数学模型——等差数列。 (学生讨论分析, 分别板演, 教师评析问题。问题可能出现在:项数学生认为是16, 应明确a1为第2层的楼底离地面的高度, a2表示第一级台阶离地面的高度而第16级台阶离地面高度为a17, 可用课件展示实际楼梯图以化解难点。)

设置此题的目的:1.加强学生对应用题的综合分析能力;2. 通过数学实际问题引出等差数列问题, 激发学生的兴趣;3.通过数学实例展示了从实际问题出发经抽象概括建立数学模型, 最后还原说明实际问题的“数学建模”的数学思想方法。

(四) 反馈练习

1. 小结后课内练习中的第1题和第2题 (要求学生在规定时间内完成) 。

目的:使学生熟悉通项公式, 对学生进行基本技能训练。

2. (书上课内练习4) 梯子的最高一级宽33cm, 最低一级宽110cm, 中间还有10级, 各级的宽度成等差数列, 计算中间各级的宽度。

目的:对学生加强建模思想训练。

3. 若数列{an}是等差数列, 若bn=kan (k为常数) , 试证明:数列{bn}是等差数列。

此题是对学生进行数列问题提高训练, 学习如何用定义证明数列问题同时强化了等差数列的概念。

(五) 归纳小结 (由学生总结这节课的收获)

1. 等差数列的概念及数学表达式 (强调关键字:从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数) 。

2. 等差数列的通项公式:an=a1+ (n-1) d, 会知三求一。

3. 用“数学建模”思想方法解决实际问题。

(六) 布置作业

1. 必做题:学习指导用书§11.2。

2. 选做题:已知等差数列{an}的首项a1=-24, 从第10项开始为正数, 求公差d的取值范围。

目的:通过分层作业, 提高学生的求知欲和满足不同层次的学生需求。

七、板书设计

构造“另类数列”求数列通项公式 篇8

一、基本题型

例1 已知数列{an}中,a1=2,n≥2时,an=3an-1+2,求an

分析:数列{an}不是等差数列或等比数列,但递推式an=3an-1+2可变形为an+1=3(an-1+1),则构造了一个另类数列{an+1}为等比数列,可先行解决an+1的通项,再求an.

解 设n≥2时,an=3an-1+2可化为an+λ=3(an-1+λ),即an=3an-1+2λ,

由2λ=2,∴λ=1.即an=3an-1+2可化为an+1=3(an-1+1).

∴{an+1}为首项为a1+1=3,公比为3的等比数列,∴an+1=3•3n-1=3n,∴an=3n-1

当n=1时也适合,∴an=3n-1.

说明 一般地,若递推式为an=pan-1+q(p≠1,q≠0),则可构造另类等比数列{an+λ},其中λ=qp-1,先行解决an+λ,再求an.

例2 数列{an}中,各项均不为零.a1=2,an+3anan-1-an-1=0(n≥2),求an.

分析 {an}不是等差或等比数列,由递推式形状,考虑同除以anan-1,化为1an=1an-1+3,则构造了一个另类等差数列{1an},先求出1an,再求an.

解 (略)

说明:一般的,若数列递推式是an+panan-1-an-1=0或an=an-1pan-1+1(p为常数),则可构造另类等差数列{1an},先解决1an,再求an.

所以,若一个数列不是等差或等比数列,可将递推式变形,构造形如{an+λ}、1an、{a2n}、{an}等的等差数列或等比数列,先解决此类式子,再求出an的通项表达式.

例3 正项数列{an}中,sn为其前n项的和.an2-2ansn+1=0,求an

分析 原式是sn与an的混合式子,须用an=sn-sn-1化为只含有an或sn的递推式再加以解决.

解 n≥2时an=sn-sn-1

∴原式可化为(sn-sn-1)2-2(sn-sn-1)sn+1=0即sn2-sn-12=1

又n=1时a1=s1,∴a12-2a12+1=0,∴a1=s1=1,∴{sn2}是一个首项为s12=1,公差为1的等差数列.

∴sn2=n即sn=n.

又n≥2时,an=sn-sn-1=n-n-1,也适合n=1.

∴an=n-n-1.

说明 一般地,若递推式是含有an与sn的混合式子,则先利用an=sn-sn-1把原式化为只含有an或sn的递推式子,再构造另类数列解题.

二、推广

例4 已知数列{an}中,a1=2,an+1=4an+2n+1,求an.

解 (法1)an+1=4an+2n+1可化为an+1+2n+1=4(an+2n)

则{an+2n}为首项是a1+2=4,公比为4的等比数列,

∴an+2n=4•4n-1=4n即an=4n-2n.

解 (法2)an+1=4an+2n+1两边同除以2n+1得an+12n+1=2•an2n+1,

化为an+12n+1+1=2•(an2n+1)∴an2n+1为首项为a12+1=2,公比为2的等比数列,

∴an2n+1=2•2n-1=2n即an=4n-2n.

说明 若递推式中还含有含n的代数式的时候,可考虑构造另类数列{an•f(n)+g(n)}为等差或等比数列来解决.

例5 已知数列{an}中满足a1=32,且an=3nan-12an-1+n-1(n≥2,n∈N*),求数列{an}的通项公式.

解an=3nan-12an-1+n-1变形为1-nan=13(1-n-1an-1),

∴1-nan为首项为1-1a1=13,公比为13的等比数列,

∴1-nan=13n即an=n•3n3n-1.

总之,在解决由递推式求数列通项公式的问题时,若数列不是等差或等比数列,可将递推式适当变形,构造另类数列,使之成为等差或等比数列,先解决另类数列的通项,再进一步求出{an}的通项.

高考数列专题练习（汇总） 篇9

1．已知等差数列满足：，的前n项和为．

（Ⅰ）求及；

（Ⅱ）令bn=（），求数列的前n项和。

2.已知递增的等比数列满足是的等差中项。

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若是数列的前项和，求

3.等比数列为递增数列，且，数列(n∈N※)

（1）求数列的前项和；

（2），求使成立的最小值．

4．已知数列{

}、{

}满足：.(1)求;

(2)求数列{

}的通项公式；

(3)设，求实数为何值时恒成立

5．在数列中，为其前项和，满足．

（I）若，求数列的通项公式；

（II）若数列为公比不为1的等比数列，且，求．

6．已知数列中，，（1）求证：数列为等比数列。

（2）设数列的前项和为，若，求正整数列的最小值。

7．已知数列的前n项和为，若

（1）求证：为等比数列；

（2）求数列的前n项和。

8．已知数列中，当时，其前项和满足．

（1）求的表达；

（2）求数列的通项公式；

9.已知数列的首项，其中。

（1）求证：数列为等比数列；

（2）记，若，求最大的正整数．

10已知数列的前项和为，且对任意，有成等差数列．

（1）记数列，求证：数列是等比数列；

（2）数列的前项和为，求满足的所有的值．

11．已知数列的前n项和满足：（为常数，）

（1）求的通项公式；

（2）设，若数列为等比数列，求的值；

（3）在满足条件（2）的情形下，数列的前n项和为．

求证：．

正数数列{an}的前n项和为Sn，且2．

（1）试求数列{an}的通项公式；

（2）设bn＝，{bn}的前n项和为Tn，求证：．

13已知数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，且，又

成等比数列．

（1）求；

（2）若对任意，都有，求的最小值．

14已知数列满足：．

（1）求证：数列是等比数列；

（2）令（），如果对任意，都有，求实数的取值范围．

在数列中，，（1）设，求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

16．已知各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn，(p

–

1)Sn

=

p2

–

an，n

∈N*，p

0且p≠1，数列{bn}满足bn

=

2logpan．

（1）若p

=，设数列的前n项和为Tn，求证：0

Tn≤4；

（2）是否存在自然数M，使得当n

M时，an

1恒成立？若存在，求出相应的M；若不存在，请说明理由．

17.设数列的前n项和为，且对任意正整数n都成立，其中为常数，且，（1）求证：是等比数列；

（2）设数列的公比，数列满足：，求数列的前项和．

—

END

等差数列数列练习题 篇10

【说明】 本试卷满分100分，考试时间90分钟.一、选择题（每小题6分，共42分）

1.等差数列{an}前四项和为40，末四项和为72，所有项和为140，则该数列共有（）A.9项 B.12项 C.10项 D.13项 【答案】C 【解析】∵a1+a2+a3+a4=40, an+an-1+an-2+an-3=72.∴a1+an=4072=28.4又n(a1an)=140, 2故n=10.*2.给出下列等式：（ⅰ）an+1-an=p(p为常数);（ⅱ）2an+1=an+an+2(n∈N);(ⅲ)an=kn+b(k,b为常数)则无穷数列{an}为等差数列的充要条件是（）A.（ⅰ）B.（ⅰ）（ⅲ）C.（ⅰ）（ⅱ）D.（ⅰ）（ⅱ）（ⅲ）【答案】D

2【解析】易知三个都是，另外还有一个常见的是{an}的前n项和Sn=an+bn，（a,b为常数）.3.等差数列{an}中，若a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27，则前9项的和S9等于（）A.66 B.99 C.144 D.297 【答案】B 【解析】a1+a4+a7=39a4=13,a3+a6+a9=27a6=9，S9=9(a1a9)9(a4a6)=99.224.等差数列{an}的公差为d,前n项的和为Sn,当首项a1和d变化时,a2+a8+a11是一个定值,则下列各数中也为定值的是（）

A.S7 B.S8 C.S13 D.S15 【答案】C 【解析】因a2+a8+a11=3a7,故a7为定值.又S13=13(a1a13)=13a7, 2∴选C.5.已知数列{an}中,a3=2,a7=1,又数列{

1}是等差数列,则a11等于()an1A.0 B.【答案】B C.D.-1 23-1

值为_________________.【答案】5 【解析】当x1+x2=1时,f(x1)+f(x2)4x14x224x1x22(4x14x2)=x=1.x2x1x2x1x2142424(44)241210)+f()+…+f(),倒序相加有 ***S=［f()+f()］+［f()+f()］+…+［f()+f()］=10.111111111111设S=f(即S=5.10.数列1,2+3,4+5+6,7+8+9+10,…,的一个通项公式an=__________________.n(n21)【答案】

2【解析】前n项一共有1+2+3+…+n=

n(n1)n(n1)个自然数,设Sn=1+2+3+…+n=,则 22an=Sn(n1)Sn(n1)22n(n1)n(n1)n(n1)n(n1)[1][1]n(n21)2222.22

2三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）

11.{an}是等差数列，公差d＞0，Sn是{an}的前n项和，已知a2a3=40,S4=26.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令bn=1，求数列{bn}的所有项之和T.anan14(a1+a4)=2(a2+a3)=26.2【解析】（1）S4=又∵a2a3=40,d＞0，∴a2=5,a3=8,d=3.∴an=a2+(n-2)d=3n-1.(2)bn=11111()=anan1(3n1)(3n2)33n13n2***n]().3(n1)3n2323n22(3n2)Tn=[()()2

2113212.已知f(x)=x-2(n+1)x+n+5n-7,(1)设f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{an}，求证：{an}为等差数列；（2）设f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成{bn},求{bn}的前n项和.2(1)证明：f(x)=［x-(n+1)］+3n-8, ∴an=3n-8.∵an-1-an=3, ∴{an}为等差数列.

∴a1=22a1-2,解得a1=2.当n=2时，有a2=22S2-2,S2=a1+a2, 将a1=2代入，整理得（a2-2）=16, 由a2＞0，解得a2=6.当n=3时，有a3=22S3-2,S3=a1+a2+a3, 将a1=2,a2=6代入，整理得（a3-2）=64, 由a3＞0，解得a3=10.所以该数列的前三项分别为2，6，10.(2)由an=22Sn-2(n∈N),整理得Sn=

*

等差数列的前n项和 篇11

1.学生通过几个具体的数列求和的例子，描述出数列的前n项和的定义；并能解释数列的前n项和的判定功能和性质功能；

2.学生通过观察几个特殊数列的求和过程，对项数n的奇偶进行分类讨论，利用“配对”进行求和；

3.学生通过比较与奇偶有关的“配对求和”，探究推导等差数列前n项和公式的一般方法，并得出等差数列前n项和公式；

4.学生能根据具体问题的特点，正确选择公式，解决一类“知三求二”的等差数列问题；

5.学生能利用Sn的判定功能，解决一类“已知Sn求an”的数列问题，并能选择方法解决等差数列前n项和的最值问题；

6.学生能运用等差数列前n项和的有关知识解决一些简单的实际应用问题。

二、重、难点分析

重点：等差数列前n项和公式的推导。

难点：等差数列前n项和公式的推导过程及综合应用。

三、教学方法：

在教学策略上采用：以问题驱动，层层铺垫，由特殊到一般的方法启发学生获得公式的推导思路，并采用评价样题的形式加强公式的掌握运用。

四、教学流程设计

1.双基回顾，温故导新

【问题1】等差數列的定义：____________________________

【问题2】等差数列的通项公式： _______________

【问题3】

（1）等差数列中中，若，则__________

（2）上面的问题用的是等差数列的哪条性质？

设计意图：复习巩固有关等差数列的知识，为下面的学习打好基础。

2.创设情境，尝试探究

【问题1】你能写出吗？它们各表示什么？

【问题2】Sn表示什么？它的表达式是什么？

【问题3】

（1）若，，则可以表示为_______

（2）=？an与Sn、Sn-1什么关系？

【评价样题1】已知数列的前n项和为，求.

设计意图：设计问题组，层层推进，引导学生自主探究数列前n项和的判定功能和性质功能：，为下面的学习做好铺垫。设计评价样题1，加深对知识的理解和认识。

问题探究二：

【问题4】你知道这个图案一共花了多少宝石吗？

设计意图：这个问题的设计，源于历史，富有人文气息；承上起下，探讨高斯算法，并且由学生所熟知的问题引入，贴近学生的认知水平，并激发学生进一步探究问题的热情和积极性。

【问题5】S79=1+2+3+…+79=？

问题探究三：

【问题6】Sn=1+2+3+4+…+n=？

【问题7】能不能找到不分奇偶就能求和的方法？

设计意图：使学生体验由特殊到一般的数学方法，初步感受倒序相加方法，进一步巩固把不同的数的数列求和问题转化为相同的数的求和问题这一数学化归思想。

【问题8】已知等差数列，试猜想前n项和Sn的表达式，并给予证明。

设计意图：让学生在合作、交流的探讨氛围中学会表述、倾听、质疑、答疑，体验成功的喜悦并养成一种既要敢于大胆猜想，又要勇于严密论证的科学精神。

【问题9】通项公式中an可以用a1， n， d来表示，那么你能用a1， n， d来表示Sn吗？

设计意图：学生自己推导，有利于学生对两个公式联系的理解。

3.步步推进，应用公式

例1等差数列的公差为2，第20项a20=29，求前20项的和。

【评价样题2】

（1）已知在等差数列中，，求

（2）已知在等差数列中，，求

（3）已知在等差数列中，，求a1和an

设计意图：学以致用，着重强调公式的选择。主要通过方程的思想进行基本量的运算，注意理解格式和规范，并有意识的培养学生的表述能力。

4.综合应用，能力提升

例2.已知数列的前n项和公式为：

（1）这个数列是等差数列吗？求出它的通项公式；

（2）求使得 最小的序号n的值。

【问题10】

（1）证明等差数列都有哪些方法？

（2）如何用Sn公式求an？

（3）数列作为一种特殊的函数，在已知通项公式an和前n项和公式Sn的条件下，如何求Sn的最小值？

【评价样题3】

（1）已知数列的前n项和公式为，求使得Sn最大的序号n的值。

（2）已知等差数列的首项，公差为2，求使得Sn最小的序号n的值。

设计意图：由于问题难度较大，学生独立完成比较困难，所以设计梯级问题，引导学生根据前面所学内容逐步分解完成。设计评价样题，对“已知Sn求an”以及前n项和的最值问题进行巩固。

5.反思评价，深化认识

（1）阅读整理部分

①课后阅读课本，对照学案，认真整理课堂笔记。

②针对学习目标，总结自己这节课的收获。

（2）课下练习：

必做题：课本练习A，B

选做题：

已知数列的前n项和Sn是关于正自然数n

的二次函数，其图象上有三个点A、B、C。求

数列的通项公式，并指出是否为等差数列，说明理由。

研究性课题：有关银行利息问题

1.课本例3

2.今年我们荣成二中喜迁新校，家属楼也正在建设中。我校王老师按揭买房，向银行贷款25万元，采取等额本金的还款方式，即每月还款额比上月减少一定的数额。2012年1月王老师第一次向银行还款2348元，以后每月比上月的还款额减少5元，若以2012年1月银行贷款利率为基准利率（月利率5.5‰），那么到2031年12月最后一次还款为止，王老师连本带利一共还款多少万元？

等差数列的性质及其应用 篇12

1.通项公式的推广an=am+ (n-m) d或

例1: (2010年全国高考I卷文科) 设等差数列{an}满足a3=5, a10=-9,

(Ⅰ) 求{an}的通项公式;

(Ⅱ) 求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值。

简析:

(1) 由an=am+ (n-m) d得

又a3=5, 代入通项公式an=a1+ (n-1) d, 得a1=9,

∴an=11-2n。

∵Sn=- (n-5) 2+25, ∴当n=5时, Sn取得最大值。

点评:等差数列的通项公式{an}是n的一次函数或常数函数, 它的图像为一条直线上一系列孤立的点, 而两点可以确定一条直线, 故已知等差数列的两项即可确定这个数列。

2. 在等差数列{an}中, 如果m+n=p+q, 则am+an=ap+aq, 特别地, 如果m+n=2p, 则am+an=2ap

例2: (1) 在等差数列{an}中, 已知a3+a99=200, 求数列的前101项的和S101;

(2) 已知一个项数为n的等差数列的前四项的和为21, 末四项和为67, 前n项和为286, 求项数n。

(2) ∵a1+a2+a3+a4=21, an-3+an-2+an-1+an=67,

即286=11n, 解得n=26。

点评:灵活运用性质“若m+n=p+q, am+an=ap+aq”和前n项和公式可以避繁就简, 使问题迅速获解。

3. 若公差d>0, 则此数列为递增数列;若d<0, 则此数列为递减数列;若d=0, 则此数列为常数列。

例3: (2009安徽高考卷理科) 已知{an}为等差数列, a1+a3+a5=105, a2+a4+a6=99, 以Sn表示{an}的前n项和, 则使得Sn达到最大值的n是 () 。

(A) 21 (B) 20 (C) 19 (D) 18

简析:由a1+a3+a5=105得3a3=105, 即a3=35, 由a2+a4+a6=99得3a4=99, 即a4=33, ∴d=-2, an=a4+ (n-4) × (-2) =41-2n, 由得n=20, 选B。

点评:在等差数列{an}中,

因为所以Sn是n的二次函数 (d≠0时) , 因此也可以根据二次函数的性质确定Sn的最值。

4. 若数列{an}是等差数列, (1) 正常数k1, k2, k3, …, kn成等差数列, 则数列ak1, ak2, ak3, …, akn也成等差数列, 即在等差数列中取间隔相等的项组成的新数列仍然是等差数列; (2) 数列{pan}, {pan+c} (p, c均为常数) 也都是等差数列。 (3) 若数列是{an}, {bn}是等差数列, 则{an+bn}, {man+pbn}也都是等差数列。

例4:已知两个等差数列{an}∶5, 8, 11, …;{bn}∶3, 7, 11, …, 则新数列{2an-bn}的第10项是多少?

等比数列前n项和练习二 篇13

1.在等比数列｛an｝中，S4=2,S8=6,a17+a18+a19+a20等于()A.32

B.16

C.35D.162

2.已知等比数列｛a1n｝的公比q=3，且a1+a3+a5+…+a99=60，则

a1+a2+a3+a4+…+a100等于()A.100

B.80

C.60

D.40

3.等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若S10=10，S20=30，则S30等于()A.70

B.90

C.100

D.120

4.计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机价格降低13，现在的价格是 8100元，则15年后，价格降低为()A.2200元

B.900元

C.2400元

D.3600元

5.已知等比数列｛an｝中，an=2·3n-1，则由此数列的偶数项所组成的新数列 的前n项和为()n

A.3n

B.3(3n

-1)

C.913(9n

1)

D.4

6.在正项等比数列an中，若s2=7,s6=91，则s4的值为（）Ａ ２８Ｂ３２Ｃ ３５Ｄ ４９ 7.在等比数列an中，sn表示前ｎ项和，若a3=2s2+1,a4=2s3+1则公比ｑ 等于（）

Ａ ３Ｂ －３Ｃ－１Ｄ １ 8.在等比数列｛an｝中，若Sn=93,an=48，公比q=2，则9.等比数列首项为2，公比为3，从前

项的和开始大于100.10.等比数列的公比为2，前4项之和等于10，则前8项之和等于________

11.已知等比数列an，公比为-2，它的第n项为48，第2n-3项为192，求此数列的通项公式。

12.已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，Sn为{an}的前n项和．(1)求通项an及Sn；

等差数列与等比数列的证明方法 篇14

高考题中，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢？

证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、数学归纳法、反证法。

一、定义法

10.证明数列是等差数列的充要条件的方法：

an1and(常数)an是等差数列

a2n2a2nd(常数)a2n是等差数列

a3n3a3nd(常数)a3n是等差数列

20.证明数列是等差数列的充分条件的方法：

anan1d(n2)an是等差数列

an1ananan1(n2)an是等差数列

30.证明数列是等比数列的充要条件的方法：

an1q(q0且为常数，a10)an为等比数列 an

40.证明数列是等比数列的充要条件的方法：

anq（n>2，q为常数且≠0）an为等比数列 an

1注意事项：用定义法时常采用的两个式子anan1d和an1and有差别，前者必须加上“n≥2”，否则n1时a0无意义，等比中一样有：n≥2时，有（常数0）；②nN时，有an1． q（常数0）ananqan1

例1.设数列a1,a2,,an,中的每一项都不为0。

证明：an为等差数列的充分必要条件是：对任何nN，都有

111n。a1a2a2a3anan1a1an1

证明：先证必要性

设{an}为等差数列，公差为d，则

当d=0时，显然命题成立 当d≠0时，∵

1111

 anan1danan1

∴

再证充分性：

∵

1n111

„„„① 

anan1a1an1a1a2a2a3a3a

411n1111

„„„② 

anan1an1an2a1an2a1a2a2a3a3a4

∴

②﹣①得：

1n1n 

an1an2a1an2a1an1

两边

anan1a1得：a1(n1)an1nan2 „„„③

同理：a1nan(n1)an1„„„④ ③—④得：2nan1n(anan2)

即：an2an1an1anan为等差数列

例2.设数列{an}的前n项和为Sn，试证{an}为等差数列的充要条件是

Sn

n(a1an),(nN*)。

2证：）若{an}为等差数列，则

a1ana2an1a3an2……，故

2Sn(a1an)(a2an2).......(ana1)

Sn(a1an)

n

（）当n≥2时，由题设，Sn1)(a1an1)n(a1an1



(2,Sn)

n2

所以a(a1a2)(n1)(a1an1)nSnSn1

n22

同理有a1)(a1an1)n(a1ann1

(n2)

从而a(n1)(a1an1)(n1)(a1an1an

2n(aan1)

1n)2

整理得：an+1－an=an－an－1，对任意n≥2成立.从而{an}是等差数列.例3.已知数列an是等比数列（q1），Sn是其前n项的和，Sk，S2kSk，S3kS2k，„，仍成等比数列。

证明一：

（1）当q=1时，结论显然成立；（2）当q≠1时，Sa11qk1q2ka11q3kk

1q,S2k

a11q,S3k

1q

Sq2ka11qka1qk1qk2kSk

a111q



1q



1q 3kSa11q11q2ka1q2k1qk3kS2k

1q



a1q



1q

2kk2

S2

1q21qSa11qka1q2k1qka22k1q12kSk

a(1q)2

k(S3kS2k)1q1q

qk

(1q)2

∴S2

2kSk

=Sk(S3kS2k)

∴Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数列.则

证明二：S2k－Sk=(a1a2a3a2k)－(a1a2a3ak)=ak1ak2ak3a2k=qk(a1a2a3ak)=qkSk0 同理，S3k－S2k=a2k1a2k2a2k3a3k= q2kSk0 ∴Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数列。

二、中项法

(1).(充要条件)

若2an1anan2an是等差数列

(注：三个数a,b,c为等差数列的充要条件是:2bac)(充分条件)2an

an1an1(n2){an}是等差数列，（2）.(充要条件)

若 anan2an12(an0){an}是等比数列(充分条件)

2anan1an1（n≥1）

{an}是等比数列，注:

b(ac0)是a、b、c等比数列的充分不必要条件

b是a、b、c等比数列的必要不充分条件

.b(ac0)是a、b、c等比数列的充要条件.任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个.三、通项公式与前n项和法

1.通项公式法

（1）.若数列通项an能表示成ananb（a，b为常数）的形式，则数列an是等差数列。(充要条件)

(2).若通项an能表示成ancqn(c，q均为不为0的常数，nN)的形式，则数列an是等比数列．(充要条件)

2.前n项和法

(1).若数列an的前n项和Sn能表示成Snan2bn(a，b为常数)的形式，则数列an是等差数列；(充要条件)

(2).若Sn能表示成SnAqnA(A，q均为不等于0的常数且q≠1)的形式，则数列an是公比不为1的等比数列．(充要条件)

四、归纳—猜想---数学归纳证明法

先根据递推关系求出前几项，观察数据特点，猜想、归纳出通项公式，再用数学归纳法给出证明。

这种方法关键在于猜想要正确，用数学归纳法证明的步骤要熟练，从“nk时命题成立”到“nk1时命题成立”要会过渡．

五、反证法

解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．

六、等差数列与等比数列的一些常规结论

若数列{an}是公比为q的等比数列，则

（1）数列{an}{an}（为不等于零的常数）仍是公比为q的等比数列；（2）若{bn}是公比为q的等比数列，则数列{anbn}是公比为qq的等比数列；（3）数列

11

是公比为的等比数列；

qan

（4）{an}是公比为q的等比数列；

（5）在数列{an}中，每隔k(kN)项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍

为等比数列且公比为qk1；

（6）若m，n，p(m，n，pN)成等差数列时，am，an，ap成等比数列；（7）Sn，S2nSn，S3nS2n均不为零时，则Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列；（8）若{logban}是一个等差数列，则正项数列{an}是一个等比数列．

若数列{an}是公差为d等差数列，则

（1）{kanb}成等差数列，公差为kd（其中k0，k，b是实常数）；（2）{S(n1)kSkn}，（kN，k为常数），仍成等差数列，其公差为k2d；（3）若{an}{，bn}都是等差数列，公差分别为d1，d2，则{anbn}是等差数列，公差为d1d2；

（4）当数列{an}是各项均为正数的等比数列时，数列{lgan}是公差为lgq的等差数列；