提高高中数学解题速度（通用8篇）
1、注重解题规范
学霸很注重解题规范，因为细节决定成败，对生物考试来说，能拿的一分也不能丢。这需要在平时的生物练习中刻苦训练，态度要严谨，千万不要说“考试会注意的”一类的话，平时没有好习惯，在考试时紧张的气氛下，你哪里还有心情去注意这注意那呢?无论是熟悉题型还是生疏题型，都要从审题开始，全面分析过程，建立物理模型，判断遵循的规律，理顺生物解题思路，选择答题方法。特别是似乎做过或见过的“熟面孔”，决不能主观臆断，编者只要稍做改动，结果就会截然不同，这是学霸提高生物解题速度的第一步。
2、熟悉知识点
学霸提醒同学们应十分熟悉生物题中所涉及的内容，做到概念清晰，对定义、公式、定理和规则非常熟悉。你应该知道，解题、做练习只是学习过程中的一个环节。生物解题是为阅读服务的，是检查你是否读懂了教科书，是否深刻理解了其中的概念、定理、公式和规则，能否利用这些概念、定理、公式和规则解决实际问题。解题时，我们的生物概念越清晰，对公式、定理和规则越熟悉，生物解题速度就会提高。因此，我们在解题之前，应通过阅读生物教科书和做简单的练习，先熟悉、记忆和辨别这些基本内容，正确理解其涵义的本质，接着马上就做后面所配的练习，一刻也不要停留，学霸也是这样一步一步走过来的。
3、分析高考生物真题
学霸通过分析一些典型的生物题，去总结一些解题方法，从而提高生物解题速度。很多学生做生物题慢，考试的时候总是感觉时间不够，导致分数很低。生物成绩突出的学霸在谈自己学习心得的时候，都把多总结、分析典型题作为重点来说。多去分析一些典型的题目，把知识点向课本进行反馈，总结典型的解题思路，这对提高做题的正确率和做题速度都有好处。
要多做各种类型的生物题，讲究一看二想三动四回顾。先了解题意，再思考题干和题肢之间的关联，然后才动手，最后总结。当你掌握一定的思维和技巧，总结出相对固定的生物解题思维时，生物解题速度自然会提高的。
高中生物学习方法与经验
1.要掌握规律
规律是事物本身固有的本质的必然联系。生物有自身的规律，如结构与功能相适应，局部与整体相统一，生物与环境相协调，以及从简单到复杂、从低级到高级、从水生到陆生的进化过程。掌握这些规律将有助于生物知识的理解与运用，如学习线粒体就应该抓结构与功能相适应：
①外有双层膜，将其与周围细胞分开，使有氧呼吸集中在一定区域内进行;
②内膜向内折成嵴，扩大了面积，有利于酶在其上有规律地排布，使各步反应有条不紊地进行;
③内膜围成的腔内有基质、酶;
④基质、内膜上的酶为有氧呼吸大部分反应所需，因而线粒体是有氧呼吸的主要场所。这样较易理解并记住其结构与功能。
学习生物同其他学科一样，不能急于求成、一步到位。如学习减数分裂过程，开始只要弄清两次分裂起止，染色体行为、数目的主要变化，而不能在上新课时对染色体行为、染色体、染色单体、DNA数目、与遗传三定律关系、与有丝分裂各期图像区别等一并弄清。后者只能在练习与复习中慢慢掌握。
2.设法突破难点
有些知识比较复杂，或是过于抽象，同学们学起来感到有困难，这时就应化难为易，设法突破难点。通常采用的方法有以下几种：
(1)复杂问题简单化。生物知识中，有许多难点存在于生命运动的复杂过程中，难以全面准确地掌握，而抓主干知识，能一目了然。例如细胞有丝分裂，各时期染色体、纺锤体、核仁、核膜的变化，我们若将其总结为“前期两现两消，末期两消两现”，则其他过程就容易记住了。动物体内三大物质代谢过程复杂，可总结为“一分(分解)二合(合成)三转化”。对一些复杂的问题，如遗传学解题，可将其化解为几个较简单的小题，依次解决。
(2)抽象问题形象化。要尽量借助某种方式，使之与实际联系起来，以便于理解，如DNA的空间结构复杂，老师一旦出示DNA模型，几分钟即可解决问题。因此，学习生物常常需借助图形、表格、模型、标本、录像等形象化的手段来帮助理解一些抽象的知识。
3.经常归纳总结。
在生物新课学习过程中，一般都是将知识分块学习。但当学完一部分内容之后，就应该把各分块的知识联系起来，归纳整理成系统的知识。这样不仅可以在脑子里形成完整的知识结构，而且也便于理解和记忆。
归纳总结要做到“三抓”：一抓顺序，二抓联系，三抓特点。
抓顺序就是要将各知识点按照本身的逻辑关系将其串联。如高中生物的“遗传的物质基础”，可以整理成：配子→合子→细胞核→染色体→DNA→基因→蛋白质→性状。
抓联系就是要掌握各知识点之间的内在联系，理清点线的纵横关系，由线到面，扩展成知识网络。
抓特点就是抓重点、抓主流，进行归纳总结，不能大杂烩，胡子眉毛一把抓;应将次要的东西简化甚至取消。
高三生物备考策略
1.注重主干知识、生物模型知识和方法体系的梳理，重新编码复习内容。高考要求考生具有灵活的思维方式与较快的思维切换，因而二轮复习要寻找新的重组方式和切入角度，对原有知识信息进行再新编码，将已学知识融入到个人的记忆和经验体系中去，以保持复习的新颖度和兴趣。例如，从一个免疫学案例入手，探究该疾病的检测方法、检测原理、病理分析、疾病预防及治疗等。
2.注重生物实验、探究、推理及图形转换能力的提高。生物实验考查主要集中在代谢遗传、调节和细胞等内容，实验、推理和评价是体现高考试题难度的主要题型。复习时要将有关实验思想、实验原理、器材药品使用、实验步骤、结果分析及实验设计与有关知识复习结合起来。要重视典型探究实验的操作，如“检测生物组织中的油脂、糖类和蛋白质”实验，通过这几个典型探究实验的操作与复习，掌握探究实验和实验设计的一般方法和步骤。
3.注重生物知识产生和发展过程内容的复习，如光合作用发现、生长素发现、噬菌体侵染细菌的实验过程等。做好相关知识和概念的比较，找出这些知识点之间的共性和个性，如体液免疫与细胞免疫，抗原、抗体与淋巴因子，复制、转录与翻译，呆小症与侏儒症等。把复习反思与练习、自我提问结合起来，将隐藏在教材中的重要原理、规律及知识间的联系整理出来。但“不要深挖洞，要广积粮”，越是临近高考，越要适当降低复习的难度，越要回归基础，回归教材，把书读薄读精。
九年制义务教育下, 现行中考数学书面考查时间一般为2小时, 在试题题量安排合理的情况下, 参加过数学中考的考生一般觉得考场上气氛紧张.不少考生存在着解题速度过慢的情况, 这些考生常常因为剩下的时间太少而过度紧张, 导致本来会做的题目也做错.因此, 很多考生不能很好地完成答题任务.教师对中学生解题速度慢、答题质量低的现象进行有效研究, 有利于提高初中生的书面应试能力, 提高教师的教学能力, 进而为学校提供更好的生源.
二、学生解题速度慢、答题质量低的原因
(1) 基本知识掌握不牢.学生没掌握数学的基本知识, 更别谈各基础知识之间的联系与区别; (2) 不能挖掘隐含条件.由于题目条件较多, 学生不能针对题目的每一句话进行分解, 挖掘隐藏条件; (3) 不能找出基本图形.有时题目图形较复杂, 学生不能从复杂的图形中找出基本图形; (4) 解题的基本条件不够.学生写字速度慢、阅读速度不快、理解能力和计算能力较差、有边做题边玩的习惯; (5) 思维不严谨.很多学生拿到题闷头就做, 发现做错了才回头看;也有的学生看到题目不熟悉, 就犹豫要不要先做, 导致不知不觉地浪费了时间.
三、提高学生解题速度、答题质量的策略
1.从教师入手
(1) 教学中培养学生的数学思维习惯
首先, 培养学生用心听课的习惯.其次, 培养学生勤奋好学的习惯.教师除了课堂常规的教学与训练外, 还应注重调整学生对数学的兴趣和听课情绪的培养, 使学生始终处于积极的学习状态.教师设计好有利于学生继续展开思维的问题, 督促学生进行解题后的反思和总结, 有利于思维的深入发展.最后, 培养学生规范、独立、按时完成作业的良好习惯.
(2) 教学中注重各知识点间的联系
初中数学对概念的要求是强化理解记忆, 如果学生采用机械记忆的方法, 只会事倍功半.因此, 教师一定要引导学生, 把相关的数学概念知识形象化、具体化, 减少学生在解题时出现的错误, 减少各知识间的干扰.
(3) 教学中贯彻“活、精”的原则
“活”即教学方法和教学手段要灵活, 要尽可能采用启发式教学, 注重学生思维能力的培养, 加强“想象、联想、转化”的思维训练.如针对应用题, 一般可采用图表法来分析题意, 列出方程或方程组, 从而求解.“精”即要做到精选、精讲、精练、精评, 不搞“题海战术”.数学题型多, 内容广, 学生要想在规定的考试时间顺利地考出好成绩, 除了平时要弄清每一个知识点、题型外, 还应掌握规律性的结论, 使其在解题过程中发挥作用.教师在平时课堂教学中, 精选一些题目进行讲解, 引导学生归纳总结一些常见的、有用的结论, 有利于开阔学生的思路, 提高解题速度.如讲“一次函数的性质”时, 可以用“正撇负捺”来概括;在讲“一次函数的平移”时, 可以用“上加下减”来总结.
2.从学生入手
(1) 注重环节训练, 培养思维能力
1思维速度的训练.思维速度的训练主要依靠课堂.如刚学完新课, 学生可选择课本中的练习作为知识点过关题;也可找覆盖面广、概念性强、灵活性大的选择题、判断题、简答题进行专项训练, 以提高快速答题的能力.2思维质量的训练.学生可利用课余时间展开解题思路的讨论, 要尽可能考虑一题多解或多题一解, 剖析各种解题方法的特点, 选择简捷而有创造性的解题思路, 以便提高分析问题、解决问题的能力.3逆向思维的训练.逆向思维的训练是学生倒过来想问题的过程, 可以通过分析法从结论出发, 开阔思路, 找出解题途径.
(2) 多思考重技巧, 巧计算重分析
尽量减少死记硬背, 多注入思考的含量, 把思维和技巧摆在第一位.比如做选择题时, 用特殊值法、排除法等.侧重判断、分析、理解等比例来解题, 计算过程要有技巧, 要注重挖掘题目中隐含的条件, 多角度理解、综合分析.
(3) 注重解题反思, 提高解题能力
一道数学题解出答案之后, 必须认真进行如下反思:本题涉及哪些知识点?命题者的意图是什么?解决本题用了什么方法?命题者所给的条件是否全面?所解的结论是否正确、合理?解题答案是否全面?本题渗透了什么样的数学思想?本题有无其他解法?等等.因为积极反思既能确保解题的正确性, 达到查漏补缺的目的, 又能提高学生的综合解题能力, 达到一题多解和多题一解的目的, 使学生在解题中对各种数学方法、思想应用自如.
总之, 只要师生共同努力, 牢牢抓住课前、课中、课后的训练, 学生的解题速度和解题质量定会得到较大的提高.
参考文献
一、利用定义简捷解题
数学的定理、公式、性质、法则都是建立在相应的定义(或公理)的基础上，因此，利用定义解题是一种本质的方法。解题时若能追根溯源，回归到定义上，有时可以起到事半功倍的效果，避免繁杂的代数运算。
例1 求（1+x+）的展开式里的常数项。
分析：这道题惯用的方法是把三项式转化成二项式来做，这样处理比较繁琐，极易在运算上造成失误，但是利用定义效果就不一样。
解：原式=（1+x+）（1+x+）……（1+x+）。
为了得到常数项，可分以下几类讨论得到：
①10个括号中都取1，得常数C1010。②10个括号中取1个1，6个x，3个，得常数C101C96C33。③10个括号中取4个1，4个x，2个，得常数C104C64C22。④10个括号中取7个1，2个x，1个，得常数C107C32C11。
∴常数项为C1010+C101C96C33+C104C64C22 +C107C32C11 =4351。
二、改写命题简捷解题
通过改写命题，使原题中的本质内容尽可能的直观、明了的表现出来，这往往有利于达到简捷解题的目的。
例2设不等式2x-1＞m（x2-1）对满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围。
分析：此题可以改写成：设不等式2m－1＞x（m2-1）对满足|x|≤2的一切x的值都成立，求m的取值范围。
解：原不等式可化为m（x2-1）+（1-2x）＜0。
设函数f（m）=（x2－1）m+（1－2x），则此函数为一次或常数函数，要使f（m）＜0，在－2≤m≤2上恒成立，只要，解得。
三、利用分析法简捷解题
当解决数学问题的思维受阻时，可不妨从结论出发，利用分析法的思路去寻求解决方法，也许可以取到“柳暗花明又一村”的效果。
例3已知F(θ) =sin2θ+sin(θ+α)2+ sin2（θ+β），是否存在着满足0≤α≤β≤π的α，β使得F(θ)的值不随θ变化的常数。
分析：本题为了探求α、β的可能情况，可以取θ的一些特殊值，构造关于α、β的方程，然后再对解的情况进行分析。
解：若满足条件的α、β存在，分别令θ=0，－α，－β， 。则由F（0） = F（－α） =F（－β） =F（）得到：sin2α+sin2β= sin2α+sin2（β－α）= sin2β+sin2（α－β）=1+cos2α+cos2β
易得sin2α+sin2β= sin2(β－α) =
由0≤α≤β≤π，知0≤β－α≤π，
则sinα=sinβ=sin(β－α)=
∴α=，β= ，此时f（θ）=
事实上，当α=，β= 时，
∴存在着满足条件α=，β= ，使得F(θ)=(常数)。
四、利用间接法简捷解题
很多数学问题若用直接法解决较麻烦，不妨从其它方面入手做也许会显得方便得多。
例4若关于x的方程4x+a·2x+a+1=0有实数解，求实数a的取值范围[]。
分析：这题可以看成是关于2x的一元二次方程，如果换元后采用一元二次方程在区间（0，+∞）上有实数解来直接来求参数a的取值范围较繁且还算量大，然而，从不同的角度去考虑就可找到较为简捷的解决方法。
解：令t=2（t＞0），则原方程可化为t2+at+a+1=0
变形后得当且仅当t=√2－1时取等号。
五、利用换元法简捷解题
换元法就是引入一个或几个新变量代换原式中的某些量，有时能起到化繁为简、化难为易，实现未知向已知转化的作用。
例5在曲线C：x2+4y2=36上求一点，使其到直线 l： y=-x+4的距离最大，并求最大距离。
分析：此题若直接设点的坐标为（x，y），利用距离公式d=
是很难求出的。
解：由曲线C：+ =1可设l与已知直线平行且和椭圆相切，切点为M（6cosθ，3sinθ），则 d=
当sin（θ+）=－1，即θ=2kπ－（k∈z）时，dmax=
此时M为（－）
六、利用数形结合法简捷解题
数形结合是抽象思维与形象思维有机的结合，恰当地通过“以形助数”或“以数解形”可以提高解题速度，优化解题过程。
例6求函数f（x）= 的值域。
分析：本题用代数方法直接求解难于解决，若能数形结合就易于求解。
数想形，从而原问题转化为：求半圆弧（x－2）2+y2=1（y≥0）上的点P与定点A（-1，-3）的连线的斜率的取值范围，如图可得KAB≤K≤KAC，易求当AC与半圆弧相切时，KAC=，且KAB=，
1.做题训练。建议同学们无论是出于冲刺角度还是做题速度训练角度，都用简单题和中等题来训练。并且顺序是从选择题开始，然后是简单、中等的解答题，而后是填空题，最后有时间了才去练习练习所谓的“最后一题”。在选择题训练上，减少死记硬算，多加入思考的比重。要充分利用题目和选项之间的暗示，多比较少计算。选择题是只考虑结果而不考虑中间过程的题型，要始终本着“少算少错，多算多错”的道理，加大理解分析判断等比例做题，这样不仅可以提高选择题的准确率，也能大量缩短考试时间，达到短期内提升成绩、提高做题速度的目的。然后是中等题和简单题，通过总结做题过程的思维和解答步骤，你会发现即使是不同的题型，在解题思路上有太多的相似点。把这些相似点总结出来，你会发现可以应用到各个题型。数学除了排列组合，其他题只要你能正确地用式子或未知数表达出题意，通过补充题目和所求差距，或寻找问题成立的前提条件(正向推导和逆向推导)，都能够把试题拿下。
2.能力的训练方法。这里针对计算、写字慢、阅读有问题的同学。计算能力不足是由于逻辑推导能力不足所导致的，这一点在短时间内只能通过大量的计算推导来提高。在训练的时候同样多思考式子之间的转换与关联，多观察同样或不同的字母之间所代表的含义以及转换关系。至于写字速度慢，先弄清楚自己为什么写得慢，然后逐步加快即可。阅读慢或者记不住的同学，平时多朗诵，多读适中篇幅的一些文章或题目，逐渐加长即可。同时，对于常用的公式，如数学中的乘法公式、三角函数公式，常用的数字、特殊角的三角函数值、常见题的常规做法，都要熟记在心。
3.性格的训练。好动的同学平时做题的时候可以强迫自己不断继续坚持做下去，短期内养成“稳当”的特点即可。做题时应先易后难，逐步增加习题的难度。人们认识事物的过程都是从简单到复杂，一步一步由表及里地深入下去。一个人的能力也是通过锻炼逐步增长起来的。若简单的问题解多了，从而使概念清晰了，对公式、定理以及解题步骤熟悉了，解题时就会形成跳跃性思维，解题的速度就会大大提高。养成了习惯，遇到一般的难题，同样可以保持较高的解题速度。
2提高高中生的数学解题能力
一、发挥例题的重要作用
例题是教材的一个重要组成部分，具有典型性、示范性，与所学知识紧密联系，能加深学生对知识的理解，能启迪学生的思维，培养学生的能力.同时，重视课本例题，能引导学生重视教材，做到“以本为本”.通过发挥和挖掘课本例题的功能，能够培养学生发现问题的能力，从而提高学生的解题能力.
二、注重学生的体验
揭示教学过程，既是数学学科体系的要求，也是人类认识规律的要求，同时是培养学生能力的需要.从一定意义上讲，学生要利用数学解题过程来学习方法和技能训练，较之掌握知识本身更具有重要意义.教学中要揭示数学问题的提出或产生过程，新旧知识的衔接、联系和区别;又要揭示解决问题的思维过程和思维方法;还要对解题思路、解题方法、解题规律进行概括和总结.教师要以启发诱导为基础，通过学生自己的活动来揭示获取数学知识的思维过程，进而达到发展学生能力的目的.
三、加强基本技能、技巧的培养
技能、技巧的培养，对于提高学生的解题能力极为重要.教师应让学生掌握“换元”等快速解题的技巧，要求他们利用“一题多解”、“一题多证”等方法去解答同一题目.长此以往，学生的解题能力就会得到提高.
四、注重学生解题方法的培养
“数学方法是在数学活动中解决数学问题的具体途径、手段和方式的总称”.所谓方法，一是要重视教法研究，既要有利于学生接受理解，又不能包办代替，让学生充分动脑、动口、动手，掌握数学知识、形成过程、解题方法;二是要重视学法指导，即重视数学方法教学.数学学法指导范围广泛，内容丰富，它包括指导学生阅读数学教材、审题答题、进行知识体系的概括总结，进行自我检查和自我评定，对解题过程和数学知识体系、技能训练进行回顾和反思等.
3培养学生创新能力及创新意识的途径及方法
(一)培养学生创新能力的首要条件是教师要具有创新意识
改变以知识传授为中心的教学思路，以培养学生的创新意识和实践能力为目标，从教学思想到教学方式上，大胆突破，确立创新性教育原则。
建立新型的师生关系，创设宽松氛围、竞争合作的班风，营造创造性思维的环境。教师要帮助学生自主学习，独立思考。宽松、和谐、自由、平等、竞争的环境，利于激发学生的思维和灵感，易于知识的新创。
(二)学生的创新兴趣是培养和发展创新能力的关键
(1)利用“学生渴求他们未知的、力所能及的问题”的心理，培养学生的创新兴趣。在教学中恰如其分的出示问题，问题高低适度，问题是学生想知道的，这样问题会吸引学生，引发强烈的兴趣和求知欲，并提出新质疑，自觉的去解决，去创新。
(2)激发学生的好奇心、求知欲和好胜心，培养学生创新的兴趣，从而培养创新精神和实践能力 。在活动中充分展示自我，找到生活与数学的结合点，感受自己胜利的心理，体会数学给他们带来的成功机会和快乐，培养创新的兴趣。
(3)借助于数学的和谐美培养学生的数学学习兴趣。在现实生活中大量的图形是产生几何图形的原形，它们具有很强的审美价值，在教学中宜充分利用图形的线条美、色彩美，给学生最大的感知，充分体会数学图形给生活带来的美，使他们产生创造图形美的欲望，驱使他们创新，维持长久的创新兴趣。
(三)改革教学方法，以培养创新能力为重点
(1)营造创造性活动的环境，发扬学生的主体作用
教师必须有培养创新思维的意识，自觉地，积极地营造课堂民主气氛，主动地转变教育观念，转换主体角色，鼓励学生去发现，去创新。
(2)激发创造力，鼓励广泛阅读，要求善于自学
配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简.何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方.有时也将其称为“凑配法”.最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方.它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题.配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)＝a＋2ab＋b，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：
a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab；
a＋ab＋b＝(a＋b)－ab＝(a－b)＋3ab＝(a＋)＋（b）；
a＋b＋c＋ab＋bc＋ca＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]
a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)－2(ab－bc－ca)＝…
结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：
1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）；
x＋＝(x＋)－2＝(x－)＋2
；……
等等.Ⅰ、再现性题组：
1.在正项等比数列{a}中，asa+2asa+aa=25，则
a＋a＝_______.2.方程x＋y－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____.A. B.k<或k>1 C.k∈R D.k＝或k＝1 3.已知sinα＋cosα＝1，则sinα＋cosα的值为______.A.1 B.－1 C.1或－1 D.0 4.函数y＝log (－2x＋5x＋3)的单调递增区间是_____.A.（－∞,] B.[,+∞) C.(－,] D.[,3) 5.已知方程x+(a-2)x+a-1=0的两根x、x，则点P(x,x)在圆x+y=4上，则实数a＝_____.【简解】 1小题：利用等比数列性质aa＝a，将已知等式左边后配方（a＋a）易求.答案是：5.2小题：配方成圆的标准方程形式(x－a)＋(y－b)＝r，解r>0即可，选B.3小题：已知等式经配方成(sinα＋cosα)－2sinαcosα＝1，求出sinαcosα，然后求出所求式的平方值，再开方求解.选C.4小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解.选D.5小题：答案3－.Ⅱ、示范性题组： 例1.已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____.A.2 B.C.5 D.6 【分析】 先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z，则,而欲求对角线长，将其配凑成两已知式的组合形式可得.【解】设长方体长宽高分别为x,y,z，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24”而得：.长方体所求对角线长为：＝＝＝5，所以选B.【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解.这也是我们使用配方法的一种解题模式.例2.设方程x＋kx＋2=0的两实根为p、q，若()+()≤7成立，求实数k的取值范围.【解】方程x＋kx＋2=0的两实根为p、q，由韦达定理得：p＋q＝－k，pq＝2,()+()＝＝＝＝≤7，解得k≤－或k≥ .又 ∵p、q为方程x＋kx＋2=0的两实根，∴ △＝k－8≥0即k≥2或k≤－2 综合起来，k的取值范围是：－≤k≤－ 或者 ≤k≤.【注】 关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“Δ”；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理.本题由韦达定理得到p＋q、pq后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成p＋q与pq的组合式.假如本题不对“△”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“△”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视.例3.设非零复数a、b满足a＋ab＋b=0，求()＋() .【分析】 对已知式可以联想：变形为()＋()＋1＝0，则＝ω （ω为1的立方虚根）；或配方为(a＋b)＝ab .则代入所求式即得.【解】由a＋ab＋b=0变形得：()＋()＋1＝0，设ω＝，则ω＋ω＋1＝0，可知ω为1的立方虚根，所以：＝，ω＝＝1.又由a＋ab＋b=0变形得：(a＋b)＝ab，所以 ()＋()＝()＋()＝()＋()＝ω＋＝2 .【注】 本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根，活用ω的性质，计算表达式中的高次幂.一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开.【另解】由a＋ab＋b＝0变形得：()＋()＋1＝0，解出＝后，化成三角形式，代入所求表达式的变形式()＋()后，完成后面的运算.此方法用于只是未联想到ω时进行解题.假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由a＋ab＋b＝0解出：a＝b，直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的计算.二、换元法 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法.换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理.换元法又称辅助元素法、变量代换法.通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来.或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化.它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用.换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等.局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现.例如解不等式：4＋2－2≥0，先变形为设2＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题.三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元.如求函数y＝＋的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sinα，α∈[0,]，问题变成了熟悉的求三角函数值域.为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要.如变量x、y适合条件x＋y＝r（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题.均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝＋t，y＝－t等等.我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大.如上几例中的t>0和α∈[0,].Ⅰ、再现性题组： 1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________.2.设f(x＋1)＝log(4－x) （a>1），则f(x)的值域是_______________.3.已知数列{a}中，a＝－1，a·a＝a－a，则数列通项a＝___________.4.设实数x、y满足x＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________.5.方程＝3的解是_______________.6.不等式log(2－1) ·log(2－2)〈2的解集是_______________.【简解】1小题：设sinx+cosx＝t∈[－,]，则y＝＋t－，对称轴t＝－1，当t＝，y＝＋； 2小题：设x＋1＝t (t≥1)，则f(t)＝log[-(t-1)＋4]，所以值域为(－∞,log4]； 3小题：已知变形为－＝－1,设b＝，则b＝－1,b＝－1＋(n－1)(-1)＝－n，所以a＝－； 4小题：设x＋y＝k，则x－2kx＋1＝0,△＝4k－4≥0,所以k≥1或k≤－1； 5小题：设3＝y，则3y＋2y－1＝0,解得y＝，所以x＝－1； 6小题：设log(2－1)＝y，则y(y＋1)<2，解得－2 例1.实数x、y满足4x－5xy＋4y＝5 （①式），设S＝x＋y，求＋的值.【分析】 由S＝x＋y联想到cosα＋sinα＝1,于是进行三角换元，设代入①式求S和S的值.【解】设代入①式得： 4S－5S·sinαcosα＝5，解得 S＝； ∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴ ≤≤ ∴ ＋＝＋＝＝ 此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin2α＝的有界性而求，即解不等式：||≤1.这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”.【另解】 由S＝x＋y，设x＝＋t，y＝－t，t∈[－，]，则xy＝±代入①式得：4S±5=5，移项平方整理得 100t+39S－160S＋100＝0 .∴ 39S－160S＋100≤0 解得：≤S≤，∴ ＋＝＋＝＝ 【注】 此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S＝x＋y与三角公式cosα＋sinα＝1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题.第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S＝x＋y而按照均值换元的思路，设x＝＋t、y＝－t，减少了元的个数，问题且容易求解.另外，还用到了求值域的几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法.和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x、y时，可以设x＝a＋b，y＝a－b，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式.本题设x＝a＋b，y＝a－b，代入①式整理得3a＋13b＝5，求得a∈[0,]，所以S＝(a－b)＋(a＋b)＝2(a＋b)＝＋a∈[,]，再求＋的值.例2． △ABC的三个内角A、B、C满足：A＋C＝2B，＋＝－，求cos的值.【分析】 由已知“A＋C＝2B”和“三角形内角和等于180°”的性质，可得 ；由“A＋C＝120°”进行均值换元，则设，再代入可求cosα即cos.【解】由△ABC中已知A＋C＝2B，可得,由A＋C＝120°，设，代入已知等式得： ＋＝＋＝＋＝＝＝－2,解得：cosα＝，即：cos＝.【另解】由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°.所以＋＝－＝－2，设＝－＋m，＝－－m，所以cosA＝，cosC＝，两式分别相加、相减得：cosA＋cosC＝2coscos＝cos＝，cosA－cosC＝－2sinsin＝－sin＝，即：sin＝－，＝－，代入sin＋cos＝1整理得：3m－16m－12＝0,解出m＝6，代入cos＝＝.【注】 本题两种解法由“A＋C＝120°”、“＋＝－2”分别进行均值换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练.假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°.所以＋＝－＝－2，即cosA＋cosC＝－2cosAcosC，和积互化得：2coscos＝－[cos(A+C)＋cos(A-C)，即cos＝－cos(A-C)＝－(2cos－1)，整理得：4cos＋2cos－3＝0,解得：cos＝ y，－ x 例3.设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a的最大值和最小值.【解】 设sinx＋cosx＝t，则t∈[-,]，由(sinx＋cosx)＝1＋2sinx·cosx得：sinx·cosx＝ ∴ f(x)＝g(t)＝－(t－2a)＋ （a>0），t∈[-,] t＝-时，取最小值：－2a－2a－ 当2a≥时，t＝，取最大值：－2a＋2a－； 当0<2a≤时，t＝2a，取最大值： .∴ f(x)的最小值为－2a－2a－，最大值为.【注】 此题属于局部换元法，设sinx＋cosx＝t后，抓住sinx＋cosx与sinx·cosx的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解.换元过程中一定要注意新的参数的范围（t∈[-,]）与sinx＋cosx对应，否则将会出错.本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论.一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f(sinx±cosx，sinxcsox)，经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究.例4.设对所于有实数x，不等式xlog＋2x log＋log>0恒成立，求a的取值范围.【分析】不等式中log、log、log三项有何联系？进行对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法.【解】 设log＝t，则log＝log＝3＋log＝3－log＝3－t，log＝2log＝－2t，代入后原不等式简化为（3－t）x＋2tx－2t>0，它对一切实数x恒成立，所以，解得 ∴ t<0即log<0，0<<1，解得0 (②式)，求的值.【解】 设＝＝k，则sinθ＝kx，cosθ＝ky，且sinθ＋cosθ＝k(x+y)＝1,代入②式得： ＋＝＝ 即：＋＝ 设＝t，则t＋＝,解得：t＝3或 ∴＝±或± 【另解】 由＝＝tgθ，将等式②两边同时除以，再表示成含tgθ的式子：1＋tgθ＝＝tgθ，设tgθ＝t，则3t—10t＋3＝0，∴t＝3或，解得＝±或±.【注】 第一种解法由＝而进行等量代换，进行换元，减少了变量的个数.第二种解法将已知变形为＝，不难发现进行结果为tgθ，再进行换元和变形.两种解法要求代数变形比较熟练.在解高次方程时，都使用了换元法使方程次数降低.例6.实数x、y满足＋＝1，若x＋y－k>0恒成立，求k的范围.【分析】由已知条件＋＝1，可以发现它与a＋b＝1有相似之处，于是实施三角换元.【解】由＋＝1，设＝cosθ，＝sinθ，即 代入不等式x＋y－k>0得3cosθ＋4sinθ－k>0，即k<3cosθ＋4sinθ＝5sin(θ+ψ)，所以k<-5时不等式恒成立.【注】本题进行三角换元，将代数问题（或者是解析几何问题）化为了含参三角不等式恒成立的问题，再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题，从而求出参数范围.一般地，在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时，经常使用“三角换元法”.本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角坐标系，不等式ax＋by＋c>0 (a>0)所表示的区域为直线ax＋by＋c＝0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分.此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上x＋y－k>0的区域.即当直线x＋y－k＝0在与椭圆下部相切的切线之下时.当直线与椭圆相切时，方程组有相等的一组实数解，消元后由△＝0可求得k＝－3,所以k<-3时原不等式恒成立.y x x＋y－k>0 k 平面区域 三、待定系数法 要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等.待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程.使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解.例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解.使用待定系数法，它解题的基本步骤是： 第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式； 第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程； 第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析： ① 利用对应系数相等列方程； ② 由恒等的概念用数值代入法列方程； ③ 利用定义本身的属性列方程； ④ 利用几何条件列方程.比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程.Ⅰ、再现性题组： 1.设f(x)＝＋m，f(x)的反函数f(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为_____.A.,－2 B.－，2 C.,2 D.－，－2 2.二次不等式ax＋bx＋2>0的解集是(－,)，则a＋b的值是_____.A.10 B.－10 C.14 D.－14 3.在(1－x)（1＋x）的展开式中，x的系数是_____.A.－297 B.－252 C.297 D.207 4.函数y＝a－bcos3x (b<0)的最大值为，最小值为－，则y＝－4asin3bx的最小正周期是_____.5.与直线L：2x＋3y＋5＝0平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是_______________.6.与双曲线x－＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是____________.【简解】1小题：由f(x)＝＋m求出f(x)＝2x－2m，比较系数易求，选C； 2小题：由不等式解集(－,)，可知－、是方程ax＋bx＋2＝0的两根，代入两根，列出关于系数a、b的方程组，易求得a＋b，选D； 3小题：分析x的系数由C与(－1)C两项组成，相加后得x的系数，选D； 4小题：由已知最大值和最小值列出a、b的方程组求出a、b的值，再代入求得答案； 5小题：设直线L’方程2x＋3y＋c＝0，点A(1,-4)代入求得C＝10，即得2x＋3y＋10＝0； 6小题：设双曲线方程x－＝λ，点(2,2)代入求得λ＝3，即得方程－＝1.Ⅱ、示范性题组： 例1 已知函数y＝的最大值为7，最小值为－1，求此函数式.【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数m、n的值；已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”.【解】 函数式变形为： (y－m)x－4x＋(y－n)＝0，x∈R,由已知得y－m≠0 ∴ △＝(－4)－4(y－m)(y－n)≥0 即： y－(m＋n)y＋(mn－12)≤0 ① 不等式①的解集为(-1,7)，则－1、7是方程y－(m＋n)y＋(mn－12)＝0的两根，代入两根得： 解得：或 ∴ y＝或者y＝ 此题也可由解集(-1,7)而设(y＋1)(y－7)≤0,即y－6y－7≤0，然后与不等式①比较系数而得：，解出m、n而求得函数式y.【注】 在所求函数式中有两个系数m、n需要确定，首先用“判别式法”处理函数值域问题，得到了含参数m、n的关于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求参数m、n.两种方法可以求解，一是视为方程两根，代入后列出m、n的方程求解；二是由已知解集写出不等式，比较含参数的不等式而列出m、n的方程组求解.本题要求对一元二次不等式的解集概念理解透彻，也要求理解求函数值域的“判别式法”：将y视为参数，函数式化成含参数y的关于x的一元二次方程，可知其有解，利用△≥0,建立了关于参数y的不等式，解出y的范围就是值域，使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程.例2.设椭圆中心在(2,-1)，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是－，求椭圆的方程.【分析】求椭圆方程，根据所给条件，确定几何数据a、b、c之值，问题就全部解决了.设a、b、c后，由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一个方程，再将焦点与长轴较近端点的距离转化为a－c的值后列出第二个方程.【解】 设椭圆长轴2a、短轴2b、焦距2c，则|BF’|＝a y B’ x A F O’ F’ A’ B ∴ 解得： ∴ 所求椭圆方程是：＋＝1 也可有垂直关系推证出等腰Rt△BB’F’后，由其性质推证出等腰Rt△B’O’F’，再进行如下列式，更容易求出a、b的值.【注】 圆锥曲线中，参数（a、b、c、e、p）的确定，是待定系数法的生动体现；如何确定，要抓住已知条件，将其转换成表达式.在曲线的平移中，几何数据（a、b、c、e）不变，本题就利用了这一特征，列出关于a－c的等式.一般地，解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是：设方程（或几何数据）→几何条件转换成方程→求解→已知系数代入.例3.是否存在常数a、b、c，使得等式1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(an＋bn＋c)对一切自然数n都成立？并证明你的结论.【分析】是否存在，不妨假设存在.由已知等式对一切自然数n都成立，取特殊值n＝1、2、3列出关于a、b、c的方程组，解方程组求出a、b、c的值，再用数学归纳法证明等式对所有自然数n都成立.【解】假设存在a、b、c使得等式成立，令：n＝1，得4＝(a＋b＋c)；n＝2，得22＝(4a＋2b＋c)；n＝3，得70＝9a＋3b＋c.整理得：,解得，于是对n＝1、2、3，等式1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(3n＋11n＋10)成立，下面用数学归纳法证明对任意自然数n，该等式都成立： 假设对n＝k时等式成立，即1·2＋2·3＋…＋k(k＋1)＝(3k＋11k＋10)； 当n＝k＋1时，1·2＋2·3＋…＋k(k＋1)＋(k＋1)(k＋2)＝(3k＋11k＋10) ＋(k＋1)(k＋2)＝(k＋2)（3k＋5）＋(k＋1)(k＋2)＝（3k＋5k＋12k＋24）＝[3(k＋1)＋11(k＋1)＋10]，也就是说，等式对n＝k＋1也成立.综上所述，当a＝8、b＝11、c＝10时，题设的等式对一切自然数n都成立.【注】建立关于待定系数的方程组，在于由几个特殊值代入而得到.此种解法中，也体现了方程思想和特殊值法.对于是否存在性问题待定系数时，可以按照先试值、再猜想、最后归纳证明的步骤进行.本题如果记得两个特殊数列1＋2＋…＋n、1＋2＋…＋n求和的公式，也可以抓住通项的拆开，运用数列求和公式而直接求解：由n(n＋1)＝n＋2n＋n得S＝1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(1＋2＋…＋n)＋2(1＋2＋…＋n)＋(1＋2＋…＋n)＝＋2×＋＝(3n＋11n＋10)，综上所述，当a＝8、b＝11、c＝10时，题设的等式对一切自然数n都成立.例4.有矩形的铁皮，其长为30cm，宽为14cm，要从四角上剪掉边长为xcm的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问x为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积是多少？ 【分析】实际问题中，最大值、最小值的研究，先由已知条件选取合适的变量建立目标函数，将实际问题转化为函数最大值和最小值的研究.【解】 依题意，矩形盒子底边边长为(30－2x)cm，底边宽为(14－2x)cm，高为xcm.∴ 盒子容积 V＝(30－2x)(14－2x)x＝4(15－x)(7－x)x，显然:15－x>0，7－x>0，x>0.设V＝(15a－ax)(7b－bx)x (a>0,b>0），要使用均值不等式，则 解得：a＝，b＝，x＝3 .从而V＝(－)(－x)x≤()＝×27＝576.所以当x＝3时，矩形盒子的容积最大，最大容积是576cm.【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件，当条件不满足时要凑配系数，可以用“待定系数法”求.本题解答中也可以令V＝(15a－ax)(7－x)bx 或 (15－x)(7a－ax)bx，再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组，求出三项该进行凑配的系数，本题也体现了“凑配法”和“函数思想”.四、定义法 所谓定义法，就是直接用数学定义解题.数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来.定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念.定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点.简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象.用定义法解题，是最直接的方法，本讲让我们回到定义中去.Ⅰ、再现性题组： 1.已知集合A中有2个元素，集合B中有7个元素，A∪B的元素个数为n，则______.A.2≤n≤9 B.7≤n≤9 C.5≤n≤9 D.5≤n≤7 2.设MP、OM、AT分别是46°角的正弦线、余弦线和正切线，则_____.A.MP D.OM 3.复数z＝a＋2ｉ，z＝－2＋ｉ，如果|z|< |z|，则实数a的取值范围是_____.A.－1 B.a>1 C.a>0 D.a<－1或a>1 4.椭圆＋＝1上有一点P，它到左准线的距离为，那么P点到右焦点的距离为_____.A.8 C.7.5 C.D.3 5.奇函数f(x)的最小正周期为T，则f(－)的值为_____.A.T B.0 C.D.不能确定 6.正三棱台的侧棱与底面成45°角，则其侧面与底面所成角的正切值为_____.【简解】1小题：利用并集定义，选B； 2小题：利用三角函数线定义，作出图形，选B； 3小题：利用复数模的定义得<，选A； 4小题：利用椭圆的第二定义得到＝e＝，选A； 5小题：利用周期函数、奇函数的定义得到f(－)＝f()＝－f(－)，选B； 6小题：利用线面角、面面角的定义，答案2.Ⅱ、示范性题组： 例1.已知z＝1＋ｉ，① 设w＝z＋3－4，求w的三角形式； ② 如果＝1－ｉ，求实数a、b的值.【分析】代入z进行运算化简后，运用复数三角形式和复数相等的定义解答.【解】由z＝1＋ｉ，有w＝z＋3－4＝(1＋ｉ)＋3－4＝2ｉ＋3(1－ｉ)－4＝－1－ｉ，w的三角形式是（cos＋ｉsin）； 由z＝1＋ｉ，有＝＝＝(a＋2)－(a＋b)ｉ.由题设条件知：(a＋2)－(a＋b)ｉ＝1＋ｉ； 根据复数相等的定义，得：，解得.【注】求复数的三角形式，一般直接利用复数的三角形式定义求解.利用复数相等的定义，由实部、虚部分别相等而建立方程组，这是复数中经常遇到的.例2.已知f(x)＝－x＋cx，f(2)＝－14，f(4)＝－252，求y＝logf(x)的定义域，判定在(,1)上的单调性.【分析】要判断函数的单调性，必须首先确定n与c的值求出函数的解析式，再利用函数的单调性定义判断.【解】 解得：，∴ f(x)＝－x＋x 解f(x)>0得：0 设 x+x>，x+x> ∴ (x+x)（x+x)〉×＝1 ∴ f(x)－f(x)>0即f(x)在(,1)上是减函数 ∵ <1 ∴ y＝logf(x) 在(,1)上是增函数.【注】关于函数的性质：奇偶性、单调性、周期性的判断，一般都是直接应用定义解题.本题还在求n、c的过程中，运用了待定系数法和换元法.例3.求过定点M(1,2)，以x轴为准线，离心率为的椭圆的下顶点的轨迹方程.【分析】运动的椭圆过定点M，准线固定为x轴，所以M到准线距离为2.抓住圆锥曲线的统一性定义，可以得到＝建立一个方程，再由离心率的定义建立一个方程.y M F A x 【解】设A(x,y)、F(x,m)，由M(1,2)，则椭圆上定点M到准线距离为2，下顶点A到准线距离为y.根据椭圆的统一性定义和离心率的定义，得到：，消m得：（x－1）＋＝1，所以椭圆下顶点的轨迹方程为（x－1）＋＝1.【注】求曲线的轨迹方程，按照求曲线轨迹方程的步骤，设曲线上动点所满足的条件，根据条件列出动点所满足的关系式，进行化简即可得到.本题还引入了一个参数m,列出的是所满足的方程组，消去参数m就得到了动点坐标所满足的方程，即所求曲线的轨迹方程.在建立方程组时，巧妙地运用了椭圆的统一性定义和离心率的定义.一般地，圆锥曲线的点、焦点、准线、离心率等问题，常用定义法解决；求圆锥曲线的方程，也总是利用圆锥曲线的定义求解，但要注意椭圆、双曲线、抛物线的两个定义的恰当选用.五、数学归纳法 归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法.归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种.不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的.完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来.数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用.它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限.这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或n≥n且n∈N）结论都正确”.由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳.运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题.运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等.Ⅰ、再现性题组： 1.用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2·1·2…(2n－1) （n∈N），从“k到k＋1”，左端需乘的代数式为_____.A.2k＋1 B.2(2k＋1) C.D.2.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋ (n>1)时，由n＝k (k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的代数式的个数是_____.A.2 B.2－1 C.2 D.2＋1 3.某个命题与自然数n有关，若n＝k (k∈N)时该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立.现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得______.A.当n＝6时该命题不成立 B.当n＝6时该命题成立 C.当n＝4时该命题不成立 D.当n＝4时该命题成立 4.数列{a}中，已知a＝1，当n≥2时a＝a＋2n－1，依次计算a、a、a后，猜想a的表达式是_____.A.3n－2 B.n C.3 D.4n－3 5.用数学归纳法证明3＋5 (n∈N)能被14整除，当n＝k＋1时对于式子3＋5应变形为_______________________.6.设k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱对角面的个数为f(k+1)＝f(k)＋_________.【简解】1小题：n＝k时，左端的代数式是(k＋1)(k＋2)…(k＋k),n＝k＋1时，左端的代数式是(k＋2)(k＋3)…(2k＋1)(2k＋2)，所以应乘的代数式为，选B； 2小题：（2－1）－（2－1）＝2，选C； 3小题：原命题与逆否命题等价，若n＝k＋1时命题不成立，则n＝k命题不成立，选C.4小题：计算出a＝1、a＝4、a＝9、a＝16再猜想a，选B； 5小题：答案（3＋5）3＋5（5－3）； 6小题：答案k－1.Ⅱ、示范性题组： 例1.已知数列，得，…，….S为其前n项和，求S、S、S、S，推测S公式，并用数学归纳法证明.【解】 计算得S＝，S＝，S＝，S＝，猜测S＝ (n∈N).当n＝1时，等式显然成立； 假设当n＝k时等式成立，即：S＝，当n＝k＋1时，S＝S＋ ＝＋ ＝ ＝＝,由此可知，当n＝k＋1时等式也成立.综上所述，等式对任何n∈N都成立.【注】 把要证的等式S＝作为目标，先通分使分母含有(2k＋3)，再考虑要约分，而将分子变形，并注意约分后得到（2k＋3）－1.这样证题过程中简洁一些，有效地确定了证题的方向.本题的思路是从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，这是关于探索性问题的常见证法，在数列问题中经常见到.假如猜想后不用数学归纳法证明，结论不一定正确，即使正确，解答过程也不严密.必须要进行三步：试值 → 猜想 → 证明.【另解】 用裂项相消法求和：由a＝＝－得，S＝（1－）＋（－）＋……＋－＝1－＝.此种解法与用试值猜想证明相比，过程十分简单，但要求发现＝－的裂项公式.可以说，用试值猜想证明三步解题，具有一般性.例2.设a＝＋＋…＋ (n∈N),证明：n(n＋1) (n＋1) .【分析】与自然数n有关，考虑用数学归纳法证明.n＝1时容易证得，n＝k＋1时，因为a＝a＋,所以在假设n＝k成立得到的不等式中同时加上，再与目标比较而进行适当的放缩求解.【解】 当n＝1时，a＝，n(n+1)＝，(n+1)＝2，∴ n＝1时不等式成立.假设当n＝k时不等式成立，即：k(k＋1) (k＋1)，当n＝k＋1时，k(k＋1)＋k(k＋1)＋(k＋1)＝(k＋1)(k＋3)>(k＋1)(k＋2)，(k＋1)＋＝(k＋1)＋<(k＋1)＋(k＋)＝(k＋2)，所以(k＋1)(k＋2) 用数学归纳法解决与自然数有关的不等式问题，注意适当选用放缩法.本题中分别将缩小成(k＋1)、将放大成(k＋)的两步放缩是证n＝k＋1时不等式成立的关键.为什么这样放缩，而不放大成(k＋2)，这是与目标比较后的要求，也是遵循放缩要适当的原则.本题另一种解题思路是直接采用放缩法进行证明.主要是抓住对的分析，注意与目标比较后，进行适当的放大和缩小.解法如下：由>n可得，a>1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)；由 .命题与n有关，考虑是否可以用数学归纳法进行证明.【解】 设a－a＝d，猜测a＝a＋(n－1)d 当n＝1时，a＝a，∴ 当n＝1时猜测正确.当n＝2时，a＋(2－1)d＝a＋d＝a，∴当n＝2时猜测正确.假设当n＝k（k≥2）时，猜测正确，即：a＝a＋(k－1)d，当n＝k＋1时，a＝S－S＝－，将a＝a＋(k－1)d代入上式，得到2a＝(k＋1)(a＋a)－2ka－k(k－1)d，整理得(k－1)a＝(k－1)a＋k(k－1)d，因为k≥2,所以a＝a＋kd，即n＝k＋1时猜测正确.综上所述，对所有的自然数n，都有a＝a＋(n－1)d，从而{a}是等差数列.【注】 将证明等差数列的问题转化成证明数学恒等式关于自然数n成立的问题.在证明过程中a的得出是本题解答的关键，利用了已知的等式S＝、数列中通项与前n项和的关系a＝S－S建立含a的方程，代入假设成立的式子a＝a＋(k－1)d解出来a.另外本题注意的一点是不能忽视验证n＝1、n＝2的正确性，用数学归纳法证明时递推的基础是n＝2时等式成立，因为由(k－1)a＝(k－1)a＋k(k－1)d得到a＝a＋kd的条件是k≥2.【另解】 可证a －a＝ a－ a对于任意n≥2都成立：当n≥2时，a＝S－S＝－；同理有a＝S－S＝－；从而a－a＝－n(a＋a)＋，整理得a －a＝ a－ a，从而{a}是等差数列.一般地，在数列问题中含有a与S时，我们可以考虑运用a＝S－S的关系，并注意只对n≥2时关系成立，象已知数列的S求a一类型题应用此关系最多.六、参数法 参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题.直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证.换元法也是引入参数的典型例子.辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律.参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系.参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支.运用参数法解题已经比较普遍.参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题.Ⅰ、再现性题组： 1.设2＝3＝5>1，则2x、3y、5z从小到大排列是________________.2.（理）直线上与点A(-2,3)的距离等于的点的坐标是________.（文）若k<－1，则圆锥曲线x－ky＝1的离心率是_________.3.点Z的虚轴上移动，则复数C＝z＋1＋2ｉ在复平面上对应的轨迹图像为____________________.4.三棱锥的三个侧面互相垂直，它们的面积分别是6、4、3，则其体积为______.5.设函数f(x)对任意的x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，则f(x)的R上是______函数.(填“增”或“减”) 6.椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－＝0的最大距离是_____.A.3 B.C.D.2 【简解】1小题：设2＝3＝5＝t，分别取2、3、5为底的对数，解出x、y、z，再用“比较法”比较2x、3y、5z，得出3y<2x<5z； 2小题：（理）A(-2,3)为t＝0时，所求点为t＝±时，即(-4,5)或(0,1)； （文）已知曲线为椭圆，a＝1，c＝，所以e＝－； 3小题：设z＝bｉ，则C＝1－b＋2ｉ，所以图像为：从(1,2)出发平行于x轴向右的射线； 4小题：设三条侧棱x、y、z，则xy＝6、yz＝4、xz＝3,所以xyz＝24,体积为4.5小题：f(0)＝0，f(0)＝f(x)＋f(-x)，所以f(x)是奇函数，答案：减； 6小题：设x＝4sinα、y＝2cosα，再求d＝的最大值，选C.Ⅱ、示范性题组： 例1.实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，求a＋b＋c的最小值.【分析】由a＋b＋c＝1 想到“均值换元法”，于是引入了新的参数，即设a＝＋t，b＝＋t，c＝＋t，代入a＋b＋c可求.【解】由a＋b＋c＝1，设a＝＋t，b＝＋t，c＝＋t，其中t＋t＋t＝0，∴ a＋b＋c＝（＋t）＋（＋t）＋(＋t)＝＋(t＋t＋t)＋t＋t＋t＝＋t＋t＋t≥，所以a＋b＋c的最小值是.【注】由“均值换元法”引入了三个参数，却将代数式的研究进行了简化，是本题此种解法的一个技巧.本题另一种解题思路是利用均值不等式和“配方法”进行求解，解法是：a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ac)≥1－2(a＋b＋c)，即a＋b＋c≥.两种解法都要求代数变形的技巧性强，多次练习，可以提高我们的代数变形能力.例2.椭圆＋＝1上有两点P、Q，O为原点.连OP、OQ，若k·k＝－，①求证：|OP|＋|OQ|等于定值； ②求线段PQ中点M的轨迹方程.【分析】 由“换元法”引入新的参数，即设（椭圆参数方程），参数θ、θ为P、Q两点，先计算k·k得出一个结论，再计算|OP|＋|OQ|，并运用“参数法”求中点M的坐标，消参而得.【解】由＋＝1，设，P(4cosθ,2sinθ)，Q(4cosθ,2sinθ),则k·k＝＝－，整理得到： cosθ cosθ＋sinθ sinθ＝0,即cos（θ－θ）＝0.∴|OP|＋|OQ|＝16cosθ＋4sinθ＋16cosθ＋4sinθ＝8＋12(cosθ＋cosθ)＝20＋6（cos2θ＋cos2θ)＝20＋12cos（θ＋θ）cos（θ－θ）＝20，即|OP|＋|OQ|等于定值20.由中点坐标公式得到线段PQ的中点M的坐标为，所以有()＋y＝2＋2(cosθ cosθ＋sinθ sinθ)＝2,即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为＋＝1.【注】由椭圆方程，联想到a＋b＝1,于是进行“三角换元”，通过换元引入新的参数，转化成为三角问题进行研究.本题还要求能够熟练使用三角公式和“平方法”，在由中点坐标公式求出M点的坐标后，将所得方程组稍作变形，再平方相加，即（cosθ＋ cosθ）＋（sinθ＋sinθ），这是求点M轨迹方程“消参法”的关键一步.一般地，求动点的轨迹方程运用“参数法”时，我们可以将点的x、y坐标分别表示成为一个或几个参数的函数，再运用“消去法”消去所含的参数，即得到了所求的轨迹方程.本题的第一问，另一种思路是设直线斜率k，解出P、Q两点坐标再求： 设直线OP的斜率k，则OQ的斜率为－，由椭圆与直线OP、OQ相交于PQ两点有：，消y得(1＋4k)x＝16,即|x|＝；，消y得(1＋)x＝16，即|x|＝；所以|OP|＋|OQ|＝()＋（）＝＝20.即|OP|＋|OQ|等于定值20.在此解法中，利用了直线上两点之间的距离公式|AB|＝|x－x|求|OP|和|OQ|的长.七、反证法 与前面所讲的方法不同，反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得.法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”.具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明.反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”.反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真.所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的.反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”.即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”.应用反证法证明的主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立.实施的具体步骤是： 第一步，反设：作出与求证结论相反的假设； 第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾； 第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立.在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法.用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”.在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”.一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显.具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆.Ⅰ、再现性题组： 1.已知函数f(x)在其定义域内是减函数，则方程f(x)＝0 ______.A.至多一个实根 B.至少一个实根 C.一个实根 D.无实根 2.已知a<0,－1 ab B.ab>ab>a C.ab>a> ab D.ab> ab>a 3.已知α∩β＝l，a α，b β，若a、b为异面直线，则_____.A.a、b都与l相交 B.a、b中至少一条与l相交 C.a、b中至多有一条与l相交 D.a、b都与l相交 4.四面体顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不共面的点，不同的取法有_____.(97年全国理) A.150种 B.147种 C.144种 D.141种 【简解】1小题：从结论入手，假设四个选择项逐一成立，导出其中三个与特例矛盾，选A； 2小题：采用“特殊值法”，取a＝－1、b＝－0.5，选D； 3小题：从逐一假设选择项成立着手分析，选B； 4小题：分析清楚结论的几种情况，列式是：C－C×4－3－6,选D.Ⅱ、示范性题组： S C A B O 例1.如图，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点.求证：AC与平面SOB不垂直.【分析】结论是“不垂直”，呈“否定性”，考虑使用反证法，即假设“垂直”后再导出矛盾后，再肯定“不垂直”.【证明】 假设AC⊥平面SOB，∵ 直线SO在平面SOB内，∴ AC⊥SO，∵ SO⊥底面圆O，∴ SO⊥AB，∴ SO⊥平面SAB，∴平面SAB∥底面圆O，这显然出现矛盾，所以假设不成立.即AC与平面SOB不垂直.【注】否定性的问题常用反证法.例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾.例2.若下列方程：x＋4ax－4a＋3＝0，x＋(a－1)x＋a＝0,x＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根.试求实数a的取值范围.【分析】 三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根.先求出反面情况时a的范围，再所得范围的补集就是正面情况的答案.【解】 设三个方程均无实根，则有,解得,即－ (其中x∈R且x≠)，证明：①.经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴； ②.这个函数的图像关于直线y＝x成轴对称图像.【分析】“不平行”的否定是“平行”，假设“平行”后得出矛盾从而推翻假设.【证明】 ① 设M(x,y)、M(x,y)是函数图像上任意两个不同的点，则x≠x,假设直线MM平行于x轴，则必有y＝y，即＝，整理得a(x－x)＝x－x，∵x≠x ∴ a＝1，这与已知“a≠1”矛盾，因此假设不对，即直线MM不平行于x轴.② 构造定理所需的图形或基本图形:在解决问题的过程中，有时添加辅助线是必不可少的。对于北京中考来说，只有一道很简单的证明题是可以不用添加辅助线的，其余的全都涉及到辅助线的添加问题。中考对学生添线的要求还是挺高的，但添辅助线几乎都遵循这样一个原则：构造定理所需的图形或构造一些常见的基本图形。 做不出、找相似，有相似、用相似:压轴题牵涉到的知识点较多，知识转化的难度较高。学生往往不知道该怎样入手，这时往往应根据题意去寻找相似三角形。 紧扣不变量，并善于使用前题所采用的方法或结论:在图形运动变化时，图形的位置、大小、方向可能都有所改变，但在此过程中，往往有某两条线段，或某两个角或某两个三角形所对应的位置或数量关系不发生改变。 要提高解题速度, 应从多方面努力。 一、打好基础、勤学多练, 做到基础题非常熟练 要做到知识结构清晰, 随时提取不混淆。不在难题上花费大量的时间, 但要稳而且扎实, 做一道就保证一道正确。 首先, 要熟记物理概念和规律, 弄清知识的来龙去脉和知识间的内在联系, 各公式、定理、定律的适用场合和条件需要理解后记住。 其次, 强化练习。同一类型题要反复强化训练, 变形题要能灵活做到知识的迁移。通过各章节之间的综合题练习, 能培养学生综合运用知识的能力。 最后, 多进行小型测试, 提高学生的解题速度, 限时训练。及时反馈, 既能检测学生对知识掌握情况, 又能提高学生的解题速度。即使学生会做, 没有速度, 也一样不得分。评分要严格, 使学生养成一种快速解题的思维、快速解题的习惯。 二、从多方面提高学生解题速度 首先, 提高学生的思维能力。教师有意识地提高语速, 学生必然注意力非常集中, 这时教师对学生提出的问题限时整理并能有条理地回答, 从一开始的正常训练到加快速度, 能收到很好的效果。学生为了达到目的, 必须认真听讲, 还要复习以往的知识, 否则不能快速而完整地解决好一个综合性问题, 比如在讲磁通量问题上。 其次, 让学生树立信心, 有坚忍不拔的意志品质, 这是最重要的一条。我常和学生说的一句话是:“学习物理要有信心, 觉得自己笨, 那你就真的会越来越笨, 觉得自己聪明就会越来越聪明。”这是一种心理体验。比如, 我曾教过的学生腾晓旭对牛顿定律就是理解不透, 我举了很好的例子, 他当时明白, 过后就又恢复了原状。人们根深蒂固的感性认识, 是不能很快就消失的。腾晓旭同学经过反复琢磨, 终于有了一点进展, 但他却问我:“老师, 我实在太笨了!我能学好物理吗?”我说:“你说什么呢, 牛顿用了一生总结的物理规律, 你只用了半个月就明白了, 怎么算笨呢, 简直是太聪明了。好多同学不深入思考, 只是快速说出一个答案, 给大家的感觉很聪明, 但一深入综合就不行了, 而你对问题研究得深入而透彻。”腾晓旭同学听了我的一席话, 从此有了学好物理的信心, 成绩稳步上升。信心是成功的开始, 有了信心, 并为之去努力, 就会成功。 最后, 物理实验的重要性。不论是演示、分组还是课后的小实验, 或学生设计出来的, 都应尽量让学生自己动手做实验。学生自己设计实验方案、设计记录方法, 只有亲自经历了, 才会深信不疑。 三、与学生共同探讨总结出提高解决物理问题速度的好方法 在多年的物理教学中, 我给了学生一些好的方法, 学生也同样总结出了一些好的方法。比如我搜集好的解题方法, 对提高物理成绩效果较为明显。这些好方法看似简单, 有的只有简短几句话, 但对解题却有很大的帮助。 首先, 在解决物理问题中, 只要能画图的就比计算来得快而准。画图对解决物理问题帮助很大, 最适合解决选择题和填空题, 对计算题也有很大的帮助。 其次, 解决力学问题的小技巧。比如, 力学问题中经常要用到三角形, 尤其是直角三角形占90%以上的几率, 学生们最头疼的是找角费时间, 而且还容易找错, 正弦余弦分不清, 解决的办法是将已知角在练习本上画得非常小, 图形中直角三角形只要小的都与此角相同。 再如, 在解决纯力学问题中只要受三个力平衡的, 用合成的方法要优于用正交分解, 而且能提高速度。 【关键词】高中学生 数学 解题能力 策略 在平时数学教学中，教师要重视解题后的反思和审视，充分发挥习题的作用，引导学生对问题展开思考、分析、探索、推断、概括、归纳、创新，从而积累经验，总结规律，开拓思路，拨开迷雾，把握本质，真正掌握解题方法和技巧，提升学生的思维品质和解题能力。 一、巧取特殊数值，时半功倍 在高考数学选择题中，在解答某些不等式、函数、方程、数列、向量等数学问题时，有时赋予特殊的数值，往往可以使问题快速获取，达到时半功倍的效果。 例1：已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞]，若关于x的不等式f（x） A.-6 B.9 C.12 D.36 解析：由题意可知，△=b2-4a=0，而由不等式x2+ax+b 点评：本题主要考查学生对函数与方程、二次不等式以及根与系数关系的掌握情况，本题通过巧取m=0这一特殊数值，使问题得以巧妙获解，节省了化简和运算时间，提高了解题的速度。 二、巧借特殊图形，化难为易 例2：如图所示： 在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则 的值是（ ）。 A.2 B.3 C.6 D.18 解：将平行四边形特殊化为菱形，则对角线AC⊥BD，又已知AP⊥BD，故点P与点O重合，则 =2 ，所以 =2 2=2| |2=18，故选项D正确。 点评：根据题设条件，借助特殊化思想将已知图形转化为菱形，极大地优化了解题过程，节省了解题时间，避免了隐形失分。 例3：设a、b、c是两两异面的三条直线，已知a⊥b，且d是a，b的公垂线，如果c⊥a，那么c与d的位置关系是（ ）。 A.异面 B.相交 C.平行 D.异面或平行 解析：在解决有关空间直线位置关系的问题时，最有效的方法是构造特殊的几何模型，借助图形的直观性加以判断。根据题设条件，可构造正方体，如下图所示，在正方体ABCED-A1B1C1D1 中，令AB=a，BC=d，CC1=b，当A1D1=c时，c与d平行；当A1D=c时，c与d异面，故选项D为正确答案。 点评：本题结合已知条件，通过构造特殊图形正方体，然后分类讨论，问题自然迎刃而解。 三、巧用特殊函数，优化解题 例4：设f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线x= 对称，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）的值是（ ）。 A.0 B.1 C. D.5 解析：取特殊函数f（x）=0（x∈R），f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5） =0，故选项A正确。 四、巧用结果反思，提高批判性 例5：给定双曲线x2- =1，过A（1，1）能否作直线n，使n与所给双曲线交于B、C两点，且A为线段BC中点？ 解：设以A为中点的直线n与双曲线交于B（x1，y1），C（x2，y2）两点，则有： x12- =1①；x22- =1②；x1+x2=2③，y1+y2=2④ 由上述四式可求得： =2，故可知直线n的方程式为：y-1=2（x-1）， 即2x-y-1=0。 点评：上述解法看似合情合理，实则是错误的。这是因为直线n是否存在仍是个未知数，若有直线n存在，上述解法是正确的，反之，若无直线n存在，则说上述解法行不通。因此，我们需要对所求出的结果进行验证，以确保其准确无误。联立方程x2- =1和2x-y-1=0，消去y整理可得：2x2-4x+3=0，由于△=（-4）2-4×2×3=-8<0，故此方程组无实数解，即题中的直线n不存在。 反思解题结果，即对所求数学问题的结论和结果进行复查、核对、验证，以确保问题答案的准确、无误，提高解题结论或结果的可靠性和严密性。 【参考文献】 [1] 梁礼华. 高考数学复习有效策略研究[J]. 当代教研论丛，2015（08）. [2] 高慧明. 正视高考，冷静面对[J]. 广东教育（高中版），2015（10）. （作者单位：江苏省阜宁中学） 【提高高中数学解题速度】推荐阅读： 提高高中数学解题能力11-10 如何提高阅读与解题速度01-03 提高高中数学课堂效率06-10 如何提高高中数学的学习效率02-20 怎样提高高中生的数学能力11-17 高中数学解题策略浅析07-28 高中数学解题方法作用10-01 高中数学常用的解题方法12-04 高中语文怎么提高成绩11-29高中数学竞赛解题方法 篇6
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