《数学归纳法及其应用举例》教案（通用12篇）
云南省曲靖市第一中学
李德安
教学目标：
1．认知目标：了解数学归纳法的原理，掌握用数学归纳法证题的方法。2．能力目标：培养学生理解分析、归纳推理和独立实践的能力。
3．情感目标：激发学生的求知欲，增强学生的学习热情，培养学生辩证唯物主义的世界观和勇于探索的科学精神。
教学重点：
了解数学归纳法的原理及掌握用数学归纳法证题的方法。
教学难点：
数学归纳法原理的了解及递推思想在解题中的体现。
教学过程：
一．创设情境，回顾引入
师：本节课我们学习《数学归纳法及其应用举例》（板书）。首先给大家讲一个故事：从前有一个员外的儿子学写字，当老师教他写数字的时候，告诉他一、二、三的写法时，员外儿子很高兴，告诉老师他会写数字了。过了不久，员外要写请帖宴请亲朋好友到家里做客，员外儿子自告奋勇地要写请帖。结果早晨开始写，一直到了晚间也没有写完，请问同学们，这是为什么呢？
生：因为有姓“万”的。
师：对！有姓“万”的。员外儿子万万也没有想到“万”不是一万横，而是这么写的“万”。通过这个故事，你对员外儿子有何评价呢？
生：（学生的评价主要会有两种，一是员外儿子愚蠢，二是员外儿子还是聪明的。）
师：其实员外儿子观察、归纳、猜想的能力还是很不错的，但遗憾的是他猜错了！在数学 上，我们很多时候是通过观察→归纳→猜想，这种思维过程去发现某些结论，它是一种创造性的思维过程。那么，我们在以前的学习过程中，有没有也像员外儿子那样猜想过某些结论呢？
生：有。例如等差数列通项公式的推导。
师：很好。我们是由等差数列前几项满足的规律：a1a10d，a2a1d，a3a12d，a4a13d，„„归纳出了它的通项公式的。其实我们推导等差数列通项公式的方法和员外儿子猜想数字写法的方法都是归纳法。那么你能说说什么是归纳法，归纳法有什么特点吗？
生：由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。特点：特殊→一般。师：对。（投影展示有关定义）
像这种由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。根据推理过程中考察的对象是涉及事物的一部分还是全部，分为不完全归纳法和完全归纳法。
完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法。那么，用完全归纳法得出的结论可靠吗？
生：（齐答）可靠。
师：用不完全归纳法得出的结论是不是也是可靠的呢？为什么？
生：不可靠。这是因为只考察了部分情况，结论不一定具有普遍性。师：是不可靠的。不妨再举一例ann1n2n3n1000容易验证a10，a20，a30，„，a10000，如果由此作出结论——对于任何nN*，ann1n2n3
n10000都成立，那就是错误的。事实上，a10011000!0。
二．设置问题，引导探究
师：请问同学们你们玩过多米诺骨牌吗？ 生：（没）玩过。（课堂气氛由刚才的沉思变得开始活跃）师：无论玩没玩过，下面我们一起来玩一下。（投影仪上进行生动、形象的骨牌演示）在观看骨牌玩法时，请思考：满足什么条件，骨牌可以全部倒下？
生：假设第kkN*张骨牌倒下，保证第k1张骨牌倒下。
师：这样就保证了可以递推下去，骨牌就可以全部倒下了，是吗？
生：不是。我们不知道第k张骨牌是否倒下了，从而我们是假设第k张骨牌倒下。若第k张骨牌倒下，需要第k1张骨牌倒下；若第k1张骨牌倒下，需要第k2张骨牌倒下，„„，最后递归到需要第1张骨牌倒下，所以，还要有一个条件：第一张骨牌倒下。
师：大家说有了这两个条件，骨牌是不是可以顺次的倒下呢？ 生：是。
师：上面同学说得很好，要使骨牌全部倒下应满足两个条件（投影显示）第一个条件是：第一张骨牌倒下；第二个条件是：假设第k张骨牌倒下，第k1张骨牌一定倒下。
现在你能不能利用这种思想（递推思想）来证明等差数列通项公式呢？是不是应该建立一种递推顺序呢？
生：n1时结论正确n2时结论正确n3时，结论正确，nk时结论正确nk1时结论正确
师：由于这个过程推理方法是一样的，能否把这个过程一般化呢？ 生：假设nk时结论正确nk1时结论也正确。
师：这样就保证了递推。下面你能证明等差数列通项公式了吗？ 三．解决问题，引出概念（学生共答，教师板书）
证明：（1）当n1时，左边a，右边a10da1，等式是成立的。
（2）假设当nk时等式成立，就是aka1(k1)d，下面看看是否能推出nk1时等式也成立，那么ak1等于什么？
生：ak1a1(k1)1d。
师：哦！看来nk1时等式也成立，这样做对吗？ 生：（齐答）不对。
师：注意在证nk1时，一定要用到归纳假设，nk时等式成立这一步，因为这样才能保证递推，那么ak1与ak有什么关系呢？（学生齐答，教师继续板书）ak1akda1(k1)dda1(k1)1d。这就是说，当nk1时，等式也成立，大家说有了这两步，是不是就证明了等差数列通项公式的正确性了呢？
生：n1时等式成立n2时等式成立n3时等式成立„„所以n取任何正整数等式都成立。
师：这种证明方法叫做数学归纳法，那么你能谈谈什么是数学归纳法，及其用数学归纳法证题的步骤是怎样的呢？
生：（在学生交流，教师引导完善下）数学归纳法（证明一个与正整数有关的命题的步骤）是：（投影跟踪给出）。
（1）证明当n取第一个值n0（例如n01或2等）时结论正确；
（2）假设当nk（kN*，且kn0）时结论正确，证明当nk1时结论也正确。根据（1）和（2），可知命题对从n0开始的所有正整数n都正确。所以数学归纳法是证明一个与正整数有关的命题的一种方法。概括起来就是“两个步骤，一个结论。”
师：用数学归纳法证题，实质是一种什么思想？ 生：递推思想。
师：在递推中，两个步骤各起到了怎样的作用呢？
生：第一步是奠基，是递推的基础，第二步是保证能够递推，是递推的依据。（此时投影上注明）
师：这两步可以缺少哪一步吗？ 生：（学生举例说明，教师点评，投影上也举出实例，从而明确）两步缺一不可。
师：我们已经知道，由不完全归纳法得到的结论不可靠，因而必须作证明。若命题是与正整数有关的，证明可考虑用数学归纳法。下面请同学们看一道例题。
例1：用数学归纳法证明：1352n1n2（师生共同证题，总结出用数学归纳法证题的技巧是“一凑假设，二凑结论”。）
练习：用数学归纳法证明：
1．123n1nn1。22．12222n12n1。
3．首项是a1，公比是q的等比数列的通项公式是ana1qn1。
四．归纳小结，深化主题
师：本节的中心内容是什么？为什么要学习数学归纳法？什么是数学归纳法？体现什么思想？
生：（学生积极回答，从而自主地构建本节课的知识网络。）（投影展示）小结：
不完全归纳法1．归纳法
完全归纳法特点：特殊→一般
2．数学归纳法概念及证题步骤。3．数学归纳法实质是递推思想。
一、选择题的结构
选择题常由解题要求、题干（题设）和题支（选项）组成.解题要求是指解答选择题的指示语，如单选、多选等.题干是指每个选择题的条件，它可以由一个问句或一个半陈述句构成，题支是指备选答案，常有应选答案和迷惑答案组成，一般有4个选项，至少有一个正确的答案，这个正确的答案可叫优支，而不正确的答案可叫干扰支或惑支．数学中的选择题如没有特别说明，都是“四选一”，即有4个选项，其中有唯一的优支，其余的都是干扰支，但在近年的中考中如湖北的黄冈等地也出现了多选题．
例1：如下图1，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于坐标原点O成中心对称的图形．若点A的坐标是（1, 3），则点M和点N的坐标分别是（）.
解析：从问题知点A和点M关于原点对称，点A和点N关于x对称.为了从4个选择支中选出优支，需要明确关于原点对称和关于x轴对称的点的坐标特征，即关于原点对称横坐标和纵坐标均互为相反数；关于x轴对称横坐标不变，纵坐标互为相反数，所以应选择C．而其余3个选项都是干扰支，它们似对非对，表面上看起来差不多，而意义相去甚远，（1，-3）表示的点和A点关于x轴对称，（-1, -3）表示的点和A点关于原点对称，（-1, 3）表示的点和A点关于y轴对称．
从上面的例子可以看出，一个选择题的4个选择项总是真伪混杂，疑似之处甚多，3个干扰支从不同的角度迷惑着优支的选出．若对基本概念和基础知识理解不清，掌握不透彻，基本的数学思想和方法不熟练，就很容易受干扰支影响，从而作出错误判断．这些干扰支就像一口口陷井，真假难辨，它们似乎是，似乎又不是，学生若明辨能力不强，就可能跳进陷井．因此，通过解选择题，可以澄清学生一些似是而非的认识，区分一些概念之间的联系与区别，更进一步掌握基本知识和基本方法．
二、解选择题的常用方法
方法1：直接法
直接法是解选择题的一种最常用、最基本的方法．它是从选择题的题设条件入手，根据学过的定义、公式、公理、定理、法则进行正确的推理，求出结果得出结论，然后与各选择支比较，从4个选项中选出与已得出结论一致的正确答案的方法.其优点是解题自然，不受选择支的影响，运用数学知识，通过综合法直接得出正确的结论．缺点是有些题的计算和推理冗长、繁杂，要消耗测试者大量的时间和精力，甚至有些题不能用直接法来解．
例2：如下页图2，从圆外一点P引圆O的两条切线PA、PB，切点分别为A、B．如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB的长是（）.
解析：此题主要考查切线长定理和等边三角形的定义，根据切线长定理知，PA=PB，又∵∠APB=60°，知△ABP为等边三角形，所以弦AB=PA=8，故选B.
方法2：排除法（也叫筛选法或淘汰法）
所谓排除法就是从题设条件入手，结合选项，通过观察、比较、猜想推理和计算，进行逐一排查，从4个选项中把最不正确的答案一一淘汰，最后得出正确答案的方法．其优点是可通过观察、比较、分析和判断，进行简单的推理，计算出正确的答案，特别对用直接法解之较困难而答案又模棱两可者更有效．其缺点是：（1）若对隐含条件挖掘不深或抓不住问题本质特征时，在排查过程中容易出现遗漏；（2）易受干扰支的影响，做出错误判断．
例3:2008年5月12日，四川汶川发生8.0级大地震，我解放军某部火速向灾区推进，最初坐车以某一速度匀速前进，中途由于道路出现泥石流，被阻停下，耽误了一段时间，为了尽快赶到灾区救援，官兵们下车急行军匀速步行前往，下列是官兵们行进的距离s（千米）与行进时间t（小时）的函数大致图像，你认为正确的是（）.
解析：此题可逐个判断排除.A图表示我解放军某部火速向灾区推进，最初坐车以某一速度匀速前进，中途由于道路出现泥石流，被阻后没有停下，只是匀速前进的速度比开始速度要慢，与题意不符；B图表示我解放军某部火速向灾区推进，最初坐车以某一速度匀速前进，中途由于道路出现泥石流，被阻停下，耽误了一段时间，后又以一定的速度返回，与题意不符；D图表示我解放军某部火速向灾区推进，最初坐车以某一速度匀速前进，中途由于道路出现泥石流，被阻停下，耽误了一段时间，后又以开始时的速度继续前进，这与人的速度应比车的速度慢这一事实不符，而C图即表示出了我解放军某部火速向灾区推进，最初坐车以某一速度匀速前进，各中途由于道路出现泥石流，被阻停下，耽误了一段时间，又准确地表示出了官兵心系灾区，为了尽快赶到灾区救援，下车急行军匀速步行前往这一实事，故选C.
方法3：验证法（或叫择扰验证法）
当某些问题如方程、函数的一些问题较复杂时，可采用逆向思维的思路，即不求原题的结果，改成检验选择支的正确性，把选择支代入已知条件中使之问题简化，从而迅速找到优支的方法称为验证法.它要求测试者先分析题意，结合选择支，再依据与问题有关的数学知识，把自己经过分析和判断，认为最有可能的正确选项代入检验，若验证正确，即可直接选取，其余选项为干扰支可不再验证；若不正确，再验证第二可能选项，依次类推，若验证了3个均不正确，第4个不必验证，就可选取，若选项中有包含项，在验证被包含项成立后，还需验证包含项；验证被包含项不成立时，就否定了包含项.其优点是，题目条件把握准确，分析判断有据，一次到两次的验证就能得到正确答案，方法简便，准确率高；缺点是，若分析判断不准确，就需要验证达3次，计算和推理量大．
例4：若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）.
A.50°B.80C.65°或50°D.50°或80°
分析：D选项包含A选项和B选项，所以应首先对A选项和B选项进行验证，这两个选项的正确与否，决定着D选项该不该选.通过验证A选项和B选项均符合题意，故选D.
例5：已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（）.
分析：本题可通过将选项与已知三角形的两边长进行比较，验证是否满足定理“三角形两边之和大于第三边”及其推论“三角形两边之差小于第三边”即可，通过验证知此题选B.
方法4：取特殊值法
对于比较抽象，又具有一般性的结论，判断时较难，可在符合条件的允许值范围内，用某些特殊的数值替代题目的字母或一项，然后再做出特殊情况下的判断，类推出一般性结果，并判断出优支的方法叫取特殊值法．其优点是简单方便，减少了繁杂的计算和推理；缺点是易把不合题目要求的值代入计算，从而导致错误的结论．
例6：若关于x的一元二次方程ax2+2x-5=0的两根在0与1之间（不含0和1），则a的取值范围是（）.
解析：对于A选项和D选项，可取a=0，知方程化为2x-5=0，与题目条件关于x的一元二次方程不符，故舍去；对于C选项，可取a=4，由于二次项系数和常数项异号，故方程一定有两个实数根，且一个根为正数，一个根为负数，故舍去, 从而知本题选C.
方法5:图形法 (或叫数形结合法)
有些选择题计算、推理和判断比较复杂, 条件和结论似是而非, 但这样难作判断的题目, 一般能画出图形和图像来描述, 从而借助图形、图像来进行直观判断, 或结合题意和图像、图形进行简单的计算和推理, 找出正确答案.其优点是形象直观, 易于把复杂的计算、推理和判断简单化；缺点是把问题图形和图像化，需要学生有很强的数学基础知识和空间想象能力，容易造成一遇到较复杂的计算、推理和判断问题时，学生总在想能不能通过一个简单的图像和图形法进行解决.有时，反而适得其反，耽误了正常的计算和推理或寻找其他合适办法的时间，所以图形法应建立在应有数学能力的基础上，平时要加强训练，以求考试时能灵活应用．
例7：已知二次函数y=ax2+bx+c（其中a>0, b>0, c<0），关于这个二次函数的图像有如下说法： (1) 图像的开口一定向上； (2) 图像的顶点一定在第四象限； (3) 图像与x轴的交点至少有一个在y轴的右侧．以上说法正确的个数为（）.
分析：此题较抽象，可先画出符合条件的图形：根据a>0知开口向上，据-b2a<0，知对称轴在y轴左侧，再有c<0，知图像与y轴交点的位置在y轴负半轴，据此，画出符合要求的二次函数图像（图略），结合图像可知，该二次函数图像开口向上，顶点在第三象限，与x轴有两个交点，一个在x轴正半轴，一个在x轴负半轴，故本题应选C.
方法6：特例法（或叫特图法）
利用符合题设条件的某个特殊图形代替有关的一般图形，进行演绎推理，以达到判断各个选择支正确或错误的目的，这种解答选择题的方法称为特例法．特例法的关键在于寻找特例，即寻找的特殊图形必须符合题设的要求，又有利于对问题的分析和解决．其优点是利用简单、特殊的图形，减少了繁杂的计算和推理；缺点是易把题目特殊成不合题目要求的图形，从而导致错误的结论．
例8：如下图3：等腰直角△ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线y=xk (k≠0）与△ABC有交点，则k的取值范围是（）.
解析：根据题目条件可求出A (1, 1）, B (3, 1）, C (1, 3），本题若用直接法求k的取值范围，要分双曲线与边AB、AC、BC有交点3种情况来计算，计算量比较大.特例法较好地解决了这一问题，我们取双曲线与边AB、AC、BC有交点的特殊情况来计算：当双曲线过点A时，可计算出k=1，当双曲线过点B时，同时过点C，可计算出k=3，答案A可排除，但此时，我们发现当计算出k=1到计算出k=3，双曲线向右移动的过程中始终没有与边BC相交，答案B不完全，被排除，是选C还是选D，我们再取特殊点，由于直线y=x与BC的交点坐标易看出为（2, 2），而双曲线过此点时，可算出k=4，故选C.
方法7：转化法
转化法是指通过观察、分析、类比、联想等思维过程，借助某些性质、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，并选择运用恰当的数学方法加以变换，从而达到将复杂化为简单，将未知转化为已知，将抽象转化为具体的一种解题方法．
例9：一次函数y=kx+b的图像如下图4所示，当y<0时，x的取值范围是（）.
解析：本题可直接根据题目条件求出一次函数y=kx+b的解析式为，再由y<0时，得，从而将问题转化为解不等式的问题求出x的范围.但这种做法计算量有些大，问题中y<0应转化为函数的值小于零，对于一次函数y=kx+b的图像来说，应是x轴下方的图像，从图中知，此时x>2，故选C.虽然此题的两种解法都用到了转化的数学方法，但难易程度依然不同．
方法8：估算法
估算法适用于带一定计算因素的选择题，是通过对数据进行粗略、近似的估算，从而确定正确答案的一种解题方法．这类考题主要不在“数”，而在“理”，不追求数据精确，而追求方法正确．采用“估算”的方法可以忽略次要因素，抓住问题的本质，以达到快速求解的目的．
例10：如下图5，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（）．
A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm
解析：本题可通过在Rt△CEN中运用勾股定理求出线段CN的长，但运用估算的方法会使该题更简单：由于点E是BC的中点，所以EC=4cm，在Rt△CEN中，由于EN是斜边，所以EN>EC，即EN>4 cm，又EN=DN，而DN+CN=8 cm，可知CN<4 cm，故选A.
方法9：观察法
观察法是指通过观察题目中数、式的变化规律，条件与结论之间的关系，题目的结构特点及图形的特征，从而发现题目中数量关系或变化特征，选出正确答案的解题方法．在解答数学题时，必须先观察，有时根据需要，还要做出数学模型便于观察．观察是基础，是发现问题、解决问题的首要步骤．例如整体代入法，就是通过观察题目中数、式的变化规律，从而发现题设中的某些部分可以作为一个整体，采用换元或代入的方法解决，从而使问题得到简化．
例11：已知O为圆锥的顶点，为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如下图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（）.
解析：本题中，一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹是关键，根据“两点之间，线段最短”知，蜗牛从P点出发，最后又回到P点，走的应该是一条线段，据此，通过观察4个选项，只有C、D符合，再进一步观察C、D两个选项，可以发现沿OM将圆锥侧面剪开并展开后，P点到点O的距离应相等，据此应选D．另外，解答本题最好的办法是制作一个圆锥，在圆锥上大致画出蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹，然后沿OM将圆锥侧面剪开并展开，观察和哪个选项一致．这种动手操作的实践能力，也是本题考查的初衷．
方法10：联想构造法
所谓联想构造法就是根据题设和结论所具有的性质特征构造出满足条件和结论的数学模型，借助于数学模型来解决数学问题的一种方法.这种借用一类问题的性质来研究另一类问题的思维方法在解数学问题时常常能起到意想不到的效果．
例12：下列命题： (1) 若a+b+c=0，则b2-4ac≥0； (2) 若b>a+c则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根； (3) 若b=2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根； (4) 若b2-4ac>0，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.其中正确的是（）.
A.只有 (1) (2) (3) B.只有 (1) (3) (4)
C.只有 (1) (4) D.只有 (2) (3) (4) ．
解析：对于 (1) 可联想到x=1时，a+b+c=0，因此a+b+c=0，可知方程ax2+bx+c=0一定有一个根x=1，故 (1) 正确；对于 (2) 条件b>a+c可变为a-b+c<0，可联想到一元二次方程ax2+bx+c=0有无实数根就是二次函数y=ax2+bx+c与x轴有无交点，对于y=ax2+bx+c当x=-1时，可知y=a-b+c<0，故二次函数y=ax2+bx+c当x=-1时所对应的点在第三象限，当a<0时，只要顶点在x轴下方，从画出的y=ax2+bx+c的大致图像可知与x轴无交点，故 (2) 错误；对于 (3) 判定一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数，联想到根的判别式即可解决：b2-4ac=（2a+3c) 2-4ac=4a2+9c2+8ac=2a2+2 (a+2c) 2+c2>0，故有两个不相等的实数根；对于 (4) b2-4ac可联想到它通常与一元二次方程根的情况或抛物线与x轴交点的个数有关，可知当b2-4ac>0时，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，即二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，故 (4) 正确，从而选B.
以上，列举了解选择题的十种常见方法，但真正在解选择题的过程中，很多办法都是相通的，有的选择题只能用一种方法来选，有的选择题可用几种方法来选，而有的题是几种方法的联合运用．
例12：如果关于x的一元二次方程k2x2-（2k+1) x+1=0，有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（）.
分析：一般思路应求出方程根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根，根的判别式应大于0，得出一个关于k的不等式，从而求出，再结合一元二次方程的二次项系数不为0，知k≠0，故选B．这种直接法会在计算上浪费大量时间，较好的办法是使用取特殊值法和排除法：首先根据k≠0，排除A和C选项，答案在B和D中选，再根据方程有两个不相等的实数根，根的判别式应大于0，不带等号，排除D选项，故选B.
1.自交与自由交配的概念不同
（1）自交的概念
自交是遗传学术语，有狭义和广义两种理解。狭义的自交仅限于植物，指两性花的自花传粉（如豌豆），或者雌雄同株植物的异花传粉（如玉米），其实质就是参与融合的两性生殖细胞来自同一个体；广义的自交是指具有相同基因型的两个个体进行交配。一般来说，有性别决定的生物不能自交。动物一般不说自交，只能说基因型相同的个体杂交，相当于自交。
（2）自由交配的概念
自由交配也叫随机交配，是指种群内具有生殖能力的雌雄个体之间可以随机交配，不受基因型的限制（既有基因型相同的个体交配，也有基因型不同的个体交配），强调随机性。在间行种植的玉米种群中，随机交配包括自交和杂交方式，对豌豆、水稻、小麦等主要进行自花授粉的植物来说，随机交配的概念不适用，而主要是自交。在动物种群中，随机交配指基因型相同或不同的雌雄异体交配，交配组合数为理论应出现的数目。
2.自交与自由交配的交配组合种类不同
若某群体中有基因型AA、Aa、aa的个体，自交方式有AAAA、AaAa、aaaa三种交配方式，而自由交配方式除上述三种交配方式外，还有AAAa、AAaa、Aaaa，共六种交配方式。
3.自交与自由交配的结果不同
自交和自由交配产生的后代中，基因型频率不同。如，含一对等位基因（Aa）的生物，连续自交n代产生的后代中，基因型为Aa的个体占1/2n，而基因型为AA和aa的个体各占1/2（1-1/2n）。随着自交代数的增加，AA、aa基因型频率升高，而Aa基因型频率趋近于0；若自由交配n代产生的后代中，AA∶Aa∶aa=1∶2∶1，自由交配不改变后代基因型频率。
二、典例应用分析
【例1】 已知一批基因型为AA和Aa的豌豆种子，其数目之比为1∶2，将这批种子种下，自然状态下自由交配（假设结实率相同），其子一代中基因型为AA、Aa、aa的种子数之比为（ ）。
A.3∶2∶1 B.1∶2∶1 C.3∶5∶1 D.4∶4∶1
分析：这道题很多学生会选择D，究其原因，学生审题抓住了“自由交配”这个关键词，通过计算可得D答案，而忽略了豌豆这种植物本身的特点，自然状态下豌豆自花传粉闭花授粉。这道题出题者就是以自由交配作为陷阱来考查学生对遗传材料和遗传交配方式是否深入理解，暴露出不少学生对自交和自由交配的概念的认识仅仅停留在基本文字上，对概念的内涵和本质不甚理解，还不能达到灵活应用的水平。正确解决此题关键是审题，抓住豌豆、自然状态下自由交配实质就是自交。群体中AA和Aa分别占整体的1/3和2/3，它们分别自交。AA自交后代全是AA，而Aa自交会发生性状分离。图解如下：
【例2】 一种生物个体中，如果隐性个体的成体没有繁殖能力，一个杂合子（Aa）自交，得子一代（F1）个体，在F1个体只能自交和可以自由交配两种情况下，F2代有繁殖能力的个体中，杂合子分别占（ ）。
A.1/34/9 B.5/68/9 C.2/51/2 D.1/24/9
分析：本题审题时要抓住几个关键词：隐性个体没有繁殖能力、自交、自由交配和F2代有繁殖能力的个体中，杂合子。错选A和D的学生较多，究其原因是：学生在具体求解时，对F2有繁殖能力的个体的理解包括了所有存在的个体，忽略了aa个体没有繁殖能力，还有的是对自由交配的组合弄错了。这道题在分析自交和自由交配组合时要考虑到“淘隐”，自交组合是AAAA、AaAa，自由交配组合是AAAA、AaAa、AAAa。一个杂合子Aa自交，得子一代F1个体为1/4AA、1/2Aa、1/4aa，由于aa个体没有繁殖能力，在分析F1自交和自由交配问题时，要除去aa个体，进行比例重排，得出F1代有繁殖能力的个体为1/3AA、2/3Aa。F1代自交，1/3AA后代均为AA，Aa的后代中具繁殖能力的个体为2/3（1/4AA+2/4Aa），也就是说，F1代自交，F2中有繁殖能力的个体为1/2AA+1/3Aa，，所以F2代有繁殖能力的个体中，杂合子占2/5。F1代自由交配，利用“配子法”，有繁殖能力的个体为1/3AA和2/3Aa，可推算出能产生的A配子为2/3，产生a配子为1/3，根据遗传平衡定律，F2中有繁殖能力的个体为4/9AA+4/9Aa，所以F2代有繁殖能力的个体中，杂合子占1/2。
三、教学启示
课题：§4.1喜爱哪种动物的同学最多
～全面调查举例
如东县实验中学 张晓兵
一、教学目标
⒈经历数据的收集、整理、描述等活动，通过问题的提出、分析和解决的过程，掌握全面调查的方法；
⒉通过学习，感受数学思维的严谨，体会数学来源于生活又应用于生活，并体验成功的乐趣；
⒊初步学会与他人合作交流，获得积极的数学学习情感，培养浓厚的数学学习兴趣，使每个学生的数学素质得到充分的发展，全面调查举例教案 —— 初中数学第一册教案。
二、教学重点、难点
重点是数据的收集、整理、描述的方法；
难点是收集数据和描述数据。
三、教学过程：
1、创设问题情境
如今的社会，是信息爆炸的社会，合理的收集、处理信息已成为每个人必不可少的基本技能。举个例子，你们是如何选出班长的呢？
在刚才的问题解决过程中为什么要收集数据并处理数据呢？因为数据处理能够使问题变得更简明、更易于解决。收集、整理、描述和分析数据是数据处理的基本过程。我们将在“第四章——数据的收集与整理”中学习收集数据和整理数据的一些基本方法。通过调查活动，我们会进一步感受到数据充满了生活的各个方面，数据处理可以帮助我们认识和解决很多问题。我们就从“全面调查”开始我们的学习和研究。
2、用心想一想
什么是“全面调查”？如何进行“全面调查”呢？首先请看下面的问题：
问题：如图，是六种国家的一级保护动物，你知道本班同学喜爱这些动物的情况吗？
（展示图片）
怎样解决以上问题呢？首先应该做什么？
首先要收集数据。你有哪些方法可以收集数据？我们一般用问卷调查来收集数据，为此我们要设计调查问卷。请你设计一个调查问卷并说明你这样设计的理由？（调查问卷应简明扼要）把你的设计方案在小组内交流，相互取长补短，共同探讨，形成小组内一致的方案。展示调查问卷，采用其中的一个调查问卷开始收集数据。
调查问卷 年 月 日
学号
性别 你最喜爱的动物的编号（只写一种）
（利用调查问卷，可以收集到全班每位同学最喜爱的动物的编号——数据，再根据这些
数据进行统计）。按照座位顺序排出这些编号，得到若干数据，从这些数据中，你能看
出喜爱哪种动物的同学最多吗？（很难一下子看出来）
为了更清楚地了解调查结果，需要对数据进行整理。根据你的生活经验，有哪些办法可以用来整理数据呢？——一般用表格来整理数据。
首先确定表头“全班同学最喜爱某种动物的人数分布表”；
表格通常由行和列组成，表格中的栏目有哪些？如何简单明了地累计数据呢？
解释“划记法”——“正”字的每一划代表一个数据。（举例说明）在日常生活中，“划记法”又有哪些具体的应用呢？（如选举唱票等）
当然，统计表格还可以设计成不同的式样，但要简单、清楚，有利于突出数据的分布规律，上面这种是统计中常用的一种格式。你发现表格中的各数据与总数之间有什么关系吗？（各数据和等于总数，各个百分比和等于1）你能利用我们刚刚研究得到的结论解决一些问题吗？
3、仔细算一算
为了了解初一（1）班女学生身体发育情况，某中学对初一（1）班女学生的身高进行了一次测量，所得数据整理后，列出身高分布表如下：
初一（1）班女学生的身高分布表 100 % 50 合计 4 % 2 165.5-169.5 N 8 161.5-165.5 30 % 15 157.5-161.5 40 % M 153.5-157.5 8 % 4 149.5-153.5 2% 1 145.5-149.5 百分比
人数
组别
表中Ｍ和Ｎ所表示的数分别是多少？M=，N=，初中数学教案《全面调查举例教案 —— 初中数学第一册教案》
4、大胆试一试 联系前面学过的代数公式用几何图形直观表示，引导学生展开大胆想象，寻求几何图形形象直观地描述数据的分布规律，动手设计条形图和扇形图。
比较表格和条形图、扇形图，它们各有什么优点？（表格在数量表示上比较确切，条形图、扇形图比较直观，两者放在一起，可相互补充，从而对数据的分布情况了解得更加清楚）
你能利用刚学会的知识用条形图和扇形图描述“初一（1）班女学生身高分布”情况吗？（单号小组用条形图，双号小组用扇形图来描述）并请小组内交流每个人画出的条形图和扇形图，并说出你从别人的图上看到了什么？
5、认真读一读
例：这是某班爱好各种球类运动人数的扇形分布图
（1）哪种球类运动最受欢迎？
（2）哪两种球类运动受欢迎的程度差不多？
（3）最受欢迎的两种球类活动是什么？它们的百分比之和是多少？
（4）图中的各个扇形分别代表了什么？
（5）你认为图中的各个百分比是如何得到的？所有的百分比之和是多少？
（6）如果你是体育委员，准备组织全班同学去观看一场球类比赛，为了吸引尽可能多的同学参与，你会组织观看什么比赛？
6、尽情议一议
通过教师引导，学生谈本节课的收获，谈感受、体会，说想法，总结本节课的学习内容和思想方法，升华数学学习的情感。
7、操作平台：课本P155复习巩固1、2 课题：§4.1喜爱哪种动物的同学最多
～全面调查举例
如东县实验中学 张晓兵
一、教学目标
⒈经历数据的收集、整理、描述等活动，通过问题的提出、分析和解决的过程，掌握全面调查的方法；
⒉通过学习，感受数学思维的严谨，体会数学来源于生活又应用于生活，并体验成功的乐趣；
⒊初步学会与他人合作交流，获得积极的数学学习情感，培养浓厚的数学学习兴趣，使每个学生的数学素质得到充分的发展。
二、教学重点、难点
重点是数据的收集、整理、描述的方法；
难点是收集数据和描述数据。
三、教学过程：
1、创设问题情境
如今的社会，是信息爆炸的社会，合理的收集、处理信息已成为每个人必不可少的基本技能。举个例子，你们是如何选出班长的呢？
在刚才的问题解决过程中为什么要收集数据并处理数据呢？因为数据处理能够使问题变得更简明、更易于解决。收集、整理、描述和分析数据是数据处理的基本过程。我们将在“第四章——数据的收集与整理”中学习收集数据和整理数据的一些基本方法。通过调查活动，我们会进一步感受到数据充满了生活的各个方面，数据处理可以帮助我们认识和解决很多问题。我们就从“全面调查”开始我们的学习和研究。
2、用心想一想
什么是“全面调查”？如何进行“全面调查”呢？首先请看下面的问题：
问题：如图，是六种国家的一级保护动物，你知道本班同学喜爱这些动物的情况吗？
（展示图片）怎样解决以上问题呢？首先应该做什么？
首先要收集数据。你有哪些方法可以收集数据？我们一般用问卷调查来收集数据，为此我们要设计调查问卷。请你设计一个调查问卷并说明你这样设计的理由？（调查问卷应简明扼要）把你的设计方案在小组内交流，相互取长补短，共同探讨，形成小组内一致的方案。展示调查问卷，采用其中的一个调查问卷开始收集数据。
调查问卷 年 月 日
学号
性别
你最喜爱的动物的编号（只写一种）
（利用调查问卷，可以收集到全班每位同学最喜爱的动物的编号——数据，再根据这些
数据进行统计）。按照座位顺序排出这些编号，得到若干数据，从这些数据中，你能看
出喜爱哪种动物的同学最多吗？（很难一下子看出来）
为了更清楚地了解调查结果，需要对数据进行整理。根据你的生活经验，有哪些办法可以用来整理数据呢？——一般用表格来整理数据。
首先确定表头“全班同学最喜爱某种动物的人数分布表”；
表格通常由行和列组成，表格中的栏目有哪些？如何简单明了地累计数据呢？
解释“划记法”——“正”字的每一划代表一个数据。（举例说明）在日常生活中，“划记法”又有哪些具体的应用呢？（如选举唱票等）
当然，统计表格还可以设计成不同的式样，但要简单、清楚，有利于突出数据的分布规律，上面这种是统计中常用的一种格式。你发现表格中的各数据与总数之间有什么关系吗？（各数据和等于总数，各个百分比和等于1）你能利用我们刚刚研究得到的结论解决一些问题吗？
3、仔细算一算
为了了解初一（1）班女学生身体发育情况，某中学对初一（1）班女学生的身高进行了一次测量，所得数据整理后，列出身高分布表如下：
初一（1）班女学生的身高分布表 100 % 50 合计 4 % 2 165.5-169.5 N 8 161.5-165.5 30 % 15 157.5-161.5 40 % M 153.5-157.5 8 % 4 149.5-153.5 2% 1 145.5-149.5 百分比
人数
组别
表中Ｍ和Ｎ所表示的数分别是多少？M=，N=。
4、大胆试一试
联系前面学过的代数公式用几何图形直观表示，引导学生展开大胆想象，寻求几何图形形象直观地描述数据的分布规律，动手设计条形图和扇形图。
比较表格和条形图、扇形图，它们各有什么优点？（表格在数量表示上比较确切，条形图、扇形图比较直观，两者放在一起，可相互补充，从而对数据的分布情况了解得更加清楚）
你能利用刚学会的知识用条形图和扇形图描述“初一（1）班女学生身高分布”情况吗？（单号小组用条形图，双号小组用扇形图来描述）并请小组内交流每个人画出的条形图和扇形图，并说出你从别人的图上看到了什么？
5、认真读一读
例：这是某班爱好各种球类运动人数的扇形分布图
（1）哪种球类运动最受欢迎？
（2）哪两种球类运动受欢迎的程度差不多？
（3）最受欢迎的两种球类活动是什么？它们的百分比之和是多少？
（4）图中的各个扇形分别代表了什么？
（5）你认为图中的各个百分比是如何得到的？所有的百分比之和是多少？
（6）如果你是体育委员，准备组织全班同学去观看一场球类比赛，为了吸引尽可能多的同学参与，你会组织观看什么比赛？
6、尽情议一议
通过教师引导，学生谈本节课的收获，谈感受、体会，说想法，总结本节课的学习内容和思想方法，升华数学学习的情感。
一、知识梳理 数学归纳法
数学归纳法的应用
二、例题讲解
例1平面内有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这n个圆将平面分成f(n)=n2－n+2个部分
变式：证明凸n边形的对角线的条数f(n)
1n(n3)(n4)
例2 证明:n35n(nN*)能被6整除.变式：证明:x2n1y2n1能被xy整除.例3.用数学归纳法证明1＋n≤1＋113＋„＋12≤1
＋n(n∈N*)．
三、巩固练习
1．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是()
A．假设n＝k(k∈N*)时命题成立，证明n＝k＋1命题成立
B．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋1命题成立 C．假设n＝2k＋1(k∈N*)时命题成立，证明n＝k＋1命题成立 D．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋2命题成立
2．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开()
A．(k＋3)3B．(k＋2)3 C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3 3.使不等式2n
n2
1对任意nk的自然数都成立的最小k值为（）A.2B.3C.4D.5
4.用数学归纳法证明不等式112141127
2n164
成立，起始值至少应取为
A.7B.8C.9D.10
5.对任意nN*,34n2a2n1都能被14整除,则最小的自然数a6.用数学归纳法证明：当n为正整数时，f(n)＝32n＋
2－8n－9能被64整除．
7.用数学归纳法证明：
对任意的n∈N*,1－12＋13－1412n－1－1111
魄力意思是：1、指临事的胆识和果断作风。2、气魄，气势。
魄力的近义词和同义词
气派[注释]指人的魄力气度或某些事物所表露的气势：这人有气派|这排建筑有气派
气魄[注释]①气概魄力：革命气魄|办事气魄。②气势宏伟：建筑有气魄
气概[注释]在重大问题上表现的魄力气度：英雄气概|革命气概
气势[注释]1、指军队的士气和威势。2、指声势。3、气概，勇力。4、气焰，权势。
魄力造句
1、赵明做什么事都锦衣玉食，一点魄力都没有。
2、老张这人办事缺乏魄力，没有一点开拓精神。
3、你做事过分谨慎了，变得畏首畏尾，毫无魄力。
4、翘首聆听新年的钟声，仿佛春天的脚步正轻盈的向我们走来，走进我们美好的生活，走进我们理想的彼岸;仿佛正以一种前所未有的魄力改变和描绘着祖国的蓝图，使我们感受到复苏的田园在梦唤中变迁。
5、赵明做什么事都谨小慎微，一点魄力都没有。
6、花男人钱的女人有魅力，不花男人钱的女人有魄力。
7、他是一位很有魄力的领导。
8、你有地球的引力，吸引我追求的动力，你有夏天的魅力，付于我勇气的魄力，你有温柔的资力，推动我幻想的实力，你给爱情的鼓励，我要努力让你更甜蜜。
9、不要去管别人有没有理你，不要去在乎别人有没有想起你，你要记得：在这个世界上，如果你够完美，够魄力，嫦娥也会后悔当初甩了你!八戒：生日快乐!
10、让世界低头是一种霸气。让自己放手是一种魄力。
11、我有时沉默，有时滔滔不绝，有时寂寞，有时开心，有时严谨，有时调皮，有时没有魄力，有时骄傲，有时很婉约，有时很小女生，有时充满幻想和一大堆愿望。
12、累了，试一试休息，让健康安逸，烦了，试一试快乐，让心情甜蜜，失了，试一试美好，让生活如意，败了，试一试信心，让激情再起。试一试，试出勇气魄力，祝你所向披靡。
13、带上航海般的勇气面对生活，保留航海般的冷静处理难事，学习航海般的拼搏突破瓶颈，载着航海般的魄力成就事业。、航海日，祝你生活幸福，马到成功!
14、对于许多不同的现场条件，分段施工都能提供美观，颇有魄力的桥型结构、
15、感情不是算术题，二减一等于一，想要减去，便真的能干干脆脆的减掉。已经那么深厚的情感，要多少决然的魄力，才能彻彻底底地斩断?天衣有风
16、你用微笑表现出美丽端庄的天性，你用亲切表现出可爱动人的本性，你用体贴表现出贤淑温柔的魅力，你用智慧表现出气质非凡的魄力。妇女节，祝你越来越美丽，越来越快乐，越来越幸福!
17、俗话说，一着不慎，满盘皆输，可俗话又说，不担三分险，难练一身胆，要想成功，就必须要有惊人的魄力，做事缩手缩脚。就永远无法成功!
18、不要去管别人有没有理你，不要去在乎别人有没有想起你，你要记得：在这个世界上，如果你够完美，够魄力，嫦娥也会后悔当初甩了你!戒戒：生日快乐!
19、周末嘉奖通知：鉴于你本周来工作乐观积极，生活快乐无忧，特奖给你：行运发财的实力;摒弃烦恼的魄力;幸福一生的能力。赶快领奖吧!
20、老爹说，面对想要的东西，立刻去要是勇气。面对想要的东西，摇头不要是魄力。如何做到又有勇气又有魄力呢?那就面对想要的东西，今天要不到，明天我再来试试。
21、发一发，愿你一本万利事业起，名利双收展魄力，三阳开泰拢财气，四通八达财运聚，五福临门得金币，六六大顺满珠玉，七步之才招宝器，八面玲珑生意经，祝发财日，发发发。
22、抽烟是一种习惯，戒烟是一种意志;拖延是一种习惯，力行是一种魄力;许诺是一种习惯，兑现是一种诚信;贫穷是一种习惯，致富也是一种习惯。
23、劳动节到了，祝你劳有所获：收获一鸣惊人的业绩，获得一飞冲天的拔提，经营一本万利的收益，享受一劳永逸的安逸，具有一锤定音的魄力。五一节快乐!
24、魄力胜过智慧;情商强过智商;意志重于知识;行动超越理念;专一赢得优势;思想决定远近。愿我的提示能抛砖引玉，祝你成功!
25、想见你还真不容易，想约你还必须得有魄力!你虽不是比尔盖茨，但是你有你的魔力!周末出来聚会，问你可不可以?
26、五权宪法思想还主张建设直接民权的全民政治国家，以克服西方代议政治的弊端，体现了孙中山先生向传统挑战的政治魄力。
27、一生任抓三条都可致富：勤劳，复制，创新，得遇贵人，时刻准备，抓住机遇，魄力，信心，细心，朋友，口才，交际，自我学习，自我激励，坚持。
28、高考拼火力，备考拼耐力，考场很暴力，考生有魄力，读书有动力，记忆很苦力，分数很给力，报考无压力。祝你金榜提名，心想事成!
29、别人说你“妻管严”，那是你的“福气”;别人笑你“怕老婆”，那证明你有“魄力”;爱妻等于爱自己，夫妻有爱才甜蜜。妻爱你，祝你夫妻和睦，幸福数第一!
30、植树节，植的是“动力”，收的是“活力”;植的是“精力”，收的是“潜力”;植的`是“心力”，收的是“智力”;植的是“毅力”，收的是“魄力”。祝植树节“快乐有力”!
31、我们需要大批有魄力、懂技术、会管理的干部。
32、新厂长很有魄力，一上任就大胆改革了不合理的工资制度。
33、他是一位很有魄力的领导。
34、他的态度使人感到他有一种在必要时候当机立断的魄力。
35、我们组长做工作很有魄力，从不缩手缩脚的。
36、这位年轻的局长工作上有锐气，有魄力，但有时也未免锋芒毕露。
37、没有重起炉灶的魄力，就建不出超越发展的南昌城!
38、如果做事过分谨慎了，变得畏首畏尾，毫无魄力。
39、几个有魄力的女子筹办了一项慈善步行活动。
40、这世界上，有时候想要保护天真信仰和平，反而需要以杀止杀的魄力。
41、这年头儿，愈是能干愈是有魄力有胆气的年青人都有些不稳的思想。
42、他们那些富有立异性的作品正代表了时下年青人的理想与魄力气焰，同时也提出一份史无前例的对付天下的独到见解。
43、如何把文化碎片黏合成整体，需要诚意与魄力。
44、胆量高的人能够把握机会，凡是成功的商人、政客，都具有非凡胆略和魄力。
45、让世界低头是一种霸气。让自己放手是一种魄力。
46、危机往往也是转机，要破解当下中国经济、中国社会、中国人心的雾中迷局，需要的还是大智慧、大魄力。
47、奥运精神是气度绵延的万里长城，赋予我们勇武的魄力。
48、我所不知道的是，哈姆雷特的冷静并非来自于教育，而是出自那种压倒和颜悦色的冷漠和激情，魄力匮乏之人，唯独在老时方能期盼拥有。
49、果敢行动、突进发展，关键是要增强勇气、胆识、魄力。
辐射联想，是三相联想法的一个补充。它不受时空和性质限制，但事物间又有内在联系的。确切地说它是一组联想群。它可以是前面三种联想的任何一种的组合，也可以是它们的综合。它是一种发散式的。它与相关联想法的区别在于它定是综合的，群组的。而相关联想法可是单个的，也可是群组的。它不包括其他两种联想法。
《绿》
一 教学目标
1. 了解作家及作品
2. 欣赏文章情景交融的写法;
3. 提高学生的想象和联想能力
4. 学习辐射联想法和运用多种修辞来表现景物特点
5. 领会作者热爱大自然，热爱生活，积极向上的思想感情。
二. 教学重点
1. 领悟文章的内容和思想感情
2. 学习辐射联想法和修辞手法的运用。
3. 欣赏文章情景交融的写法;
三. 教学难点
理解情景交融的写法
四. 教学过程
（一）课文导入（联想引入）
1. 用“绿”组词，看谁组得多组得快？（要求三字以上）
学生：绿油油、绿莹莹 、绿生生、绿豆糕、绿帽子 ……
教师补充：红男绿女、绿水青山．．．．．．
2. 名人朱自清，你知多少？
学生：学过他的《背影》；他是现代著名散文作家，还有《荷塘月色》写得很好……
教师补充：1948年8月12日，在贫病交加中逝世于北平。毛泽东高度评价他说：“我们中国人民是有骨气的。……朱自清一身重病，宁可饿死，不领美国的‘救济粮’。……我们应当写闻一多颂，写朱自清颂，他表现了我们民族的英雄气慨。”
朱自清爱国爱父亲，也爱大自然。
（二）整体感知（联想感知）
1. 思考题展示
（1）从课文中找出一个能概括全文内容的句子明确：惊诧于梅雨潭的绿了
（2）找出两个能概括梅雨潭的绿的特征的词语 明确：醉人和奇异
（3）概括四段大意。前后两段的相同点和不同点。联想类似的课文。
2.录音朗读
3.字词学习
踞（jù) 薄（bó)阴 绺（liǔ) 棱（léng)角 穹（qióng) 尘滓（zǐ) 皱缬（xié) 什刹（shí chà) 明眸（móu）善睐（lài） 挹（yì） 掬（jū）
皱缬：潭水泛起的波纹，好像有花纹的绸缎（微微）皱褶着。缬，有花纹的丝织品。（联想同义词：涟漪）
明眸善睐：出自《洛神赋》。意思是指明亮的眼珠善于左顾右盼。眸，本指瞳人，泛指眼睛。睐，看，向旁边看。（联想反义词：熟视无睹、视而不见、目光如豆…..联想同义词：目光如炬……）
掬：两手捧（东西）。 踞：蹲。 尘滓：指杂质 挹：舀，把液体盛出来。
4. 明确整体感知思考题
（1）概括全文内容的句子：惊诧于梅雨潭的绿了
（2）两个能概括梅雨潭的绿的特征的词语：醉人和奇异
（3）第一段：开门见山，一语点题。
第二段：从不同的观察点写梅雨潭。
第三段：从多角度写梅雨潭的绿。
第四段：进一步深化文章的主题。
相同点：都写道：我第二次到仙岩的时候，我惊诧于梅雨潭的绿了。都是对全文内容的概括。
不同点：第一，作用不同。开头的是：是开门见山，点题。结尾是深化主题。第二，是结尾多加了“不禁”一词。。“不禁”再次表达了作者对梅雨潭的绿的赞美之情，抒发了作者对她的无比喜爱之情。文章从博喻到比较映衬到联想再到转换人称、直接呼告，感情逐渐转浓，直到不能自已。
朱自清的《背影》也是采用了这种首尾呼应的写法。这种写法使文章的结构更完整、更严谨。
(三) 课文细读（联想感受）
讨论:
1．作者写景的立足点有几个？每个立足点写了什么景物？写这些景物的作用是什么？
2.写梅雨谭的绿作者联想到了一些什么？作用是什么？
3.以第三段为例，说说情景交融的写法。
归纳明确1：第一个立足点是山边，写梅雨瀑的远景。作用：衬托梅雨潭的绿。
第二个立足点是梅雨亭边，写梅雨潭的环境：山、岩、亭、天、草、瀑布、水花。作用：衬托梅雨潭的绿。
第三个立足点是梅雨潭边，极写梅雨谭的绿：潭面、水波、水光、水色。 突出梅雨潭的绿。
归纳明确2：联想到“少妇拖着德裙幅”；“初恋的处女的.心”；“明油”；“蛋清”“碧玉”。
作用：通过几个比喻，从视觉、触觉等方面形象地再现了梅雨潭之绿的清亮、鲜润、柔软、纯净的特征。突出了梅雨潭之绿的美。
联想到北京什刹海绿杨的“淡”，杭州虎跑寺“绿壁”的“浓”，西湖波的“明”，秦淮河的“暗”。
作用：进行衬托，说明梅雨潭的绿是明暗适度、浓淡相宜，绿得实在恰到好处。突出了梅雨潭之绿的美。
联想到“舞女”“盲妹”，抒发作者陶醉之情。
文章通过写梅雨潭之绿的美，突出了作者对大自然、对生活的热爱之情。
归纳明确3：联想情景交融的诗句
感时花溅泪，恨别鸟惊心。
无可奈何花落去，似曾相识燕归来。
………
作者先写景，运用比喻和比较，写出梅雨潭“绿”的特点：清亮，鲜嫩，柔软，纯净 。 面对这奇异、可爱的“绿”，作者改用第二人称，用呼告的方法渲泻情感。 这样，作者在描绘景色的过程中，就把狂喜、倾慕、欢愉、神往的感情融汇在梅雨潭的一片绿色之中，情与景交织在一起。
(四) 迁移训练（联想迁移）
谈谈你生活中的“绿色”
我的 是绿色的，因为 。
如：我的口杯是绿色的，因为它的色彩鲜亮，每天有让人耳目一新的感觉。
我的笔袋是绿色的，因为我听医生说多看绿色对视力有好处。
……
本教案联想法贯穿整个设计。导入采用的就是辐射联想法，同时采用多种联想法。讲解词语，用的是相似联想法和相对联想法。课文的整体感知，首尾呼应写法的联想用的是相似联想法。课文细读，理解作者的联想运用，是相似联想和相关联想。最后的迁移训练，调动学生的生活储存，更是多种联想同时运用的辐射联想法。
本人在进行想象性阅读法在文学作品教学中应用研究和实践中，根据同行及自己的经验归纳出6种想象法和4种联想法，旨在方便老师借鉴。可能还有不妥之处，有待完善。
本文还该声明的有两点：一，想象性阅读法绝不止这10种，同仁若有兴趣，还可归纳更多；二，这10种方法，绝不是孤立的。在应用的时候可单独使用，也可几种同时使用。尤其是在整个教案的设计中，可同时或先后使用多种想象性阅读法。《绿》的教案设计主要是突出联想法。其实想象法也是可以穿插其中运用的。
1.教学目标
1.掌握利用导数求函数最值的基本方法。
2.提高将实际问题转化为数学问题的能力.提高学生综合、灵活运用导数的知识解决生活中问题的能力
3．体会导数在解决实际问题中的作用.2.教学重点/难点
【教学重点】：
利用导数解决生活中的一些优化问题． 【教学难点】：
将生活中的问题转化为用函数表示的数学问题，再用导数解决数学问题，从而得出问题的最优化选择。
3.教学用具
多媒体
4.标签
1．4．1生活中的优化问题举例
教学过程
课堂小结
1、建立数学模型（确立目标函数）是解决应用性性问题的关键
二．教学目标：
1.使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．
2.要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．
3.通过一个简单实验引入抛物线的定义，可以对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育．
三．教学重、难点：
1.重点：抛物线的定义和标准方程．(解决办法：通过一个简单实验与椭圆、双曲线的定义相比较引入抛物线的定义；通过一些例题加深对标准方程的认识)．
2.难点：抛物线的标准方程的推导．(解决办法：由三种建立坐标系的方法中选出一种最佳方法，避免了硬性规定坐标系．)
四、教学过程
(一)导出课题：我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线．今天我们将学习第四种圆锥曲线——抛物线，以及它的定义和标准方程．课题是“抛物线及其标准方程”．
请大家思考两个问题：
问题1：同学们对抛物线已有了哪些认识？
在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？ 问题2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？
在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形． 引导学生进一步思考：如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了．今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线．(二)抛物线的定义
1．回顾：平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？ 2．简单实验
如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结． 3．定义：
平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．
(三)抛物线的标准方程
设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0)．下面，我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？
让学生议论一下，教师巡视，启发辅导，最后简单小结建立直角坐标系的几种方案：
方案1：(由第一组同学完成，请一优等生演板．)以l为y轴，过点F与直线l垂直的直线为x轴建立直角坐标系(图2-30)．设定点F(p，0)，动点M的坐标为(x，y)，过M作MD⊥y轴于D，抛物线的集合为：
用心
爱心
专心
p={M||MF|=|MD|}．
化简后得：y=2pxp(p＞0)．
方案2：(由第二组同学完成，请一优等生演板)以定点F为原点，平行l的直线为y轴建立直角坐标系(图2-31)．设动点M的坐标为(x，y)，且设直线l的方程为x=-p，定点F(0，0)，过M作MD⊥l于D，抛物线的集合为： p={M||MF|=|MD|}．
22化简得：y2=2px+p2(p＞0)．
方案3：(由第三、四组同学完成，请一优等生演板．)取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(图2-32)．
抛物线上的点M(x，y)到l的距离为d，抛物线是集合p={M||MF|=d}．
化简后得：y=2px(p＞0)．
比较所得的各个方程，应该选择哪些方程作为抛物线的标准方程呢？ 引导学生分析出：方案3中得出的方程作为抛物线的标准方程．这是因为这个方程不仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到准线距离的2倍．由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)： 2
用心
爱心
专心
由学生讲清为什么会出现四种不同的情形，四种情形中P＞0；并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆．即：当对称轴为x轴时，方程等号右端为±2px，相应地左端为y2；当对称轴为y轴时，方程等号的右端为±2py，相应地左端为x2．同时注意：当焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在负半轴上时，取负号．(四)四种标准方程的应用
例题：(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，2)，求它的标准方程．
方程是x=8y．
练习：根据下列所给条件，写出抛物线的标准方程：
(1)焦点是F(3，0)；
答案是：(1)y2=12x；
(2)y2=x；
(3)焦点到准线的距离是2．
(3)y2=4x，y2=4x，x2=4y，x2=4y．
由三名学生演板，教师予以订正．
这时，教师小结一下：由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数p，因此只要给出确定p的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程．当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了；若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解．(五)小结：
本次课主要介绍了抛物线的定义，推导出抛物线的四种标准方程形式，并加以运用．
五、作业：
2到准线的距离是多少？点M的横坐标是多少？
22222．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)x=2y；(2)4x+3y=0；(3)2y+5x=0；(4)y6x=0． 3．根据下列条件，求抛物线的方程，并描点画出图形：
(1)顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6；(2)顶点在原点，对称轴是y轴，并经过点p(6，3)． 4．求焦点在直线3x4y12=0上的抛物线的标准方程． 作业答案：
3．(1)y=24x，y=2x，(2)x=12y(图略)2224．分别令x=0，y=0得两个焦点F1(0，3)，F2(4，0)，从而可得抛物线方程为x=12y或
用心
爱心
专心
用心
微分方程是高等数学的重要内容之一，是一门与实际联系较密切的一个内容。
在自然科学和技术科学领域中，例如化学，生物学，自动控制，电子技术等等，都提出了大量的微分方程问题。
在实际教学过程中应注重实际应用例子或应用背景，使学生对所学微分方程内容有具体地，形象地认识，从而激发他们强大的学习兴趣。
1 应用问题举例
1.1 生态系统中的弱肉强食问题
在这里考虑两个种群的系统，一种以另一种为食，比如鲨鱼(捕食者)与食用鱼(被捕食者)，这种系统称为“被食者—捕食者”系统。
Volterra提出：记食用鱼数量为，鲨鱼数量为，因为大海的资源很丰富，可以认为如果，则将以自然生长率增长，即。
但是鲨鱼以食用鱼为食，致使食用鱼的增长率降低，设降低程度与鲨鱼数量成正比，于是相对增长率为。
常数，反映了鲨鱼掠取食用鱼的能力。
如果没有食用鱼，鲨鱼无法生存，设鲨鱼的自然死亡率为，则。
食用鱼为鲨鱼提供了食物，致使鲨鱼死亡率降低，即食用鱼为鲨鱼提供了增长的条件。
设增长率与食用鱼的数量成正比，于是鲨鱼的相对增长率为。
常数>0，反映了食用鱼对鲨鱼的供养能力。
所以最终建立的模型为：
这就是一个非线性的微分方程。
1.2 雪球融化问题
有一个雪球，假设它是一个半径为r的球体，融化时体积V的变化率与雪球的表面积成正比，比例常数为>0，则可建立如下模型：
1.3 冷却(加热)问题
牛顿冷却定律具体表述是，物体的温度随时间的变化率跟环境的的温差成正比。
记T 为物体的温度，为周围环境的温度，则物体温度随时
2 结语
文中通过举生态系统中弱肉强食问题，雪球融化及物理学中冷却定律问题为例给出了微分方程在实际中的应用。
在讲解高等数学微分方程这一章内容时经常举些应用例子，能引起学生对微分方程的学习兴趣，能使学生易于理解和掌握其基本概念及理论，达到事半功倍之效。
参考文献
[1] 王嘉谋，石林.高等数学[M].北京：高等教育出版社，.
[2] 王高雄，周之铭，朱思铭，等.常微分方程[M].2版.北京：科学出版社，.
[3] 齐欢.数学建模方法[M].武汉：华中理工大学出版社，.
微分方程在数学建模中的应用【2】
【摘 要】微分方程是现代数学的一个重要分支，是研究函数变化规律的有力工具，它在科技、教育、经济管理、生态、环境、人口、交通等各个领域中有着广泛的应用。
在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题。
本文主要从交通红绿灯模型和市场价格模型来论述微分方程在数学建模中的应用。
【关键词】微分方程;数学建模;交通红绿灯模型;市场价格调整模型
数学建模是数学方法解决各种实际问题的桥梁，随着计算机技术的快速发展，数学的应用日益广泛，数学建模的作用越来越重要，而且已经应用到各个领域。
用微分方程解决实际问题的关键是建立实际问题的数学模型——微分方程。
这首先要根据实际问题所提供的条件，选择确定模型的变量，再根据有关学科，如物理、化学、生物、经济等学科理论，找到这些变量遵循的规律，用微分方程的形式将其表示出来。
一、交通红绿灯模型
在十字路口的交通管理中，亮红灯之前，要亮一段时间的黄灯，这是为了让那些正行驶在十字路口的人注意，告诉他们红灯即将亮起，假如你能够停住，应当马上刹车，以免冲红灯违反交通规则。
这里我们不妨想一下：黄灯应当亮多久才比较合适?
停车线的确定，要确定停车线位置应当考虑到两点：一是驾驶员看到黄灯并决定停车需要一段反应时间 ，在这段时间里，驾驶员尚未刹车。
二是驾驶员刹车后，车还需要继续行驶一段距离，我们把这段距离称为刹车距离。
驾驶员的反应时间(实际为平均反应时间) 较易得到，可以根据经验或者统计数据求出，交通部门对驾驶员也有一个统一的要求(在考驾照时都必须经过测试)。
例如，不失一般性，我们可以假设它为1秒，(反应时间的长短并不影响到计算方法)。
停车时，驾驶员踩动刹车踏板产生一种摩擦力，该摩擦力使汽车减速并最终停下。
设汽车质量为m，刹车摩擦系数为f，x(t)为刹车后在t时刻内行驶的距离，更久刹车规律，可假设刹车制动力为fmg(g为重力加速度)。
由牛顿第二定律，刹车过程中车辆应满足下列运动方程：
md2xdt2=-fmg
x(0)=0， dxdtt=0=v0
(1)
在方程(1)两边同除以 并积分一次，并注意到当t=0时dxdt=V0，得到
dxdt=-fgt+v0
(2)
刹车时间t2可这样求得，当t=t2时，dxdt=0，故
t2=v0fg
将(2)再积分一次，得
x(t)=-12fgt2+v0t
将t2=v0fg代入，即可求得停车距离为
x(t2)=1v202fg
据此可知，停车线到路口的距离应为：
L=v0t1+12v20fg
等式右边的第一项为反应时间里驶过的路程，第二项为刹车距离。
黄灯时间的计算，现在我们可以来确定黄灯究竟应当亮多久了。
在黄灯转为红灯的这段时间里，应当能保证已经过线的车辆顺利地通过街口，记街道的宽度为D(D很容易测得)，平均车身长度为 ，这些车辆应通过的路程最长可达到L+D+l，因而，为保证过线的车辆全部顺利通过，黄灯持续时间至少应当为：
T=L+D+lv0
二、市场价格调整模型
对于纯粹的市场经济来说，商品市场价格取决于市场供需之间的关系，市场价格能促使商品的供给与需求相等这样的价格称为(静态)均衡价格。
也就是说，如果不考虑商品价格形成的动态过程，那么商品的市场价格应能保证市场的供需平衡，但是，实际的市场价格不会恰好等于均衡价格，而且价格也不会是静态的，应是随时间不断变化的动态过程。
如果设某商品在时刻t的售价为P，社会对该商品的需求量和供给量分别是P的函数D(P)，S(P)，则在时刻t的价格p(t)对于时间t的变化率可认为与该商品在同时刻的超额需求量D(P)-S(P)成正比，即有微分方程
dPdt=k[D(P)-S(P)] (k>0)
(3)
在D(P)和S(P)确定情况下，可解出价格与t的函数关系，这就是商品的价格调整模型。
某种商品的价格变化主要服从市场供求关系。
2015四川教师招聘试讲备考：数学《指数函数及其性质》教
案
一、教学目标
知识与技能：熟记并应用指数函数及其性质;过程与方法：通过观察操作分析，体会数形结合以及从一般到特殊的方法;情感态度与价值观：培养学生善于观察、勇于实践的良好科学态度。
二、教学重难点
重点：学生熟记并能够应用指数函数及其性质;难点：让他们通过自己的画图过程中总结函数性质。
三、教学过程 1.导入：温故知新
复习指数函数的解析式，进行复习，并由此引出本堂课的重点内容，他们的图像时怎么画出来的。
2.探索新知
给出几个具体的指数函数解析式，让同学小组合作一起画出他们的图像并观察，同时提出问题：通过图像可以发现哪些性质特点。
之后再通过教师多媒体演示，和同学一起归纳总结出函数的性质，突破重难点。2015四川教师招聘考试备考指导
3.深入探究
在解决了以上问题之后，同学们已经掌握了指数函数的基本性质，此时，我会再提出问题：底的变化与图像位置是否也有关系。同学们会从不同角度观察得出自己的规律，再由老师点拨：底互为倒数的两个函数关于y轴对称。
4.巩固提高
四川中公教育
使用课后练习进行巩固 5.小结作业
最后由教师和学生一起总结本堂课的主要知识点，本堂课学习了什么学习方法，它与实际生活的联系。
四、板书设计
五、教学反思
教材：普通高中课程标准实验教科书·人教B版·必修5·1.2
一、教学目标 1 知识与技能目标
初步运用正弦定理、余弦定理解决某些与测量和几何计算有关的实际问题． 2 过程与方法目标
（1）．通过解决“测量一个底部不能到达的建筑物的高度”或“测量平面上两个不能到达的地方之间的距离”的问题，初步掌握将实际问题转化为解斜三角形问题的方法；
（2）．进一步提高应用正弦定理、余弦定理解斜三角形的能力，提高运用数学知识解
决实际问题的能力． 情感、态度与价值观目标
（1）．通过学生亲自实施对“测量” 问题的解决，体会如何将具体的实际问题转化为抽象的数学问题，体验问题解决的全过程；
（2）．发展学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析解决问题的能力，以及交流与合作的能力，着重学生多元智能的发展。
二、教学重点、难点 重点是如何将实际问题转化为数学问题，并利用解斜三角形的方法予以解决． 分析、探究并确定将实际问题转化为数学问题的思路是难点和关键．
三、教学方法与手段 教学方法：运用认知建构教学理论和多元智能发展观，在教学中采用自主探究与尝试指导相结合，引导学生通过分析实践、自主探究、合作讨论得出转化（解决）问题的方法． 学习方法：在实践中体验过程，在过程中感受应用，在交流中升华知识。教学手段：实际模拟、合作学习、多媒体（投影仪）
四、教学过程
【教学环节一：复习回顾】 教学内容： 完成下列两个小题：
① 在△ABC中，已知A=30, B=30, c =
0
0，则a =_______，c =_______。
② 如图，为了测量某障碍物两侧A、B两点间的距离，给定下列四组数据，测量时最好选用数据（），最好不要选用数据（）
(A)
(B)
(C)
(D)
师生互动：学生独立完成上面两个小题，并作出回答，回答时阐明作答依据。
设计意图：（1）复习：①正、余弦定理；②解斜三角形的方法。
（2）为本节课重点知识的学习做一些知识准备。
【教学环节二：问题一的提出与解决】
教学内容：怎样测量一个底部不能到达的建筑物的高度？
<问题一> 我校科技楼顶矗立着一座天文观测台，如何通过测量，求得天文台顶距地面的高度？
师生互动：分析、探究、讨论、归纳。
① 教师带领学生一起分析题目背景――天文台顶到地面的距离指天文台顶（记为点A）到它在地面上的正射影（记为点B）这两点间的距离，而在这里显然B点无法到达，故不能
直接测量。
② 发动学生分组讨论解决方案：既然不能直接测量A、B两点的距离，我们是否可以考虑利用可测量的其它数据得出所需数据？
③ 讨论过程1：可在适当的地方（能看到顶点A的可到达的一点）选取一点C，对AB进行测量，如图1－A，设CC1表示测量仪器的高，在△AB1C1中只能测得∠AC1B1（即在C1点测的点A的仰角，记为）。要求得AB，须再选取另一点D。设测得CD = a，∠B1C1D1＝，∠C1D1B1＝,则在本题中可抽象出两个空间关系的三角形，其中△AB1C1是直角三角形。在△B1C1D1中，由、a根据正弦定理可求得B1C1，在Rt△AB1C1中，由
问题得解。即：
和B1C1可求得AB1，在△B1C1D1中，即，所以
在△AB1C1中，AB1＝B1C1·tan，于是，天文台顶距地面的高度为AB=AB1＋CC1.④ 实施方案：学生用自制的仪器对天文台实施测量（可在课下进行），得数据如下：
测点距地面1.5m。
在满足精确度为0.1m的前提下，请同学们计算所求距离。
过程：易解得
所以
因此天文台顶距地面的高度约为
⑤ 反思完善：
米。
提问：下面请同学们回顾刚刚我们的实际操作过程，有无问题存在？
学生经过讨论，（一般会）发现有两个问题，一是在测量过程中的B点或B1点不可到达，实际操作时是大体估计的位置，准确度差；二是学生会觉得还有更简方法。
<发动学生讨论改善方法> 学生分组讨论，然后发表讨论结果。
<讨论过程2> 如图1－B，由于B点或B1点不可到达，所以不考虑图1－A中的∠B1C1D1和∠C1D1B1，而点A是可见的，于是我们可以准确测量出∠AC1D1＝，∠AD1C1＝, CD = a，这样，在△AC1D1中，由、a根据正弦定理可求得AC1，在Rt△AB1C1中，由AC1可求得AB1，问题得解。即：
和在△AC1D1中，即，所以
在△AB1C1中，AB1＝AC1·sin
，于是，天文台顶距地面的高度为AB=AB1＋CC1
评：这个方法应该是完全可行的，只是计算还有些麻烦。具体的测量和计算由学生课
下完成，写成实践报告。
<讨论过程3> 我们可以做如下测量，在可到达的地方取C、D, 使这两点与点A在地面上的垂线在同一平面内（这样可以保证B、C、D三点共线），如图2，设CC1表示测量仪器的高，在C1点和D1点分别测得A点仰角为，C1D1＝a，于是，在△AC1D1中，我们可以利用正弦定理求
求出AB1，最后求出AB=AB1＋B1B.得AC1，再在Rt△AB1C1中，利用
评：此法比较容易操作，但C、D两点的选取多少需要些技巧。
⑥归纳总结：学生对照问题及三种解决方案总结解决该问题的方法及注意事项，并建议学生阅读教材问题一及处理方法，加深对上述方法的认识。
设计意图：从获取数据开始，使学生亲身经历并体验如何将实际问题转化为数学问题，从而得到解决。在讨论过程中，引导学生利用所学知识分三步层层发掘，探寻解决问题的最佳方案，感受数学的应用价值、人文价值、美学价值。在这一环节的教学中，采用认知建构教学理论和合作学习，在学生获取解决问题的方法的同时，注意了学生多元智能的发展。
【教学环节三：问题二的提出与解决】
教学内容：怎样测量平面上两个不能到达的地方之间的距离？ <问题二> 设A、B是两个海岛，如何在岸边测量它们之间的距离？
师生互动：
①合作探究：学生分组讨论，探寻解决问题的方案。以下是讨论内容与过程：与问题一类似，如果只选一个观测点C，在△ABC中只能测得∠ACB的大小，问题不能得到解决。因此需要再选择一个测点D，构造出一个能测出其一条边长的△BCD。要求出AB，还应先求
出AC和BC，为此应先解△ACD和△BCD。
②演练方案：按照上面讨论的方案，各组同学进行模拟演练：如图3，在岸边适当选取点C、D，使A、B、C、D共面（即保持在同一水平面上），测得
在△BCD中，由正弦定理，可以得到:，同理，在△ACD中也可以得到在△ABC中，由余弦定理，得
.，从而求得AB。
设计意图：深化将实际问题转化为数学问题的过程与方法，加强学生的合作意识，培养学生探寻解决问题的方法的思路与策略，提高学生应用所学知识解决问题的能力。【教学环节四：课堂练习】
练习内容：教材第16页，练习A，1
师生互动： ① 学生独立完成练习
② 教师展示答案：先利用投影仪把有代表性的几个学生的解答过程展示在大屏幕上，由学生自由讲评，教师总结。
设计意图：
通过反馈矫正，初步了解学生对本节教学内容的掌握情况，并及时给予调整。
【教学环节五：教学评价】
1、让学生先进行分组总结，思考三个问题：
① 本节课我们研究了什么？提出了什么问题？问题解决了吗？
② 本节课你学到了哪些方法？掌握了哪些技能？
③ 你认为自己对本节课内容掌握的好不好？课后打算怎样进一步巩固？
2、学生代表发表讨论的课堂总结，互相补充。
3、教师进行总结，要点如下：
① 两个问题：怎样测量一个底部不能到达的建筑物的高度？
怎样测量平面上两个不能到达的地方之间的距离？
② 运用数学知识解决实际问题的基本思路：首先要在理解题意的基础上将实际问题数学化，然后再利用有关定理、性质、公式解决之。步骤如下：
③ 提高实践能力（如测量的精确度）。
【课后作业】
1、教材P16，练习A，2； 教材P16，练习B，1、2
2、各小组利用自制的仪器，在我们周围选一较高建筑物用本节学习的方法测量其高度。
写出测量报告。附：教学设计说明
一、教学内容的特点及处理
根据教学内容的特点，这一课时的教学重点是解决两个与测量有关的问题。在教学设计时，对教学的每一个环节都强调了学生的主体地位。对每一个问题的解决，从问题的分析、方案的讨论、数据的获取、信息的分析、结论的得出、方法的总结，无一不是由学生亲自参与，合作完成的，而教师很好的充当了指导者和合作伙伴的角色，形成了一个自由的、开放的生态化课堂。
二、教学目标的确定
根据本节课教学内容的实践性强的特点，在确定教学目标时注重了三方面的要求：一是初步运用正弦定理、余弦定理解决某些与测量和几何计算有关的实际问题这一知识与技能的要求；二是强调了学生从实践过程中发现积累知识这一认知建构主义教学模式；三是明确提出了学生要从经历问题解决的全过程中学习这一体验性目标。
三、教学方法的选择
根据上述分析，本节课就特别适用建构主义教学模式下的分析实践、自主探究、合作学习这一十分有利于学生多元智能发展的教学方法。
四、教学过程的说明
高中新课程标准强调教师要在教学中帮助学生形成积极主动的学习态度，要将学习过程变为学生学会学习、学会合作、学会生存、学会做人的过程。
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