静电场课件

静电场课件（精选8篇）

静电场课件篇1

本章要点：

掌握：场强、电势及其相互关系，叠加原理和高斯定理的应用，以及电偶极子的电势概念；理解：安培环路定理，能斯特方程，以及静电场的性质；了解：电偶层电势，生物膜电位，以及心电信号的形成机制。

5-1 电场强度和高斯定理

一、库仑定律

1．电荷：表示物质的带电属性；

正、负，同号相斥、异号相吸；

电荷量Q(q)

单位：库仑，C 2．点电荷：(point charge)

忽略其大小和形状的带电体。3．库仑定律

a.适用于真空中的点电荷；

b.大小：与q1、q2的乘积成正比，r2成反比； c.方向：沿连线的矢径方向,同号相斥,异号相吸； d.作用点：受力电荷。

二、电场(electric field)、电场强度 1.电场：

电荷在其周围空间所产生的特殊形态物质叫电场；

电场的特征是对放入其中的电荷有力的作用。2.电场强度：(electric intensity)定义：电场中某点的场强等于单位正电荷在该点受电场力的大小；方向：正电荷受力方向；

单位：牛/库(N/C)；伏/米(V/m);匀强电场：各点的场强大小、方向均相同。3.点电荷场强

方向：q“+”E与r同向，指向外；

q“-”E与r反向，指向内。

4.叠加原理

点电荷系在某点产生的场强等于各个点电荷单独存在时在该点产生的场强的矢量和。* 连续分布的带电体

三、电场线和电通量(electric flux)1．电场线(electric field line，也叫电力线)

在电场中作一系列曲线，使线上每一点的切线方向为该点的场强方向，这些曲线称为电场线。性质:

a.电力线起于正电荷，止于负电荷(或无穷远)，既不闭合亦不中断；

b.任意两条电力线都不相交。c.静电场是有源场。2．电通量

在电场中穿过任意曲面S 的电场线条数称为穿过该面的电通量，用e表示。均强电场：闭合曲面：

不均匀电场：曲面，小面元：de = EcosdS=EdS 规定：曲面自内向外的方向为法线正方向。

四、高斯定理(Gauss)1.推导：

表明：由点电荷发出的通过闭合球面的e与球面的半径无关。推广：任意闭合曲面

负电荷不含电荷多个点电荷 2.高斯定理表述 * 讨论

a.电通量只与曲面内电荷的代数和有关，与电荷分布无关； b.E是空间中所有电荷产生的电场；

通过任意闭合曲面的电通量，等于该面所包围电荷的代数和除以q0。c.所选取的闭合曲面称为高斯面； 3.高斯定理的应用

(1)均匀带电球面的电场

设带电量为Q，则 r＞R：

r＜R：E内= 0(2)均匀带电球体

设带电量为Q(3)无限大均匀带电平面

结论：* E的大小：与场点到平面的距离无关；

* E的方向：垂直于带电平面；

σ＞0，E由平面指向两侧；

σ＜0，E由两侧指向平面。

【思考】带等量异号电荷的两个无限大平板之间的电场为…，板外电场为…。

练习题：

试求无限长均匀带电细棒在空间产生的电场，设电荷线密度为λ。步骤：

a.分析电荷对称性：即先分析电场分布是否具有球对称、面对称、或轴对称性；

b.根据对称性取高斯面：尽量使所选高斯面上的E要么为0，要么为常数，以便于计算。c.根据高斯定理求场强。

5-2 电势

一、静电场力做功 1.点电荷q电场：

对试探电荷q0作的功为 dA=q0Ecosdl

电荷在静电场中移动时，电场力对它所作的功只与电荷移动的始、末位置有关，而与移动的具体路径无关。

表明：静电场是保守力场或有势场。

2.结论: 静电场力沿任何闭合路径作功等于0，可推得 * 静电场的环路定理：

在静电场中场强沿任意闭合路径的线积分等于零。

二、电势(potential)电势差 1.电势能－电场力是保守力。

a.电荷放在电场中某一位置时，具有电势能（W）

b.电场力对电荷做功等于电荷电势能的改变 Aab>0,Wa>Wb电场力作正功,电势能减少 Aab<0,Wa

c.电势能是相对量，规定：q0在无穷远处的电势能为零，即 W∞=0 2.电势：

定义：电场中某点的电势等于单位正电荷在该点所具有的电势能。其大小等于把单位正电荷从该点移到无穷远时电场力所作的功。

单位：伏特(V)。电势是标量也是相对量，其大小与参考点的选择有关。

* 电荷分布在有限范围—选无穷远或地球为电势零点

* 电荷分布到无限远时，电势零点不能选在无限远。3.点电荷电势 4.叠加原理

电荷连续分布的带电体：

5.电势差：电场中两点之间电势的差值

静电场中a、b两点的电势差Uab，等于把单位正电荷从a移到b时电场力所作的功。电场力作功：

三、场强与电势的关系

1.等势面(equal potential surface)定义：电势相等的各点所构成的曲面叫等势面

规定：相邻等势面间的电势差都相等

性质：沿等势面移动电荷时，电场力做功为零；

等势面与电力线垂直.场强大的地方，电势变化得快，等势面密集点电荷的等势面：

2.场强与电势间的积分关系注意: 只适用于电荷分布在有限区域内的情况,否则积分上限应为所选的零电势点;在场强分布规律(即函数关系)不同的区间,积分要分段进行;积分线路的选择是任意的,可选取最佳线路积分。

例题：

求半径为R，带电为Q的均匀球面在空间的电势分布。

3.场强与电势间的微分关系(电势梯度)电场中某点的场强在任一方向l上的分量，等于电势在该方向上变化率的负值。讨论：

dl 沿等势面的切线方向时,θ=90°，El =0 dl 沿等势面的法线方向时,电势的空间变化率最大，电势沿等势面法线方向的变化率,叫电势梯度负号表示场强指向电势降低的方向。

四、电偶极子的电势

1、电偶极子：两个相距很近的等量异号点电荷组成的带电系统

2、电偶极矩：矢量l与电荷q的乘积。方向沿l(电轴)方向。

3、电偶极子的电势公式: 表明: 电偶极子的电势与电矩p成正比。电势分布与方位有关。

以电偶极子轴线的中垂面为零势面、将整个电场分为正负两个对称的区域。

五、电偶层的电势

1、电偶层：相距很近、互相平行且具有等值异号电荷密度的两个带电表面。

2、电偶层外某点a的电势：可将电偶层看成由许多平行排列的电偶极子所组成。*立体角：若从a点看到电偶层元正电面，则dΩ取正值，反之取负值。ps为单位面积电偶层的电偶极矩，即层矩。

*表明：电偶层在某点产生的电势，只与层矩Ps与电偶层对该点所张立体角有关，而与电偶层的形状无关。

故整个电偶层在a点的电势: *推论：有相同电荷分布的闭合电偶层在其外部空间所产生的电势为零。

5-3 细胞膜电位

膜电位：指细胞膜内﹑外之间存在的电势差。形成机制: 1.膜内外离子浓度不同；

2.膜对不同离子通透性不同

一、能斯特方程

＋设半透膜只允许K通过，不让Cl-通过，左方KCl浓度C1>右方的C2。

＋＋因浓度不同，K向右侧扩散；逐步形成一阻碍扩散的电场。最终K扩散和电场的阻碍达到平衡，此时膜两侧形成稳定的电势差。

经推导得膜两侧电势差：称为能斯特方程。

其中C1、C2为膜两侧的溶液浓度；

T为半透膜两侧温度，k为玻尔兹曼常数，Z为离子价数，e为电子电量，F=eNA为法拉第常数。

二、细胞静息电位细胞膜是一个半透膜;在细胞的内﹑外存在着多种离子,其中主要是K+﹑Na+﹑Cl-和大蛋白质离子;K+﹑Na+﹑Cl-离子都可以在不同程度上透过细胞膜,而其它离子则不能透过;因此那些能够透过细胞膜的离子才能形成跨膜(静息)电位

在生理学上，通常将细胞膜外的电位UO定为0；人体神经细胞膜内外离子浓度值(mol﹒m-3)在人体T=310K时，将上表数据代入能斯特方程得各种离子的平衡电位为：讨论：用上述计算值与实测静息电位-86mV比较,可见

Cl-离子正好处于平衡状态,即通过细胞膜扩散出入的Cl-离子数目保持平衡;K+离子两结果相差不大;Na+离子相差很远,说明静息状态下细胞膜对其通透性很小

5-4

心电图和心电向量

一、心电的产生和心电偶 1.心肌细胞的电偶极矩

a.无刺激时,心肌细胞形成一均匀的闭合电偶层，对外呈电中性。医学上,静息时膜两侧内负外正的电荷分布称为膜的极化;b.细胞受刺激时，膜对离子通透性改变，此时心肌细胞类似一电偶极子，随着刺激在细胞中的传播其电偶极矩是变化的，这一过程称为除极； c.除极结束。心肌细胞又呈电中性；

d.除极完成后膜对离子通透性立即恢复原状，即细胞恢复到极化状态，该过程称为复极。复极过程亦伴随一变化的电偶极矩；

e.复极结束,整个细胞恢复到极化状态,又可接受另一次刺激。

可见，心肌细胞受刺激后在除极复极过程中，形成一个变化的电偶极矩，其周围空间的电场和电势是不断变化的。2.心电偶的电性质及其描述 * 心电偶：把心脏(即所有心肌细胞)简化为一个处在容积导体中的偶极子模型，简称心电偶。

* 心电场：心电偶和容积导体的导电，在体内形成一心电场，体表会产生随时间变化的电势。* 心电图：为体表电势变化的记录。(1)瞬时心电向量

一个心肌细胞的除极和复极产生变化的电偶极矩，某一时刻所有心肌细胞的电偶极矩矢量和，称为瞬时心电向量。

瞬时心电向量的大小和方向均随时间不断作周期性变化。(2)空间心电向量环

对瞬时心电向量进行平移,使箭尾收在一点,把箭头的坐标按时间、空间的顺序加以描记，连接成的轨迹曲线称为空间心电向量环。

空间心电向量环在某一平面上的投影称为平面心电向量环，也叫向量心电图。(3)平面心电向量环(4)心电图的形成原理： * 将平面心电向量环(即向量心电图)在某导联轴上投影，即得该导联的(标量)心电图。方法：用环体分割投影法。

例：平面心电向量环，求其在X轴上(即在标准导联I的导联轴上)投影得到的心电图波形。步骤：(a)过零电位点O作导联轴Oa的垂线，叫分割线。

(b)按环体箭头运行方向的时间顺序，以及它在导联轴上的投影大小和正负，按比例画出心电波形。

在一个心动周期内有三个心电向量环： P环－心房除极而形成，QRS环－心室除极而形成，T环－心室复极而形成。

分别对应于心电图中的P波、QRS波、T波。

二、心电图导联

通过电极将体表电势与心电图机相连的电路称为心电图导联。

临床上广泛应用的是标准十二导联系统。分为标准导联、加压肢体导联和胸导联。以R代表右臂，L为左臂，F为左腿。

1、标准导联I、Ⅱ、Ⅲ：

为双极肢体导联。

导联轴为：RL、RF、LF，如图，右腿接地。用于记录体表两点间的电位差变化。

2、加压肢体导联：

为单极肢体加压导联。

导联轴为：aVR、aVL、aVF。用于记录体表某处电位的变化。方法是将心电极的负端接到零电位O点(即中心电端)，正端接某个肢体处、如L、R或F。

3、胸导联：

为单极心前胸部导联。

导联轴为：V1、V2、V3、V4、V5、V6。方法是把心电极的负极接中心电端，正极接心前胸的不同部位测其电位的值。

5-5

静电场中的导体

一.导体的静电平衡

1.静电感应:在外电场作用下,导体中电荷重新分布而呈现出的带电现象 2.静电平衡:导体内没有电荷作定向运动的状态

3.静电平衡条件:导体内任一点的电场强度都等于零 * 推论: a.导体是等势体,导体表面是等势面

b.导体表面的场强垂直于导体表面

二.静电平衡时导体上电荷的分布

遵循以下3条规律：

1.静电平衡时导体内没有净电荷,导体所带电荷只能分布在导体的外表面;2.导体表面附近的场强与该表面处电荷密度的关系: 3.电荷在孤立导体表面上的分布规律(定性): 电荷在导体表面的分布是不均匀的,在表面凸出而尖锐的地方(曲率半径小),电荷面密度较大;在表面平坦的地方(曲率半径大), 电荷面密度较小;在表面凹进去的地方(曲率为负),电荷面密度更小.* 尖端放电:

三.静电屏蔽

1.空腔导体(无论接地与否)将使空腔内空间不受外电场的影响;2.接地空腔导体将使外部空间不受空腔内的电场的影响

5-6

静电场中的电介质

一、电介质及其极化

1.电介质(dielectric)定义：电介质为不能导电的绝缘体；

特点：电子处于束缚状态，没有可移动的自由电

荷，一般不能导电。2.分类

无极分子：分子正负电荷“重心” 重合。有极分子：分子正负电荷“重心”不重合。3.极化(polarization)定义：在外电场作用下，电介质垂直于外电场的两个端面上分别出现一层正电荷和一层负电荷的现象。种类：

无极分子极化——位移极化有极分子极化——取向极化

二、电介质中的电场强度 1.介质中的电场

由于外场作用，介质中出现极化电场E’，此时 E=E0+E’

实验证明：E’=-E，称为电极化率，只与介质有关 2.电介质的相对介电常数

r =1+

3.电介质的介电常数

三、平行板电容器

静电场的能量 1.电容：

两个带等值异号电荷的平行板导体，电容平板电容器：C=S/d 2.带电电容器中的电能：W=CU2/2=QU/2 3.电场的能量与能量密度能量密度：

能量储存在场中，静电场是一种特殊形态的物质。

电场的能量：

静电场课件篇2

1. 关于带电粒子在电场中的运动,若只考虑电场力的作用,下列说法正确的是()

(A)粒子可能作匀速圆周运动

(B)粒子可能作匀速运动

(C)粒子可能作匀变速曲线运动

(D)粒子可能作变加速运动

2. 电场中的电场线不相交,这是因为()

(A)电场中每一点只有一个确定的场强方向

(B)电场中每一点可以有几个场强方向

(C)电场线从负电荷出发终止于正电荷

(D)电场线相互排斥

3. 如图1所示,在匀强电场中建立平面直角坐标系,Oxy平面与电场平面相互平行,以O为圆心的圆周与坐标轴交于abcd四点,已知Oab三点电势关系为φ0>φa=φb,则关于其他点的电势关系和场强关系有()

(A)φa=φb=φc,场强方向由d指向a

(B)φa<φc=φd,场强方向由d指向a

(C)φa>φc=φd,场强方向由o指向c

(D)φa=φc=φd,场强方向由o指向c

4. 带电粒子仅在电场力作用下由a点运动到b点,电场线、粒子在a点的速度方向以及运动径迹如图2所示,则()

(A)粒子在a点的速度一定大于b点

(B)粒子在a点的动能一定小于b点

(C)粒子在a点的电势能一定小于b点

(D) a点的电势一定高于b点

5. 如图3所示中,虚线表示为静电场中的等势面1、2、3、4,相邻的等势面之间的电势差相等,其中等势面3的电势为0.一点电荷在静电力作用下运动,经a、b两点时的动能分别为26 eV和5 eV.当这一点电荷运动到某一位置,其电势能变为-8 eV时的动能为()

(A) 8 eV (B) 13 eV

6. 如图4所示,AB是竖直方向电场线上的两点,一带电粒子从A点静止释放,到B点时速度恰为0.若A、B两点的场强分别为E1、E2,电势分别为φ1、φ2,带电粒子在A、B的电势能分别为ε1、ε2,则()

(A)粒子带负电(B)φ1>φ2

7. 如图5甲所示,两个平行金属板PQ竖直放置,两板上加如图5乙所示的电压.t=0时Q比P板高5 V,此时两板正中央M点有一个初速度为0的电子只在电场力作用下运动,使电子的速度和位置随时间变化,假设电子始终未与两板相碰,在t<8×10-10s时间内,这个电子处于M点的右侧、速度方向向左且大小逐渐减小的是()

8. 如图6所示,在粗糙绝缘且足够大的水平面上固定着一个带负电的点电荷Q.将一个质量为M、带电荷量为q的小金属块P放在水平面上并由静止释放,P将在水平面上沿远离Q的方向开始运动到停止的过程中()

(A)电场力对P做的功等于金属块增加的机械能

(B)P的电势能一定一直减小

(C)P的加速度一定一直减小

(D)电场力对P做的功一定等于摩擦产生的热

9. 如图7所示,在空间中的两点A、B固定一对等量异种电荷.有一不计重力的带电微粒在他们形成的电场中运动,微粒在运动过程中只受电场力作用,则微粒所作的运动可能是()

(A)匀速直线运动

(B)先减速后加速运动

(C)一直加速运动

(D)匀变速运动

10. 如图8所示,在竖直向下的匀强电场中,用绝缘细线拴一带负电小球,使小球在竖直面内作圆周运动,则()

(A)小球运动到最低点电势能一定最大

(B)小球运动到最高点时线上张力一定最小

(C)小球运动到最高点时动能一定最大

(D)小球在竖直面内可能作匀速圆周运动

11. 如图9为一电场的电场线,a、b为一条直线上的两个点,高度差为h.一质量为m、带电荷量为+q的点电荷,从a点由静止释放沿电场线运动到b点时速度为,则()

(A)质量为m、带电荷量为-q的点电荷,从a点由静止释放沿电场线运动到b点时速度为

(B)质量为m、带电荷量为-q的点电荷,从a点由静止释放沿电场线运动到b点时速度为

(C)质量为m、带电荷量为-2q的点电荷,从a点由静止释放沿电场线运动到b点时速度为

(D)质量为m、带电荷量为+2q的点电荷,从a点由静止释放沿电场线在ab两点间来回振动

12. 一根用绝缘材料制成的轻弹簧、劲度系数为K,一端固定、另一端与质量为m、带正电且电荷量为q的小球相连,静止在光滑的水平面上.当施加水平向右的匀强电场E后,小球开始作往复运动,则关于小球()

(A)小球速度为0时弹簧伸长量为

(B)小球在原长的位置动能最大

(C)小球运动过程中的机械能守恒

(D)小球运动过程中,它的动能改变量、电势能改变量和弹性势能的改变量的代数和始终为0

二、填空题(每题4分,共20分,请把答案写在横线上)

13. 如图10所示,在竖直面内有一匀强电场,一带电量为+q的小球(重力不计)在恒力作用下沿图中虚线从A到B作直线运动,已知力F与AB间夹角为θ,AB间距离为L,则匀强电场的场强至少为______、方向为______、恒力F做功为______.

14. 质子、α粒子、氘核和氚核(质量数之比为1:4:2:3、电荷量之比1:2:1:1),在经过同一个电场E1加速后垂直进入另一匀强电场E2,它们飞出E2后的速度方向与E2的夹角分别为α、β、γ和δ,则它们的大小关系为______,飞出过程中的动能增量之比为____.

15. α粒子和质子以相同的速度垂直电场方向进入两平行板间的匀强电场,当它们离开匀强电场时沿场强方向的位移之比为______,动能增量之比为______.

16.一个质量为m、电荷量为e的电子,以初速度v沿与电场线平行的方向射入匀强电场,经时间t电子具有的电势能与刚进入电场时相同,则此电场的场强大小为______,电子在电场中的运动路程为______.

17.如图11所示,匀强电场中有三点a、b、c位于等腰直角三角形的顶点上,ab=bc=4cm.将一带电量为-2×10-8 C的检验电荷从a点移到b点电场力做功8×10-9 J,从a点移到c点电场力做功1.6×10-8J,则电场方向为______,场强大小为______.

三、计算题(本题共4个小题,共42分,解答须写明必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤)

18.(10分)如图12所示,匀强电场水平向左,一个带正电的物块在绝缘的地面上向右运动,经过P点时动能为200 J,到Q点时动能减少了160 J、电势能增加了96J,求:再回到P点时动能为多大?

19.(10分)一条长为L=1 m的细线,上端固定在天花板上,下端拴一个质量m=10-3 kg,带电荷量为q=10-5C的小球,置于匀强电场中、场强为E=103 N/C,如图13所示.今将小球拉至A点,线与竖直方向夹角为θ=60°,求:小球由静止从A点释放运动到最低点时细线与竖直方向的夹角和运动过程中的最大速度?(g=10m/s2)

20.(10分)如图14所示,真空中有两根绝缘细棒组成“V”字形装置,处在竖直面内,两棒可绕O点转动,与竖直方向夹角均为θ,棒上各穿一个质量为m=20 g的小球,球可沿棒无摩擦下滑,两球带电荷量均为+8×10-6 C.现使两棒绕O点转动,两球在棒上位置随之改变,问θ为何值时,小球与O点的距离最小,并求最小值?

21.(12分)如图15所示,AB是半径为R=0.8 m的圆的一条直径、圆心为O,该圆处于匀强电场中,场强大小为E=1×106N/C、方向一定,且平行纸面(即圆周平面),在圆周平面内,将一带电荷量为q=-1.6×10-16 C的粒子,从A点以相同的初动能抛出,抛出方向不同的粒子在经过圆周上不同点中过C点时的动能最大,已知∠CAB=30°,不计空气阻力和重力,g=10 m/s2,如果粒子在A点垂直OC方向抛出恰好经过C点,求到C点时的动能?

参考答案

一、选择题

1.(A)(C)(D) 2.(A) 3.(B) 4.(B)(D) 5.(C) 6.(B)(D) 7.(D) 8.(B)(D) 9.(B)(C) 10.(A)(D) 11.(B) 12.(D)

二、填空题

13.,垂直于AB向右,Flcosθ

17.c指向a,.

三、计算题

18.电荷电势能的增加量等于电场力所做的负功的绝对值,则:

从Q点至速度减为0,动能减少40 J,则克服摩擦力做功为:

在返回到P点过程中克服摩擦力做功等于:

根据功能关系可得,再回到P点时动能为:

19.小球受重力G、细线拉力T、和电场力F,G=mg=10-2N、F=qE=10-2 N,设小球在平衡位置和最低点时细线与竖直夹角分别为β、α.

小球在运动过程中受力和在重力场中相似,所以运动规律也和重力场中相似,在平衡位置两侧对称、在平衡位置时速度最大(设为v).

小球在平衡位置B时受力分析如图16所示，

因为最高点A和最低点C关于平衡位置B对称，所以，

从A点到B点根据动能定理有:

20.(动态平衡的极值问题)

设小球到O点的距离为L.因为两球的受力情况关于过O点的竖直线对称,两球移动过程中高度总相同,则它们间的库仑力总是水平的.受力如图17所示,根据小球受库仑力F、重力G和棒对它的支持力N而平衡,其中:

根据小球平衡有:

当θ=45°时,L有最小值Lmin,代入数值得:Lmin=1.2 m.

21.因为从A点以相同的初动能抛出,过C点时的动能最大,所以C点为圆周上沿电场方向最远的点,则过C点圆的切线MN为等势线,电场线与MN垂直由C指向O(如图18所示).

设带电粒子的质量为m,垂直OC方向抛出,则初速度垂直场强方向,并设初速度为v,粒子抛出后只受电场力,做类平抛运动.

由几何关系可知:

带电粒子从A到C应用动能定理有:

静电场与直流电篇3

关键词：静电场；直流电；电流方向；电压方向；基尔霍夫定律

静电场是电荷周围存在的一种特殊形式的物质，电荷之间的相互作用是通过电场实现的。对电场的任何一点来说，放在这点的电荷所受的电场力跟它的电荷的比值，总是一个常量，可以用来表示电厂的强弱叫做这一点的电场强度。电场强度是矢量，它的方向规定为正电荷所受电场力方向。除了用电场强度来描述电场的强弱及方向外，电场线也用来形象表示电场强弱及方向。电场线是在电场中画出的一系列从正电荷出发到负电荷终止的曲线，并且使曲线上每一点的切线方向都跟该点的电场强度方向一致；电场强度越大的地方，电场线越密，电场强度越小的地方，电场线越疏，沿着电场线的方向是电势降落的方向。

在复杂电路的某一段电路或一个电路元件的分析与计算时，可事先假定一个电流的方向，这个假定的方向叫做电流的“参考方向”。我们规定：若电流的“参考方向”与实际方向相同，则电流值为正值，即I>0；若电流的“参考方向”与实际方向相反，则电流值为负值，即I＜0。和分析电流一样，有时很难对电路或元件中电压的实际方向做出判断，必须对电路或元件中两点之间的电压任意假定一个方向为 “参考方向”，在电路中一般用实线箭头表示，箭头所指的方向为参考方向。当电压的“参考方向”与实际方向一致时，电压值为正，即U>0；反之，当电压的“参考方向”与实际方向相反时，电压值为负，即U＜0。电流与电压有了参考方向后，电流与电压就有了正负。

电流与电压参考方向，在应用基尔霍夫定律解决复杂电路计算中，贯穿始终。

欧姆定律是分析与计算电路的基础。如果电阻元件上的电压与通过它的电流参考方向相同，欧姆定律可表示为U=IR，如果电阻元件上电压的参考方向与电流的参考方向不同时，则欧姆定律可表示为U＝－RI。除了欧姆定律，分析与计算电路还离不开基尔霍夫电流定律和电压定律。基尔霍夫电流定律应用于节点，基尔霍夫电压定律应用于回路。

基尔霍夫电流定律是用来确定连接在同一节点上的各个支路电流之间的关系的。由于电流的连续性，电路中任何一点（包括节点）均不能堆积电荷。因此“任何一瞬时，流入任一节点的支路电流之和恒等于流出该节点的支路电流之和”，这就是基尔霍夫电流定律的基本内容。

基尔霍夫电压定律是用来确定回路中的各段电压之间的关系。“在任一回路中，从任何一点出发以顺时针或逆时针方向沿回路循行一周，回路中各段电压的代数和等于零”，这就是基尔霍夫电压定律的基本内容。为了应用基尔霍夫电压定律，必须选定回路的参考方向，当电压的参考方向与回路的循行方向一致时取正号，反之取负号。列方程时，不论是应用基尔霍夫定律或欧姆定律，首先都要在电路图上标出电流、电压或电动势的参考方向；因为方程式中的正负号是由它们的参考方向决定的，若参考方向选得相反，则会相差一个负号。

如图所示电路中，已知R1=10Ω，R2=5Ω，R3=5Ω，Us1=12v，Us2=6V。

求：R1、R2、R3所在支路电流I1、I2、I3。

解：1.先假定各支路电流的参考方向，如图所示。

2.根据KCL列出节点电流方程，由节点A得到I1+I3－I2=0。

3. 选定回路的绕行方向就是电势降落的方向，如图所示。

4. 根据KVL列出两个网孔的电压方程。

网孔AdcBbA：－I2R2－I3R3＋Us2＝０；其中I2R2、I3R3为负是因为电流与电压参考方向相反，欧姆定律用负的。

网孔AbBaA：I1R1+I2R2－Us1=０；其中Us1为负是因为它电压的方向与循行方向相反。

代入电路参数，得方程组：

I1+I3－I2=0

-6=-5I2－5I3

12=10I1+5I2

解方程组，得：I1=0.72A，I2=0.96A，I3=0.24A。

从基尔霍夫定律的应用中可以看到，电流、电压的方向问题就是解题的对错问题，足以见证电流、电压方向的重要性。如果没有静电场的电场线的形象讲解，学生就很难看出电流与电压实际方向的一致性，那么，欧姆定律正负公式推出就难讲述，欧姆定律讲不好，基尔霍夫定律就很难讲，更别说应用基尔霍夫定律解决实际问题了。所以，静电场内容是是直流电内容讲解的前提和基础，两章内容密不可分。

参考文献：

1.《大学物理教程》.山东大学出版社.

2.孙秀春.《大学物理教程思考题与习题解答》.山东工程学院.

实验一静电场的描绘篇4

教学目的和要求：1、学习用模拟法研究静电场。

2、描绘等势线，绘画电场线。

一.检查学生的预习情况

检查学生预习报告:内容是否完整，表格是否正确。

二.实验仪器和用具：YJ―MJ―III模拟静电场描绘仪(包括电源、点电极、激光探针、连接线等)。

三.讲解实验原理：

1.静电场的基本性质

静电场是由静止电荷激发的电场。电场的基本特性是对静止或运动的电荷有作用力，由于电是一种力场，场具有“能”与“力”的性质，因此其他带电粒子在具有电场的空间中将具有“势能”并受到一定的“作用力”。也就是我们所说的电势和电场强度。为形象地描述场强的分布，在电场中人为地画出一些有方向的曲线，曲线上一点的切线方向表示该点场强的.方向，也是电势降低的方向。电场线的疏密程度与该处场强大小成正比。

2.静电场不能直接测量的原因

静电场可以用电场强度E或电势U的空间分布来描述，本实验讨论的静电场的描绘是探索它的电势U的空间分布，因为场强E是矢量，电势是标量，在测量上要简单一些。但是直接测量静电场中各点的电势也是很困难的，这是因为静电场中不会有电流，不能用直流电表直接测量，除非用静电式的仪表测量，但是用静电式的仪表测量就要用到金属做的探头，金属探头放到静电场中就会使原来的电场分布发生显著的变化，就算测量得到了数据也是不准确的。所以，通常用“模拟法”间接测量静电场的分布。

3.模拟法的原理

模拟法就是使用一种易于实现、便于测量的物理状态或过程模拟不易实现、不便测量的状态和过程，但是要求这两种状态或过程有一一对应的两组物理量，满足相同的物理或数学规律和边界条件。在相同的边界条件下，具有相似的解或表达式。模拟法在科学实验和其他领域中有广泛的应用。

4.什么是稳恒电流场?为什么可以用稳恒场来模拟静电场?

带电粒子的定向运动就叫做电流。描述电流场的物理量有场强和电流密度矢量，各点的电流密度都不随时间而变化的电流叫做稳恒电流。简单的说就是在稳恒电流的情况下，从闭合面流进去的电流强度必然等于从该闭合面流出去的电流强度。因此可以肯定，在稳恒电流场中，导体各处的电荷分布都不随时间而变。

稳恒电流场与静电场是两种不同性质的场，但是它们在一定条件下具有相似的空间分布，即两种场遵守规律在形式上相似，都可以引入电位U ，电场强度E = -?U，都遵守高斯定律和安培定律。

?静电场无源区域稳恒电流场电流密度矢量J在无源区域

?????E?ds??0J?ds?0???S?S

???????E?d??0?J?d??0???L?L

和在各自区域中满足同样的数学规律。在相同边界条件下，具有相同的解析解。因此，我们可以用稳恒电流场来模拟静电场。

6.模拟满足的三个条件

模拟方法的使用有一定的条件和范围，不能随意推广，否则将会得到荒谬的结论。用稳恒电流场模拟静电场的条件可以归纳为下列三点：

(1)稳恒电流场中的电极形状应与被模拟的静电场中的带电体几何形状相同;

(2)稳恒电流场中的导电介质是不良导体且电导率分布均匀，并满足

(3)模拟所用电极系统与模拟电极系统的边界条件相同。

四.演示实验，讲解实验步骤：

1. 把仪器连接成电流场回路和测量回路，在有机玻璃平台上铺上描绘用坐标纸，并用夹子夹稳。

2. 激光探针放在电极上，调节“电压调节”电位器，使YJ―MJ―III模拟静电场描绘仪输出电压为10V。

3. 用激光探针在电极间探出电位相同的点且描下它们在电极坐标系的位置，分别绘出1V、3V、5V、7V的等位线。

4. 根据等位线和电力线互相垂直的关系画出各组电极的电场线。

5.得出结论。

强调实验注意事项：

(1) 同一条等势线上的点分布要均匀，

(2)等势线的疏密要表示出场强的大小

五.模拟的静电场图：

六.结论：

七.指导学生做实验

在此期间注意观察学生做实验并及时纠正学生错误的或不当的实验操作，运用启发式引导学生解决实验所遇到的疑问。

八.实验结果检查

作出来的等势线是不是一组同心圆?等势线分布的疏密情况怎么样?

九.作业：

1. 本次实验报告

2. 预习下次实验

十.课后总结与分析

1.9静电场中的图像问题教案篇5

重/难点

重点：理清描述电场的图像有哪几种情况。难点：如何求解静电场中的图像问题。

重/难点分析

重点分析：在高中物理静电场中，我们都已经注重带电粒子在电场中的运动，我们还应重视描述电场本质的图像。描述电场的图像有以下两种情况，一种是直接在坐标系中用电场线或等势线描述电场的分布，另一种是描述电场的本质的物理量随距离或其他量的变化关系图像，如场强随坐标轴变化的函数图像，电势随坐标轴变化的函数图像，电势能随坐标轴变化的图像。

难点分析：解答该类型题关键是要读懂图像的意义，即坐标轴，坐标原点，斜率，交点坐标，变化趋势等的物理意义，同时结合题意，读懂已知条件，以及提出的问题，根据电场强度的定义式和电势的基本公式解决问题。同时一定要根据图像描述的内容找出对应我们学习过的静电场的模型，场源可能是点电荷，也可能是电偶极子，还可能是带电平板等。

突破策略

一、在坐标系中用电场线或者等势线来描述电场知识准备：

1、等势线和电场线互相垂直；

2、等势线密的部分电场强度大；

3、电势沿着电场线电势越来越低。

例1.其中某部分静电场的分布如图所示。虚线表示这个静电场在xoy平面内的一簇等势线，等势线形状相对于ox轴、oy轴对称。等势线的电势沿x轴正向增加。且相邻两等势线的电势差相等。一个电子经过P点（其横坐标为-x0）时，速度与ox轴平行。适当控制实验条件，使该电子通过电场区域时仅在ox轴上方运动。在通过电场区域过程中，该电子沿y方向的分速度vy随位置坐标x变化的示意图是（）

题目分析：根据等势线与电场线垂直和电势变化的情况从而画出经过p点的电场线（画时先在经过的等势线上的点作一小段垂线，再用平滑的曲线连接起来），然后根据受力情况求出物体在y轴方向的加速度和水平方向的加速度，得出物体在水平方向的速度和竖直方向速度变化情况。这其实是运动的合成与分解的问题。

解：由于等势线的电势沿x轴正向增加，等势线与电场线垂直，故可做出经过P点的电场线如图所示，电子所受的电场力与场强方向相反，故电子受到一个斜向右下方的电场力，这个力可以分解为沿x轴正方向的力和沿y轴负方向的力，所以粒子从-x0开始沿x轴正方向做初速度为v的加速度运动；沿y轴的负方向做初速度等于0的加速运动，所以沿y轴方向的速度方向向下，为负值，故A、C错误。

电子通过y轴后受到的电场力斜向右上方，故沿y轴负方向减速运动；又由于在x轴方向始终加速，故在水平方向通过相同的位移时间变短，根据

Δvy=ayΔt，故通过相同的水平位移，竖直方向速度变化量减小，到达x0时, vy还没有减小到0。故D正确。

二、描述电场的本质的物理量随距离或其他量的变化关系图像，场源可能是点电荷，解答该类型题除了要读懂图像的意义，还要结合我们学习过静电场模型，找出图像与模型的联系，使艰难的的图像问题豁然开朗。

例2.空间有一沿x轴对称分布的电场，其电场强度E随x变化的图象如图所示。下列说法正确的是（）

A．O点的电势最低 B．x2点的电势最高 C．x1和-x1两点的电势相等 D．x1和x3两点的电势相等

分析：解答本题需掌握：电场线的切线方向表示空间该点的场强方向；沿着电场线电势越来越低；

解答１： A、B、从图象可以看出，电场强度的大小和方向都沿x轴对称分布，沿着电场强度的方向，电势一定降低，故根据其电场强度E随x变化的图象容易判断，O点的电势最高，故A错误，B也错误； C、由于x1和x2两点关于y轴对称，且电场强度的大小也相等，故从O点到x1和从O点到x2电势降落相等，故x1和-x1两点的电势相等，因而C正确；D、由于沿着电场强度的方向，电势一定降低，故从O点到x1和从O点到 x3电势都是一直降落，故x1和x3两点的电势不相等，故D错误；故选C。点评：本题关键抓住沿着电场强度的方向，电势一定降低；然后结合图象得到电场强度的分布情况，再分析电势变化情况即可。

解答２：联系等量正电荷的连线的中垂线的中点两边的电场分布，答案立即就出来了，选择C。

例3.两带电量分别为q和-q的点电荷放在x轴上，相距为L，能正确反映两电荷连线上场强大小E与x关系的是图（）

分析：考查电场的叠加。结合等量异种电荷的电场线分布情况分析，电场线的疏密程度反映场强的大小，电场线的切线方向反映电场强度的方向。

解答：由等量异种点电荷的电场强度的关系可知，在两电荷连线中点处电场强度最小，但不是零，从两点电荷向中点电场强度逐渐减小。故选A。

点评：本题关键是结合等量异种电荷的电场线分布情况分析，也可以结合点电荷的电场强度公式列式求解。

总之，只要我们结合题意，读懂图像的意义，根据图像描述的内容找出对应我们学习过的静电场的模型，再根据电场强度的定义式和电势的基本公式或功能关系来解决这类问题就比较容易。

突破反思

静电场课件篇6

目的.:研究高压芒刺静电场(high-voltage prick electrostatic field,HVPEF)对肿瘤细胞增殖的抑制作用.方法:分别以电压为6kV、10kV和14kV的HVPEF作用于体外培养的人肝癌细胞SMMC7721,绘制细胞生长曲线,并用MTT法和流式细胞术检测电场对细胞增殖的抑制效果.结果:HVPEF处理后,各实验组细胞生长受到不同程度抑制,细胞死亡率升高(P<0.01),细胞增殖活性分别降为对照组的75.7%、88.5%和72.2%,且存在统计学差异(P<0.05).结论:一定强度的高压芒刺静电场作用能够有效抑制肿瘤细胞增殖.

作者：严羚玮伊卫国严子淞孙迎春 YAN Ling-wei YI Wei-guo YAN Zi-song SUN Ying-chun 作者单位：严羚玮,YAN Ling-wei(大连交通大学数理系,辽宁,大连,116028)

伊卫国,YI Wei-guo(大连交通大学软件学院,辽宁,大连,116052)

严子淞,孙迎春,YAN Zi-song,SUN Ying-chun(东北师范大学物理学院,吉林,长春,130024)

探究带电体的静电场篇7

1 用电场强度的叠加原理解带电体的电场

均匀带电细导线，其形状是典型函数曲线或者是简单曲线的组合体，使用电场强度的叠加原理解其电场是简单可行的。而不规则的带电曲线，尤其是不能分解为多个简单曲线的组合体，这样的带电导线的电场用此法就不可行。

下面用实例加以说明：

1.1 均匀带电圆环，中轴线上一点的电场强度带电量是Q库仑，半径是R，场点P到圆心O的间距是a。

用库仑定律的微分形式，将带电环分割为无限多份，进行积分，可得带电圆环中轴线上任一点的电场强度，与电量成正比，与距离与正比，与半径、距离平方和的二分之三次方成反比。

解：将圆环分割成无限多份，每一份的带电量为dq，圆周长l=2πR，单位长度的电量λ=Q/l, dq=λdl，该点电荷到P点的距离是 (R2+a2) 1/2，在P点产生的电场强度为，由于电荷分布的对称性，除了沿轴线方向的电场强度分量外，其它方向的分量均相互抵消;在轴线方向的分量是。

则圆环在P点产生的合电场强度为

1.2 均匀带电球壳的电场分布

将球壳分解为无限多个圆环，每个圆环在中轴线上产生电场强度可用上例的结论，球壳产生的电场求法是：用库仑定律的微分形式，将带电球壳分割为无限多份，利用带电圆环的中轴线上一点的电场强度表达式进行积分，可得带电球壳中轴线上任一点的电场强度，与电量成正比，与距离平方反比;球壳内的电场强度为零。

解：

上式是球壳外面的情况，即x≥R

如果在球壳的内部，即x

2 用电场强度的叠加原理解带电体电场的局限性

2.1 不能用初等函数表示的曲线形状带电导线

如果带电导线的形状是不能用初等函数表示，则将导线分割成无限多段后，每一小段电荷元不能用同一函数式表示，用积分式求解合电场就不能实现。

2.2 形状不能用几个规则形状组合的导体

如果带电导体的形状是一个不规则的形体，也不能分割成几个规则形体的组合体，则就不能用几个规则带电体的电场进行求合电场。

这类问题虽然不能用为为库仑定律、电场强度的叠加原理求出电场强度的准确分布，但是用理论计算的方法求解还是有办法的。办法是：近似计算的方法。根据带电体的形状，可以分解为几段，把每一段看成一个点，应用库仑定律分别求解每一段产生的电场强度，再进行求所有点的矢量和。为了逼近准确值，可以进一步将分解的段数增加，进一步计算，再次求所有点的矢量和。依次进行下去，分得份数越多，求出的结果与真实值越接近，直到满足生产要求为止。

这种方法的运算量可想而知，应该是十分巨大的。降低工作量的方法是运用运算速度最快的计算机，方法是：将带电体的形状用绘图设备，制作成按一定比例大小的图形，输入到计算机中。用屏幕定位工具，将图形分解成多段，并将每段的位置转换成坐标值，作为己知数据。再用可用于计算的编程软件编制计算公式，并将结果分解成分量式，用循环函数命令将多段数据分别代入到公式中运算，再分别求分量和，最后求总和。只要在将图形分解时，份数越多，计算结果越逼近真实值，运算量越大。但是，对于计算机而言，这不是一个问题，因为计算机的优势就是具有高速的计算能力。所以，如果想得到符合工作要求的结果，利用计算机帮助求解，将是十分容易实现的事情。这种方法的难点是必须会用以上有关应用软件，用好软件就象用好计算器一样，使工作变得更加轻松。

3 用高斯定理解带电体的电场

3.1 无限长均匀带电导线产生的电场

由于无限长均匀带电导线的电荷是轴对称分布，因此电场的分布也是轴对称分布的，选择一个轴线与导线重合的圆筒闭合面，将导线包围起来，则圆筒侧面上各点的电场强度是相等的，而且方向号圆筒面处处垂直;圆筒底面上各点的电场强度的方向处处与底面垂直。用高斯定理求解导线周围任一点的电场强度的积分容易实现，从而电场强度可求。

3.2 无限长均匀带电圆柱筒

由于无限长均匀带电圆柱筒的电荷是轴对称分布，因此电场的分布也是轴对称分布的，选择一个轴线与圆柱筒轴线重合的圆筒闭合面，将导线包围起来，则圆筒侧面上各点的电场强度是相等的，而且方向号圆筒面处处垂直;圆筒底面上各点的电场强度的方向处处与底面垂直。用高斯定理求解圆柱筒内外任一点的电场强度的积分容易实现，从而电场强度可求。

3.3 均匀带电介质球体

均匀带电介质球体的电荷是球对称分布，因此电场的分布也是球对称分布的，选择一个与介质球同心的球面，则球面上各点的电场强度大小相等，电场强度的方向处处与球面垂直。因为从距球心相同距离上的各点上看，周围电荷是完全相同的，所以电场强度的大小是相等的，而方向是以球心为起点的射线，选高斯面为球壳，球心为该面的中心，应用高斯定理的积分，可变为非积分形式，可求得：此时电场分布与电荷集中在球心里一样的。

解：用求解的具体步骤如下：

因为从距球心为γ的各点上看，周围电荷是完全相同的，所以电场强度的大小是相等的，而方向是以球心为起点的射线，选高斯面s=4πr2，球心为该面的中心，当γ>R, R为球的半径，则S包围的电荷为Q球面上总电量。

由于，与同向，设Q>0，则:

又在s=4πr2上各点的E相同。上式

此时电场分布与电荷集中在球心里一样的。

3.4 无限大平面导体

无限大均匀带电平面导体，电荷是面对称分布的，因此电场的分布也是面对称分布的，选择一个与平面垂直的圆柱体，圆柱体的上下底面与平面平行;两底面上各点的电场强度大小相等，方向与底面垂直，侧面各点的电场强度方向处处与侧面垂直。用高斯定理求解平面附近任一点的电场强度的积分容易实现，从而电场强度可求。

3.5 无限大带等量异种电荷的平行导体板

这种带电体产生的电场是匀强电场，所以用高斯定理求解电场强度更容易实现，方法与无限大平面的电场方法相同。

4 高斯定理的局限性

4.1 一段带电导线

由于带电导线是一段，电荷分布不具有对称性，自然电场强度的分布也不具有空间对称性，因此电场强度的面积分就比较困难，由高斯定理求解电场强度就不能实现。

4.2 半圆环带电导体

带电半圆环导线上电荷分布不具有对称性，电场强度的分布也不具有对称性，电场强度的面积分就比较难求，由高斯定理求解电场强度就不能实现。

4.3 半球形带电导体

带电半球形导体上电荷分布不具有对称性，电场强度的分布也不具有对称性，电场强度的面积分就比较困难，由高斯定理求解电场强度就不能实现。

5 用电势的梯度解带电体的电场

5.1 一段带电导线

由于带电导线的电势是电荷空间分布的线积分，较容易求解，所以再求电场强度时，用电势梯度的负值也就是求电势函数的导数就能够求解。

5.2 均匀带电圆盘

由于带电圆盘的电势是电荷空间分布的线积分，较容易求解，所以再求电场强度时，用电势梯度的负值也就是求电势函数的导数就能够求解。

5.3 均匀带电半球体

由于带电半球体的电势是电荷空间分布的线积分，较容易求解，所以再求电场强度时，用电势梯度的负值也就是求电势函数的导数就能够求解。

6 电势梯度的局限性

6.1 非初等函数形状的带电导线

如果带电导体的电势分布不能用初等函数表示出来，那自然也无法用电势梯度的负值来求解电场强度。

6.2 不能用多个规则形状组合为一体的带电导体

如果带电导体的形状不能用几个规则体组合而成，那么导体的外形就不能用初等函数表示，因此求解导体的电势分布自然就难以作到，求解电场强度也就不能实现了。

7 用场强仪测量带电体的电场

不论是什么形状的带电导体，也不论其形状的大小，用静电测试仪均可以测量。

目前业界主要在使用的是静电电场计，DC-feedback静电电压表、AC-feedback静电电压表这三种。

为了方便理解测量仪器的工作原理和性能，我们先从取样原理(即对被测物表面静电压的感应原理)来分析，取样原理是应用了Ke lvin振动电容感应探头。假设探头与被测表面如同一平板电容，在这种结构中由于探头的正弦振动就感应产生一个电子流I，这种电流会与被测表面的电压值成一定比例，这个电流I会通过相位感应解调电路被放大和解调而处理成为一个电压信号Vp，这个电压信号直接与电流I的值成一定比例。静电电压表与静电电场计就是利用这种方式来取样到被测表面的静电压信号，但它们区别就在于如何去处理那个Vp信号。用这个VP信号在电压表中反映出来，就是物体表面附近的电场强度值。

如果物体表面的电荷量随时间变化迅速，那就需要测量瞬间电场的仪器，并且能记录瞬间值，并进行存储.因此测量频率或响应速率问题也是十分重要的。因为物体表面带的静电是随时间变化而变化的。若仪器本身的测量频率不够，就不能实时或正确反映物体表面带静电量。特别是像分离式产生静电，这种静电产生和变化的速度是很快的，若没有高频的静电电压表是无法抓取到分离时的尖峰带电量的。

8 场强仪的使用范围

如果某一空间的电场是变化的，并非是带电体附近的电场，那么使用静电场测量仪就不能测量出来。

在电平表的输入端，连接一个天线，用来接收空间的变化电场，在天线上感应出电压，就可以测量变化的电场了.这就是变化电场的测量仪器 (场强仪和频谱仪) 的工作原理。

电平表(或电压表)它量度的电压值是在仪表的输入端口，而场强仪所量度的电压(或叫电势)是天线在空中某一点感应的电压。严格来说，场强仪是由电平表和天线组成。

从原理上来说频谱仪、电平表、场强仪(主机)基本原理方框是一样的。频谱仪本身就是测量频谱范围内的信号电平，如果用“零跨导”则就是一个选频电平表。如果加上标准测试天线在频谱仪上不就是可测量场强了吗!比较好的频谱仪，它可以将天线系数存在机内，使用时直接显示场强数值μV/m。

用频谱仪加上测试天线可以测量场强，当频谱仪可以存天线系数的，那么可以直接显示μV/m单位场强。如果不可存天线系数频谱仪，则需要用理论公式，代入天线系数进行计算。如果用没有天线系数的一般接收信号用的天线，那么只能在空间测量场强的强弱，而不能得出场强μV/m量值，即只能作定性测试分析，不可作定量测试分析。

一些静电场能量公式的适用范围篇8

【关键词】静电场；能量；适用范围

0.引言

很多文章与教材中都涉及了静电场能量公式，然而都没有详细说明电场能量与电势能这两种形式所适用的确切范围。如下题（例）在求解问题时就存在着不妥。

如图1 所示，设电容器的两个带电极板面积为S，分别带电+q和- q ，板间距为x，求二板间“相互作用能”。

图1 平行板电容器

取坐标轴x轴与二板垂直，坐标原点在下极板上。设上极板为研究体系（体系1），下极板为外部体系（体系2），并取下极板产生的电势?的参考点在坐标原点。那么用电势表达的静电场互能公式W=?ρ?dV（1）求得W=x此结果是否正确姑且不说，我认为所使用的公式（1）不妥。因为若按此类理解，也可应用电势表达静电场互能的另一公式W=?ρ?1dV（2）来求解（本文将给出?ρ?2dV=?ρ2?1dV的证明），其中?1为研究体系（上极板）产生的势。因为在同一问题中，若用不同的互能公式求解，再将结果进行比较时，电势参考点应取同一个（坐标原点），即?1在下极板处也为零，从而有Wi=0。同一问题，所得互能不同（两种求法参考点相同），在处理该问题时认识有误。通过分析可知，其错误是没有弄清公式的适用范围。

1.一些能量公式用于无限大均匀带电平面时所得结果不唯一的根源

上述平行板电容器是在无限大均匀带电平面模型上建立起来的。按上面的思路，计算该情形互能会算出不唯一的矛盾结果。究其根本，是因为上述所用公式的适用范围与问题中所使用的物理模型的适用范围不相协调所致。众所周知，对无限大均匀带电平面这样的理想物理模型，其适用范围不含无限远点。因为在无限远处看，带电平面不可能无限大，都应是有限大小的；同理，无限大均匀带电模型，只可以是在近点范围观测和抽象出来的结果。即无限大均匀带电平面与无限远点不能同时出现在同一问题中。现在我们再从有关教材出发，回顾总能Wt、互能Wi和自能Ws之间的关系及其物理含义。静电场总能公式若用场强表达为Wt=?E·DdV（3）

利用矢量分析，式（3）又可写为Wt=?ρ?dV-?D·dS（4）

其中S是V的边界面。因为Wt是静电场总能量，所以可将V取成整个空间，即S 在无限远。对于电荷分布在有限范围内的情形，若取无限远为电势零点，即?S=0，而D～1/r2，面积S～r2，面积分当r→∞时趋于零，则由式（4）得

Wt=?ρ?dV（5）若取有限远r0点当做电势零点，由于ф～（1/r-1/r0）， D～1/r2，而面积S～r2，所以当r→∞时面积分不再趋于零，则此时Wt≠?ρ?dV可见，当取无限远为电势零点，并整个空间都是模型的适用范围时，式（5）才成立。

下面再证明式（1）和（2）相等，同时也能进一步说明其适用范围与例模型的适用范围不相协调。若用 ф1和ρ1分别为研究体系的所产生的势和电荷分布；用ф2和ρ2分别表示外部体系的所产生的势和电荷分布。当取无限远为电势零点时，式（5）可写为Wt=?（ρ1+ρ2）（ф1+ф2）dV（6）则互能和自能分别为W=?ρ?2dV+?ρ2?1dV（7）、W=?ρ?1dV+?ρ2?2dV（8）

推广到一般情况， Wt、Wi和Ws的物理意义为：设带电体系由若干个带电体组成，带电体系的总静电能Wt由各带电体之间的相互作用能Wi每一个带电体的自能Ws组成；把每一个带电体看成一个整体，把各带电体从无穷远移到现在位置所作的功，为它们之间的相互作用能；把每一个带电体上的各部分电荷从无限分散的状态聚集起来时所作的功，等于这个带电体的自能；而式（6）、（7）和（8）都是取了无限远为电势零点的结果。对整个空间都适用的物理模型，其电荷分布（以体分布为例，点、线、面分布与此相近，不再赘述）应在有限范围。若电荷分布在有限范围，可取无限远为电势零点；反之，如果分布在无限远处的是无限多电荷，就不能选无限远为电势零点。设电荷分布在有限空间，取真空中的无限远为电势零点（只有取真空中的无限远为电势零点，才可下述表示），则研究体系和外部电荷体系所产生的势分别为：?1=?（9）、?2=?（10）把式（9）和（10）代入式（7），即可证得Wt=?ρ1?2dV=?ρ2?1dV（11）现在又可看出，只有对可取无限远为电势零点的物理模型，式（1）、（2）、（5）和式（6）～（11）才成立。由以上分析可知，例出现的错误是将取了无限远为电势零点、且只适用于整个空间的静电场能量公式用于了不能取无限远为电势零点、也不适用于整个空间的物理模型（无限大均匀带电平面）的结果。而且例用式（1）求得的均匀带电平行板电容器的能量也不是相互作用能Wi，严格讲，它是电势能。

2.两种静电场能量公式的等价性

2.1静电场能量公式可以写作

U=??dVdV可进一步写为U=??dVdV'

设φ（r）=?dV'则U=?ρ（r）φ（r）dV

由真空中的高斯公式?·E= E=-?φ

可得静电场的泊松公式-?2φ=

将上式带入静电荷的能力公式U=?ρ（r）ρ（r）dV可得U=?-εφ（r）?2φ（r）dV

由-?2φ=带入，得U=?EdV

可见两个计算静电场能量的公式U=??dVdV'和U=?EdV是等价的。

2.2两电荷组成的电场的总能量

电场的能量是根据能量分布在整个电场中，各处的（下转第273页）（上接第264页）能量体密度为U=

计算得到总的能量为U=