北师大版八年级数学下册《除法》说课稿（共10篇）
下午好！（自我介绍略）我说课的内容是义务教育课程标准试验教科书北师大版八年级数学下册第三章第二节分式的乘除法。下面我将从教材、教法、学法、教学程序、板书设计等方面来进行阐述。
一、说教材
１、教材内容：我认为可以理解为探索法则——理解法则——应用法则，进一步体现了新课标中“情境引入——数学建模——解释、拓展与应用的模式”。分式的乘除法与分数的乘除法类似，所以可通过类比，探索分式的乘除运算法则的过程，会进行简单的分式的乘除法运算，分式运算的结果要化成最简分式和整式，也就是分式的约分，要求学生能解决一些与分式有关的简单的实际问题。
２、教材地位：分式是分数的“代数化”，与分数的约分、分数的乘除法有密切的联系，也为后面学习分式的混合运算作准备，为分式方程作铺垫。
３、教学目标
知识目标：（1）、理解分式的乘除运算法则（2）、会进行简单的分式的乘除法运算
能力目标：（1）、类比分数的乘除运算法则，探索分式的乘除运算法则。（2）、能解决一些与分式有关的简单的实际问题。
情感目标：（1）、通过师生观察、归纳、猜想、讨论、交流，培养学生合作探究的意识和能力。（2）、培养学生的创新意识和应用意识。
（３）、让学生感悟数学知识来源于现实生活又为现实生活服务，激发学生学习数学的兴趣和热情。
4、教学重点：分式乘除法的法则及应用.5、教学难点：分子、分母是多项式的分式的乘除法的运算。
二、说教法
教学方法是我们实现教学目标的催化剂，好的教学方法常常使我们事半功倍。新课程改革中，老师应成为学生学习的引导者、合作者、促进者，积极探索新的教学方式，引导学生学习方式的转变，使学生成为学习的主人。
１、启发式教学。启发性原则是永恒的，在教师的启发下，让学生成为课堂上行为的主体。２、合作式教学，在师生平等的交流中评价学习。
三、说学法
学生在小学就已经会很熟练的进行分数的乘除法运算，上一章又学习的因式分解，本章学习的分式的意义，分式的基本性质等，都为本节课的学习做好了知识上的铺垫。
１、类比学习的方法。通过与分数的乘除法运算类比。２、合作学习。
四、说教学程序
１、类比学习，探索法则。（约3分钟）
让学生认真思考教材上提供的４个分数的乘除法的例子（２个乘法，２个除法）
24245252,, 35357979242525525959 ,,353434797272复习：分数的乘除法法则（抽一学生口答）
bdbd猜一猜： ；(a、b、c、d表示整数且在第一个式子中a、cacac不等于零，在第二个式子中a、c、d不等于零）
类比：得出分式的乘除法法则（a、b、c、d表示整式且在第一个式子中a、c不等于零，在第二个式子中a、c、d不等于零，a、c中含有字母）
活动目的：
让学生观察、计算、小组讨论交流，并与分数的乘除法的法则类比，让学生自己总结出分式的乘除法的法则。
教学效果：
通过类比分数的乘除法的法则，学生明白字母代表数、代表式，这样很顺利的得出分式的乘除法的法则。
2、理解法则：(约2分钟)（1）文字叙述：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（2）符号表述
bdbd×=;acacbdbcbc÷=×=.acadad活动目的：
两种形式巩固对法则的理解。教学效果：
理解法则，进一步发展学生的符号感。
3、应用：（约20分钟）（1）牛刀小试
教材74页到76页的例
1、做一做、例2.我准备把例1和例2先学习了。再学习做一做。例1 计算
2y23a（1）·2;4y3a（2）a21·2 a2a2a活动目的：
抓住学生刚学习了法则，跃跃欲试的学习激情，抽2名同学上黑板演算，其他学生在课堂作业本上演算。老师巡查，予以辅导，反复提醒学生像分数乘法一样来学习分式乘法（即类比）。
教学效果：
有的学生可能没有注意把结果化为最简分式，要提醒注意，有的学生可能一边计算一边就分解因式进行约分（化简）了的，说明已经很好地与分数的乘法进行类比学习了（分数是分解因数），应该予以表扬，让全班学生认真学习、领会。讲评时还应该让学生理解一步的算理。
例2．计算：
6y2（1）3xy÷;x2a21a1（2）2÷2
a4a4a4活动目的：
让学生进一步理解类比的学习方法，分式的除法先转化为乘法。教学效果：
因式分解在分式约分中起到重要作用，对于分子、分母是多项式的分式的乘除法的运算时，一般先分解因式，并在运算过程中约分，可以使运算简化。
（2）“西瓜问题” 活动目的：
能解决一些与分式有关的简单的实际问题。能有条理的进行表达。教学效果：
通过以上例题帮助学生总结出分式乘除法的运算步骤（当分式的分子与分母都是单项式时和当分式的分子、分母中有多项式两种情况）
4、随堂练习。（约5分钟）76页第一题，共3个小题。教学效果：
在总结出分式乘除法的运算步骤后，大部分学生能很好的掌握，但是还有些学生忘记运算结果要化成最简形式，老师要及时提醒学生。分解因式的知识没掌握好，将会影响到分式的运算，所以有的学生有必要复习和巩固一下分解因式的知识。
5、数学理解（约5分钟）
教材77页的数学理解，学生很容易出现像小明那样的错误。但是也很容易找出错误的原因。
x2－2xy＋y2x－y补充例3 计算（xy－x）÷•2
xxy2教学效果：巩固分式乘除法法则，掌握分式乘除法混合运算的方法。提醒学生，负号要提到分式前面去。
6、课堂小结（约3分钟）
先学生分组小结，在全班交流，最后老师总结。
7、作业布置，凝固新知。（约2分钟）
教材77页到78页，习题3.1，1、2、4.并补充一题（分式乘除法混合运算的）五．说板书设计
主板书采用纲要式，一目了然。
一、分式的基本性质 １、文字叙述 ２、符号表述
二、应用
最后，谈谈我的体会。课堂上平等对话，让学生自主掌握数学，发现问题，及时改正。教学是让学生丰富认识。
说课稿使用声明
1、在进入本节课学习时，陈老师能根据二年级学生的特点，即年龄小，比较喜欢直观的认识，学生进行摆小棒的活动，从而引出有余数的除法横式表示方法。
2、陈老师在设计上比较合理，层层深入：在利用小棒根数的增加时，使得学生进一步思考余数的问题。从而利用实物摆小棒到抽象的一种数学思考。
3、从陈老师的整个教学过程来看，教学难点应该是在除法竖式的书写和各个部分与横式中对应关系。她首先让学生自由写写除法的竖式，然后通过学生作品的展示。让学生观察横式与竖式，而没有直接提问竖式中的每一个数字从哪里来的，是表示什么意思，陈老师充分利用了学生的好奇心，来引导他们去探索和研究。而且在解释这个问题时，她不是通过自己解释，而是把主动权交给了学生，让学生来做出解释。充分体现了学生的主体性。
4、从整体来看，陈老师这节课的内容上比较充实，她让学生明白了有余数除法的由来以及其写法做了优化，再让学生掌握了除法的竖式写法及各个部分的关系，最后用练习进行了巩固。
5、最后我讲一点个人的意见，我觉得陈老师在上完9根小棒时，如果马上让学生思考用12根小棒摆几个正方形还多几根时，稍微进行点拨，在下面的练习当中学生也就可以应付了。
蒋向超
一、教学内容
本节课在教材中的地位：本节教材是在比和比例的基础上进行教学，着重使学生理解正比例的意义。正比例与反比例是比较重要的两种数量关系，学生理解并掌握了这种数量关系，可以加深对比例的理解，并能应用它们解决一些含正、反比例关系的实际问题。同时通过这部分内容的教学，可以进一步渗透函数思想，为学生今后的学习打下基础。
学生已有的知识经验基础：比和比例的有关知识，常见的数量关系（常见的数量关系是学生理解正、反比例意义的重要基础）而新教材没有都将常见的数量关系形成关系式，也增加了这节课的教学难度。让学生有画折线统计图的经验，所以基本能自己动手画出正比例关系的图像。
二、教材分析：
对比新旧教材，我们不难发现新教材在保留原来表格的基础上取而代之的是两种量的变化有什么规律？”这一个更开放、更具挑战性的问题。这一问题更能提供让学生有足够研究的空间与思维想象的空间，以及创造性的培养。旧教材中的3个小问题实际上就是正比例概念的三层含义（两个量必须相关联；一种量随着另一种量的变化而变化；相关联的两个量的比值一定）。旧教材这样编排的目的是让学生带着这3个问题观察表格，发现表格中的两个量的变化规律。虽然这样的 编排能让学生明确观察方向，少走弯路，及时的发现变化规律，但是这样的数学学习体现不了学生学习的自主性，学生只是按照教师的指令在行动。而新教材的编排目的是让学生自己去发现规律，体现了以学生为主体的教学理念，如何更好的组织、引导学生在没有3个小问题的帮助下也能发现其中的变化规律呢？新教材的这一变化对我们一线教师提出了更高的要求。因此深入研读教材，理解教材编写意图，准确把握教学目标，是有效完成这节课的前提。教材精简了例题，教材不再对研究的过程作详细的引导和说明，只是提供观察研究的素材与数据，出示关键性的结论，充分发挥学生的主动性，以体现自主探究、合作交流的学习过程。
三、设计理念：
教材的改动是为了让学生自己去发现寻找出表中的规律，而不是像原来那样按照事先设计好的问题去回答。但是如果一开始马上放手让学生去寻找规律，学生会感到盲目，不知从何入手，那势必会造成合作学习的低效。新课程标准在修改稿中指出：数学活动是师生共同参与、交往互动的过程。有效的数学教学活动是教师教与学生学的统一，学生学习应当是一个生动活泼的、主动地和富有个性的过程，除接受学习外，带着问题动手实践、自主探索与合作交流也是数学学习的重要方式，学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、验证、推理、计算、证明等活动过程。基于以上对教材内容的分析，因此，在教学中，我主要体现以下几个方面：
{一}、努力为学生创设充足的观察，分析、思考，探索、交流与合作 的时间和空间，使学生真正理解和掌握成正比的量的特征、初步渗透函数思想，得到必要的数学思维训练，获得广泛的数学活动经验。充分体现学生是数学学习的主体，教师是数学学习的组织者与引导者。{二}、努力实现扶与放的和谐统一，共同构建有效课堂。学生能自己解决的决不包办代替：学生可能完成的，充分相信学生，发挥自主探索与合作交流的优点，让学生有一个充分体验成功展示自我的舞台；学生有困难的，给予适当引导，拒绝无效探究，提高课堂效率。
四、教学目标：
基于对教材的理解和分析，我将该节课的教学目标定位为：
1、帮助学生理解正比例的意义。用字母 表示变量之间的关系，加深对正比例的认识。
2、通过观察、比较、判断、归纳等方法，培养学生用事物相互联系和发展变化的观点来分析问题，使学生能够根据正比例的意义判断两种量是不是成正比例。
3、学生在自主探索，合作交流中获得积极的数学情感体验，得到必要的数学思维训练。
五、教学重难点：理解正比例的意义。
下面我侧重谈谈对这节课重难点的处理：学生能在具体的情景中理解和体会成正比例的量的规律，但要他们用很专业的数学语言来描述，还是比较困难的，对于六年级的学生来说，语言的表达能力，组织能力，归纳能力有限，考虑问题也有局限性。不管是哪个层次的学生都或多或少存在着，当他们将各自的想法整合起来，基本能得出较为完 整的结论。比如，什么叫两种相关联的量，学生也很难得出，也没有探究的价值，所以由教师直接讲授，而对于他们之间的规律，则由学生自己来随意表述，当他们将各自的想法整合起来，通过共同归纳、概括，合作交流，得出较为完整的结论时，能让学生深深体会到自己的价值和合作学习的高效。
六、教学过程：
说教学策略和方法，引入新课。
首先提供情景素材，接下来教师引导，培养学生自己发现问题的能力，学生自主探究成正比例的量这个环节分为了四层：观察—讨论―—再观察—再讨论，一环扣一环教学，分小组合作交流让学生充分参与，学生在反复观察、思考，讨论、交流的过程自己建立概念，深刻的体验使学生感受到获得新知的乐趣。
本环节将书中的表格分两层呈现，首先出示表格，让学生观察，研究变量，感受是一种量变化，另一种量也随着变化，这量种量是两种相关联的量。接着引导学生研究定量，出示表格
1、表格2，让学生计算正方形的周长、面积，让学生体会周长和边长的比值相等、面积与边长的比值不相等。感受变量、常量，此时可能部分同学还是模糊的，所以进一步让学生自己讨论：周长和边长这两种变化的量具有什么特征？面积和边长两种变化的量又具有什么特征？学生讨论汇报后，可引导学生归纳：正方形的周长、面积都随着边长的变化而变化，它们是两种相关联的量；边长增加、周长（面积）也增加，周长（面积）降低、边长减少，但周长和边长的比值总是一定的，而面积与边长的 比值不是相等。所以，周长与边长能成正比例，面积与边长不成正比例，“周长、边长”之间的这种关系，从而自主归纳出成正比例的量的特征，在此基础上让学生自学：这里的周长和边长是成正比例的量，周长和边长成正比例关系。仅有例题的首次感知还不能形成正比例的概念，增加一个与例题不同的情景素材，为学生进一步积累感性认识。如果说例1是在老师的引导下完成，补充做一做就应该放手，让学生独立经历正比例关系的判断过程，再次感知正比例关系。学生能够列举出生活中成正比例的量的例子是学生是否真正掌握成正比例的量的特征的一个重要依据，学生能说出更好（估计优生部分可以，但不能说出这时也不必追问，教师接着引导学生用字母式y/x=k（一定），加深对正比例的认识。
一、说教材
1、教学内容
九年义务教育六年制小学数学教科书（北师大版）四年级下册第22至23页的内容及相关练习题。
2、教材简析
“三角形分类”是新课程教材中“空间与图形”领域内容的一部分。学生在学习此内容之前，已经学习了三角形的认识，能够在物体的面中找出三角形，学习了角的知识，认识了常见的角，为学生学习三角形的特征从角和边的不同角度对三角形进行分类做好了有力的知识支撑。三角形是最简单也是最基本的多边形，一切多边形都可以分割成若干个三角形，学好这部分内容，为学习其他多边形积累了知识经验，为进一步学习三角形的有关知识打下基础。
3、教学目标
根据教材内容及学生的知识水平和心理年龄特点，制定了以下教学目标：（1）让学生通过学习活动，发现三角形和边的特征会给三角形的分类，理解并掌握各种三角形的特征。
（2）培养学生观察，操作和抽象概括能力。
（3）激发学生的主动参与意识，自我探索意识和创新精神。
4、教学重点、难点的确定
根据《三角形分类》这一知识的地位和作用，本课设计的“观察、操作、比较、小组讨论”等教学环节都是为了使学生能近角和边的特点给三角形分类，因此这是教学重点。
根据学生的认识水平和年龄特点，如何引导学生归纳出各种三角形的特征，这是学生掌握本课知识的一个质的飞跃。因而，“能理解并掌握各种三角形的特征”是本课教学的难点。
5、教学准备
除了准备彩色卡纸，三角形平面图等，课前布置学生把课本P113图2的三角形剪下来。
二、说教法、学法 根据新课标的要求和学生的实际，以直观教学为主，运用观察动手操作，小组讨论等多种方法，结合教材，让学生在“看一看”，“量一量”，“比一比”，“分一分”，“说一说”的自主探索过程中发挥学生相互之间的作用，让学生自己在动脑、动手、动口中促进思维的发展，培养学生的动手操作能力，语言表达能力和自学能力。
在教学中，首先把握新旧知识的衔接点，利用教材12个三角形组成的图案，让学生说说自己对三角形的认识，引出课题“三角形的分类”。放手让学生动手操作，小组讨论交流，寻找三角形分类的方法，最后让学生说说自己归类的依据，归纳出各种三角形的特征，培养学生的抽象概括能力。
三、说教学过程
为了完成本课的教学目标，设计了以下的教学过程。
（一）创设情景，揭示课题
1、出示图案（采用直观教具吸引学生的注意力）这个图案像什么？由什么图形拼成的？
2、考考你的眼力，这几个三角形的形状一样吗？什么不一样？（让学生具体说一说）
在三角形这个大兵营里，它们的角和边各有特点。这节课我们就根据三角形角和边的特点给它们分类。板书课题：三角形的分类 由学生对三角形的认识引入课题，即为学生接受新知识做好铺垫，也让学生明确学习内容直奔放主题。
（二）动手操作，探讨三角形分类方法
1、根据角的特点，对三角形进行分类。
新课标倡导学生主动参与，乐于探究，勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力，分析解决问题的能力，以及交流与合作的能力，把学习变成人的主动性、能动性、独立性不断生成、张扬、发展、提升的过程。我设计了如下环节：
（1）学生先是独立思考、独立操作，独立探索分类。（事先给每个学生准备一个学袋：一张表格和一张彩色卡纸）
①学生根据表格对这12个三角形进行观察，再填表。填完表格，再对表格中的数据进行观察，就能容易地进行分类。
②把分类的结果贴在彩色卡纸上。（2）小组交流。
学生在小组内分别展示自己的劳动成果，说说自己的分类依据。（3）展示学生代表作品，学生互评。（4）师小结归纳。（边把分类依据板书出来）（5）鼓励学生给自己分类的三角形取个名字。
让学生感受到自己就是学习的主人，体验劳动成果的喜悦心情，增强学习的信心。
（6）引导学生对三类的三角形进行比较，得出相同点：每个三角形至少有两个锐角。
2、游戏巩固。
利用教材第25页猜猜来个教学游戏：猜出被信封遮住的可能是什么三角形，答对者，就把里面的三角形送给他。
通过数学游戏，可以激发学生学习兴趣，还可以巩固新知、形成技能。并对直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的相同点、不同点有了进一步的了解。
3、指导学生根据边的特点，对三角形进行分类。
由于让学生观察的三角形个数较多，要逐个测量边的长度再进行比较，总结归纳比较费时。所以这一环节安排以小组为单位，利用老师发放的学袋，由小组长来安排分工测量，填好研究报告单，然后一起观察，一起讨论，一起分类。师再依据小组代表发言后引导归纳，从而引出不等边三角形和等腰三角形，等边三角形。
（三）小小辩论会
为了帮助学生理解“等边三角形也是等腰三角形”设计了这么一个环节。由正、反两方充分阐述自己的观点，师再适时点拨，让学生在热烈的学习氛围中，巩固所学知识并更上一台阶。
（四）全课总结
今天你学得开心吗？什么事让你开心？让学生学会自我评价，体现了新课标评价的多样性，还可以训练学生的语言发展能力。
四、说板书设计
本课的板书意在突出重点，解决知识难点，有学生分类的作品展示，有教师 板书的知识点。教学内容一目了然，也便于学生观察、比较。
板书设计：
三角形分类
三个锐角→锐角三角形 三边不相等→不等边三角形 一个直角→直角三角形 两边相等→等腰三角形 一个钝角→钝角三角形
唐庄小学 高子义
一、说教材
【教学内容】《手拉手》这一课是北师大版小学数学四年级下册第三单元第六课时内容，这一课呈现了两个小朋友为希望小学的同学提供帮助的生活情境，使学生体会小数计算在实际生活中的应用，进一步体验到学有价值的数学的态度观，同时也让学生受到一定的爱心教育。
【教学目标】
知识与技能：使学生能根据“手拉手”中的有关信息提出数学问题，体会小数计算在实际生活中的应用。
方法与过程：
1.通过合作、交流等活动，使学生体会整数的运算定律在小数的运算中仍然适用，并能运用这些运算定律使计算简便。
2.使学生能利用学过的小数乘法和小数加减法解决简单的实际问题。
情感态度与价值观：结合教材提供的素材，对学生进行爱心教育。
【教学重点】掌握小数乘法和小数加减混合运算的运算顺序，灵活运用运算定律进行简便计算。【教学难点】列综合算式解决问题以及乘法分配律在小数混合运算中的迁移应用。
【教学关键】在比较归纳中发现规律，利用规律解决问题。【教学准备】课件 设计理念：
根据本课实际，我的设计理念是这样的：
1、将数学与现实生活相联系，让学生提高应用数学的能力。
这节课中，我从生活问题入手，从学生已有的知识背景出发，将教学课堂延伸到课外，学习现实的有意义的内容。以学生的问题为教师教学的切入点，使生活与数学联系更密切。这一做法打破了旧教材中课本知识与实际生活严重脱离的教学模式，从而使学生的数学问题生活化、体现数学源于生活、寓于生活、用于生活的思想。让学生感受到生活中处处有数学，激发学生学习的兴趣，提高应用数学的能力。
2.将类比、迁移思想渗透其中，在两个比较中总结归纳。本节课的小数乘法和加减混合运算、简便计算是整数乘法和加减混合运算、简便运算的延伸，所以学习过程中，我注意比较讨论、迁移学习，引导学生进行了两次比较，第一次引导学生将整数和小数混合运算进行比较，归纳得出小数混合运算 顺序与整数的相同；第二次引导学生比较12.8×3+7.2×3和（12.8+7.2）×3两个算式，归纳得出整数的运算定律在小数运算中也适用。通过这两次比较，使学生在类比、迁移中适时延伸知识的应用，达到本节课的技能目标，突出本节课的重点，突破难点。
3.注重发挥学生的主体性。
知识形成的过程中学生是主体，教师只是引导学生去学习、探究的引路人。因而本节课中，我特别注意发挥学生的主体性。充分利用教材提供的习题板块，发挥学生的主动性，帮助学生通过独立思考、小组讨论等形式，体验数学规律的探索和发现过程。使学生主动体验知识的形成过程，培养自主探究的能力，激发数学学习的兴趣。
4.使学生掌握解决问题的技能同时，渗透爱心教育。学生的学习活动不只是为了掌握技能，他们还将从中学习如何去做人！因而在学生的学习活动中，我适时对学生进行了爱心教育 的渗透，促使他们综合素质的提高。
二、说教法：
根据本节课的内容，我在本节课中主要运用了以下教法： 1.情境创设法。
这节课中，我充分利用教材提供的生活情境，把数学学习与实际生活紧密联系，从而体会小数计算在实际生活中的应用。
2.比较、迁移、归纳法。
课堂中，我引导学生将整数混合运算、简算与小数的进行比较，通过观察比较、迁移类推，使学生顺理成章的归纳得出小数混合运算顺序与整数的相同、整数的运算定律在小数中也适用。
3.练习巩固、拓展延伸法。
数学的教学，精讲多练是根本。因而我在新课学习后，精心设计了一部分练习题，让学生在练习中巩固所学方法；解决一些实际问题，既提高学生解决实际问题的能力，又让这节课的学习活动得到进一步的拓展延伸。
三、说学法：
学生是学习的主体。遵循这一主旨，我在本节课中，着重以下学法的指导：
1.敢于质疑法。
新课程倡导学生在学习中敢于提出问题，敢于质疑。所以，在出示生活情境后，我让学生提出自己的问题，进一步培养了学生敢于质疑的学习态度。
2.独立思考、独立解决问题法。学习中注重学生个性的培养，我想在数学学习中最重要的是怎么去培养学生独立思考和独立解决问题的能力。学生在解决问题中有自己独特的思路，他们有不同的思考方法和解法。在独立解决问题的过程中，学生有了自己独特的见解，在合作交流学习中才有想法可说。因而课上我留给他们独立思考、独立解决问题的空间，使他们在独立思考与解决中得到逐步锻炼和成长！
3.合作、交流、探究法
有了独立思考、独立解决问题作为前提，合作、交流、与探究在学习中更必不可少。这其中不仅培养的是一种合作意识，更重要的是学生在合作、交流与探讨中可以了解别人的思考方式、体验多方位思考的学习观。这节课中，我适时引导学生在小组内交流讨论、体验探究、比较归纳，使学生发现其中的规律，利用规律解决问题。
四、说教学程序：
课标指出教学应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，将数学活动置身于实施的生活背景中，为他们提供实现的机会。根据这一理念，我将本节课的教学内容设置了六个大环节：
一、复习旧知。
二、创设情景，提出问题。
1.情景引入，让学生感知贫困山区的学生学习条件的恶劣，从而向学生发起手拉手爱心捐赠的号召，渗透爱心教育。随机板书课题：手拉手。
2.根据图片的感知，课件接着出示问题情境，激发学生思考。
三、培养估算意识和能力。
四、尝试解决，交流总结。
1.学生根据课件出示的问题情境，独立思考后尝试计算解答。
2.指名说说自己的解答方法，教师板书列举。3.引导学生观察小结小数混合运算顺序与整数的相同。4.教师出示12.8×3+7.2×3=（12.8+7.2）×3 5.引导学生观察，总结归纳整数的运算定律在小数运算中也适用。
五、应用新知，学以致用。1.课件出示找朋友和脱式计算。2.学生独立完成后师生交流并指导纠正。
一、说教材分析 《三角形的内角和》，是北师大版义务教育课程标准实验教科书数学四年级下册第二单元探索与发现
（一）的内容。在此之前学生已经学习了三角形的分类、角的度量等知识。形成了一定的空间观念，可以在比较抽象的水平上进一步认识三角形，探索新知。本节三角形的内角和是 180°是三角形的一个重要性质，为后面学生进一步深入学习三角形相关知识打下一个良好的基础。本节课意在让学生通过一系列的实验、操作活动，推理归纳出三角形的内角和是180°。我在本节课的教学设计上，力图遵循学生是学习活动的主体，以学生的学位立足点的理念。基于以上对教材的认识，我为本课设定了以下三个教学目标：
二、说教学目标
1.知识与技能目标：通过直观操作的方法，探索并发现三角形三个内角的和是180°，能灵活的应用三角形内角和的性质解决简单的问题。
2、过程与方法目标：在经历观察、猜测、验证的过程中，培养学生动手动脑及分析推理的能力。
3、情感态度与价值观目标：学生在参与数学学习活动的过程中，体验数学的魅力，获得成功的体验，增加对数学的学习兴趣。
三、说教学重难点
教学重点：通过动手操作探索并发现三角形的内角和是180°。教学难点：灵活运用三角形的内角和的性质解决实际问题。
四、说教法和学法 课程标准指出：“有效的数学活动不能单纯的依赖模仿和记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”在此课标指导下，结合四年级学生的心理特征和认知水平，我主要采用了创设情境和启发探究等教法。数学的课堂应该是生动充满活力的、所以我还将采用自主探索与小组合作交流的学法。让知识的获得渗透于过程中；让能力的培养贯穿于活动的参与中。
五、说教学过程
第一个环节：激发兴趣点 导入课题
(教师播放电脑课件)通过课件演示向学生提出问题：你们认识这些三角形吗？每个三角形有几个角？然后引出三角形的“内角”及“内角和”的概念，为学生进一步探究三角形的内角和做基础。其中有一个大三角形说：“我的个头大，所以我的三个内角和一定比你大。”小三角形很不甘心地说：“是这样吗?”
师：同学们，请你们给评评理：是这样吗? 引发学生思考三角形的内角和，这时会有不同的答案，引发矛盾。从而教师趁此导入新课并板书课题：三角形的内角和。
第二个环节：动手操作，探究问题 经历过第一环节，学生已经感觉到哪个三角形说的对，取决于三角形内角和的秘密。从而安排此环节。第一步，量角猜想
让学生任意画三角形，量出三个内角的度数，完成小组活动记录表。例如：
三角形 ∠1 ∠2 ∠3 内角和 30° 40° 110° 70° 80° 30° 90° 75° 15°
通过个人独立完成，再小组交流，学生就能在充足的数据基础上，有目的地互相辩驳、互相的吸纳，完善自己的猜想从而发现三角形的内角和大约是180°。对于没有量出是180°的同学，要求再次测量，找到误差的原因。不仅让新知得到了及时的巩固，更培养了学生对待测量精益求精的思想。第二步，剪拼验证 然后鼓励他们：“你发现的这个结论是不是正确的呢？你能不能想办法验证？” 恰当的提问放飞了学生的思维。让学生小组合作，操作验证。此时我会参与到学生小组探究中去。如果发现学生在验证过程中有困难，老师进行适当的提醒。如“180°是一个什么样的角呢？（平角）根据平角的特点，我们可不可以再想出其他的验证方法呢？”在小组探究后，请各组派代表汇报本组的探究结果。此时无论学生的回答如何，我都会对其乐于参与活动勤于思考给予积极的肯定。
可能出现的情况：
A、分别撕下三角形三个角拼成平角的 B、分别剪下三角形三个角拼成平角的 C、把三角形的三个角折成平角的
D、通过沿长方形对角线对折得到两个三角形，推理得到每个三角形的内角和 这些方法都验证了：三角形的内角和是180°。第三步，演示结论 课件演示剪拼过程。第四步，联系强化
师：现在回到开始的问题。那个大三角形的内角和一定比小三角形大吗？
可以让学生用自己手中的小三角板和老师手中的大三角板进行比较来理解和探索。使学生进一步感受到三角形的内角和与三角形的大小、形状都没有关系。第三个环节：巩固新知 灵活应用
此环节我设计了四个层次的练习：并采用小组竞赛的方式来完成。
1、基本练习
运用新知解决课前游戏中的问题：已知两个角的度数，求第三个角的度数。猜一猜小动物背后藏着的角的度数吗？
2、变式练习
教材29页 练一练的第二题。3．灵活练习
本题答案不唯一，教师引导学生通过画示意图的方式来猜测，说明可能是什么三角形。4.探索提高
引导学生发现四边形内角和是360°，体验解决问题的多样化。第四个环节 师生小结 聚焦课堂
师生互动：小结本堂课的收获，学生畅所欲言，有知识、情感、学习方法等等方面的体会与感受。请学生对本节所学的内容进行整理和归纳，我只进行补充和完善。
五、说板书设计
三角形的内角和
猜测——验证——结论——应用
三角形内角和等于180°
总之，本节课我力图引导学生通过自主探究、合作交流，充分经历一个知识的学习过程，让学生学会数学、会学数学、爱学数学。教材为我们提供了一个空间，而课堂则为我们提供了一段时间，当这个空间和这个时间相遇时，便有了学生学习数学的世界。
北师大版四年级下册数学《三角形内角和》教学设计
一、教学目标
1、知识与技能目标：通过直观操作的方法，探索并发现三角形三个内角的和是180°，能灵活的应用三角形内角和的性质解决简单的问题。
2、过程与方法目标：在经历观察、猜测、验证的过程中，培养学生动手动脑及分析推理的能力。
3、情感态度与价值观目标：学生在参与数学学习活动的过程中，体验数学的魅力，获得成功的体验，增加对数学的学习兴趣。
二、教学重难点
教学重点：通过动手操作探索并发现三角形的内角和是180°。教学难点：灵活运用三角形的内角和的性质解决实际问题。
三、教法和学法
教法：创设情境和启发探究法。学法：自主探索与小组合作交流法。
四、教学过程
一、激发兴趣，导入课题
(教师播放电脑课件)通过课件演示向学生提出问题：你们认识这些三角形吗？每个三角形有几个角？然后引出三角形的“内角”及“内角和”的概念，为学生进一步探究三角形的内角和做基础。
其中有一个大三角形说：“我的个头大，所以我的三个内角和一定比你大。”小三角形很不甘心地说：“是这样吗?”
师：同学们，请你们给评评理：是这样吗? 引发学生思考三角形的内角和，这时会有不同的答案，引发矛盾。从而教师趁此导入新课并板书课题：三角形的内角和。
二、动手操作，探究问题
1、量角猜想
让学生任意画三角形，量出三个内角的度数，完成小组活动记录表。例如：
三角形 ∠1 ∠2 ∠3 内角和 30° 40° 110° 70° 80° 30° 90° 75° 15°
通过个人独立完成，再小组交流，学生就能在充足的数据基础上，有目的地互相辩驳、互相的吸纳，完善自己的猜想从而发现三角形的内角和大约是180°。对于没有量出是180°的同学，要求再次测量，找到误差的原因。不仅让新知得到了及时的巩固，更培养了学生对待测量精益求精的思想。
2、剪拼验证
师问：你发现的这个结论是不是正确的呢？你能不能想办法验证？” 学生小组合作，操作验证。
在小组探究后，请各组派代表汇报本组的探究结果。可能出现的情况：
A、分别撕下三角形三个角拼成平角的 B、分别剪下三角形三个角拼成平角的 C、把三角形的三个角折成平角的
D、通过沿长方形对角线对折得到两个三角形，推理得到每个三角形的内角和
这些方法都验证了：三角形的内角和是180°。
3、演示结论 课件演示剪拼过程。
2、联系强化
师：现在回到开始的问题。那个大三角形的内角和一定比小三角形大吗？
三、巩固新知，灵活应用
1、基本练习
运用新知解决课前游戏中的问题：已知两个角的度数，求第三个角的度数。
猜一猜小动物背后藏着的角的度数吗？
2、变式练习练一练的第二题。3．灵活练习
本题答案不唯一，教师引导学生通过画示意图的方式来猜测，说明可能是什么三角形。4.探索提高
引导学生发现四边形内角和是360°，体验解决问题的多样化。
四、师生小结，聚焦课堂
师生互动：小结本堂课的收获，学生畅所欲言，有知识、情感、学习方法等等方面的体会与感受。请学生对本节所学的内容进行整理和归纳，我只进行补充和完善。
五、作业设计 完成同步练习。
六、板书设计
三角形的内角和
猜测——验证——结论——应用
胡家平杨仕如
一、本册教材内容简析
本学期教学内容共计六章。第一章《三角形的证明》
本章将证明与等腰三角形和直角三角形的性质及判定有关的一些结论，证明线段垂直平分线和角平分线的有关性质，将研究直角三角形全等的判定，进一步体会证明的必要性。
第二章《一元一次不等式和一元一次不等式组》
本章通过具体实例建立不等式，探索不等式的基本性质，了解一般不等式的解、解集、解集在数轴上的表示，一元一次不等式的解法及应用；通过具体实例渗透一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的内在联系．最后研究一元一次不等式组的解集和应。
第三章《图形的平移与旋转》
本章将在小学学习的基础上进一步认识平面图形的平移与旋转，探索平移，旋转的性质，认识并欣赏平移，中心对称在自然界和现实生活中的应用。
第四章《分解因式》
本章通过具体实例分析分解因式与整式的乘法之间的关系揭示分解因式的实质，最后学习分解因式的几种基本方法。
第五章《分式与分式方程》
本章通过分数的有关性质的回顾建立了分式的概念、性质和运算法则，并在此基础上学习分式的化简求值、解分式方程及列分式方程解应用题，能解决简单的实际应用问题。
第六章《平行四边形》 本章将研究平行四边形的性质与判定，以及三角形中位线的性质，还将探索多边形的内角和，外角和的规律；经历操作，实验等几何发现之旅，享受证明之美。
二、各章教学目标及重点难点
第一章、三角形的证明 目标：
1、经历探索、猜想、证明的过程，进一步体会证明的必要性，发展推理能力。
2、进一步了解作为证明基础的几条基本事实的内容，掌握综合法的证明方法；结合具体实例体会反证法的含义。
3、证明等腰三角形、等边三角形、直角三角形、线段的垂直平分线、角平分线的性质及定理和判定定理。
4、证明判定三角形全等的“角角边”定理，探索并掌握判定直角三角形全等的“HL”定理。
5、结合具体例子了解原命题与逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立，逆命题不一定成立。
6、已知底边及底边上的高，能用尺规作出等腰三角形，已知一条直角边和斜边能用尺规作出直角三角形，能用尺规过一点作出已知直线的垂线。
重点:（１）掌握综合法的证明方法。
（2）证明等腰三角形、等边三角形、直角三角形、线段的垂直平分线、角平分线的性质及定理和判定定理。
（3）证明判定三角形全等的“角角边”定理，探索并掌握判定直角三角形全等的“HL”定理。
（4）已知底边及底边上的高，能用尺规作出等腰三角形，已知一条直角边和斜边能用尺规作出直角三角形，能用尺规过一点作出已知直线的垂线。难点：（1）（2）（3）
第二章、一元一次不等式及一元一次不等式组 目标：
1、经历将一些简单的实际问题抽象为不等式的过程，进一步体会模型的思想，建立符号意识。
2、结合具体问题，了解不等式的意义。
3、探索并掌握不等式的基本性质。
4、理解不等式（组）的解及解集的含义，会解简单的一元一次不等式（组），并会把解集表示在数轴上，发展几何直观。
5、能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的实际问题，并能根据具体的实际意义，经验结果的合理性，发展应用意识。
6、初步体会不等式、方程、函数之间的内在联系与区别。重点：
（1）探索并掌握不等式的基本性质。
（2）理解不等式（组）的解及解集的含义，会解简单的一元一次不等式（组），并会把解集表示在数轴上，发展几何直观。
（3）能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的实际问题，并能根据具体的实际意义，经验结果的合理性，发展应用意识。
（4）初步体会不等式、方程、函数之间的内在联系与区别。
难点：掌握不等式的基本性质，一元一次不等式（组）的解法及应用． 第三章、图形的平移与旋转 目标：
1、经历图形的有关平移与旋转的观察、操作、欣赏和设计的过程，进一步累积数学活动经验，增强学生的动手活动能力，发展空间观念。
2、通过具体实例，认识平移与旋转，探索它们的性质，并会画出简单的平移与旋转的图形。
3、在平面直角坐标系内，能写出一个已知点坐标的多边形沿着坐标轴方向平移后图形的顶点坐标，并知道对应点坐标之间的关系。
4、在平面直角坐标系内，探索并了解一个已知点坐标的多边形沿着坐标轴方向平移后图形与原图形具有平移关系，体会顶点坐标的变化。
5、了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它们的性质。重点：
（1）认识平移与旋转，探索它们的性质，并会画出简单的平移与旋转的图形。（2）在平面直角坐标系内，能写出一个已知点坐标的多边形沿着坐标轴方向平移后图形的顶点坐标，并知道对应点坐标之间的关系。
（3）在平面直角坐标系内，探索并了解一个已知点坐标的多边形沿着坐标轴方向平移后图形与原图形具有平移关系，体会顶点坐标的变化。
（4）了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它们的性质。难点：
（1）平移与旋转的性质。
（2）中心对称、中心对称图形的概念，探索它们的性质。
（3）一个已知点坐标的多边形沿着坐标轴方向平移后图形与原图形具有平移关系，体会顶点坐标的变化。
第四章、因式分解 目标：
1、经历探索将一个多项式分解成几个整式的积的过程，体会数学知识之间的整体联系（整式乘法与分解因式）。
2、了解因式分解的意义，会用提公因式法、平方差公式、完全平方公式（直接运用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）。
3、通过平方差公式、完全平方公式的逆向变形，进一步发展学生观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理的思考几语言。
重点：
因式分解的常见的两种方法的了解和应用。难点：
如何灵活地综合运用常见的两种分解因式的方法进行因式分解。第五章、分式与分式方程 目标：
1、以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式分式方程的概念，体会分式方程是刻画现实世界中数量关系的模型思想，进一步发展符号意识。
2、经历通过观察、归纳、类比、猜想，获得分式的基本性质、分式乘除法法则、分式加减法法则的过程，发展学生合情推理能力、运算能力和学习中转化未知问题为已知问题的能力，积累类比类比活动经验。
3、类比分数的基本性质，熟练掌握分数的基本性质，分式的约分和通分法则，能熟练地进行分式的约分和通分。
4、类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算，并能进行分式的四则运算和分式的化简求值。
5、会解可以化为一元一次方程的分式方程，会检验分式方程的根（了解增根的概念），发展运算能力。
6、能解决一些与分式分式方程有关的实际问题，发展分析问题、解决问题的能力和应用意识。
重点： 掌握分式的意义、基本性质及应用、四则运算（化简求值）、分式方程的解法及列分式方程解应用题．
难点：
掌握分式的意义、基本性质及应用、四则运算（化简求值）、分式方程的解法（增根的产生）及列分式方程解应用题．
第六章、平行四边形 目标：
1、经历探索平行四边形有关概念和性质的过程，在活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯；
2、理解平行四边形的概念，了解四边形的不稳定性，了解两条平行线之间的距离的概念，并能度量平行线之间的距离。探索并掌握平行四边形的性质，并能简单应用；
3、经历平行四边行判别条件的探索过程，在有关活动中发展学生的合情推理意识．
4、在运用平行四边形的判定方法解决问题的过程中，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力．
5、学生通过观察、实验、联想来发现三角形中位线的性质，培养学生 观察问题、分析问题和解决问题的能力。知道三角形中位线的概念，明确三角形中位线与中线的不同。理解三角形中位线定理，并能运用它进行有关的论证和计算。
重点：
（1）平行四边形的性质和判定定理的应用（2）三角形中位线定理的应用 难点：
（1）平行四边形的性质和判定定理的应用（2）三角形中位线定理的应用
三、教学进度
第一章《三角形的证明》13课时
1.1等腰三角形 4课时
1.2直角三角形 2课时
1.3线段的垂直平分线 2课时
1.4角平分线 2课时
复习小节与检测 3课时
第二章《一元一次不等式和一元一次不等式组》
2.1 不等关系 1课时
2.2 不等式的基本性质 1课时
2.3 不等式的解集 1课时
2.4 一元一次不等式2课时
2.5 一元一次不等式与一次函数2课时
2.6 一元一次不等式组 2课时
复习小节 与检测 3课时 第三章《图形的平移与旋转》 10课时
3.1图形的平移 3课时
3.2图形的旋转 2 课时
3.3中心对称 1课时
3.4简单的图形设计 1 课时
复习小节与检测 3课时 期中考试复习2 课时 第四章《分解因式》11课时
课时 12
4.1分解因式1课时
4.2提公因式法 3课时
4.3公式法 3课时
4.4十字相乘法 2课时
复习小节与检测 2课时 第五章《分式与分式方程》 11课时
5.1认识分式 2课时
5.2 分式的乘除法 1课时
5.3分式的加减法 3课时
5.4分式方程 3课时
复习小节与检测2课时 第六章《平行四边形》 10课时
4.1平行四边形的性质 2课时
4.2特殊的平行四边形的判定 3课时
4.3三角形的中位线 2课时
4.4多边形的内角和外角和3课时
复习小节与检测 2课时 综合实践
（一）生活中的“一次模型” 1课时 综合实践
各位考官，大家好！（鞠躬）我是应聘小学数学阶段的XX号考生，今天我说课的题目是《分数乘法一》。我主要从教材分析、学情分析、教学方法、教学准备、教学过程以及板书设计展开我的说课，下面开始我的说课。
一、说教材
1、教材的地位与作用
分数乘整数是北师大版小学五年级下册第一单元第一课。在此之前，学生已经掌握了分数的基本性质，分数加法的意义以及计算方法。本课内容是理解分数乘整数的意义及计算方法，也是后续学习分数除以整数的基础。
2、教学目标
根据对教材地位与作用的分析，在新课程改革理念的指导下，指定如下三维教学目标：
（1）、知识与技能目标：学习整数乘以分数的计算方法，让学生亲自经历探究整数乘以分数的计算原理，学生能够熟练准确的计算整数乘以分数。（2）、过程与方法目标：通过探究整数乘以分数的过程，掌握分数乘整数的计算方法，提高分数乘法的计算能力，发展初步小学生解决问题的能力。（3）、情感态度价值观目标：使学生感受到分数乘法与生活的密切联系，培养学习数学的良好兴趣。
3、教学重难点
根据教学目标和学生的认知水平和身心发展特点，本节课的教学重点是理解分数乘整数的意义及计算方法，由于学生之前没有接触过这一知识，本课的难点是分数乘整数方法的探究。
二、说学情
现代教育理论强调：“任何教学活动都必须以满足学习者的需要为出发点和落脚点”，所以，在教学之始，掌握学生的情况尤为重要，接着我说一下学情。一方面：小学生的求知欲、好奇心和分析问题的能力开始增强，兴趣爱好也有所分化，对新鲜事物开始思考、追求、探索。但是以形象思维为主，自控能力较差。另一方面：这个学段的学生已经在五年级上册学习了乘法和分数的一些内容，而本节课正是在这些学生已有的知识基础上继续探究分数与整数的乘法，所以有很多的学生对于以上所学知识并不陌生，但是学生对掌握本节课的内容仍有难度。学生在此基础上对新知识的学习，应该能通过自主探索、合作交流，达到方法的多样化。但是对于方法的交流、借鉴、反思及优化上需要教师的引导，所以，要重视让每个学生都积极地参与到活动中来，让活动有实效，真正让学生在数学方法、数学思想方面有所发展。
三、说教法学法
新课标指出，数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的经验之上，对于小学生来说，他们的知识和经验都有一定的局限性，针对这种情况，我注重丰富学生对知识的感知，主要运用一下几种教学方法：一是创设问题情景，充分调动学生求知欲，并以此来激发学生的探究心理。二是运用启发式教学法，就是把教和学的各种方法综合起来统一组织运用于教学过程，以求获得最佳效果。三是注重渗透数学思考方法（联想法、类比法、数形结合等一般科学方法）来展开教学活动，体现“教就是为了不教”。对于学法方面，学生作为主体，在学习活动中的参与状态和参与度是决定教学效果的重要因素。因此，在学法的选择上我采用自主观察探究、小组合作交流、进行学习归纳的学习方式。
四、说教学准备
在课前，要准备的教具有多媒体课件PPT，学具有学习卡片，彩笔。
五、说教学过程
为了更好的实现教学目标设定了这样几个教学环节： 环节一：创设情景，导入新课
用多媒体课件出示课本第2页的例题1，让学生在小组内进行讨论，然后选代表在班上进行汇报，根据学生提出的不同方式找出用乘法列式的方式导入今天的新课。板书课题——分数乘整数 环节二：合作学习，探究新知
在这个环节中，设计了如下几个活动来实施教学。活动一，看一看。
要求同学们看看板书在黑板上的不同例题的计算方法，感知分数的加法与分数乘法的联系。活动二，涂一涂。
让学生在小组内涂一涂2个3/7的和，并且相互检查是否正确，为了让学生更好地感知分数乘整数的意义，让学生再涂一涂3个5/16的和。活动三，写一写。
在学生涂完上面两个图之后，让学生把它用算式写出来。如果在写第一个式子时。学生只用加分算式计算，那么，我们可以在写第二个算式的时候，提示学生用乘法算式表达。在这个活动中，可以让学生进一步感知分数加法与分数乘法的联系。
活动四，比一比。
要求学生从以上三个不同的计算方法中找出共同点，并要求学生通过比较找出他们的特点。
活动五，议一议。
在这个活动中，让同学们在小组内讨论，并要求学生用自己的语言把计算的方法总结出来。并板书，计算法则。环节三，分层练习，巩固内化
要求学生在课堂上完成课本上的试一试。在学生练习过程中，我会深入学生当中进行巡视，了解学生的实际情况，对于出现的个别问题及时进行辅导，如果有普遍的问题，就要及时调整教学策略，使教学效果最优化，让每个学生都得到很好的发展。
环节四，总结反思，升华新知。
要求学生对今天所学的知识和方法进行整理总结，如果有遗漏我会进行补充、完善。
环节五，布置作业，拓展转化。
课后作业是P3 2、3、4三道题。
六、板书设计
这是我的板书设计
一、分组分解法分解因式
如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。
分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法，公式法和十字相乘法的多项式。
分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的。
二、例题分析
例
1、分解因式：（1）2x2+2xy-3x-3y(2)a
(3)4x2-9y2-24yz-16z
2例
2、分解因式：（1）m2+n2-2mn+n-m
第一章 三角形的证明
一、全等三角形判定定理：
1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)
2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)
3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)
4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)
5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）
二、等腰三角形的性质
定理：等腰三角形有两边相等；(定义)定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）
推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；
三、等腰三角形的判定 1.有关的定理及其推论
定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”。）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。2.反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出 与定义、公理、已证定理或已知条 件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法
四、直角三角形
1、直角三角形的性质
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
2、直角三角形判定
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；
3、互逆命题、互逆定理
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.五、线段的垂直平分线 角平分线
1、线段的垂直平分线。
性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（外心）
判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
2、角平分线。
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（内心）
判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
3、逆命题、互逆命题的概念，及反证法
第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组 一、一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。
1、能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.2、不等式的解不唯一，把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集.3、求不等式解集的过程叫解不等式.4、由几个一元一次不等式组所组成的不等式组叫做一元一次不等式组
5、不等式组的解集 :一元一次不等式组各个不等式的解集的公共部分。
6、等式基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式.基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数(除数不为0)，所得的结果仍是等式.二、不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.（注：移项要变号，但不等号不变。）
性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.三、解不等式的步骤:
1、去分母;
2、去括号;
3、移项、合并同类项;
4、系数化为1。
四、解不等式组的步骤:
1、解出不等式的解集。
2、在同一数轴表示不等式的解集。
3、写出不等式组的解集。
五、列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤：
（1）审题；
（2）设未知数，找（不等量）关系式；（3）设元，(根据不等量)关系式列不等式(组)
（4）解不等式组；检验并作答。
第三章 图形的平移与旋转
一、平移定义和规律
1平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
关键：a.平移不改变图形的形状和大小（也不会改变图形的方向，但改变图形的位置）。
b.图形平移三要素：原位置、平移方向、平移距离。
2平移的规律(性质)：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等、对应角相等。
注意：平移后，原图形与平移后的图形全等。
3简单的平移作图：
平移作图要注意：①方向；②距离。整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动。
二、旋转的定义和规律
1旋转的定义：在平面内，将一个图形饶一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这个定点称为旋转中心；转动的角称为旋转角。
关键：a.旋转不改变图形的形状和大小（但会改变图形的方向，也改变图形的位置）。
b.图形旋转四要素：原位置、旋转中心、旋转方向、旋转角。
2旋转的规律(性质)：
经过旋转，图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。
(旋转前后两个图形的对应线段相等、对应角相等。)注意：旋转后，原图形与旋转后的图形全等。
3简单的旋转作图：
旋转作图要注意：①旋转方向；②旋转角度。
整个旋转作图，就是把整个图案的每一个特征点绕旋转中心按一定的旋转方向和一定的旋转角度旋转移动。
三、中心对称
1．中心对称的有关概念：中心对称、对称中心、对称点
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对称点。
2．中心对称的基本性质：
（1）．成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。
（2）．成中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
3．中心对称图形的有关概念：中心对称图形、对称中心
把一个平面图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点就是它的对称中心。
4、中心对称与中心对称图形的区别与联系
如果将成中心对称的两个图形看成一个图形，那么这个整体就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形沿着过对称中心的任一条直线分成两个图形，那么这两个图形成中心对称。3．图形的平移、轴对称（折叠）、中心对称（旋转）的对比
5、图案的分析与设计
① 首先找到基本图案，然后分析其他图案与它的关系，即由它作何种运动变换而形成。
② 图案设计的基本手段主要有：轴对称、平移、旋转三种方法。
第四章
分解因式
一、公式：
1、ma+mb+mc=m(a+b+c)
2、a2-b2=a+ba-b
3、a22ab+b2ab2
二、把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。
1、把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.2、把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解.3、ma+mb+mc=m（a+b+c）
4、因式分解与整式乘法是相反方向的变形。
三、把多项式的各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的各项的公因式.提公因式法分解因式就是把一个多项式化成单项式与多项式相乘的形式.找公因式的一般步骤：（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；
（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；（3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的.（4）所有这些因式的乘积即为公因式.四、分解因式的一般步骤为:（1）若有“-”先提取“-”，若多项式各项有公因式,则再提取公因式.（2）若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止.五、形如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子称为完全平方式.六、分解因式的方法：
1、提公因式法。
2、运用公式法。
第五章 分式与分式方程
1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子
AB叫做分式。1)分式与整式最本质的区别：分式的字母必须含有字母，即未知数；分子可含字母可不含字母。2)分式有意义的条件：分母不为零，即分母中的代数式的值不能为零。3)分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零
2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示
AACAAC其中A、B、C为整式（C0）
BBCBBC注：（1）利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式。（2）应用基本性质时，要注意C≠0，以及隐含的B≠0。
（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部分项，或避免出
现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。
3.分式的通分和约分：关键先是分解因式
1)分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值。2)最简分式：分子与分母没有公因式的分式
3)分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把
几个异分母的分式化成分母相同的分式。
4)最简公分母：取“各个分母”的“所有因式”的最高次幂的积做公分母，它叫做最简公分母。4.分式的符号法则
分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个分式的值不变。用式子表示为
注：分子与分母变号时，是指整个分子或分母同时变号，而不是指改变分子或分母中的部分项的符号。5.分式的运算：
1）分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。2）分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
ac
bdacacadadbd;bdbcbc3）分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。(ananb)bn4）分式乘方、乘除混合运算：先算乘方，再算乘除，遇到括号，先算括号内的，不含括号的，按从左
到右的顺序运算
5）分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减
acbcabc,acadbcadbcbdbdbdbd 7.整数指数幂.1）任何一个不等于零的数的零次幂等于1，即a01(a0)；
1利润＝售出价－成本
2）任何一个不等于零的数的-n次幂（n为正整数），等于这个数的n次幂的倒数，即 ann（a0)
注：分数的负指数幂等于这个分数的倒数的正整数指数幂。即(ba)n(aa)n
b3）科学计数法：把一个数表示为a×10n
(1≤∣a∣＜10,n为整数)的形式，称为科学计数法。
注：（1）绝对值大于1的数可以表示为a×10n 的形式，n为正整数；（2）绝对值小于1的数可以表示为a×10-n的形式，n为正整数.（3）表示绝对值大于10的n位整数时，其中10的指数是n1
（4）表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0)4)正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n是整数)（1）同底数的幂的乘法：amanamn；（2）幂的乘方：(am)namn（;3）积的乘方：(ab)nanbn；
（4）同底数的幂的除法：amanamn≠0)；（5）商的乘方：(ab)nan(abn；(b≠0)8.分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。1)增根：分式方程的增根必须满足两个条件：
（1）增根是最简公分母为0；（2）增根是分式方程化成的整式方程的根。2）分式方程的解法：
(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根． 注：解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。
分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
3）烈分式方程解实际问题
（1）步骤：审题—设未知数—列方程—解方程—检验—写出答案，检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行检验。（2）应用题基本类型；
a.行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题．
b.数字问题 在数字问题中要掌握十进制数的表示法． c.工程问题 基本公式：工作量=工时×工效．
d.顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水． v逆水=v静水-v水． E．相遇问题
f追及问题
相遇路程＝速度和×相遇时间
追及距离＝速度差×追及时间 相遇时间＝相遇路程÷速度和
追及时间＝追及距离÷速度差 速度和＝相遇路程÷相遇时间
速度差＝追及距离÷追及时间 g流水问题
h浓度问题
顺流速度＝静水速度＋水流速度
溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量 逆流速度＝静水速度－水流速度
溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度 静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2
溶液的重量×浓度＝溶质的重量 水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2
溶质的重量÷浓度＝溶液的重量 m利润与折扣问题
利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100% 涨跌金额＝本金×涨跌百分比
折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1)利息＝本金×利率×时间
税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%)
第六章平行四边形
一、平行四边形的性质
1、定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、平行四边形的性质
（1）平行四边形的对边平行且相等。（2）平行四边形的邻角互补（3）平行四边形的对角相等
（4）平行四边形的对角线互相平分。
二、平行四边形的判定
1、平行四边形的判定
（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（3）定理2：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
（4）定理3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
2、两条平行线的距离 两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。平行线间的距离处处相等。
3、平行四边形的面积：S平行四边形=底×高=ah 三、三角形的中位线
1、概念：连接三角两边中点的线段叫做三角的中位线（共三条中位线）
2、三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半
四、多边形的内角和与外角和
1、多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（n-2）·180°；
多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。
2、正多边形的每个内角都等于（n-2）·180°/n
3、中心对称图形：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形，边数为偶数的正多边形
不是中心对称图形：四边形、三角形、梯形、边数为奇数的正多边形等
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